Álgebra Linear com Aplicações - 10ª Edição

Álgebra Linear Howard Anton Chris Rorres COM APLICAÇÕES DÉCIMA EDIÇÃO httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr By João P Catalogação na publicação Fernanda B Handke dos Santos CRB 102107 A634a Anton Howard Álgebra linear com aplicações recurso eletrônico Howard Anton Chris Rorres tradução técnica Claus Ivo Doering 10 ed Dados eletrônicos Porto Alegre Bookman 2012 Editado também como livro impresso em 2012 ISBN 9788540701700 1 Matemática 2 Álgebra linear I Rorres Chris II Título CDU 512 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr Tradução técnica Claus Ivo Doering Professor Titular do Instituto de Matemática da UFRGS 2012 Howard Anton Professor Emérito da Drexel University Chris Rorres University of Pennsylvania Versão impressa desta obra 2012 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr Reservados todos os direitos de publicação em língua portuguesa à BOOKMAN COMPANHIA EDITORA LTDA uma empresa do GRUPO A EDUCAÇÃO SA Av Jerônimo de Ornelas 670 Santana 90040340 Porto Alegre RS Fone 51 30277000 Fax 51 30277070 É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na Web e outros sem permissão expressa da Editora Unidade São Paulo Av Embaixador Macedo Soares 10735 Pavilhão 5 Cond Espace Center Vila Anastácio 05095035 São Paulo SP Fone 11 36651100 Fax 11 36671333 SAC 0800 7033444 wwwgrupoacombr IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL Obra originalmente publicada sob o título Elementary Linear Algebra Applications Version 10th Edition ISBN 9780470432051 0470432055 John Wiley Sons Inc Copyright 2010 by Anton Textbooks Inc All rights reserved This translation published under license Capa Rogério Grilho arte sobre capa original Leitura final Renata Ramisch Coordenadora editorial Denise Weber Nowaczyk Projeto e editoração Techbooks httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr Para Minha esposa Pat Meus filhos Brian David e Lauren Meus pais Shirley e Benjamin Meu benfeitor Stephen Girard 17501831 cuja filantropia mudou minha vida Howard Anton Para Billie Chris Rorres Esta página foi deixada em branco intencionalmente Howard Anton graduouse pela Lehigh University fez mestrado na University of Illinois e doutorado na Polytechnic University of Brooklin sempre em Matemática No começo dos anos 1960 trabalhou em problemas matemáticos relacionados ao programa espacial tripulado norteamericano na Burroughs Corporation e na Avco Corporation em Cabo Canaveral na Flórida Em 1968 entrou para o Departamento de Matemática da Drexel University onde lecionou em tempo integral até 1983 Desde então passa a maior parte de seu tempo escrevendo livros didáticos e elaborando projetos para associações mate máticas Ele foi presidente da Associação Americana de Matemática MAA da seção do leste do estado da Pennsylvania e do estado de Delaware atuou no Conselho Diretor da MAA e orientou a criação de Associações de Estudantes na MAA Além de vários artigos pedagógicos publicou inúmeros trabalhos de pesquisa em Análise Funcional Teoria de Aproximação e Topologia Ele é mais conhecido pelos seus livros didáticos de Matemáti ca que estão entre os mais utilizados no mundo Atualmente existem mais de 150 versões de seus livros incluindo traduções para espanhol árabe português italiano indonésio francês japonês chinês hebreu e alemão Para relaxar o Dr Anton gosta de viajar e fotografar Chris Rorres graduouse pela Drexel University e fez doutorado em Matemática no Courant Institute of New York University Por mais de 30 anos foi um membro do De partamento de Matemática da Drexel University onde além de lecionar desenvolveu pesquisa aplicada em engenharia solar espalhamento acústico dinâmica populacional confiabilidade de sistemas computacionais geometria de sítios arqueológicos política ótima de criação de animais e teoria de decisão Tendo se aposentado em 2001 como Professor Emérito da Drexel University atualmente é consultor matemático e tem um cargo de pesquisador na Escola de Medicina Veterinária da University of Pennsylvania onde está envolvido com modelagem matemática de epidemias de animais O Dr Rorres é um renomado conhecedor da vida e da obra de Arquimedes tendo aparecido em vários documentários para a televisão sobre esse assunto Seu site muito louvado e dedicado a Arquimedes httpwwwmathnyueducrorresArchimedescontentshtml em inglês é um livro virtual que se tornou uma ferramenta de ensino importante na história da Mate mática para estudantes de todo o mundo OS AUTORES Esta página foi deixada em branco intencionalmente Este livro é uma versão expandida da décima edição da obra Elementary Linear Algebra de Howard Anton Os nove primeiros capítulos deste livro são idênticos aos nove primei ros capítulos daquele texto o décimo capítulo deste livro consiste em vinte aplicações da Álgebra Linear escolhidas entre Administração Economia Engenharia Física Ciência da Computação Teoria da Aproximação Ecologia Demografia e Genética As aplicações são completamente independentes uma da outra e cada uma inclui uma lista de prérequi sitos matemáticos Assim cada professor tem a flexibilidade de escolher aquelas aplica ções que são adequadas para seus estudantes e de incorporar as aplicações em qualquer parte da disciplina depois de satisfeitos os prérequisitos Os Capítulos 1 a 9 incluem tratamentos simplificados de algumas das aplicações estudadas com maior profundidade no Capítulo 10 Esta edição oferece um tratamento elementar da Álgebra Linear que é conveniente para estudantes universitários de primeiro e segundo anos Seu objetivo é apresentar os fundamentos da Álgebra Linear da maneira mais clara possível a maior preocupação é com a pedagogia Embora a disciplina de Cálculo não seja um prérequisito há algum material opcional claramente assinalado para aqueles estudantes que tenham conheci mento dessa disciplina Se for preciso esse material pode ser omitido sem perda de con tinuidade Também não são requeridos recursos computacionais para usar este texto mas para os professores que quiserem utilizar MATLAB Mathematica Maple ou calculadoras com funcionalidade de Álgebra Linear publicamos algum material de apoio em inglês que pode ser acessado no site wwwbookmancombr Esta edição apresenta uma revisão substancial das edições anteriores Além de incluir al gum material novo todo o texto foi revisado de modo a garantir que todos os tópicos mais importantes possam ser tratados numa disciplina padrão As mudanças mais significativas são as seguintes Vetores nos espaços de dimensão 2 3 e n Os Capítulos 3 e 4 das edições anterio res foram combinados num único capítulo Isso nos permitiu eliminar certas exposi ções duplicadas e justapor conceitos no espaço de dimensão n com os dos espaços bi e tridimensionais de forma a transmitir mais claramente como as ideias de espaços de dimensões superiores generalizam as noções já conhecidas pelos estudantes Novos elementos pedagógicos Cada seção passou a terminar com uma Revisão de Conceitos e uma lista de Aptidões Desenvolvidas que dão ao aluno uma referência conveniente para as principais ideias desenvolvidas naquela seção Novos exercícios Foram acrescentados muitos exercícios novos inclusive um gru po de exercícios do tipo verdadeirofalso ao final da maioria das seções Tratamento antecipado de autovalores e autovetores O capítulo que trata de au tovalores e autovetores era o Capítulo 7 nas edições anteriores mas agora é o Capí tulo 5 Espaços vetoriais complexos Revisamos completamente o capítulo intitulado Es paços Vetoriais Complexos da edição precedente As ideias mais importantes agora são apresentadas nas Seções 53 e 75 no contexto de diagonalização matricial Uma breve revisão de números complexos foi incluída num Apêndice Formas quadráticas Esse material foi totalmente reescrito e padronizado para en focar mais precisamente as ideias mais importantes Novo capítulo sobre métodos numéricos Na edição anterior havia uma coleção de tópicos no último capítulo Aquele capítulo foi substituído por um novo capítulo que trata exclusivamente de métodos numéricos da Álgebra Linear Os tópicos da quele capítulo que não eram relacionados com métodos numéricos foram deslocados para outras partes deste texto Resumo das mudanças nesta edição PREFÁCIO x Prefácio Decomposição em valores singulares Em virtude de sua crescente importância acrescentamos uma seção de Decomposição em valores singulares ao capítulo de métodos numéricos Busca na Internet e o método das potências Uma nova seção intitulada O método das potências e sua aplicação aos mecanismos de busca na Internet foi acrescentada ao capítulo de métodos numéricos Relações entre os conceitos Um dos nossos principais objetivos pedagógicos é transmitir ao estudante que a Álgebra Linear é um assunto coeso e não só uma cole ção de definições e técnicas isoladas Uma maneira pela qual alcançamos isso é uti lizando um crescendo de teoremas de Afirmações Equivalentes que continuamente revisam relações entre sistemas de equações matrizes determinantes vetores trans formações lineares e autovalores Para ter uma ideia de como essa técnica é utilizada veja por exemplo os Teoremas 153 164 238 4810 4104 e então o Teorema 516 Transição suave para a abstração Como a transição do R n para os espaços veto riais abstratos é difícil para muitos estudantes dispensamos um considerável esforço para explicar a motivação subjacente a essa abstração e auxiliar o aluno a visualizar ideias abstratas por meio de analogias com ideias geométricas conhecidas Precisão matemática Tentamos ser matematicamente precisos dentro do razoável Para nos manter no nível do público estudantil as demonstrações são apresentadas num estilo paciente que convém a iniciantes Há uma pequena seção nos Apêndices que trata de como ler afirmações em demonstrações e também há vários exercícios em que o leitor é guiado ao longo dos passos de uma demonstração e em que são pedidas justificativas Adequação a vários públicos Este texto foi projetado para garantir as necessida des de estudantes das Engenharias da Ciência da Computação da Biologia da Físi ca da Administração e da Economia bem como aqueles da Matemática Notas históricas Para oferecer aos alunos uma percepção da história da Matemá tica e transmitir que os teoremas e as equações que estão estudando foram criados por pessoas reais incluímos inúmeras Notas históricas que colocam em perspectiva histórica o tópico estudado Conjunto de exercícios graduados Cada grupo de exercícios começa com proble mas rotineiros de treinamento e avança até problemas com maior substância Exercícios de verdadeirofalso A maioria dos conjuntos de exercícios termina com problemas do tipo verdadeirofalso projetados para conferir o entendimento con ceitual e o raciocínio lógico Para evitar simples adivinhação pedese que os alunos justifiquem suas respostas de alguma maneira Conjunto de exercícios suplementares Ao final da maioria dos capítulos apresen tamos um grupo de exercícios suplementares que tendem a ser mais desafiadores e obrigam o aluno a usar conceitos de todo o capítulo e não de uma só seção específica Embora as disciplinas de Álgebra Linear variem muito em termos de conteúdo e filosofia a maioria das disciplinas oferecidas se encaixa em uma de duas categorias aquelas com aproximadamente 3540 aulas e aquelas com aproximadamente 2530 aulas Em vista disso criamos uma sequência longa e uma curta como possíveis pontos de partida para construir um cronograma É claro que estas sequências são apenas guias e cada pro fessor certamente irá personalizálas de acordo com seus interesses e exigências locais Nenhuma destas sequências inclui aplicações que podem ser acrescentadas se desejado conforme permita o tempo Características marcantes Sobre os exercícios Um guia para o professor Prefácio xi Sequência longa Sequência curta Capítulo 1 Sistemas de equações lineares e matrizes 7 aulas 6 aulas Capítulo 2 Determinantes 3 aulas 3 aulas Capítulo 3 Espaços vetoriais Euclidanos 4 aulas 3 aulas Capítulo 4 Espaços vetoriais Arbitrários 10 aulas 10 aulas Capítulo 5 Autovalores e autovetores 3 aulas 3 aulas Capítulo 6 Espaços com produto interno 3 aulas 1 aula Capítulo 7 Diagonalização e formas quadráticas 4 aulas 3 aulas Capítulo 8 Transformações lineares 3 aulas 2 aulas Total 37 aulas 30 aulas Uma vez que tiver sido coberto o material central o professor pode escolher aplicações dos nove primeiros capítulos ou do Capítulo 10 A tabela a seguir classifica cada uma das 20 seções do Capítulo 10 de acordo com sua dificuldade Fácil O estudante médio que tenha os prérequisitos listados deveria ser capaz de ler o material sem ajuda do professor Moderado O estudante médio que tenha os prérequisitos listados pode precisar de al guma ajuda do professor Mais difícil O estudante médio que tenha os prérequisitos listados provavelmente vai precisar de ajuda do professor FÁCIL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MODERADO MAIS DIFÍCIL Gostaríamos de expressar nosso agradecimento às pessoas a seguir cuja orientação dedi cada melhorou em muito este texto Don Allen Texas AM University John Alongi Northwestern University John Beachy Northern Illinois University Przemyslaw Bogacki Old Dominion University Robert Buchanan Millersville University of Pennsylvania Ralph Byers University of Kansas Evangelos A Coutsias University of New Mexico Joshua Du Kennesaw State University Fatemeh Emdad Michigan Technological University Vincent Ervin Clemson University Anda Gadidov Kennesaw State University Guillermo Goldsztein Georgia Institute of Technology Tracy Hamilton California State University Sacramento Amanda HattwayWentworth Institute of Technology Heather Hulett University ofWisconsinLa Crosse David Hyeon Northern Illinois University Matt Insall Missouri University of Science and Technology Mic Jackson Earlham College Anton Kaul California Polytechnic Institute San Luis Obispo Harihar Khanal EmbryRiddle University Hendrik Kuiper Arizona State University Kouok Law Georgia Perimeter College James McKinney California State University Pomona Eric Schmutz Drexel University Qin Sheng Baylor University Uma sequência orientada para aplicações Agradecimentos Revisores e colaboradores xii Prefácio Adam Sikora State University of NewYork at Buffalo Allan Silberger Cleveland State University DanaWilliams Dartmouth College Agradecimentos especiais são devidos a muitos professores e matemáticos talentosos que forneceram orientação pedagógica ajudaram com respostas e exercícios ou fizeram uma conferência ou revisão minuciosa John Alongi Northwestern University Scott Annin California State University Fullerton Anton Kaul California Polytechnic State University Sarah Streett Cindy Trimble C Trimble and Associates Brad Davis C Trimble and Associates David Dietz Editor Jeff Benson Editor Assistente Pamela Lashbrook Assistente Editorial Janet Foxman Editor de Produção Maddy Lesure Projetista Laurie Rosatone VicePresidente Sarah Davis Gerente de Vendas Diana Smith Assistente de Publicidade Melissa Edwards Editor Lisa Sabatini Gerente de Projeto Sheena Goldstein Editor de Fotografia Carol Sawyer Gerente Administrativo Lilian Brady Revisão A produção de um livro como este requer o talento e a dedicação de muitos indivíduos e tivemos a sorte de nos beneficiar com a experiência das seguintes pessoas David Dietz nosso editor por sua percepção seu julgamento sólido e sua fé em nós Jeff Benson nosso editor assistente que fez um trabalho incrível na organização e coor denação dos muitos fios necessários para tornar esta edição uma realidade Carol Sawyer do The Perfect Proof que coordenou a miríade de detalhes do processo produtivo Dan Kirschenbaum da The Art of Arlene and Dan Kirschenbaum cujo conhecimento técnico e artístico resolveu certos assuntos difíceis e críticos de ilustração Bill Tuohy que leu partes do manuscrito e cujo olho crítico para o detalhe teve uma in fluência importante na evolução deste texto Pat Anton que revisou o manuscrito quando necessário Maddy Lesure nossa projetista do texto e da capa cuja infalível percepção estética está aparente nas páginas deste livro Rena Lam da Techsetters Inc que fez um trabalho maravilhoso para atravessar um atoleiro de pesadelo de decisões editoriais garranchos em bilhetes e mudanças de última hora e produziu um livro lindo John Rogosich da Techsetters Inc que competentemente programou os elementos do projeto editorial do livro e resolveu inúmeros problemas tipográficos espinhosos Lilian Brady nossa revisora de muitos anos cujo olho para a tipografia e conhecimento da linguagem são maravilhosos A Equipe da Wiley Há muitas pessoas na Wiley com as quais temos uma dívida de gra tidão Laurie Rosatone Ann Berlin Dorothy Sinclair Janet Foxman Sarah Davis Harry Nolan Sheena Goldstein Melissa Edwards e Norm Christiansen Muito obrigado a vocês todos Colaboradores matemáticos A equipe de apoio da Wiley Colaboradores especiais SUMARIO CAPITULO 1 Sistemas de Equacées Lineares e Matrizes 1 11 Introdug4o aos sistemas de equagées lineares 2 12 Eliminagao gaussiana 11 13 Matrizes e operag6es matriciais 25 14 Inversas propriedades algébricas das matrizes 38 15 Matrizes elementares e um método para encontrarA 51 16 Mais sobre sistemas lineares e matrizes invertiveis 60 17 Matrizes diagonais triangulares e simétricas 66 18 Aplicagdes de sistemas lineares 73 19 Modelos econédmicos de Leontief 85 CAPITULO 2 Determinantes 93 21 Determinantes por expansdéo em cofatores 93 22 Calculando determinantes por meio de redugao por linhas 100 23 Propriedades dos determinantes regra de Cramer 106 CAPITULO 3 Espacos Vetoriais Euclidianos 119 31 Vetores bi trie ndimensionais 119 32 Norma produto escalar e distanciaem R 130 33 Ortogonalidade 143 34 A geometria de sistemas lineares 152 35 Produto vetorial 161 CAPITULO 4 Espacos Vetoriais Arbitrarios 171 41 Espagos vetoriais reais 171 42 Subespagos 179 43 Independéncia linear 190 44 Coordenadas e bases 200 45 Dimensao 209 46 Mudanga de bases 217 47 Espaco linha espago colunae espacgo nulo 225 48 Posto nulidade e os espacos matriciais fundamentais 237 49 TransformagGes matriciais de Rem R 247 410 Propriedades das transformag6es matriciais 263 411 A geometria de operadores matriciais de R273 412 Sistemas dindmicos e cadeias de Markov 282 CAPITULO 5 Autovalores e Autovetores 295 51 Autovalores e autovetores 295 52 Diagonalizagéo 305 53 Espacos vetoriais complexos 315 54 Equagoes diferenciais 327 xiv Sumário CAPÍTULO 6 Espaços com Produto Interno 335 61 Produtos internos 335 62 Ângulo e ortogonalidade em espaços com produto interno 345 63 Processo de GramSchmidt decomposição QR 352 64 Melhor aproximação mínimos quadrados 366 65 Ajuste de mínimos quadrados a dados 376 66 Aproximação funcional séries de Fourier 382 CAPÍTULO 7 Diagonalização e Formas Quadráticas 389 71 Matrizes ortogonais 389 72 Diagonalização ortogonal 397 73 Formas quadráticas 405 74 Otimização usando formas quadráticas 417 75 Matrizes unitárias normais e hermitianas 424 CAPÍTULO 8 Transformações Lineares 433 81 Transformações lineares arbitrárias 433 82 Isomorfismo 445 83 Composições e transformações inversas 452 84 Matrizes de transformações lineares arbitrárias 458 85 Semelhança 468 CAPÍTULO 9 Métodos Numéricos 477 91 Decomposição LU 477 92 O método das potências 487 93 Serviços de busca na Internet 496 94 Comparação de procedimentos para resolver sistemas lineares 501 95 Decomposição em valores singulares 506 96 Compressão de dados usando decomposição em valores singulares 514 CAPÍTULO 10 Aplicações da Álgebra Linear 519 101 Construindo curvas e superfícies por pontos especificados 520 102 Programação linear geométrica 525 103 As mais antigas aplicações da Álgebra Linear 536 104 Interpolação spline cúbica 543 105 Cadeias de Markov 553 106 Teoria de grafos 563 107 Jogos de estratégia 572 108 Modelos econômicos de Leontief 581 109 Administração florestal 590 1010 Computação gráfica 597 1011 Distribuições de temperatura de equilíbrio 605 1012 Tomografia computadorizada 615 1013 Fractais 626 1014 Caos 641 Sumário xv 1015 Criptografia 654 1016 Genética 665 1017 Crescimento populacional por faixa etária 676 1018 Colheita de populações animais 686 1019 Um modelo de mínimos quadrados para a audição humana 693 1020 Deformações e morfismos 700 APÊNDICE A Como ler teoremas 711 APÊNDICE B Números complexos 713 Respostas dos exercícios 720 Índice 760 Esta página foi deixada em branco intencionalmente CAPITULO 1 Sistem uaco stemas de Equacgoes Lineares e Matrizes CONTEUDO DO CAPITULO 11 Introducdo aos sistemas de equagées lineares 2 12 Eliminagao gaussiana 11 13 Matrizes e operagées matriciais 25 14 Inversas propriedades algébricas das matrizes 38 15 Matrizes elementares e um método para encontrar A 51 16 Mais sobre sistemas lineares e matrizes invertiveis 60 17 Matrizes diagonais triangulares e simétricas 66 18 Aplicagées de sistemas lineares 73 e Analise de redes fluxo de transito 73 e Circuitos elétricos 76 e Equilibrando equagées quimicas 78 e Interpolagao polinomial 80 19 Modelos econémicos de Leontief 85 INTRODUCAO Muitas vezes na Ciéncia na Administragao e na Matematica a informagao organizada em linhas e colunas formando agrupamentos retangulares denominados matrizes Com frequéncia essas matrizes aparecem como tabelas de dados numéricos que surgem em observacoes fisicas mas também ocorrem em varios contextos matematicos Por exemplo veremos neste capitulo que toda a informagao necessaria para resolver um sistema de equaco6es tal como Sx y3 2xy4 esta encorpada na matriz 5 1 3 2 ll 4 e que a solucao do sistema pode ser obtida efetuando operag6es apropriadas nessa matriz Isso é particularmente importante no desenvolvimento de programas de computador para resolver sistemas de equagées lineares porque os computadores sao muito bons para manipular tabelas de informag6es numéricas Contudo as matrizes nao sao simplesmente uma ferramenta de notacao para resolver sistemas de equacoées elas também podem ser vistas como objetos matematicos de vida prépria existindo uma teoria rica e importante associada a elas que tem uma grande variedade de aplicagoes praticas E 0 estudo de matrizes e t6picos relacionados que constitui a drea matematica denominada Algebra Linear Neste capitulo comecamos nosso estudo de matrizes 2 Algebra Linear com Aplicacées 11 Introdugao aos sistemas de equacées lineares Os sistemas de equacgées lineares e suas solucdes constituem um dos principais t6picos estudados neste livro Nesta primeira seco introduzimos alguma terminologia basica e discutimos um método para resolver tais sistemas Equacées lineares Lembre que uma reta num sistema bidimensional de coordenadas retangulares xy pode ser representada por uma equacao da forma ax byc aeb nao ambos iguais a 0 e que um plano num sistema tridimensional de coordenadas retangulares xyz pode ser representado por uma equacao da forma ax byczd abec nao todos iguais a 0 Esses sao exemplos de equag6es lineares a primeira sendo uma equacao linear nas variaveis x e y e a segunda uma equacAo linear nas variaveis x y e z Mais geralmente definimos uma equagdo linear nas n variaveis x X X Como uma equagao que pode ser expressa na forma ax ax t a xb 1 em que a d a b sao constantes sendo que nem todos os a s4o nulos Nos casos especiais em que n 2 oun 3 costumamos usar varidveis sem indices e escrevemos as equagoes lineares como ax ayb a a nao ambos iguais a 0 2 axayazb a a a nao todos iguais a 0 3 No caso especial em que b 0 a Equacao 1 tem a forma ax ax tax 0 4 que é denominada equacdo linear homogénea nas variaveis x X X Equacoes lineares Observe que um sistema linear nao envolve produtos ou raizes de variaveis Todas as va riaveis ocorrem somente na primeira poténcia e nao aparecem por exemplo como argu mentos de fung6es trigonométricas logaritmicas ou exponenciais As equagées seguintes sao lineares x3y7 xX 2x 3x x 0 sx y3z1 X24x 1 As seguintes nao sao lineares 2 x3y 4 3x2yxy5 senxy0 JX 2xx1 Um conjunto finito de equagées lineares é denominado um sistema de equacées lineares ou simplesmente um sistema linear As variaveis sio denominadas incdégnitas Por exem plo o sistema 5 a seguir tem incdgnitas x e y e o sistema 6 tem incdgnitas x x e x3 Sxy3 4x X3x 1 56 2xy4 3x x 9x 4 11 Introduco aos sistemas de equagées lineares 3 ee Um sistema linear arbitrario de m equagGes nas n incégnitas x x x pode ser escrito ny quag 8 bp AnP O indice duplo dos coeficientes como a das incdgnitas da sua posigao Lee no sistema O primeiro indice Ay X 1 AyyXy 4X db adi P Indica a equagao em que ocorre AyX a 4x b al 2oXp en 7 0 coeficiente e o segundo indica qual é a incdgnita que esta sendo Am X1 A AyoXy Ft HF Ann Xy Dy multiplicada Assim a esta na primeira equagao e multiplica x Uma solugao de um sistema nas n incégnitas x x5 x uma sequéncia de n nu MEer0S S S 8 para OS quais a substituicao XS8 X S X 5S faz de cada equacaéo uma afirmacao verdadeira Por exemplo 0 sistema em 5 tem a solugado x1 y2 e 0 sistema em 6 tem a solugao xX 1 x2 x1 Essas solug6es podem ser escritas mais sucintamente como 2 e 12 1 em que omitimos os nomes das varidveis Essa notag4o nos permite interpretar essas so lugdes geometricamente como pontos nos espacos bi e tridimensionais De modo mais geral uma solugao XS8 X S X 5S de um sistema linear em n incégnitas pode ser escrita como 5 5o5S que é denominada uma énupla ordenada Com essa notagao fica entendido que todas as varidveis aparecem na mesma ordem em cada equagao Se n 2 entdo a énupla é deno minada par ordenado e se n 3 dizemos que a énupla é um ferno ordenado Os sistemas lineares em duas incégnitas aparecem relacionados com interseg4o de retas Sistemas lineares em duas Por exemplo considere o sistema linear e trés incégnitas axtbyc ax by c em que os graficos das equag6es sao retas no plano xy Cada solucao x y desse sistema corresponde a um ponto de intersegao das retas de modo que ha trés possibilidades Fi gura 111 1 As retas podem ser paralelas e distintas caso em que nao ha intersegdo e consequen temente nao existe solucao 2 As retas podem intersectar em um Unico ponto caso em que 0 sistema tem exatamen te uma solucao 3 As retas podem coincidir caso em que existe uma infinidade de pontos de intersegao os pontos da reta comum e consequentemente uma infinidade de solugées Em geral dizemos que um sistema linear consistente se possuir pelo menos uma solucao e inconsistente se nao tiver solugao Assim um sistema linear consistente de duas equagOes em duas incégnitas tem uma solucdo ou uma infinidade de solugées nao 4 Algebra Linear com Aplicacées y y y x x x Nenhuma solugao Uma solugao Uma infinidade de solucées retas coincidentes Figura 111 havendo outra possibilidade O mesmo vale para um sistema linear de trés equagdes em trés incdgnitas axt by zd ax by cz d ax by cz d em que os graficos das equagées sao planos As solugGes do sistema se as houver corres pondem aos pontos em que os trés planos se intersectam de modo que novamente vemos que ha somente trés possibilidades nenhuma solugao uma soluao ou uma infinidade de solugées Figura 112 Nenhuma solugao Nenhuma solugao Nenhuma solugao Nenhuma solugao trés planos paralelos dois planos paralelos sem intersegao comum dois planos coincidentes sem intersegado comum sem intersegdao comum paralelos ao terceiro sem intersecao comum L Uma solugao Uma infinidade de solugé6es Uma infinidade de solugées Uma infinidade de solugdes a intersegdo é um ponto a intersegdo é uma reta todos os planos coincidem dois planos coincidentes a intersegdo é um plano a intersegdo é uma reta Figura 112 Mais adiante provaremos que nossas observac6es sobre 0 nimero de solugdes de sistemas de duas equag6es lineares em duas incégnitas e de sistemas de trés equacdes lineares em trés inc6gnitas sdo validas em geral como segue Todo sistema de equagées lineares tem zero uma ou uma infinidade de solugdes Nao existem outras possibilidades 11 Introduco aos sistemas de equagées lineares 5 Um sistema linear com uma solucgao Resolva o sistema linear xyl1 2xy6 Solucao Podemos eliminar x da segunda equag4o somando 2 vezes a primeira equa ao a segunda Isso fornece o sistema simplificado xy1 3y4 Da segunda equagao obtemos y 4 e substituir esse valor na primeira equaao fornece xly z Assim 0 sistema tem a solucdo tinica 7 4 X 3 V3 Geometricamente isso significa que as retas representadas pelas equacées do sistema in tersectam no Unico ponto Z 4 Deixamos para o leitor conferir isso tragando os graficos das retas Um sistema linear sem solugdes Resolva o sistema linear x y4 3x3y 6 Solucao Podemos eliminar x da segunda equag4o somando 3 vezes a primeira equa ao a segunda Isso fornece o sistema simplificado xty 4 0 6 A segunda equacao é contraditéria de modo que o sistema dado nao tem solugdo Geome tricamente isso significa que as retas correspondentes as equacées do sistema original sao paralelas e distintas Deixamos para o leitor conferir isso tragando os graficos das retas ou entao mostrar que as retas tém a mesma inclinacgdo mas cortam 0 eixo y em pontos distintos Um sistema linear com uma infinidade de solugdes Resolva o sistema linear 4x 2y1 16x 8y 4 Solucao Podemos eliminar x da segunda equag4o somando 4 vezes a primeira equa ao a segunda Isso fornece o sistema simplificado 4x 2y1 00 A segunda equacao nao impée quaisquer restrigdes a x e y e pode portanto ser omitida Assim as solugdes do sistema sao os valores de x e y que satisfazem a tinica equagao 4x 2y1 8 Geometricamente isso significa que as retas correspondentes as duas equagoes do siste ma original sao coincidentes Uma maneira de descrever 0 conjunto de solugées é resolver 6 Algebra Linear com Aplicacées 1 1 No Exemplo 4 também pode essa equaao para x em termos de y obtendo x 7 zy e entao associar ay um valor riamos ter obtido equacoes pa arbitrario tf denominado pardametro Isso nos permite expressar a solucdo pelo par de ramétricas das solugées resol equagoes denominadas equacdes paramétricas vendo 8 para y em termos de x 1 Ly yt x e tomando x f como o pa rametro As equagoes parametri Podemos obter solugdes numéricas especificas dessas equacées substituindo 0 parametro cas resultantes teriam parecido por valores numéricos Por exemplo f 0 dé a solucdo 4 0 t 1 dda solugio 31e diferentes mas elas definem o Z 1 we t 1 dda solucdo a7 1 O leitor pode confirmar que essas sao solugoes substituin mesmo conjunto de solucgées do as coordenadas nas equacées dadas Um sistema linear com uma infinidade de solucdes Resolva o sistema linear x y2z 5 2x 2y4z10 3x 3y 6z 15 Solucao Esse sistema pode ser resolvido mentalmente pois a segunda e a terceira equa ces sAo miultiplos da primeira Geometricamente isso significa que os trés planos coin cidem e que aqueles valores de x y e z que satisfazem a equacgao xy2z5 9 automaticamente satisfazem as trés equagdes Assim basta encontrar as solugées de 9 Isso pode ser feito resolvendo 9 para x em termos de y e z depois atribuir valores arbi trarios re s parametros a essas duas variaveis e entao expressar a solugdo por meio das trés equagdes paramétricas xSr2s yr z5s Solug6es especificas podem ser obtidas escolhendo valores numéricos para os pardmetros res Por exemplo tomando r 1 e s 0 dda solugio 6 10 4 Matrizes aumentadas e A medida que cresce 0 nimero de equacées e de incdégnitas num sistema linear cresce operacées elementares também a complexidade da Algebra envolvida em sua resolugao As contas que precisa com linhas mos fazer podem ficar mais trataveis simplificando a notaao e padronizando os procedi mentos Por exemplo mantendo na memoria a localizagao das somas das variaveis e das igualdades no sistema linear AX yx ax Dy AyX AyX H Ay X dy AinX AnyX2 ue GinXn b podemos abreviar a escrita do sistema escrevendo apenas a tabela retangular de nimeros Como jé observamos na introdu My Ay Ay Dy ao o termo matriz é utilizado ay Ay a bd na Matematica para denotar uma colecéo retangular de nimeros 1 a Aint ng ue Gin Dn Em outras secdes estudaremos essas matrizes detalhadamente denominada matriz aumentada do sistema Por exemplo a matriz aumentada do sistema mas por enquanto so estaremos d e equacdes interessados em matrizes au mentadas de sistemas lineares X x 2x9 1 1 2 9 2x 4x 3x 1 é 2 4 3 1 3x 6x 5x 0 3 6 5 0 11 Introduco aos sistemas de equagées lineares 7 O método basico de resolver um sistema de equacgoes lineares é efetuar operagdes algébricas no sistema que nao alterem seu conjunto de solugdes e que produzam uma su cessao de sistemas cada vez mais simples até alcangar um ponto em que se possa decidir se 0 sistema é consistente e se for quais s4o suas solucgdes As operagées tipicas sao as seguintes 1 Multiplicar uma equag4o inteira por uma constante nao nula 2 Trocar duas equacGes entre si 3 Somar uma constante vezes uma equacao a uma outra equacao Como as linhas horizontais de uma matriz aumentada correspondem as equagdes no sistema associado essas trés operagdes correspondem as seguintes operacées nas linhas da matriz aumentada 1 Multiplicar uma linha inteira por uma constante nao nula 2 Trocar duas linhas entre si 3 Somar uma constante vezes uma linha a uma outra linha Essas operacg6es sao denominadas operagées elementares com linhas de uma matriz No exemplo seguinte ilustramos como usar as operacgdes elementares com as linhas de uma matriz aumentada para resolver sistemas de equagoes lineares em trés incégnitas Como na proxima secdo desenvolveremos um procedimento sistematico de resolugao de sistemas nao é preciso ficar preocupado sobre 0 porqué dos passos tomados nesse exem plo O objetivo aqui deveria ser simplesmente entender as contas Usando operagoées elementares com linhas Na coluna da esquerda resolvemos um sistema de equac6es lineares operando nas equa ges do sistema e na coluna da direita resolvemos 0 mesmo sistema operando nas linhas da matriz aumentada x y2z9 1 1 2 9 2x 4y 3z1 2 4 3 1 3x 6y 5z0 3 6 5 0 Somamos 2 vezes a primeira equacgao 4 se Somamos 2 vezes a primeira linha 4 segunda gunda para obter para obter xXx y2z 9 1 1 2 9 2y7z17 0 2 7 17 3x 6y5z 0 3 6 5 0 ere Nota historica O primeiro uso conhecido de matrizes aumenta Ji das apareceu entre 200 e 100 aC num manuscrito chinés intitulado S Nove Capitulos de Arte Matematica Os coeficientes foram arranjados j em colunas e nao em linhas como hoje mas impressionantemente 0 sistema foi resolvido efetuando uma sucessao de operagées com t colunas O uso do termo matriz aumentada parece te sido introdu Bs zido pelo matematico norteamericano Maxime Bécher em seu livro j Bee Introdugao a Algebra Superior publicado em 1907 Alem de ter sido um pesquisador matematico destacado e um conhecedor profundo ok ee de latim Quimica Filosofia Zoologia Geografia Meteorologia arte e a oN musica ele foi um excelente expositor de Matematica cujos textos ele ae mentares eram muito apreciados pelos estudantes e continuam sendo oe procurados até hoje Maxime Bocher Imagem cortesia da American Mathematical Society 18671918 8 Algebra Linear com Aplicacgées Somamos 3 vezes a primeira equacgdo a ter Somamos 3 vezes a primeira linha 4 terceira ceira para obter para obter xX y 2z7 9 1 1 2 9 2y 7z17 0 2 7 Il7 3y 1llz 27 0 3 11 27 Multiplicamos a segunda equacao por 5 paraobter Multiplicamos a segunda linha por 5 para obter xXx y 2z 9 1 1 2 9 7 17 YO ay 0 1 3 3y 1lz 27 0 311 27 Somamos 3 vezes a segunda equac4o a tercei Somamos 3 vezes a segunda linha 4 terceira ra para obter para obter 7 17 YOU s RTD 0 12 1i 3 1 3 2 2 0 QO i Multiplicamos a terceira equagéo por 2 para Miultiplicamos a terceira linha por 2 para obter obter xy2z 9 1 1 2 9 7 17 VO Ty 0 1 z 3 0 0 1 3 Somamos 1 vez a segunda equacao a primeira Somamos 1 vez a segunda linha a primeira para obter para obter u 35 Ul 35 x 5l 5 1 0 5 7 17 Yr WS Ty 0 1 3 3 z 3 0 60 1 3 Somamos i vezes a terceira equacdo a pri Somamos 2 vezes a terceira linha a primeira e meira e H vezes a terceira equac4o a segunda i vezes a terceira equacao 4 segunda para obter para obter 1 0 0 1 0 1 0 2 2 y 0 0 1 3 z3 A solugdo x 1 y 2z 3 6 agora evidente 4 Revisao de conceitos e Sistema linear consistente e Equacao linear e Sistema linear inconsistente e Equagao linear homogénea e Parametro e Sistema de equacées lineares e Equacoées paramétricas e Solugado de um sistema linear e Matriz aumentada e Enupla ordenada e OperacGes elementares com linhas 11 Introduco aos sistemas de equagées lineares 9 Aptiddes desenvolvidas e Efetuar operacgdes elementares com as linhas de um e Determinar se uma dada equacio é linear sistema linear e as correspondentes nas linhas da matriz aumentada e Determinar se uma dada énupla é uma solugao de um sistema linear e Determinar se um sistema linear consistente ou inconsistente e Encontrar a matriz aumentada de um sistema linear e Encontrar o conjunto das solucées de um sistema linear e Encontrar o sistema linear correspondente a uma dada consistente matriz aumentada Conjunto de exercicios 11 1 Em cada parte determine se a equac4o é linear em x x e 5 Para cada sistema do Exercicio 3 que for linear determine se X3 consistente a x5x J2x 1 b x 3x XxX 2 6 Escreva um sistema de equacées lineares constituido de trés c x 7x 3x d x 24 8x 5 equacoées em trés incégnitas com e ro 2x x4 a nenhuma solugéo f wx J2x 1x3 77 b exatamente uma solugdo 3 2 Em cada parte determine se as equagdes formam um sistema c uma infinidade de solugoes linear 7 Em cada parte determine se 0 terno ordenado dado é uma so a 2x 4yz2 b x4 lugao do sistema linear 3x 2 0 2x 8 2x 4x 4 1 y X3x xX 1 c 4x y2zl 3x 5x 3x 1 xIn2y3z 0 d 3c4 x 4 a 31 b 3 1 1 c 13 5 2 ysce F32 1775 6x2z2 3 8 Em cada parte determine se 0 terno ordenado dado é uma so yyz 4 lug4o do sistema linear 3 Em cada parte determine se as equacdes formam um sistema x 2x 2x 3 linear 3x x 41 a 2x x 5 x 5x 5x 5 x 5x2 3x3 2x4 1 uo K a 8 81 b 5 80 68 1 b sen2x x3 V5 5 10 2 5 22 9 Senay F385 v OG73 G72 e2822x4 9 Em cada parte encontre o conjunto de solug6es da equagéo 4x linear usando um parametro se necessario c 7x x 2x 0 d x 2 x x a Tx Sy 3 2x x x 3 b 8x 2x 5x 6x 1 x5x xl 10 Em cada parte encontre o conjunto de solug6es da equagéo linear usando um parametro se necessario 4 Para cada sistema do Exercicio 2 que for linear determine se é consistente a 3m 5a 4x 7 b 3u 8w 2xy4z0 10 Algebra Linear com Aplicacées 11 Em cada parte encontre um sistema de equacoes lineares cor a bec sao uma solucao do sistema de equacées lineares cuja respondente 4 matriz aumentada dada matriz aumentada é 2 0 0 3 0 2 5 ex a 3 4 0 b 7 1 43 1 JI xX Xx y 0 1 1 0 2 1 7 2 2 7 2 1 3 5 SoS Te c y 1 2 4 0 1 yax tbxte po oo on d Om 0 0 1 0 3 0 0 0 1 4 X25 Y2 12 Em cada parte encontre um sistema de equacg6es lineares cor Figura Ex15 respondente a matriz aumentada dada 1 16 Explique por que cada uma das operagées elementares com 4 6 0 31 1 linhas nao afeta o conjunto das solugées de um sistema linear a 4 4 b 5 2 03 A 17 Mostre que se as equacoes lineares 3 0 xX kyc e x ld 1 2 3 4 tém o mesmo conjunto de solugées ento as duas equag6es 432 4 sao idénticas isto ék lec d 6 1 1 ici 5 Exercicios verdadeirofalso 8 0 0 3 Nas partes ah determine se a afirmacAo é verdadeira ou falsa 3 0 1 4 3 justificando sua resposta 4 0 4 1 3 a Um sistema linear cujas equag6es sao todas homogéneas d 3 0 2 9 deve ser consistente 0 0 0 1 2 b Multiplicar uma equagao inteira por zero é uma operacao ele mentar com as linhas aceitavel 13 Em cada parte encontre a matriz aumentada do sistema de as c O sistema linear equacoes lineares dado a 2x 6 b 6x x 3x4 x y3 3x 8 5x x 1 2x 2y k 9x 3 nao pode ter uma tinica solugao independentemente do valor c 2X 3x x 0 de k 3x Fy l d Uma equagao linear s6 com duas ou mais incégnitas sempre 6x 2x 4 2x 3x5 6 deve ter uma infinidade de soluc6es d x x7 e Seo numero de equagoes de um sistema linear exceder oO 14 Em cada parte encontre a matriz aumentada do sistema de ntimero de incdgnitas entao o sistema deve ser inconsis equacé6es lineares dado tente a 3x2x1 b 2x 42x1 f Se cada equagao de um sistema linear consistente for multi Ax 4 5x 3 3y x Ay 7 plicada por uma constante c entio todas as solucdes do novo Ty 3x 2 6x 4 es 0 sistema podem ser obtidas multiplicando as solugGes do siste 3 ma original por c a Aa Xs g As operagdes elementares com linhas permitem que uma 2 3 47 35 1 equac4o de um sistema linear seja subtraida de uma outra x Xx h O sistema linear de matriz aumentada correspondente d x 1 X 2 2 il 4 x 3 0 0 1l 15 Acurva y ax bx c mostrada na figura passa pelos é consistente pontos x y 2 3 y Mostre que os coeficientes 12 Eliminacao gaussiana 11 12 Eliminagao gaussiana Nesta secao desenvolvemos um procedimento sistematico para resolver sistemas de equacgoes lineares O procedimento baseado na ideia de efetuar certas operag6es nas linhas da matriz aumentada que a simplifiquem até uma forma em que a solucdo do sistema possa ser visualizada Quando consideramos métodos para resolver sistemas de equagoes lineares importante Consideracées sobre a distinguir entre sistemas grandes que precisam ser resolvidos por computador e sistemas resoucao de sistemas pequenos que podem ser resolvidos a mao Por exemplo ha muitas aplicagdes que levam ineares a sistemas em milhares e até milhdes de incégnitas Esses sistemas grandes requerem técnicas especiais para tratar dos problemas de tamanho de meméria erros de arredon damento tempo de solucgdo e assim por diante Tais técnicas sao estudadas na area de Andlise Numérica e serao apenas tocadas neste texto Contudo quase todos os métodos que sao utilizados com sistemas grandes tém por base as ideias desenvolvidas nesta secao No Exemplo 6 da segao anterior resolvemos um sistema linear nas incégnitas x ye z Formas escalonadas reduzindo a matriz aumentada a forma 100 1 0 1 0 2 00 1 3 a partir da qual ficou evidente a solugdo x 1 y 2 z 3 Isso um exemplo de uma matriz que esta em forma escalonada reduzida por linhas Para ser dessa forma um ma triz deve ter as propriedades seguintes 1 Se uma linha nao consistir inteiramente em zeros entéo o primeiro nimero nao nulo da linha é um 1 Dizemos que esse numero é um pivé 2 Se existirem linhas constituidas inteiramente de zeros entao elas estaéo agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz 3 Em quaisquer duas linhas sucessivas que nao consistem s6 em zeros o piv da linha inferior ocorre mais a direita do que o piv6 da linha superior 4 Cada coluna que contém um pivG tem zeros nas demais entradas Dizemos que uma matriz que tem as trés primeiras propriedades esta em forma escalo nada por linhas ou simplesmente em forma escalonada Assim uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas necessariamente esta em forma escalonada mas nfo reci procamente Formas escalonada e escalonada reduzida por linhas As matrizes a seguir estéo em forma escalonada reduzida por linhas 0 1 2 0 1 1 0 0 4 1 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 7 I 0 1 O 0 0 1 1 001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 As matrizes a seguir estaéo em forma escalonada mas nao reduzida 1 4 3 7 1 1 0 0 1 2 6 0 0 1 6 2 0 1 O 0 O 1 1 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 0 0 1 12 Algebra Linear com Aplicacées Mais sobre formas escalonada e escalonada reduzida por linhas Como ilustra o exemplo anterior uma matriz em forma escalonada tem zeros abaixo de cada pivé enquanto uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas tem zeros abai xo e acima de cada pivo Assim colocando qualquer nimero real no lugar dos asteriscos todas as matrizes dos seguintes tipos estao em forma escalonada Ol K x 1 x 1 x 1 x 0001 x Ol x O 1 x O 1 x 001 001 00001 00001 x 0001 0000 0000 P00 0 OT RR eS 000000001 Todas as matrizes dos seguintes tipos estéo em forma escalonada reduzida por linhas 01 0 0 0 0 1000 100 10 x on 000100 0 x 010 0 010 x O 1 x 000010x 0 4 00 1 0 001 000 0 000001 0 Ok 000 1 000 0 000 0 000000001 x Se a matriz aumentada de um sistema de equacées lineares for colocada em forma escalonada reduzida por linhas por meio de uma sequéncia de operagdes elementares nas linhas entao 0 conjunto de solug6es esta visivel ou pode ser obtido convertendo certas equacgoes lineares a forma paramétrica Vejamos alguns exemplos Solugao unica Suponha que a matriz aumentada de um sistema linear nas incdgnitas x x x ex tenha sido reduzida por operag6es elementaresa 1 0 0 0 3 0 1 0 0 l 0 0 1 0 0 0 0 0 1 5 Essa matriz esta em forma escalonada reduzida por linhas e corresponde as equag6es x 3 NE X l No Exemplo 