Slide - Integração em Coordenadas Esféricas - 2023-2

Integra¸c˜ao em Coordenadas Esf´ericas e Aplica¸c˜oes Leonardo Prange Bonorino Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Matem´atica Pura e Aplicada - IME (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 1 Motiva¸c˜ao e defini¸c˜ao da integral tripla Aplica¸c˜ao 1: c´alculo da massa de um corpo Digamos que seja necess´ario calcular a massa de um corpo que ocupa uma regi˜ao G do espa¸co. Suponhamos que a densidade em cada ponto do corpo seja conhecida e ´e dada pela fun¸c˜ao δ(P) = densidade no ponto P, onde P ∈ G. Como podemos calcular a sua massa a partir da densidade? A ideia ´e dividir a regi˜ao em muitos pedacinhos, que vamos chamar de Gi, e calcular o valor aproximado da massa de cada um deles. Gi G Os pedacinhos n˜ao precisam ser retangulares. Em geral, a forma dos pedacinhos considerados depende do sistema de coordenadas, podendo ser diferentes entre si. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 2 Motiva¸c˜ao e defini¸c˜ao da integral tripla Aplica¸c˜ao 1: c´alculo da massa de um corpo Digamos que seja necess´ario calcular a massa de um corpo que ocupa uma regi˜ao G do espa¸co. Suponhamos que a densidade em cada ponto do corpo seja conhecida e ´e dada pela fun¸c˜ao δ(P) = densidade no ponto P, onde P ∈ G. Como podemos calcular a sua massa a partir da densidade? A ideia ´e dividir a regi˜ao em muitos pedacinhos, que vamos chamar de Gi, e calcular o valor aproximado da massa de cada um deles. Gi G Os pedacinhos n˜ao precisam ser retangulares. Em geral, a forma dos pedacinhos considerados depende do sistema de coordenadas, podendo ser diferentes entre si. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 2 Motiva¸c˜ao e defini¸c˜ao da integral tripla Aplica¸c˜ao 1: c´alculo da massa de um corpo Digamos que seja necess´ario calcular a massa de um corpo que ocupa uma regi˜ao G do espa¸co. Suponhamos que a densidade em cada ponto do corpo seja conhecida e ´e dada pela fun¸c˜ao δ(P) = densidade no ponto P, onde P ∈ G. Como podemos calcular a sua massa a partir da densidade? A ideia ´e dividir a regi˜ao em muitos pedacinhos, que vamos chamar de Gi, e calcular o valor aproximado da massa de cada um deles. Gi G Os pedacinhos n˜ao precisam ser retangulares. Em geral, a forma dos pedacinhos considerados depende do sistema de coordenadas, podendo ser diferentes entre si. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 2 Motiva¸c˜ao e defini¸c˜ao da integral tripla Aplica¸c˜ao 1: c´alculo da massa de um corpo Digamos que seja necess´ario calcular a massa de um corpo que ocupa uma regi˜ao G do espa¸co. Suponhamos que a densidade em cada ponto do corpo seja conhecida e ´e dada pela fun¸c˜ao δ(P) = densidade no ponto P, onde P ∈ G. Como podemos calcular a sua massa a partir da densidade? A ideia ´e dividir a regi˜ao em muitos pedacinhos, que vamos chamar de Gi, e calcular o valor aproximado da massa de cada um deles. Gi G Os pedacinhos n˜ao precisam ser retangulares. Em geral, a forma dos pedacinhos considerados depende do sistema de coordenadas, podendo ser diferentes entre si. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 2 Aplicacao 1: calculo da massa de um corpo - continuacao Supondo que a densidade seja proxima a uma constante em G; caso ele seja muito pequeno, entdo P m; 6(Pi) y Vv. > mm ~ 6(Pi) Vi, G; T onde P; € um ponto qualquer de G;, V; 6 o volume de G; e m; é a massa da porcdo que a ocupa G;. bem os 7 ° e a a = = =z ac Coordenadas Esféricas 3 Aplicacao 1: calculo da massa de um corpo - continuacao Supondo que a densidade seja proxima a uma constante em G; caso ele seja muito pequeno, entdo P m; 6(Pi) R Vv. > m+ 6(Pi) Vi, G; T onde P; € um ponto qualquer de G;, V; 6 o volume de G; e m; é a massa da porcdo que a ocupa G;. aa Logo, somando as massas de todas as regides G/s, temos a massa M do corpo: .¢ M=Som~ 50 5(Pi)Vi. i i a a = = =z ac Coordenadas Esféricas 3 Aplicacao 1: calculo da massa de um corpo - continuacao Supondo que a densidade seja proxima a uma constante em G; caso ele seja muito pequeno, entao P m; (PI)* T= im © O(Pi)Vi, G; I onde P; 6 um ponto qualquer de G;, V; 6 o volume de G; e m; 6 a massa da porcao que . e ocupa Gj. aa Logo, somando as massas de todas as regides G/s, temos a massa M do corpo: .¢ M=S > mx >_6(Pi)Vi. i i Quanto mais dividirmos a regido G, diminuindo o “tamanho"dos G/s, melhor sera a aproxima¢ao para a massa. Isto é M= lim 0(Pi) Vi “Tamanho dos gjet-s0 ( i) ' Aplicacao 1: calculo da massa de um corpo - continuacao Supondo que a densidade seja proxima a uma constante em G; caso ele seja muito pequeno, entao P m; 6(P;) y Vv. > mm ~ 6(Pi) Vi, G; I onde P; 6 um ponto qualquer de G;, V; 6 o volume de G; e m; 6 a massa da porcao que . e ocupa Gj. wos Logo, somando as massas de todas as regides G/s, temos a massa M do corpo: .