Slide - Integrais de Linha 2 -2023-2

Integrais de linha - 2 Joana Mohr IME-UFRGS Vimos em INTEGRAIS DE LINHA - 1 que se C uma curva lisa em R^2 ∫_C f(x,y)dx = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^n f(x_k^*, y_k^*) Δx_k é a integral de linha de f em relação a x ao longo de C. ∫_C g(x,y)dy = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^n g(x_k^*, y_k^*) Δy_k é a integral de linha de g em relação a y ao longo de C. Com definições análogas para R^3. Como calcular ∫_C f(x,y,z)dx: Encontre equações paramétricas para C, em que a orientação de C seja dada no sentido de percurso de t crescente, x(t), y(t), z(t), a≤t≤b, expressar o integrando na variável t: dx/dt = x'(t), dx = x'(t) dt ∫_C f(x,y,z)dx = ∫_a^b f(x(t), y(t), z(t)) x'(t) dt Analogamente para as outras integrais. Exemplo. Seja C o segmento de reta ligando P(0,0) a Q(3,2). a) Calcule \( \int_C (x+y) \ dy \), se partimos de P e terminamos em Q \( \int_0^1 (3t + 2t) \cdot 2 \ dt = \) \( \int_0^1 10t \ dt = \frac{10t^2}{2} \bigg|_0^1 = 5t^2 \bigg|_0^1 \) = 5. Joana Mohr (IME-UFRGS) 4/14 b) Calcule \( \int_C (x+y) \ dy \), se partimos de Q e terminamos em P \( \int_0^1 (3 - 3t + 2 - 2t)(-2) \ dt = \) = \( \int_0^1 (5 - 5t)(-2) \ dt = \) = \( \int_0^1 -10 + 10t \ dt = -10t + 5t^2 \bigg|_0^1 \) = -10 + 5 = \underline{-5} Joana Mohr (IME-UFRGS) 5/14 Seja C curva orientada de A até B, denotamos por -C a curva que consiste nos mesmos pontos de C porém com orientação oposta. \( \int_{-C} f(x,y) \ dx = -\int_C f(x,y) \ dx \) \( \int_{-C} g(x,y) \ dy = -\int_C g(x,y) \ dy \) Analogamente em \( \mathbb{R}^3 \). Joana Mohr (IME-UFRGS) 6/14 Sejam f(x,y), g(x,y) e uma curva C em R^2, podemos escrever: ∫_C f(x,y)dx + g(x,y)dy = ∫_C f(x,y)dx + ∫_C g(x,y)dy Analogamente se C é uma curva em R^3 e f(x,y,z), g(x,y,z) e h(x,y,z) ∫_C f(x,y,z)dx + g(x,y,z)dy + h(x,y,z)dz = ∫_C f(x,y,z)dx + ∫_C g(x,y,z)dy + ∫_C h(x,y,z)dz Exemplo. Seja C o arco circular dado por x = 2 cos(t), y = 2 sen(t), 0 ≤ t ≤ π. Calcule ∫_C -y dx + x dy: ∫_0^π [-2 sen(t)] ⋅ (-2 sen(t)) + 2 cos(t) ⋅ 2 cos(t) dt = ∫_0^π 4(sen^2 t + cos^2 t) dt = ∫_0^π 4 dt = 4t |_0^π = 4π. Seja C uma curva orientada r(t) = x(t)i + y(t)j, a ≤ t ≤ b e um campo de vetores F(x,y) = f(x,y)i + g(x,y)j, f, g: R^2 → R. r'(t) = x'(t) i + y'(t) j , F(r(t)) = f(x(t),y(t)) i + g(x(t),y(t)) j ∫_C f(x,y) dx + g(x,y) dy = ∫_a^b [f(x(t),y(t)) x'(t) + g(x(t),y(t)) y'(t)] dt = ∫_a^b F(r(t)) ⋅ r'(t) dt Tornando a expressão mais compacta: dr = dx i + dy j \int_C F \cdot dr = \int_C(f(x,y) i + g(x,y) j) \cdot (dx i + dy j) = \int_C f(x,y) dx + g(x,y) dy = \int_a^b F(r(t)) \cdot r'(t) dt e expressões análogas em \mathbb{R}^3. Exemplo. Seja C o arco circular de (2,0) até (0,2) percorrido no sentido anti-horário. Calcule \int_C \frac{x}{3} dx + \frac{y}{2} dy: F(x,y) = \frac{x}{3} i + \frac{y}{2} j \int_0^{\pi/2} F(r(t)) \cdot r'(t) dt = = \int_0^{\pi/2} \left( -\frac{4}{3} \sen(t) \cos(t) + 2 \sen(t) \cos(t) \right) dt = \int_0^{\pi/2} \sen(t) \cos(t) \left(\frac{2}{3}\right) dt = \frac{2}{3} \int_0^{\pi/2} \sen t \cos t dt = \frac{1}{3} \sen^2(t) \Big|_0^{\pi/2} = \frac{1}{3} Definição. Se F for um campo vetorial contínuo e C uma curva lisa orientada, então a integral de linha de F ao longo de C é \int_C F \cdot dr, essa integral é chamada de trabalho realizado pelo campo de forças F. Uma curva C como a da figura a seguir é chamada curva lisa por partes ligando P a Q. O trabalho realizado por um campo de forças F ao longo de C pode ser calculado ∫_C F⋅dr = ∫_C1 F⋅dr + ∫_C2 F⋅dr + ∫_C3 F⋅dr Exemplo. Seja C a concatenação das curvas C1 e C2 da figura, no sentido anti-horário. Calcule ∫_C xy dx + x^2 dy : ∫_0^1 (t^3 + 2t^3) dt = ∫_0^1 3t^3 dt = 3t^4/4 |_0^1 = 3/4 ∫_0^1 (4-t)(1-t) + (1-t)^2(1-1) dt = ∫_0^1 1 - 2(1-t)^2 dt = ∫_0^1 -2(1-2t+t^2) dt = ∫_0^1 - 2t + 4t^2/2 - 2t^3/3 |_0^1 = -2/3 ∫_C xy dx + x^2 dy = 3/4 - 2/3 = 1/12