3 podemos tam x 0 bém expressar a solugéo mais 3 sucintamente como a 4upla 3 x 5 ae Assim 0 sistema tem uma tinica solugao x 3 x 1x 0x5 Sistemas lineares em trés incdgnitas Em cada parte suponha que a matriz aumentada de um sistema linear nas incdgnitas x y e z tenha sido reduzida por operagdes com linhas 4 forma escalonada reduzida por linhas dada Resolva o sistema 1 0 0 0 1 0 3 1 1 5 1 4 aO 1 2 0 b 0 1 4 2 c 0 0 0 0 000 1 0 0 0 0 0 0 0 0 12 Eliminaco gaussiana 13 Solucao a A equacao que corresponde a ultima linha da matriz aumentada é Ox Oy 0z 1 O sistema é inconsistente porque essa equacao nao é satisfeita por valor algum de x y e z Solucao b A equacao que corresponde a tltima linha da matriz aumentada é Ox Oy 0z 0 Essa equagao pode ser omitida porque nao imp6e restrig6es sobre x y e z logo o sistema linear correspondente a matriz aumentada é x 3z1 y4z 2 Como x e y correspondem a pivés na matriz aumentada dizemos que essas sao as varid veis lideres As demais variaveis nesse caso 6 z sdo ditas varidveis livres Resolvendo para as variaveis lideres em termos das variaveis livres obtemos x13z y24z Dessas equagdes podemos ver que a variavel livre z pode ser tratada como um parametro ao qual podemos atribuir um valor arbitrario f que entao determina os valores de x e y Assim 0 conjunto de solugées pode ser representado pelas equag6es paramétricas x13t y24t zt Substituindo varios valores de t nessas equagdes podemos obter as varias solugdes do sistema Por exemplo tomando ft 0 obtemos a solugao xl y2 z0 e tomando f 1 obtemos a solugao x4 y6 z1 Solucao c Conforme explicamos na parte b podemos omitir as equag6es correspon dentes as linhas nulas com 0 que o sistema linear associado a matriz aumentada consiste na tinica equagao xS5yz4 1 a partir da qual vemos que o conjunto de solugdes um plano no espaco tridimensional Embora 1 seja uma forma valida do conjunto de solug6es existem muitas aplicagdes nas quais é preferivel dar as solugdes em forma paramétrica Podemos converter 1 4 forma A fs 2 tee ae Os parametros de uma solugao paramétrica resolvendo para a variavel lider x em termos das variaveis livres y e z para obter geral costumam ser denotados x45yz pelas letras r s ft mas tam Coo bém podemos usar quaisquer A partir dessa equagdo vemos que podemos atribuir quaisquer valores as variaveis livres letras que nao entrem em confli digamos y s z t que entao determinam o valor de x Assim 0 conjunto de solugdes to com os nomes das varidveis pode ser dado parametricamente por Em sistemas com mais do que trés incdgnitas é conveniente x45st ys zt 4 2 mes A usar indices para os parametros Férmulas como 2 que expressam 0 conjunto das solugGes de um sistema linear de Como ft f ty forma paramétrica ttm um nome especial DEFINICAO 1 Se um sistema linear tem uma infinidade de solugdes entéo um con junto de equag6es paramétricas é denominado uma solugcdo geral do sistema se a partir dessas equacg6es puderem ser obtidas todas as soluc6es pela substituigéo dos parametros por valores numéricos 14 Algebra Linear com Aplicacées Métodos de eliminacao Acabamos de ver como é facil resolver um sistema de equagoes lineares tao logo sua matriz aumentada estiver em forma escalonada reduzida por linhas Agora daremos um procedimento de eliminagao passo a passo que pode ser usado para reduzir qualquer matriz a forma escalonada reduzida A medida que enunciamos cada passo ilustramos a ideia reduzindo a matriz seguinte a forma escalonada reduzida por linhas 0 0 2 0 7 12 2 4 10 6 12 28 2 4 5 6 5 l Passo 1 Localizamos a coluna mais a esquerda que nao seja constituida inteiramente de zeros 0 O 2 O 7 12 2 4 10 6 12 28 2 4 5 6 5 l tL Coluna nao nula mais 4 esquerda Passo 2 Permutamos a primeira linha com uma outra linha se necessario para obter uma entrada nao nula ao topo da coluna encontrada no Passo 1 2 4 10 6 12 28 0 0 2 0 7 12 Foram permutadas a primeira e a segunda linhas da matriz precedente 2 4 5 6 5 l Passo 3 Se aentrada que agora esta no topo da coluna encontrada no Passo é a mul tiplicamos a primeira linha inteira por 1a para introduzir um piv6 1 2 5 3 6 14 A primeira linha da matriz precedente foi 0 0 2 0 7 12 multiplicada por 4 2 4 S5 6 5 l Passo 4 Somamos miultiplos convenientes da primeira linha as linhas inferiores para obter zeros em todas as entradas abaixo do pivé 1 2 5 3 6 14 0 a 0 7 12 2 vezes a primeira linha da matriz precedente foi somada terceira linha 0 0 5 0 17 29 Passo 5 Agora escondemos a primeira linha da matriz e recomecamos aplicando o Pas so 1 a submatriz resultante Continuamos dessa maneira até que toda a matriz esteja em forma escalonada 1 2 5 3 6 14 0 OO 2 O 7 12 0 oO 5 0 17 29 Coluna nao nula mais 4 esquerda da submatriz 1 yy 5 3 6 14 7 A primeira linha da submatriz foi multiplicada 0 0 0 mo 6 por para introduzir um piv6 0 O 5 0 17 29 12 Eliminagao gaussiana 15 1 a 3 6 14 0 0 1 a f 6 5 vezes a primeira linha da submatriz 1 foi somada a segunda linha da submatriz 0 0 0 0 3 1 para introduzir um zero debaixo do pivé 1 a 3 6 14 0 0 1 QO i 6 A linha superior da submatriz foi tratada I e retornamos ao Passo 1 0 0 0 0 3 1 tL Coluna nao nula mais 4 esquerda da nova submatriz 1 2 5 3 6 14 4 A primeira e tinica linha da nova 1 3 submatriz foi multiplicada por 2 0 0 0 0 1 2 para introduzir um pivo Agora toda a matriz esta em forma escalonada Para obter a forma escalonada reduzida por linhas precisamos de mais um passo Passo 6 Comegando com a Ultima linha nao nula e trabalhando para cima somamos multiplos convenientes de cada linha as linhas superiores para introduzir zeros acima dos lideres 1 2 5 3 6 14 0 0 1 0 0 1 3 vezes a terceira linha da matriz precedente foi somada a segunda linha 0 0 0 0 1 2 1 i 3 0 2 0 0 1 0 0 1 6 vezes a terceira linha foi somada a primeira linha 0 0 0 0 1 2 1 2 0 3 0 7 0 0 1 0 0 1 5 vezes a segunda linha foi somada a primeira linha 0 0 0 0 1 2 A ultima matriz esta na forma escalonada reduzida por linhas O procedimento ou algoritmo que acabamos de descrever que reduz uma matriz a forma escalonada reduzida por linhas é denominado eliminagdo de GaussJordan Esse algoritmo consiste em duas partes uma fase para a frente ou direta na qual os zeros s4o introduzidos abaixo dos pivés e uma fase para tras ou inversa em que os zeros s40 gs Nota historica Embora versdes do método da eliminagao gaussiana fossem j conhecidas muito antes 0 poder desse método so foi reconhecido quando o e e ald grande matematico alemao Karl Friedrich Gauss 0 utilizou para calcular a orbita AS do asteroide Ceres a partir de dados muito limitados O que aconteceu foi isso A S ra em 1 de janeiro de 1801 o astrénomo siciliano Giuseppe Piazzi 17461826 Ze i es oe yd a observou um pequeno objeto celeste que ele acreditou que pudesse ser um cK 3 a ee planeta que faltava Ele designou o objeto por Ceres e fez um numero limitado ot 4 de medigées sobre sua posigao antes de perdélo de vista dada sua proximi s a dade ao Sol Gauss tomou a si a tarefa de calcular a orbita a partir dos dados bi 3 muito limitados com o procedimento que agora denominamos eliminagao gaus i a siana O trabalho de Gauss causou uma sensacao quando Ceres reapareceu Xt a sh um ano depois na constelagao Virgem praticamente na posicao exata predita por Gauss O método foi subsequentemente popularizado pelo engenheiro ale Carl Friedrich Gauss Wilhelm Jordan mao Wilhelm Jordan em seu livro de geodesia a ciéncia de medir as formas errestres intitulado Handbuch der Vermessungskunde publicado em 17771855 18421899 t tres intitulado Handbuch der Ve gskunde publicad 1888 Imagens Colecao Granger Gauss e wikipedia Jordan 16 Algebra Linear com Aplicacées introduzidos acima dos pivés Se usarmos somente a fase direta entéo 0 procedimento denominado eliminacdo gaussiana produz uma forma escalonada por linhas Por exem plo nos calculos precedentes obtivemos uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas no final do Passo 5 Eliminagao de GaussJordan Resolva por eliminagao de GaussJordan xX 3x 2x 2x 0 2x 6x 5x 2x 4x 3x1 5x 10x 15x 5 2x 6x 8x4x18x 6 Solucao A matriz aumentada do sistema é 1 3 2 0 2 0 0 2 6 5 2 4 3 l 0 0 5 10 0 15 5 2 6 0 8 4 18 6 Somando 2 vezes a primeira linha a segunda e a quarta linhas da 1 32 0 2 0 0 0 0 l 2 0 3 l 0 0 5 10 0 15 5 0 0 4 8 0 18 6 Multiplicando a segunda linha por 1 e depois somando 5 vezes a nova segunda linha a terceira linha e 4 vezes a nova segunda linha a quarta linha da 1 3 2 0 2 0 0 0 0 1 2 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 2 Permutando as terceira e quarta linhas e entao multiplicando a terceira linha da matriz resultante por i da a forma escalonada 1 3 2 0 2 0 0 0 0 1 2 0 3 1 Isso completa a fase direta pois 0 0 0 0 0 5 nao ha zeros abaixo dos pivés 0 0 0 0 0 0 0 Somando 3 vezes a terceira linha 4 segunda linha e depois somando 2 vezes a segunda linha da matriz resultante 4 primeira linha obtemos a forma escalonada reduzida por linhas 1 3 0 4 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 Isso completa a fase inversa pois 0 0 0 0 0 1 i nao ha zeros acima dos pivés 0 0 0 0 0 0 0 12 Eliminacao gaussiana 17 sistema de equacées correspondente é 0 quag P Observe que na construcao do x 3x 4x 2x 0 sisteme inear em 3 ae mos a linha toda constituida de xX 2x 0 3 1 zeros na matriz aumentada cor X 3 respondente Por que podemos fazer isso Resolvendo para as variaveis lideres obtemos Xx 3x2 4x4 2x5 X3 2x4 l xX 3 Finalmente expressamos a solucao geral do sistema parametricamente associando os va lores arbitrarios r s e as variaveis livres x x e x respectivamente Isso fornece 3r 4s 1 x 3r4s2t x r x 28 XL 5 X XZ 4 Um sistema de equacées lineares é dito homogéneo se os termos constantes sio todos Sistemas lineares Zero OU Seja O sistema tem a forma homogéneos Ay X Appx ax 9 AyX AX Gy X 0 GiniX AnrX2 prt DiXn 0 Cada sistema de equacoes lineares homogéneo consistente pois todos esses sistemas tém x 0 x 0x 0 como uma solucao Essa solugdo é denominada solugdo trivial ou solugao nula quaisquer outras solucdo se as houver sao ditas ndo triviais Como um sistema linear homogéneo sempre tem a solucao trivial s6 ha duas possi bilidades para suas solugées e Osistema tem somente a solucao trivial e Osistema tem uma infinidade de solugées além da solucao trivial No caso especial de um sistema linear homogéneo de duas equagdes em duas incégnitas digamos axby 0 a 6nao ambas nulas ax by 0 a b nao ambas nulas os graficos das equag6es sao retas pela origem e a solucao trivial corresponde ao ponto de corte na origem Figura 121 y y axtby0 x x axtby0 ax by 0 axtby0 Somente a solugao trivial Uma infinidade Figura 121 de solucdes Ha um caso em que pode ser garantido que um sistema homogéneo tenha solugdes nao triviais a saber sempre que o sistema envolva mais incégnitas que equacgdes Para ver 0 motivo disso considere 0 exemplo seguinte de quatro equacgGes em seis incdégnitas 18 Algebra Linear com Aplicacées Um sistema homogéneo Resolva o seguinte sistema homogéneo com eliminacgao de GaussJordan xX 3x 2x 2x 0 2x 6x 5x 2x 4x 3x 0 4 5x 10x 15x 0 2x 6x 8x 4x 18x 0 Solugao Inicialmente observe que os coeficientes das incdgnitas desse sistema s4o iguais aqueles do Exemplo 5 ou seja os dois sistemas diferem apenas pelas constantes do lado direito A matriz aumentada do sistema homogéneo dado é 1 32 0 2 0 0 2 6 5 2 4 3 0 5 0 0 5 10 0 15 0 2 6 0 8 4 18 0 que é igual 4 matriz aumentada do sistema do Exemplo 5 exceto pelos zeros na tiltima co luna Assim a forma escalonada reduzida dessa matriz é igual 4 da matriz aumentada do Exemplo 5 exceto pela ultima coluna Contudo pensando um pouco podemos concluir que uma coluna de zeros nao é alterada por qualquer operacgao elementar com as linhas de modo que a forma escalonada reduzida de 5 dada por 13 042 0 0 0012 0 0 0 6 00000 1 0 00000 0 0 O sistema de equagOes correspondente é x 3x 4x 2x 0 xX 2x 0 X 0 Resolvendo para as variaveis lideres obtemos xX 3x 4x 2x X 2x 7 X 0 Associando agora os valores arbitrarios r s e t as variaveis livres x x x respectiva mente podemos expressar 0 conjunto de solug6es parametricamente por x 3r4s2t x1r x 28 x S X51xX0 Note que a solucao trivial é obtidacomrst0 4 Variaveis livres em sistemas O Exemplo 6 ilustra dois aspectos importantes sobre a resolucado de sistemas lineares lineares homogéneos homogéneos 1 Nenhuma operac4o elementar com as linhas altera uma coluna de zeros de uma matriz de modo que a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada de um sistema homogéneo tem uma coluna final de zeros Isso implica que o sistema linear correspon dente a forma escalonada reduzida é homogéneo exatamente como 0 sistema original 2 Quando construimos o sistema linear homogéneo correspondente a matriz aumentada 6 ignoramos a linha de zeros porque a equacdo correspondente Ox Ox Ox Ox Ox Ox 0 nao imp6e condicao alguma sobre as incdgnitas Assim dependendo da forma escalona da reduzida por linhas da matriz aumentada de um sistema linear homogéneo ter ou nao 12 Eliminaco gaussiana 19 alguma linha de zeros o nimero de equagées no sistema correspondente a forma esca lonada reduzida é menor do que ou igual a o nimero de equagoes do sistema original Agora considere um sistema linear homogéneo em v incdégnitas e suponha que a for ma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema tenha r linhas nao nulas Como cada linha nao nula tem um piv6 e como a cada piv6 corresponde uma variavel lider o sistema homogéneo correspondente 4 forma escalonada reduzida da matriz aumentada deve ter r varidveis lideres e n r variaveis livres Assim 0 sistema é da forma Xx 1 0 Xi h 0 8 Xp 0 em que em cada equagiio denota uma soma que envolve as variaveis livres se hou ver ver por exemplo 7 Resumindo temos o resultado a seguir TEOREMA 121 Teorema das variaveis livres de sistemas homogéneos Se um sistema linear homogéneo tiver n incdgnitas e se a forma escalonada reduzida de sua matriz aumentada tiver r linhas nado nulas entdo o sistema tem n r varidveis livres O Teorema 121 tem uma consequéncia importante para sistemas lineares homo oa soe Note que o Teorema 122 é apli géneos com mais incdégnitas do que equagées Mais precisamente se um sistema linear h oo bém é verdad cavel somente a sistemas homo omogeneo tiver m equacgdes em n incognitas ese m n entao também ver ade que r géneos Um sistema que ndo é n por qué Nesse caso 0 teorema implica que ha pelo menos uma variavel livre e isso homogéneo com mais incégnitas implica que o sistema tem uma infinidade de solucdes Assim temos 0 resultado seguinte que equacées ndo precisa ser consistente No entanto prova remos adiante que se um siste TEOREMA 122 Um sistema linear homogéneo com mais incégnitas que equacées ma nao homogéneo com mais tem uma infinidade de solugées incognitas do que equagoes for consistente entéo o sistema tera uma infinidade de solucées Em retrospecto poderiamos ter antecipado que o sistema homogéneo do Exemplo 6 tem uma infinidade de solug6es por ter quatro equacoes e seis incdgnitas A eliminagao de GaussJordan redugao a forma escalonada reduzida por linhas um Eliminacao gaussiana e procedimento util com sistemas lineares pequenos que sdo resolvidos a mao como a retrossubstituicao maioria dos sistemas deste texto Contudo com sistemas lineares grandes que exigem utilizagao de computadores em geral é mais eficiente usar a eliminagdo gaussiana redu ao a forma escalonada por linhas seguida por uma técnica conhecida por substituigao inversa ou retrossubstituigdo para completar o processo de resolugao do sistema O pr6 ximo exemplo ilustra essa ideia O Exemplo 5 resolvido por retrossubstituigao Pelas contas do Exemplo 5 uma forma escalonada da matriz aumentada é 1 3 2 0 2 0 0 0 0 1 2 0 3 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 20 Algebra Linear com Aplicacées Para resolver 0 sistema de equag6es correspondente x 3x 2x 2x 0 xX 2x 3x 1 1 X 3 procedemos como segue Passo I Resolva as equacées para as variaveis lideres xX 3x 2x 2x xX 12x 3x 1 X 3 Passo 2 Comecando com a equacao de baixo e trabalhando para cima substitua suces sivamente cada equacgao em todas as equagées acima dela Substituindo x na segunda equagao da xX 3x 2x 2x x 2x 1 X6 3 Substituindo x 2x na primeira equagao da xX 3x 4x 2x xX 2x 1 X6 3 Passo 3 Atribua valores arbitrarios as variaveis livres se houver Atribuindo os valores arbitrarios r s e t a x X X respectivamente a solucao geral é dada pelas formulas x 3r4s2t x r x 28 x5 x F Xe F Isso confere com a solucao obtida no Exemplo 5 Suponha que as matrizes dadas sejam matrizes aumentadas de sistemas lineares nas in cégnitas x x x X Todas essas matrizes estaéo em forma escalonada por linhas mas nao reduzida Discuta a existéncia e unicidade de solug6es dos sistemas lineares corres pondentes i 7 2 5 i 7 2 5 i 7 2 5 a 1 2 4 1 v 1 2 4 1 1 2 4 1 a c 0 0 1 6 9 0 0 1 6 9 0 0 1 6 9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Solugao a A ultima linha corresponde a equaao Ox Ox Ox Ox 1 a partir da qual é evidente que o sistema é inconsistente Solugao b A ultima linha corresponde a equacao Ox Ox Ox Ox 0 que nao afeta o conjunto de solugées Nas trés equagoes restantes as varidveis x x x correspondem a pivdés e portanto sao varidveis lideres A varidvel x uma variavel 12 Eliminaco gaussiana 21 livre Com alguma Algebra podemos expressar as variaveis lideres em termos da varidvel livre e 4 variavel livre podemos associar qualquer valor Assim 0 sistema deve ter uma infinidade de solugées Solucao c A ultima linha corresponde a equacdo x0 que nos da um valor numérico para x Substituindo esse valor na terceira equacao a saber x 6x9 obtemos x 9 Agora é possivel ver que podemos continuar esse processo e substituir os valores conhecidos de x e x na equacdo correspondente a segunda linha obtendo um valor numérico tinico para x e finalmente substituir os valores conhecidos de x x e x na equacdo correspondente a primeira linha para obter um valor numérico Unico para x Assim o sistema tem uma solugfo tinica 4 E importante conhecer trés fatos sobre as formas escalonadas e escalonadas reduzidas Alguns fatos sobre as como segue mas que nao serao demonstrados formas escalonadas 1 Toda matriz tem uma tnica forma escalonada reduzida por linhas ou seja indepen dentemente de utilizar eliminagao de GaussJordan ou uma outra sequéncia qualquer de operagées elementares no final sempre chegamos 4 mesma forma escalonada re 1 duzida por linhas 2 As formas escalonadas por linhas nao sao unicas ou seja diferentes sequéncias de operagdes com linhas podem resultar em formas escalonadas diferentes 3 Embora as formas escalonadas por linhas nao sejam unicas todas as formas escalo nadas por linhas de uma matriz A tem o mesmo ntimero de linhas nulas e os pivés sempre ocorrem na mesma posicéo das formas escalonadas por linhas de A Essas posig6es sao denominadas posigées de pivd de A Dizemos que uma coluna que con tenha uma posigao de pivé é uma coluna de pivé de A Posicao e coluna de pivé Anteriormente nesta secao imediatamente depois da Definicgdo 1 obtivemos uma forma escalonada de 0 0 2 0 7 12 A2 4 10 6 12 28 2 4 5 6 5 1 a saber 1 2 5 3 6 14 0 0 1 0 f 6 0 0 0 0 1 2 Os pivés ocorrem nas posioées linha 1 coluna 1 linha 2 coluna 3 e linha 3 coluna 5 Essas sao as posicoes de pivé As colunas de pivé sao as colunas 13e5 4 Muitas vezes ha uma lacuna entre a teoria matemAtica e sua implementag4o praticae as Erro de arredondamento eliminagGes gaussiana e de GaussJordan sao bons exemplos disso O problema é que os e jnstabilidade Uma prova desse resultado pode ser encontrada no artigo The Reduced Row Echeleon Form of a Matrix Is Unique A Simple Proof de Thomas Yuster em Mathematics Magazine Vol 57 No 2 1984 paginas 9394 22 Álgebra Linear com Aplicações computadores em geral aproximam os números e com isso introduzem erros de arredon damento esses erros podem se propagar em contas sucessivas e podem acabar corrom pendo uma resposta a ponto de tornála inútil a menos que sejam tomadas precauções Os algoritmos procedimentos em que isso pode ocorrer são ditos instáveis Existem várias técnicas para minimizar os erros de arredondamento e a instabilidade Por exemplo pode ser mostrado que para sistemas lineares grandes a eliminação de GaussJordan envolve aproximadamente 50 a mais de operações do que a eliminação gaussiana por isso a maioria dos algoritmos de computador tem por base a eliminação gaussiana Alguns des ses tópicos serão considerados no Capítulo 9 Revisão de conceitos Forma escalonada reduzida por linhas Forma escalonada por linhas Pivô Variável líder Variável livre Solução geral de um sistema linear Eliminação gaussiana Eliminação de GaussJordan Fase direta para frente Fase inversa para trás Sistema linear homogêneo Solução trivial Solução não trivial Teorema das variáveis livres de sistemas homogêneos Retrossubstitução Aptidões desenvolvidas Reconhecer se uma dada matriz está em forma escalonada forma escalonada reduzida ou nenhuma dessas Construir soluções de sistemas lineares cuja matriz aumentada correspondente está em forma escalonada ou escalonada reduzida Usar a eliminação gaussiana para encontrar a solução geral de um sistema linear Usar a eliminação de GaussJordan para encontrar a solução geral de um sistema linear Analisar sistemas lineares homogêneos usando o teorema das variáveis livres de sistemas homogêneos Conjunto de exercícios 12 1 Em cada parte determine se a matriz está em forma escalona da em forma escalonada reduzida ambas ou nenhuma a b c d e f g 2 Em cada parte determine se a matriz está em forma escalona da em forma escalonada reduzida ambas ou nenhuma a b c d e f g 3 Em cada parte suponha que a matriz aumentada de um siste ma de equações lineares tenha sido reduzida à dada forma es calonada por meio de operações elementares sobre as linhas Resolva o sistema a b 12 Eliminagao gaussiana 23 1 7 2 0 8 3 14 x 3x x0 15 ax ax ax 0 c 0 0 1 1 6 5 x 8x 0 yX Ay X yx 0 0 0 0 1 3 9 4x0 0 0 0 O 0 9 16 3x 2x 0 1 3 7 I 6x 4x 0 d 0 1 4 0 0 0 0 1 Nos Exercicios 1724 resolva o sistema linear dado por qual quer método 4 Em cada parte suponha que a matriz aumentada de um siste 17 2x x3x0 18 2x y3z0 ma de equagdes lineares tenha sido reduzida 4 dada forma es x 2x 0 x 2y 320 calonada por meio de operag6es elementares sobre as linhas yt un 0 x4 y4420 Resolva o sistema 2 3 Ie 1 0 0 3 19 3x xx0 20 v 3w 2x 0 a 0 1 0 0 5x X x x 0 2u v4w 3x 0 0 0 1 7 2u3v2w x0 4u 3vu5w 4x 0 Po 07 8 21 2x 2y 4z0 b 0 1 0 3 2 w y3z0 0 O TT 1 5 2w3x y z0 1 6 0 0 3 2 2w x3y2z0 w 2 F 4 7 22 x 3x x0 0 0 0 1 5 8 xX 4x 2x 0 0 0 0 0 0 0 2x 2x x 0 1 3 0 0 2x 4x x x0 d 0 0 1 0 X 2x x x0 0 0 0 1 23 2 14315441 9 I 21 71 11 1 Nos Exercicios 58 resolva 0 sistema linear por eliminacao 313L 151 8 e GaussJordan 2 L414110 5 x x2x 8 6 2x 2x2x 0 x 2x 3x 1 2x5x2x 1 2A Z Z2Z0 3x Tx 4x 10 8x x 4x1 Z Z2Z32Z Z0 7 5 1 Z Z2Z Z0 6 XS YE ee We 2Z2Z Z 47Z0 2x y2z2w2 x t2y4c w 1 Nos Exercicios 2528 determine os valores de a com os quais 3x 3w3 0 sistema n4o tem solugao tem exatamente uma solugdo ou tem 8 2b3c 1 uma infinidade de solucées 3a 6b 3c 2 25 x2y 32 4 6a6b3c 5 3x yt 5z 2 4 14za42 Nos Exercicios 912 resolva o sistema linear por eliminagao t yt a eat gaussiana 26 x 2y z2 9 Exercicio 5 10 Exercicio 6 2x 2y 3z1 2 11 Exercicio 7 12 Exercicio 8 x2ya 3za 27 x 2y 1 Nos Exercicios 1316 sem utilizar papel e lapis determine se 2x a 5y a1 0 sistema homogéneo tem solugoes nao triviais 13 2x 3x4x x0 28 xt yt i 7 Tx x 8x 9x0 2x 3y 5 I7z 16 2x 8x x x 0 x2y1z 3a 24 Algebra Linear com Aplicacées Nos Exercicios 2930 resolva 0 sistema dado em que a bec 37 Encontre os coeficientes a b c e d tais que a curva mostrada s4o constantes na figura seja o grafico da equaciio y ax bx cx d 29 2x ya 30 x xa y 3x 6y b 2x 2xb 50 3x 3x 0 10 17 31 Encontre duas formas escalonadas por linha diferentes de 5 7 50 3 11 4 14 2 7 Figura Ex37 Esse exercicio mostra que uma matriz pode ter formas escalo 38 Encontre os coeficientes a b c e d tais que a curva mostrada na nadas distintas figura seja dada pela equagao ax ay bx cy d 0 32 Reduza y 2 1 3 27 0 2 29 4 5 3 4 5 a forma escalonada reduzida sem introduzir frag6es em esta x gios intermediarios 33 Mostre que o sistema nao linear a seguir tem 18 solucGes se 0 4 3 Figura Ex38 Sas270S68 27e0Sy 27 39 Se o sistema linear 2sena 2cosB 3tany 0 b tbhyez sena 5cosB 3tany 0 ax by toz0 ax by 07 0 sena 5cosB Stany 0 ax by cz 0 Sugestdo comece com as substituigdes x sena y cos B tiver somente a solucao trivial o que pode ser dito sobre as solu eztany cdes do sistema a seguir 34 Resolva 0 seguinte sistema de equacgées nao lineares nos axtbytez3 angulos incdgnitos a Be ycom0 a 270 B 27e ax bytoz7 Oyaz ax by cz 11 2sena cosB 3tany 3 40 a Se A for uma matriz com trés linhas e cinco colunas qual 4sena 2cosB 2tany 2 é o nimero maximo possivel de pivés em sua forma esca 6sena 3cosB tany 9 lonada reduzida oo b Se B for uma matriz com trés linhas e seis colunas cuja 35 Resolva 0 seguinte sistema de equacées nao lineares para x y tiltima coluna sé tem zeros qual é o ntimero maximo pos e sivel de parametros da soluc4o geral do sistema linear cuja i B vey 4 26 matriz aumentada é B e y 4222 c Se C for uma matriz com cinco linhas e trés colunas qual 3 3 5 é o nimero minimo possivel de linhas inteiras de zeros xy 7 3 em qualquer forma escalonada de C Sugestdo comece com as substituigdes X x Y y 41 a Mostre que se ad bc 0 entao a forma escalonada Z2 reduzida por linhas de 36 Resolva o sistema a seguir para x y z a b 1 0 é 12 4 c ad 0 1 45 2 xy b Use o resultado da parte a para mostrar que se ad bc 2 3 8 0 entdo o sistema linear 0 x yz ax by k 1 9 10 cx dy 425 x y tem exatamente uma solucio 13 Matrizes e operagdes matriciais 25 42 Considere 0 sistema de equagdes c Cada matriz tem uma tnica forma escalonada por linhas ax by 0 d Um sistema linear homogéneo em n incégnitas cuja matriz cx dy 0 aumentada correspondente tem uma forma escalonada redu ex fy 0 zida com r pivés tem n r variaveis livres e Todos os pivés de uma matriz em forma escalonada por li Discuta as posigGes relativas das retas ax by Oe on nhas devem ocorrer em colunas distintas cx dy Oe ex fy 0se a o sistema tiver apenas a solu cdo trivial e b 0 sistema tiver soluc6es nao triviais f Se cada coluna de uma matriz em forma escalonada por li a nhas tiver um pivé entao cada entrada que nao for um piv6 43 Descreva todas as formas escalonadas reduzidas possiveis de P q P sera nula a boceod abc ef h g Se um sistema linear homogéneo de n equacdes em n incdég a e nitas tiver uma matriz aumentada correspondente com uma d bb 7 i i tas t t tad pondent gh i pod forma escalonada reduzida com n pivés entdo o sistema li mn p q near s6 tem a solugao trivial h Sea forma escalonada reduzida de uma matriz aumentada de Exercicios verdadeirofalso um sistema linear tiver uma linha de zeros entio o sistema Nas partes ai determine se a afirmacao é verdadeira ou falsa deve ter uma infinidade de solugoes justificando sua resposta i Se um sistema linear tem mais inc6gnitas do que equacgGes a Se uma matriz estiver em forma escalonada reduzida por li entao o sistema deve ter uma infinidade de solugdes nhas entéo também estar4 em forma escalonada por linhas b Se efetuarmos uma operagao elementar com as linhas de uma matriz em forma escalonada a matriz resultante ainda estara em forma escalonada 13 Matrizes e operacées matriciais ColegGes retangulares de ntimeros reais aparecem em muitos contextos nao s6 como a matriz aumentada de um sistema de equacoes lineares Nesta segao comecamos a estudar matrizes como objetos independentes definindo sobre elas as operag6es de adicao subtragao e multiplicagao Na Segao 12 usamos coleg6es retangulares de nimeros denominadas matrizes aumen Notacao e terminologia tadas para abreviar a escrita de sistemas de equagées lineares Contudo essas colegdes matricial retangulares de nimeros ocorrem também em outros contextos Por exemplo a seguinte colecao retangular de trés linhas e sete colunas pode descrever 0 nimero de horas que um estudante gastou estudando trés matérias numa certa semana 2 3 4 Se 6 Sab Dom Matematica 2 3 2 4 1 4 2 Historia 0 3 1 4 3 2 2 Linguas 4 1 3 1 0 0 2 Suprimindo os titulos ficamos com a seguinte colegéo retangular de nimeros com trés linhas e sete colunas denominada matriz 23 241 4 2 03 14 3 2 2 4 13 10 0 2 Mais geralmente fazemos a seguinte definicao 26 Algebra Linear com Aplicacées DEFINICAO 1 Uma matriz é um agrupamento retangular de nimeros Dizemos que os numeros nesse agrupamento sao as entradas da matriz Exemplos de matrizes Alguns exemplos de matrizes sao Uma matriz com somente uma corn cs fenominada matriz 1 2 e 7 2 coluna ou vetor coluna e uma 2 1 0 3 1 4 matriz com somente uma linha 3 0 0 2 3 4 é denominada matriz linha ou l 4 0 0 0 vetor linha No Exemplo 1 a matriz 2 X 1 é um vetor coluna amatriz 1 X 4é um vetor linhae O tamanho de uma matriz é descrito em termos do numero de linhas fileiras hori amatriz 1 X 1 é um vetor coluna zontais e de colunas fileiras verticais que ela contém Por exemplo a primeira matriz e também um vetor linha do Exemplo tem trés linhas e duas colunas portanto seu tamanho é 3 por 2 e escreve mos 3 X 2 Numa descrigao de tamanho o primeiro nimero sempre denota o nimero de linhas e 0 segundo o de colunas As outras matrizes do Exemplo tém tamanhos X 4 3 X 32 X lel X 1 respectivamente Utilizamos letras maitisculas para denotar matrizes e letras mintisculas para denotar quantidades numéricas assim podemos escrever A 2 17 C abe ou 3 4 2 de f Quando discutimos matrizes é costume dizer que as quantidades numéricas sdo escala res Salvo mencao explicita em contrario escalares sdo numeros reais escalares comple XOS serao considerados mais adiante no texto en A entrada que ocorre na linha i e coluna j de uma matriz A denotada por 3 X 4 As E pratica comum omitir os col Loe sim uma matriz arbitraria 3 X 4 pode ser escrita como chetes de matrizes X 1 tor nando aIpOSStyel saber por dy a a3 Ay exemplo se 0 simbolo 4 denota A o nimero quatro ou a matriz 41 42 3 4 Isso raramente causa proble Az Ax 33 Aggy mas pois geralmente é possivel ver a qual dos dois nos estamos e uma matriz arbitraria m X n como referindo a partir do contexto GQ Ag ot Ay a a eee a A or Aint Ang ue Gin Quando for desejada uma notagéo mais compacta a matriz precedente pode ser escrita como la Jnxn OU aj sendo utilizada a primeira notagao quando for importante na argumentagao saber o ta manho da matriz e a segunda quando o tamanho nao necessitar énfase Em geral combi namos a letra denotando a matriz com a letra denotando suas entradas assim para uma matriz B costumamos usar b para a entrada na linha i e na coluna j e para uma matriz C usamos a notagao A entrada na linha i e na coluna j de uma matriz A também é comumente denotada pelo simbolo A Assim para a matriz 1 acima temos A a5 13 Matrizes e operagdes matriciais 27 e para a matriz A 2 3 7 0 temos A 2 A 3 A 7e A 0 Vetores linha e coluna sao de importancia especial e é pratica comum denotalos por letras minusculas em negrito em vez de letras maitisculas Para tais matrizes é desneces sario usar indices duplos para as entradas Assim um vetor linha X n arbitrario a e um vetor coluna m X arbitrario b podem ser escritos como b b aa a al ee b D Dizemos que uma matriz A com n linhas en colunas uma matriz quadrada de ordem n e que as entradas destacadas d d 4 em 2 constituem a diagonal principal de A Gy Ayn Ay a a eae a 2 ayy an ue Ann Até aqui usamos matrizes para abreviar o trabalho de resolver sistemas de equacées li Operacgées com matrizes neares Para outras aplicagdes contudo desejavel desenvolver uma aritmética de ma trizes na qual as matrizes podes ser somadas subtrafdas e multiplicadas de alguma ma neira util O restante desta secdo sera dedicado a desenvolver essa aritmética DEFINIGAO 2 Duas matrizes s4o definidas como sendo iguais se tiverem 0 mesmo tamanho e suas entradas correspondentes forem iguais Igualdade de matrizes g A igualdade de duas matrizes Considere as matrizes Aa e Bb A 2 1 B 2 1 C 2 1 0 Y 3 x 3 57 3 4 0 de mesmo tamanho pode ser ex pressa escrevendo Se x 5 entao A B mas para todos os outros valores de x as matrizes A e B nao sao A B iguais pois nem todas as suas entradas coincidem Nao existe valor de x com 0 qual A C pois A e C tém tamanhos diferentes 4 ou entao ay by DEFINICAO 3 SeAeB sido matrizes de mesmo tamanho entio asoma A B éama entendendose que as igualdades triz obtida somando as entradas de B as entradas correspondentes de A e a diferenca A siio validas com quaisquer valo B éa matriz obtida subtraindo as entradas de B das entradas correspondentes de A res de iej Matrizes de tamanhos distintos nao podem ser somadas ou subtrafdas Em notagao matricial se A a e B b tém o mesmo tamanho entao A B A B a 5 A By A By ay 5 28 Algebra Linear com Aplicacées Adicgao e subtragao Considere as matrizes 2 1 0 3 4 3 5 1 1 A1 0 2 4 B 2 2 0 I C 4 2 7 0 3 2 4 5 Entao 2 4 5 4 6 2 5 2 AB 1 2 2 3 e AB3 2 2 5 7 0 3 5 1 4 11 5 As expressées A CB CA Ce B Cnio estao definidas 4 DEFINIGAO 4 Se A for uma matriz e c um escalar entéo 0 produto cA a matriz obtida pela multiplicagao de cada entrada da matriz A por c Dizemos que a matriz cA é um muiltiplo escalar de A Em notacao matricial se A la entao cA cA ca Multiplos escalares Para as matrizes 2 3 4 0 2 7 9 6 3 A B C Pak Li 3 sh eb oa temos 4 6 8 0 2 7 32 1 2A lB 4C 6 CD i 3 4 3 0 E usual denotar 1B por B Até aqui definimos a multiplicagao de uma matriz por um escalar mas nao a multi plicagao de duas matrizes Como as matrizes s40 somadas somando as entradas corres pondentes e subtrafdas subtraindo as entradas correspondentes pareceria natural definir a multiplicagao de matrizes multiplicando as entradas correspondentes Contudo ocorre que tal definigdo nao seria muito util na maioria dos problemas A experiéncia levou os matematicos 4 seguinte definigaéo muito mais util de multiplicagao de matrizes DEFINIGAO5 SeA for uma matrizm X re B uma matriz r X n entdo 0 produto AB é amatriz m X ncujas entradas sao determinadas como segue Para obter a entrada na li nhaiecolunaj de AB destacamos a linha i de A e acoluna de B Multiplicamos as en tradas correspondentes da linha e da coluna e entéo somamos os produtos resultantes Multiplicando matrizes Considere as matrizes 4 1 4 3 A 2 ol B0 l 3 1 2 6 of 2 7 5 2 13 Matrizes e operagdes matriciais 29 Como A é uma matriz 2 X 3 e B uma matriz 3 X 4 o produto AB é uma matriz 2 X 4 Para determinar por exemplo a entrada na linha 2 e coluna 3 de AB destacamos a linha 2 de A e a coluna 3 de B Entao como ilustrado multiplicamos as entradas corres pondentes e somamos esses produtos 4 1 4 3 B2jjoa 3 1G000 26 0 7 5 2 LILI2ILI 24 6305 26 A entrada na linha e coluna 4 de AB é calculada como segue 4 1 4 3 Pe alle 3 1 JU 26 5 5 of OU 1321 42 13 As contas para as demais entradas sao 14 20 42 12 l11 47 27 14 23 45 30 AB 12 27 30 13 24 60 02 8 8 4 26 12 21 61 07 4 23 61 02 12 A definicéo de multiplicagéo de matrizes exige que o numero de colunas do pri meiro fator A seja igual ao nimero de linhas do segundo fator B para que seja possivel formar o produto AB Se essa condigao nao for satisfeita o produto nao estara definido Uma maneira conveniente de determinar se 0 produto de duas matrizes esta ou nao definido é escrever o tamanho do primeiro fator e 4 direita escrever o tamanho do se gundo fator Se como em 3 os nimeros internos coincidirem entao o produto estara definido A B AB mx r rxnmxn Internos 3 Externos 2 Nota historica O conceito de multiplicagao matricial devido ao ma ae tematico alemao Gotthold Eisenstein que introduziu a ideia em torno de 1844 para simplificar o processo de efetuar substituigdes em sistemas ms wer lineares A ideia entdo foi expandida e formalizada por Cayley em sua ff obra Memoir on the Theory of Matrices Ensaio sobre a Teoria de Matri si J zes publicada em 1858 Eisenstein foi um aluno de Gauss que 0 qua He j lificou como sendo do nivel de Isaac Newton e Arquimedes Contudo mS 2357 0 potencial de Eisenstein nunca foi realizado porque viveu doente toda es Naa sua vida e faleceu aos 30 anos Coat hee lmagem Wikipedia e AS t hy A te Gotthold Eisenstein 18231852 30 Algebra Linear com Aplicacées Determinando se um produto esta definido Suponha que A B e C sejam matrizes de tamanhos A B Cc 3x4 4x7 7x3 Entao por 3 o produto AB esta definido e uma matriz 3 7 BC esta definido e é uma matriz 4 X 3 e CA esta definido e uma matriz 7 X 4 Os produtos AC CB e BA nao esto definidos 4 Em geral se A la é uma matrizm X re B b é uma matriz r X n entao conforme destacado em 4 ay a1 nee Qh Ay Gy 7 Ay Tn b oD AB by Dy ue by ue Ds 4 Gi Gg ct Giy bi b eae b eae b Aint Ang oT Qiny a entrada AB na linha 7 e coluna j de AB é dada por AB ab Ab ab beet ab 3 Matrizes em blocos Uma matriz pode ser particionada ou subdividida em blocos de matrizes menores in serindo cortes horizontais e verticais entre linhas e colunas selecionadas Por exemplo as seguintes so trés partigdes possiveis de uma matriz 3 X 4 arbitraria A a primeira é uma partigdo de A em quatro submatrizes A A A A a segunda é uma particao de A em seus vetores linha r r r a terceira uma particao de A em seus vetores coluna C Cy 4 A 43 Ag A Ay Ay 741 Ay2 3 ng A A 21 22 G3 39 33 34 4 A 43 Ay r A4 Gy G3 Gy 0 G3 39 33 34 r 4 A 413 A A dy Gy 43 Gr 1 Ca G3 G39 433 34 Multiplicacao matricial por A partigdo de matrizes em blocos tem muitas utilidades uma das quais sendo encontrar colunas e linhas uma linha ou coluna especifica de um produto matricial AB sem calcular todo 0 produto Mais especificamente as formulas seguintes cujas provas sao deixadas como exercicio mostram como vetores coluna individuais de AB podem ser obtidos particionando B em 13 Matrizes e operagdes matriciais 31 vetores colunas e como vetores linha individuais de AB podem ser obtidos particionando A em vetores linha ABAlb b b Ab Ab Ab 6 AB calculado coluna a coluna a aB a aB AB B a a B AB calculado linha a linha Em palavras essas formula afirmam que jésimo vetor coluna de AB A jésimo vetor coluna de B 8 iésimo vetor linha de AB iésimo vetor linha de AJB 9 De novo o Exemplo 5 Se A eB sao as matrizes do Exemplo 5 entao por 8 o segundo vetor coluna de AB pode ser obtido calculando 1 1 2 4 4 27 2 6 0 4 7 Segunda coluna Segunda coluna de B de AB e por 9 o primeiro vetor linha de AB pode ser obtido calculando 4 1 4 3 1 2 4o 1 3 1 12 27 30 13 L 2 7 5 2 Primeira linha de B Primeira linha de AB Discutimos trés métodos para calcular um produto matricial AB a saber entrada poren Pyodutos matriciais como trada coluna por coluna e linha por linha A definigdo seguinte fornece mais uma maneira combinacées lineares de ver o produto matricial DEFINICAO6 SeAAA sao matrizes de mesmo tamanho e se c C 5 C sao escalares entéo uma expressao da forma cA oA 4 cA denominada combinacdao linear de A A A com coeficientes c CC 32 Algebra Linear com Aplicacées Para ver como o produto de matrizes pode ser visto como uma combinagao linear sejam A uma matrizm X nex um vetor colunan X digamos Apo Aygo iy x Aa 2 7 Gn e x An an ue Ginn x Entao AX FF AX H ax ay A G1 Ax 2 Fy Xy FF Ay X x x Any fedex ay 1 2 n AniX AinrXy Ginn X2 ant an Gin 10 Isso prova o teorema seguinte TEOREMA 131 Sejam A uma matrizm X nex um vetor colunan X 1 Entdo o pro duto Ax pode ser expresso como uma combinacao linear dos vetores coluna de A em que os coeficientes sao as entradas de x Produto matricial como combinagao linear A matriz produto 1 3 2 2 1 1 2 319 2 1 2 3 3 pode ser escrita como a combinagao linear dos vetores coluna 1 3 2 1 2 1124339 2 1 2 3 Colunas de um produto matricial como combinagées lineares Mostramos no Exemplo 5 que 4 1 4 3 1 2 4 12 27 30 13 AB 0 il 3 1 2 6 0 8 4 26 12 2 7 5 2 Segue da férmula 6 e do Teorema 131 que o jésimo vetor coluna de AB pode ser ex presso como uma combinagao linear dos vetores coluna de A em que os coeficientes da combinagao linear sao as entradas da jésima coluna de B As contas sao as seguintes 13 Matrizes e operagdes matriciais 33 2 4 0 2 2 4 8 2 6 0 27 1 2 47 4 4 2 6 0 30 4 3 2 5 4 26 2 6 0 8 3 2 4 12 2 6 0 A multiplicagéo matricial tem uma importante aplicagao a sistemas de equagoes lineares Forma matricial de um Considere um sistema de m equacoes lineares em n incégnitas sistema linear AX Ax e ax d AyX AyXy yx Dd Gin X An X2 tt Ginn Xn b Como duas matrizes s4o iguais se e somente se suas entradas correspondentes sao iguais podemos substituir as m equag6es desse sistema por uma tinica equagao matricial AX FAX Pe 4X Db AyX 1 AyXy Fes AX dy int x Aina Xo uc Ginn Xn b A matriz m X a esquerda dessa equacao pode ser escrita como um produto resultando Gy Ayn Ny x b Gy yg gy on b Gn Ang uc inn Xn Dn Denotando essas matrizes por A x e b respectivamente 0 sistema original de m equag6es em n incégnitas pode ser substituido pela tinica equagao matricial Axb A matriz A nesta equagaéo é denominada matriz de coeficientes do sistema A matriz au mentada do sistema é obtida pela adjungao de b a A como a tiltima coluna assim a matriz A barra vertical em A b é aumentada é 2 s6 uma maneira conveniente de ay ay A b visualmente separar A de b nao tendo significado matematico Ay Ayn tt Any b Ab Any an ce Finn b Concluimos esta segao definindo duas operagOes matriciais que nao tém analogos na arit Transposta de uma matriz mética de niimeros reais 34 Algebra Linear com Aplicacées DEFINIGAO 7 SeA for uma matriz m X n qualquer entdo a transposta de A deno tada por A é definida como a matriz n X m que resulta da troca das linhas com as colunas de A ou seja a primeira coluna de A é a primeira linha de A a segunda coluna de A éa segunda linha de A e assim por diante EXEMPLO 10 Algumastranspostas Alguns exemplos de matrizes e suas transpostas sAo os seguintes ay a a a4 2 3 Al4a 4 4 B1 4 C1 3 5 D4 45 xy 33 gy 5 6 Gy Ay 5 1 a a a 21 5 Aba OO Sry pt 8 Cli3 p4 G13 Ay As 3 4 6 5 G4 Ang 5 Observe que nao sé as colunas de A so as linhas de A mas também as linhas de A so as colunas de A Assim a entrada na linha i e coluna j de A é a entrada na linha j e coluna i de A ou seja T A A 11 Observe a reversdo de indices No caso especial em que a matriz A é uma matriz quadrada a transposta de A pode ser obtida pela troca das entradas posicionadas simetricamente em relac4o a diagonal principal Em 12 podemos ver que A também pode ser obtida refletindo A em torno de sua diagonal principal PN 12 4 t CD 1 3 5 aT T A 3 7 O A 2 7 8 12 5 8 6 C5 6 4 0 6 Permutamos entradas posicionadas simetricamente em relac4o 4 diagonal principal a eu ae ee Nota historica O termo matriz foi usado pela primeira vez pelo matematico See el ay inglés James Sylvester que definiu 0 termo em 1850 como um arranjo oblongo fa Se Ps re ca iS o de numeros Sylvester comunicou seu trabalho com matrizes ao colega mate i ee eee jij f a matico e advogado inglés chamado Arthur Cayley que entao introduziu algumas ms da és Pe das operacées matriciais basicas num livro intitulado Memoir on the Theory of oe ae CMatrices Ensaio sobre a Teoria de Matrizes publicado em 1858 Como curio A wf ae 3 r a Pie sidade Sylvester nunca se formou porque sendo judeu recusouse a assinar 0 a ew exigido juramento a igreja Anglicana Ele foi nomeado para uma catedra na Uni SR E versity of Virginia nos Estados Unidos mas renunciou depois de espancar com sua bengala um aluno que estava lendo um jornal em aula Sylvester pensando p que havia matado o aluno fugiu de volta para a Inglaterra no primeiro navio dis bs ponivel Felizmente o aluno ndo morreu so estava em choque Imagem Colegao Granger Nova York James Sylvester Arthur Cayley 18141897 18211895 13 Matrizes e operagdes matriciais 35 DEFINICAO 8 Se A for uma matriz quadrada entao 0 traco de A denotado por trA definido pela soma das entradas na diagonal principal de A O trago de A nao é defi nido se A nao for uma matriz quadrada Trago de uma matriz Alguns exemplos de matrizes e seus tragos s4o os seguintes 1 2 7 0 a GA a A ul 12 13 3 5 8 4 Gd a 21 22 23 1 2 7 3 a dy a 31 32 33 4 a 1 0 trA a a a wB157011 Nos exercicios desenvolvemos alguma pratica com as operagOes de transposiao e traco Revisao de conceitos e Matriz de coeficientes de um sistema linear e Matriz e Transposta e Entradas e Traco e Vetor coluna ou matriz coluna se a Aptidoes desenvolvidas e Vetor linha ou matriz linha e Determinar 0 tamanho de uma dada matriz e Matriz quadrada e Identificar os vetores linha e coluna de uma dada matriz e Diagonal principal Loo e Efetuar as operacées aritméticas de adicdo subtracao e Matrizes iguais een multiplicagao por escalar e produto de matrizes Spenagoes