¢ M=S > mx >_6(Pi)Vi. i i Quanto mais dividirmos a regido G, diminuindo o “tamanho"dos G/s, melhor sera a aproxima¢ao para a massa. Isto é M= lim 0(Pi) Vi “Tamanho dos gjet-s0 ( i) ' Como este limite é, POR DEFINICAO, a Integral Tripla da Fun¢ao 6 em G, concluimos | jy — II édV. que a massa do corpo € a integral tripla em G da sua fun¢ao densidade: G Aplicacgao 2: calculo do volume de uma regiao Se um corpo ocupa uma regido G do espaco e tem densidade 6 constante igual a 1 em todos os pontos de G, entado . massa do corpo massa do corpo 1 = densidade = —H-—___ = ——_—___., volume do corpo volume de G o a = = =z DNAS Coordenadas Esféricas 4 Aplicacgao 2: calculo do volume de uma regiao Se um corpo ocupa uma regido G do espaco e tem densidade 6 constante igual a 1 em todos os pontos de G, entado . massa do corpo massa do corpo 1 = densidade = —H-—___ = ——_—___., volume do corpo volume de G Portanto, a menos de unidades, volume de G = massa do corpo. a a = = =z DNAS Coordenadas Esféricas 4 Aplicacgao 2: calculo do volume de uma regiao Se um corpo ocupa uma regiao G do espaco e tem densidade 6 constante igual a 1 em todos os pontos de G, entao . massa do corpo massa do corpo 1 = densidade = 2. = ——_—_—.. volume do corpo volume de G Portanto, a menos de unidades, volume de G = massa do corpo. Pela Aplicagao 1, sabemos que a massa do corpo pode ser obtida calculando-se a integral tripla da sua funcao densidade. Assim, Coordenadas Esféricas 4 Aplicacgao 2: calculo do volume de uma regiao Se um corpo ocupa uma regiao G do espaco e tem densidade 6 constante igual a 1 em todos os pontos de G, entado . massa do corpo massa do corpo 1 = densidade = 2. = ——_—_—.. volume do corpo volume de G Portanto, a menos de unidades, volume de G = massa do corpo. Pela Aplicagao 1, sabemos que a massa do corpo pode ser obtida calculando-se a integral tripla da sua funcao densidade. Assim, vol. de G=massa= ff 5av= [// ldv .. vol. de 6 = | /f 1 dv. G G G Coordenadas Esféricas 4 Elemento de volume O elemento de volume em coordenadas esf´ericas Considere uma pequena regi˜ao Gi, descrita por Gi :      θ1 ≤ θ ≤ θ2 φ1 ≤ φ ≤ φ2 ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2. Esta regi˜ao est´a representada graficamente na figura ao lado. (A constru¸c˜ao de sua representa¸c˜ao gr´afica est´a no Apˆendice 1.) Vamos representar as varia¸c˜oes de θ, φ e ρ por dθ = ∆θ = θ2 − θ1 dφ = ∆φ = φ2 − φ1 dρ = ∆ρ = ρ2 − ρ1 C´ırculo azul: pontos onde ρ = ρ2 e φ = φ1 Semi-c´ırculo vermelho: ρ = ρ2 e θ = θ1 Segmento de reta verde: θ = θ1 e φ = φ1 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 5 Elemento de volume O elemento de volume em coordenadas esf´ericas Considere uma pequena regi˜ao Gi, descrita por Gi :      θ1 ≤ θ ≤ θ2 φ1 ≤ φ ≤ φ2 ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2. Esta regi˜ao est´a representada graficamente na figura ao lado. (A constru¸c˜ao de sua representa¸c˜ao gr´afica est´a no Apˆendice 1.) Vamos representar as varia¸c˜oes de θ, φ e ρ por dθ = ∆θ = θ2 − θ1 dφ = ∆φ = φ2 − φ1 dρ = ∆ρ = ρ2 − ρ1 C´ırculo azul: pontos onde ρ = ρ2 e φ = φ1 Semi-c´ırculo vermelho: ρ = ρ2 e θ = θ1 Segmento de reta verde: θ = θ1 e φ = φ1 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 5 Elemento de volume O elemento de volume em coordenadas esf´ericas Considere uma pequena regi˜ao Gi, descrita por Gi :      θ1 ≤ θ ≤ θ2 φ1 ≤ φ ≤ φ2 ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2. Esta regi˜ao est´a representada graficamente na figura ao lado. (A constru¸c˜ao de sua representa¸c˜ao gr´afica est´a no Apˆendice 1.) Vamos representar as varia¸c˜oes de θ, φ e ρ por dθ = ∆θ = θ2 − θ1 dφ = ∆φ = φ2 − φ1 dρ = ∆ρ = ρ2 − ρ1 C´ırculo azul: pontos onde ρ = ρ2 e φ = φ1 Semi-c´ırculo vermelho: ρ = ρ2 e θ = θ1 Segmento de reta verde: θ = θ1 e φ = φ1 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 5 Elemento de volume O elemento de volume em coordenadas esf´ericas - continua¸c˜ao Note que Gi ´e quase uma caixa retangular, quando dθ, dφ e dρ s˜ao pequenos. Logo o seu volume ´e aproximadamente o produto do compri- mentos dos seus “lados”. O comprimento do “lado”azul ´e rdθ, j´a que ele ´e o arco do c´ırculo azul de raio r associado ao ˆangulo dθ = θ2 − θ1. O “lado”vermelho tem comprimento ρ2dφ, visto que ele ´e o arco do c´ırculo vermelho de raio ρ2 e ˆangulo dφ. O lado verde mede ρ2 − ρ1, logo o seu comprimento ´e dρ. Logo, como r = ρ2 sen φ1, o volume de Gi ´e aproximadamente dVi ≈ (rdθ)(ρ2dφ)(dρ) = (ρ2 sen φ1)ρ2 dθ dφ dρ ∴ dVi ≈ ρ2 sen φ dθ dφ dρ r.dθ θ1 x y r ρ2.dφ φ1 z ρ2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 6 Elemento de volume O elemento de volume em coordenadas esf´ericas - continua¸c˜ao Note que Gi ´e quase uma caixa retangular, quando dθ, dφ e dρ s˜ao pequenos. Logo o seu volume ´e aproximadamente o produto do compri- mentos dos seus “lados”. O comprimento do “lado”azul ´e rdθ, j´a que ele ´e o arco do c´ırculo azul de raio r associado ao ˆangulo dθ = θ2 − θ1. O “lado”vermelho tem comprimento ρ2dφ, visto que ele ´e o arco do c´ırculo vermelho de raio ρ2 e ˆangulo dφ. O lado verde mede ρ2 − ρ1, logo o seu comprimento ´e dρ. Logo, como r = ρ2 sen φ1, o volume de Gi ´e aproximadamente dVi ≈ (rdθ)(ρ2dφ)(dρ) = (ρ2 sen φ1)ρ2 dθ dφ dρ ∴ dVi ≈ ρ2 sen φ dθ dφ dρ r.dθ θ1 x y r ρ2.dφ φ1 z ρ2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 6 Elemento de volume O elemento de volume em coordenadas esf´ericas - continua¸c˜ao Note que Gi ´e quase uma caixa retangular, quando dθ, dφ e dρ s˜ao pequenos. Logo o seu volume ´e aproximadamente o produto do compri- mentos dos seus “lados”. O comprimento do “lado”azul ´e rdθ, j´a que ele ´e o arco do c´ırculo azul de raio r associado ao ˆangulo dθ = θ2 − θ1. O “lado”vermelho tem comprimento ρ2dφ, visto que ele ´e o arco do c´ırculo vermelho de raio ρ2 e ˆangulo dφ. O lado verde mede ρ2 − ρ1, logo o seu comprimento ´e dρ. Logo, como r = ρ2 sen φ1, o volume de Gi ´e aproximadamente dVi ≈ (rdθ)(ρ2dφ)(dρ) = (ρ2 sen φ1)ρ2 dθ dφ dρ ∴ dVi ≈ ρ2 sen φ dθ dφ dρ r.dθ θ1 x y r ρ2.dφ φ1 z ρ2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 6 Elemento de volume O elemento de volume em coordenadas esf´ericas - continua¸c˜ao Note que Gi ´e quase uma caixa retangular, quando dθ, dφ e dρ s˜ao pequenos. Logo o seu volume ´e aproximadamente o produto do compri- mentos dos seus “lados”. O comprimento do “lado”azul ´e rdθ, j´a que ele ´e o arco do c´ırculo azul de raio r associado ao ˆangulo dθ = θ2 − θ1. O “lado”vermelho tem comprimento ρ2dφ, visto que ele ´e o arco do c´ırculo vermelho de raio ρ2 e ˆangulo dφ. O lado verde mede ρ2 − ρ1, logo o seu comprimento ´e dρ. Logo, como r = ρ2 sen φ1, o volume de Gi ´e aproximadamente dVi ≈ (rdθ)(ρ2dφ)(dρ) = (ρ2 sen φ1)ρ2 dθ dφ dρ ∴ dVi ≈ ρ2 sen φ dθ dφ dρ r.dθ θ1 x y r ρ2.dφ φ1 z ρ2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 6 Elemento de volume O elemento de volume em coordenadas esf´ericas - continua¸c˜ao Note que Gi ´e quase uma caixa retangular, quando dθ, dφ e dρ s˜ao pequenos. Logo o seu volume ´e aproximadamente o produto do compri- mentos dos seus “lados”. O comprimento do “lado”azul ´e rdθ, j´a que ele ´e o arco do c´ırculo azul de raio r associado ao ˆangulo dθ = θ2 − θ1. O “lado”vermelho tem comprimento ρ2dφ, visto que ele ´e o arco do c´ırculo vermelho de raio ρ2 e ˆangulo dφ. O lado verde mede ρ2 − ρ1, logo o seu comprimento ´e dρ. Logo, como r = ρ2 sen φ1, o volume de Gi ´e aproximadamente dVi ≈ (rdθ)(ρ2dφ)(dρ) = (ρ2 sen φ1)ρ2 dθ dφ dρ ∴ dVi ≈ ρ2 sen φ dθ dφ dρ r.dθ θ1 x y r ρ2.dφ φ1 z ρ2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 6 Elemento de volume O elemento de volume em coordenadas esf´ericas - continua¸c˜ao Note que Gi ´e quase uma caixa retangular, quando dθ, dφ e dρ s˜ao pequenos. Logo o seu volume ´e aproximadamente o produto do compri- mentos dos seus “lados”. O comprimento do “lado”azul ´e rdθ, j´a que ele ´e o arco do c´ırculo azul de raio r associado ao ˆangulo dθ = θ2 − θ1. O “lado”vermelho tem comprimento ρ2dφ, visto que ele ´e o arco do c´ırculo vermelho de raio ρ2 e ˆangulo dφ. O lado verde mede ρ2 − ρ1, logo o seu comprimento ´e dρ. Logo, como r = ρ2 sen φ1, o volume de Gi ´e aproximadamente dVi ≈ (rdθ)(ρ2dφ)(dρ) = (ρ2 sen φ1)ρ2 dθ dφ dρ ∴ dVi ≈ ρ2 sen φ dθ dφ dρ r.dθ θ1 x y r ρ2.dφ φ1 z ρ2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 6 ee Teorema: integracao em coordenadas esféricas Considere uma funcao continua f definida numa regiao sdlida G descrita por 1. < 86 < G: o1(0) < 6 < o2(A) pi(8, ¢) < P < p2(9, >), onde ¢1(8) e ¢2(@) sdo funcgdes de 6 e pi(0, ¢) € p2(9, d) sdo funcdes de Oe ¢. Entao a integral tripla de f em G pode ser calculada usando integrais iteradas em coordenadas esféricas: a a = = =z DNAS Coordenadas Esféricas 7 ne Teorema: integracao em coordenadas esféricas Considere uma funcao continua f definida numa regiao sdlida G descrita por 1. < 86 < G: (9) < 6 < ¢2(4) pr(9, ?) < p < p2(9, >), onde ¢1(9) e 2(@) sao funcdes de 0 € pi1(6, d) € p2(8, &) sdo funcdes de 0 e ¢. Entao a integral tripla de f em G pode ser calculada usando integrais iteradas em coordenadas esféricas: 02 rh2(9) p2(9,4) IT fdV = | / / f(p,0,) p? sen(@) dp d¢ dé. G A Sd1(0) /p1(9,) Coordenadas Esféricas 7 Exemplo 1: o volume da bola Calcule o volume da bola G centrada na origem de raio R. o a = = =z DAG Coordenadas Esféricas 8 Exemplo 1: o volume da bola Calcule o volume da bola G centrada na origem de raio R. Solu¢do: De acordo com a Aplicagao 2, o volume de uma regido pode ser calculada por V = JI ldv. —_—_ G Oo «@ = = = Hac Coordenadas Esféricas 8 Exemplo 1: o volume da bola Calcule o volume da bola G centrada na origem de raio R. Solucdo: De acordo com a Aplicacao 2, o volume de uma regido pode ser calculada por V = JI ldv. —_ G Lembremos que a bola centrada na origem de raio R € 0 conjunto de todos os pontos que estao a uma distancia da origem menor ou igual a R. Ou seja, 0 < p< R. Logo 0 < 06 < 27 G: 0 < ¢ < 0 < p< PR. a a = = = Hac Coordenadas Esféricas 8 Exemplo 1: o volume da bola Calcule o volume da bola G centrada na origem de raio R. Solucao: De acordo com a Aplicacao 2, o volume de uma regido pode ser calculada por V = JI ldv. —__ G Lembremos que a bola centrada na origem de raio R é 0 conjunto de todos os pontos que estao a uma distancia da origem menor ou igual a R. Ou seja, 0 < p< R. Logo 0 < 06 < 2n G: 0 < ¢@ < @& 0< p<R. Portanto, pelo teorema de integra¢ao em coordenadas esféricas, 2Qrp7 rR V= /I/ ldv -|[ I 1.p’ sen(¢)dpd¢ do = G o JoJo Exemplo 1: o volume da bola Calcule o volume da bola G centrada na origem de raio R. Solucao: De acordo com a Aplicacao 2, o volume de uma regido pode ser calculada por V = JI ldv. —__ G Lembremos que a bola centrada na origem de raio R é 0 conjunto de todos os pontos que estao a uma distancia da origem menor ou igual a R. Ou seja, 0 < p< R. Logo 0 < 06 < 2n G: 0 < ¢@ < @& 0< p<R. Portanto, pelo teorema de integra¢ao em coordenadas esféricas, 2Qrp7 rR 2r pT p> p=R R? 20 pT v= /// dv = | I 1.p’ sen(¢)dpd¢ do = II sen(¢) ql doe == ff sen(¢)d¢ dé G o JoJo 0 Jo 3 | <0 3 Jo Jo Exemplo 1: o volume da bola Calcule o volume da bola G centrada na origem de raio R. Solucao: De acordo com a Aplicacao 2, o volume de uma regido pode ser calculada por V = JI ldv. —__ G Lembremos que a bola centrada na origem de raio R é 0 conjunto de todos os pontos que estao a uma distancia da origem menor ou igual a R. Ou seja, 0 < p< R. Logo 0 < 06 < 2n G: 0 < ¢@ < @& 0< p<R. Portanto, pelo teorema de integra¢ao em coordenadas esféricas, 2Qrp7 rR 2r pT p> p=R R? 20 pT v= /// dv = | I 1.p’ sen(¢)dpd¢ do = II sen(¢) ql doe == ff sen(¢)d¢ dé G o JoJo 0 Jo 3 | <0 3 Jo Jo 3 Qn o=r 3 Qn = [ Ccos(o))| do = </ 2d0 = 3 Jo $=0 3 Jo Exemplo 1: o volume da bola Calcule o volume da bola G centrada na origem de raio R. Solucao: De acordo com a Aplicacao 2, o volume de uma regido pode