matriciais soma diferenga multiplicagao por e Determinar se esta definido 0 produto de duas matrizes escalar ee e Calcular um produto matricial usando os métodos linha e Combinagao linear de matrizes coluna das colunas e das linhas e Produto de matrizes multiplicagao matricial e Expressar 0 produto de uma matriz com um vetor coluna e Matriz em blocos como uma combinacAo linear das colunas da matriz e Submatrizes e Expressar um sistema linear como uma equagifio matricial e Método linhacoluna e identificar a matriz de coeficientes e Método das colunas e Calcular a transposta de uma matriz e Método das linhas e Calcular o trago de uma matriz quadrada Conjunto de exercicios 13 1 Suponha que A B C De E sejam matrizes de tamanhos Em cada parte determine se a expressao matricial dada esta A B C D E definida Para as que estaéo definidas dé o tamanho da matriz resultante 4 x 5 4 x 5 5 x 2 4 x 2 5 x 4 a BA b AC D c AEB d ABB ce EA B f EAC g EA h A ED 36 Algebra Linear com Aplicacées 2 Suponha que A B C D e E sejam matrizes de tamanhos a a primeira linha de AB b a terceira linha de AB A B C D E c asegundacolunade AB d aprimeira coluna de BA 3x 1 3 x 6 6 x 2 2 x 6 1 x 3 e aterceira linha de AA f aterceira coluna de AA 8 Usando as matrizes do Exercicio 7 use o método das linhas Em cada parte determine se a expressao matricial dada esta ou das colunas como for apropriado para encontrar definida Para as que estao definidas dé o tamanho da matriz resultante a a primeira coluna de AB a EA b A B c B A E b aterceira coluna de BB d 2AC c C DB f CDBE c asegunda linha de BB g B Dc h DC EA d aprimeira coluna de AA 3 Considere as matrizes e a terceira linha de AB f a primeira linha de BA 3 0 4 14 2 9 Usando as matrizes A e B do Exercicio 7 AI 2 B 0 2 C 3 1 57 a expresse cada vetor coluna de AA como uma combinagao 11 linear dos vetores coluna de A 1 5 2 6 1 3 b expresse cada vetor coluna de BB como uma combinaco D1 0 1 E1 1 2 linear dos vetores coluna de B 3 2 4 4 1 3 10 Usando as matrizes A e B do Exercicio 7 a expresse cada vetor coluna de AB como uma combinagao Em cada parte calcule a expresso dada se possivel linear dos vetores coluna de A a DE b DE c SA b expresse cada vetor coluna de BA como uma combinacao d 7C ec 2BC f 4E 2D linear dos vetores coluna de B g 3D 2E h AA i trD 11 Em cada parte encontre matrizes A x e b que expressem o j tD 3E k 4 tr7B 1 trA sistema de equacoes lineares dado como uma tinica equag4o 4 Usando as matrizes do Exercicio 3 em cada parte calcule a matricial Ax b e escreva essa equagao matricial expressao dada se possivel a 2x 3x 5x 7 a 2A7C b D E c D EB 9x x X1 d B5c 471 A f BB x 5x 45 0 g 2E3D h 2E3D i CDE b 4x 3x 14 1 j CBA k trDE l trBO 5x X 8x 3 5 Usando as matrizes do Exercicio 3 em cada parte calcule a 2x se 9x 7 expressao dada se possivel My Fy a AB b BA c 3ED 12 Em cada parte encontre matrizes A x e b que expressem 0 sistema de equacoes lineares dado como uma tinica equacg4o ABC e ABO r ccr matricial Ax b e escreva essa equacao matricial 8 DA h C BA i DDT a x 2x 3x3 b 3x 3x 3x 3 G tr4E D k tCA 2E trEC A 2x xy 0 x 5x 2x 3 6 Usando as matrizes do Exercicio 3 em cada parte calcule a 3x4x 1 4xy x 0 expressao dada se possivel x x 5 T a 2D BA b GBC 2B 13 Em cada parte expresse a equagao matricial como um sistema c AC 5D d BA 20T de equacoes lineares BCC AA DE ED f ED 5 6 7fx 9 Sejam J a 1 2 3x o 3 2 7 6 2 4 0 4 1x 3 A6 5 4 e B0 1 3 0 4 9 7 97 5 poor Ty ya 2 b 2 3 O jx 2 Use 0 método das linhas ou das colunas como for apropria 5 3 6x 9 do para encontrar 13 Matrizes e operagdes matriciais 37 14 Em cada parte expresse a equagdo matricial como um sistema 24 Em cada parte encontre a matriz A a de tamanho 4 Xx 4 de equac6es lineares cujas entradas satisfazem a condicao dada 31 2fx 2 a ajitj b a 17 a 4 3 7x1 a 1 se jijl1 2 1 5 La 4 IS se fi i 1 32 0 1 W 0 25 Considere a funcgao y fx definida com matrizes x de tama ao y b 5 0 2 2x 0 nho 2 X 1 por y Ax sendo 3 1 4 7 y 0 1 2 5 1 6 z 0 A fn Nos Exercicios 1516 encontre todos os valores de k se hou Esboce fx juntamente com x em cada caso dado Como vocé ver que satisfazem a equacao descreveria a acdo de f 1 1 O k 1 2 a x b x 15 k 1 I1 0 2 10 I 0 0 2 3 1 Cc x x 1 2 0f2 3 2 16 2 2 ki2 0 320 26 Sejaamatrizn X ncuja entrada na linha i e coluna j é J lJ J 0 3 IIk 1 se ij se ij Nos Exercicios 1718 resolva a equacao matricial em termos de ab ced Mostre que AJ JA A com qualquer matrizn X nA 17 a 3 4 d 27 Quantas matrizes A de tamanho 3 X 3 vocé consegue encon l1 ab d2c 2 trar tais que or a l r 4 x xy 3dc 2dc 7 6 Alyxy 19 Sejam A uma matriz m X ne 0a matriz m X n com todas as Zz 0 entradas nulas Mostre que se kA 0 entéo k 0 ouA 0 20 a Mostre que se os produtos AB e BA estiverem ambos de com quaisquer escolhas de x y z finidos entaéo AB e BA sao matrizes quadradas 28 Quantas matrizes A de tamanho 3 X 3 vocé consegue encon b Mostre que se A for uma matriz m X n e ABA estiver trar tals que definida entéo B é uma matriz n X m x xy 21 Prove que se A e B sao matrizes n X n entao Aly0 trA B trA trB Zz 0 22 a Mostre que se A tem uma linha de zeros e B é uma matriz com quaisquer escolhas de x y e z qualquer para a qual o produto AB esta definido entao Z 29 Dizemos que uma matriz B é uma raiz quadrada de uma ma AB também tem uma linha de zeros triz A se BB A b Encontre um resultado andlogo para uma coluna de ze 2 2 ros a Encontre duas raizes quadradas de A 23 Em cada parte encontre uma matriz a de tamanho 6 x6 b Quantas raizes quadradas distintas vocé consegue encon que satisfaz a condicdo dada Dé respostas tao gerais quanto 5 0 possivel usando letras em vez de numeros para entradas nao trarde A E if nulas especificas a a0 se ij b a40 se ij c Vocé acha que qualquer matriz 2 X 2 tem pelo menos ol uma raiz quadrada Explique seu raciocinio c a0 se ij Lo 30 Seja 0 a matriz 2 X 2 com todas as entradas nulas d a0 se fij1 a Existe alguma matriz A de tamanho 2 X 2 tal queA 0e AA 0 Justifique sua resposta b Existe alguma matriz A de tamanho 2 X 2 tal que A Oe AA A Justifique sua resposta 38 Algebra Linear com Aplicacées Exercicios verdadeirofalso i Se A for uma matriz 6 X 4 e B uma matriz m X n tal que BA Nas partes a0 determine se a afirmacao é verdadeira ou falsa uma matriz 2 X 6 entaom 4en 2 justificando sua resposta G SeA for uma matriz n X nec um escalar entao trcA c fl 2 37 trA a A matriz E 5 sl nao tem diagonal principal k Se A Be C forem matrizes de mesmo tamanho tais que A b Uma matriz m X n tem m vetores coluna e n vetores linha C B Centéo A B c SeAe B forem matrizes 2 X 2 entio AB BA 1 Se A Be C forem matrizes quadradas de mesma ordem tais o que AC BC entéo A B d Ojiésimo vetor linha de um produto matricial AB pode ser calculado multiplicando A pelo iésimo vetor linha de B m Se asoma de matrizes AB BA estiver definida entao A e B TT devem ser matrizes quadradas de mesmo tamanho e Dada qualquer matriz A vale A A n Se B tiver uma coluna de zeros entéo sempre que o produto f Se A e B forem matrizes quadradas de mesma ordem entao estiver definido AB também tem trAB trAtrB 0 Se B tiver uma coluna de zeros entéo sempre que o produto g SeA B forem matrizes quadradas de mesma ordem ento estiver definido BA também tem AB AB h Dada qualquer matriz quadrada A vale trA trA 14 Inversas propriedades algébricas das matrizes Nesta seao discutimos algumas das propriedades algébricas das operag6es matriciais Veremos que muitas das regras basicas da aritmética de nimeros reais também valem para matrizes mas também que algumas nao valem Propriedades das adicao O teorema seguinte lista as propriedades algébricas basicas das operagées matriciais matricial e multiplicagao por escalar TEOREMA 141 Propriedades da aritmética matricial Supondo que os tamanhos das matrizes sejam tais que as operacées indicadas possam ser efetuadas valem as seguintes regras da aritmética matricial a ABBA Lei da comutatividade da adicio b ABCABC Lei da associatividade da adicao c ABC ABC Lei da associatividade da multiplicacao d AB C AB AC Lei da distributividade 4 esquerda e A BC AC BC Lei da distributividade a direita f AB C AB AC g B CA BACA h aBCaBacC i aB C aB aC Gj a byC aC bC k a bC aC bC D abC abC m aBC aBC BaC Para provar qualquer uma das igualdades nesse teorema devemos mostrar que a ma triz do lado esquerdo tem 0 mesmo tamanho que a matriz do lado direito e que as entradas correspondentes dos dois lados sao iguais A maioria das provas segue 0 mes mo padrao geral portanto provamos a parte d como amostra A prova da lei da 14 Inversas propriedades algébricas das matrizes 39 associatividade da multiplicagaéo é mais complicada do que o resto e sera delineada nos exercicios Prova d Devemos mostrar que AB Ce AB AC tém 0 mesmo tamanho e que as entradas correspondentes sao iguais Para formar AB C as matrizes B e C devem ter 0 mesmo tamanho digamos m X n e entao a matriz A deve ter m colunas de modo que seu tamanho é da forma r X m Isso faz de AB C uma matriz r X n Segue que AB AC também é uma matriz r X ne consequentemente AB Ce AB AC tém o mesmo tamanho Suponha que A a B b e C c Queremos mostrar que as entradas cor a oo u u wow Existem trés maneiras basicas respondentes de AB Ce de AB AC sAo iguais ou seja que de provar que duas matrizes AB O AB AC do mesmo tamanho so iguais a Ou provamos que as entradas para todos valores de i e j Pela definigaéo de soma e produto matriciais temos correspondentes sao iguais ou ABC a by tay by Gj Hee tig Dy Cy Provamos que os vetores coluna 7 J J 7 J 7 if sao iguais ou provamos que os 4 bj diy by tet Gy Dj aj bj ay by Hee din Cj vetores linha sao iguais AB AC AB AC 4 Observacao Embora as operacGes de adigao matricial e de multiplicagéo matricial tenham sido definidas para pares de matrizes as leis da associatividade b e c nos permitem escrever somas e produtos de trés matrizes como A B Ce ABC sem a insercao de parénteses Isso se justifica pelo seguinte fato onde quer que os parénteses sejam inseridos as leis da associatividade garantem que sempre sera alcancado 0 mesmo resultado final Em geral dados qualquer soma ou qualquer produto de matrizes podemos omitir ou inserir pares de parénteses em qualquer lugar da expressdo sem afetar o resultado final Associatividade da multiplicagao matricial Como uma ilustragdo da lei da associatividade da multiplicagao matricial considere 1 2 4 3 1 0 A3 4 B C 2 1 2 3 0 1 Entao 1 2 a 4 3 4 31 0 10 9 AB3 4 20 13 e BC 2 1 2 142 3 4 3 0 1 2 1 Assim 8 5 1 0 18 15 ABC 20 13 146 39 2 1 4 3 e 1 2 18 15 10 9 ABC3 4 4 3 46 39 0 1 4 3 de modo que ABC ABC conforme garante 0 Teorema 141c 4 40 Algebra Linear com Aplicacées Propriedades da Nao deixe o Teorema 141 iludilo a acreditar que todas as leis da aritmética real sejam multiplicagao matricial validas na aritmética matricial Por exemplo sabemos que na aritmética real sempre vale que ab ba que é a lei da comutatividade da multiplicagdo Na aritmética matricial contudo a igualdade de AB e BA pode nao ser valida por trés raz6es possiveis 1 AB pode estar definida e BA nao por exemplo se A é uma matriz 2 X 3e Bé3 X 4 2 ABe BA podem ambas estar definidas mas tém tamanhos diferentes por exemplo se A éuma matriz 2 X 3e Bé3 X 2 3 AB e BA podem ambas estar definidas e ter o mesmo tamanho mas as matrizes po dem ser diferentes conforme ilustrado no exemplo seguinte A ordem é importante na multiplicagao matricial Considere as matrizes Nao veja mais do que esta es crito no Exemplo 2 O exemplo 1 0 1 2 nao proibe a possibilidade de AB A 2 3 e B 3 0 e BA serem iguais em certos ca sos somente que nao so iguais Multiplicando obtemos em todos os casos Se ocorrer que AB BA dizemos que as AB 12 e BA 3 6 matrizes A e B comutam 11 4 3 0 Assim AB BA 4 Matrizes zero Uma matriz cujas entradas sao todas nulas é denominada matriz zero ou matriz nula Alguns exemplos sao 0 0 0 0 lo 0 000 Soo Ol 0 0 0 O 0 0 0 Of 0 0 0 0 0 Denotamos uma matriz nula por 0 a menos que seja importante enfatizar seu tamanho caso em que a matriz m X n denotada por 0 Deveria ser evidente que se A e 0 forem matrizes de mesmo tamanho entao A00AA Assim nessa equacgao matricial a matriz 0 desempenha o mesmo papel que o nimero 0 na equacao numéricaa 0 Oaa O teorema seguinte lista as propriedades basicas das matrizes nulas Como as afirma des devem ser evidentes omitimos as provas formais TEOREMA 142 Propriedades de matrizes zero Se c for um escalar e se os tamanhos das matrizes forem tais que as operagdes possam ser efetuadas entao a AO0AA b AOA c AAAA 0 d 0A 0 e SecA 0 entéoc 0ouA 0 Como ja sabemos que a lei da comutatividade da aritmética dos nimeros reais nao vale na aritmética matricial nado deveria ser surpreendente que ha outras regras que também fa Ilham Por exemplo considere as duas leis da aritmética dos nimeros reais seguintes 14 Inversas propriedades algébricas das matrizes 41 e Seabacea0entiobc A lei de cancelamento e Se ab 0 entéo pelo menos um dos fatores a esquerda é 0 Os dois exemplos a seguir mostram que essas leis nado s4o universalmente verdadeiras na aritmética matricial A lei de cancelamento nao vale Considere as matrizes A 0 1 Be 1 1 CH 2 5 10 27 13 4 13 4 Deixamos para 0 leitor confirmar que AB AC 34 7 16 8 Embora A 0 0 cancelamento de A de ambos lados da equagéo AB AC levaria a conclusao incorreta que B C Assim a lei de cancelamento nao é valida em geral na multiplicagao matricial Um produto nulo com fatores nao nulos Aqui temos duas matrizes tais que AB 0 mas A Oe B 0 0 1 37 A B ba 0 a Uma matriz quadrada com entradas na diagonal principal e demais entradas nulas Matrizes identidade denominada matriz identidade Alguns exemplos sao 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 O 1 O 0 1 00 1 0 0 0 1 000 1 Uma matriz identidade é denotada pela letra J Se for importante enfatizar seu tamanho escrevemos para a matriz identidade de tamanho n X n Para explicar 0 papel das matrizes identidade na aritmética matricial consideremos o efeito de multiplicar uma matriz A de tamanho 2 X 3 nos dois lados por uma matriz identidade Multiplicando a direita pela matriz identidade 3 X 3 obtemos 1 0 0 AL é ay 01 0l bh ayy a A Ay Ayn Ag 001 QA yy g3 e multiplicando pela esquerda pela matriz identidade 2 X 2 obtemos LA 1 0 a ay én A A 0 1 la a ay Ay Ayn gg O mesmo resultado vale em geral ou seja se A for uma matriz m X n entao AL A e LAA 42 Algebra Linear com Aplicacées Assim as matrizes identidade desempenham nas equag6es matriciais o mesmo papel que o numero desempenha na equacgdo numéricaad 1 1aa Como mostra 0 teorema seguinte as matrizes identidade surgem naturalmente no estudo da forma escalonada reduzida por linhas de matrizes guadradas TEOREMA 143 Se R é a forma escalonada reduzida por linhas de uma matriz A de tamanho n X n entdo ou R tem uma linha de zeros ou R é a matriz identidade I Prova Suponha que a forma escalonada reduzida por linhas de A seja My Vip ttt Fin R My Fy 8 Pan rn r n2 uo r mn De duas uma ou a Ultima linha dessa matriz constituida inteiramente de zeros ou nao Se nao a matriz nado contém linhas nulas e consequentemente cada uma de suas n linhas tem um pivé Como esses pivés ocorrem progressivamente para a direita 4 medida que desce mos pelas linhas cada um deve ocorrer na diagonal principal Como as demais entradas na mesma coluna sao zeros R deve ser J Assim ou R tem uma linha de zerosouRJ Inversa de uma matriz Na aritmética real cada nimero nao nulo a tem um reciproco a 1a com a propriedade aaaa1 O ntimero a também é denominado inverso multiplicativo de a Nosso pr6ximo objetivo é desenvolver para a aritmética matricial um andlogo desse resultado Com esse objetivo apresentamos a definicao a seguir DEFINIGAO 1 Se A for uma matriz quadrada e se pudermos encontrar uma matriz B de mesmo tamanho tal que AB BA IJ entéo diremos que A é invertivel ou nado singular e que B é uma inversa de A Se nao puder ser encontrada uma tal matriz B diremos que A é nao invertivel ou singular Observacao A relagéo AB BA J permanece inalterada pela troca de A por B de modo que se A for invertivel e B uma inversa entéo também vale que B é invertivel e que A é uma inversa de B Assim se AB BAI1 dizemos que A e B sao inversas uma da outra Uma matriz invertivel Sejam 2 5 35 A e B 1 3 1 2 Entao 2 53 5 1 0 i 31 2 0 1 35 2 5 1 0 BA T 1 21 3 0 1 Assim A e B sao invertiveis e uma é inversa da outra 4 14 Inversas propriedades algébricas das matrizes 43 Uma classe de matrizes singulares Em geral uma matriz quadrada com uma linha ou coluna de zeros é singular Para ajudar a entender por que isso ocorre considere a matriz 1 4 0 A2 5 0 3 6 0 Para provar que A é singular devemos mostrar que nao existe matriz B de tamanho 3 X 3 tal que AB BA I Para isso sejam c e 0 os vetores coluna de A Assim dada qual quer matriz B de tamanho 3 X 3 podemos escrever 0 produto BA como BA Ble c 0 Be Be 0 Férmula 6 da Segao 13 A coluna de zeros mostra que BA e portanto que A é singular 4 E razoavel perguntar se uma matriz invertivel pode ter mais de uma inversa O proximo Propriedades das inversas teorema mostra que a resposta nao uma matriz invertivel tem exatamente uma inversa TEOREMA 144 Se Be C sao ambas inversas da matriz A entdo B C Prova Como B é uma inversa de A temos BA J Multiplicando ambos lados 4 direita por C da BAC IC C Mas também vale que BAC BAC BI B de modo queCB 4 Como uma consequéncia desse importante resultado podemos agora falar da in versa de uma matriz invertivel Se A for invertivel entao sua inversa sera denotada pelo simbolo A Assim AAI e AAI 1 A inversa de A desempenha na aritmética matricial praticamente 0 mesmo papel que o reciproco a desempenha nas relagdes numéricas aa lea a 1 Na pr6xima segao desenvolveremos um método para encontrar a inversa de matrizes in vertiveis de qualquer tamanho Por enquanto temos 0 teorema seguinte que especifica condi 6es sob as quais uma matriz 2 X 2 é invertivel e fornece uma formula simples para a inversa TEOREMA 145 A matriz a b A Cc d I A quantidade ad bc no Teo é invertivel se e so se ad bc 0 caso em que a inversa é dada pela formula rema 145 é denominada deter minante da matriz A de tamanho i l d b 2 X 2 e é denotada por A 2 ad be c a detA ad be wa ou alternativamente por Omitimos a prova porque estudaremos uma versao mais geral desse teorema adiante Por enquanto o leitor deveria pelo menos confirmar a validade da Formula 2 mostrando a b 1 ad bc queAA A AHlI ec d Nota historica A formula para A dada no Teorema 145 apareceu pela primeira vez numa forma mais geral em 1858 no Memoir on the Theory of Matrices Ensaio sobre a Teoria de Matrizes de Cayley O resultado mais geral descoberto por Cayley sera estudado adiante 44 Algebra Linear com Aplicacées Observacao A Figura 141 ilustra que o determinante de uma matriz A de tamanho 2 X 2 60 detA ad be produto das entradas da diagonal principal menos o produto das entradas fora da diagonal principal Em palavras o Teorema 145 afirma que uma matriz A de tamanho 2 X 2 é invertivel se e s6 se Figura 141 seu determinante é nao nulo e se for invertivel sua inversa pode ser obtida trocando as entradas da diagonal trocando o sinal das entradas fora da diagonal e multiplicando todas as entradas pelo reciproco do determinante de A Calculando a inversa de uma matriz 2 x 2 Em cada parte determine se a matriz é invertivel Se for calcule sua inversa 6 1 1 2 a A b A a2 5 wa 6 Solugao a O determinante de A é detA 62 15 7 que nao nulo As sim A é invertivel e sua inversa é 2 1 Atal 21 7 77 715 6 i 6 7 7 Deixamos para 0 leitor confirmar que AA A A I Solugdo b A matriz nao é invertivel porque detA 16 23 0 Solugao de um sistema linear por inversao matricial Um problema que surge em muitas aplicagdes envolve resolver um par de equacées da forma uax by v cx dy para x e y em termos de u e v Uma abordagem é tratar isso como um sistema linear de duas equac6es nas incdégnitas x e y e usar eliminacao de GaussJordan para resolver para x e y Contudo como os coeficientes das incégnitas sao literais em vez de numéricos esse procedimento um pouco confuso Como uma abordagem alternativa substituimos as duas equac6es pela equacao matricial tinica u jax by v lex dy que podemos reescrever como uja bx v e dly Supondo que a matriz 2 X 2 seja invertivel isto que ad bc 0 entaéo podemos mul tiplicar 4 esquerda ambos lados pela inversa e reescrever a equagao como a bl fu a b fa b x c ad v e d c dally que simplifica para a bfu x c d v fy Usando o Teorema 145 podemos reescrever essa equagao como 1 d b u x ad be c allo ly 14 Inversas propriedades algébricas das matrizes 45 da qual obtemos du bu av cu x ad bc y ad bc O proximo teorema considera a inversa do produto matricial TEOREMA 146 Se A e B sdo matrizes invertiveis de mesmo tamanho entdo AB é invertivel e AB BA Prova Podemos mostrar a invertibilidade e obter a formula enunciada ao mesmo tempo mostrando que ABBA BAAB 1 No entanto ABB A ABBA AIAAAI e analogamente BAAB1 4 Embora nao o provemos esse resultado pode ser estendido trés ou mais fatores O produto de um numero qualquer de matrizes invertiveis é invertivel e a inversa do produto é o produto das inversas em ordem inversa A inversa de um produto Considere as matrizes 1 2 3 2 A B al 3 Dei leit t eixamos para 0 leitor mostrar que Se um produto de matrizes for 7 6 4 3 singular entaéo pelo menos um AB 9 8 AB 9 z dos fatores deve ser singular 2 2 Por qué e também que 3 7 eo 1 7 ria 1 ail 3 4 7 3 3 9 7 1 1 l 5 l 5 1 1 5 5 Assim AB BA como garante o Teorema 146 4 Se A for uma matriz guadrada definimos as poténcias inteiras nao negativas de A por Poténcias de uma matriz AI e AAAA nfatores e se A for invertivel entao definimos as poténcias inteiras negativas de A por AAAAA nfatores Como essas definigdes acompanham as de ntiimeros reais valem as leis usuais de poten ciagao por exemplo AA A e Ay A Além dessas temos as propriedades seguintes de poténcias de expoentes negativos 46 Algebra Linear com Aplicacées TEOREMA 147 Se A for uma matriz invertivel e n um inteiro ndo negativo entdo a A éinvertiveleAA b A éinvertivel eAAAY c kA é invertivel com qualquer escalar nao nulo k e kA kA Demonstramos a parte c deixando as provas das partes a e b como exercicios Provac A propriedade I e m do Teorema 141 implicam kKAk A k kAA k KAA 1 1 e analogamente k A kA I Assim kA invertivele KA kA Propriedades de poténcias Sejam Ae A as matrizes do Exemplo 9 ou seja 1 2 1 32 A e A 1 3 1 1 Entao Ab A 32 3 2 32 41 30 7 11 11 1 15 11 Também 3 1 2f1 2f1 2 11 30 A 1 31 31 3 15 41 portanto confirmando o Teorema 147b 1 41 30 41 30 A 1 A 1141 G0C15 L15 11 15 11 O quadrado de uma soma matricial Na aritmética real em que temos a comutatividade da multiplicagao podemos escrever a by a abtbatb a abtabtb a 2abtb Contudo na aritmética matricial em que nao temos a comutatividade da multiplicacao o melhor que podemos escrever é A By AABBAB Somente no caso especial em que A e B comutam ou seja AB BA é que podemos ir um passo adiante e escrever AB A2ABB Polinédmios matriciais Se A for uma matriz quadrada digamos n X n e se px ay tax ax a x é um polindmio qualquer entao definimos a matriz pA de tamanho n X n por pA alaAaAaA 3 14 Inversas propriedades algébricas das matrizes 47 em que J é a matriz identidade n X n Ou seja pA a matriz obtida substituindo x por A e o termo constante a pela matriz a J Uma expressao como 3 é denominada polin6émio matricial em A Um polinémio matricial Encontre pA com x 2x 3 a il xX x 2x e p 0 3 Soluado pA A 2A31 2 1 2 1 2 1 0 2 3 0 3 0 3 0 1 1 4 2 4 3 0 0 0 10 9 0 6 0 3 0 0 ou mais sucintamente pA 0 4 Observacio Segue do fato de que AA A A AA que as poténcias de uma matriz quadrada comutam e como um polinémio matricial em A é constituido de poténcias de A quaisquer dois polinédmios matriciais em A também comutam ou seja dados polinémios p e p temos PApA pApA 4 O préximo teorema lista as principais propriedades da transposta Propriedades da transposta TEOREMA 148 Se os tamanhos das matrizes sdo tais que as operacées indicadas podem ser efetuadas entdo a A A b A BY A B c A B AB d kA kA e AB BA Lembrando que a transposicgao de uma matriz troca entre si suas linhas e colunas o leitor nao deveria encontrar dificuldade alguma para visualizar os resultados das partes a até d Por exemplo a parte a afirma o fato 6bvio que trocar duas vezes entre si as linhas e as colunas de uma matriz deixa a matriz inalterada a parte b assegura que somar duas matrizes e depois trocar entre si as linhas e colunas da o mesmo resultado que trocar entre si as linhas e colunas antes de somar Omitimos as provas formais A parte e nao tao obvia mas tampouco apresentamos sua prova O resultado dessa parte pode ser estendido para incluir trés ou mais fatores o que pode ser enunciado como segue A transposta de um produto de um numero qualquer de matrizes é igual ao produto de suas transpostas em ordem inversa O teorema a seguir estabelece uma relagao entre a inversa de uma matriz invertivel e a inversa de sua transposta 48 Algebra Linear com Aplicacées TEOREMA 149 Se A for uma matriz invertivel entéio A também é invertivel e A AT Prova Podemos estabelecer a invertibilidade e obter a f6rmula ao mesmo tempo mos trando que AA TAAT1 No entanto pela parte e do Teorema 148 e 0 fato de que J J temos AA TAA I1 A A AAT HI1 o que completa aprova 4 A inversa de uma transposta Considere uma matriz 2 X 2 invertivel qualquer e sua transposta a b Tr ac A e A a a Como A é invertivel seu determinante ad bc é nao nulo Mas o determinante de A também é ad bc verifique de modo que A é invertivel Segue do Teorema 145 que d c adbe adbe 4 1 b a ad be ad be que é a mesma matriz que resulta se A for transposta verifique Assim A AT conforme garante o Teorema 149 Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Lei da comutatividade da adic4o matricial e Conhecer as propriedades aritméticas das operagdes e Lei da associatividade da adicao matricial matriciais e Lei da associatividade da multiplicagao matricial e Ser capaz de provar propriedades aritméticas de matrizes e Leis da distributividade 4 direita e 4 esquerda Conhecer as propriedades das matrizes nulas e Matriz zero e Conhecer as propriedades das matrizes identidade e Matriz identidade e Ser capaz de reconhecer quando duas matrizes quadradas sao uma a inversa da outra e Inversa de uma matriz Z e Ser capaz de determinar se uma matriz 2 X 2 é invertivel e Matriz invertivel oe e Ser capaz de resolver um sistema linear de duas equagdes e Matriz nao singular ae em duas incégnitas cuja matriz de coeficientes é e Matriz singular invertivel e Determinante e Ser capaz de provar as propriedades bdsicas envolvendo e Poténcia de uma matriz matrizes invertiveis e Polinémio matricial e Conhecer as propriedades da matriz transposta e sua relagéo com matrizes invertiveis 14 Inversas propriedades algébricas das matrizes 49 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr Conjunto de exercicios 1 4 1 Sejam 1 na 3 7 w2ay 7 2 6 5A 5 5 45 2 l 3 8 3 5 A 0 4 s B0 1 2 18 Seja A a matriz 2 1 4 4 7 6 2 0 1 0 2 3 c 1 7 4 a4 b7 Em cada parte calcule a quantidade dada 3 5 9 a A b A c A 2A 1 Mostre que d pA onde px x 2 2 a A B QOAtFB4C e pA onde px 2x x41 a b ABC ABO c a bC aC bC f pA onde px x 2x 4 d aB C aBaC 19 Repita o Exercicio 18 com a matriz 2 Usando as matrizes e escalares do Exercicio 1 verifique que 301 a aBC aBC BaC A E b ABCABAC c BQABACA d abC abC 20 Repita as partes a c d e e f do Exercicio 18 coma 3 Usando as matrizes e escalares do Exercicio 1 verifique que matriz a A b A B A BP 3 0 1 c aC aC d AB BA A0 2 0 5 0 2 Nos Exercicios 47 use 0 Teorema 145 para calcular a inver sa da matriz dada 21 Repita as partes a c d e e f do Exercicio 18 coma 3 1 2 3 matriz 4 A 5 B sa a acu 3 no2 alo a3 7 2 1 710 3 9 0 3 l 8 Encontre a inversa de cos send os 2 Q 9 Nos Exercicios 2224 sejam px x 9 px x3e sen cos px x 3 Mostre que pA pApA com a matriz dada 9 Encontre a inversa de 22 A matriz A do Exercicio 18 x y x y 23 A matriz A do Exercicio 21 Hee yee 24 Uma matriz quadrada A arbitraria 17 x 17 x x e xe e 25 Mostre que se px x a dx ad bee 10 Use a matriz A do Exercicio 4 para verificar que a b 11 Use a matriz B do Exercicio 5 para verificar que By BY entdo pA 0 12 Use as matrizes A e B dos Exercicios 4 e 5 para verificar que 26 Mostre que se AB BA px x atbcx ab ae be cdx abe 13 Use as matrizes A B e C dos Exercicios 4 a 6 para verificar cde que ABC CBA a 0 0 Nos Exercicios 1417 use a informac4o dada para encontrar A0 be A 0 de 2 l 3 7 14 A 15 7A 3 5 1 2 entao pA 0 50 Algebra Linear com Aplicacées 27 Considere a matriz 47 Prove a parte c do Teorema 142 a 0 0 48 Verifique a Formula 4 do texto calculando diretamente Az 0 ad 0 49 Prove a parte d do Teorema 148 Jo 50 Prove a parte e do Teorema 148 0 0 a 51 a Mostre que se A for invertivel e AB AC entio B C ee b Explique por que a parte a e o Exemplo 3 nao sao con em que ad5 d 0 Mostre que A invertivel e encontre a q traditorios sua inversa 2 52 Mostre que se A for invertivel e k um escalar nao nulo qual 28 Mostre que se uma matriz quadrada A satisfizer AW 3A I n anyn oo ee quer entaéo kA kA com qualquer valor inteiro de n 0enti0A 3A 53 a Mostre que se A Be A B forem matrizes invertiveis de 29 a Mostre que uma matriz com uma linha de zeros nao pode mesmo tamanho entéo ter uma inversa b Mostre que uma matriz com uma coluna de zeros nao AA B BA B I pode ter uma inversa b O que o resultado da parte a nos diz sobre a matriz 30 Supondo que todas as matrizes sejam n X n e invertiveis re AB 9 solva para D 54 Dizemos que uma matriz A é idempotente se A A ABCDBAC AB a Mostre que se A for idempotente entao J A também é 31 Supondo que todas as matrizes sejam n X n e invertiveis re b Mostre que se A for idempotente entéo 2A é inverti solva para D vel e sua propria inversa CBABAC DA BC CC 55 Mostre que se A for uma matriz quadrada tal que A 0 com algum inteiro positivo k entéo a matriz J A é invertivel e 32 Se A for uma matriz quadrada e n um inteiro positivo sera 4 5 kd verdade que A A Justifique sua resposta iA IAtAA 33 Simplifique AB AC DC D Exercicios verdadeirofalso 34 Simplifique Nas partes ak determine se a afirmacAo é verdadeira ou falsa htt ae justificando sua resposta AC AC AC AD a Duas matrizes A e B de tamanho n X n sao inversas uma da outra se e s6 se AB BA 0 Nos Exercicios 3537 determine se A é invertivel e se for encontre sua inversa Sugestdo resolva AX I para X igualando b Para quaisque rmatrizes quadradas 4 e B de mesmo tamanho entradas correspondentes de ambos lados vale A BY A 2AB B 101 c Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesmo tamanho vale A B A BA B 35 A1 1 O oo as x d Se Ae B forem matrizes invertiveis de mesmo tamanho entao O11 AB 6 invertivel e vale AB AB 111 0 0 1 e Se A e B forem matrizes tais que o produto AB esta definido 36 A1 0 0 37 A 1 1 0 entio vale AB AB 0141 1 11 f A matriz 38 Prove o Teorema 142 A i le d Nos Exercicios 3942 use 0 método do Exemplo 8 para en contrar a tinica solugdo do sistema linear dado é invertivel se e s6 se ad bc 0 39 3x 2x 1 40 x 5x 4 g Se Ae B forem matrizes de mesmo tamanho e k uma constan 4x 5x 3 x 3x 1 te entdo kA B kA B 41 6x x 0 42 2x 2x 4 h Se A for uma matriz invertivel entdo A também é invertfvel 4x 3x 2 x 4x 4 i Sepx a ax ax a x e for uma matriz identidade entao p ay a a 4 43 Prove a parte a do Teorema 141 Gj Uma matriz quadrada com uma linha ou coluna de zeros nao 44 Prove a parte c do Teorema 141 pode se invertivel 45 Prove a parte f do Teorema 141 k A soma de duas matrizes invertiveis de mesmo tamanho sem 46 Prove a parte b do Teorema 142 pre é invertivel 15 Matrizes elementares e um método para encontrar A 51 15 Matrizes elementares e um método para 1 encontrar A Nesta secao desenvolvemos um algoritmo para encontrar a inversa de uma matriz e discutiremos algumas das propriedades basicas de matrizes invertiveis Na Secao 11 definimos trés operagdes elementares com as linhas de uma matriz A 1 Multiplicar uma linha por uma constante nao nula c 2 Trocar duas linhas entre si 3 Somar uma constante c vezes uma linha a uma outra linha Deveria ser evidente que se denotarmos por B a matriz que resulta de A efetuando uma das operagées dessa lista entéo a matriz A poder ser recuperada de B efetuando a opera ao correspondente da lista seguinte 1 Multiplicar uma linha por Ic 2 Trocar as mesmas duas linhas entre si 3 Se B resultou da soma de c vezes a linha r de A com a linha r entéo somamos c vezes r a linha r Segue que se B for obtida de A efetuando uma sequéncia de operacdes elementares com linhas entao existe uma segunda sequéncia de operagdes elementares com linhas que sendo aplicada a B recupera A Exercicio 43 Em virtude disso colocamos a definigado a seguir DEFINICAO 1 Dizemos que as matrizes A e B sao equivalentes por linhas se uma de las portanto ambas pode ser obtida a partir da outra por uma sequéncia de operacgdes elementares com linhas Nosso proximo objetivo é mostrar como a multiplicagao matricial pode se usada para efetuar uma operagdo elementar com as linhas DEFINICAO 2 Uma matrizn X n que pode ser obtida da matriz identidade J de tama nhon X n efetuando uma uinica operagao elementar sobre linhas é denominada matriz elementar Matrizes elementares e operagdes com linhas Abaixo listamos quatro matrizes elementares e as operagdes com linhas que as produzem 1 0 0 0 1 0 3 1 0 0 1 0 000 1 0 1 0 0 1 0 a oo fre 001 001 0 1 0 0 Multiplicamos Permutamos a Somamos 3 vezes Multiplicamos a segunda linha segunda linha de a terceira linha de a primeira linha de J por 3 I com a quarta 1 a primeira de J por 1 52 Algebra Linear com Aplicacées O teorema seguinte cuja prova deixada como exercicio mostra que quando uma matriz A é multiplicada a esquerda por uma matriz elementar E 0 efeito 0 de efetuar uma operacgao elementar com as linhas de A TEOREMA 151 Operagdes com linhas por multiplicagao matricial Se a matriz elementar E é o resultado de efetuar uma certa operacdo com as linhas de Ie se A é uma matriz m X n entdo o produto EA é a matriz que resulta quando essa mesma operacdo com linhas é efetuada em A Usando matrizes elementares Considere a matriz 1 0 2 3 A2 l 3 6 1 4 4 0 e considere a matriz elementar 1 0 0 E0 1 0 3 0 1 ue resulta de somar 3 vezes a primeira linha de a terceira linha O produto EA é O Teorema 151 é uma ferra q P 3 P menta Util para desenvolver no 1 0 2 3 vos resultados sobre matrizes EFA2 1 3 6 mas em termos de contas em geral é preferivel efetuar opera 4 4 10 9 ces com linhas diretamente que é precisamente a mesma matriz que resulta somando 3 vezes a primeira linha de A aterceiralinha 4 Sabemos da discussao no inicio desta segdo que se E é uma matriz elementar que resulta de efetuar uma operagao elementar com linhas aplicada a uma matriz identidade I entao existe uma segunda operacao elementar com linhas que aplicada a E produz de volta a matriz J A Tabela lista essas operagdes As operagoes do lado direito da tabela sao denominadas operagées inversas das correspondentes operagoes do lado esquerdo Tabela 1 Operac6es com as linhas Operag6es com as linhas de que produzem E de E que produzem Multiplicar a linha i por c 0 Multiplicar a linha i por 1c Trocar entre si as linhas i ej Trocar entre si as linhas i ej Somar c vezes alinhaialinhaj Somar c vezes a linha i 4 linha j Operaco6es e operagoes inversas com linhas Em cada um dos exemplos a seguir foi efetuada uma operacéo elementar na matriz iden tidade 2 X 2 para obter uma matriz elementar E e em seguida F foi restaurada a matriz identidade aplicando a operaao com linhas inversa 15 Matrizes elementares e um método para encontrar A 53 1 0 1 0 1 0 0 1 0 7 0 1 Multiplicamos a Multiplicamos a segunda linha por 7 segunda linha por 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 Permutamos a Permutamos a primeira linha primeira linha com a segunda com a segunda 1 0 1 5 1 0 0 1 0 1 0 1 Somamos 5 Somamos 5 vezes a segunda vezes a segunda linha a primeira linha a primeira O préximo teorema é um resultado crucial sobre a invertibilidade de matrizes elemen tares Ele sera a pedra fundamental de muitos dos resultados que seguem TEOREMA 152 Qualquer matriz elementar é invertivel e a inversa também é uma matriz elementar Prova Se E éuma matriz elementar entao EF 0 resultado de alguma operacdo elemen tar com as linhas de J Seja E a matriz que resulta quando é efetuada a operagao inversa em J Aplicando o Teorema 151 e lembrando que operagGes e suas inversas se cancelam mutuamente segue que EEI e EEI Assim a matriz elementar E éainversadeE 4 A medida que progredimos neste texto um dos nossos objetivos é mostrar como se rela Teorema da equivaléncia cionam varias ideias da Algebra Linear que nao parecem estar relacionadas O préximo teorema que relaciona resultados que obtivemos sobre invertibilidade de matrizes siste mas lineares homogéneos formas escalonadas reduzidas por linhas e matrizes elementa res O nosso primeiro passo naquela direcao Mais afirmagGes serao acrescentadas a essa lista ao longo do nosso estudo TEOREMA 153 Afirmagdes equivalentes Se A for uma matrizn X n entdo as seguintes afirmacées sao equivalentes ou seja sao todas verdadeiras ou todas falsas a A é invertivel b Ax 0 tem somente a solugao trivial c A forma escalonada reduzida por linhas de A é I d A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares 54 Algebra Linear com Aplicacées 7 Prova Provamos a equivaléncia dessas afirmagG6es estabelecendo a cadeia de implica A légica da nossa prova do Teorema 153 pode ficar mais Goes a b c d a aparente se escrevermos as im plicag6es a 6 Suponha que A seja invertivel e que x sejauma solucao qualquer de Ax 0 a b Multiplicando ambos lados dessa equacao pela matriz A d4 A Ax A 0 ou A A X 0 ou Jx 0 ou seja x 0 Assim Ax 0 tem somente a solugao trivial b ce Seja Ax 0a forma matricial do sistema d AX AyxX ax 0 AyX AyX ax 0 o DS Isso torna visualmente aparente AyX 1 AyXy He AX 9 que a validade de qualquer uma an i das afirmacoes implica a vali e suponha que o sistema s6 admita a solucao trivial Resolvendo por eliminagao de Gauss dade de todas as demais e que Jordan 0 sistema de equag6es correspondente a forma escalonada reduzida por linhas da portanto a falsidade de qual matriz aumentada sera quer uma implica a falsidade x das demais X 0 2 x 0 Assim a matriz aumentada a 4 1 a O Gy Gy 7 Gy 0 an an use Ann 0 de 1 pode ser reduzida a matriz aumentada 1 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 de 2 por uma sequéncia de operagdes elementares com linhas Desconsiderando a ultima coluna de zeros em cada uma dessas matrizes poderemos concluir que a forma escalo nada reduzida por linhas de A é c d Suponha que a forma escalonada reduzida por linhas de A seja J de modo que A pode ser reduzida a J por uma sequéncia finita de operagdes elementares com linhas Pelo Teorema 151 cada uma dessas operacGes pode ser efetuada por uma matriz elemen tar apropriada Assim podemos encontrar matrizes elementares F E E tais que E EEA I 3 15 Matrizes elementares e um método para encontrar A 55 Pelo Teorema 152 as matrizes E E E Ao invertiveis Multiplicando ambos lados da Equacao 3 pela esquerda sucessivamente por EE E obtemos lpl 1 lpl 1 AE E E 1E E E 4 Pelo Teorema 152 essa equacdo expressa A como um produto de matrizes elementares d a Se A for um produto de matrizes elementares entéo pelos Teoremas 147 e 152 segue que a matriz A é um produto de matrizes invertiveis e portanto é invertivel Como uma primeira aplicagao do Teorema 153 desenvolvemos um procedimento algo Um método para inverter ritmo que pode ser usado para determinar se uma dada matriz é invertivel e se for cal matrizes cular sua inversa Para deduzir esse algoritmo suponha provisoriamente que A seja uma matriz n X n invertivel Na Equacao 3 as matrizes elementares efetuam uma sequéncia de operagoes sobre linhas que reduzem A a J Multiplicando ambos lados dessa equagao a direita por A e simplificando obtemos 1 A EEE1 Essa equacao nos informa que a mesma sequéncia de operagées elementares com linhas que reduz A al também reduz I a A Assim estabelecemos o seguinte resultado Algoritmo da inversao Para encontrar a inversa de uma matriz invertivel A encontre uma sequéncia de operag6es elementares com linhas que reduza A 4 identidade e de pois efetue essa mesma sequéncia de operacées em para obter Al Um método simples para executar esse procedimento é dado no préximo exemplo Usando operagées com colunas para encontrar A Encontre a inversa de 1 2 3 A2 5 3 1 0 8 Solucao Queremos reduzir A a matriz identidade por operagdes com linhas e simulta neamente aplicar essas operacées a J para produzir A Para conseguir isso juntamos a matriz identidade a direita de A com 0 que produzimos uma matriz da forma A 1 Em seguida efetuamos operacg6es com as linhas dessa matriz até que o lado esquerdo esteja reduzido a J essas operagOes converterao o lado direito aA de modo que a matriz final tera a forma 1 P A httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 56 Algebra Linear com Aplicacées As contas sao as seguintes 1 2 3 1 0 0 2 5 3 0 1 0 1 0 8 0 0 1 1 2 3 1 0 0 0 1 3 2 1 0 Somamos 2 vezes a primeira linha 4 segunda e 1 vez a 0 2 5 l 0 l primeira linha 4 terceira 1 2 3 1 0 0 0 1 3 2 1 0 Somamos 2 vezes a segunda 0 0 1 5 2 1 linha a terceira 1 2 3 1 0 0 0 1 3 2 1 0 Multiplicamos a terceira linha 0 0 it 5 2 1 por 1 2 0 14 6 3 0 1 0 13 5 3 Somamos 3 vezes a terceira linha 4 segunda e 3 vezes 0 0 1 52 l a terceira linha a primeira 1 0 040 16 9 0 1 0 13 5 3 Somamos 2 vezes a 0 0 l 5 2 segunda linha a primeira Assim 40 16 9 Al 13 5 3 5 2 l Muitas vezes néo se sabe de antem4o se uma dada matriz A é ou nao invertivel No entanto se A nao for invertivel entao pelas partes a e c do Teorema 153 sera im possivel reduzir A a I por operagdes elementares com linhas Isso se tornara visivel em algum ponto do algoritmo de inversdo com o aparecimento de uma linha de zeros no lado esquerdo das matrizes juntadas Se isso ocorrer podemos interromper as contas e concluir que A nao é invertivel Mostrando que uma matriz nao é invertivel Considere a matriz 1 6 4 A 2 4 l l 2 5 15 Matrizes elementares e um método para encontrar A 57 Aplicando o procedimento do Exemplo 4 obtemos 1 6 64 1 0 0 2 4 1 0 1 0 1 2 5 0 0 1 1 6 64 1 0 0 0 8 9 2 1 0 Somamos 2 vezes a primeira linha 4 segunda e somamos a 0 8 9 1 0 1 primeira linha 4 terceira 1 6 64 1 0 0 0 8 9 2 1 0 Somamos a segunda linha 0 0 0 1 1 a terceira Como obtivemos uma linha de zeros no lado esquerdo A nao é invertivel EXEMPLO 6 Analisando sistemas homogéneos Use o Teorema 153 para determinar se 0 sistema homogéneo dado tem solucées nao triviais xX 2x 3x 0 x 6x 4x 0 a 2x 5x 3x 0 b 2x 4x x 0 x 8x 0 x 2x 5x 0 Solucado Pelas partes a e b do Teorema 153 um sistema linear homogéneo tem somente a solugao trivial se e s6 se sua matriz de coeficientes for invertivel Pelos Exem plos 4 e 5 a matriz de coeficientes do sistema a é invertivel e a do sistema b nao é Assim 0 sistema a tem apenas a solucao trivial ao passo que 0 sistema b tem solugdes nao triviais 4 Revisao de conceitos e Efetuar a inversa de uma dada operagao elementar com as e Matrizes equivalentes por linhas linhas Matriz elementar e Aplicar operagdes elementares para reduzir uma dada matriz quadrada a matriz identidade e Operacoes inversas e Entender as relacOes entre afirmagOes equivalentes a e Algoritmo de inversao ways invertibilidade de uma matriz quadrada Teorema 153 Aptiddes desenvolvidas e Usar o algoritmo da inversdo para encontrar a inversa de e Determinar se uma dada matriz quadrada é elementar uma matriz invertivel e Expressar uma matriz invertivel como um produto de e Determinar se duas matrizes quadradas sao equivalentes matrizes elementares por linhas 58 Algebra Linear com Aplicacées Conjunto de exercicios 15 1 Em cada parte decida se a matriz é elementar 1 0 0 21 0 4 4 1 0 5 bl E0 1 O AI1 3 1 5 3 Mm 03 2 0 1 31 1 0 4 1 4 1 1 0 2 0 02 c E0 1 O AJ2 5 c 0 0 1 d 0 1 0 0 0 0 1 3 6 00 1 0 00 0 000 1 6 Em cada parte séio dadas uma matriz elementar E e uma matriz A Escreva as operag6es elementares com linhas cor 2 Em cada parte decida se a matriz elementar respondentes a E e mostre que aplicando essas operagGes a A 00 1 resultado é 0 produto EA 1 0 a bO 1 0 6 0 l 2 5 l 0 V3 E A 1 0 0 0 1 36 6 6 1 0 0 1 0 0 1 0 0 21 0 4 4 0 1 9 dd 0 0 1 b E4 1 O A1 3 1 5 3 001 0 1 0 00 1 2 0 1 3 1 3 Em cada parte encontre uma operac4o com linhas e a matriz 10 0 1 4 elementar correspondente que retorna a matriz elementar dada A 5 a matriz identidade F0 5 0 5 0 0 1 3 6 7 0 0 1 3 a 0 1 b 0 1 0 Nos Exercicios 78 use as matrizes a seguir 0 0 1 3 4 1 8 1 