ser calculada por V = JI ldv. —__ G Lembremos que a bola centrada na origem de raio R é 0 conjunto de todos os pontos que estao a uma distancia da origem menor ou igual a R. Ou seja, 0 < p< R. Logo 0 < 06 < 2n G: 0 < ¢@ < @& 0< p<R. Portanto, pelo teorema de integra¢ao em coordenadas esféricas, 2Qrp7 rR 2r pT p> p=R R? 20 pT v= /// dv = | I 1.p’ sen(¢)dpd¢ do = II sen(¢) ql doe == ff sen(¢)d¢ dé G o JoJo 0 Jo 3 | <0 3 Jo Jo 3 Qa o=r 3 2a 3 0=27 3 3 = © [ -cos(0)) do= = [ 240-20) _ aR fy a ak 3 Jo $=0 3 Jo 3 6=0 3 3 Exemplo 2: a massa numa coroa esférica Calcule a massa de um corpo que ocupa a regido G limitada entre duas esferas de raios 2 e 5, centradas na origem, sabendo-se que a densidade 6 em cada ponto é igual ao quadrado da distancia deste ponto até a origem. (A regido limitada entre duas esferas concéntricas, de raios diferentes, é chamada de coroa esférica. ) o> «a = = = Nac Coordenadas Esféricas 9 Exemplo 2: a massa numa coroa esférica Calcule a massa de um corpo que ocupa a regiado G limitada entre duas esferas de raios 2 e 5, centradas na origem, sabendo-se que a densidade 6 em cada ponto é igual ao quadrado da distancia deste ponto até a origem. (A regido limitada entre duas esferas concéntricas, de raios diferentes, é chamada de coroa esférica. ) Solucao: Pela Aplicacao 1, a massa de um corpo pode ser calculada por M = JI ddV. G Coordenadas Esféricas 9 Exemplo 2: a massa numa coroa esférica Calcule a massa de um corpo que ocupa a regiado G limitada entre duas esferas de raios 2 e 5, centradas na origem, sabendo-se que a densidade 6 em cada ponto é igual ao quadrado da distancia deste ponto até a origem. (A regido limitada entre duas esferas concéntricas, de raios diferentes, 6 chamada de coroa esférica.) Solucao: Pela Aplicacao 1, a massa de um corpo pode ser calculada por M = JI ddV. G e Como a densidade é 0 quadrado da distancia de um ponto até a origem, entao 6 = p’. Exemplo 2: a massa numa coroa esférica Calcule a massa de um corpo que ocupa a regiado G limitada entre duas esferas de raios 2 e 5, centradas na origem, sabendo-se que a densidade 6 em cada ponto é igual ao quadrado da distancia deste ponto até a origem. (A regido limitada entre duas esferas concéntricas, de raios diferentes, 6 chamada de coroa esférica.) Solucao: Pela Aplicacao 1, a massa de um corpo pode ser calculada por M = JI ddV. G e Como a densidade é 0 quadrado da distancia de um ponto até a origem, entao 6 = p’. e Os pontos de G tem uma distancia até a origem que varia entre 2 e 5, ja que G esta limitada pelas esferas de raios 2 e 5, centradas na origem. Logo 2<p<ss Exemplo 2: a massa numa coroa esférica Calcule a massa de um corpo que ocupa a regiado G limitada entre duas esferas de raios 2 e 5, centradas na origem, sabendo-se que a densidade 6 em cada ponto é igual ao quadrado da distancia deste ponto até a origem. (A regido limitada entre duas esferas concéntricas, de raios diferentes, 6 chamada de coroa esférica.) Solucao: Pela Aplicacao 1, a massa de um corpo pode ser calculada por M = JI ddV. G e Como a densidade é 0 quadrado da distancia de um ponto até a origem, entao 6 = p’. e Os pontos de G tem uma distancia até a origem que varia entre 2 e 5, ja que G esta limitada pelas esferas de raios 2 e 5, centradas na origem. Logo 2<p<s5 e Nao hd restri¢des sobre ¢ e 6. O fato de um ponto estar ou ndo em G sé depende do seu p. Logo 0<0<2n e 0<¢<z. Exemplo 2: a massa numa coroa esférica - continuacao Logo, pelo teorema de integragdo em coordenadas esféricas, m= |[f sav - G o> «8 => «Er = DQG Coordenadas Esféricas 10 Exemplo 2: a massa numa coroa esférica - continuacao Logo, pelo teorema de integragdo em coordenadas esféricas, 2a wT 5 Qn wT 5 M= II 5dV = / / | p .p sen(¢)dpd¢ dd -[ / | p' sen(¢)dp do do G 0 Jo J2 0 Jo J2 o> «8 = = = a0 Coordenadas Esféricas 10 Exemplo 2: a massa numa coroa esférica - continuacao Logo, pelo teorema de integragdo em coordenadas esféricas, 2a wT 5 Qn wT 5 m= |/f 5dV = / / | pp sen(3)dpdodo = | / | p' sen(¢)dp do do G o Jo J2 0 Jo J2 Qn pm p p=5 5° 2 2r pT -[ | sen(?) ql dpdd= = ff sen(¢)d¢ d0 0 Jo 5 | pa 5 o Jo o> «8 = = = a0 Coordenadas Esféricas 10 Exemplo 2: a massa numa coroa esférica - continuacao Logo, pelo teorema de integracdo em coordenadas esféricas, Qn wT 5 21 T 5 M= II 5dV = / / | p .p sen(¢)dpd¢ dd -[ / | p' sen(¢)dp do do G o Jo J2 0 Jo J2 Qn pm p p=5 5° 2 2r pT -[ | sen(?) ql do dé = = ff sen(¢)d¢ d0 o Jo 5 | ,=2 5 o Jo _ 3093 [c cos( op" go — 303 [? do = ~ 5 0 o=0 ~ 5 0 ~ Oo «@ = = = Hac Coordenadas Esféricas 10 Exemplo 2: a massa numa coroa esférica - continuacao Logo, pelo teorema de integracdo em coordenadas esféricas, Qn wT 5 21 T 5 m= |[fsav= [ / | p*.p*sen(d)dpdedd = | / | p' sen(¢)dp do do G 0 0 2 0 0 2 Qn pm p p=5 5° _ 25 2r pT -[ | sen(?) ql do dé = = ff sen(¢)d¢ d0 o Jo 5 p=2 5 o Jo 3093?" oan 3093?" 3093 0=2" 123727 ==” [(R- do = —— 240 = = (26)| = 5 [i cos())| 5 [ 5 Mg 5 o a = = =z DNAS Coordenadas Esféricas 10 Exemplo 2: a massa numa coroa esférica - continuacao Logo, pelo teorema de integracdo em coordenadas esféricas, Qn wT 5 21 T 5 M= II 5dV = / / | p .p sen(¢)dpd¢ dd -[ / | p' sen()dp do dé G o Jo J2 0 Jo J2 Qn pm p p=5 5° _ 25 2r pT = sen(d) — d¢ dé = ——— sen(¢)d¢ d0 o Jo 5 | ,=2 5 o Jo 3093 7" oan 3093?" 3093 0=2" 123727 ==” [(R- do = —— 240 = = (26)| = 5 [i cos())| 5 [ 5 Mg 5 Portanto, a massa do corpo é a unidades de massa. Oo «@ = = = Hac Coordenadas Esféricas 10 Exemplo 3: o volume da “casquinha de sorvete” Calcule o volume do sélido G situado abaixo da esfera x*+-y?