5 1 00 0 0 1 0 A2 7 l B2 7 l 0 1 0 a 1 8 1 5 3 4 1 501 1 0 0 0 000 1 3 4 1 8 1 5 x C2 7 1l D6 21 3 4 Em cada parte encontre uma operacfo com linhas e a matriz elementar correspondente que retorna a matriz elementar dada 27 3 3 41 a matriz identidade 100 8 1 5 1 O F8 1 1 4 a b 0 1 0 3 1 3 4 1 0 0 3 000 1 1 0 0 7 Encontre uma matriz elementar FE que satisfaca a equacao c 0 10 0 a 01 0 0 a EAB vb EBA 0 0 1 0 0 0 1 0 c EAC d ECA 1 00 0 0 0 0 1 8 Encontre uma matriz elementar E que satisfaga a equacao 5 Em cada parte sao dadas uma matriz elementar E e uma ma a EBD b EDB triz A Escreva as operacg6es elementares com linhas corres c EBF d EFB pondentes a E e mostre que aplicando essas operag6es a A 0 resultado é 0 produto EA Nos Exercicios 924 use o algoritmo de inversao para encon trar a inversa da matriz dada se essa inversa existir a E 1 A l 2 51 we troop 36 6 6 gj 4 w uj 2 7 4 5 32 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 15 Matrizes elementares e um método para encontrar A 59 3 4 l 3 1 0 oo 23 w 12 3 13 0 22 5 2 2 5 4 1 0 2 1 1 0 12 0 1 34 31 0 4 3 321 1 1 142 1 2 5 2 4 1 0 0 1 oil 0 2 1 4 2 9 Nos Exercicios 3336 escreva a inversa da matriz dada como 1 I 2 5 5075 101 um produto de matrizes elementares 16 a 170 1 1 33 A matriz do Exercicio 29 t 4 1 1 0 34 A matriz do Exercicio 30 35 A matriz do Exercicio 31 V2 3V2 0 2 6 6 os 36 A matriz do Exercicio 32 1842 V2 0 192 7 6 0 0 1 27 7 Nos Exercicios 3738 mostre que as matrizes A e B dadas sao 100 0 4 0 0 equivalentes por linhas e encontre uma sequéncia de operacgées elementares com linhas que produza B a partir de A 20 1 3 0 0 1 1 2 12 0 1 35 0 lo 0 2 0 P23 bo oS 13 5 7 0 1 4 5 37 A1 4 1 B0 2 2 219 1 1 4 8 17 2 43 1 0 1 0 4 0 2 9 2 3 2 6 zt 9 6 9 4 5 22 0 0 0 0 23 9 1 2 9 38 A1 1 Oj B5 1 0 3 0 l 1 2 l l1 123 4 2 0 O 1 5 39 Mostre que se 0 0 2 0 24 1 0 0 1 100 10 1 3 0 A0 1 0 2 1 ee abe Nos Exercicios 2526 em cada parte encontre a inversa da for uma matriz elementar entéo pelo menos uma das entradas matriz 4 x 4 dada em que k k k k e k sao todos nao nulos da terceira linha deve ser nula k 0 0 0 k 1 0 0 40 Mostre que 0 k O 0 0 1 0 0 25 a 0 0 0 b 00k 1 0 aod 0 0 0 0 0 000 1 pO ec 00 ke A0 d 0 e 0 0 0 0 k 0 0 0 0 0 f 0 g 0 0 k O 1 k 0 0 26 a b 00 0 4 0 0 k O 0 0 1k O k 0 0 0 001k nao é invertivel com qualquer valor das entradas A 41 Prove que se A e B forem matrizes m X n entéo A e B sao Nos Exercicios 2728 encontre todos os valores de c se hou equivalentes por linhas se e s6 se A e B tm a mesma forma ver com os quais a matriz dada é invertivel escalonada reduzida por linhas cece c 1O 42 Prove que se A for uma matriz invertivel e B for equivalente v11 21 1 por linhas a A entaéo B também é invertivel l lec 0 1c 43 Mostre que se B for obtida de A por meio de uma sequéncia de operagG6es elementares com linhas entéo existe uma se Nos Exercicios 2932 escreva a matriz dada como um produ gunda sequéncia de operagdes elementares com linhas que aplicada a B produz A to de matrizes elementares 60 Algebra Linear com Aplicacées Exercicios verdadeirofalso d Se A for uma matriz nao invertivel n X n entdo o sistema Nas partes ag determine se a afirmacaAo é verdadeira ou falsa linear Ax 0 tem uma infinidade de solugoes justificando sua resposta e Se A for uma matriz nao invertivel n X n entao a matriz obti a O produto de duas matrizes elementares de mesmo tamanho é da pela troca de duas linhas de A nao pode ser invertivel uma matriz elementar f Se A for uma matriz invertivel e um multiplo da primeira b Toda matriz elementar é invertivel linha de A for somado a segunda linha entao a matriz resul tante é invertivel c Se A e B sao equivalentes por linhas e B e C sao equivalentes a a por linhas entio A e C sao equivalentes por linhas g Etinica a expressdo de uma matriz invertivel A como um pro duto de matrizes elementares 16 Mais sobre sistemas lineares e matrizes Invertivels Nesta seco mostramos como a inversa de uma matriz pode ser usada para resolver um sistema linear e desenvolvemos mais resultados sobre matrizes invertiveis Numero de solucédes de um Na Segao 11 afirmamos tomando por base as Figuras 111 e 112 que todo sistema sistema linear linear tem ou nenhuma soluga4o ou exatamente uma solugao ou uma infinidade de solu cdes Agora estamos em condiées de provar esse resultado fundamental TEOREMA 161 Um sistema de equacoes lineares tem zero uma ou uma infinidade de solucées Prova Se Ax b é um sistema de equacées lineares vale exatamente uma das afirma 6es a 0 sistema nao tem solugao b 0 sistema tem exatamente uma solucao ou c 0 sistema tem mais de uma solugdo A prova estara completa se conseguirmos mostrar que 0 sistema tem uma infinidade de solugGes no caso c Suponha que Ax b tenha mais de uma solucao e seja x x X onde x e x sao duas solucées distintas quaisquer Como x e x so distintas a matriz x nao nula além disso AX AX X Ax Ax bb0 Se k for um escalar qualquer entao Ax kx Ax AkxX Ax kAX bk0b0b No entanto isso significa que x kx uma solucdo de Ax b Como x nao nula e existe uma infinidade de escolhas para k 0 sistema Ax b tem uma infinidade de solugées 4 Resolvendo sistemas lineares Até aqui estudamos dois procedimentos para resolver sistemas lineares a saber a elimi por inversdo matricial nagao de GaussJordan e a eliminag4o gaussiana O teorema seguinte fornece efetiva mente uma f6rmula para a solucdo de um sistema linear de n equagdes em n incdgnitas no caso em que a matriz de coeficientes for invertivel TEOREMA 162 Se A for uma matriz invertivel n X 1 entdo para cada matriz b de tamanho n X 1 o sistema de equagées Ax b tem exatamente uma solucdo a saber 1 xA Db 16 Mais sobre sistemas lineares e matrizes invertiveis 61 Prova Como AA b b segue que x A béuma solugdo de Ax b Para mostrar que essa a tinica solucdo vamos supor que xX seja uma solucao arbitraria e mostrar que necessariamente X a solugao A b Se x for uma solucdo qualquer entaéo Ax b Multiplicando ambos lados dessa equacdo por A obtemosx A b 4 Solucdo de um sistema linear usando A Considere 0 sistema de equacées lineares xX 2x 3x 5 2x 5x 3x 3 x 8x 17 No formato matricial esse sistema pode ser escrito como Ax b em que 1 2 3 x 5 A2 5 3 xx b 3 1 0 8 xX 17 No Exemplo 4 da segao precedente mostramos que A é invertivel e que 40 16 9 A 13 5 3 5 2 l Pelo Teorema 162 a solucdo do sistema é Nao esquecga que o método do 40 16 9 5 Exemplo 1 s6 pode ser aplicado xAb 13 5 3 31 quando o sistema tiver o mesmo 5 2 17 2 numero de equag6es e incégni tas e a matriz de coeficientes for invertivel oux1xlx2 myenive Com frequéncia nos deparamos com a resolug4o de uma sequéncia de sistemas Sistemas lineares com uma matriz de coeficientes em Axb Axb Axb Ax b comum cada um dos quais tem a mesma matriz de coeficientes A Se A for invertivel entao as solugdes xAb xAb xAb xAb podem ser obtidas com uma inversao matricial e k multiplicagdes de matrizes Uma ma neira eficiente de fazer isso é formar a matriz em blocos A b b BA em que a matriz de coeficientes A foi aumentada por todas as k matrizes b b b e em seguida reduzir 1 a forma escalonada reduzida por linhas com eliminagao de GaussJordan Dessa forma podemos resolver todos os k sistemas de uma S6 vez Esse método tem a vantagem adicional de poder ser aplicado mesmo se A nao for invertivel 62 Algebra Linear com Aplicacées Resolvendo dois sistemas lineares de uma so vez Resolva os sistemas a x 2x 3x 4 b x 2x3x 1 2x 5x 3x 5 2x 5x 3x 6 Xx 8x 9 Xx 8x 6 Solugado Os dois sistemas tém a mesma matriz de coeficientes Aumentando essa matriz de coeficientes com as colunas das constantes a direita desses sistemas obtemos 1 2 3 4 1 2 5 3 5 6 1 0 8 9 6 Reduzindo essa matriz 4 forma escalonada reduzida por linhas obtemos verifique 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 Segue das duas ultimas colunas que a solucdo do sistema a x 1x 0x lea do sistema b 6x 2x1xl 4 Propriedades de matrizes Até aqui para mostrar que uma matriz A de tamanho n X n é invertivel tem sido neces invertiveis Sario encontrar uma matriz B de tamanho n X n tal que ABI e BAI O proximo teorema mostra que se obtivermos uma matriz B de tamanho n X n satisfa zendo qualquer uma dessas condigées entao a outra condigao é automaticamente valida TEOREMA 163 Seja A uma matriz quadrada a Se B for uma matriz quadrada satisfazendo BA I entéo B A b Se B for uma matriz quadrada satisfazendo AB I entéo B A Provamos a parte a e deixamos a parte b como exercicio Prova a Suponha que BA I Se conseguirmos mostrar que A é invertivel a prova podera ser completada multiplicando BA J de ambos lados por A para obter BAA IA ou BIIA ow BA Para mostrar que A é invertivel é suficiente mostrar que 0 sistema Ax 0 tem sé a solu cao trivial ver Teorema 153 Seja x uma solucdo qualquer desse sistema Multiplican do ambos lados de Ax 0 4 esquerda por B obteremos BAx BO x 0 ou x 0 Assim 0 sistema de equacgédes Ax 0 tem somente a solucao trivial 4 Teorema da equivaléncia Agora estamos em condigées de acrescentar mais duas afirmag6es equivalentes as quatro dadas no Teorema 153 16 Mais sobre sistemas lineares e matrizes invertiveis 63 TEOREMA 164 Afirmagdes equivalentes Se A for uma matrizn X n entdo as seguintes afirmagées sao equivalentes a A é invertivel b Ax 0 tem somente a solugao trivial c A forma escalonada reduzida por linhas de A é I d A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares e Ax b é consistente com cada matriz b de tamanho n X 1 f Ax b tem exatamente uma solugdo com cada matriz b de tamanho n X 1 Prova Como no Teorema 153 j4 provamos que a b c e d sdo equivalentes é suficiente provar que a f e a a f Isso ja foi provado no Teorema 162 f e Isso é quase evidente pois se Ax b tiver exatamente uma solucao com cada matriz b de tamanhon X 1 entéo Ax b sera consistente com cada matriz b de tamanho nX 1 e a Seo sistema Ax b for consistente com cada matriz b de tamanho n X 1 entao em particular séo consistentes os sistemas 1 0 0 0 1 0 Ax0 Ax0 Ax0 0 0 1 Sejam x X X Solugdes desses sistemas respectivamente e formemos uma matriz C de tamanho n X n tendo essas solugdes como colunas Assim C tem a forma C Ix x 1 x Como ja discutimos na Seao 13 as sucessivas colunas do produto AC sao AX AXAX ver Formula 8 da Secao 13 Assim oo Segue da equivaléncia das partes 10 0 e e f que se conseguirmos mostrar que Ax b tem pelo O 1 0 x menos uma solugao com cada AC Ax Ax AxJ9 0 O 7 matriz b de tamanho n X 1 ot entéo podemos concluir que ha 0 0 coe 1 exatamente uma solugao com cada matriz b de tamanho n X 1 Pela parte b do Teorema 163 segue que C A Assim A é invertivel 4 Sabemos de trabalho anterior que fatores matriciais invertiveis produzem um produto invertivel Reciprocamente o teorema a seguir mostra que se 0 produto de matrizes qua dradas for invertivel entao os proprios fatores devem ser invertiveis TEOREMA 165 Sejam A e B matrizes quadradas de mesmo tamanho Se AB for in vertivel entao A e B também serdo invertiveis 64 Algebra Linear com Aplicacées O problema fundamental a seguir ocorrera com frequéncia em varios contextos no nosso trabalho Um problema fundamental Seja A uma matriz m X n fixada Encontre todas as ma trizes b de tamanho m X tais que o sistema Ax b seja consistente Se A for uma matriz invertivel o Teorema 162 resolve esse problema completamente afirmando que com qualquer matriz b de tamanho m X 1 0 sistema linear Ax b tema unica solucao x A b Se A nio for quadrada ou se A for quadrada mas nAo invertivel entao o Teorema 162 nao pode ser aplicado Nesses casos geralmente a matriz b deve satisfazer certas condic6es para garantir que Ax b seja consistente O proximo exemplo ilustra como os métodos da Secao 12 podem ser usados para determinar tais condigoes Determinando consisténcia por eliminagao Quais condigdes devem satisfazer b b e b para garantir que 0 sistema de equacgdes xX x 2x bd x xb 2x x 3xb seja consistente Solucao A matriz aumentada é 1 1 2 Bb 1041 56 2 1 3 2B que pode ser reduzida a forma escalonada como segue 1 1 2 b 0 l l b b 1 vez a primeira linha foi somada a segunda e 2 vezes a primeira 0 b 2b linha foi somada 4 terceira 1 1 2 b 0 1 1 b b A segunda linha foi multiplicada por 1 0 l l b 2b 1 1 2 b 0 1 1 b b A segunda linha foi somada 8 terceira 0 0 0 b b b Agora é evidente pela terceira linha da matriz que 0 sistema tem uma soluga4o se e sé se b b e b satisfazem a condicado bbb0 ou bbb Para expressar essa condiao de uma outra maneira Ax b consistente se e s6 se b é uma matriz da forma b b b bb em que b e b sao arbitrarios httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 16 Mais sobre sistemas lineares e matrizes invertiveis 65 Determinando consisténcia por eliminagao Quais condig6es devem satisfazer b b e b para garantir que o sistema de equacdes xX 2x 3x D 2x 5x 3x b x 8x b seja consistente Solugao A matriz aumentada é 1 2 3 BD 25 3 Bb 1 0 8 8B Reduzindo essa matriz 4 forma escalonada reduzida por linhas obtemos verifique 1 0 0 40b 16b 9b 0 1 0 13b 5b 3b 2 0 0 1 5b 2b b Nesse caso nao ha restrigdes sobre b b e b de modo que o sistema tem a tinica solucao O que o resultado do Exemplo 4 x 40b 16b 9b x 13b 5b 3b x 5b 2bb 3 nos diz sobre a matriz de coefi cientes do sistema com quaisquer valores de bbeb 4 Aptiddes desenvolvidas e Resolver simultaneamente sistemas lineares multiplos e Determinar se um sistema de equac6es lineares nao tem com a mesma matriz de coeficientes solucdo tem exatamente uma solucao ou uma infinidade e Conhecer as condig6es adicionais de invertibilidade de solugoes enunciadas no Teorema de Equivaléncia e Resolver sistemas lineares invertendo a matriz de coeficientes Conjunto de exercicios 16 Nos Exercicios 18 resolva 0 sistema invertendo a matriz de Nos Exercicios 912 resolva simultaneamente os sistemas coeficientes e usando o Teorema 162 lineares reduzindo a matriz aumentada apropriada 1 x x 2 2 4x 3x 3 9 x5xy 5x 6x 9 2x5x 9 3x 2x b 3 x 3xx 4 4 5x 3x 2x 4 Gi b 1 b 4 ii b 2 by 5 2x 2x x 1 3x 3x 2x 2 10 x4x x 2x 3xyx 3 y HS x 9x 2x b 5 Xy z 5 6 x2y3z0 6x 4x 8x b xy4z10 w x4y4z7 G b 0 b1 b90 4xy z 0 w3x7y924 ii b 3 b4 b5 w 2x dy 62 6 HW 4x 7x 5 7 3x 5xb 8 x 2x 3x x 2x b x 2x by 2x 5x7 5x3 b i b 0 b1 ii b 4 b 6 3x 5x 8x d ii b1 b3 iv B 5 B 1 66 Algebra Linear com Aplicacées 120 x 3x5x D 2 oO 1 432 1 Te 2 5 2 0 1 1x6 7 8 9 2x 54 4x bs 1 1 4 1379 i b 1 b0 b1 ii b 0 b1 b1 21 Seja Ax 0 um sistema homogéneo de n equacées lineares ili b 1 b1 b 0 em n incégnitas cuja tinica solucao é a trivial Mostre que se k for um inteiro positivo qualquer ento o sistema Ax 0 tam bém sé tem a solugao trivial Nos Exercicios 1317 determine se houver as condigdes que o as constantes b devem satisfazer para garantir a consisténcia do 22 Sejam Ax 0 um sistema homogéneo de n equagoes lineares sistema linear dado em n incégnitas e Q uma matriz invertivel n n Mostre que B 3x 14 6 dy Ax 0 tem somente a solucao trivial se e s6 se QAx 0 x 3x d 6x 4x d tem somente a solugao trivial 2x x 3x 2xb 23 Sejam Ax b um sistema de equacées lineares consistente 15 x 2x 5x d 16 x 2x x3 arbitrario e x uma solucao fixada Mostre que qualquer so 4x 5x 8x b 4x 5x 2x bd lugao do sistema pode ser escrita na forma x x Xem 3x 3x 3x b 4x 7x 4x b que x é a solugao de Ax 0 Mostre também que qualquer 17 x x 3x 2x matriz dessa forma é uma solugao 2x x5x x b 24 Use a parte a do Teorema 163 para provar a parte b 3x 2x2x x b 4x 3x x 3x Exercicios verdadeirofalso 18 Considere as matrizes Nas partes ag determine se a afirmacaAo é verdadeira ou falsa justificando sua resposta 2 1 2 x a Eimpossivel que um sistema de equacoes lineares tenha exa A2 2 2 e x x tamente duas solucées 3 1 1 x b Se A é uma matriz quadrada e se 0 sistema linear Ax b tem uma tinica solugao entao o sistema linear Ax c também a Mose que 4 equagao Ax x pow ser reeset como tem uma tinica solucio t vara oe se eee PANES ONES c Se Ae B sao matrizes n X n tais que AB I entao BA I b Resolva Ax 4x d SeA e B sao matrizes equivalentes por linhas entao os sistemas lineares Ax 0 e Bx 0 tém o mesmo conjunto de solucées Nos Exercicios 1920 resolva a equacao matricial dada para e Sejam A uma matriz nx ve s uma matriz 7 rn invertivel x Se x for uma solugao do sistema linear S ASx b ento Sx sera uma solugio do sistema linear Ay Sb 11 I 2 i1 5 7 8 f Seja A uma matriz n X n O sistema linear Ax 4x tem uma 19 2 3 0x 4 0 3 0 1 solucdo unica se e s6 se A 4 for uma matriz invertivel 0 2 l 3 57 2 l g Sejam A e B matrizes n X n Se A ou B ou ambas nao for invertivel entéo tampouco AB sera invertivel 17 Matrizes diagonais triangulares e simétricas Nesta seao discutimos matrizes que tém varios formatos especiais Essas matrizes surgem numa grande variedade de aplicagdes e desempenham um papel importante no nosso trabalho subsequente Matrizes diagonais Uma matriz quadrada em que todas as entradas fora da diagonal principal sao zero é de nominada matriz diagonal Aqui temos alguns exemplos 6 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 4 0 0 0 O 0 5 OT 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 8 17 Matrizes diagonais triangulares e simétricas 67 Uma matriz diagonal arbitraria D de tamanho n X n pode ser escrita como d 0 0 0 d 0 D 1 0 0 d Uma matriz diagonal é invertivel se e s6 se todas as suas entradas na diagonal sao nao 2 Confirme a Formula 2 mos nulas nesse caso a inversa de 1 é trando que Idq 0 0 DDDDI 4 0 ld 0 D 2 0 0 Id As poténcias de matrizes diagonais sao faceis de calcular deixamos para o leitor ve rificar que se D for a matriz diagonal 1 e k um inteiro positivo entéo d 0 0 0 dy 0 D 3 0 0 d Inversas e poténcias de matrizes diagonais Se 1 0 0 A 0 3 0 0 0 2 entao 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A0 0 A 0 243 0 A0 x O 1 1 0 0 5 0 0 32 0 0 5 Os produtos de matrizes que envolvem fatores diagonais sao especialmente faceis de calcular Por exemplo d 0 0 Gy Ayn 3 Ng day da da dd 0 d 0 A Ay A Ay aa day da day 0 0 4d 43 Ax 33 gq dd3 345 303 dss a Ayn As d 0 0 da dyad da Gy Ag gg diay day day 0 d OJ 43 Ax 33 da3 dd dds 0 0 4d M4 Ayn a3 day dy day Em palavras para multiplicar uma matriz A a esquerda por uma matriz diagonal D podemos multiplicar as linhas sucessivas de A pelas entradas sucessivas na diagonal de D e para multiplicar A a direita por D podemos multiplicar as colunas sucessivas de A pelas entradas sucessivas na diagonal de D httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 68 Algebra Linear com Aplicacées Matrizes triangulares Uma matriz quadrada com todas as entradas acima da diagonal principal nulas é denomi nada triangular inferior e uma matriz quadrada com todas as entradas abaixo da diago nal principal nulas é denominada triangular superior Dizemos que uma matriz triangular inferior ou triangular superior é triangular Matrizes triangulares superiores e inferiores GZ Ap 43 Ay a 0 0 0 0 CO a dy YO 0 0 0 433 34 a3 ay dy 0 0 0 DO ay Te a Uma matriz triangular Uma matriz triangular superior 4 X 4 arbitraria inferior 4 X 4 arbitraria Observagao Observe que matrizes diagonais sao triangulares inferiores e superiores pois ttm zeros acima e abaixo da diagonal principal Observe também que uma matriz quadrada em forma escalonada é triangular superior pois tem zeros abaixo da diagonal principal Propriedades de matrizes O Exemplo 2 ilustra os quatro fatos seguintes sobre matrizes triangulares que enunciamos triangulares sem demonstragées formais e Uma matriz quadrada A a triangular superior se e so se todas as entradas a esquerda da diagonal principal sao nulas ou seja a 0 com i j Figura 171 e Uma matriz quadrada A a triangular inferior se e s6 se todas as entradas a ij Lo 2 oe sy direita da diagonal principal sao nulas ou seja a 0 com i j Figura 171 i e Uma matriz quadrada A a triangular superior se e s6 se para cada i a iésima linha comega com pelo menos i zeros Figura 171 eat Z Lo ee e Uma matriz quadrada A a triangular inferior se e s6 se para cada j a jésima coluna comega com pelo menos j 1 zeros O teorema a seguir lista algumas das propriedades de matrizes triangulares TEOREMA 171 a A transposta de uma matriz triangular inferior é triangular superior e a trans posta de uma matriz triangular superior é triangular inferior b O produto de matrizes triangulares inferiores é triangular inferior e o produto de matrizes triangulares superiores é triangular superior c Uma matriz triangular é invertivel se e s6 se suas entradas diagonais sdo todas ndo nulas d A inversa de uma matriz triangular inferior invertivel é triangular inferior e a inversa de uma matriz triangular superior invertivel é triangular superior A parte a evidente pois transpor uma matriz quadrada corresponde a refletir suas entradas em torno da diagonal principal omitimos a prova formal Provamos b mas vamos adiar as provas de c e d para 0 proximo capitulo onde teremos as ferramentas necess4rias para provar esses resultados de maneira mais eficiente Prova b Provamos o resultado para matrizes triangulares inferiores a prova para ma trizes triangulares superiores andloga Sejam A a e B b matrizes n X n trian 17 Matrizes diagonais triangulares e simétricas 69 gulares inferiores e seja C c 0 produto C AB Podemos provar que C é triangular inferior mostrando que c 0 com i j Mas pela definigao de multiplicagao matricial Ci ad Aid beret 4D yj Supondo que i j os termos dessa expressao podem ser agrupados como segue Cy ab Ay by a j1ybGnj abi hee Gin Dy ee Termos com o numero de Termos com o nimero de linha de b menor do que linha de a menor do que o numero de coluna de b o numero de coluna de a No primeiro agrupamento todos os fatores de b sao nulos pois B é triangular inferior e no segundo agrupamento todos os fatores de a sao nulos pois A é triangular inferior Assim c 0 que 0 que querfamos mostrar 4 Contas com matrizes triangulares Considere as matrizes triangulares superiores 1 3 l 3 2 2 A10 2 4 B0 0 l 0 0 5 0 0 1 Segue da parte c do Teorema 171 que a matriz A é invertivel mas a matriz B nao é Além disso o teorema também nos diz que A ABe BA sio triangulares superiores Dei xamos para 0 leitor a confirmaaéo dessas trés afirmag6es mostrando que 13 32 2 A0 4 2 AB0 0 2 BA0 0 5 0 0 z 0 0 5 0 0 5 ee r Matrizes simétricas DEFINICAO 1 Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A A Matrizes simétricas AS seguintes matrizes sao simétricas j4 que cada uma delas é igual a sua transposta ve rifique d 0 0 0 E facil reconhecer visualmente 7 3 1 4 5 a simetria de uma matriz as en 4 3 0 0 d 0 0 tradas na diagonal principal nao 3 5 5 0 7 0 0 d 0 tém restrigdes mas as entradas 0 0 0 d 1 que estAo posicionadas simetri camente em relacdo a diagonal principal devem ser iguais Se es gue uma figura usando a segun Observacio Segue da Formula 11 da Seco 13 que uma matriz quadrada A a simétrica da maiz dolExenple 4 se SO Se hk 4 5 a 5 0 NWN com quaisquer valores de i e j Todas as matrizes diagonais O teorema seguinte lista as principais propriedades algébricas das matrizes simétri como a terceira matriz do Exem cas As provas sao consequéncias diretas do Teorema 148 e sAo omitidas ee httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 70 Algebra Linear com Aplicacées TEOREMA 172 Sendo A e B matrizes simétricas de mesmo tamanho e k um escalar qualquer entdo a A é simétrica b A BeABsdo simétricas c kA é simétrica Nao é verdade em geral que o produto de matrizes simétricas seja uma matriz simé trica Para ver por que isso ocorre sejam A e B matrizes simétricas de mesmo tamanho Pela parte e do Teorema 148 e a simetria de A e B temos AB BA BA Assim AB AB se e 86 se AB BA isto é se e s6 se A e B comutam Em resumo obtivemos o resultado seguinte TEOREMA 173 O produto de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica se e SO Se aS matrizes comutam Produtos de matrizes simétricas A primeira das equag6es a seguir mostra um produto de matrizes simétricas que ndo é uma matriz simétrica e a segunda mostra um produto de matrizes simétricas que é uma matriz simétrica Concluimos que os fatores da primeira equacd4o nado comutam mas que os da segunda comutam Deixamos para o leitor verificar que isso ocorre 1 24 1 2 2 3 1 of 5 2 1 24 3 2 1 2 3 31 1 3 Invertibilidade de matrizes Em geral uma matriz simétrica nao precisa ser invertivel por exemplo uma matriz qua simétricas drada com um zero na diagonal principal é simétrica mas nao é invertivel Contudo o proximo teorema mostra que se ocorrer que uma matriz simétrica é invertivel entéo sua inversa também é simétrica TEOREMA 174 Se A for uma matriz simétrica invertivel entéo A é simétrica Prova Suponha que A seja simétrica e invertivel Pelo Teorema 149 e pelo fato de que A A decorre A y A A provando que A ésimétrica 4 Produtos AA e AA Numa variedade de aplicagées surgem produtos matriciais da forma AA ec AA Se A for uma matriz m X n entio A é uma matriz n X m de modo que ambos produtos AA e AA so matrizes quadradas a matriz AA de tamanho m X mea matriz AA de tamanho n X n Esses produtos sao sempre simétricos pois AA AA AA ce AA AA AVA 17 Matrizes diagonais triangulares e simétricas 71 EXEMPLO 6 O produto de uma matriz e sua transposta é uma matriz simétrica Seja A a matriz 2 X 3 1 2 4 A 3 i Entao 1 3 10 2 l1 r 1 2 4 AA2 0 2 4 8 3 0 5S 4 5 ll1 8 4 1 3 T 1 2 4 21 I17 3 0 5 17 34 4 5 Observe que AA e AA sao simétricas como se esperava 4 Adiante neste texto obteremos condicées gerais sobre A sob as quais AA e AA so invertiveis Contudo no caso especial em que A é quadrada temos 0 seguinte resultado TEOREMA 175 Se A for uma matriz invertivel entéo AA e AA também serao inver tiveis Prova Como A é invertivel também Aé invertivel pelo Teorema 149 Assim AAe AA sio invertiveis por serem produtos de matrizes invertiveis 4 Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Matriz diagonal e Determinar se uma matriz diagonal é invertivel sem fazer e Matriz triangular inferior contas e Matriz triangular superior e Calcular mentalmente produtos matriciais envolvendo Matriz triangular matrizes diagonais Lo e Determinar se uma matriz é triangular e Matriz simétrica e Entender como a transposiao afeta matrizes diagonais e triangulares e Entender como a inversao afeta matrizes diagonais e triangulares e Determinar se uma matriz é simétrica Conjunto de exercicios 17 Nos Exercicios 14 determine se a matriz dada é invertivel Nos Exercicios 58 determine 0 produto por inspecao 3 0 0 2 1 2 0 0 0 5 0 1 0 4 1 ajo 0 0 lo o atlas 00 4 0 0 1 0 0 l1 0 0 0 3 i oalf es 9 3 020 4 0 3 0 0 0 0 2 Ty ot 0 0 3 0 5 0 O7f73 2 0 4 4 3 0 0 oO 2 70 2 0 15 3 0 3 0 0 3 L6 2 2 2 2 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 72 Algebra Linear com Aplicacées 2 0 oj 4 1 33 0 0 x1l x x 8 0 1 0 1 2 0 0 5 0 25A 0 x42 0 0 4 5 1 2 0 0 2 0 0 x4 eas x a2 aa ak xt 0 0 Nos Exercicios 912 encontre por inspegio A A eA 2 sendo k um inteiro qualquer 26 A x x 0 6 0 0 2 3 1 1 0 x x X 4 9 A 0 5 10 A 0 3 0 00 5 Nos Exercicios 2728 encontre uma matriz diagonal A que satisfaz a condicao dada 1 0 0 2 0 08 1 0 0 9 0 0 uazlo o pau 2 a7 a 0 1 0 28 A 0 4 0 7 0 03 0 0 0 1 00 1 0 0 4 0 0 0 2 29 Verifique o Teorema 171b para o produto AB com Nos Exercicios 1319 decida se a matriz simétrica 2 5 2 8 0 8 8 2 1 0 7 A 0 1 3 B10 2 1 13 0 0 14 1 5 15 4 7 0 0 4 0 0 3 0 1 2 30 Verifique o Teorema 171d para as matrizes A e B do Exer 16 34 1741 5 6 cicio 29 4 0 2 6 6 31 Em cada parte verifique o Teorema 174 para a matriz dada 1 2 3 2 l 3 0 0 1 a A 2 l b A2 4 is1 5 1 190 2 0 eet 1 3 37 4 3 1 7 3 0 0 32 Seja A uma matriz simétrican X n Nos Exercicios 2022 decida por inspecao se a matriz é in a Mostre que A é simétrica vertivel b Mostre que 2A 3A Jé simétrica 1 2 4 0 to 2 5 33 Prove que se AA A entio A simétricae A A 20 0 3 0 21 0 I 5 6 34 Encontre todas as matrizes diagonais A de tamanho 3 X 3 que 00 5 0 0 3 satisfazem A 3A 47 0 0 0 9 5 35 SejaA a uma matrizn X n Em cada caso determine se A 2 0 0 0 é simétrica 3 Oo 0 a a0 7 b ai 7 4 6 0 0 c a 2i 2 d a 27 2 0 3 8 5 36 Usando sua experiéncia com o Exercicio 35 projete um teste geral que possa ser aplicado a uma formula para a para deter Nos Exercicios 2324 encontre todos os valores das constan minar se A a simétrica tes desconhecidas que tornam a matriz A simétrica 37 Dizemos que uma matriz quadrada A antissimétrica se 4 3 A A Prove cada afirmacfo dada 23 A a5 l a Se A for uma matriz antissimétrica invertivel entio A é antissimétrica 2 a2b2e 2atbre b Se Ae B sao antissimétricas entio também o sao A 24 A13 5 ac A BA BekA com qualquer escalar k 0 2 7 c Toda matriz quadrada A pode ser expressa como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica Suges Nos Exercicios 2526 encontre todos os valores de x que tor tdo observe a identidade A AA 5 AA nam a matriz A invertivel 18 Aplicacdes de sistemas lineares 73 Nos Exercicios 3839 preencha as entradas marcadas com 43 Encontre uma matriz triangular superior que satisfaga um X para produzir uma matriz antissimétrica 1 30 3 x x 4 x 0 x A lo 38 A0 x x 39 A x x 4 x l x 8 x x Exercicios verdadeirofalso 40 Encontre todos os valores de a b ce d com os quais A é an Nas partes am determine se a afirmagao verdadeira ou falsa tissimétrica justificando sua resposta a A transposta de uma matriz diagonal é uma matriz diagonal 2a Le Lo 0 2a3b 3a5b5e b A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz A2 0 Sa 8b 6c triangular superior 3 d c A soma de uma matriz triangular superior e uma triangular inferior uma matriz diagonal 41 Mostramos no Teorema 173 que 0 produto de matrizes simé 8 tricas uma matriz simétrica se e 86 se as matrizes comutam d Todas as entradas de uma matriz simétrica sao determinadas Sera 0 produto de matrizes antissimétricas que comutam uma pelas entradas que ocorrem na diagonal principal e acima matriz antissimétrica Explique Observagao ver Exercicio dela 37 para a definic4o de antissimétrica e Todas as entradas de uma matriz triangular superior sao de 42 Seamatriz A de tamanho n X n pode ser expressa como terminadas pelas entradas que ocorrem na diagonal principal A LU em que L é uma matriz triangular inferior e U é uma e acima dela matriz triangular superior entao o sistema Ax b pode ser f A inversa de uma matriz triangular inferior invertivel é uma expresso como LUx b e pode ser portanto resolvido em matriz triangular superior dois passos como segue g Uma matriz diagonal é invertivel se e sé se todas as entradas Passo 1 Seja Ux y de modo que LUx b pode ser escrito diagonais sao positivas como Ly b Resolva esse sistema h A soma de uma matriz diagonal e uma matriz triangular infe Passo 2 Resolva 0 sistema Ux y em x rior é uma matriz triangular inferior Em cada parte use esse método de dois passos para resolver 0 i Uma matriz simétrica e triangular superior é diagonal sistema dado G SeAeB sao matrizes n X n tais que A B é simétrica entao 1 0 0O2 1 3 x 1 Ae B sao simétricas a 2 3 O 10 1 2 x 2 k Se Ae B séo matrizes n X n tais que A B é triangular supe 2 4 4 0 0 4 x 0 rior entao A e B sao triangulares superiores 1 Se A for simétrica entdo A serd uma matriz simétrica 2 0 03 5 2 x 4 ae x m Se kA for uma matriz simétrica com algum k 0 entiio A b 4 1 0 0 4 1 x15 se 2 sera uma matriz simétrica 3 2 3 10 0 2 x 2 18 Aplicagées de sistemas lineares Nesta secao discutiremos resumidamente algumas aplicagées de sistemas lineares Essa é apenas uma pequena amostragem da ampla variedade de problemas do mundo real aos quais é aplicavel nosso estudo de sistemas lineares O conceito de rede aparece numa variedade de aplicagdes Em termos gerais umaredeé Andalise de redes um conjunto de ramos através dos quais flui algum meio Os ramos por exemplo po dem ser fios elétricos através dos quais flui corrente elétrica canos através dos quais flui agua ou petrdéleo ruas de uma cidade pelas quais fluem vefculos ou conex6es financeiras pelas quais flui dinheiro para citar apenas alguns Os ramos da maioria das redes se encontram em pontos denominados nds ou vértices nos quais o fluxo divide Por exemplo numa rede elétrica os nds ocorrem onde trés ou 74 Algebra Linear com Aplicacées mais fios se juntam na rede do transito eles ocorrem em cruzamentos de ruas e numa rede financeira eles ocorrem em centros bancarios nos quais o dinheiro é distribuido a individuos ou outras instituig6es No estudo de redes existe em geral alguma medida numérica da taxa segundo a qual 0 meio flui ao longo do ramo Por exemplo o fluxo de uma corrente elétrica em geral é medido em ampéres a taxa de fluxo da 4gua ou petrdleo em litros por minuto a do fluxo do transito em veiculos por hora e a taxa do fluxo de moeda europeia em milhdes de euros por dia Vamos restringir nossa atengdo as redes em que ha conservagao do fluxo em cada n6 com 0 que queremos dizer que a taxa de fluxo para dentro de qualquer no é igual a taxa de fluxo para fora desse nod Isso garante que 0 meio nao se acumula nos nds e nao impede o movimento livre do meio ao longo da rede Um problema comum na andlise de redes é usar taxas de fluxo conhecidas em certos ramos para encontrar a taxa de fluxo em todos os demais ramos da rede Aqui temos um exemplo Andalise de redes usando sistemas lineares 30 A Figura 181 mostra uma rede de quatro nés com indicacao de algumas taxas de fluxo e sentido do fluxo ao longo de ramos Encontre as taxas de fluxo e o sentido do fluxo nos demais ramos 35 55 Solucao Como ilustra a Figura 182 associamos sentidos arbitrarios para as taxas de 15 fluxos x x x Nao precisamos nos preocupar com a veracidade desses sentidos pois um sentido incorreto acabara recebendo um valor negativo para a taxa de fluxo quando tivermos resolvido para as inc6gnitas 60 Segue da conservagao do fluxo no no A que Figura 181 x x 30 Analogamente nos demais nds obtemos 30 x x 35 ndB x1560 ndC JN x x1555 ndD 35 B D 55 Essas quatro condicées produzem o sistema linear rKo Ms x x 30 xX x 35 60 x 45 x 40 Figura 182 que podemos agora tentar resolver para as taxas de fluxo desconhecidas Nesse caso particular 0 sistema é suficientemente simples para resolvélo sem fazer contas de baixo para cima Deixamos para o leitor confirmar que a solugao é x40 x10 x45 Como x é negativo vemos que o sentido do fluxo naquele ramo da Figura 182 esta in correto pois o fluxo naquele ramo é para dentro do né A Projetando padrdées de trafego A rede da Figura 183 mostra uma proposta de fluxo de trafego de uma certa cidade em torno de uma de suas pragas a Praga 15 O plano prevé a instalagdo de um semaforo computadorizado na saida norte da Rua Lavradio e 0 diagrama indica 0 nimero médio de veiculos por hora que se espera ter nas ruas que circundam o complexo da praga Todas as ruas sao de mao tnica 18 Aplicacdes de sistemas lineares 75 a O semaforo deveria deixar passar quantos veiculos por hora para garantir que o nt mero médio de veiculos por hora que entra no complexo seja igual ao nimero médio de veiculos que sai do complexo b Supondo que o semaforo tenha sido ajustado para equilibrar o fluxo total para dentro e para fora do complexo da praca 0 que pode ser dito sobre 0 nimero médio de vei culos por hora que circulara pelas ruas que circundam 0 complexo N Semaforo 6 On 200 é 200 x S Rua do Mercado oo x oO C 3 B 500 400 500 400 oO 15 j 4 2 700 g 400 700 400 Rua do Comercio a D x A 600 600 Figura 183 a bd Solucao a Se x for o nimero de veiculos por hora que 0 semaforo deve deixar passar conforme Figura 183b entéo o nimero total de veiculos por hora que entra e sai do complexo da praga sera Para dentro 500 400 600 200 1700 Para fora x 700 400 Igualando os fluxos para fora e para dentro vemos que 0 semaforo deveria deixar passar 600 veiculos por hora Solugado b Para evitar congestionamentos de transito o fluxo para dentro de cada cru zamento deve igualar o fluxo para fora do cruzamento Para isso acontecer as condigdes seguintes devem estar satisfeitas Cruzamento Fluxo para dentro Fluxo para fora A 400 600 xX x B xX x 400 x Cc 500 200 xX X D x x 700 Assim com x 600 como calculamos na parte a obtemos o sistema linear seguinte xX x 1000 xX x 1000 x x 700 x x 700 Deixamos para o leitor mostrar que esse sistema tem uma infinidade de solugdes e que estas sao dadas pelas equag6es paramétricas x7001t x3001t x7001f xt 1 Contudo nesse exemplo o pardmetro f nao é completamente arbitrario pois ha restrigdes fisicas a considerar Por exemplo as taxas de fluxo médias devem ser nao negativas pois es tamos supondo ruas de mAo tinica e uma taxa de fluxo negativa indicaria um fluxo na contra mao Portanto vemos de 1 que pode ser qualquer numero real que satisfaga 0 t 700 0 que implica que a taxa de fluxo média ao longo das ruas ficara dentro das cotas O0x700 300x1000 0x700 0x700 4 76 Algebra Linear com Aplicacées Circuitos elétricos Em seguida mostramos como a andalise de redes pode ser usada para analisar circuitos elétricos constitufdos de capacitores e resistores Um capacitor uma fonte de energia elétrica como uma bateria e um resistor um elemento que dissipa energia elétrica como uma lampada A Figura 184 mostra o diagrama esquematico de um circuito com um capacitor representado pelo simbolo 4b um resistor representado pelo simbolo Chave wv e uma chave O capacitor tem um polo positivo e um polo negativo Quan do a chave esta fechada consideramos a corrente elétrica fluindo a partir do polo positivo do capacitor através do resistor e de volta ao polo negativo do capacitor indicado pela Figura 184 seta na figura A corrente elétrica que é um fluxo de elétrons por fios tem um comportamento mui to parecido com o do fluxo de agua por canos Um capacitor funciona como uma bomba que cria pressao elétrica para aumentar a taxa de fluxo dos elétrons e um resistor age como uma restriao num cano que reduz a taxa de fluxo dos elétrons O termo técnico para a pressao elétrica é tensdo elétrica que usualmente é medida em volts V A resis téncia é o quanto o resistor reduz a tensfo elétrica e costuma ser medida em ohms Q A taxa de fluxo dos elétrons num fio é denominada a intensidade de corrente e é usual mente medida em amperes A O efeito preciso de um resistor é dado pela seguinte lei Leide Ohm Seumacorrente de J ampéres passa por um resistor com uma resisténcia de R ohms entao o resultado é uma queda da tens4o elétrica de E volts que é 0 produto da corrente pela resisténcia ou seja EIR Uma rede elétrica tipica possui varios capacitores e resistores ligados por alguma configuragao de fios Um ponto no qual trés ou mais fios da rede se encontram é um nd da rede Um ramo é um fio ligando dois nods e um lago fechado é uma sucessao de ramos on conectados que comega e termina no mesmo no Por exemplo 0 circuito elétrico da Fi Figura 185 gura 185 tem dois nos e trés lacos fechados dois internos e um externo A medida que a corrente flui pelo circuito elétrico ela passa por aumentos e diminuigées de tensao elé trica que sao as elevagées e as quedas de voltagem respectivamente O comportamento da corrente nos nds e em torno de lacos fechados governado por duas leis fundamentais Lei das correntes de Kirchhoff A soma das correntes fluindo para dentro de qualquer no é igual a soma das correntes fluindo para fora do n6 1 f C Lei das tens6es de Kirchhoff Em uma volta em torno de qualquer lago fechado a soma das elevagées de voltagem é igual 4 soma das quedas de voltagem Figura 186 A lei das correntes de Kirchhoff é uma versao para circuitos elétricos do principio da conservacaéo do fluxo num n6 que enunciamos para redes gerais Assim por exemplo as correntes no no superior da Figura 186 satisfazem a equacao J 1 J Em geral nao é possivel saber de antem4o os sentidos nos quais estao fluindo as correntes em circuitos com varios lagos e capacitores por isso na andlise de circuitos é 0 0 costume atribuir sentidos arbitrdrios aos fluxos das correntes nos varios ramos e deixar Convencao de laco fechado os calculos matematicos determinarem se os sentidos atribuidos estao corretos Além de horaério com sentidos atribuir sentidos aos fluxos de corrente a lei das tensdes de Kirchhoff requer um sentido arbitrarios atribuidos as de percurso para cada laco fechado A escolha é sempre arbitraria mas para obter alguma correntes nos ramos consisténcia sempre tomaremos esse sentido como sendo o horario Figura 187 Tam Figura 187 bém introduzimos as seguintes convencées 18 Aplicacdes de sistemas lineares 77 e Seo sentido associado a corrente através do resistor for o mesmo que 0 sentido asso ciado ao lago entao ocorre uma queda de voltagem no resistor e se o sentido asso ciado 4 corrente através do resistor for 0 oposto do sentido associado ao lago entao ocorre uma elevac4o de voltagem no resistor e Seo sentido associado a corrente através do lago for de para num capacitor en tao ocorre uma elevacao de voltagem no capacitor e se o sentido associado a corrente através do laco for de para num capacitor entao ocorre uma queda de voltagem no capacitor Seguindo essas convenc6es ao calcular intensidades de correntes as correntes cujos sen tidos de fluxo foram atribuidos corretamente serao positivas e aquelas cujos sentidos de fluxo foram atribuidos incorretamente sero negativas EXEMPLO 3 Umcircuito com um lago fechado Determine a corrente J do circuito mostrado na Figura 188 I Solugao Como o sentido atribuido a corrente pelo resistor é igual ao sentido do laco temos uma queda de voltagem no resistor Pela lei de Ohm essa voltagem é E IR 6V 30 37 Além disso como o sentido do lago é de para no capacitor temos um aumento de voltagem de 6 volts no capacitor Assim pela lei das tensdes de Kirchhoff segue que 316 Figura 188 e concluimos que a corrente é J 2A Como positivo esta correto o sentido atribuido ao fluxo da corrente EXEMPLO 4 Umcircuito com trés lagos fechados Determine as correntes J J e I do circuito mostrado na Figura 189 Soluao Usando os sentidos atribufdos as correntes a lei das correntes de Kirchhoff Lh A fornece uma equacao para cada né I N6 Corrente para dentro Corrente para fora 50 20 al 100 A L L B I re 50 V 30 V Contudo essas equagdes realmente sdo iguais pois ambas podem ser escritas como Figura 189 I110 2 Nota historica O fisico alemao MEA Gustav Kirchhoff foi um aluno de Ng Gauss Seu trabalho sobre as ye ee leis que levam seu nome anun me 1d os ciado em 1854 foi um avango ae oe consideravel no calculo de cor dG fee rentes voltagem e resisténcia de a circuitos elétricos Kirchhoff era severamente incapacitado ten q do passado a maior parte de sua vida de muletas ou em cadeira iC de rodas Imagem SSPLThe Image Gustav Kirchhoff Works 18241887 78 Algebra Linear com Aplicacées Para encontrar valores Unicos para as correntes vamos precisar de mais duas equagées que obtemos com a lei das tensdes de Kirchhoff Podemos ver pelo diagrama do circui to que ha trés lagos fechados um lago interno a esquerda com um capacitor de 50 V um lago interno a direita com um capacitor de 30 V e 0 laco externo que contém ambos capacitores Assim a lei das tensdes de Kirchhoff de fato fornece trés equagdes Num percurso horario dos lagos as quedas e as elevagdes de voltagem nesses trés lagos sao como segue Elevacao de voltagem Queda de voltagem Laco interno 4 esquerda 50 51 201 Lago interno a direita 30 107 201 0 Lago externo 30 50 10 SI Essas condig6es podem ser reescritas como SI 201 50 107 207 30 3 51 101 80 Contudo por ser a diferenca das duas primeiras a iltima equacdo é supérflua Assim combinando 2 e as duas primeiras equagdes de 3 obtemos o sistema linear de trés equagoes em trés incdgnitas que segue L L 0 SI 201 50 10 207 30 Deixamos para 0 leitor resolver esse sistema e mostrar que J 6A 1 SAeJ 1A Como J é negativo vemos que o sentido da corrente 0 oposto do indicado na Figura 189 4 Equilibrando equacées Os componentes quimicos sao representados por formulas quimicas que descrevem a guimicas composido atémica de suas moléculas Por exemplo a formula quimica da agua é HO pois é composta de dois atomos de hidrogénio e um atomo de oxigénio e a formula qui mica do oxigénio estavel O pois composto de dois dtomos de oxigénio Quando combinamos compostos quimicos sob condig6es corretas os Atomos de suas moléculas se rearranjam e formam novos componentes Por exemplo na queima de me tano o metano CH e 0 oxigénio estavel O reagem para formar didxido de carbono CO ou gas carbénico e 4gua HO Isso indicado pela equagdo quimica CH O CO HO 4 As moléculas a esquerda da seta sio denominadas reagentes e as a direita sao os produ tos Nessa equacao o sinal de mais serve somente para separar as moléculas e nao tem conotacao de operacao algébrica Contudo essa equagao nao conta toda a histéria pois deixa de mencionar as proporgoes de moléculas necessarias para uma reado completa sem sobra de reagentes Por exemplo podemos ver no lado direito de 4 que para produzir uma molécula de didxido de carbono e uma molécula de 4gua precisamos de trés Atomos de oxigénio para cada atomo de carbono Contudo vemos no lado esquerdo de 4 que uma molécula de metano e uma molécula de oxigénio estavel tém somente dois atomos de oxigénio para cada atomo de carbono Assim para ter uma reagao com pleta a razao de metano para oxigénio estavel do lado dos reagentes nao pode ser de um para um 18 Aplicacdes de sistemas lineares 79 Dizemos que uma reac4o quimica esta equilibrada se aparecer 0 mesmo ntimero de atomos em cada lado da seta para cada tipo de 4tomo na reagao Por exemplo a versao equilibrada da Equagao 4 é CH 20 CO 2HO 5 com a qual queremos indicar que combinamos uma molécula de metano com duas de oxigénio estavel para produzir uma molécula de gas carbénico e duas moléculas de agua Poderiamos perfeitamente multiplicar toda a equag4o por qualquer inteiro positivo Por exemplo multiplicando todos os termos por 2 obtemos a equaa4o quimica equilibrada 2CH 40 2CO 4HO Contudo convengao padrao utilizar os menores inteiros positivos que equilibram a equacao A Equagao 4 é suficientemente simples para ser equilibrada por tentativa e erro mas equacg6es quimicas mais complicadas requerem um método mais sistematico Existem varios métodos que podem ser usados mas veremos um que usa sistemas de equagdes lineares Para ilustrar 0 método vamos reexaminar a Equacao 4 Para equilibrar essa equagao precisamos encontrar inteiros x x x x tais que x CH x O x CO x HO 6 Para cada um dos atomos da equagdo o nimero de 4tomos a esquerda deve ser igual ao numero de atomos a direita Expresso em formato tabular temos Lado esquerdo Lado direito Carbono x Xx Hidrogénio 4x 2X4 Oxigénio 2x 2x xX de onde obtemos 0 sistema linear homogéneo x Xx 0 4x 2x 0 2x 2x x 0 A matriz aumentada desse sistema 1 0 l 0 0 4 0 0 2 0O 0 2 2 1 0 Deixamos para 0 leitor mostrar que a forma escalonada reduzida por linhas dessa matriz é 1 1 0 0 5 0 0 1 0 l 0 1 0 0 1 5Z 0 da qual concluimos que a solucao geral desse sistema é xX 02 xt 02 x t em que arbitrario Os menores valores inteiros positivos para as incégnitas ocorrem quando tomamos f 2 de modo que podemos equilibrar a equagao tomando x 1 xX 2x 1 x 2 Isso confere com nossa conclusao anterior pois substituindo esses valores em 6 obtemos 5 80 Algebra Linear com Aplicacées Equilibrando equagdes quimicas usando sistemas lineares Equilibre a equagao quimica HCl NaPO HPo NaCl Acido cloridrico fosfato de sédio Acido fosférico cloreto de sédio Solugao Sejam x x x x inteiros positivos que equilibram a equacdo x HCI x NaPO x HPO x NaCl 7 Igualando o ntimero de atomos de cada tipo de ambos lados resulta lx 3x Hidrogénio H lx lx Cloro CI 3x 1x Sédio Na lx 1x Fésforo P 4x 4x Oxigénio O do que obtemos 0 sistema linear homogéneo x 3x 0 x x0 3x x0 Xy X 0 4x 4x 0 Deixamos para o leitor mostrar que a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada desse sistema 1 0 0 l 0 1 0 1 0 3 0 1 0 0 I 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 da qual concluimos que a solugao geral desse sistema é xX t x 13 x 03 xt onde é arbitrario Para obter os menores valores inteiros positivos que equilibram a equa cao tomamos f 3 e resulta x 3 x 1 x 1 e x 3 Substituindo esses valores em 7 obtemos a equacao equilibrada 3HCI NaPO HPO 3NaCl 4 Interpolacao polinomial Um problema importante em varias aplicagdes é encontrar um polindmio cujo grafico passe por uma colecao de pontos especificados no plano tal polindmio é dito polinémio y interpolador dos pontos O exemplo mais simples de um problema desses é encontrar um yaxtb polinémio linear X Y2 Px ax b 8 4 y cujo grafico passe por dois pontos distintos conhecidos x y x y do plano xy Figu ra 1810 O leitor provavelmente aprendeu varios métodos da Geometria Analitica para encontrar a equaao de uma reta por dois pontos mas aqui daremos um método com base Figura 1810 em sistemas lineares que pode ser adaptado a interpolacao polinomial geral 18 Aplicagdes de sistemas lineares 81 O grafico de 8 a reta y ax be para essa reta passar pelos pontos x y x y devemos ter yaxb e yaxb Portanto os coeficientes incdgnitos a e b podem ser obtidos resolvendo o sistema linear ax by ax by Nao precisamos de métodos geniais para resolver esse sistema 0 valor de a pode ser ob tido subtraindo as equag6es para eliminar b e entao o valor de a pode ser substitufdo em qualquer uma das duas equag6es para encontrar b Deixamos para o leitor encontrar ae b e mostrar que podem ser expressos na forma X YX a M1 e p 27 2 9 xy xy X desde que tenhamos x x Assim por exemplo a reta y ax b que passa pelos pontos 21 e 54 yx1 podem ser obtida tomando x y 2 1 e y 5 4 caso em que 9 fornece S 4 41 G6 M2 a 1e b 1 52 52 2 1 x Portanto a equacao da reta é x1 y Figura 1811 Figura 1811 Consideremos agora 0 problema mais geral de encontrar um polinémio cujo grafico passe pelos n pontos de coordenadas x distintas x y x Yo x y3 ss x y 10 Como temos n condigées a satisfazer a intuigdo sugere que comecemos procurando por polindmios da forma PX a tax ax a x 11 ja que um polinémio dessa forma tem n coeficientes que estao a nossa disposicao para satisfazer as n condigdes Contudo queremos permitir os casos em que alguns pontos estejam alinhados ou entao satisfagam alguma outra configuragao o que tornaria possivel utilizar algum polindmio de grau menor do que n 1 assim vamos permitir que a e outros coeficientes em 11 sejam nulos O proximo teorema que sera provado mais adiante é 0 resultado fundamental da interpolagdo polinomial TEOREMA 181 Interpolacgao polinomial Dados quaisquer n pontos no plano xy que tém coordenadas x distintas existe um uni co polin6émio de graun I ou inferior cujo grafico passa por esses pontos Vejamos agora como poderiamos encontrar o polindmio interpolador 11 cujo grafico passa pelos pontos de 10 Como o grafico desse polindmio o grafico da equacaéo yataxtaxta x 12 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 82 Algebra Linear com Aplicacées segue que as coordenadas dos pontos satisfazem dy ax tax ttax y Ay Xp aX e Xs 2 13 dy ax ax tax y Estamos supondo que os valores dos x e y sejam conhecidos nessas equagdes de modo que podemos ver esse sistema como um sistema linear nas incdgnitas dp a G Desse ponto de vista a matriz aumentada do sistema é 1 x x uo x yy 1 x x ue xy Yo oe ae 14 Lo x ay e portanto podemos encontrar o polinémio interpolador reduzindo essa matriz 4 forma escalonada reduzida por linhas eliminagao de GaussJordan Interpolagao polinomial por eliminagao de GaussJordan Encontre um polinémio ctibico cujo grafico passa pelos pontos d 3 22 35 4 0 Solugao Como ha quatro pontos utilizamos um polinémio interpolador de grau n 3 Denote esse polinémio interpolador por PX dy ax ax ax e denote as coordenadas x e y dos pontos dados por xX1 2 x3 x41 4 e y 3 y 2 y5 y 0 Assim segue de 14 que a matriz aumentada do sistema linear nas incégnitas dp a a eaé lu mu om I I 1 i 1 1 1 1 3 ly 4 x yy 2 4 8 2 2 3 1 4 16 64 0 Lox xy xy OV y 4 Deixamos para 0 leitor confirmar que a forma escalonada reduzida por linhas dessa matriz é 1 0 oO O 4 x 0 1 0 0 3 Apt 1 0 60 1 0 S5 0 oO 0 1 1 3 4 da qual segue que a 4 a 3 a 5 a 1 Assim o polinémio interpolador é 5 px 443x5x x Figura 1812 O grafico desse polinémio e os pontos dados aparecem na Figura 1812 4 18 Aplicacdes de sistemas lineares 83 Observacéo Adiante veremos um método mais eficaz para encontrar polinémios interpoladores que é mais recomendado nos problemas em que é grande o numero de pontos dados EXEMPLO 7 Integragado aproximada REQUER CALCULO E Nao ha como calcular a integral CALCULADORA ax sen dx 0 2 diretamente pois nao existe maneira de expressar a antiderivada do integrando em termos de fungdes elementares Essa integral poderia ser aproximada pela regra de Simpson ou algum método comparavel mas uma abordagem alternativa é aproximar o integrando por um polinémio intepolador e integrar o polindmio aproximante Por exemplo considere os cinco pontos Xy0 x 025 x05 x075 x1 que dividem o intervalo 0 1 em quatro subintervalos de mesmo tamanho Os valores de ax fx sen 2 nesses pontos sao aproximadamente fO 0 025 0098017 f05 0382683 fO75 077301 fly1 y O polindmio interpolador é verifique I px 0098796x 0762356x 214429x 200544x 15 Os 1 px dx 0438501 16 025 05 075 1 125 0 PR Como mostra a Figura 1813 os graficos de fe de p se ajustam muito bem no intervalo sen wx 2 0 1 de modo que a aproximagao é bastante boa 4 Figura 1813 Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Rede e Encontrar as taxas de fluxo e os sentido do fluxo nos e Ramo ramos de uma rede eNO e Encontrar a quantidade de corrente fluindo através das Conservacao do fluxo partes de um circuito elétrico oo ays ws e Escrever uma equagao quimica equilibrada para uma dada e Circuitos elétricos capacitor resistor polo positivo e reaciio quimica negativo tensao elétrica lei de Ohm lei das correntes de S80 q Kirchhoff lei das tensdes de Kirchhoff e Encontrar um polinémio interpolador para um grafico a passando por uma dada colegao de pontos e Equacées quimicas reagentes produtos equagdes equilibradas e Interpolacao polinomial 84 Algebra Linear com Aplicacées Conjunto de exercicios 18 1 A figura dada mostra uma rede na qual sao conhecidos a taxa b Resolva o sistema para as taxas de fluxo desconhecidas de fluxo e o sentido do fluxo em alguns ramos Encontre as c E possivel fechar a rua de A para B em virtude de uma taxas de fluxo e os sentidos do fluxo nos demais ramos obra e manter o tréfego fluindo em todas as outras ruas Explique 50 300 200 100 500 A 7 B 600 30 60 x3 x4 x5 30 400 450 X6 xy 40 Figura Ex1 350 600 400 Figura Ex4 2 A figura dada mostra algumas taxas de fluxo de hidrocarbo netos para dentro e para fora de uma rede de canos de uma Nos Exercicios 58 analise os circuitos elétricos dados en refinaria de petréleo contrando as correntes desconhecidas a Monte um sistema linear cuja solugdo fornega as taxas de 5 8V fluxo desconhecidas Aye b Resolva o sistema para as taxas de fluxo desconhecidas c Encontre as taxas de fluxo e os sentidos do fluxo se 20 i 20 i if 40 x 50ex 0 l 200 x3 4150 6V ae 200 60 2V 25 X 175 Figura Ex2 1 gura Ex 2 sagt 3 A figura dada mostra uma rede vidria de ruas de mao tnica I com fluxo de trafego nos sentidos indicados As taxas de fluxo SK ao longo das ruas sfo medidas pelo nimero médio de veiculos IV 20 por hora a Monte um sistema linear cuja solugdo fornega as taxas de 7 00 fluxo desconhecidas b Resolva o sistema para as taxas de fluxo desconhecidas I I c Se o fluxo ao longo da rua de A para B precisar ser redu 10 Vv ti 200 i 200 fs 10V zido em virtude de uma obra qual sera o fluxo minimo I necessario para manter o trafego fluindo em todas as ruas 200 400 750 300 x 250 8 pv 30 A 4 f 400 B 200 40 x aly 100 300 Figura Ex3 4v fh 50 4 A figura dada mostra uma rede vidria de ruas de mao tinica ay ty eg 3V I com fluxo de trafego nos sentidos indicados As taxas de fluxo ao longo das ruas séo medidas pelo nimero médio de veiculos por hora Nos Exercicios 912 escreva uma equac4o equilibrada para a a Monte um sistema linear cuja solugdo fornega as taxas de reagao quimica dada fluxo desconhecidas 9 CH O CO HO queima de propano TS Modelos econdmicos de Leontiof 85 10 CH0 CO CHOH fermentagao do agticar 0 1 e C1 2 Sugestdo a equagao deve incluir um 11 CHCOF HO CHCOOH HF parametro arbitrario que produza os membros da familia 12 CO HO CH0 O fotossintese quando variar or ae b Esboce quatro curvas da familia obtida a mao ou com a 13 Encontre 0 polinémio quadratico cujo grafico passa pelos oes pontos 1 1 22 e 3 5 ajuda de uma ferramenta grafica 14 Encontre o polinémio quadratico cujo grafico passa pelos 18 Nesta Sega selecionamos apenas algumas poucas aplicagoes pontos 0 0 1 le 1 1 de sistemas lineares Usando uma ferramenta de busca na Internet tente encontrar mais algumas aplicacgGes desses siste 15 Encontre 0 polindmio ctibico cujo grafico passa pelos pontos mas ao mundo real Selecione alguma de seu interesse e redija 1 1 C 3 4 D um paragrafo a respeito 16 A figura dada mostra 0 grafico de um polindémio cubico En contre o polinémio Exercicios verdadeirofalso Nas partes ae determine se a afirmacdo é verdadeira ou falsa 10 justificando sua resposta a Numa rede qualquer a soma dos fluxo para fora de algum n6é 7 deve ser igual 4 soma dos fluxos para dentro do no 6 b Quando uma corrente passa por um resistor ocorre um au 5 mento da tensao elétrica no circuito 4 c A lei das correntes de Kirchhoff afirma que a soma das cor 3 rentes fluindo para dentro de qualquer no é igual 4 soma das 2 correntes fluindo para fora do no d Uma equagao quimica esta equilibrada se 0 nimero total de 12 3 4 5 67 8 Figura Ex16 atomos em cada lado da equagao for o mesmo e Dados n pontos do plano xy existe um tinico polinémio de 17 a Encontre uma equacfo que represente a familia de todos grau n ou inferior cujo grafico passa por esses pontos os polindmios de grau dois que passam pelos pontos 19 Modelos econémicos de Leontief Em 1973 0 economista Wassily Leontief foi agraciado com o Prémio Nobel pelo seu trabalho em modelagem econémica no qual utilizou métodos matriciais para estudar as relag6es entre diferentes setores de uma economia Nesta seao discutiremos algumas das ideias desenvolvidas por Leontief Uma maneira de analisar uma economia é dividila em setores e estudar como os setores nsumoe produto numa interagem entre si Por exemplo uma economia simples pode estar dividida em trés se economia tores manufatura agricultura e servicos Tipicamente um setor produz certos produtos mas requer insumos dos outros setores e de si mesmo Por exemplo o setor agricola pode produzir trigo como produto mas requer insumo de maquinas agricolas do setor manufa tureiro energia elétrica do setor de servigos e alimento de seu proprio setor para alimentar seus trabalhadores Assim podemos imaginar uma economia como uma rede na qual fluem os insumos e os produtos entre os setores 0 estudo desses fluxos é denominado andlise de insumoproduto Os insumos e os produtos em geral sio medidos em unidades monetarias dolares ou milhdes de dolares por exemplo que denotamos simplesmente pelo cifrao mas também sfo possiveis outras medidas Os fluxos entre os setores de uma economia real nao sao sempre dbvios Por exemplo na Segunda Guerra Mundial os Estados Unidos da América tiveram uma demanda por 50000 novos avides que exigiu a construcao de muitas novas fabricas de aluminio Isso produziu uma demanda inesperadamente grande por certos componentes elétricos a base de cobre que por sua vez produziu uma escassez de cobre O problema acabou sendo resolvido utilizando prata como substituto de cobre sendo a prata tomada emprestada das 86 Algebra Linear com Aplicagdes reservas governamentais depositadas em Fort Knox E bastante provavel que uma andlise de insumoproduto moderna teria antecipado aquela escassez de cobre A maioria dos setores de uma economia produzira produtos mas podem existir se tores que consomem produtos sem produzir nenhum produto por exemplo o setor dos consumidores Aqueles setores que nao produzem produtos sao denominados setores abertos Economias sem setores abertos sao denominadas economias fechadas e econo mias com um ou mais setores abertos sao denominadas economias abertas Figura 191 Nesta seg4o vamos nos ocupar com economias de um setor aberto e nosso objetivo prin cipal sera determinar os niveis de produgao necessarios para o setor produtivo sustentar a si mesmo e satisfazer a demanda do setor aberto O modelo de Leontief de uma Consideremos uma economia aberta simples com um setor aberto e trés setores produti economia aberta vos manufatura agricultura e servigos Suponhamos que insumos e produtos sejam me didos em unidades monetarias e que os insumos requeridos pelos setores produtivos para produzir uma unidade monetaria de valor de produto estao de acordo com a Tabela Manufatura Agricultura 1 a seguir TL let des 77 Tabela Insumo requerido para produzir 1 Setor Manufatura Agricultura Servicgos aberto a Manufatura 050 010 010 Fornecedor Agricultura 020 050 030 bey Servigos 010 030 040 Servigos Figura 191 Geralmente suprimimos as legendas da tabela e expressamos essa matriz como 05 01 01 C 02 05 03 1 01 03 04 Essa é denominada a matriz de consumo da economia ou as vezes a matriz tecnol6gi ca Os vetorescoluna 05 01 01 q 02 Q 05 G3 03 01 03 04 A P Nota historica Nao deixa de ser um pouco irénico que tenha sido a aa Wassily Leontief nascido na Russia quem recebeu o Prémio Nobel de Economia de 1973 por seu trabalho que lancou os modernos métodos 4 para analisar economias de mercado abertas Leontief foi um estudante ee a precoce que entrou na Universidade de Leningrado aos 15 anos Inco as modado pelas restrigdes intelectuais do regime soviético acabou na Te Cadeia por atividades anticomunistas e depois foi para a Universidade de Berlim onde obteve seu doutorado em 1928 Foi para os Estados Se a Unidos da América em 1931 ocupando uma catedra na Universidade a fey Sa de Harvard e depois na Universidade de Nova York Roto Fs lmagem BettmannCorbis Rea Fase AAA ae Deets Ba aA A I eens Wassily Leontief 19061999 19 Modelos econémicos de Leontief 87 de C listam os insumos necessdrios para os setores de manufatura agricultura e servicos eo a duzi 100 d d E xo d inad Qual é 0 significado econdémico respectivamente produzirem 1 e pro uto sses vetores sao denominados vetores das somas das entradas de uma de consumo dos setores Por exemplo nos diz que para produzir 100 de valor de pro HANA aRTATHI CTA CTCOTSTTIAG duto o setor manufatureiro requer produtos no valor de 050 do setor manufatureiro no valor de 020 do setor agricola e no valor de 010 do setor de servicos Continuando com o exemplo acima vamos supor que o setor aberto necessita que a economia fornecga bens manufaturados produtos agricolas e servigos com os valores em unidades monetarias seguintes d unidades monetarias de bens manufaturados d unidades monetarias de produtos agricolas d unidades monetarias de servicos O vetor coluna d que tem esses ntiimeros como componentes sucessivos denominado vetor demanda externa Como os setores produtivos consomem alguns de seus préprios produtos o valor em unidades monetarias de seus produtos precisa cobrir suas proprias necessidades mais a demanda externa Suponhamos que os valores necessdrios para con seguir isso sejam x unidades monetarias de bens manufaturados x unidades monetarias de produtos agricolas x unidades monetarias de servicos O vetor coluna x que tem esses nimeros como componentes sucessivos é denominado vetor de produgdo da economia Para a economia com matriz de consumo 1 a porgaéo do vetor de produgao x que sera consumido pelos trés setores produtivos é 05 01 01 05 01 01 xy x 02 x2 05 x303 102 05 03 x2 Cx 01 03 04 01 03 04 x3 As fragdes As fragdes As fragdes consumidas consumidas consumidas pela manufatura pela agricultura pelos servigos O vetor Cx é denominado vetor demanda intermediaria da economia Uma vez atendida a demanda intermediaria a porgao da produgao que resta para satisfazer as necessidades da demanda externa é x Cx Assim se 0 vetor demanda externa for d entéo x deve satisfazer a equacao x Cx d Quantidade Demanda Demanda produzida intermediaria externa dOxd 2 A matriz J C é denominada matriz de Leontief e 2 denominada equacdao de Leontief Satisfazendo a demanda externa Considere a economia descrita na Tabela 1 Suponhamos que o setor aberto tenha uma demanda no valor de 7900 de produtos manufaturados 3950 de produtos agricolas e 1975 de servicos a A economia conseguira atender essa demanda b Se conseguir encontre um vetor de producdo x que atenda exatamente essa demanda 88 Algebra Linear com Aplicacées Solugao A matriz de consumo o vetor de producao e o vetor demanda externa sao 05 01 O1 x 7900 C 02 05 03 xJx d 13950 3 01 03 04 X3 1975 Para atender essa demanda o vetor x deve satisfazer a equacao de Leontief 2 portanto o problema se reduz a resolver o sistema linear 05 01 01 x1 7900 02 05 03 X2 3950 4 01 03 06 x3 1975 IC x d se for consistente Deixamos para o leitor verificar que a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada desse sistema é 1 0 0 27500 0 1 0 33750 0 0 1 24750 Isso nos diz que 4 é consistente e que a economia consegue atender exatamente a de manda do setor aberto produzindo um valor total de 27500 de produtos manufaturados 33750 de produtos agricolas e 24750 de servicgos 4 Economias abertas Na discussao precedente consideramos uma economia aberta com trés setores produti produtivas VOS as mesmas ideias se aplicam a economias com 7 setores produtivos Nesse caso a matriz de consumo o vetor de produgao e o vetor demanda externa tém a forma Cy Cig Cin x d Cop Cap Con xy d C 1 xX d Cu Cr uc Can xX d em que todas as entradas sao nao negativas e C ao valor monetario do produto do iésimo setor que necessario para 0 jésimo setor produzir um produto no valor de uma unidade monetaria x ao valor monetario do produto do iésimo setor d ao valor monetario do produto do iésimo setor que é necessario para atender a demanda do setor aberto Observacao Observe que o jésimo vetor coluna de C contém os valores monetdrios que o jésimo setor necessita dos outros setores para produzir um produto no valor de uma unidade mo netaria e que o iésimo vetor linha de C contém os valores monetarios exigidos do iésimo setor pelos outros setores para que cada um deles possa produzir um produto no valor de uma unidade monetaria Conforme discutido no exemplo precedente um vetor de producgdo x que atenda a demanda d do setor externo deve satisfazer a equacao de Leontief dCxd Se a matriz J C for invertivel entao essa equacao tem a solucao Unica x1Cd 5 19 Modelos econémicos de Leontief 89 para cada vetor demanda d Contudo para x ser um vetor de produgao valido ele deve ter entradas nao negativas de modo que o problema de importancia na Economia é deter minar condig6es sob as quais a equacao de Leontief tem uma solucgd4o com entradas nao negativas No caso em que J C for invertivel é evidente pelo formato de 5 que se J c tem entradas nao negativas entao para cada vetor demanda d 0 vetor x correspondente tem entradas nao negativas e portanto é um vetor de produgao valido para a economia As economias nas quais J C tem entradas nado negativas sao ditas produtivas Tais economias sao particularmente desejaveis pois a demanda pode ser sempre atendida por algum nivel de producao apropriado O proximo teorema cuja prova pode ser encontrada em muitos livros de Economia da condig6es sob as quais sao produtivas as economias abertas TEOREMA 191 Se C for a matriz de consumo de uma economia aberta e se todas as somas das entradas de colunas forem menores do que 1 entdo a matriz I C é inver tivel as entradas de I C séio nao negativas e a economia é produtiva Observacéo A soma das entradas da jésima coluna de C representa o valor total de insumo em unidades monetérias que é necessdrio para o jésimo setor produzir 1 de produto de modo que se a soma das entradas da jésima coluna for menor do que 1 entao o jésimo setor precisara de menos de 1 de insumo para produzir 1 de produto nesse caso dizemos que o jésimo setor é rentdvel Assim 0 Teorema 191 afirma que se todos os setores produtivos de uma economia aberta forem rentaveis entéo a economia é produtiva Nos exercicios pedimos para o leitor mostrar que uma eco nomia é produtiva se todas as somas das entradas de linhas de C forem menores do que Exercicio 11 Assim uma economia aberta sera rentdvel se ou a soma das entradas de todas as colunas de C for menor do que ou a soma das entradas de todas as linhas de C for menor do que 1 Uma economia aberta com todos os setores rentaveis As somas das entradas de colunas da matriz de consumo C em 1 sao menores do que 1 de modo que J C existe e tem entradas nao negativas Use uma ferramenta compu tacional para confirmar isso e use essa inversa para resolver a Equacao 4 no Exemplo 1 Solucao Deixamos para o leitor mostrar que 265823 113924 101266 I C 189873 367089 215190 139241 202532 291139 Essa matriz tem entradas nao negativas e 265823 113924 101266 7900 27500 x I C d 189873 367089 215190 3950 33750 139241 202532 291139 1975 24750 que consistente com a solugio do Exemplol 4 90 Algebra Linear com Aplicacées Revisao de conceitos e Vetor de produgao e Setores e Vetor demanda intermediaria e Insumos e Matriz de Leontief e Produtos e Equacao de Leontief e Andlise de insumoproduto Aptidoes desenvolvidas e Setor aberto e Construir uma matriz de consumo para uma economia e Economias aberta fechada a e Entender as relagdes entre os vetores de um setor de uma e Matriz de consumo tecnoldégica economia consumo demanda externa de producao e Vetor de consumo demanda intermedidria e Vetor demanda externa Conjunto de exercicios 19 1 Duas oficinas de conserto de veiculos uma que trata da parte economia aberta descrita pela tabela dada onde o insumo é em mecanica M e outra de lataria L utilizam uma os servicos unidades monetérias necessdrias para 100 de produto da outra Para cada 100 de negécios que M faz M utiliza a Encontre a matriz de consumo para essa economia d 6pri i 25d igos de L 050 de seus proprios SeINIgOs 025 OS eNOS OE b Suponha que os consumidores 0 setor aberto tenham uma para cada 100 de negécios que L faz L utiliza 010 de seus r6prios servicos e 025 dos servicos de M demanda no valor de 5400 de projetos de web 2700 de Prop software e 900 de servigos de rede Use reducao por linhas a Construa uma matriz de consumo para essa economia para encontrar um vetor de produgdo que atenda exatamente b Quais valores de M e L devem ser produzidos para essa essa demanda economia gerar negécios de 700000 de servigos meca nicos e 1400000 de servicos de lataria 2 Uma economia simples produz alimento A e moradia M Tabela Ex A producao de 100 de alimento requer 030 de alimento e Insumo requerido para produzir 1 010 de moradia e a producao de 100 de moradia requer Projetode web Software Rede 020 de alimento e 060 de moradia s Projeto de Web 040 020 045 a Construa uma matriz de consumo para essa economia 8 Software 030 035 030 b Quais valores de alimento e moradia devem ser produzi 5 Rede 015 010 020 dos para essa economia gerar negécios de 13000000 de alimento e 13000000 de moradia 3 Considere a economia aberta descrita pela tabela dada onde o insumo é em unidades monetarias necessarias para 100 Nos Exercicios 56 use invers4o matricial para encontrar de produto o vetor de produgao x que satisfaz a demanda d para a matriz de a Encontre a matriz de consumo para essa economia consumo C b Suponha que o setor aberto tenha uma demanda no valor 5 CH 01 03 d 50 de 1930 de moradia 3860 de alimento e 5790 de 105 04 60 servicos Use reducao por linhas para encontrar um vetor x 03 01 22 de producao que atenda essa demanda exatamente 6 C d 03 07 14 7 Considere uma economia aberta com matriz de consumo Tabela Ex3 Insumo requerido para produzir 1 C 0 Moradia Alimentagaéo Servicos 0 1 3 See 010 060 040 a Mostre que a economia pode atender uma demanda de Alimentagéo 030 020 030 d 2 unidades do primeiro setor e d 0 unidades do 2 Servigos 040 010 020 segundo setor mas nfo consegue atender uma demanda TTT TTT de d 2 unidades do primeiro setor e d 1 unidades do segundo setor 4 Uma companhia produz projetos de web desenvolve software b Dé uma explicacgéo matematica e uma explicac4o econé e presta servicos de rede Considere a companhia como uma mica para o resultado da parte a 19 Modelos econémicos de Leontief 91 8 Considere uma economia aberta com matriz de consumo b Em palavras qual é 0 significado econdmico do jésimo 144 vetor coluna de J c Sugestdo observe 0 vetor 2 4 4 x x Lot 4 x ox C 3 7G 11 Prove que se C for uma matriz n X n cujas entradas sao nao lois negativas e cujas somas das entradas de linhas sAo menores do 2 4 8 x es 2 que 1 entao J C é invertivel e tem entradas nao negativas Ty1 1T sos 4 Se o setor aberto demanda 0 mesmo valor em unidades mo Sugestdo A A para uma matriz invertivel qual netdrias de cada setor produtivo qual desses setores deve quer A produzir o maior valor monetario para atender a demanda da economia Exercicios verdadeirofalso 9 Considere uma economia aberta com matriz de consumo Nas partes ae determine se a afirmacdo é verdadeira ou falsa justificando sua resposta Cy C12 oe C f 0 a Os setores produtores da economia sao denominados setores al abertos Mostre que a equacao de Leontief x Cx d tem uma solu b Uma economia fechada é uma que n4o tem setores abertos ao unica com cada vetor demanda d se 1 c As linhas de uma matriz de consumo representam os produ 10 a Considere uma economia aberta com matriz de consumo tos de um setor da economia C cujas somas das entradas de coluna sao menores do d Se asoma das entradas das colunas da matriz de consumo so que 1 e sejaxo vetor de pr odugao que satisfaz a demanda menores do que 1 entéo a matriz de Leontief é invertivel externa d ou sejaJ C d x Seja d o vetor de ge go e A equacao de Leontief relaciona 0 vetor de producao de uma manda que é obtido aumentando a jésima entrada de d economia com o vetor demanda externa por unidade e deixando as outras entradas fixas Prove que o vetor de produgao x que atende essa demanda x jsimo vetor coluna de J c Capitulo 1 Exercicios suplementares Nos Exercicios 14 a matriz dada representa uma matriz aumen 7 Encontre inteiros positivos que satisfagam tada de um sistema linear Escreva 0 conjunto de equacées lineares xt yt 9 correspondentes do sistema e use eliminac4o gaussiana para resolver y o sistema linear Introduza parametros livres se necessario x 5y 10z 44 13 1 0 4 1 8 Uma caixa contendo moedas de 1 5 e 10 centavos tem 13 2 0 3 31 moedas totalizando 83 centavos Quantas moedas de cada tipo ha na caixa 1 4 2 4 1 6 9 Seja 2 8 2 34 0 3 1 30 123 Ty a3 a 0b 0 0 0 aa444 0 a2 b 3 1 2 49 3 6 a matriz aumentada de um sistema linear Encontre os valores 6 2 1 de ae bcom os quais o sistema tem a uma tinica solugao 5 Use eliminagao de GaussJordan para resolver x e y em ter b uma solugo a um parametro mos de xe y 4 c uma soluca4o a dois parametros 3yr 47 v 5X 5Y d nenhuma solucao fy 3y Yr5 3 10 Para qualis valores de a o sistema a seguir tem zero uma eo ou uma infinidade de solucées 6 Use eliminagao de GaussJordan para resolver x e y em ter mos de xe y Xx x x 4 x xcos ysend x 2 2 y xsend ycosd a 4xa2 92 Algebra Linear com Aplicacées 11 Encontre uma matriz K tal que AKB C sendo 19 Prove se B for invertivel entao ABBA se e SO se 1 4 AB BA 2 0 0 20 Prove se A for invertivel entéo A Bel BA so ambas A2 3 B 0 117 invertiveis ou ambas nao invertiveis t2 21 Prove se A for uma matriz m X ne Bamatrizn X 1 com 8 6 6 todas as entradas iguais a 1n entao c 6 1 1 n 4 0 0 Tr AB 12 Como deveriam ser escolhidos os coeficientes a b e c para que o sistema Mn ax by 3z 3 em que 7 a média das entradas na iésima linha de A 2x by cz1 22 Requer Calculo Se as entradas da matriz ax 3y cz 3 Cy X Cy vs Cy tenha a solugéo x 1y lez2 C Cai X Ca uo Can 2 13 Em cada parte resolva a equagao matricial para X 0 l Cnt x Cn2 x ue Cran x 1 2 0 ae a a X 1 1 0 3105 sao fung6es derivaveis de x entéo definimos 3 oT Cy eye ei 00 1 1 2 5 0 dc Cy Chg C4 X MO XIs 9 1 63 7 dx Cm En Cnn O 3 1 1 4 2 2 c 12 XX 2 ol Is 4 Mostre que se as entradas de A e B forem fungées derivaveis de x e os tamanhos das matrizes forem tais que as operagdes 14 Seja A uma matriz quadrada estao definidas entao a Mostre que I A 1 A A A se A 0 a Kay oA b Mostre que dx dx AyI1 At A 4 4A o zee 442 a dx dx dx seA 0 d dA dB 15 Encontre valores de a b e c tais que 0 grafico do polinémio c dx AB dx BA dx px ax bx c passe pelos pontos 1 2 1 6 e 2 3 23 Requer Calculo Use a parte c do Exercicio 22 para mos 16 Requer Calculo Encontre valores de a b ec tais que 0 gra trar que fico do polinémio px ax bx c passa pelo ponto 1 0 e tem uma tangente horizontal em 2 9 dA 4c dA 41 17 Seja J a matrizn X n com todas as entradas iguais a 1 Mos dx dx tre que se n I entiio Enuncie todas as hip6teses necessdrias para obter essa f6ér 1 1 mula U Jn IJ n1 24 Supondo que as inversas envolvidas existam prove as igual dad ir 18 Mostre que se uma matriz quadrada A satisfaz a equagaéo aes el 4 3 2 a C D CCD D 4 447 2A 71 ANY 4A 2A 0 b CD CCU DCy entio A também satisfaz essa equacio c C DD DCDU DCD CONTEUDO DO CAPITULO 21 Determinantes por expansdo em cofatores 93 22 Calculando determinantes por meio de redugao por linhas 100 23 Propriedades dos determinantes regrade Cramer 106 INTRODUCAO Neste capitulo estudamos determinantes ou mais precisamente funcgdes determinante Diferentemente de fungées reais como fx x que associam um numero real fx a uma variavel real x as fungdes determinante associam um nimero real f A a uma variavel matricial A Embora os determinantes tenham surgido primeiro no contexto de resolucao de sistemas de equacoes lineares nao sao mais usados com esse proposito nas aplicagdes do mundo real Ainda que possam ser Uteis na resolugao de sistemas lineares muito pequenos digamos em duas ou trés incégnitas nosso interesse predominante nos determinantes deriva do fato de relacionarem varios conceitos da Algebra Linear e fornecerem uma foérmula Util para a inversa de uma matriz 21 Determinantes por expansao em cofatores Nesta segao definimos a nogao de determinante Isso nos dara condigées para obter uma formula especifica para a inversa de uma matriz invertivel quando até agora s6 dispomos de um procedimento computacional para encontrala Essa f6rmula por sua vez vai acabar fornecendo uma formula para a resolugao de certos tipos de sistemas lineares Lembrese do Teorema 145 que diz que a matriz 2 X 2 A a b c d é invertivel se ad bc 0 e que a expressao ad bc é denominada determinante da 2 a q P ADVERTENCIA E importante matriz A Lembre também que esse determinante é denotado escrevendo 2 nao esquecer que detA é um a b numero enquanto A é uma ma detA ad bc ou d ad bc 1 triz c e que a inversa de A pode ser expressa em termos do determinante por 1 d b A 2 detA c a Um dos principais objetivos deste capitulo é o de obter andlogos da formula 2 que sejam Wenores e cofatores aplicaveis a matrizes quadradas de todas as ordens Para isso conveniente usar entradas com indices ao escrever matrizes ou determinantes Assim denotando uma matriz 2 X 2 por A fi A gp httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 94 Algebra Linear com Aplicacées as duas equag6es em 1 tomam a forma Definimos o determinante de nas uma matriz A a de tama ay Ap nho X 1 por detA Gy 4yy G9 3 Q Ady a eee ae A definigao seguinte é fundamental para 0 nosso objetivo de definir o determinante de uma matriz de ordem superior DEFINICAO 1 SeA for uma matriz quadrada entao 0 menor da entrada a denota do por M e definido como o determinante da submatriz que sobra quando suprimimos a iésima linha e a jésima coluna de A O némero 1 M denotado por Ce denominado cofator da entrada a Encontrando menores e cofatores Seja 3 1 4 A12 5 6 1 4 8 O menor da entrada a é ADVERTENCIA Seguimos a convencao padrao de usar letras maiusculas para denotar meno 5 6 res e cofatores mesmo que se M 5 6 4 8 16 jam numeros e nao matrizes 4 8 O cofator de a C DM M 16 Analogamente o menor da entrada a é 3 4 M 2 6J 4 26 32 2 6 O cofator de a 32 Cy 1M M 26 4 Nota historica O termo determinante foi introduzido pelo matematico alemdo Carl Friedrich Gauss em 1801 ver nota a pagina 15 que o utilizou para determinar as propriedades de certos tipos de fungées E interessante observar que o termo matriz deriva da palavra em latim para ventre por serem as matrizes consideradas um recipiente de determinantes Nota historica Aparentemente o termo menor é devido ao matematico inglés James Sylvester ver nota a pagina 34 que escreveu o seguinte num artigo cientifico publicado em 1850 Agora conceba uma linha e uma coluna quaisquer sendo canceladas e obtemos um quadrado com um termo a menos em largura e profundidade do que o quadrado original e supondo que o quadrado original consista em n linhas e n colunas variando a linha e coluna excluidas dentre todas as selecées possiveis obtemos nr desses quadrados menores cada um dos quais representa o que eu vou denominar Primeiro Determi nante Menor relativo ao determinante principal ou completo 21 Determinantes por expansao em cofatores 95 Observaao Observe que um menor M seu cofator correspondente C so ou iguais ou nega tivos um do outro e que o sinal 1 que os relaciona é 1 ou 1 de acordo com o padrao de tabuleiro de xadrez Por exemplo Cy M Cy M Cy My e assim por diante Assim realmente nunca é preciso calcular 1 para encontrar C basta cal cular o menor M e ajustar o sinal se necessario de acordo com 0 padrao do tabuleiro de xadrez Teste isso no Exemplo 1 Expansao em cofatores de uma matriz 2 x 2 O padrao de tabuleiro de xadrez de uma matriz A a de tamanho 2 x 2 de modo que C My ay Cy M a Cy My 4 Cy My a Deixamos para o leitor usar a Formula 3 para verificar que detA pode ser expresso em termos de cofatores das quatro maneiras a seguir a a detA u G7 Any aC aC 4 dyCy dyCy ayCy aC AyC dyCy Cada uma das quatro Ultimas equagées denominada expansdo em cofatores do detA Em cada expansao de cofatores todas as entradas e os cofatores vém da mesma linha ou coluna de A Por exemplo na primeira equacao todas as entradas e os cofatores vém da primeira linha de A na segunda todas elas vém da segunda linha de A na terceira todas elas vém da primeira coluna de A e na quarta todas elas vém da segunda colunade A 4 A Formula 4 um caso especial do resultado geral seguinte que enunciamos sem de Definicao de um monstracao determinante geral TEOREMA 211 Se A for uma matrizn X n entdo independentemente de qual linha ou coluna escolhermos sempre obteremos 0 mesmo numero multiplicando as entra das daquela linha ou coluna pelos cofatores correspondentes e somando os produtos obtidos Esse resultado nos permite apresentar a pr6xima definicao 96 Algebra Linear com Aplicacées DEFINICAO 2 Se A for uma matriz de tamanho n X n ent4o o nimero obtido mul tiplicando as entradas de uma linha ou coluna qualquer de A pelos cofatores corres pondentes e somando os produtos assim obtidos é denominado determinante de A As proprias somas séo denominadas expansées em cofatores de detA ou seja detA aC aC a4C 5 expansao em cofatores ao longo da coluna j e detA aC agCy aC 6 expansao em cofatores ao longo da linha i EXEMPLO 3 Expansao em cofatores ao longo da primeira linha Encontre o determinante da matriz 3 1 0 A 2 4 3 5 4 2 expandindo em cofatores ao longo da primeira linha Solugdo 3 1 0 4 3 2 3 2 4 detA 2 4 3 3 4 3 5 39 5 i 5 4 2 34 d11 0 1 EXEMPLO 4 Expansao em cofatores ao longo da primeira coluna Seja A a matriz do Exemplo 3 Calcule detA expandindo em cofatores ao longo da pri Observe que no Exemplo 4 J i de A P A exp P precisamos calcular trés cofato melra coluna ce 2 res enquanto no Exemplo 3 s6 Solugao dois porque o terceiro foi mul tiplicado por zero Como uma 3 1 0 4 3 1 0 1 0 regra geral a melhor estratégia detA 2 4 3 3 2 5 para calcular uma expanséo em 5 42 4 2 4 2 4 3 cofatores é expandir ao longo de uma linha ou coluna com o 34 22 53 1 ior nt d TOE TTS OE ZDOS Isso esta de acordo com o resultado obtido no Exemplo 3 Nota historica A expansdo em cofatores nao é Fr a 0 Unico método para expressar o determinante de uma matriz em termos de determinantes de ordens Fae eee x A ae menores Por exemplo embora nao seja muito bem Bey ee conhecido o matematico inglés Charles Dodgson a Te que foi o autor de Alice no Pais das Maravilhas e 4 Pelo Espelho sob 0 pseudénimo de Lewis Carroll inventou um tal método denominado condensagao i Esse método foi recentemente ressuscitado da obs T so curidade por ser especialmente adequado para o ll Dy processamento paralelo em computadores 4 Imagem Time Life PicturesGetty Images Inc Charles Lutwidge Dodgson Lewis Carroll 18321898 21 Determinantes por expansao em cofatores 97 Uma escolha esperta de linha ou coluna Se A for a matriz 4 x 4 1 0 oO 1 A 3 1 2 2 4d 0 2 1 2 0 O 1 entaéo a maneira mais facil de calcular detA é expandir em cofatores ao longo da segunda coluna que é a que tem mais zeros 1 0 l detA11 2 1 2 0 1 Para o determinante 3 X 3 a maneira mais facil usar expansao em cofatores ao longo de sua segunda coluna que é a que tem mais zeros 1 l detA 12 A 21 2 6 Determinante de uma matriz triangular inferior As contas a seguir mostram que o determinante de uma matriz triangular inferior 4 x 4 é 0 produto de suas entradas diagonais Cada parte da conta usa uma expansao em cofatores ao longo da primeira linha a 0 oO 0 a2 0 0 an a2 0 0 a11432 433 0 43 432 433 0 442 443 44 a4 442 443 a4 a33 0 411422 443 444 411422033A44 411422033044 O método ilustrado no Exemplo 6 pode ser facilmente adaptado para provar o pr6éxi mo resultado geral TEOREMA 212 Se A for uma matriz triangular n X n triangular superior inferior ou diagonal entdo detA é o produto das entradas na diagonal principal da matriz ou seja detA ada Os determinantes de matrizes 2 2 e 3 X 3 podem ser calculados muito eficientemente Uma técnica Util para calcular usando o padrao sugerido na Figura 211 determinantes 2X 2e3 X83 77 a Ct hrs Ke Oh CaN af ax t El Els Figura 211 No caso 2 X 2 o determinante pode ser calculado formando o produto das entradas na seta para a direita e subtraindo o produto das entradas na seta para a esquerda No caso 3 X 3 primeiro copiamos as primeira e segunda colunas conforme indicado na figura e depois podemos calcular o determinante somando o produto das entradas nas setas para a 98 Algebra Linear com Aplicacées ADVERTENCIA A técnica de direita e subtraindo os produtos das entradas nas setas para a esquerda Esse procedimento setas s6 funciona com determi executa as seguintes contas nantes de matrizes 2 X 2e3 X 3 fe Ay Apa 1122 1221 Ay gy Gy An 43 Ay Ag3 4 Ag 4 Any 2 ayy a Ja a a a 32 33 31 33 31 32 a3 43 33 Ay Ay933 Ay339 Ay9Ay1433 y3431 A3y1432 Ay2431 Gy Ag 33 F AyyAy3A3 H Gy3AyA37 Ay3My943 yyAy433 A 14p3A3y que estao de acordo com a expans4o em cofatores ao longo da primeira linha EXEMPLO 7 Umatécnica para calcular determinantes 2 x 2e3 x 3 s 32 14 10 4 2 2 1 2 3 4 5 6 4 5 7 8 9 45 84 96 105 48 72 240 Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Determinante e Encontrar os menores e cofatores de uma matriz quadrada e Menor e Usar a expansao em cofatores para calcular o e Cofator determinante de uma matriz quadrada e Expansao em cofatores e Usar a técnica de setas calcular 0 determinante de uma matriz 2 X 2 0u3 X 3 e Usar o determinante de uma matriz invertivel 2 2 para encontrar a inversa dessa matriz e Encontrar mentalmente o determinante de uma matriz triangular superior inferior ou diagonal Conjunto de exercicios 21 Nos Exercicios 12 encontre todos os menores e cofatores da 3 Seja matriz A 4 1 6 p23 aao 933 1 A 6 7 1 4 I 0 14 3 1 4 4 1 3 2 2 A Encontre an 014 a Me C b My Cy c Mye Cy d My e Cy httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 21 Determinantes por expansao em cofatores 99 4 Seja Nos Exercicios 2126 calcule detA com uma expansaéo em 5 A 1 1 cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha A 3 2 0 3 3 0 7 3 3 1 3 2 1 0 21A 2 5 1 22 A1 O 4 32 1 4 l 0 5 1 3 5 Encontre lk Kk k1 k1 7 a M eC b My e Cy 23 A1 k Kk 24 A 2 k3 4 c My e Cy d My e Coy Lk k 5 kl k Nos Exercicios 58 calcule 0 determinante da matriz Se a ee 0 5 matriz for invertivel use a Equagao 2 pra encontrar a inversa 25 A 2 2 0 2 35 4 1 14 1 3 0 5 6 2 4 8 2 2 10 3 2 5 7 8 J2 V6 4 0 0 1 0 7 E 7 8 4 3 3 3 1 0 26 A 1 2 4 2 3 Nos Exercicios 914 use a técnica de setas para calcular o 9 4 6 2 3 determinante da matriz 2 2 4 2 3 2 7 6 9 3 5 10 5 1 2 Nos Exercicios 2732 obtenha por inspeao o determinante 3 a2 3 8 4 da matriz dada 2 l 4 1 2 1 0 0 2 0 0 1 30 5 7 122 3 0 5 270 1 0 280 2 0 1 6 2 1 7 2 0 0 1 0 0 2 3 0 0 Cc 4 3 0 0 0 0 1 11 41 132 1 5 14 2 1 C7 x91 7 o 2 27 2 2 1 9 4 4 c1 2 10 4 3 0 30 0 0 3 3 1 2 3 8 0 0 0 4 Nos Exercicios 1518 encontre todos os valores de A com os 1 7 3 3 0 0 0 quais A 0 0 1 4 1 1 2 0 0 A200 A4 0 0 31 32 1s a veal 1 A 0 A 2 0 0 2 7 400 101 0 0 3 1 0 0 0 3 100 200 23 3 A4 4 0 33 Mostre que o valor do determinante independe de 0 A1 0 17 A 2 r i 18 A 1 A 0 sen9 cos 0 0 0 AS cos0 sen0 0 19 Calcule o determinante da matriz do Exercicio 13 usando uma sen0 cos sencos 1 expansao em cofatores ao longo a da primeira linha b da primeira coluna 34 Mostre que as matrizes c da segunda linha d da segunda coluna A a b B de e e da terceira linha f da terceira coluna 0c 0 f 20 Calcule o determinante da matriz do Exercicio 12 