+z? = 4 e acima do cone z = av ty. — o a = = =z DAG Coordenadas Esféricas 11 Exemplo 3: o volume da “casquinha de sorvete” Calcule o volume do sélido G situado abaixo da esfera x*+-y?+z? = 4 e acima do cone z = ave + y?. Solucdo: Pela Aplicac3o 2, o volume de G é V = II 1ldVv. 7 OO G Oo a = = =z DAG Coordenadas Esféricas 11 Exemplo 3: o volume da “casquinha de sorvete” Calcule o volume do sélido G situado abaixo da esfera x*+-y?+z? = 4 e acima do cone z = ave + y?, Solucdo: Pela Aplicacdo 2, o volume de G é V = II ldV. 7 —_ G Precisamos descrever G em coordenadas esféricas: o> <g = = =z ac Coordenadas Esféricas uu Exemplo 3: o volume da “casquinha de sorvete” Calcule o volume do sélido G situado abaixo da esfera x*+-y?+z? = 4 e acima do cone z = ave + y?, Solucdo: Pela Aplicacdo 2, o volume de G é V = II ldV. — —_ G Precisamos descrever G em coordenadas esféricas: e Esfera: Y4+VtPa4aepPartyt+2=4>[p=2| o> <g = = = ac Coordenadas Esféricas 7A Exemplo 3: o volume da “casquinha de sorvete” Calcule o volume do solido G situado abaixo da esfera x*+y?+z? = 4 e acima do cone z = ave + y?, Solucdo: Pela Aplicacdo 2, o volume de G é V = II ldV. 7 —_ G Precisamos descrever G em coordenadas esféricas: e Esfera: P+ V4P ahs pPaxXr+y4+7?=4> |p =2] e Cone: Pela relacdo entre as coordenadas cartesianas e esféricas, z= pcosd Pela relacdo entre cartesianas e cilfndricas, cilindricas e esféricas, \/x?+y2=r=psend Oo «@ = = = Hac Coordenadas Esféricas ii Exemplo 3: o volume da “casquinha de sorvete” Calcule o volume do solido G situado abaixo da esfera x*+y?+z? = 4 e acima do cone z = ave + y?, Solucdo: Pela Aplicacdo 2, o volume de G é V = II ldV. — —_ G Precisamos descrever G em coordenadas esféricas: e Esfera: P+ V4P ahs pPaxXr+y4+7?=4> |p =2] e Cone: Pela relacdo entre as coordenadas cartesianas e esféricas, z= pcosd Pela relacdo entre cartesianas e cilfndricas, cilindricas e esféricas, \/x?+y2=r=psend Substituindo estas duas relagdes na equacdo do cone, temos 0 1 1 pF pcosd=z= —=V/x*+y?=-=psend => V3 V3 oy «gi = = = Hac Coordenadas Esféricas ii Exemplo 3: o volume da “casquinha de sorvete” Calcule o volume do solido G situado abaixo da esfera x*+y?+z? = 4 e acima do cone z = ave + y?, Solucdo: Pela Aplicacdo 2, o volume de G é V = II ldV. — —_ G Precisamos descrever G em coordenadas esféricas: e Esfera: P+ V4P ahs pPaxXr+y4+7?=4> |p =2] e Cone: Pela relacdo entre as coordenadas cartesianas e esféricas, z= pcosd Pela relacdo entre cartesianas e cilfndricas, cilindricas e esféricas, \/x?+y2=r=psend Substituindo estas duas relagdes na equacdo do cone, temos 0 1 1 pF 1 poosdé=z= —=V/xX*+y2=—=psend => cosd?=-—=send => v3 v3 v3 Oo «@ = = =z ac Coordenadas Esféricas ii Exemplo 3: o volume da “casquinha de sorvete” Calcule o volume do solido G situado abaixo da esfera x*+y?+z? = 4 e acima do cone z = ave + y?, Solucdo: Pela Aplicacdo 2, o volume de G é V = II ldV. — —_ G Precisamos descrever G em coordenadas esféricas: e Esfera: P+ V4P ahs pPaxXr+y4+7?=4> |p =2] e Cone: Pela relacdo entre as coordenadas cartesianas e esféricas, z= pcosd Pela relacdo entre cartesianas e cilfndricas, cilindricas e esféricas, \/x?+y2=r=psend Substituindo estas duas relagdes na equacdo do cone, temos 0 1 1 pF 1 © posed =z = —=/x?+y2=—=psend = cosd¢=—=send => tand=V3 => v3 v3 v3 3 Oo «@ = = =z ac Coordenadas Esféricas ii Exemplo 3: o volume da “casquinha de sorvete” - continua¢ao Logo o raio da esfera é 2 e a abertura do cone € 3 rad. As repectivas equa¢des zZ em esféricas sao x =2 e =: Po Po 3 él > \ / \ \b \ 2! r ‘ / \ / \ / Oo «@ = = = Hac Coordenadas Esféricas v Exemplo 3: o volume da “casquinha de sorvete” - continua¢ao Logo o raio da esfera é 2 e a abertura do cone € 3 rad. As repectivas equa¢des zZ em esféricas sao x =2 e =. Po Po 3 Se um ponto P(p, 0, ~) esta em G (regiao cinza), entao , \ I e 0 <p < 2, pois ele est4 na bola de raio 2. ! \b x I or ‘ | \ 7 \ 7 o> <g = = =z ac Coordenadas Esféricas 7B Exemplo 3: o volume da “casquinha de sorvete” - continua¢ao Logo o raio da esfera é 2 e a abertura do cone € 3 rad. As repectivas equa¢des zZ em esféricas sdo x =2 e =. Po Po 3 Se um ponto P(p, 0, ~) esta em G (regiao cinza), entao , \ I e 0 <p < 2, pois ele est4 na bola de raio 2. ! \b x I or ©0<¢< 7/3, pois ele esta acima do cone. \ /| ‘\ / o> <a = z =z ac Coordenadas Esféricas 7B Exemplo 3: o volume da “casquinha de sorvete” - continua¢ao Logo o raio da esfera é 2 e a abertura do cone € 3 rad. As repectivas equa¢des zZ em esféricas sao x =2 e =. Po Po 3 Se um ponto P(p, 0, ~) esta em G (regiao cinza), entao , \ I e 0 <p < 2, pois ele est4 na bola de raio 2. ! \b x I or ©0<¢< 7/3, pois ele esta acima do cone. \ /| \ 7 e©0<06 < 2n, j4 que G é uma regido de revolu¢ao completa. \ ua o> <a = = = ac Coordenadas Esféricas 6 Exemplo 3: o volume da “casquinha de sorvete” - continua¢ao Logo o raio da esfera é 2 e a abertura do cone € 3 rad. As repectivas equa¢des zZ em esféricas sao x =2 e =. Po Po 3 Se um ponto P(p, 0, ~) esta em G (regiao cinza), entao , \ I e 0 <p < 2, pois ele est4 na bola de raio 2. ! \b x or ©0<¢< 7/3, pois ele esta acima do cone. \ / 7 e©0<06 < 2n, j4 que G é uma regido de revolu¢ao completa. \ ua Reciprocamente, se as coordenadas de P satisfazem estas relacdes, entao PEG. oy «gi = = = Hac Coordenadas Esféricas v Exemplo 3: o volume da “casquinha de sorvete” - continua¢ao Logo o raio da esfera é 2 e a abertura do cone é 3 rad. As repectivas equacdes Z em esféricas sao x =2 e =. Po Po 3 Se um ponto P(p, 0, ~) esta em G (regiao cinza), entao ) \ I e 0 <p < 2, pois ele est4 na bola de raio 2. ! \b x