usando uma Z comutam se e s6 se expansao em cofatores ao longo a da primeira linha b da primeira coluna b ac 9 c da segunda linha d da segunda coluna e df e da terceira linha f da terceira coluna 100 Algebra Linear com Aplicacées 35 Sem fazer contas descubra uma relagao entre os determinantes 42 Prove que se A for uma matriz triangular superior e se B for a matriz que resulta quando suprimimos a iésima linha e a abe attA bc jésima coluna de A entao Bé triangular superior se i j dd 1 f e dd 1 f g 0 1 g 0 1 Exercicios VerdadeiroFalso Nas partes aj determine se a afirmacao é verdadeira ou falsa 36 Mostre que justificando sua resposta detA I trA 1 a Odeterminante da matriz de tamanho 2 X 2 éad be 2 trA trA c d b Duas matrizes quadradas A e B podem ter 0 mesmo determi para qualquer matriz A de tamanho 2 X 2 nante se e s6 se forem de mesmo tamanho 37 O que pode ser dito sobre um determinante de enésima ordem c O menor M igual ao cofator C se e 6 se i j for par com todas as entradas iguais a 1 Explique seu raciocinio d Se A for uma matriz simétrica de tamanho 3 X 3 ent3o 38 Qual é o nimero maximo de zeros que uma matriz 3 X 3 pode C Cj com quaisquer i ej ter sem ter determinante zero Explique seu raciocinio e O valor da expansao em cofatores de uma matriz A é indepen 39 Qual é o nimero maximo de zeros que uma matriz 4 X 4 pode dente da linha ou coluna escolhida para a expansao ter sem ter determinante zero Explique seu raciocinio f O determinante de uma matriz triangular inferior é a soma 40 Prove que os pontos x y X Y 3 S40 colineares se das entradas ao longo de sua diagonal principal S6 se g Dados uma matriz quadrada A e um escalar c quaisquer te mos detcA c detA x Oo i0 h Dadas quaisquer matrizes quadradas A e B temos 2 Va detA B detA detB 3 i Dada qualquer matriz A de tamanho 2 X 2 temos aw 2 41 Prove a equagao da reta que passa pelos pontos distintos detA detAy a b e a b pode ser escrita como x y dl a b 10 a b 1 22 Calculando determinantes por meio de reducao por linhas Nesta segao mostramos como calcular um determinante por meio da redugao da matriz associada a forma escalonada por linhas Em geral esse método requer menos calculos que a expansao em cofatores e é portanto o método preferido para matrizes grandes Um teorema baésico Comegamos com um teorema fundamental que nos leva a um procedimento eficiente para calcular o determinante de uma matriz quadrada de qualquer tamanho TEOREMA 221 Seja A uma matriz quadrada Se A tem uma linha ou uma coluna de zeros entdo detA 0 Prova Como o determinante de A pode ser obtido por uma colecao de expansdes em cofatores ao longo de qualquer linha ou coluna podemos usar a linha ou coluna de zeros 22 Calculando determinantes por meio de reducao por linhas 101 Assim denotando os cofatores de A ao longo dessa linha ou coluna por C CC entéo segue da Formula 5 ou 6 da Secao 21 que detA 0C0C0C0 O teorema Util a seguir relaciona o determinante de uma matriz com o determinante de sua transposta TEOREMA 222 Seja A uma matriz quadrada Entdo detA detA Como transpor uma matriz troca suas colunas para linhas e suas linhas para colunas quase todo teorema sobre as linhas de um Prova Como transpor uma matriz troca suas colunas para linhas e suas linhas para co deienninemics ten mia wero lunas a expansao em cofatores de A ao longo de qualquer linha é igual 4 expansao em companheira sobre as colunas e cofatores de A ao longo da coluna correspondente Assim ambas matrizes tem 0 mesmo viceversa determinante O proximo teorema mostra como uma operagao elementar com as linhas de uma matriz Operacdes elementares com quadrada afeta o valor de seu determinante Em vez de uma prova formal fornecemos as inhas uma tabela para ilustrar as ideias no caso 3 X 3 ver Tabela 1 TEOREMA 223 Seja A uma matrizn X n a Se B for a matriz que resulta quando uma unica linha ou coluna de A é multipli cada por um escalar k entdo detB k detA b Se B for a matriz que resulta quando duas linhas ou colunas de A sGo permutadas entdo detB detA c Se B for a matriz que resulta quando um multiplo de uma linha de A é somado a uma outra linha ou quando um miltiplo de uma coluna de A é somado a uma outra coluna entdo detB detA Tabela 1 NS Relagao Operacao O primeiro painel da Tabela 1 ka ka ka a Ay a A primeira linha de A é multiplicada por k LWT GUNS podemos Wize Tin fe fator de qualquer linha ou co Gy Ayn ys HK Ay Ay Ay dy dy ay dy dy dy luna de um determinante para fora do determinante Essa é detB kdetA oe oo uma maneira ligeiramente dife Ay Ay Ay ay Ay a3 A primeira e a segunda linhas de A sao rente de interpretar a parte a QA Gy Azy4 Ay Ay permutadas do Teorema 223 43 3 33 43 3 33 detB detA Gy kay Ay kay a kay a A a3 Um multiplo da segunda linha de A é a Ay dy 4 Ay a somado a primeira linha 43 O39 33 43 3 3 detB detA Verificamos a primeira equacgao da Tabela e deixamos as outras duas para o leitor Para comegar observe que os determinantes dos dois lados da equaao diferem apenas em sua primeira linha de modo que esses determinantes tém os mesmos cofatores C C C a0 longo dessa linha ja que esses cofatores dependem somente das entradas nas duas 102 Algebra Linear com Aplicacées linhas de baixo Assim expandindo o lado esquerdo em cofatores ao longo da primeira linha obtemos kay kay kay ay Ay 3 kay Cy kayC kaC ay a Ay3 kay Cy aC a3C3 a 42 As Hkla ay ay a3 Ax 33 Matrizes elementares E util considerar 0 caso especial do Teorema 223 em que A J a matriz identida den X n e E em vez de B denota a matriz elementar que resulta de efetuar a operacao ele mentar com a linha de J Nesse caso especial o Teorema 223 implica 0 resultado seguinte TEOREMA 224 Seja E uma matriz elementar n X n a Se E resulta da multiplicagdo de uma linha de I por um nimero nado nulo k entdo detE k b Se E resulta da permutagdao de duas linhas de I entao detE 1 c Se E resulta da soma de um miltiplo de uma linha de I com uma outra linha entdo detE Determinantes de matrizes elementares Os determinantes de matrizes elementares seguintes que sao calculados mentalmente Observe que o determinante de ilustram o Teorema 224 uma matriz elementar nao pode ser zero 1000 1 00 7 00 0 1 0 3 0 0 01 0 0 0 1 0 0 3 1 l 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 00 0 1 000 1 1 0 0 0 A segunda linha deZ 7 vezes a ultima linha A primeira e ultima foi multiplicada por 3 de Z foi somada a linhas de J foram primeira linha permutadas Matrizes com linhas ou Se uma matriz quadrada A tem duas linhas proporcionais entao pode ser introduzida colunas proporcionais uma linha de zeros somando um miultiplo conveniente de uma das duas linhas a outra Analogamente para colunas Mas somar um multiplo de uma linha ou coluna a uma outra nao muda o determinante de modo que pelo Teorema 221 devemos ter detA 0 Isso prova o teorema seguinte TEOREMA 225 Se A for uma matriz quadrada com duas linhas proporcionais ou duas colunas proporcionais entdo detA 0 Introduzindo linhas de zeros O proximo calculo mostra como introduzir uma linha de zeros quando ha duas linhas proporcionais 1 32 4 1 3 2 4 2 6 4 8 0 0 0 0 a 0 A segunda linha é 2 vezes a primeira 3 9 1 5 3 9 1 5 portanto somamos 2 vezes a primeira linha 4 segunda para 1 1 4 8 1 1 4 8 introduzir uma linha de zeros 22 Calculando determinantes por meio de reducao por linhas 103 Cada uma das matrizes a seguir tem duas linhas ou colunas proporcionais assim cada uma tem determinante zero 3 1 4 5 1 2 7 1 4 6 2 5 2 4 8 5 2 8 5 8 1 4 2 4 3 9 3 12 15 Veremos agora um método para calcular determinantes que envolve substancialmente Caculando determinantes menos cdlculos do que a expansdo em cofatores A ideia do método é reduzir a matriz com reducao por linhas dada ao formato triangular superior por operag6es elementares com as linhas depois cal cular o determinante da matriz triangular superior uma conta facil e finalmente relacio nar esse determinante com o da matriz original Vejamos um exemplo Usando reducgao por linhas para calcular um determinante Calcule detA sendo 0 1 5 A 3 6 9 2 6 1 Solucao Vamos reduzir A a uma forma escalonada que é triangular superior e entao aplicar o Teorema 212 0 1 5 36 9 detA 13 6 9 10 1 5 A primeira e segunda linhas de A foram permutadas ee 2 6 1 2 6 1 Mesmo com os computadores 1 2 3 mais velozes de hoje levaria 30 1 5 Um fator comum de 3 da milhdes de anos para calcular primeira linha foi trazido um determinante 25 X 25 por 2 6 1 para fora do determinante expansao em cofatores motivo pelo qual para determinantes 12 3 eae a grandes sao utilizados muitas 30 1 5 2 vezes a primeira linha vezes métodos com base em re foi somado 4 terceira linha 0 10 5 dugiio por linhas Para determi nantes pequenos como os deste 1 2 3 texto uma escolha razodvel é a 30 1 5 10 vezes a segunda linha expansao em cofatores foi somado 4 terceira linha 0 0 S5 12 3 355 0 1 5 Um fator comum de 55 da Ultima linha foi trazido para 0 10 5 fora do determinante 355C1 165 Usando operagoées com colunas para calcular um determinante Calcule o determinante de 1 0 0 3 2 7 0 6 A 0 6 3 0 7 3 1 5 104 Algebra Linear com Aplicagdes Solugado Esse determinante poderia ser calculado como 0 anterior usando operag6es elementares com linhas para reduzir A a forma escalonada mas podemos colocar A em forma triangular inferior em um passo somando 3 vezes a primeira a quarta colunas para obter 1 0 0 0 O Exemplo 4 ressalta a utilidade 2 7 0 0 de manter a atencao voltada as detA det 0 6 3 o 1 GB26 546 operag6es com colunas que po 7 3 1 26 dem encurtar nossas contas As vezes a expansio em cofatores e as operacdes com linhas e colunas podem ser usadas em combinacao para fornecer um método eficaz de calcular determinantes Essa ideia é ilustrada no proximo exemplo EXEMPLO 5 Operacdes com linhas e expansaéo em cofatores Calcule detA com 3 5 2 6 A 1 2 1l 1 2 4 1 5 3 7 5 3 Solugao Somando miltiplos convenientes da segunda linha as demais linhas obtemos 0 l 1 3 1 2 1 1 detA 0 oO 3 3 0 1 8 0 1 1 3 0 3 3 Expansao em cofatores ao longo da primeira coluna 1 8 0 1 1 3 0 3 3 Somamos a primeira linha a terceira 0 9 3 1 3 3 Expansao em cofatores ao 9 3 longo da primeira coluna 18 Aptiddes desenvolvidas e Usar a reducao por linhas para calcular o determinante de e Conhecer 0 efeito de operagdes elementares com linhas uma matriz no valor do determinante e Usar operagdes com as colunas para calcular o e Conhecer o determinante dos trés tipos de matrizes determinante de uma matriz elementares e Combinar o uso de redugao por linhas e expansaéo em e Saber como introduzir zeros nas linhas ou colunas de uma cofatores para calcular 0 determinante de uma matriz matriz para facilitar o calculo de seu determinante httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 22 Calculando determinantes por meio de reducao por linhas 105 Conjunto de exercicios 22 Nos Exercicios 14 verifique que detA detA 18 Repita os Exercicios 1013 usando uma combinagao de ope 2 3 6 1 racg6es com linhas e expansfo em cofatores 1 A 1 2 A 2 4 19 Repita os Exercicios 1417 usando uma combinag4o de ope racg6es com linhas e expansfo em cofatores 2 l 3 4 2 l 3 A1 2 4 4 A 0 2 3 Nos Exercicios 2027 calcule o determinante sabendo que 5 3 6 1 1 5 abe de f6 Nos Exercicios 59 calcule por inspec4o 0 determinante da gh i matriz elementar dada 1 0 0 0 g hii de f a bec 1 0 0 20 d e f 21ig Aoi 22d e f 5 9 1 0 0 6 O 1 0 abe abe 2a 2b 2c 0 0 5 0 501 0 O O 1 3a 3b 3c ad bte cf 10 0 0 1 0 0 0 d e f 4 ef f2 0 1 0 a 9 7F 9 0 23 48 4h 4 a4 8 f i 010 0 0 0 I 0 ag bth ctHi a b c 0001 oo oO 1 25 d e f 26 2d 2e sof 1 0 0 0 g h i gt3a h3b i3c 0 1 0 9 9 0 0 1 0 3a 3b 3c 0 0 0 1 27 d e f g4d h4e i4f Nos Exercicios 1017 calcule o determinante da matriz dada 28 Mostre que reduzindo a matriz 4 forma escalonada por linhas 0 0 a 13 3 6 9 0 3 1 a det 0 Ay Ay Ay3AyA 10 0 0 2 111 1 2 dy dy dy 2 1 5 32 4 0 0 O a 1 3 0 3 6 9 b det 0 0 az ay 122 4 1 132 7 2 0 dy dy ay 12032 52 2 9 5 G4 Ayn gg gy 12 3 1 2 13 1 29 Use redugao por linhas para mostrar que 14 5 9 6 3 15 10 1 1 1 2 6 2 lo 2 1 0 port 2 8 6 1 0 1 2 3 a b Cc bac ac b 2 2 2 a bc 0 1 1 1 toby ot 16 1 Nos Exercicios 3033 confirme as identidades sem calcular 0 3 3 3 9 determinante diretamente 2 9 9Q 3 3 a bt atbt abt a a G 1 3 1s 3 30 Jatb atb atbUP b b b 2 7 0 4 2 C Cy C3 Cc CC 17 0 0 0 a b atbe a b 0 0 l l 31 ja b atboaq b 0 0 0 I I a b ab a b C 106 Algebra Linear com Aplicacées a bta crbsa a a a Exercicios verdadeirofalso 32 ja bta cy rbsa b b db Nas partes af determine se a afirmagio é verdadeira ou falsa a bta crbsa C CC justificando sua resposta a Se A for uma matriz 4 X 4 e B a matriz que resulta se trocar ab a4bh a4 b mos entre si as duas primeiras linhas de A e depois trocarmos 33 Jay b ab c2a dD entre si as duas ultimas linhas de A entéo detB detA ab ab cy a bs cy b Se A for uma matriz 3 X 3 e Ba matriz que resulta se multi 34 E 4 d plicarmos a primeira coluna por 4 e a terceira coluna por 3 Encontre o determinante da matriz entdo detB 3 detA a b b b c Se A for uma matriz 3 X 3 e Ba matriz que resulta se somar ba bb mos 5 vezes a primeira linha 4 segunda e a terceira linhas de b boa ob A entao detB 25 detA b b boa d Se A for uma matriz n X ne B a matriz que resulta se multi plicarmos cada linha de A pelo indice dessa linha entao Nos Exercicios 3536 mostre que detA 0 sem calcular o detB nn 1 detA determinante diretamente 2 2 8 4 e Se A for uma matriz quadrada com duas colunas idénticas 35 A 3 2 5 I entio detA 0 1 10 6 5 f Se asoma do segundo com o quarto vetor linha de uma ma 4 6 4 3 triz A de tamanho 6 X 6 for igual ao ultimo vetor linha entéo 4 1 1 1 1 detA 0 1 4 I 1 1 36 A 1 1 4 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 4 23 Propriedades dos determinantes regra de Cramer Nesta seao desenvolvemos algumas propriedades fundamentais dos determinantes e utilizamos esses resultados para deduzir uma formula para a inversa de uma matriz invertivel e formulas para as solugées de certos tipos de sistemas lineares Propriedades basicas dos Suponha que A e B sejam matrizes n X ne que k seja um escalar qualquer Comecamos determinantes considerando as possiveis relag6es entre detA detB e detkA detA B e detAB Como um fator comum de qualquer linha de uma matriz pode ser trazido para fora do determinante e como cada uma das n linhas de kA tem o fator k em comum segue que detkKA k detA 1 Por exemplo kay kay kay Gy Ayn 43 3 kay kay kayx k jay dy ay ka3 kay kay 43 37 33 Infelizmente em geral nao existem relag6es simples entre detA detB e o determi nante da soma detA B Em particular enfatizamos que detA B geralmente ndo é igual a detA detB Isso é ilustrado pelo proximo exemplo httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 23 Propriedades dos determinantes regra de Cramer 107 detA B detA detB Considere 1 2 3 1 4 3 A B AB sh PL ah arees al Temos detA 1 detB 8 e detA B 23 assim detA B detA detB 4 Nao obstante o aspecto negativo do exemplo precedente existe uma relagao util que trata de somas de determinantes e que é aplicavel quando as matrizes envolvidas sao iguais exceto por uma linha ou coluna Por exemplo considere as duas matrizes seguin tes que s6 diferem na segunda linha A en 2 e B A a2 a22 bo br Calculando os determinantes de A e B obtemos detA detB 44 424 ayy ayyby yQy yy Ay Qy Dy a a det 11 12 ay dy Ay dy Assim a a a a a a det 11 ae 11 det 11 12 A Ag by Dy a b dy dy Esse um caso especial do resultado geral que segue TEOREMA 231 Sejam A B e C matrizes n X n que diferem somente em uma Unica linha digamos a résima e suponha que a résima linha de C possa ser obtida soman do as entradas correspondentes nas résimas linhas de A e B Entao detC detA detB O mesmo resultado vale para colunas Somas de determinantes Deixamos para o leitor confirmar a igualdade seguinte calculando os determinantes 1 7 5 1 7 5 1 7 5 det 2 0 3 det 2 0 3 det 2 0 3 10 441 741 1 4 7 0 1 1 Considerando a complexidade das formulas de determinantes e multiplicagéo matricial Determinante de um produto poderia parecer improvavel que existisse alguma relacdo simples entre esses conceitos matricial Isso o que faz tao surpreendente a simplicidade do nosso préximo resultado Mostrare mos que se A e B forem matrizes quadradas de mesmo tamanho entao detAB detA detB 2 A prova desse teorema é razoavelmente complexa de modo que vamos precisar desenvol ver primeiro alguns resultados preliminares Comegamos com 0 caso especial de 2 em que A é uma matriz elementar Como esse caso especial s6 um preltidio para 2 vamos denominalo lema 108 Algebra Linear com Aplicacées LEMA 232 Se B for uma matrizn X ne E uma matriz elementar n X n entdo detEB det detB Prova Consideramos trés casos um para cada uma das operagdes com linhas que pro duzem a matriz E Caso1 Se FE for o resultado da multiplicagao de uma linha de J por k entao pelo Teo rema 151 o resultado da multiplicagdo da linha correspondente de B por k EB logo pelo Teorema 223a temos detEB k detB Mas pelo Teorema 224a sabemos que detE k portanto detEB detE detB Casos 2e3 As provas dos casos em que E 0 resultado da troca de duas linhas de entre si ou da soma de um miultiplo de uma linha com uma outra linha de J seguem o mesmo padrao do Caso e sao deixadas como exercicios 4 Observacao Da aplicagao repetida do Lema 232 segue que se B for uma matriz n X nese E E E forem matrizes elementares n X n entao detEE EB detE detE detE detB 3 Teste do determinante para a Nosso préximo teorema fornece um critério importante para determinar se uma matriz é invertibilidade invertivel Também nos leva um passo mais pr6ximo de mostrar a Férmula 2 TEOREMA 233 Uma matriz quadrada A é invertivel se e s6 se detA 0 Prova Seja Ra forma escalonada reduzida por linhas de A Como um passo preliminar vamos mostrar que detA e detR sao ambos nulos ou ambos nao nulos Sejam E E as matrizes elementares que correspondem as operagdes elementares com linhas que produzem R a partir de A Assim REEEA e por 3 detR detE detE detE detA 4 Na nota marginal que acompanha o Teorema 224 observamos que o determinante de uma matriz elementar é nao nulo Assim segue da Formula 4 que detA e detR sao ambos nulos ou ambos nao nulos o que dé a fundamentagao para a parte principal da pro SSSS va Supondo que A seja invertivel entao pelo Teorema 164 segue que R J de modo Segue dos Teoremas 233 que detR 1 0 e consequentemente detA 0 que o que querfamos provar 225 que uma matriz quadrada Reciprocamente suponha que detA 0 Disso decorre que detR 0 0 que nos com duas Tnlias ou duas colunas diz que R nao pode ter uma linha de zeros Assim segue do Teorema 143 que R J de proporcionais é nao invertivel ae modo que A é invertivel pelo Teorema 164 23 Propriedades dos determinantes regra de Cramer 109 EXEMPLO 3 Testando invertibilidade por determinantes Como a primeira e terceira linhas de 1 2 3 A1 0 1 2 4 6 s4o proporcionais detA 0 Assim A nao é invertivel 4 Agora estamos prontos para o principal resultado relativo a produtos de matrizes TEOREMA 234 Se A e B sdo matrizes quadradas de mesmo tamanho entdo detAB detA detB Prova Dividimos a prova em dois casos dependendo de A ser invertivel ou nao Se a matriz A for nao invertivel entaéo pelo Teorema 165 0 produto AB também nfo é As sim pelo Teorema 233 temos detAB 0 e detA 0 e segue que detAB detA detB Suponha agora que A seja invertivel Pelo Teorema 164 a matriz A pode ser expres y sa como um produto de matrizes elementares digamos is AEEE 5 4 e portanto Re é eel AB EEEB Ee Bes Aplicando 3 a essa equacgdo obtemos a det AB detE detE detE detB a FS e aplicando novamente 3 resulta Augustin Louis Cauchy det AB det EE E detB 17891857 que por 5 pode ser reescrito como det AB det A det B 4 Nota historica Em 1815 o grande matematico francés Augustin Cau chy publicou um artigo de pesquisa fundamental no qual apresentou o EXEMPLO 4 Verificando que detAB detA detB Primeiro tratamento sistematico e moderno de determinantes Foi na Considere as matrizes quele artigo que o Teorema 234 foi enunciado e provado pela primeira A 301 B 1 3 AB 2 17 vez em toda sua generalidade Casos 12 47 5 gf 13 44 especiais do teorema ja haviam sido enunciados e provados antes mas foi Deixamos para 0 leitor verificar que Cauchy quem finalizou o resultado Imagem The Granger Collection detA 1 detB 23 e detAB 23 New York Assim detAB detA detB como garante o Teorema 234 110 Algebra Linear com Aplicacées O préximo teorema da uma relacao util entre o determinante de uma matriz invertivel e o determinante de sua inversa TEOREMA 235 Se A for invertivel entdo detA7 iE ETS detA Prova Como AA I segue que det A A det Logo devemos ter detA detA 1 Como detA 0 a prova pode ser completada dividindo ambos os lados dessa equacao por detA Adjunta de uma matriz Na expansao em cofatores calculamos detA multiplicando as entradas de uma linha ou coluna pelos seus cofatores e somando os produtos resultantes Ocorre que se multipli camos as entradas de uma linha qualquer pelos cofatores de uma outra linha diferente a soma dos produtos resultantes é sempre zero Esse resultado também vale para colunas Mesmo omitindo a prova geral o proximo exemplo ilustra a ideia da prova num caso especial Entradas e cofatores de linhas diferentes Seja QA A 43 A4 Gy Ay 43 39 33 Considere a expresso AyC3 yx A3C33 que é formada multiplicando as entradas da primeira linha pelos cofatores das entradas correspondentes da terceira linha e somando os produtos resultantes Usando 0 artificio a seguir mostramos que essa quantidade é zero Construa uma nova matriz A substituindo a terceira linha de A com uma cépia da primeira linha ou seja Gy Ay 3 A dy ay a GQ Ay 43 Sejam C4 C3 e C3 os cofatores das entradas da terceira linha de A Como as duas pri meiras linhas de A e A s4o iguais e como os calculos para obter C C C3 C3 Cy C envolvem somente as entradas das duas primeiras linhas de A e A segue que Cy Cy CyCy Cy Cy Como A tem duas linhas idénticas segue de 3 que detA 0 6 Por outro lado calculando detA por expansao em cofatores ao longo da terceira linha da detA ayCy aC ay3C43 ayCy ayy 43C3 De 6 e 7 obtemos a Cy ayCy a3C0 23 Propriedades dos determinantes regra de Cramer 111 DEFINICAO 1 SeA for uma matriz n X n qualquer e C 0 cofator de a entao a matriz Cy Cy us C Cy Cy uv C Ci Cro ue Con denominada matriz de cofatores de A A transposta dessa matriz é denominada ad junta de A e denotada por adjA EXEMPLO 6 Aadjunta de uma matriz 3 x 3 Seja tt 3 2 l S A1 6 3 a 2 4 0 Os cofatores de A sao hi C 12 C 6 C 16 C4 Cy2 C 16 a C 12 C 10 C 16 Leonard Eugene Dickson 18741954 de modo que a matriz dos cofatores é Nota historica O uso do termo ad 12 6 16 junta para a transposta da matriz dos 4 2 16 cofatores parece ter sido introduzido pelo matematico norteamericano L 12 10 16 E Dickson num artigo cientifico publi diunta de A é cado por ele em 1902 a aqyunta dle A lmagem cortesia da American 2 4 12 Mathematical Society adjA 6 2 l10 16 16 16 No Teorema 145 apresentamos uma formula para a inversa de uma matriz 2 X 2 in vertivel Nosso pr6ximo teorema estende aquele resultado para matrizes invertiveis n X n TEOREMA 236 Ainversa de uma matriz usando sua adjunta Se A for uma matriz invertivel entdo I ee A7 adjA 8 Segue dos Teoremas 235 e detA 212 que se A é uma matriz triangular invertivel entao Prova Em primeiro lugar mostramos que detA a see a1 422 Ann A adjA detAI Além disso usando a formula da Considere 0 produto adjunta é possivel mostrar que Ga GQ GG 1 1 1 Gy Ay vee Gy C CG C rr On a ay Onn AadjA Cy Cy ss Cy 1 Gy sao realmente as entradas diago a Gy G nais sucessivas de A compare C Cy 1 AcomA no Exemplo 3 da Se a D2 ute Din sao 17 112 Algebra Linear com Aplicacées A entrada na iésima linha e jésima coluna do produto A adjA é aC ayCy tere Ht GinCin 9 ver as linhas destacada nas matrizes Se i j entao 9 é a expansao em cofatores de detA ao longo da iésima linha de A Teorema 211 e se i j entao as entradas da matriz A e os cofatores provém de linhas diferentes de A de modo que o valor de 9 é zero Portanto detA 0 vee 0 0 detA 0 AadjA detA 10 0 0 detA Como A é invertivel detA 0 Portanto a Equacao 10 pode ser reescrita como 1 1 AadjA I ou A adjA deway A Fen i Multiplicando ambos lados a esquerda por A resulta 1 A adjA 4 deay Usando a adjunta para encontrar uma matriz inversa Use 8 para encontrar a inversa da matriz A do Exemplo 6 Solugao Deixamos para 0 leitor conferir que detA 64 Assim 12 4 12 1 1 12 4 12 64 64 64 A adjA 6 2 loJ 2 detA i 64 64 64 64 16 16 16 16 16 16 64 64 64 A regra de Cramer Nosso préximo teorema usa a formula da inversa de uma matriz invertivel para produzir uma formula conhecida como regra de Cramer para a solucdo de um sistema linear Ax b den equacées em n incdégnitas no caso em que a matriz de coeficientes A for in vertivel ou equivalentemente se detA 0 TEOREMA 237 Regra de Cramer Se Ax b for um sistema de n equacoes lineares em n incégnitas tal que detA 0 entdo o sistema tem uma tunica solucdo Essa solucdo é detA detA detA a 1 detA detA detA em que A é a matriz obtida substituindo as entradas da jésima coluna de A pelas entradas da matriz by b b Dn 23 Propriedades dos determinantes regra de Cramer 113 Prova Se detA 0 entao A é invertivel e pelo Teorema 162 x A b a tinica solucao de Ax b Portanto pelo Teorema 236 temos Cy Cy ve Gy db 1 1 Cc Cc mee CS b x A b adjAb my po detA detA Cin C uc Cin b Multiplicando as matrizes resulta BC BC bC 1 BC BC bC5 x detA bC bC tee dC Portanto a entrada na jésima linha de x é bC bC bc x StF 11 J detA Seja agora SE Gy A 0 AyD ye in 4 a Aya On 2 Ger Py Gyn 1 ay a9 ve aj b Diya ste an r as a Como A difere de A somente na jésima coluna segue que os cofatores das entradas b 3 i ee bb de A coincidem com os cofatores das entradas correspondentes da jésima py Es j y i pat coluna de A A expansao em cofatores de detA ao longo da jésima coluna portanto 3 os detA bC BC BC Ca me NV Substituindo esse resultado em 11 obtemos c a a a vw Ne xj detAj Gabriel Cramer detA 17041752 Nota historica Variagdes da Regra EXEMPLO 8 Usandoaregra de Cramer para resolver um sistema linear 4 Cramer eram razoavelmente co nhecidas antes do matematico suico Use a regra de Cramer para resolver Gabriel Cramer discutila num traba x 2x 6 lho publicado em 1750 Foi a notagado superior de Cramer que popularizou 3x 4x 6x 30 método e levou os matematicos a x 2x 3x 8 associar seu nome a regra Imagem Granger Collection Soluado 1 0 2 6 0 2 A 3 4 6 A 30 4 6 1 2 3 8 2 3 1 6 2 1 0 6 Com n 3 a eliminagao de A 3 30 6 A3 4 30 GaussJordan é em geral mais eficiente para resolver um sis 1 8 3 l1 2 8 tema linear de n equagdes em Portanto n inc6gnitas do que a regra de Cramer O uso mais importan x detA 740 10 x detA 72 18 te dessa regra é na obtengao de detA 44 11 detA 44s 11 propriedades de solucgdes de detA 152 38 um sistema linear sem precisar xXY2eonoeoe I I a 3 detA 44 1 resolvélo 114 Algebra Linear com Aplicacées Teorema da equivaléncia No Teorema 164 listamos cinco resultados que s4o0 equivalentes a invertibilidade de uma matriz A Concluimos esta secao juntando o Teorema 233 aquela lista para obter um teorema que relaciona todos os principais topicos que estudamos até aqui TEOREMA 238 Afirmagdes equivalentes Se A for uma matrizn X n entdo as seguintes afirmagées sao equivalentes a A é invertivel b Ax 0 tem somente a solucdao trivial c A forma escalonada reduzida por linhas de A é I d A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares e Ax b é consistente com cada matriz b de tamanho n X 1 f Ax b tem exatamente uma solugdo com cada matriz b de tamanho n X 1 g detA 0 OPCIONAL Agora dispomos de toda a maquinaria necess4ria para provar os dois resultados seguintes que enunciamos sem provar no Teorema 171 e Teorema 171c Uma matriz triangular é invertivel se e s6 se suas entradas diago nais sao todas nao nulas e Teorema 171d A inversa de uma matriz triangular inferior invertivel é triangular inferior e a inversa de uma matriz triangular superior invertivel é triangular superior Prova do Teorema 171c SejaA a uma matriz triangular com entradas diagonais Ay Ayn Ay Pelo Teorema 212 a matriz A é invertivel se e sd se detA add for nao nulo o que vale se e sé se as entradas diagonais forem todas nao nulas Prova do Teorema 171d Provamos 0 resultado para matrizes triangulares superiores e deixamos 0 caso de triangulares inferiores como exercicio Suponha que A seja triangu lar superior e invertivel Como A 1 djA a detA podemos provar que Aé triangular superior mostrando que adjA é triangular superior ou equivalentemente que a matriz de cofatores é triangular inferior Isso pode ser feito mos trando que é nulo cada cofator i j com i j ou seja acima da diagonal principal Como itj C My suficiente provar que nulo cada menor M com i j Para verificar isso seja B a ma triz obtida suprimindo a iésima linha e a jésima coluna de A ou seja M detB 12 Da hipotese i j segue que B triangular superior ver Figura 171 Como A triangu lar superior sua i 1ésima linha comega com i zeros pelo menos Mas a iésima linha de B a i 1ésima linha de A com a entrada na jésima coluna removida Como i j nenhum dos primeiros i zeros foi removido quando omitmos a jésima coluna assim a iésima linha de B comega com i zeros pelo menos 0 que implica que essa linha tem um zero na diagonal principal Segue agora pelo Teorema 212 que detB 0 e por 12 queM0 4 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 23 Propriedades dos determinantes regra de Cramer 115 Revisao de conceitos e Usar o determinante para testar uma matriz quanto a e Teste do determinante para invertibilidade invertibilidade Matriz de cofatores e Conhecer a relagao entre detA e detA e Adjunta de uma matriz e Calcular a matriz de cofatores de uma matriz quadrada A e Regra de Cramer e Calcular adjA de uma matriz quadrada A e Afirmac6es equivalentes sobre uma matriz invertivel e Usar a adjunta de uma matriz invertivel para encontrar sua inversa Aptiddes desenvolvidas e Usar a regra de Cramer para resolver um sistema de e Saber como os determinantes se comportam em relacdo equagoes lineares as oOperacées aritméticas basicas conforme Equagao 1 e Conhecer as caracterizag6es equivalentes da Teorema 231 Lema 232 e Teorema 234 invertibilidade de uma matriz dadas no Teorema 238 Conjunto de exercicios 23 Nos Exercicios 14 verifique que detkA k detA 2 0 0 J2 V7 0 1 2 2 2 13A 8 1 0 14A32 37 0 WA 4h k2 BA5 Si k4 5 3 6 5 9 0 21 3 Nos Exercicios 1518 encontre os valores de k com os quais 3 A3 2 1 k2 A invertivel 1 4 5 k3 2 k 2 5 a 6 a 1 1 1 2 k2 2 k 4A0 2 3 k3 1 2 4 1 2 0 0 1 2 17 A3 1 6 18 Ak 1 k k 3 2 0 2 1 Nos Exercicios 56 verifique que detAB detBA e deter mine se vale a igualdade detA B detA detB Nos Exercicios 1923 decida se a matriz é invertivel e caso 2 1 0 1 1 3 for use o método da adjunta para encontrar a inversa 5 A3 4 0 e B7 1 2 2 5 5 2 0 3 0 0 2 5 0 1 19 A1 l 0 20 A 0 3 2 1 8 1 4 2 4 3 2 0 4 6 A 1 0 l e B1 1 3 2 3 5 2 0 0 2 2 2 0 3 1 21 A 0 1 3 22 A 8 1 0 0 0 2 5 3 6 Nos Exercicios 714 use determinantes para decidir se a ma triz é invertivel 13 141 2 2 2 2 35 5 2 0 3 23 A 7A1 l 0 8 A 0 3 2 1322 2 4 3 2 0 4 2 3 5 3 01 Nos Exercicios 2429 resolva usando a regra de Cramer 9 A0 1 3 10 A 5 0 6 quando aplicavel 0 0 2 8 0 3 24 7x 2x 3 25 4x Sy 2 3x x5 llx y2z3 4 2 8 1 0 1 x5y2z1 Ww A2 1 4 12A9 l 4 2 x4y c 6 27 x3x 4 3 1 6 8 9 1 4x y2z 1 2x Xx 2 2x 2y 3z 20 4x 3x 0 116 Algebra Linear com Aplicacées 28 x 4x 2x x 32 36 Em cada parte encontre 0 determinante sabendo que A é uma 2x X7x9x 14 matriz 4 X 4 com detA 2 x 3x3 ce tt a detA b detA c det2A d detA X 2X X4xX 37 Em cada parte encontre o determinante sabendo que A é uma 29 3x x x 4 matriz 3 X 3 com detA 7 oe 7x 2x a det3A b detA 2x 6x x 5 1 c det2A d det2A 30 Mostre que a matriz 38 Prove que uma matriz quadrada A é invertivel se e s6 se AA cos send 0 é invertivel AJsen coséd 0 39 Mostre que se A for uma matriz quadrada entao detAA 0 0 1 detAA é invertivel com qualquer valor de 0 em seguida encontreA Exercicios verdadeirofalso usando o Teorema 236 Nas partes a1 determine se a afirmacao é verdadeira ou falsa 31 Use a regra de Cramer para resolver em y sem resolver nas justificando sua resposta incognitas x ze w a Se A for uma matriz 3 X 3 entao det2A 2 detA 4x y z w 6 b Se Ae B forem matrizes quadradas de mesmo tamanho tais 3x 7y z w 1 que detA detB entao detA B 2 detA Ix 3y 528w3 c Se A eB forem matrizes quadradas de mesmo tamanho e A for invertivel entaéo x y z2w 3 detA BA detB 32 Seja Ax bo sistema do Exercicio 31 a Resolvao sistema pela regra de Cramer d Uma matriz quadrada A é invertivel se e s6 se dew 0 b Resolva o sistema por eliminagao de GaussJordan e A matriz de cofatores de A precisamente adjA f Para cada matriz A de tamanho n X n temos c Qual método envolve menos contas 33 Prove que se detA 1 e todas as entradas de A séo nimeros A adjA detA 1 inteiros entao todas as entradas de A também sAo inteiros g Se A for uma matriz quadrada e o sistema linear Ax b tiver 34 Seja Ax b um sistema de n equacées lineares em n incég solugdes multiplas para x entao detA 0 nitas com todos os coeficientes e as constantes nimeros intei h Se A for uma matriz de tamanho n X n e existir uma matriz ros Prove que se detA 1 entao a solugao x tem entradas b de tamanho n X tal que o sistema linear Ax b nao tem inteiras solugGes ento a forma escalonada reduzida de A nado pode 35 Seja ser I abe i Se E for uma matriz elementar entéo Ex 0 s6 tem a solu Alde f 4o trivial 7 h i j Dada uma matriz invertivel A 0 sistema linear Ax b 8 tem somente a solucao trivial se e s6 se o sistema linear a Supondo que detA 7 obtenha A x 0 tem somente a solugao trivial a det3A b detA c det2A k Se A for invertivel entéio adjA também sera invertivel ag d 1 Se A tem uma linha de zeros ento adjA também tem d det2A e detb h e c i ff 23 Propriedades dos determinantes regra de Cramer 117 Capitulo 2 Exercicios suplementares Nos Exercicios 18 calcule o determinante da matriz usando Nos Exercicios 1724 use o método da adjunta Teorema a a expans4o em cofatores e b as operagGes elementares com as 236 para encontrar a inversa da matriz dada se existir linhas para introduzir zeros na matriz 17 A matriz do Exercicio 1 18 A matriz do Exercicio 2 1 4 2 2 19 A matriz do Exercicio 3 20 A matriz do Exercicio 4 33 2 6 21 A matriz do Exercicio5 22 A matriz do Exercicio 6 1 5 32 3 23 A matriz do Exercicio 7 24 A matriz do Exercicio 8 3 0 2 i 4 E 5 25 Use a regra de Cramer para resolver x e y em termos de xe y 3y 47 3 1 1 7 8 9 X gx Gy 4 3 3 0 1 1 4 ya gat sy 5 1 1 1 6 3 0 2 26 Use a regra de Cramer para resolver x e y em termos de x e y 0 4 2 1 2 2 x x cos y sen 3 6 0 1 l 2 3 4 y x sen y cos 0 7 2 3 l 4 8 4 3 2 1 27 Examinando o determinante da matriz de coeficientes mostre 1 0 l 1 1 2 3 4 que o sistema dado tem uma solug4o n4o trivial se e s6 se a 9 2 2 2 4 3 2 l f 9 Calcule os determinantes nos Exercicios 36 usando a técnica x ytaz0 das setas ver Exemplo 7 da Segio 21 x yBz0 10 a Construa uma matriz 4 X 4 cujo determinante seja facil axBy z0 de calcular usando expansdo em cofatores mas dificil de calcular usando operag6es elementares com linhas 28 SejaA uma matriz 3 X 3 com todas as entradas iguais a 0 ou 9 b Construa uma matriz 4 4 cujo determinante seja facil 1 Qual 0 marer valor possivel para detA de calcular usando operagdes elementares com linhas 29 a Para o triangulo da figura dada use trigonometria para mas diffcil de calcular usando expansao em cofatores mostrar que 11 Use o determinante para decidir se as matrizes dos Exercicios bcosyccosB a 14 sao invertiveis ccosaacosyb 12 Use o determinante para decidir se as matrizes dos Exercicios acos B bcosa c 58 sao invertiveis e entao aplique a regra de Cramer para mostrar que Nos Exercicios 1315 encontre o determinante da matriz ePea usando qualquer método cosa be 3 4 5 b3 b Use a regra de Cramer para obter formulas andlogas para 13 14 a 1 2 b2 3 Bey 2 a1 4 0 0 0 0 3 b a 0 0 0 4 0 15 0 0 l 0 0 c Figura Ex29 0 2 0 0 0 30 Use determinantes para mostrar que com qualquer valor de A 5 0 0 0 0 a tinica solugio de 16 Resolva para x x 2yax 1 0 3 x ydy x 1 5 6 3 1xl éx0y0 1 3 x5 118 Algebra Linear com Aplicacées 31 Prove se A for invertivel entao adjA é invertivel e b Use o resultado da parte a para encontrar a area do tri I Angulo de vértices 3 3 4 0 2 1 adjA A adjA adjA detA WA 32 Prove se A for uma matriz n X n entio Clas Ys detadjA detA Bx Yn 33 Prove se a soma das entradas em cada linha de uma matriz A AX de tamanho n X n for sempre zero entéo o determinante de A é zero Sugestdo considere 0 produto matricial AX em que X é a matrizn X 1 com todas as entradas iguais a 1 D E F Figura Ex34 34 a Na figura dada a area do triangulo ABC pode ser expres sa como 35 Sabendo que 21375 38798 34162 40223 e 79154 sao to area ABC area ADEC area CEFB area ADFB dos divisiveis por 19 mostre sem calcular diretamente que o Use isso e 0 fato de que a 4rea de um trapézio é igual a determinante metade da altura vezes a soma dos lados paralelos para 2 13 7 5 mostrar que 3879 8 x y 1 3 4 1 6 2 1 area ABC 5 x y 1 4 0 2 2 3 x y 1 79 1 5 4 Observagao na dedugao dessa formula os vértices divisivel por 19 foram denotados de tal modo que quando passamos de 36 Sem calcular diretamente o determinante mostre que xy para Or y para x3 y3 0 triangulo é percorrido sena cosa sena 8 no sentido antihordrio Para uma orientacao horaria 0 determinante acima da 0 negativo da area senB cosB senB 6 0 seny cosy seny 6 CAPITULO 3 1 1 Espacos Vetoriais 1 1 Euclidianos CONTEUDO DO CAPITULO 31 Vetores bi trie ndimensionais 119 32 Norma produto escalar e distanciaem R 130 33 Ortogonalidade 143 34 A geometria de sistemas lineares 152 35 Produto vetorial 161 INTRODUCAO Os engenheiros e os fisicos fazem uma distingao entre dois tipos de quantidades fisicas os escalares que so quantidades que podem ser descritas simplesmente por um valor numérico e os vetores que sAo quantidades que requerem nao s6 um valor numérico mas também uma diregao e um sentido para sua descrigao fisica completa Por exemplo a temperatura 0 comprimento e a velocidade escalar sao escalares porque podem ser completamente descritos por um nimero que diz quanto digamos uma temperatura de 20C um comprimento de 5 cm ou uma velocidade de 75 kmh Por outro lado a velocidade e a forga sao vetores porque requerem um nimero que diz quanto e uma diregado e um sentido que diz para onde digamos um barco se movendo a 10 nés ou milhas nauticas por hora a maneira tradicional de medir velocidade na 4gua numa diregado de 45 no sentido do nordeste ou uma forga de 100 kgf agindo verticalmente para baixo Embora as nog6es de vetores e escalares que estudamos neste texto tenham suas origens na Fisica e na Engenharia aqui estaremos mais interessados em utilizalos para construir estruturas matematicas e em aplicar essas estruturas a areas tao diversas como Genética Ciéncia da Computaa4o Economia telecomunicagoes e Ecologia 31 Vetores bi trie ndimensionais A Algebra Linear se ocupa de dois tipos de objetos matematicos as matrizes e os vetores Ja nos familiarizamos com as ideias basicas sobre matrizes portanto nesta segao introduzimos algumas das ideias basicas sobre vetores A medida que progredirmos neste texto veremos que Os vetores e as matrizes estéo muito relacionados e que uma boa parte da Algebra Linear se ocupa dessa relaciio Os engenheiros e os fisicos representam vetores em duas dimens6es no espaco bidi Vetores geométricos mensional ou em trés dimens6es no espago tridimensional por flechas A diregdo e 0 sentido da flecha especificam a diregdo e 0 sentido do vetor e 0 comprimento da flecha descreve seu comprimento ou magnitude Os matematicos dizem que esses vetores sao geométricos A cauda da flecha é 0 ponto inicial do vetor e a ponta da flecha é seu ponto final Figura 311 Ponto final Neste texto denotamos vetores com letras mintsculas em negrito como a b v we x e escalares com mintsculas em italico como a k v w e x Quando quisermos indicar que um vetor v tem ponto inicial A e ponto final B entaéo conforme Figura 312 escrevemos Ponto inicial vAB Figura 311 120 Algebra Linear com Aplicacées B Vetores com 0 mesmo comprimento direcAo e sentido como os da Figura 313 sao y ditos equivalentes Como queremos que um vetor seja determinado somente pelo seu comprimento diregdo e sentido consideramos vetores equivalentes como sendo 0 mesmo vetor embora possam estar em posigoes diferentes Também dizemos que vetores equiva A lentes sdo iguais 0 que indicamos escrevendo vAB vw Figura 312 O vetor cujos pontos inicial e terminal coincidem tem comprimento zero portanto g denominamos esse vetor de vetor zero ou vetor nulo e o denotamos por 0 Como o vetor nulo nao possui diregdo ou sentido naturais convencionamos que ele tem a diregdo e o sentido que forem convenientes para os nossos propésitos Adicao vetorial Existem varias operag6es algébricas importantes efetuadas com vetores todas originando das leis da Fisica Regra do paralelogramo para a adicao vetorial Se ve w forem vetores no espaco bi ou tridimensional posicionados de tal modo que seus pontos iniciais coincidam entao os dois vetores formam lados adjacentes de um paralelogramo e a soma v wé 0 ve Ta tor representado pela flecha desde 0 ponto inicial comum de V e w até 0 vértice oposto do paralelogramo Figura 314a Vetores equivalentes Uma outra maneira de formar a soma de dois vetores é a seguinte Figura 313 Regra do triangulo para a adicao vetorial Se v e w forem vetores no espaco bi ou tridimensional posicionados de tal modo que 0 ponto inicial de w 0 ponto terminal de v entao a soma v w 0 vetor representado pela flecha desde o ponto inicial de v até 0 ponto terminal de w Figura 314b Na Figura 314c construfmos as somas v we w v pela regra do tridngulo Essa construgao torna evidente que vtwwry 1 e que a soma obtida pela regra do triangulo coincide com a soma obtida pela regra do paralelogramo Ww Ww vy vtw v v y vVtw wry Ww Ww Figura 314 a 2 A adicao vetorial também pode ser vista como um processo de translagao de pontos A adigao vetorial vista como translagado Sev we v westiverem posicionados de tal modo que seus pontos iniciais coincidem entao 0 ponto terminal de v w pode ser entendido de duas maneiras como segue 1 O ponto terminal de v w é 0 ponto que resulta da translag4o do ponto terminal de v na direcao e sentido de w por uma distancia igual ao comprimento de w Fi gura 315a 2 O ponto terminal de v w 0 ponto que resulta da translagaéo do ponto terminal de w na direcao e sentido de v por uma distancia igual ao comprimento de v Fi gura 315 Em vista disso dizemos que v w é atranslacao de v por w ou entao a translacado de w por v 31 Vetores bi trie ndimensionais 121 ta oo Ww Ww Figura 315 a b Na aritmética comum de numeros podemos escrever a b a b que expressa Subtracao vetorial a subtragéo em termos da adicao Na aritmética de vetores utilizamos a ideia corres pondente Subtragao vetorial O negativo de um vetor v denotado por v é 0 vetor que tem 0 mesmo comprimento e direcdo de v mas tem sentido oposto Figura 316a e o vetor diferenca de v com w denotado por w v definido como sendo a soma wvwt v 2 A diferengca de v com w pode ser obtida geometricamente pelo método do parale logramo mostrado na Figura 316b ou de modo mais direto posicionando w e v de tal modo que seus pontos iniciais coincidam e tragando um vetor do ponto terminal de v ao ponto terminal de w Figura 316c J v w Yow v w wv v V Vv Vv Figura 316 a b c As vezes ocorre a necessidade de mudar 0 comprimento de um vetor ou mudar seu com Multiplicacao por escalar primento e trocar seu sentido Isso é alcangado com um tipo de multiplicagao na qual ve tores s4o multiplicados por escalares Como um exemplo o produto 2v denota o vetor de mesma direcao e sentido de v mas com o dobro do comprimento e o produto 2v denota 0 vetor de mesma direcao de v mas com 0 sentido oposto e o dobro do comprimento Em geral temos 0 seguinte Multiplicagao por escalar Se v for um vetor nao nulo do espaco bi ou tridimensional 1 ek um escalar nao nulo entao o miiltiplo escalar de v por k denotado por kv é 0 vetor x ax Oo de mesma direcio do que v mas cujo comprimento é k vezes 0 comprimento de v e cujo sentido é o mesmo que o de v se k for positivo e 0 oposto do de v se k for negativo Se k 0 ou v 0 entao definimos kv como sendo 0 2v 3v A Figura 317 mostra a relagdo geométrica entre um vetor v com alguns de seus mil tiplos escalares Em particular observe que 1v tem 0 mesmo comprimento e direao de v mas sentido oposto assim Figura 317 lv v 3 Sejam v e w vetores bi ou tridimensionais com um ponto inicial comum Se um dos Vetores paralelos e colineares vetores for um multiplo escalar do outro entéo os vetores estéo numa reta comum e portanto é razoavel dizer que sao colineares Figura 318a Contudo se transladarmos um dos vetores conforme indicado na Figura 318b ento os vetores sao paralelos mas nao mais colineares Isso cria um problema linguistico j4 que um vetor nado muda com uma translagao A Unica saida concordar que os termos paralelo e colinear significam a mesma coisa quando aplicados a vetores Embora 0 vetor 0 nao tenha diregao e sentido httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 122 Algebra Linear com Aplicacées kv 3 fo kv 4 Figura 318 a b bem definidos consideramos esse vetor como sendo paralelo a todos os vetores quando for conveniente Somas de trés ou A adicfo vetorial satisfaz a lei da associatividade da adicao vetorial que significa que mais vetores quando somamos trés vetores digamos u v e w tanto faz quais dos dois somamos pri meiro ou seja temos uvwutyvtw Segue disso que nao ha ambiguidade na express4o u v w pois obtemos 0 mesmo resultado independentemente da maneira como agrupamos os vetores Uma maneira simples de construir 0 vetor u v w é colocar os vetores cada um com 0 ponto inicial no ponto final do anterior e entao tragar o vetor do ponto inicial de u até o ponto final de w Figura 319a Esse método também funciona com somas de quatro ou mais vetores Figura 319b Esse método de colocar ponto inicial no final do anterior também torna evidente que se u Vv e w sao vetores tridimensionais com um ponto inicial comum entao u v w é a diagonal do paralelepipedo que tem os trés vetores como arestas adjacentes Figura 319c a 2 N nN vy VF u 7 x Col YI ay v oA ZA Ww u x Ss J LN 4 vi WZ vo is 7 u w Ut Ey v 1 Figura 319 a b c Vetores em sistemas de Até aqui discutimos vetores sem referéncia alguma a um sistema de coordenadas No coordenadas entanto como veremos em breve os calculos com vetores s4o efetuados muito mais sim plesmente se tivermos um sistema de coordenadas 4 nossa disposiao Se um vetor v qualquer do espaco bi ou tridimensional for posicionado com seu ponto inicial na origem de um sistema de coordenadas retangulares entao o vetor estara com SS pietamente determinado pelas coordenadas de seu ponto final Figura 3110 Dizemos No formato de componentes o que essas coordenadas s4o0 os componentes de v em relacado ao sistema de coordenadas vetor zero no espaco bidimen Escrevemos v U U para denotar um vetor v do espaco bidimensional de componen sional 0 00 e no espago tes v V V U U5 U3 para denotar um vetor v do espaco tridimensional de compo tridimensional é 0 0 0 0 nentes U U5 U3 y z Uj U9 Uj Vp U3 v y x Figura 3110 31 Vetores bi trie ndimensionais 123 Deveria ser geometricamente evidente que dois vetores no espaco bi ou tridimen y sional sao equivalentes se e s6 se eles ttm o mesmo ponto final quando seus pontos vv iniciais estiverem colocados na origem Algebricamente isso significa que dois vetores ne serao equivalentes se e s6 se seus Componentes correspondentes forem iguais Assim por exemplo os vetores x VUUU WWW W do espaco tridimensional sao equivalentes se e s6 se Pag q Figura 3111 O par orde VU W VW VU nado u v pode representar um ponto ou um vetor Observacaio Ja pode ter ocorrido ao leitor que um par ordenado pode representar tanto um vetor de componentes v e v quanto um ponto de coordenadas v e v e analogamente para ternos or denados Ambas sao interpretagdes geométricas validas de modo que a interpretagao apropriada depende do ponto de vista geométrico que queremos enfatizar Figura 3111 As vezes precisamos considerar vetores cujos pontos iniciais nao estao na origem Se Componentes de um vetor PP denota o vetor de ponto inicial Px y e ponto final Px y entao os componen cujo ponto inicial nao esta na tes desse vetor sao dados pela formula origem ae Pix PP x X15 Vo y 4 Pixy y 49 V2 So exe es a OP Op Ou seja os componentes de PP sao obtidos subtraindo as coordenadas do ponto inicial 2 a a das coordenadas do ponto final Por exemplo na Figura 3112 0 vetor PP adiferenca dos vetores OP e OP de modo que x PP OP OP Xp Y2 X59 Oy XY Vy Como era de se esperar os componentes de um vetor do espaco tridimensional com ponto Va PiP OP OP inicial Px y Z e ponto final Px y5 Z s4o dados por Figura 3112 PPy Xs V2 Ve 5 Encontrando os componentes de um vetor Os componentes do vetor v PP de ponto inicial P2 1 4 e ponto terminal P75 8 sao v7251 8 4 656 12 4 A ideia de usar pares e ternos ordenados de ntimeros reais para representar pontose vetores O espaco ndimensional nos espaos bi e tridimensionais era bem conhecida nos séculos XVIII e XIX No inicio do século XX os matematicos e os ffsicos estavam explorando o uso de espacos de dimen sdes maiores na Matematica e na Fisica Hoje até o leigo esta familiarizado com a nogao do tempo como uma quarta dimensao uma ideia usada por Albert Einstein no desenvol vimento da teoria da relatividade geral Atualmente os fisicos que trabalham na area de teoria de cordas utilizam um espago de dimensdo 11 em sua busca por uma teoria unificada com a qual pretendem explicar como funcionam as forgas fundamentais da natureza A maior parte do resto desta secdo é dedicada a estender a nogao de espaco an dimensées Para continuar explorando essas ideia comegamos com alguma terminologia e no tagao O conjunto de todos os ntiimeros reais pode ser visto geometricamente como uma 1 oe eae reta denominada reta real e denotada por R ou R O expoente reforca a ideia intuitiva de que a reta é unidimensional Os conjuntos de todos os pares ordenados de numeros reais 2 3 e 0 de todos os ternos ordenados de ntimeros reais sao denotados por R e R respectiva 124 Algebra Linear com Aplicacées mente Os expoentes reforgam a ideia de que pontos ordenados correspondem a pontos do espaco bidimensional um plano e ternos ordenados a pontos do espaco tridimensional A definigao seguinte estende essa ideia DEFINICAO 1 Sen for um inteiro positivo entéo uma énupla ordenada é uma se quéncia de n numeros reais 1 V V O conjunto de todas as énuplas ordenadas denominado o espaco de dimensao n e é denotado por R Observacao Podemos pensar nos nimeros de uma énupla U Vv U como as coordenadas de um ponto generalizado ou como os componentes de um vetor generalizado dependendo da ima gem geométrica que queremos utilizar essa escolha nao faz diferenga matematica alguma pois sao as propriedades algébricas das énuplas que nos interessam Vejamos algumas aplicac6es tipicas que levam a énuplas e Dados Experimentais Um cientista realiza uma série de experimentos e toma n medig6es numéricas a cada realizacao do experimento O resultado de cada experi mento pode ser pensado como um vetor y y y em R no qual y y y 840 Os valores medidos e Transporte e Armazenamento Uma companhia nacional de transporte de cargas tem 15 terminais com depésitos de armazenamento de carga e oficinas de manutencao de seus caminhdes Em cada instante de tempo a distribuigéo dos caminhGes nos terminais pode ser descrita por uma 15upla x x 45 X na qual x o numero de cami nhoes no primeiro terminal x o nimero de caminhdes no segundo terminal e assim por diante e Circuitos Elétricos Um certo tipo de microprocessador eletr6nico é projetado para receber quatro voltagens de entrada e produzir trés voltagens em resposta As voltagens de entrada podem ser consideradas como vetores de R eas de resposta como vetores de R Assim o microprocessador pode ser visto como um aparelho que transforma cada vetor de entrada v U V U3 V4 de R num vetor de resposta w W W W de R e Imagens Digitalizadas Uma maneira pela qual sao criadas as imagens coloridas nas telas dos monitores de computadores é associar a cada pixel que um ponto enderecavel da tela trés nimeros que descrevem 0 matiz a saturagao e o brilho do pixel Assim uma imagem colorida completa pode ser vista como um conjunto de 5uplas da forma v x y h s b na qual x e y sao as coordenadas do pixel na tela eh s eb sao 0 matiz com a inicial do termo em inglés hue a saturagao e o brilho e Economia Uma abordagem da Andlise Econémica é dividir uma economia em se tores manufatura servicos utilidades e assim por diante e medir 0 produto de cada setor com um valor monetdrio Assim numa economia com 10 setores o produto total de toda a economia pode ser representado por uma 10uplas 5 5 Sj na qual os nimeros 5 S 5 S40 os produtos dos setores individuais ae Nota historica O fisico Albert Einstein nascido na Alemanha emi a grou aos Estados Unidos da América em 1935 onde se estabeleceu na Princeton University Einstein trabalhou sem éxito durante as trés ulti Pe mas décadas de sua vida na tentativa de produzir uma teoria do campo z unificado que estabeleceria uma relagao subjacente entre as forcas da gravidade e do eletromagnetismo Recentemente os fisicos progredi ram no problema utilizando uma nova abordagem conhecida como a teoria das cordas Nessa teoria os componentes menores e indivisiveis do universo nao sao particulas mas lagos que se comportam como cor das vibrantes Enquanto 0 universo espagotempo de Einstein era de dimensao 4 as cordas vivem num mundo de dimensao 11 que 0 foco de muita pesquisa atual lmagem BetmannCorbis Albert Einstein 18791955 31 Vetores bi trie ndimensionais 125 e Sistemas Mecanicos Suponha que seis particulas se movam ao longo da mesma reta coordenada de tal modo que no instante rf suas coordenadas sejam x X e suas velocidades U U5 Us respectivamente Essa informacaéo pode ser repre sentada pelo vetor V Xj X55 X45 Xgy X55 XGo Vys U2 U3 Vgs U5 Vey OD 13 2 de R Esse vetor é denominado 0 estado do sistema de particulas no instante f Nosso pr6ximo objetivo é definir operagGes titeis em R Essas operacées serdo extensdes Operacées com vetores em R 2 3 naturais das operacées conhecidas dos vetores de R e R Denotamos um vetor v de R usando a notagao VUU0 e dizemos que 0 0 0 0 0 vetor zero ou nulo 2 3 ow Observamos anteriormente que dois vetores em R ou R s4o0 equivalentes iguais se e sO se seus componentes correspondentes sao iguais Assim apresentamos a definiao seguinte DEFINICAO 2 Dois vetores v U UU W W W W de R sao ditos equivalentes ou entao iguais se VU W VU WU W Indicamos essa equivaléncia escrevendo v w Igualdade de vetores a bc d 1 4 2 7 seesd6sea1b4c2ed7 4 Nosso préximo objetivo é definir as operag6es de adicao subtrag4o e multiplicagao por escalar para vetores em R Para motivar essas ideias consideramos como essas opera ces podem ser efetuadas com componentes usando vetores em R Observando a Figura 3113 possivel deduzir que se v U U W W W entao vwu wWv wW 6 kv kv kv 7 Em particular segue de 7 que v Dv v v 8 e portanto que wvwet Yy Ww VW V2 9 y U W Vv Wy afl ww ff ih 2 ao fy s y w kv k W as ku kv ky k UU s y 1 Uo Vy TL V i v Figura 3113 1 1 ky 126 Algebra Linear com Aplicacées Motivados pelas Férmulas 69 apresentamos a definicdo a seguir DEFINICAO3 Sev vvUe W WW W 840 vetores em R se k um escalar qualquer definimos vtwu wWv0 WU W 10 kv ku kv kv 11 v U U U 12 Ess vywtw vn Dito em palavras vetores sao WT VE WF HY 1 Up W Ux W Y 13 somados ou subtraidos pela adicéo ou subtracgao de seus componentes correspondentes a e um vetor é multiplicado por Operagées algébricas usando componentes um escalar pela multiplicacao Se v 1 3 2 e w 4 2 1 entéo de cada componente por esse escalar vwe 5 13 2v 2 6 4 w 421 vwvw351 O préximo teorema resume as propriedades mais importantes das operacées vetoriais TEOREMA 311 Seu ve wsdo vetores em R e se k em sdo escalares entdo a uvvtu b avwuvw c u00uU dq uu 0 e kv w kv kw k mv kv mv g kmu kmu h luu Vamos provar a parte b e deixar algumas das outras partes como exercicios Provab Sejamu uuUV Uy U5U CW W W W Entao utv w uuU U0 U WWW U UU 0U 0U WWW Adicio vetorial u 0 W uy 0 Wu U W Adicao vetorial u uv W uy VU WUu U w Reagrupando UUy U UU W v0 WU W Adicio vetorial uvw As propriedades adicionais seguintes dos vetores em R podem ser deduzidas facil mente expressando os vetores em termos de componentes verifique TEOREMA 312 Se v é um vetor em R e se k é um escalar entao a Ov0 b O0 c Dv v 31 Vetores bi tri e ndimensionais 127 Uma das consequéncias importantes dos Teoremas 311 e 312 que esses resultados nos Caculando sem permitem efetuar calculos com vetores sem express4los em termos de componentes Por componentes exemplo suponha que x a e b sejam vetores em R e que queiramos resolver a equacao vetorial x a b para o vetor x sem usar componentes Poderfamos fazer isso como segue xtab Dado x a a b a Somamos 0 negativo de a em ambos lados xaaba Parte b do Teorema 311 x0ba Parte d do Teorema 311 xba Parte c do Teorema 311 Mesmo que esse método seja obviamente mais desajeitado que calcular com componen tes de R mais adiante no texto ele se torna importante quando encontrarmos tipos mais gerais de vetores As operagoes de adicdo subtragado e multiplicagao por escalar so usadas com frequén Combinacées lineares cia em combinacao para formar novos vetores Por exemplo se v V V S40 vetores dados entéo os vetores u2v3vv e w7v 6v 8v foram formados dessa maneira Em geral apresentamos a definicao seguinte DEFINICAO 4 Dizemos que um vetor w em R é uma combinacao linear dos vetores V V Vem R se w puder ser expresso na forma whkvhyv ky 14 Observe que essa definico de uma combinagao linear con em que k k k sdo escalares Esses escalares so denominados coeficientes da Rictentelconmalddatnotconterto combinacao linear No caso em que r 1 a Formula 14 se torna w kv de modo de matrizes ver Definicdo 6 na uma combinacAo linear de um vetor s6 é simplesmente um miultiplo escalar desse vetor Seciio 13 Aplicagao de combinagao linear a modelos de cor As cores nas telas dos monitores de computadores costumam ter por cientes representam a porcentagem de cada cor pura na mistura O base o assim chamado modelo de cores RGB As cores nesse sis conjunto de todas essas cores é 0 espago RGB ou entao 0 cubo tema sao criadas juntando porcentagens das trés cores primariasa de cores RGB Figura 3114 Assim cada vetor de cor nesse saber o vermelho com a inicial R do inglés red 0 verde com aini cubo pode ser expresso como uma combinag4o linear da forma cial G do inglés green e 0 azul com a inicial B do inglés blue Uma Leg se ckrtkhgkb maneira de fazer isso é identificar as cores primarias com os vetores zy 3 k1 00 k0 1 0 0 0 1 r 1 0 0 vermelho puro puro k ky ks 0 1 0 verde puro Lo ee B puro onde 0 k 1 Como indicamos na figura os vértices do cubo b 0 0 1 azul puro representam as cores primdrias puras junto com as cores preto de R e criar todas as outras cores formando combinacées lineares branco magenta ciano e amarelo Os Rr longo da diago de r g e b usando coeficientes entre 0 e 1 inclusive esses coefi nal entre preto e branco representam tonalidades de cinza Azul Ciano 0 0 1 0 1 1 1 0 1 7 di ae Preto Verde 00 0 P 0 10 Vermelho Amarelo Figura 3114 10 0 1 1 0 128 Algebra Linear com Aplicacées Notacées alternativas para Até aqui temos escrito vetores em R usando a notagao vetores V U U0 15 Dizemos que essa a forma de énupla Contudo como um vetor em R é simplesmente uma lista de n componentes ordenados de uma maneira especifica qualquer notagao que exiba esses componentes em sua ordem correta é uma maneira valida de representar o vetor Por exemplo o vetor em 15 pode ser escrito como vv v v 16 que é denominada forma matriz linha ou como v Uy v 17 v que é denominada forma matriz coluna A escolha de notagao é muitas vezes uma ques tao de gosto ou conveniéncia mas as vezes a natureza de um problema sugere uma notag4o especifica As trés notagdes 15 16 e 17 serao utilizadas em varios lugares do texto Revisao de conceitos e Espaco de dimensao n e Vetor geométrico e Operac6es vetoriais no espaco de dimenso n adicao e Direcdo e sentido subtragao e multiplicagao por escalar e Comprimento e Combinagao linear de vetores Ponto inicial Aptid6es desenvolvidas e Ponto final a oe e Efetuar operagdes geométricas com vetores adigao e Vetores equivalentes subtrac4o e multiplicacao por escalar e Vetor zero e Efetuar operacées algébricas com vetores adicao e Adicao vetorial regra do paralelogramo e regra do subtrag4o e multiplicacao por escalar triangulo e Determinar se dois vetores sao equivalentes e Subtragao vetorial e Determinar se dois vetores sdo colineares Negativo de um vetor e Esbogar vetores cujos pontos inicial e terminal sejam e Multiplicagao por escalar dados e Vetores colineares ou seja paralelos e Encontrar componentes de um vetor cujos pontos inicial e e Componentes de um vetor terminal sejam dados e Coordenadas de um ponto e Provar as propriedades algébricas basicas de vetores a Teoremas 311 e 312 e Enupla Conjunto de exercicios 31 Nos Exercicios 12 desenhe um sistema de coordenadas 2 a 03 3 b 3 3 0 c 3 0 0 como na Figura 3110 e marque em cada parte 0 ponto cujas d 3 0 3 e 00 3 f 0 3 0 coordenadas sao dadas 1 a G45 b 3 4 5 c 3 4 5 d 345 e 345 34 5 31 Vetores bi trie ndimensionais 129 Nos Exercicios 34 em cada parte esboce o vetor dado com 14 Sejam u 3 1 2 v 4 0 8 e w 6 14 En ponto inicial na origem contre os componentes de 3 a v 3 6 b v 4 8 a vw b 6u 2v c v 43 dd v345 c vtu d 5v 4u e v 3 3 0 f v 10 2 e 3v 8w f 2u 7w 8v u 4 a v 5 4 b v GB 0 15 Sejam u 3 2 10 v 4 7 3 2 e w 5 2 8 1 c Vv 0 7 d v 0 0 3 Encontre os componentes de v04 W v222 vow b 2u 7v c u v 4w d 6u 3v Nos Exercicios 56 em cada parte esboce com ponto inicial oe oo na origem o vetor determinado pelos dois pontos dados 16 vw Gv w Gu v Sejam ve w os vetores do Exercicio 15 Encontre 0 vetor x 5 a Pi 8 PG que satisfaz 5x 2v 2w 5x 6 Pi 9 Pa4 D 17 Sejamu 5 1 0 3 3 v 1 17 2 Oe c P3 7 2 P2 5 4 w 4 2 3 5 2 Encontre os componentes de 6 a P5 0 P3 I a wu b 2v3u b P0 0 P3 4 c w 3vu d 5v 4u w c P1 0 2 P0 1 0 ec 23wv2utw f w5v2uV d P2 2 2 P0 0 0 18 Sejam u 1 2 3 5 0 v 04 1 1 2e 71 4 23E ti tes d Nos Exercicios 78 em cada parte encontre os componentes w 7 1 4 2 3 Encontre os componentes de do vetor P P a vtw b 32u v 7 a P35P2 8 c Gu v Qu 4w 19 Sejam u 3 1 2 4 4 v 4 0 8 1 2e 3 b ne ee w 6 1 4 3 5 Encontre os componentes de oo 2 a a vw b 6u 2v 9 PxO09 PE fi 2 c 2u 7w 8v u Encontre oP onto inal 10 Vetor que equivalente a 20 Sejam u ve w os vetores do Exercicio 18 Encontre os com u 1 2 e cujo ponto inicial é AC 1 ponentes do vetor x que satisfazem a equacéo 3u v 2w b Encontre o ponto inicial do vetor que é equivalente a 3x 2w u 11 3e use Ponto final B 2 21 Sejam u ve w os vetores do Exercicio 19 Encontre os com 10 a Encontre o ponto inicial do vetor que é equivalente a ponentes do vetor x que satisfazem a equacdo 2u v x u 1 2 e cujo ponto final é B2 0 Ix w b Encontre o ponto final do vetor que é equivalente a 22 Com qualis valores de t se houver o vetor dado paralelo u 1 1 3 e cujo ponto inicial é A0 2 0 au 41 11 Encontre um ponto inicial P de um vetor nao nulo u PQ a 8t 2 b 8t 2t c to final 5 tal com ponto final Q3 0 5 tal que 23 Qualis dos vetores em R dados ésao paralelos a a utem a mesma direcao e sentido de v 4 2 1 u 2 10 35 1 b u tem a mesma direcao mas sentido oposto ao de a 42 0 6 10 2 4 2 1 1 En lod ou Poa b 4 20 6 10 2 Encontre um ponto fina e um vetor nao nulo u e ponto inicial P1 3 5 tal que c 00 0 0 0 ivech 24 Sejam u 2 10 1 1le v 2 3 1 0 2 Encontre a u tema mesma direcao e sentido de v 67 escalares a e b tais que au bv 8 8 3 1 7 b yer 3 diregao mas sentido oposto ao de 25 Sejamu 1 135ev 2 1 0 3 Encontre escala 7 res ae b tais que au by 1 4 9 18 13 Sejamu 4 1 v 0 5 e w 3 3 Encontre os 26 Encontre todos os escalares cc ec tais que componentes de a uw b v 3u c 2 0 2 1 1 0 3 1 0 0 0 c 2u S5w d 3v 2u 2w 27 Encontre todos os escalares cc c tals que ec 3w2u vy f 2u v Sv 3w cl 1 0 3 2 1 0 14 1 1 19 130 Algebra Linear com Aplicacées 28 Encontre todos os escalares cc c tals que b Os vetores a b e a b 0 s4o equivalentes c1 0 2 2 2 2 e1 2 1 6 12 4 c Sek for um escalar e v um vetor entao v e kv sao paralelos seesdsek 0 29 Sejam u 1 3 20 uw 20 4 1 us 7 I 14 d Os vetores v u we w v u sao iguais eu 6 3 1 2 Encontre escalares a a a a tais que au au au au 0 5 6 3 ce Seuvu wentao v w 30 Mostre que nao existem escalares c Cc C tais que f Se aeb forem escalares tais que au bv 0 entéo ue v s4o vetores paralelos o1 0 10 1 0 2 D 22 0 12 1 2 2 3 g Vetores colineares de mesmo tamanho sfo iguais 31 Mostre que nao existem escalares c c c tails que h Se a bc x y 2 y 2 entao a b c necessaria 2 9 6 c3 2 1 1 7 5 0 54 mente 0 vetor nulo i S bf 1 tores ent 32 Considere a Figura 3112 Discuta uma interpretagaéo geomé i Se aed forem escalares e we v vetores entiio trica do vetor a bu v au by u OP 4 L OP OP j Dados vetores v e w a equagao vetorial 32v x 5x 4wtv 33 Sejam P o ponto 2 3 2 e Qo ponto 7 4 1 a4 pode ser resolvida para x a Encontre o ponto médio do segmento de reta que liga Pa QO k As combinag6es lineares av av e bv bv 86 podem iguai b b b Encontre 0 ponto no segmento de reta que liga P a Q que SEP IEUAIS SE GS 1 2 esta a 3 do caminho de Pa Q 34 Seja P o ponto 1 3 7 Se o ponto 4 0 6 for o ponto mé dio do segmento de reta que liga P e Q quem é Q 35 Prove as partes a c e d do Teorema 311 36 Prove as partes eh do Teorema 311 37 Prove as partes ac do Teorema 312 Exercicios verdadeirofalso Nas partes ak determine se a afirmacAo é verdadeira ou falsa justificando sua resposta a Dois vetores equivalentes sempre tém o mesmo ponto inicial rN n 32 Norma produto escalar e distancia em R Nesta sedo vamos tratar das nogdes de comprimento e distancia em relagao a vetores Comegamos discutindo essas ideias em R e R e depois as estendemos algebricamente ao R Norma de um vetor Neste texto denotamos o comprimento de um vetor v pelo simbolo v e dizemos que este a norma 0 comprimento ou a magnitude de v sendo que 0 termo norma é um sindnimo matematico comum para comprimento Como sugere a Figura 32la segue pelo Teorema de Pitagoras que a norma de um vetor U v de Ré lvl vv 0 Analogamente para um vetor U U5 U em R segue da Figura 321b e duas aplicagdes do Teorema de Pitagoras que lv ORY RPY OQ ORY RP v 0 de modo que 22 2 lvl Vu 0 0 2 Motivados pelo padrao das Férmulas 1 e 2 apresentamos a seguinte definicao 32 Norma produto escalar e distancia em R 131 ne y DEFINICAO 1 Sev uvU for um vetor em R entao a norma de v tam v05 bém denominada comprimento ou magnitude de v é denotada por v e definida pela ivi VU formula x 2 2 2 2 1 lvl vu tu 0 0 3 a z Calculando normas PW Vz V3 Segue da Formula 2 que a norma do vetor v 3 2 1 em Ré IM y oO lvl V3 241 V14 Ls Q ty e segue da Formula 3 que a norma do vetor v 2 1 3 5 em Ré b vi V2 ly 3 5 V39 Iv HD 3 9 Figura 321 Nosso primeiro teorema nesta secao generaliza ao R os trés fatos familiares seguintes relativos a vetores em R e R e Distancias sio nimeros nao negativos e Ovetor zero é 0 unico vetor de comprimento zero e Multiplicar um vetor por um escalar multiplica seu comprimento pelo valor absoluto daquele escalar E importante reconhecer que s6 porque essas propriedades valem em R eR nao ha garantias de que também valham em R Sua validade deve ser demonstrada usando as propriedades algébricas das énuplas TEOREMA 321 Se v for um vetor em R e k um escalar qualquer entaéo a v 0 b v Ose esd sev0 c lkvII Il IIvIl Provamos a parte c e deixamos a e b como exercicios Provac Sev vv0 entao kv ku ku ku portanto lvl Vkuy ku kv JK u 0 0 ku 0 k lvl Um vetor de norma é denominado vetor unitdrio Esses vetores s4o Uteis para especificar Vetores unitarios uma direcao quando 0 comprimento nao for relevante para o problema em consideragao Podemos obter um vetor unitario numa direcao desejada escolhendo qualquer vetor nao nulo v nessa diregao e multiplicando pelo reciproco de seu comprimento Por exemplo se v for um vetor de comprimento 2 em R ou R entdo v um vetor unitario de mesma direcio e sentido de v Mais geralmente se v for um vetor nao nulo qualquer em R entao 1 uv 4 IIvIl 132 Algebra Linear com Aplicacées ADVERTENCIA As vezes ve define um vetor unitario de mesma direcao e sentido de v Podemos confirmar que 4 é remos a Férmula 4 expressa U vetor unitdrio aplicando a parte c do Teorema 321 com k 1v para obter como 1 y u Avl lal ilvll Allyl vy 1 i Vv O processo de multiplicar um vetor nao nulo pelo reciproco de seu comprimento para Isso simplesmente uma ma obter um vetor unitario é denominado normalizacao de v neira mais compacta de escrever aquela férmula que ndo preten de dar a entender que v esta sen do dividido por v Normalizando um vetor Encontre o vetor unitario u que tem a mesma direcdo e sentido de v 2 2 1 Solugao O vetor v tem comprimento lvl V2 2ly 3 Assim por 4 temos 1 2 2 1 w 3221 3 3 3 O leitor pode querer confirmar que u 1 Os vetores unitarios Quando introduzimos um sistema de coordenadas retangulares em R ou R dizemos que canénicos OS vetores unitarios nas diredes positivas dos eixos coordenados sao os vetores unitdrios canénicos Em R esses vetores so denotados por y i10 e j01 0 1 e em R saio denotados por j i100 j010 e k001 x ito Figura 322 Cada vetor v v v em R e cada vetor v U U5 V3 em R pode ser 1 pss Aus a expresso como uma combinagao linear dos vetores unitarios candnicos escrevendo a V UV 0 v1 0 v0 1 vi 0 j 5 z 00 1 V U V V3 U1 0 0 v0 1 0 v0 0 1 vi Vv j Uk 6 k Além disso podemos generalizar essas f6rmulas para R definindo os vetores unitdrios j y canénicos em R i 0 10 e 1000 e 0100 e 001 7 1 0 0 caso em que cada vetor v U V U em R pode ser expresso como b Figura 322 VUUU vUe ve Ue 8 Combinagao linear dos vetores unitarios canénicos 2 3 4 2i 3j 4k 73 4 5 7e 3e 4e3 5e 2 3 7 Nye ga Distanciaem R Se P e P forem pontos em R ou R entaéo o comprimento do vetor PP é igual a distan cia d entre os dois pontos Figura 323 Especificamente se Px y e Px y forem pontos em R ent3o a Férmula 4 da Secdo 31 implica DD JG xy 0y dPPV x O y 9 32 Norma produto escalar e distancia em R 133 Essa é a conhecida férmula da distancia da Geometria Analitica Analogamente a distan d P cia entre os pontos Px y Z Px y Z em Ré 2 2 2 du v PPyl V 4 0 y 4 10 dlPPl Motivados pelas Férmulas 9 e 10 introduzimos a definiao seguinte Figura 323 DEFINICAO 2 Seu Uy UsU CV Uj VyU forem pontos em R ento denotamos a distancia entre ue v por du v que definimos por en Observamos na seco anterior du v luvl JVu v v 0F 11 que uma énupla pode ser vista como vetor ou como um ponto em R Na Definigdo 2 escolhe waa d é to Calculando distancia em R mos GESCIENS B come pone porque parece ser a interpreta Se 4o0 mais natural u 1327 e v07 2 2 entao a distancia entre ue v é du v 10y 37Y 227 72yY V58 Nosso préximo objetivo é definir alguma operacgao de multiplicagao util com vetoresem Produto escalar R e R entao estender essa operacao ao R Para isso precisamos antes de mais nada os on 2 3 definir exatamente 0 que se entende por angulo entre dois vetores em R e R Para isso sejam ue v vetores nao nulos em R ou R posicionados de tal forma que seus pontos ini ciais coincidam Definimos 0 Gngulo entre ue v como o angulo 6 determinado por ue v que satisfaz as desigualdades 0 6 mw Figura 324 u u 6 0 0 f v Vv Vv u v 6 Figura 324 O Angulo 6 entre u e v satisfaz 0 0 S 7 DEFINICAO 3 Seue v forem vetores nao nulos em R ou R e se 0 for o angulo entre ue Vv entao 0 produto escalar também denominado produto interno euclidiano de u e v é denotado por u ve definido por u v lull v cos 6 12 Se u 0 ou v 0 definimos u v como sendo 0 O sinal do produto escalar revela uma informacao sobre o angulo 6 que pode ser ob tida reescrevendo a Férmula 12 como uv cos0 13 Ilulliivil Como 0 6 7 segue da Férmula 13 e das propriedades da fungao cosseno estudadas na Trigonometria que e éagudoseuv0 e éobtuso seuv 0 e 672seuv0 134 Algebra Linear com Aplicagdes z EXEMPLO 5 Produto escalar Encontre o produto escalar dos vetores mostrados na Figura 325 0 2 2 v Solugao Os comprimentos dos vetores sao 00 1 000 yas ju 1 e v V8 2v2 u y e o cosseno do angulo entre eles é x cos45 12 Figura 325 Assim segue da Férmula 12 que uv lulliivi cos 12V21V2 2 0 0 k U3 kkK EXEMPLO 6 Umproblema de geometria resolvido com produto y escalar Wy y Encontre o angulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas arestas uy 6 0 k 0 Solugdo Seja k o comprimento de uma aresta e introduza um sistema de coordenadas x k 00 retangulares conforme indicado na Figura 326 Denotando u k 0 0 u 0 k 0 eu 0 0 k entao o vetor Figura 326 u 0 0 k d kkk u u 4 é a diagonal do cubo Segue da Férmula 13 que o angulo 6 entre d e a aresta u satisfaz guid kK 1 cos 8 milliidll kWV3kK V3 Com a ajuda de uma calculadora obtemos Observe que o angulo obtido no Exemplo 6 nao envolve k Por 1 5 que isso é 0 esperado 6 arccos WB 5474 O produto escalar em termos Para fins de calculo de produtos é desejavel ter uma f6rmula que expresse 0 produto de componentes escalar de dois vetores em termos de componentes Vamos deduzir uma tal formula para vetores em R sendo andloga a deducao para vetores em R Sejam u u U5 U3 V U V5 U3 dois vetores nao nulos Se o angulo entre ue v for 6 conforme indicado na Figura 327 entao a lei dos cossenos resulta em POI lull livil 2Ilul vl cos4 14 Puy Uy U3 SI u y y ze Nota historica A notacao de produto escalar foi introduzi da pelo matematico e fisico norteamericano J Willard Gibbs x num panfleto distribuido entre seus alunos da Universidade ere de Yale nos anos 1880 Originalmente o produto era escrito Figura 327 s como um ponto final na altura da linha nao centrado vertical mente como hoje em dia sendo denominado produto direto a O panfleto de Gibbs acabou sendo incorporado num livro inti 4x ne tulado Vector Analysis que foi publicado em 1901 por Gibbs A 2 com coautoria de um de seus alunos Gibbs fez contribuigées cf 7 7 importantes na teoria dos campos de Termodinamica e Eletro Ae B 7 oT magnetismo e é geralmente considerado o maior fisico norte r Ao americano do século XIX Imagem The Granger Collection New York Josiah Willard Gibbs 18391903 32 Norma produto escalar e distancia em R 135 Como PQ v u podemos reescrever 14 como 2 2 2 lull Iv cos 5 lull Ilvil lv ull ou uv 5lull lvilr Ilvull Substituindo Jul sup tutus Iv vp tu 0 e Ilv ull UV u VU Uy UV Us implificando obt Sr SIMPINICANCO OONETNOS Embora tenhamos deduzido a Formula 15 e sua companhei UV UV UV U3 V5 15 ra bidimensional sob a hipotese de que u e v fossem nfo nulos A formula companheira para vetores em Ré ocorre que essas férmulas tam bém sao aplicaveis se u 0 ou UuVU0 TU Dv 16 se V 0 verifique Motivados pelo padrao nas Férmulas 15 e 16 introduzimos a definigaéo seguinte DEFINICAO 4 Seu uj UU eV U U5 U forem vetores em R m 7 2 Em palavras para calcular o entao o produto escalar também denominado produto interno euclidiano de ue v é d d definid produto escalar produto inter enotado por U v delinido por no euclidiano multiplicamos componentes correspondentes UV UV UyV UV 17 dos vetores e somamos os pro dutos resultantes Calculando produtos escalares usando componentes a Use a Formula 15 para calcular 0 produto escalar dos vetores ue v do Exemplo 5 b Calcule u v com os vetores em R u 1357 v 3 4 10 Solugao a Em termo de componentes temos u 0 0 1 e v 0 2 2 Assim uv 00 02 CI2 2 que confere com o resultado obtido no Exemplo 5 Solugdo b uv 13 34 6 0 4 4 No caso especial em que u v na Definicao 4 obtemos a relagdo Propriedades algébricas do roduto escalar Veveuptu te 0 liv as Isso fornece a f6rmula seguinte para expressar 0 comprimento de um vetor em termos do produto escalar lvl Vvv 19 136 Algebra Linear com Aplicacées O produto escalar tem muitas das mesmas propriedades algébricas do produto de numeros reais TEOREMA 322 Seu v e w forem vetores em R e se a for um escalar entaéo a UVVvUuU Simetria b uvttwuvuw Distributividade c auv auv Homogeneidade d vv0O sendo vv 0 se e 86 se Vv 0 Positividade Vamos provar as partes c e d e deixar as outras provas como exercicios Provac Sejamu wu uUV Uj UU Entao auv auv uv uv auU auv au v au v Prova d Orresultado segue das partes a e b do Teorema 321 e do fato de que Ve Vvuv 0 0v00uvl 4 O préximo teorema fornece propriedades adicionais do produto escalar As provas podem ser obtidas expressando os vetores em termos de componentes ou entao usando propriedades algébricas estabelecidas no Teorema 322 TEOREMA 323 Se u v e w forem vetores em R e se a for um escalar entao a 0vv00 b utvwuwtvw c uVWwuvUuw d uvwuwVvw e a Vv u av Mostremos como 0 Teorema 322 pode ser usado para provar a parte b sem passar para os componentes dos vetores As outras provas sao deixadas como exercicios Prova b uvwwuv Por simetria WwWuwvV Por distributividade uWvW Porsimetria As Formulas 18 e 19 juntamente com os Teoremas 322 e 323 tornam pos sivel usar técnicas algébricas familiares para trabalhar com express6es envolvendo o produto escalar Calculando com produto escalar u 2v 3u 4v u Bu 4v 2v 3u 4v 3uu 4u v 6v u 8V Vv 3ull 2u v 8iivil 4 32 Norma produto escalar e distancia em R 137 Nosso pr6ximo objetivo é estender ao R a nogiio de Angulo entre vetores nao nulos ue Desigualdade de v Para isso comegamos com a formula CauchySchwarz e Angulos em R uv 0 arccos 20 ulliivll que ja derivamos para vetores nao nulos em R eR Como ja definimos o produto escalar e a norma para vetores em R poderia parecer que essa formula tem todos os ingredientes para servir como uma definido do Angulo ente dois vetores ue v em R Contudo ha um problema 0 arco cosseno da Férmula 20 s6 esta definido se seu argumento satisfizer as desigualdades uv 1 1 21 Iulliivih Felizmente essas desigualdades sGo vdlidas com quaisquer vetores nao nulos em R como consequéncia do resultado fundamental seguinte conhecido como desigualdade de CauchySchwarz TEOREMA 324 Desigualdade de CauchySchwarz Seu uy us U eV U V U forem vetores em R entdo Juv julliivil 22 ou em termos de componentes 22 212 2 2 2 12 JUV uv uU S Uy uu 00 23 Omitimos a prova desse teorema porque adiante neste texto demonstraremos uma versdo mais geral da qual esse sera um caso particular Nosso objetivo imediato usar esse teo rema para provar que as desigualdades 21 valem com vetores nao nulos quaisquer em R Uma vez conseguido isso teremos estabelecido todos os resultados necessarios para usar a Férmula 20 como nossa definicdo de Angulo entre dois vetores nao nulos ue v em R Para provar que as desigualdades em 21 valem com vetores nao nulos quaisquer em R dividimos ambos lados da Formula 22 pelo produto ul v para obter juv uv 1 ou equivalentemente 1 ulliivll ulliivil do que segue 21 a Nota historica A desigualdade de CauchySchwarz ho menageia 0 matematico francés Augustin Cauchy ver pa A f gina 109 e o matematico alemao Hermann Schwarz Varia Lie Fe gées dessa desigualdade aparecem em muitas situacgées ay wh ar 7 distintas e sob varios nomes Dependendo do contexto em ial i que a desigualdade ocorre pode ser chamada de desigual bs Whe dade de Cauchy desigualdade de Schwarz ou as vezes on até desigualdade de Bunyakovsky em reconhecimento ao y ely matematico russo que publicou sua versdo da desigualda y ee c de em 1859 cerca de 25 anos antes de Schwarz vee Vi a Imagens Wikipedia LS NS Hermann Amandus Viktor Yakovlevich Schwarz Bunyakovsky 18431921 18041889 138 Algebra Linear com Aplicacées Geometriaem R No inicio desta secao estendemos ao R varios conceitos com a ideia de que resultados que podemos visualizar em ReR possam ser validos também em R Aqui temos dois teoremas fundamentais da Geometria Plana cuja validade se estende ao R e A soma dos comprimentos de dois lados de um triangulo é pelo menos igual ao uty comprimento do terceiro Figura 328 e A distancia mais curta entre dois pontos é obtida com uma reta O teorema seguinte generaliza esses resultados para o R u ju vl ull lvl TEOREMA 325 Seu v e w forem vetores em R entdo Figura 328 a juvl S lull lvl Desigualdade triangular para vetores b du v du w dw v Desigualdade triangular para distancias v Prova a ju vil uy uv uu 2uv V 2 2 lull 2v IlvIl jul 2u v IIvl7 Propriedade do valor absoluto w S jull 2ull lv Thal Desigualdade de CauchySchwarz 2 lull Ilvi u du v du w dw v Prova b Segue da parte a e da Formula 11 que uwl w vil duw dwv 4 o Na Geometria Plana provase que em qualquer paralelogramo a soma dos quadra Ne dos das diagonais igual 4 soma dos quadrados dos quatro lados Figura 3210 O teo rema seguinte generaliza esse resultado ao R u Figura 3210 TEOREMA 326 Identidade do paralelogramo com vetores Se ue v forem vetores em R entdo 2 2 2 2 Ju vil lu vil 2 Ilull Ilvil 24 Prova 2 2 Ju vi Ju vil uv uv av uv 2uu 2v v 2 2 2jull lv Poderiamos enunciar e provar muitos outros teoremas da Geometria Plana que gene ralizam para o R mas os que j4é vimos deveriam ser suficientes para convencer o leitor que o R nao é tao diferente de R e R mesmo se nao o conseguirmos visualizar direta mente O proximo teorema estabelece uma relacao fundamental entre o produto escalar e a normas em R 32 Norma produto escalar e distancia em R 139 TEOREMA 327 Se ue v forem vetores em R com o produto escalar entdo 2 2 uyiutvil 5lluvIl 25 Prova Observe que a Férmula 25 ex ju vii uv uv Jlull 2u v Iv pressa o produto escalar em ter mos de normas Ju vl av uv lull 20 v IVP do que 25 decorre facilmente Ha varias maneiras de expressar o produto escalar de vetores usando notaco matricial O produto escalar como Essas formulas dependem de expressar os vetores como matrizes linha ou coluna Aqui multiplicagao matricial estao as possibilidades Tabela 1 Fome Prduioescar CROSSCSC 1 5 u3 wvl1 3 547 5 0 uevcomo TT matrizes coluna ueyeuyveys 5 1 v4 vu5 4 037 0 5 5 u1 3 5 uvl 3 547 u como matriz 0 linha e v como uvuvvu 5 matriz coluna v4 1 0 vu 5 4 037 5 1 1 vu5 4 0O3 7 u como matriz u3 5 coluna e v como uvV v uv 5 matriz linha a 5 v 4 0 uv 1 3 547 0 5 uv l 3 547 u1 3 5 0 we vy como uvuv wi matrizes linha v 5 4 0 1 vu S 4 037 5 Se A for uma matrizn X neue v forem matrizes n X 1 entao segue da primeira linha da Tabela 1 e das propriedades da transposta que Auv vAu vAu Avuu Av u Av Avu WAu vAlu Aluev 140 Algebra Linear com Aplicacées As férmulas resultantes AuvuAy 26 uAvAuy 27 fornecem uma ligagao importante entre a multiplicagao por uma matriz A de tamanho n X neamultiplicacao por A Verificando que Au vuAv Suponha que 1 2 3 1 2 A 2 4 1 u 2 v 0 1 0 1 4 5 Entao 1 2 3 1 7 Au 2 4 1 2 10 1 0 1 4 5 1 2 l12 7 Av2 4 0 o 4 3 1 1 5 1 do que obtemos Auv 72 100 55 11 uAv 17 24 4l 11 Assim vale Au v u A v como garante a Formula 26 Deixamos para 0 leitor veri ficar que 27 também vale 4 A multiplicagao matricial do O produto escalar fornece uma outra maneira de pensar sobre a multiplicagao matricial ponto de vista do produto Lembre que se A la for uma matriz m X re B b uma matriz r X n entao a ij escalar sima entrada de AB é aD Ayby ab que é o produto escalar do iésimo vetor linha la a a de A com o jésimo vetor coluna de B bj b by Assim se rr1 forem os vetores linha de A e oS vetores coluna de B entaéo podemos escrever o produto matricial AB como r C rc see r c rhc Tj es Wee AB a 2 oon 28 Yr C Yr Cs eae r 32 Norma produto escalar e distancia em R 141 Uma aplicagao do produto escalar ao numeros do ISBN Embora o sistema tenha sido alterado recentemente a maioria sendo c com a ressalva de trocar 10 por X para evitar mais de dos livros publicados nos Ultimos 25 anos possui um indicativo um digito numérico utilizado internacionalmente para a identificagéo de poy exemplo o ISBN do Novo Aurélio Século XXI é livros que consiste em dez digitos denominado ISBN das ini ciais em inglés International Standard Book Number Os nove 8520910106 primeiros digitos desse numero estao divididos em trés grupos ggm um digito de verificacao igual a 6 Isso consistente com os primeiro grupo representa 0 pais ou grupo de paises no qual se ove primeiros digitos do ISBN pois originou o livro o segundo identifica a editora que o publicou e 0 terceiro identifica o titulo do préprio livro O décimo e ultimo ab 1 23 45 67 8 9 85 2 0 9 1 0 1 0 83 digito denonmnado digito de ver ificagao e calculado apartirdos pividindo 83 por 11 obtemos um quociente de 7 e um resto de 6 nove primeiros ee utilizado Reta eeT Nt que nao hajaerronuma ge modo que o digito de verificagao é c 6 Se uma loja de uma ae eletronica do IRSIEINE digamos pela Internet rede de livrarias encomendar o Aurélio por meio de um pedido Para explicar como isso feito considete Os nove primelros transmitido eletronicamente ao deposito entio o depdsito pode digitos do ISBN como um vetor b de R seja a o vetor usar esse procedimento para verificar se 0 digito de verificacao é a 12 3 45 6 7 8 9 consistente com os nove primeiros digitos transmitidos e assim reduzir a possibilidade de erro na remessa Entao o digito de verificagao c é calculado pelo procedimento se guinte 1 Calcule 0 produto escalar a b 2 Divida a b por 11 produzindo um resto c que é um inteiro entre 0 e 10 inclusive O digito de verificagado é tomado como Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Norma ou comprimento ou magnitude de um vetor e Calcular a norma de um vetor em R e Vetor unitario e Determinar se um dado vetor em R é unitdrio e Vetor normalizado e Normalizar um vetor nao nulo e Vetores unitarios canénicos e Determinar a distancia entre dois vetores em R e Distancia entre pontos em R e Calcular o produto escalar de dois vetores em R e Angulo entre dos vetores em R e Calcular o angulo entre dois vetores nao nulos em R e Produto escalar ou produto interno euclidiano de dois e Provar as propriedades bAsicas relativas a normas e vetores em R produtos escalares Teoremas 321323 e 325327 e Desigualdade de CauchySchwarz e Desigualdade triangular e Identidade do paralelogramo de vetores Conjunto de exercicios 32 Nos Exercicios 12 encontre a norma de v um vetor unitdrio 4 a lutvwll b lu vl de mesma direcao e sentido de v e um vetor unitario de mesma c v 3vI d full vIl direcao e sentido oposto de v 1 a v4 3 b v 2 22 Nos Exercicios 56 calcule a expressio dada com v102 13 u 2 145 v G 1 5 7 ew 6 2 1 1 5v yC5 vL 5 a BuSv wll 6 ull Sllvl Iw va4 dy 6 a full 2Ilvll 3ilwll full 2vll 3wl Nos Exercicios 34 calcule a expresso dada com c llu vitvw u 2 23v 1 3 dew 36 4 7 Sejav 2 3 0 6 Encontre todos os escalares k tais que 3 a lu vll b lull IIvIl lkv 5 c 2u 2vI d Bu Sv whl 8 Sejav 1 1 2 3 1 Encontre todos os escalares k tais que kv 4 142 Algebra Linear com Aplicacées Nos Exercicios 910 encontre u v u ue V V 21 Enuncie um procedimento para encontrar um vetor de um 9 a u 3 14 v 224 comprimento especificado m que aponte na mesma direcg4o e b w 1 146 22 32 Scie hel fade a Se v 2 e w 3 quais sao os maiores e menores valores 10 a u 11 23105 1 possiveis de v w Interprete seu resultado geometricamente b w 1 10 2 v 1 2 2 2 1 23 Em cada parte encontre 0 cosseno do angulo 6 entre ue v Nos Exercicios 1112 encontre a distancia euclidiana entre u a u 2 3v 6 7 ev b u 6 2 v 4 0 11 a u 33 3v 1 0 4 c u 1 5 4 v G3 3 3 b u 0 2 1 1 v 3 2 4 4 d u2 2 3v 17 4 c u 3 3 2 0 3 135 24 Em cada parte encontre a medida em radianos do Angulo v 4 1 15 0 11 4 com 0 6 7 entre uev 12 a u 12 3 0 v 5 1 2 2 a Cl 7e 21 3 b 0 2 e 3 3 b u 2 1 4 10 6 3 1 c 110e01 1 d 1 1 0 e 1 0 0 v 2 1 03 7 2 5 1 c u0 11 12 v 2 10 1 3 Nos Exercicios 2526 verifique a validade da desigualdade 13 Encontre 0 cosseno do Angulo entre os vetores de cada parte de CauchySchwarz do Exercicio 11 e decida se 0 Angulo encontrado é agudo ob 25 a u32v 4 tuso ou reto b u 3 1 0 v 2 1 3 14 Encontre 0 cosseno do Angulo entre os vetores de cada parte c u 0 2 2 1 v C1 1 1 1 do Exercicio 12 e decida se 0 Angulo encontrado é agudo ob 26 a u411v 12 3 I seaman hom b w 12123 1 15 2 Suponha que um vetor a do plano xy tenha um comprimento de 9 unidades e aponte na diregao que faz um angulo de 120 u13520 Dv 02 4 1 35 no sentido antihordrio a partir do eixo x positivo e que um 27 Sejam Py Xp Yor P OY 2 Descreva 0 conjunto de vetor b daquele plano tenha um comprimento de 5 unidades e todos os pontos x y z para os quais p pol 1 aponte na direcdo e sentido do eixo y positivo Encontre a b 28 a Mostre que os componentes do vetor v U V na Fi 16 Suponha que um vetor a do plano xy aponte na diregao que gura Ex28a sao v v cos ev v sen 0 faz um angulo de 47 no sentido antihordario a partir do eixo x b Sejam ue v os vetores na Figura Ex28 Use 0 resultado positivo e que um vetor b daquele plano aponte na direg4o que da parte a para encontrar os componentes de 4u 5v faz um angulo de 43 no sentido antihordrio a partir do eixo x positivo O que pode ser dito sobre o valor de a b y y VUj U2 a Nos Exercicios 1718 determine se a expressao faz sentido Yo oN ays 7 aN u matemiatico Se nao fizer explique VS y 17 a uvw b uv w 6 x 454 Zo c lu vIl uv lull A J2p 18 a full lvl b a v w be c uv k d ku Sc f Ue 19 Em cada parte encontre um vetor de mesma direc4o e sentido b do vetor a 6 a 4 3 b 17 Figura Ex28 32 V3 d 1 2 34 