I or ©0<¢< 7/3, pois ele esta acima do cone. \ /| 7 e©0<06 < 2n, j4 que G é uma regido de revolu¢ao completa. \ ua Reciprocamente, se as coordenadas de P satisfazem estas relacdes, entao PEG. | Logo Qn = 2 V= II ldv = / | | 1.p’ sen(¢)dp d¢ dé = G o Jo Jo o a = = =z ac Coordenadas Esféricas v Exemplo 3: o volume da “casquinha de sorvete” - continua¢ao Logo o raio da esfera é 2 e a abertura do cone é 3 rad. As repectivas equa¢oes z em esféricas sao x =2 e =-. Po Po 3 Se um ponto P(p, 0, ~) esta em G (regiao cinza), entao , \ I © 0 <p < 2, pois ele esta na bola de raio 2. ! \b x oF © 0<¢< 7/3, pois ele est4 acima do cone. ‘\ /| \ / ©0<0< 2n, ja que G é uma regiao de revolu¢ao completa. ‘ a Reciprocamente, se as coordenadas de P satisfazem estas relacdes, entao PEG. fo Logo Qn pF p2 Qn pe p p=2 8 reer t V= JI ldv =| I] 1.p’ sen(¢)dp d¢ dé = / | sen(¢) ol dpdé = sf | sen(¢d)d¢ dé G o Jo Jo o Jo 3 | ,=0 3 Jo Jo Exemplo 3: o volume da “casquinha de sorvete” - continua¢ao Logo o raio da esfera é 2 e a abertura do cone é 3 rad. As repectivas equacdes z em esféricas sao x po = 2 e go = 3° Se um ponto P(p, 0, ~) esta em G (regiao cinza), entao , \ I © 0 <p < 2, pois ele esta na bola de raio 2. ! \b x oF © 0<¢< 7/3, pois ele est4 acima do cone. \ / \ / ©0<0< 2n, ja que G é uma regiao de revolu¢ao completa. ‘ a Reciprocamente, se as coordenadas de P satisfazem estas relacdes, entao PEG. fo Logo Qn pF p2 Qn pF o p=2 8 reer t V= JI ldv = / | | 1.p’ sen(¢)dp d¢ dé = / | sen(¢) ol dpdé = sf | sen(¢d)d¢ dé G o Jo Jo o Jo 3 | ,=0 3 Jo Jo 8 7" oF 8 (77 1 == — d@= = =dd= 5 [ Ceostonl 5 d0= 5 [5 Exemplo 3: o volume da “casquinha de sorvete” - continua¢ao Logo o raio da esfera é 2 e a abertura do cone é 3 rad. As repectivas equacdes z em esféricas sao x po = 2 e go = 3° Se um ponto P(p, 0, ~) esta em G (regiao cinza), entao , \ I © 0 <p < 2, pois ele esta na bola de raio 2. ! \b x oF © 0<¢< 7/3, pois ele est4 acima do cone. ‘\ /| \ / ©0<0< 2n, ja que G é uma regiao de revolu¢ao completa. ‘ a Reciprocamente, se as coordenadas de P satisfazem estas relacdes, entao PEG. a Logo Qn pF p2 Qn pF o p=2 8 reer t V= JI ldv = / | | 1.p’ sen(¢)dp d¢ dé = / | sen(¢) ol dpdé = sf | sen(¢d)d¢ dé G o Jo Jo o Jo 3 | ,=0 3 Jo Jo 8 7 o=5 8 ("1 8 (0) \9=2" Br 8 =-2/(- do—= =dg@—=(2 | -_2 lve ak cos())| a 2 3 (5) v0 8 Mudang¢a de coordenadas numa integral tripla Considere a seguinte integral tripla em coordenadas cartesianas: 2 pV4—x2 py/4—x2-y? i= | | | z\/ x? + y? dz dy dx. —2/0 0 (a) Transforme esta integral numa integral em coordenadas esféricas. (b) Calcule a integral /, usando a integral em coordenadas esféricas obtida em (a). oO} sr «Er cer = HAO CSREES 7 Mudanca de coordenadas numa integral tripla Considere a seguinte integral tripla em coordenadas cartesianas: 2 pV4—x2 py/4—x2-y? i= | | | z\/ x? + y? dz dy dx. —2/0 0 (a) Transforme esta integral numa integral em coordenadas esféricas. (b) Calcule a integral /, usando a integral em coordenadas esféricas obtida em (a). Solu¢do de (a): Verificar a variagdo de x, y e z: Vamos denotar esta regido por G. —2 < x < 2 G: 0 < y < V4—x? 0 < z< VW4-x?-y? O> «> «Er eBr = HAO CSREES 7 Mudanca de coordenadas numa integral tripla Considere a seguinte integral tripla em coordenadas cartesianas: 2 V4—x2 py/4—x?2-y?2 i= | [ | z\/ x2 + y? dz dy dx. —2/0 0 (a) Transforme esta integral numa integral em coordenadas esféricas. (b) Calcule a integral /, usando a integral em coordenadas esféricas obtida em (a). Solugao de (a): Visualizar a projecao de G sobre o plano xy: Verificar a variagao de x, y e z: Vamos denotar esta regido por G. —2 < x < 2 G: 0 < y < V4—x? 0 < z< V4-x?-y? Mudanca de coordenadas numa integral tripla Considere a seguinte integral tripla em coordenadas cartesianas: 2 V4—x2 py/4—x?2-y?2 i= | [ | z\/ x2 + y? dz dy dx. —2/0 0 (a) Transforme esta integral numa integral em coordenadas esféricas. (b) Calcule a integral /, usando a integral em coordenadas esféricas obtida em (a). Solugao de (a): Visualizar a projecao de G sobre o plano xy: Verificar a variagao de x, y e z: wx y Vamos denotar esta regido por G. y=Varw 2 y = V4—x? corres- ponde a parte superior 2 < < 2 =~ Ss dex? +y? =4. G: 0 < y < V4—x? 0 < z< V4-x?-y? a) 2 x Mudanga de coordenadas numa integral tripla - continua¢gao de (a) Esbogar o grafico do solido G: Z Note que z = \/4—x? -y2 > x* + y2+4+z7 =4ez > 0, que corresponde a parte superior da superficie da bola centrada na origem de raio 2. yo. , lie : { Xi Oo «@ = = = Hac Coordenadas Esféricas “ Mudanga de coordenadas numa integral tripla - continua¢gao de (a) Esbogar o grafico do solido G: Zz Note que z = \/4—x? -y2 > x* + y2+4+z7 =4ez > 0, que corresponde a parte superior da superficie da bola centrada na origem de raio 2. fo ® Como 0 < z < \/4— x? — y?, os pontos de G estdo situados entre o plano xy ah. (ou z = 0) ea metade superior da superficie da bola, como mostra a figura. 0 ih Se | C y Xx o> <g = = =z ac Coordenadas Esféricas “ Mudanga de coordenadas numa integral tripla - continua¢gao de (a) Esbogar o grafico do solido G: Zz Note que z = \/4—x? -y2 > x* + y2+4+z7 =4ez > 0, que corresponde a \ parte superior da superficie da bola centrada na origem de raio 2. oe Como 0 < z < ,/4— x2 — y2, os pontos de G estdo situados entre o plano xy Oy (ou z = 0) ea metade superior da superficie da bola, como mostra a figura. O ¥ : z ey ay S6 ficamos com a metade da semiesfera superior, pois a projecao no plano xy é <I y apenas um meio circulo, como vimos no 2° passo. (A semiesfera superior inteira, ~ quando projetada em xy, cobre o disco inteiro.) a a = = =z ac Coordenadas Esféricas is Mudanga de coordenadas numa integral tripla - continua¢gao de (a) Esbogar o grafico do solido G: Zz Note que z = \/4—x? -y2 > x* + y2+4+z7 =4ez > 0, que corresponde a \ parte superior da superficie da bola centrada na origem de raio 2. oe Como 0 < z < \/4— x? — y?, os pontos de G esto situados entre o plano xy Oy (ou z = 0) ea metade superior da superficie da bola, como mostra a figura. O ¥ i z ey ay S6 ficamos com a metade da semiesfera superior, pois a projecao no plano xy é <I 3 apenas um meio circulo, como vimos no 2° passo. (A semiesfera superior inteira, ” ~ quando projetada em xy, cobre o disco inteiro.) , Descricdo de G em coordenadas esféricas: o> «a = = =z ac Coordenadas Esféricas is Mudanga de coordenadas numa integral tripla - continua¢gao de (a) Esbogar o grafico do solido G: Zz Note que z = \/4—x? -y2 > x* + y2+4+z7 =4ez > 0, que corresponde a \ parte superior da superficie da bola centrada na origem de raio 2. oe Como 0 < z < \/4—x?— y?, os pontos de G esto situados entre o plano xy Oy (ou z = 0) ea metade superior da superficie da bola, como mostra a figura. w ¥ : ey x S6 ficamos com a metade da semiesfera superior, pois a projecao no plano xy é <I : apenas um meio circulo, como vimos no 2° passo. (A semiesfera superior inteira, ” ~ quando projetada em xy, cobre o disco inteiro.) , Descricdo de G em coordenadas esféricas: e Como G esta na bola, 0 < p< 2. o> <g = = =z ac Coordenadas Esféricas is Mudanga de coordenadas numa integral tripla - continua¢gao de (a) Esbogar o grafico do sdlido G: Note que z = \/4—x?-y2 > x? y? +2 =4ez>0, que corresponde a ik parte superior da superficie da bola centrada na origem de raio 2. Como 0 < z < \/4— x? — y?, os pontos de G estdo situados entre o plano xy | (ou z = 0) e a metade superior da superficie da bola, como mostra a figura. or z= PS es y S6 ficamos com a metade da semiesfera superior, pois a proje¢ao no plano xy é wend a) apenas um meio circulo, como vimos no 2° passo. (A semiesfera superior inteira, , SS . . . Qt quando projetada em xy, cobre o disco inteiro.) Descri¢do de G em coordenadas esféricas: e Como G esta na bola, 0 < p < 2. e Como os pontos de G est&o acima do plano xy, 0 < ¢< 7/2. Mudanga de coordenadas numa integral tripla - continua¢gao de (a) Esbogar o grafico do sdlido G: Note que z = \/4—x?-y2 > x? y? +2 =4ez>0, que corresponde a ik parte superior da superficie da bola centrada na origem de raio 2. Como 0 < z < \/4— x? — y?, os pontos de G estdo situados entre o plano xy | (ou z = 0) e a metade superior da superficie da bola, como mostra a figura. or z= je ¥ S6 ficamos com a metade da semiesfera superior, pois a proje¢ao no plano xy é wend a) apenas um meio circulo, como vimos no 2° passo. (A semiesfera superior inteira, , SS . . . Qt quando projetada em xy, cobre o disco inteiro.) Descri¢do de G em coordenadas esféricas: e Como G esta na bola, 0 < p < 2. e Como os pontos de G est&o acima do plano xy, 0 < ¢< 7/2. e Pela projecao de G em xy (2° passo), vemos que 0 <0 < 7. Mudanga de coordenadas numa integral tripla - continua¢gao de (a) Reciprocamente, se T O<p<2, OSeS5 e 0<0<n7, entéo um ponto com estas coordenadas esta na regido indicada pela pela figura anterior, que é G. Oo «@ = = = Hac Coordenadas Esféricas 15 Mudanga de coordenadas numa integral tripla - continua¢gao de (a) Reciprocamente, se O<p<2, 0<¢<5 ec O<0<n, entéo um ponto com estas coordenadas esta na regido indicada pela pela figura anterior, que é G. Logo a descri¢ao de G em esféricas é 0 < 6 < & G:40<¢< 4% 0 <p <2 Oo «@ = = = Hac Coordenadas Esféricas 5 Mudanga de coordenadas numa integral tripla - continua¢gao de (a) Reciprocamente, se O<p<2, 0<¢<5 ec O<0<n, entéo um ponto com estas coordenadas esta na regido indicada pela pela figura anterior, que é G. Logo a descri¢ao de G em esféricas é 0 < 6 < & G:40<¢< 4% 0 < ps 2 A integral em coordenadas esféricas: Oo «@ = = = Hac Coordenadas Esféricas 5 Mudanga de coordenadas numa integral tripla - continua¢gao de (a) Reciprocamente, se O<p<2, 0<¢<5 ec O<0<n, entéo um ponto com estas coordenadas esta na regido indicada pela pela figura anterior, que é G. Logo a descri¢ao de G em esféricas é 0 < 6 < & G:¢o0< $< 8 0 < p < 2 A integral em coordenadas esféricas: Pela rela¢do entre os sitemas de coordenadas ou pelo Exemplo 3, z = pcos(¢) e \/x2 + y? =r = psen(¢). o> «8 = = = Hac Coordenadas Esféricas 5 Mudanga de coordenadas numa integral tripla - continua¢gao de (a) Reciprocamente, se O<p<2, 0<¢<5 ec O<0<n, entéo um ponto com estas coordenadas esta na regido indicada pela pela figura anterior, que é G. Logo a descri¢ao de G em esféricas é 0 < @< @ G:io<¢< 4 0 < p < 2 A integral em coordenadas esféricas: Pela rela¢do entre os sitemas de coordenadas ou pelo Exemplo 3, z = pcos(¢) e \/x2 + y? =r = psen(¢). Assim, o integrando é z\/x? + y2 = pcos(¢)psen(¢) = p* cos(¢) sen(¢) e, portanto, Oo «@ = = = Hac Coordenadas Esféricas 5 Mudanga de coordenadas numa integral tripla - continua¢gao de (a) Reciprocamente, se O<p<2, 0<¢<5 ec O<0<n, entao um ponto com estas coordenadas esta na regiao indicada pela pela figura anterior, que é G. Logo a descri¢ao de G em esféricas é 0< 6< fr G:40<¢< 4% 0 <p <2 A integral em coordenadas esféricas: Pela rela¢do entre os sitemas de coordenadas ou pelo Exemplo 3, z = pcos(¢) e \/x2 + y? = r = psen(¢). Assim, o integrando é z\/x? + y? = pcos(¢)psen(¢) = p* cos(¢) sen(¢) e, portanto, "fz [? » 2 "zy 2 i= [ / / p’ cos(¢) sen(¢)p* sen(d) dp db dé = / / / p cos(¢) sen’(¢) dp d¢ dé 0 Jo Jo 0 Jo Jo Mudang¢a de coordenadas numa integral tripla - continuacao Solu¢do de (b): Pelo item (a), o a = = =z DAG Coordenadas Esféricas 16 Mudanca de coordenadas numa integral tripla - continuacao Solu¢do de (b): Pelo item (a), T S 2 i=[f p' cos(#) sen’(¢)dp db dd = o/0 JO a a = = =z DNAS Coordenadas Esféricas 16 a Mudanca de coordenadas numa integral tripla - continuacao Solu¢do de (b): Pelo item (a), al? 2 "(2 2 p |? 32 (7/2 > i=[f p cos(¢) sen*(¢)dp d¢ dé = If cos(¢) sen*(¢) — do dé = s/f cos(¢) sen*(¢)d¢ dé oJo Jo oJo 5 | p=0 5 JoJo O> «> «Er eBr = HAO Comrdensdae EXGiGSE re Mudanca de coordenadas numa integral tripla - continuacao Solu¢do de (b): Pelo item (a), al? 2 "(2 2 p ee 32 (7/2 > l= ITT p cos(¢) sen*(¢)dp d¢ dé = If cos(¢) sen*(¢) — do dé = s/f cos(¢) sen*(¢)d¢ dé o/o Jo oJo 5 | p=0 5 JoJo Fazendo a mudang¢a de varidvel u = sen(¢), temos du = cos(¢)d¢@ e a integral interna fica z ; z ; sen(E) yejul / cos() sen*(d)d¢ =| (sen(¢))cos(¢)d¢@ -/ u’du = <| ==. 0 0 sen(0) 3 lu=0 3 o> «a => <B> EB HA0 ETE 75 Mudanca de coordenadas numa integral tripla - continuacao Solu¢do de (b): Pelo item (a), al? 2 "(2 2 p |? 32 (7/2 > i=[f p cos(¢) sen*(¢)dp d¢ dé = If cos(¢) sen*(¢) — do dé = s/f cos(¢) sen*(¢)d¢ dé oJo Jo oJo 5 | p=0 5 JoJo Fazendo a mudang¢a de varidvel u = sen(¢), temos du = cos(¢)d¢@ e a integral interna fica z ; z ; sen(E) yejul / cos() sen*(d)d¢ =| (sen(¢))cos(¢)d¢@ -/ u’du = <| ==. 0 0 sen(0) 3 lu=0 3 Logo _ 32/778 _ 32 [71 yy _ 32 (8) Jor _ 320 I= > [ cos(#) sen’(d)d¢ d0 = > | 3d == ele == o> «a => <B> EB HA0 ETE 75 Mudanca de coordenadas numa integral tripla - continuacao Solu¢do de (b): Pelo item (a), al? 2 "(2 2 p |? 32 (7/2 > i=[f p cos(¢) sen*(¢)dp d¢ dé = If cos(¢) sen*(¢) — do dé = s/f cos(¢) sen*(¢)d¢ dé oJo Jo oJo 5 | p=0 5 JoJo Fazendo a mudang¢a de varidvel u = sen(¢), temos du = cos(¢)d¢@ e a integral interna fica z > z > send), wye=t / cos() sen*(d)d¢ =| (sen(¢))cos(¢)d¢@ -/ u’du = <| ==. 0 0 sen(0) 3 lu=0 3 Logo _ 32/778 _ 32 [71 yy _ 32 (8) Jor _ 320 I= > [ cos(#) sen’(d)d¢ d0 = > | 3d == ele == 327 - o> «a => <B> EB HA0 ETE 75 Apˆendice 1 Apˆendice 1 Gi :      θ1 ≤ θ ≤ θ2 φ1 ≤ φ ≤ φ2 ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2. Como φ1 ≤ φ ≤ φ2, qualquer ponto de Gi est´a na regi˜ao limitada supe- riormente pelo cone φ = φ1 e inferiormente pelo cone φ = φ2. J´a que θ1 ≤ θ ≤ θ2, qualquer ponto de Gi est´a entre o semi-plano θ = θ1 e o semi-plano θ = θ2. Visto que ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2, qualquer ponto de Gi est´a na regi˜ao limitada pela esfera ρ = ρ1 e pela esfera ρ = ρ2. Ou seja, Gi ´e o conjunto de pontos da regi˜ao limitada por estas 6 superf´ıcies (2 cones, 2 semi-planos e 2 esferas) como mostra a figura. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 17 Apˆendice 1 Apˆendice 1 Gi :      θ1 ≤ θ ≤ θ2 φ1 ≤ φ ≤ φ2 ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2. Como φ1 ≤ φ ≤ φ2, qualquer ponto de Gi est´a na regi˜ao limitada supe- riormente pelo cone φ = φ1 e inferiormente pelo cone φ = φ2. J´a que θ1 ≤ θ ≤ θ2, qualquer ponto de Gi est´a entre o semi-plano θ = θ1 e o semi-plano θ = θ2. Visto que ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2, qualquer ponto de Gi est´a na regi˜ao limitada pela esfera ρ = ρ1 e pela esfera ρ = ρ2. Ou seja, Gi ´e o conjunto de pontos da regi˜ao limitada por estas 6 superf´ıcies (2 cones, 2 semi-planos e 2 esferas) como mostra a figura. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 17 Apˆendice 1 Apˆendice 1 Gi :      θ1 ≤ θ ≤ θ2 φ1 ≤ φ ≤ φ2 ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2. Como φ1 ≤ φ ≤ φ2, qualquer ponto de Gi est´a na regi˜ao limitada supe- riormente pelo cone φ = φ1 e inferiormente pelo cone φ = φ2. J´a que θ1 ≤ θ ≤ θ2, qualquer ponto de Gi est´a entre o semi-plano θ = θ1 e o semi-plano θ = θ2. Visto que ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2, qualquer ponto de Gi est´a na regi˜ao limitada pela esfera ρ = ρ1 e pela esfera ρ = ρ2. Ou seja, Gi ´e o conjunto de pontos da regi˜ao limitada por estas 6 superf´ıcies (2 cones, 2 semi-planos e 2 esferas) como mostra a figura. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 17 Apˆendice 1 Apˆendice 1 Gi :      θ1 ≤ θ ≤ θ2 φ1 ≤ φ ≤ φ2 ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2. Como φ1 ≤ φ ≤ φ2, qualquer ponto de Gi est´a na regi˜ao limitada supe- riormente pelo cone φ = φ1 e inferiormente pelo cone φ = φ2. J´a que θ1 ≤ θ ≤ θ2, qualquer ponto de Gi est´a entre o semi-plano θ = θ1 e o semi-plano θ = θ2. Visto que ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2, qualquer ponto de Gi est´a na regi˜ao limitada pela esfera ρ = ρ1 e pela esfera ρ = ρ2. Ou seja, Gi ´e o conjunto de pontos da regi˜ao limitada por estas 6 superf´ıcies (2 cones, 2 semi-planos e 2 esferas) como mostra a figura. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 17 Apˆendice 1 Apˆendice 1 Gi :      θ1 ≤ θ ≤ θ2 φ1 ≤ φ ≤ φ2 ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2. Como φ1 ≤ φ ≤ φ2, qualquer ponto de Gi est´a na regi˜ao limitada supe- riormente pelo cone φ = φ1 e inferiormente pelo cone φ = φ2. J´a que θ1 ≤ θ ≤ θ2, qualquer ponto de Gi est´a entre o semi-plano θ = θ1 e o semi-plano θ = θ2. Visto que ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2, qualquer ponto de Gi est´a na regi˜ao limitada pela esfera ρ = ρ1 e pela esfera ρ = ρ2. Ou seja, Gi ´e o conjunto de pontos da regi˜ao limitada por estas 6 superf´ıcies (2 cones, 2 semi-planos e 2 esferas) como mostra a figura. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 17