32 v3 d 1 2 345 29 Prove as partes a e b do Teorema 321 20 Em cada parte encontre um vetor unitario de mesma direcio e 30 Prove as partes a e c do Teorema 323 sentido oposto ao do vetor a 12 5 b 3 3 3 31 Prove as partes e e do Teorema 323 c 68 d 3 1 6 3 32 A desigualdade triangular Teorema 325a uma igualdade sob quais condigdes Explique sua resposta geometricamente 33 Ortogonalidade 143 33 O que pode ser dito sobre dois vetores nao nulos u e v que c Cada vetor em R tem norma positiva satisfazem a equacao lu vil lull Ivll d Se v for um vetor nao nulo em R existem exatamente dois 34 a Qual relagdo deve ser verificada para que 0 ponto p vetores unitarios paralelos a v a b c esteja equidistante da origem e do plano xz e Se lull 2 v 1 eu v 1 entao o 4ngulo entre ue v Garanta que a relagaéo enunciada seja valida para valores mede 713 radianos iti ti d bec POSMIVOS NEEAUVOS Ue a EC f Ambas expressGes u v weu v w fazem sentido e b Qual relacgao deve ser verificada para que o ponto p sao iguais a b c esteja mais distante da origem do que do plano er g Seuv uw entio v w xz Garanta que a relagéo enunciada seja valida para va lores positivos e negativos de a bec h Seuv 0 entaou 0 ouu 0 i Em R se uestiver no primeiro quadrante e v no terceiro qua Exercicios verdadeirofalso drante ento u w nao pode ser positivo Nas partes aj determine se a afirmacao é verdadeira ou falsa j Dados quaisquer vetores u v e w em R temos justificando sua resposta 1 Jul lvl lw u vt wi S lul ivi fw a Se cada componente de um vetor em R for duplicado a nor ma desse vetor é duplicada b Em R os vetores de norma 5 cujo ponto inicial esteja na ori gem tém ponto final num circulo de raio 5 centrado na origem 33 Ortogonalidade Na secAo anterior definimos a nogao de Angulo entre vetores em R Nesta secio tratamos da nogio de perpendicularidade Os vetores perpendiculares em R desempenham um papel importante numa grande variedade de aplicag6es Lembre que na Formula 20 da segao anterior definimos 0 Angulo entre dois vetores Vetores ortogonais ndo nulos we v em R pela formula uev 0 arccos ulliivil Segue disso que 772 se e S6 se u Vv 0 Assim obtemos a definigdo seguinte DEFINICAO 1 Dizemos que dois vetores nao nulos u e v em R sao ortogonais ou perpendiculares se u v 0 Também convencionamos que o vetor nulo em R é ortogonal a cada vetor em R Um conjunto nao vazio de vetores em R é denominado ortogonal se dois quaisquer de seus vetores forem ortogonais Um conjunto ortogonal de vetores unitarios é dito ortonormal Vetores ortogonais a Mostre que u 2 3 14 ev C1 2 0 1 sao vetores ortogonais em R b Mostre que o conjunto S i j k dos vetores unitdrios canénicos é um conjunto ortogonal em R Solucao a Os vetores s4o ortogonais pois uv 21 32 CO 4D 0 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 144 Algebra Linear com Aplicacées NOTEROTen On nn areca Solugao b Devemos mostrar que todos os pares de vetores distintos sao ortogonais dade de conferir que ou seja jikikj0 a Poe Isso geometricamente evidente Figura 322 mas pode ser visto também pelas contas pois isso segue das contas feitas no exemplo e da propriedade de ij100 010 0 simetria do produto escalar ik 100 00 1 0 jk0100010 4 Retas e planos determinados Aprendese na Geometria Analitica que uma reta em R é determinada de maneira nica por pontos enormais por sua inclinagao e um de seus pontos e que um plano em R é determinado de maneira unica por sua inclinagéo e um de seus pontos Uma maneira de especificar essas incli nagoes é utilizar um vetor ndo nulo n denominado normal que seja ortogonal a reta ou ao plano em questao Por exemplo a Figura 331 mostra a reta pelo ponto Px y de normal n a b e o plano pelo ponto Px yo Z de normal n a b c Tanto a reta quanto o plano sao representados pela equacao vetorial nPpoP 0 1 em que P é um ponto arbitrario x y da reta ou x y z do plano O vetor P P pode ser dado em termos de componentes como PoP X XY Yo retal PyP X X Yo Z 2 plano Assim a Equacao 1 pode ser escrita como Ax X by yo 0 reta 2 ax Xo by yo cZ O plano 3 Essas equacGes sao denominadas equagées pontonormal da reta e do plano y t z a bc Px y L a b e y 2 Yn n x PyX Yoo Zo y 7 7 7 Figura 331 1 Equacoes pontonormal Segue de 2 que em Ra equacao 6x 3 v 7 0 33 Ortogonalidade 145 representa a reta pelo ponto 3 7 de normal n 6 1 e segue de 3 que em R a equacao 4x 3 2y 5z 7 0 representa um plano pelo ponto 3 0 7 de normal n 42 5 Quando for conveniente podemos multiplicar todos os termos nas Equag6es 2 e 3 e combinar as constantes Isso leva ao resultado a seguir TEOREMA 331 a Se aeb forem constantes ndo ambas nulas entdo uma equagdo da forma ax byc0 4 representa uma reta em R de normal n a b b Sea bec forem constantes ndo todas nulas entao uma equacdao da forma ax byczd0 5 representa um plano em R de normal n a b c Vetores ortogonais a retas e planos pela origem a A equacao ax by 0 representa uma reta pela origem em R Mostre que o vetor n a b formado pelos coeficientes da equacao ortogonal a reta ou seja ortogo nal a cada vetor ao longo da reta b A equacio ax by cz 0 representa um plano pela origem em R Mostre que o vetor n a b c formado pelos coeficientes da equacgdo ortogonal ao plano ou seja ortogonal a cada vetor que fica no plano Solucao Resolvemos ambos os problemas simultaneamente As duas equagdes podem ser escritas como a bxy0 e abc Gy 0 ou alternativamente como ny0 e nyz 0 Essas equagOes mostram que n ortogonal a cada vetor x y na reta e que n é ortogonal a cada vetor x y z no plano Figura 331 4 Vimos que axby0 e axbycz0 sao ditas equacoes homogéneas O Exemplo 3 ilustra que equacdes homogéneas em duas Usando a Tabela 1 da Seco 32 ou trés incdgnitas podem ser escritas na forma vetorial 4 e que outras maneiras podemos escrever 6 se n e x forem da nx0 6 dos em forma matricial em que n é o vetor de coeficientes e x é o vetor das incégnitas Em R isso a forma vetorial de uma reta pela origem e em R é a forma vetorial de um plano pela origem 146 Algebra Linear com Aplicacées Projecdes ortogonais Em muitas aplicag6es é necessario decompor um vetor u na soma de dois componen tes um deles sendo um miltiplo escalar de um vetor nao nulo especificado a e 0 outro perpendicular a a Por exemplo se u e a s40 vetores em R posicionados com seus pontos iniciais coincidindo num ponto Q podemos criar uma tal decomposig4o como segue Fi gura 332 e Baixamos uma perpendicular da ponta de u para a reta ao longo de a e Construimos o vetor w de Q ao pé da perpendicular e Construimos 0 vetor w u W Si vO TN ne u u u u a Q a ow a Qa Ww w oO a a b c d Figura 332 Nas partes 6 até d u w W em que wW é paralelo a a e w é ortogonal aa Como w wwuwu obtivemos uma decomposido de u numa soma de dois vetores ortogonais 0 primeiro deles sendo um miltiplo escalar de a e 0 segundo sendo ortogonal a a O préximo teorema mostra que o resultado precedente que foi apresentado usando vetores em R também é valido em R TEOREMA 332 Teorema da Projegao Se ue a forem vetores em R e sea 0 entdo u pode ser escrito de maneira tinica na forma u w w em que w é um miiltiplo escalar de a e w é ortogonal a a Prova Como 0 vetor w deve ser um miultiplo escalar de a deve ter a forma wka 7 Nosso objetivo é encontrar um valor do escalar k e um vetor w que seja ortogonal a ae tal que uww 8 Podemos determinar k usando 7 para reescrever 8 como uwtwkatw e entao aplicar os Teoremas 322 e 323 para obter ua ka wak lal w a 9 Como w ortogonal a a a ultima parcela em 9 deve ser 0 e portanto k deve satisfazer a equacgao uakllall da qual obtemos ua k al 33 Ortogonalidade 147 como o tnico valor possivel de k A prova pode ser concluida reescrevendo 8 como ua w uw ukaua llall e confirmando que w é ortogonal a a o que se faz mostrando que w a 0 deixamos os detalhes para o leitor Os vetores w W no teorema da projecdo tém nomes O vetor w denominado proje ao ortogonal de u sobre a ou entao componente vetorial de uao longo de ae 0 vetor w denominado componente vetorial de u ortogonal a a O vetor w costuma ser denotado pelo simbolo proju caso em que segue de 8 que w u proju Resumindo temos ua proj u Tal a componente vetorial de u ao longo de a 10 a ua u proju u lal componente vetorial de u ortogonal a a 11 a Projegao ortogonal sobre uma reta Encontre as projecdes ortogonais dos vetores e 1 0 ee 0 1 sobre a reta L que faz um angulo 6 com 0 eixo x positivo em R Solugao Conforme ilustrado na Figura 333 a cos 0 sen um vetor unitario ao y longo de L de modo que nosso primeiro problema é encontrar a projeao ortogonal de e sobre a Como e 01 L al Vsen6 cos 61 e e a 10 cos sen cosé CVF cos 0 sen 0 segue da Formula 10 que essa projecado é sen 0 0 x ea proje Tale cos cos 6 sen cos 0 send cos cos 8 e 10 a Figura 333 Analogamente como e a 0 1 cos 0 sen 6 sen 0 segue da Férmula 10 que ea 2 proje Tale sencos 6 sen send cos8 sen a O componente vetorial de u ao longo de a Sejam u 2 13 ea 4 1 2 Encontre 0 componente vetorial de u ao longo de ae o componente vetorial de u ortogonal a a Soluado ua 24 I1 3Q2 15 lal 4 1y 2 21 Assim 0 componente vetorial de u ao longo de a é ua 15 20 5 10 proju Tal ai 4 l 2 2 79 2 e 0 componente vetorial de u ortogonal a a é 20 5 10 6 2 uproju 2 13 957 97 7 Para conferir 0 leitor pode querer verificar que os vetores u proju e a sdo perpendicu lares mostrando que seu produto escalar é zero 4 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 148 Algebra Linear com Aplicacées u As vezes estamos mais interessados na norma do componente vetorial de u ao longo de a do que no proprio componente vetorial Uma formula para essa norma pode ser de lul duzida como segue 9 loa proj juca jua lual proju Tar 2 je 2 Hall 77 all lal Ilal ilall lul cos 6 a 002 em que a segunda igualdade decorre da parte c do Teorema 321 e a terceira do fato de 2 que lal 0 Assim u lu a proju 12 Ila full 9 a Se 6 denota o Angulo entre u e a entao u a ul al cos 0 de modo que 12 pode também ser escrito na forma lull cos b Fds0 projull lull cos 6 13 i 3 erifique Uma interpretagdéo geométrica desse resultado é dada na Figura 334 Figura 334 Verifique U terpretacao g trica d Itado é dada na Figura 334 O teorema de Pitagoras Na Secao 32 observamos que muitos teoremas sobre vetores em R e R também siio va lidos em R Um outro exemplo disso é a generalizacgAo seguinte do Teorema de Pitagoras Figura 335 aay TEOREMA 333 Teorema de Pitagoras em R v Se ue v forem vetores ortogonais em R com o produto escalar entaéo 2 2 D lu vil full Ilvil 14 u Figura 335 Prova Como we y sao ortogonais temos u v 0 do que segue que 2 2 2 2 2 lu vi a v at v lull 2 v IVI lull Iv O teorema de Pitagoras em R No Exemplo 1 mostramos que os vetores u 2314 e v20 1 sao ortogonais Verifique 0 teorema de Pitagoras com esses vetores Solugao Deixamos para o leitor confirmar que uv 15 13 ju v 36 lull Ilvll 30 6 Assim lu y lull lvI OPCIONAL Vejamos agora como usar projecdes ortogonais para resolver os trés problemas de dis Problemas de distancia tancia seguintes Problema 1 Encontre a distancia entre um ponto e uma reta em R Problema 2 Encontre a distancia entre um ponto e um plano em R Problema 3 Encontre a distancia entre dois planos paralelos em R 33 Ortogonalidade 149 O préximo teorema fornece um método para resolver os dois primeiros problemas Como as provas das duas partes sao andlogas provamos a parte b deixando a parte a como exercicio TEOREMA 334 a Em R a distancia D entre 0 ponto Py Xp Yo a reta ax by c 06 ax by e p Motel 15 Va b b Em R a distancia D entre o ponto PXy Yo 0 plano ax by cz d06 b d p ott ma 16 Va b c Prova b Seja Qx y z um ponto qualquer no plano e posicionemos a normal nA n a b c de tal forma que seu ponto inicial esteja em Q Conforme ilustrado na Figura Poon Yor 20 336 a distancia D é igual ao comprimento da projecao ortogonal Q Pp sobre n Assim proj QP 4 HI segue da Formula 12 que D D OPnl D proj Q Po m No entanto Distancia de P até o plano OP 1 Yo Viv Zi Figura 336 QP n ax x dYy y InJVa b e Assim D laX A P00 zI 17 Va b e Como 0 ponto QOx y z esta no plano suas coordenadas satisfazem a equacdo desse plano logo ax by cz d0 ou d ax by cz Substituindo essa expressio em 17 obtemos 16 Distancia entre um ponto e um plano Encontre a distancia D entre 0 ponto 1 4 3 eo plano 2x 3y 6z 1 Solucao Como as férmulas de distancia no Teorema 334 exigem que as equacdes da reta e do plano estejam escritas com um zero do lado direito comecgamos reescrevendo a equagao do plano como 2x 3y 6z10 a partir do que obtemos p 2M ACI 63 1 I31 3g V2 39 6 7 7 150 Algebra Linear com Aplicacées O terceiro problema de distancia proposto encontrar a distancia entre dois planos paralelos em R Conforme sugerido na Figura 337 a distancia entre um plano Ve um V plano W pode ser obtida encontrando um ponto P qualquer em um dos planos e calculan do a distancia entre esse ponto e o outro plano Vejamos um exemplo L Distancia entre planos paralelos Figura 337 A distancia Os planos entre os planos paralelos Ve W é igual a distancia entre P e W x2y23 e Wwt4y4c7 sao paralelos porque suas normais 1 2 2 e 2 4 4 s4o vetores paralelos Encontre a distancia entre esse planos Solugao Para encontrar a distancia D entre os planos podemos selecionar um ponto arbitrario em um dos planos e calcular sua distancia ao outro plano Tomando y z 0 na equagdo x 2y 2z 3 obtemos o ponto P3 0 0 nesse plano Usando 16 a distancia entre P e o plano 2x 4y 4z 76 23 40 40 7 1 p LO 4AMCVON 1g V2 4 4 6 Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Vetores ortogonais perpendiculares e Determinar se dois vetores sao ortogonais e Conjunto ortogonal de vetores e Determinar se um dado conjunto de vetores forma um e Conjunto ortonormal de vetores conjunto ortogonal e Normal a uma reta e Encontrar equagoes de retas ou planos usando um vetor Normal a um plano normal e um ponto da reta ou plano e Encontrar a forma vetorial de uma reta ou plano pela e Equag6ées pontonormal origem e Forma vetorial de uma reta e Calcular o componente vetorial de u ao longo de ae e Forma vetorial de um plano ortogonal aa e Projecao ortogonal de u sobre a e Encontrar a distancia entre um ponto e uma reta em e Componente vetorial de u ao longo de a R ouR e Componente vetorial de u ortogonal aa e Encontrar a distancia entre dois planos paralelos em R e Teorema de Pitagoras e Encontrar a distancia entre um ponto e um plano Conjunto de exercicios 33 Nos Exercicios 12 determine se u e v sao vetores ortogo c u1 5 4 v 3 3 3 nais d w 223v 17 4 1 a u 6 14 v 20 3 b u00l v1 11 Nos Exercicios 34 determine se os vetores formam um con junto ortogonal 6 04 v 31 u 5 0 v 3 v 23 32 u tl 4 6V 5 a eee WCL Dv ee ee 2 1 Ds vy 1 02 5 25 D PY BE CODES 34 1 vs 12 5 5 4 3 0 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 33 Ortogonalidade 151 4 a v 2 3 v 3 2 Nos Exercicios 2932 encontre a distancia entre 0 ponto e a b v 1 2 v 2 1 reta v 10 1 v2 1 1 Ds vy 10 1 29 dx 3y 403 D d v 2 2 1 v 2 1 2 v 1 2 2 30 x 3y 2 014 5 Encontre um vetor unitdrio que seja ortogonal tanto a 31 y 4x 2 2 5 u 1 0 1 quanto a v 0 1 1 32 3x y 5 1 8 6 a Mostre que v a b e w b a sao vetores ortogo Nos Exercicios 3336 encontre a distancia entre 0 ponto e o plano b Use oO resultado na parte a para encontrar vetores que 33 31 2x 2y224 sejam ortogonais a v 2 3 c Encontre dois vetores unitarios ortogonais a 3 4 34 1 12 2x Sy 6c 4 7 Verifique se os pontos A1 1 1 B203e C3 11 3 Th Ds ext 3y 4c formam os vértices de um triangulo retangulo Explique sua 36 03 2x yz3 ta Tesposta Nos Exercicios 3740 encontre a distancia entre os planos 8 Repita o Exercicio 7 com os pontos A3 0 2 B4 3 0 e paralelos 1 1 C8 1 1 37 2x yz5e4x 2y 22 12 Nos Exercicios 912 encontre uma forma pontonormal da 38 3x 4y z1e6x 8y 2z3 equacao do plano que passa por P e tem n como normal 39 4x y 3z 0e 8x 2y 62 0 9 P13 2m 2 1 1 40 2xyzle2xyz1 10 PCL 1 4n 1 9 8 11 P2 0 0 n 0 0 2 41 Sejam i j e k os vetores unitarios ao longo dos eixos x y 12 PO 0 0 n 1 2 3 e Z positivos de um sistema de coordenadas retangulares no espaco tridimensional Se v a b c um vetor nao Nos Exercicios 1316 determine se os planos dados s4o nulo entao os angulos a B e y entre ve os vetores i j ek paralelos respectivamente sio denominados dngulos diretores de v 13 4x y 2zS5e7x3y4z8 Figura Ex41 e os nimeros a y e B sao os cossenos dire 14 x 4y 322 0e3x 12y9z 70 tores de v 15 2y 8x45exatetly a Mostre que cos a aly 16 4 12 ay 2 Oe 8 2 4y 2 0 Encontre cos B e cos y 7 c Mostre que vv cos a cos B cos Nos Exercicios 1718 determine se os planos s4o d Mostre que cos a cos Bt cos y perpendiculares 17 3x yz240x2z1 18 x 2y 3z 4 2x 5y4z1 s Nos Exercicios 1920 encontre projull k v 19 a u 1 2a 4 3 y b u 30 4 a 2 3 3 Bj y 20 a u 5 6a 2 1 a 1 b u 3 2 6a 1 2 7 Figura Ex41 Nos Exercicios 2128 encontre os componentes vetoriais de u ao longo de e ortogonal a a 21 u 6 2a 3 9 22 u1 2a 23 42 Use 0 resultado do Exercicio 41 para estimar ate oO grau mais 3 u317a105 proximo os angulos que a diagonal de uma caixa de 10 cm X uG17a 05 15cm X 25 cm faz com as arestas da caixa 24 u 10 0a 4 38 43 Mostre que se v for perpendicular a ambos w e w entao v é 25 u 11 1a 02 1 ortogonal a kw kw com quaisquer escalares k e k 26 u 20 1 a 1 2 3 44 Sejam ue v vetores nfo nulos no espaco bi ou tridimensional 27 u 21 1 2a 4 4 2 2 e sejam k lul e 7 v Mostre que o vetor w Ju kv 28 u 50 37a 2 1 1 1 bissecta 0 angulo entre ue v 152 Algebra Linear com Aplicagées 45 Prove a parte a do Teorema 334 d Seaeb forem vetores ortogonais entéo dado qualquer vetor 46 E possivel ter nao nulo u temos proju proja projproju 0 Explique seu raciocinio e Seaeu forem vetores nao nulos temos vo 10Proju proju Exercicios verdadeirofalso Paden mOSa Pile Nas partes ag determine se a afirmacgdo é verdadeira ou falsa f Sea relagao justificando sua resposta proju projv a Os vetores 3 1 2 0 0 sao ortogonais for valida com algum vetor nao nulo a entao u v b Seuev forem vetores ortogonais entao dados quaisquer es g Dados vetores ue v quaisquer vale calares nao nulos re Ss OS vetores ru e SV Sao ortogonais c A projec4o ortogonal de u sobre a é perpendicular ao compo lu vil lull lv nente vetorial de u ortogonal aa 34 A geometria de sistemas lineares Nesta seao utilizamos métodos paramétricos e vetoriais para estudar sistemas gerais de equagoes lineares Nosso trabalho nos permitira interpretar conjuntos de solugdes de sistemas lineares em n incégnitas como objetos geométricos em R da mesma forma que interpretamos conjuntos de solugées de sistemas lineares em duas e trés incdgnitas com pontos retas e planos em ReR Equacées paramétricas e Na secao anterior deduzimos as equagées de retas e planos determinados por um ponto vetoriais de retas em R e R eum vetor normal Contudo ha outras maneiras titeis de especificar retas e planos Por exemplo uma reta em R ou R é determinada de maneira tinica por um ponto x na reta e um vetor nao nulo v paralelo a reta e um plano em R é determinado de maneira tinica por um ponto x no plano e dois vetores nao nulos v e v paralelos ao plano A melhor maneira de visualizar isso é transladar os vetores de tal modo que seus pontos iniciais sejam X Figura 341 y z v y X 0 x Y x Xo L x y v Xx x Figura 341 Figura 342 Comecemos com a dedugao de uma equacao para a reta L que contém o ponto x e é paralela a v Se x for um ponto qualquer dessa reta entaéo conforme ilustrado na Figura 342 0 vetor x x sera algum miultiplo escalar de v digamos X X v ou equivalentemente x x tv A medida que a varidvel t denominada parametro varia de a 0 ponto x percorre toda a reta L Dessa forma obtemos 0 resultado seguinte 34 A geometria de sistemas lineares 153 TEOREMA 341 SejaLaretaemR ou R que contémo ponto x e é paralela ao vetor Embora nao esteja enunciado nao nulo v Entdo uma equacao de L é dada por explicitamente fica subentendi do que nas Formulas 1 e 2 XX Iv 1 0 pardmetro f varia de 2 a Se X 0 entdo a reta L passa pela origem e a equacdo tem a forma Isso vale para todas as equagoes vetoriais e paramétricas deste xtv 2 texto salvo mengao contraria Passamos agora a deduzir uma equagao do plano W que contém 0 ponto x e paralelo Equacdées paramétricas e aos vetores nao paralelos v e v Conforme indicado na Figura 343 sex forum ponto vetoriais de planos em R qualquer desse plano entéo formando miultiplos escalares convenientes de v e v diga mos fV tV podemos criar um paralelogramo de diagonal x x e lados adjacentes tV tV Assim temos Ww XX4V4V ou equivalentemente x x tVv tv A medida que as variaveis ft e t denominadas parametros variam de a 0 ponto x Z percorre todo o plano W Em suma obtemos 0 resultado seguinte PD Ny TEOREMA 342 Seja Wo plano em R que contém o ponto X e é paralelo aos vetores ndo nulos Vv e V Entdo uma equacdo de W é dada por Figura 343 xXxXttV LV 3 9 Se X 0 entado o plano W passa pela origem e a equagdao tem a forma xtV tv 4 Observacéo Observe que a reta por x representada pela Equacao 1 é a translagao por x da reta pela origem representada pela Equagao 2 e que o plano por x representado pela Equacao 3 é a translagao por x do plano pela origem representada pela Equacao 4 Figura 344 y z XXthVhV XX1v V Xo xW 7 xX1fV 14 2 x Figura 344 Motivados pelas Formulas 1 a 4 podemos estender as nogGes de reta e plano ao R por meio das definig6es seguintes DEFINICAO 1 Sex ev forem vetores em R se v for nao nulo entao a equagao xx tv 5 define a reta por x que é paralela a v No caso especial em que x 0 dizemos que a reta passa pela origem 154 Algebra Linear com Aplicacées DEFINICAO 2 Se x v e v forem vetores em R se v e v forem nao colineares entao a equacao xx tv ty 6 define o plano por x que é paralelo a v e v No caso especial em que x 0 dizemos que o plano passa pela origem As Equag6es 5 e 6 sao denominadas formas vetoriais de uma reta e de um plano em R Se os vetores nessas equacdes forem dados em termos de seus componentes e os componentes correspondentes de cada lado forem igualados obtemos as equagées para métricas da reta e do plano Vejamos alguns exemplos Equacées vetoriais e paramétricas de retas em R e R a Encontre uma equagao vetorial e equag6es paramétricas da reta em R que passa pela origem e paralela ao vetor v 2 3 b Encontre uma equagao vetorial e equagdes paramétricas da reta em R que passa pela origem e paralela ao vetor v 4 5 1 c Use a equacao vetorial obtida na parte b para encontrar dois ponto na reta que sejam distintos de P Solugao a Segue de 5 com x 0 que uma equagao vetorial da reta x tv To mando x x y essa equacao pode ser expressa em forma vetorial como x y 2 3 Igualando componentes correspondentes dos dois lados dessa equagao obtemos as equa des paramétricas x2t y3t Solucdo b Segue de 5 que uma equacao vetorial da reta é x x tv Tomando xX x y z eX C1 2 3 essa equacao pode ser expressa em forma vetorial como xyz CL 2 3 4 5 1 7 Igualando componentes correspondentes dos dois lados dessa equag4o obtemos as equa gdes paramétricas x14t y254 z3t Solucao c Um ponto da reta representada pela Equagao 7 pode ser obtido pela substi tuicdo do parametro por um valor numérico especifico Contudo como t 0 fornece x y z C1 2 3 que 0 ponto P esse valor de f nao serve para nosso propésito Tomando t produzimos 0 ponto 5 3 2 e tomando tf 1 produzimos 0 ponto 3 7 4 Também poderiamos ter tomado qualquer outro valor distinto de t excetor0 4 Equacées vetoriais e paramétricas de um plano em R Encontre equac6es vetoriais e paramétricas do plano x y 2z 5 Soluao Primeiro encontramos as equac6es paramétricas Isso pode ser feito resolven do a equagao para qualquer uma das variaveis em teremos das outras duas e entao usando essas duas varidveis como parametros Por exemplo resolvendo para x em termos de y e z obtemos x5y2z 8 34 Ageometria de sistemas lineares 155 e entiio usando y e z como parametros f e t respectivamente obtemos as equagoes pa Bene ee neces rametricas paramétricas e vetoriais distintas x5t24 yt 2t no Exemplo 2 se tivéssemos re solvido 8 para y ou z em vez Para obter uma equagao vetorial do plano reescrevemos essas equag6es paramétricas de x Contudo pode ser mostra como do que nos trés casos resulta o mesmo plano quando o parame yy 2 t 2b tt tro varia de a ou equivalentemente x ys Z 5 0 0 nC 1 0 t2 0 1 Equacées vetoriais e paramétricas de retas e planos em R a Encontre equagoes vetoriais e paramétricas da reta pela origem em R que é paralela ao vetor v 5 3 6 1 b Encontre equag6es vetoriais e paramétricas do plano em R que passa pelo ponto X 2 1 0 3 e paralelo a ambos vetores v 15 2 4 ev 0 7 8 6 Solucao a Tomando x x x x3 x a equaao vetorial x rv pode ser expressa como x X45 X3 x4 15 3 6 1 Igualando componentes correspondentes obtemos as equagdes paramétricas xX 5t x 3t x6f xt Solucdo b A equacao vetorial x x fv tV pode ser expressa como x X45 X35 X4 2 1 0 3 1 5 2 4 t0 7 8 6 que fornece as equagOes paramétricas x 24t x 145447t x 2t 81 x 34t614 4 Se x e x forem dois pontos distintos em R entdo a reta determinada por esses pontosé Retas por dois pontos em R paralela ao vetor V x X Figura 345 de modo que segue de 5 que a reta pode ser expressa em forma vetorial por X X X Xp 9 ou equivalentemente por xX Xp y x1x 10 se n Fi 345 Essas equag6es séo denominadas equacées vetoriais com dois pontos de uma reta em R igure Uma reta por dois pontos em R Encontre equac6es vetoriais e paramétricas da reta em R que passa pelos pontos P0 7 e O5 0 Solugéo Veremos adiante que nao interessa qual ponto tomado como sendo x e qual como sendo x de modo que escolhemos x 0 7 e x 5 0 Segue que x x 5 7 e portanto que x y 07 05 7 1 156 Algebra Linear com Aplicacées que pode ser reescrita em forma paramétrica como x5t y7Tt Se tivéssemos invertido nossa escolha e tomado x 5 0 e x 0 7 entao as equa Oes vetoriais resultantes teriam sido y x y 50 57 12 7 6 e as equac6es paramétricas 7x Sy 35 x55t yT7t 3 verifique Embora 11 e 12 paregam diferentes ambas expressam a reta cujas equa 2 des em coordenadas retangulares é 1 x Tx Sy 35 123 4 6 A P Figura 346 Isso pode ser constatado eliminando o parametro f das equagdes paramé Figura 346 tricas verifique 4 O ponto x x y nas Equacgées 9 e 10 traga toda uma reta em R a medida que 0 parametro f varia no intervalo Contudo se restringirmos o pardmetro a variar de t 0 até t 1 entao x nao percorre a reta toda mas s6 0 segmento de reta que liga os pontos x e x O ponto x comega em x com 0 e termina em x com ft Em vista disso apresentamos a definicgao seguinte DEFINICAO 3 Se x ex forem vetores em R ento as equacgdes xXxxx OSt1 13 definem o segmento de reta de x até x Quando for conveniente a Equacao 13 pode ser reescrita como x1dxn OSt1 14 Um segmento de reta de um ponto até um outro ponto em R Segue de 13 e 14 que o segmento de reta em R de X 1 3 até x 5 6 pode ser representado tanto pela equacao x3149 OSt1 quanto por x103156605711 4 Sistemas lineares usando Nosso préximo objetivo é mostrar como equac6es e sistemas lineares podem ser dados produto escalar por produtos escalares Isso nos levara a alguns resultados importantes sobre ortogonali dade e sistemas lineares Lembre que uma equacdo linear nas variaveis x X5 x tema forma 4X axaxb aaa nao todos nulos 15 e que a equacdo homogénea correspondente é ax axax0 a aa nao todos nulos 16 Essas equagdes podem ser reescritas em forma vetorial considerando addd XXX 34 A geometria de sistemas lineares 157 caso em que a Férmula 15 pode ser escrita como axb 17 e a Formula 16 como ax0 18 Exceto por uma mudanga de notacfio de n para a a Formula 18 é a extensfo ao R da Formula 6 da Secao 33 Essa equacao revela que cada vetor solucdo x de uma equado homogénea é ortogonal ao vetor de coeficientes a Levando essa observagao geométrica um passo adiante considere o sistema homogéneo AyX FayxX be ayx 0 AX ayxX ax 90 Ain X ina Xo Per Ginn Xn 0 Denotando os vetores linha sucessivos da matriz de coeficientes porr1r pode mos reescrever esse sistema em forma de produto escalar como rx 0 rx 0 19 r xX0 de onde podemos ver que cada vetor solugao x é ortogonal a cada vetor linha da matriz de coeficientes Resumindo temos o resultado seguinte TEOREMA 343 Se A for uma matrizm X n entdo o conjunto de solucées do sistema linear homogéneo Ax 0 consiste em todos vetores em R que sdo ortogonais a cada vetor linha de A Ortogonalidade de vetores linha e vetores solugado Mostramos no Exemplo 6 da Seco 12 que a solucao geral do sistema linear homogéneo x 1 32 0 2 07 x 0 2 6 5 2 4 3x 0 0 0 5 10 0 15 x 0 2 6 0 8 4 18 x 0 X6 é x 3r4s2t x r x 28 x5 Xs f xX 0 que pode ser reescrita em forma vetorial como x 3r 4s 2t r 2s s t 0 De acordo com o Teorema 343 0 vetor x deve ser ortogonal a cada um dos vetores linha Yr qd 3 2 0 2 0 Yr 2 6 5 2 4 3 r 00 5 10 0 15 r 2 6 0 8 4 18 158 Algebra Linear com Aplicacées Verificamos que x ortogonal a r e deixamos para 0 leitor verificar que x também orto gonal aos outros trés vetores linha O produto escalar de r com x é rx 13r 4s 20 3r 22s Os 24 00 O estabelecendo a ortogonalidade 4 A relacao entre Concluimos esta segdo explorando a relagao entre as solugdes de um sistema homogéneo Ax 0eAxb Ax 0e as solugées se houver de um sistema linear nio homogéneo Ax b com a mesma matriz de coeficientes Esses dois sistemas so denominados correspondentes Para motivar o resultado que procuramos comparamos as solug6es dos sistemas li neares correspondentes x x 1 3 2 0 2 O07 x 0 1 32 0 2 07 0 2 6 5 2 4 3eO 2 6 5 2 4 3x 1 0 0 5 10 O 15 x 0 0 0 5 10 0 15 x 5 2 6 0 8 4 18 x 0 2 6 0 8 4 18 x 6 X6 X6 Mostramos nos Exemplos 5 e 6 da Secao 12 que a solucao geral desses sistemas lineares pode ser reescrita de forma paramétrica como homogéneo x 3r 4s2t x r 25 xX S XS t X O nio homogéneo x 3r 4s2f x r 25 XS XsHt X que podemos reescrever em forma vetorial como homogéneo X X X3 X4X 3r 4s 2t r 25 5 t 0 nao homogéneo X X5 X35 X4 X5 3r 4s 2tr 255t Repartindo os vetores do lado direito e juntando os termos de mesmo parametro podemos reescrever essas equagdes como homogéneo X X X3 XX r3 1 0 0 0 s4 0 2 1 0 0 42 00010 20 nao homogéneo X X X3 X4 X r3 1 0 0 0 s4 0 2 1 0 0 t2 00 0 10 000003 1 As Férmulas 20 e 21 revelam que cada solucao do sistema nao homogéneo pode ser obtida somando o vetor particular 0 0 0 0 0 a solugao correspondente do sistema homogéneo Esse é um caso especial do resultado geral a seguir TEOREMA 344 A solucdo geral de um sistema linear consistente Ax b pode ser obtida somando uma solucao especifica qualquer de Ax b a solucdo geral de Ax 0 Prova Sejam x uma solucao especifica qualquer de Ax b W 0 conjunto das solugdes de Ax 0 e x Wo conjunto de todos os vetores que resultam somando x a cada vetor em W Precisamos mostrar que se x for um vetor em xX W entao x é solucgdo de Ax b e reciprocamente cada solugao de Ax b esta no conjunto x W Suponha primeiro que x seja um vetor em x W Isso implica que x pode ser escri to na forma x x w em que Ax be Aw 0 Assim Ax Ax w Ax tAwb0b oO que mostra que x uma solucao de Ax b 34 A geometria de sistemas lineares 159 Reciprocamente seja x uma solugao qualquer de Ax b Para mostrar que x esta no conjunto x W devemos mostrar que x pode ser escrito da forma x X w 22 em que w esta em W ou seja Ax 0 Isso pode ser feito tomando w x x Esse Axb vetor obviamente satisfaz 22 e esta em W pois Aw Ax x Ax Ax bb0 o Ax0 0 Observacao O Teorema 344 tem uma interpretagao geométrica util ilustrada na Figura 347 Figura 347 Oconjunto Interpretando a adico vetorial como uma translagéo como na Seao 31 0 teorema afirma que se das solug6es de Ax béa X for qualquer solugao especifica de Ax b entao todo o conjunto das solugdes de Ax b pode translag4o do espago das solu ser obtido transladando 0 conjunto das solugdes de Ax 0 pelo vetor Xp goes de Ax 0 Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Parametros e Expressar as equacoes de retas em R eR usando e Equacées paramétricas de retas equacoes vetoriais ou paramétricas e Equacées paramétricas de planos e Expressar as equacGes de planos em R usando equacGdes a vetoriais ou paramétricas e Equacoes vetoriais de dois pontos de uma reta a e Expressar a equacao de uma reta contendo dois pontos em e Equacoes vetoriais de uma reta 3 a R ou R usando equac6es vetoriais ou paramétricas e Equagoes vetoriais de um plano e Encontrar as equacgdes de uma reta ou segmento de reta e Verificar a ortogonalidade dos vetores linha de um sistema de equag6es lineares e um vetor solucao e Usar uma solucao especifica do sistema nado homogéneo Ax bea solucao geral do correspondente sistema linear Ax 0 para obter a solugao geral de Ax b Conjunto de exercicios 34 Nos Exercicios 14 encontre equacées vetoriais e paramétri 10 Ponto 0 6 2 vetores v 09 1 ev 0 3 0 cas da reta contendo o ponto e paralela ao vetor 11 Ponto 1 1 4 vetores v 6 10 ev 13 1 1 Ponto 4 1 vetor v 08 12 Ponto 05 4 vetores v 00 5 ev 1 3 2 2 Ponto 2 1 vetor v 4 2 3 Ponto 0 0 0 vetor v 3 0 1 Nos Exercicios 1314 encontre equagoes vetoriais e paramé tricas da retaem R que passa pela origem e é ortogonal a v 4 Ponto 9 3 4 vetor v 1 6 0 1B v23 14 v14 Nos Exercicios 58 use a equacao da reta dada para encontrar um ponto na reta e um vetor paralelo a reta Nos Exercicios 1516 encontre equacdes vetoriais e paramé 5 x5t61 6 y2 474 30 tricas do plano em R que passa pela origem eé ortogonal av 7 x 1046 20 15 v 4 9 5 Sugestdo construa dois vetores nao paralelos ortogonais a vem R x120 5 1 x 051 16 v 3 1 6 Nos Exercicios 912 encontre equag6es vetoriais e paramétri as Nos Exercicios 1720 encontre a solugao geral do sistema cas do plano contendo o ponto e paralelo aos vetores x linear e confirme que os vetores linha da matriz de coeficientes so 9 Ponto 3 1 0 vetores v 0 3 6 e v 5 1 2 ortogonais aos vetores solucio 160 Algebra Linear com Aplicacées 17 x x x0 18 x 3x 4x 0 26 Considere os sistemas lineares 2x 2x 2x0 2x 6x 8x 0 1 2 37 Px 0 3x 3x 3x 0 2 1 4 xo0 19 x 5x2x x 0 1 7 5 Lx 0 xX 2x x 3x 2x0 e 20 x 3x 4x 0 xX 2x 3x 0 1 2 3 Tx 2 21 a A equagdo x y z pode ser vista como um siste 2 4 ieyy 7 ma linear de uma equac4o em trés incdégnitas Expresse 17 5 Ls 1 uma solugao geral dessa equagado como uma solugao a Encontre uma solucfo geral do sistema homogéneo particular somada com uma solugao geral do sistema ho mogéneo associado b Confirme que x 1 x 1 x 1 uma solugao do sistema nao homogéneo b Dé uma interpretagéo geométrica do resultado da parte a c Use os resultados das partes a e b para encontrar uma 22 a A equac4o x y 1 pode ser vista como um sistema solucio geral do sistema nao homogéneo linear de uma equacgdo em duas incégnitas Expresse uma solugio geral dessa equacdo como uma solucio particular d Confira sua resposta na parte c resolvendo diretamente somada com uma solucao geral do sistema homogéneo 0 sistema nao homogéneo associado Nos Exercicios 2728 encontre uma solucao geral do sistema b Dé uma interpretagaéo geométrica do resultado da parte a e use essa solucio para encontrar uma solucio geral do sistema ho 23 a Encontre um sistema linear homogéneo de duas equagées Mogéneo associado e uma solugao particular do sistema dado em trés incégnitas cujo espaco de solucées consista em Xx todos os vetores em R ortogonais aa 11 leb 30401 2 x 3 276 8 2 5 71a 7 2 3 0 x og ete 9 12 3 10 3 13 b O espaco das solugées é que tipo de objeto geométrico X c Encontre uma solucao geral do sistema obtido na parte x a e confirme a validade do Teorema 343 9 3 5 6 x 4 2 24 a Encontre um sistema linear homogéneo de duas equagdes 286 2 3 x 5 em trés incégnitas cujo espaco de solucées consista em 31 3 i444 x 8 todos os vetores em R ortogonais aa 32 le b 0 2 2 Exercicios verdadeirofalso b O espago das solugoes que tipo de objeto geometrico Nas partes af determine se a afirmacéo é verdadeira ou falsa c Encontre uma solucao geral do sistema obtido na parte justificando sua resposta a e confirme a validade do Teorema 343 a A equacao vetorial de uma reta pode ser determinada a partir 25 Considere os sistemas lineares de um ponto qualquer na reta e um vetor nfo nulo paralelo a 3 2 I fx 0 rela 6 4 2x0 b A equacio vetorial de um plano pode ser determinada a partir 3 2 I 0 de um ponto qualquer no plano e um vetor nao nulo paralelo ao plano e c Todos os pontos de uma reta pela origem em R ou R sido 3 5 5 miultiplos escalares de qualquer vetor nao nulo na reta x 6 4 2 4 d Todos os vetores solugdo do sistema linear Ax b sao orto 3 1 2 gonais aos vetores linha da matriz A se e s6 se b 0 30 x e A solucao geral do sistema linear nao homogéneo Ax b a Encontre uma solucfo geral do sistema homogéneo pode ser obtida somando b 4 solucao geral do sistema linear b Confirme que x 1 x 0 x 1 uma solugao do homogéneo Ax 0 sistema nao homogéneo f Sex e x sao duas solugées do sistema linear nao homogéneo c Use os resultados das partes a e b para encontrar uma Ax b entao x x uma solucao do sistema linear homo solucdo geral do sistema nao homogéneo geneo correspondente d Confira sua resposta na parte c resolvendo diretamente o sistema nao homogéneo httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 35 Produto vetorial 161 35 Produto vetorial Nesta seg4o opcional apresentamos as propriedades de vetores no espaco tridimensional que sao importantes para fisicos e engenheiros Esta segado pode ser omitida ja que as demais nao dependem deste contetido Entre outras coisas definimos uma operacgdo que fornece uma maneira de construir um vetor no espaco tridimensional que seja perpendicular a dois dados vetores e damos uma interpretagdo geométrica de determinantes 3 X 3 Na Secao 32 definimos o produto escalar de dois vetores ue v no espacgo de dimens40n Produto vetorial de vetores O resultado daquela operacgao um escalar Agora definiremos um tipo de multiplicagao vetorial que produz um vetor como produto mas que é aplicavel somente a vetores do espaco tridimensional DEFINICAO 1 Seu u U5 U V U V5 V3 forem vetores no espaco tridimen sional entao o produto vetorial u X v é 0 vetor definido por UX V UU3 UV UzV UjV3 UV UV ou em notacao de determinante u Uu u u uy u uxve 23 BY iM 1 Vy V3 Yi V3 My Ve Observacio Em vez de memorizar 1 0 leitor pode obter os componentes de u X v como segue e Forme a matriz v U U de tamanho 2 X 3 cuja primeira linha contenha os componentes de 1 YU U3 ue cuja segunda linha contenha os componentes de v e Para obter o primeiro componente de u X v omita a primeira coluna e tome o determinante para obter o segundo componente omita a segunda coluna e tome 0 negativo do determinante e para obter o terceiro componente omita a terceira coluna e tome o determinante EXEMPLO 1 Calculando um produto vetorial Encontre u X v sendo u 1 2 2e v 3 0 1 Solucao Usando 1 ou o mneménico da observacao precedente temos 2 2 1 2 1 2 uxv 0 1 3 1 3 0 276 O teorema a seguir da algumas relag6es importantes entre os produtos escalar e veto rial e também mostra que u X v é ortogonal a ambos ue v Nota historica A notagdo A x B do produto vetorial foi introduzida pelo fisico e matematico norteame ricano J Willard Gibbs ver pagina 134 numa série de notas de aula para seus alunos na Universidade de Yale Essas notas apareceram publicadas pela primeira vez na segunda edicao do livro Vector Analysis de Edwin Wilson 18791964 um dos alunos de Gibbs Originalmente Gibbs se referia ao produto vetorial com produto torcido 162 Algebra Linear com Aplicacées TEOREMA 351 Relagdes entre os produtos escalar e vetorial Se u v e w forem vetores do espaco tridimensional entdo a uuXv0 u X v é ortogonal a u b uu Xv 0 u X vé ortogonal a y c lu x vil llvI uvy Identidade de Lagrange d uX v X w u wv U VW relacio entre os produtos vetorial e escalar e a X Vv X w U Wv V WU relacio entre os produtos vetorial e escalar Prova a Sejamu u uy U V U U3 Entéo u UX V U4 Uy U3 Uy V3 V3 V2 U3 Vy Uy V3 Uy Vy Uy V U Uy V3 Us Vo Uy Uz V Uy V3 U3 Uy Vy Up v 0 Prova b Andalogaa a Provac Como 2 2 2 2 w x vIP UV U3V2 UV UV3 UV UyV 2 e 2 2 2 2 2 242 2 2 2 Ilull Ivo Ge vy u u uvy v V5 Uv uv W505 3 a prova pode ser concluida desenvolvendo os lados direitos de 2 e 3 e verificando sua igualdade Prova dee Vejao Exercicios 38e39 EXEMPLO 2 ux uéperpendicularaueav Considere os vetores u122 e v0 1 No Exemplo 1 mostramos que u X v 2 7 6 Como uu X v 12 27 26 0 e vu X v 32 O7 16 0 resulta que u X v é ortogonal a ambos ue v conforme garante o Teorema 351 4 Nota historica Joseph Louis Lagrange foi um matematico e astrénomo francoitaliano Embora seu pai quisesse que ele se tornasse um advogado Lagrange foi atraido para a Matematica e para a Astronomia depois de ler um trabalho do astr6nomo Halley Aos 16 anos comecou a estudar Matematica por conta propria e aos 19 foi de signado para um cargo de professor na Escola de Artilharia Real de Turim No ano seguinte ele resolveu alguns TZ problemas famosos usando métodos novos que acabaram florescendo numa area da Matematica chamada Ca j culo das Variacdes Esses métodos e sua aplicagdo a problemas de Mecanica Celeste foram tao monumentais que aos 25 anos Lagrange era considerado por muitos de seus contemporaneos como o maior matematico vivo Um dos trabalhos mais famosos de Lagrange é 0 tratado Mécanique Analytique em que ele reduziu a teoria da Mecanica a umas poucas formulas gerais das quais todas as demais equagées podiam ser deduzidas Um grande 5 admirador de Lagrange foi Napoledo que o cobriu de honrarias Apesar de sua fama Lagrange foi un homem oe timido e modesto Quando morreu foi enterrado com honras no Pantheon a Imagem SSPLThe Image Works Joseph Louis Lagrange 17361813 35 Produto vetorial 163 As principais propriedades aritméticas do produto vetorial estao enumeradas no pro ximo teorema TEOREMA 352 Propriedades do produto vetorial Seu v e w forem quaisquer vetores do espaco tridimensional e a um escalar entao a uXvV X u b u X Vv w u X v u X W c uv X w u X w V X w d au X v au X V u X av e uX00XKu0 ff uXu0 As demonstrag6es seguem imediatamente da Formula 1 e das propriedades dos determi nantes por exemplo a parte a pode ser demonstrada como segue Prova a A troca de u com v em 1 troca as linhas dos trés determinantes no lado direito de 1 e portanto troca o sinal de cada componente do produto vetorial Assim uXvvxXu As provas das demais partes sao deixadas como exercicios Vetores unitarios canénicos Considere os vetores i100 j10 k01 z Cada um desses vetores tem comprimento e esta ao longo dos eixos coordenados Figu ra 351 Conforme vimos na Secio 32 eles sto denominados vetores unitdrios canéni KAO 9D cos do espaco tridimensional Cada vetor v U UV U do espaco tridimensional pode ser expresso em termos de i j ek pois podemos escrever J y V Uj Uz V3 U1 0 0 v0 1 0 v0 0 1 vi ULj Uk 010 i 1 Por exemplo x 1 0 0 2 3 4 2i 3j 4k Figura 351 Os ve tores unitarios canénicos De 1 obtemos 0 0 1 O 1 O 00lk 1xj 5 U Ptr of lo of jo 1 O leitor nao deveria encontrar dificuldades para estabelecer os resultados seguintes ixi0 jxj0 kxk0 ixjk jxki kxij i jxik kxji ixkj A Figura 352 util para lembrar desses resultados Olhando para 0 diagrama vemos que 0 produto vetorial de dois vetores consecutivos tomados no sentido hordrio 0 vetor se k j guinte e o produto vetorial de dois vetores consecutivos tomados no sentido antihorario é o negativo do vetor seguinte Figura 352 164 Algebra Linear com Aplicacées O produto vetorialem Também vale a pena notar que um produto vetorial pode ser representado simbolicamente formato de determinante no formato ij k ur U uy u uy Uu uXvelu wm n ji li c 4 V2 U3 Vi U3 Vi U2 V1 U2 U3 Por exemplo se u 1 2 2 ev 3 0 1 entao ij k uXvl 2 22i7j 6k 3 0 1 o que confere com o resultado obtido no Exemplo 1 ADVERTENCIA Nao é verdade em geral que u X v X w u X v X w Por exemplo ixqGxpixo0 e axj xjkxji de modo que iXGXDAEXDXI uxv A Sabemos do Teorema 351 que u X v é ortogonal a ambos ue v Se ue v forem any vetores nao nulos pode ser mostrado que o sentido de u X v pode ser determinado usando WA gi sta 8 A Ge a regra da m4o direita Figura 353 seja o angulo entre u e v e suponha que u Sseja gi u rado pelo angulo 6 até coincidir com v Se os dedos da mAo direita se fecharem apontando ws oP no sentido dessa rotacdo entao o polegar indica aproximadamente o sentido de u X v re E instrutivo treinar essa regra com os produtos v Figura 353 ixjk jxki kxij Interpretagao geométrica do Se ue v forem vetores no espago tridimensional entéo a norma de u X v tem uma inter produto vetorial pretagao geométrica util A identidade de Lagrange dada no Teorema 351 afirma que 2 2 2 2 lw x vl lull llvile ae v 5 Se 6 denota o Angulo entre ue v entado u v lul v cos 6 de modo que 5 pode ser reescrito como 2 2 2 2 2 lu X vil full iivily lull ivi cos 2 2 2 y lull livid cos 2 2 2 iIv u Ilvl sen 6 Ill sen 6 Como 0 6 7 segue que sen 0 0 e portanto isso pode ser reescrito como 0 u lu X vl lull lvl sen 6 6 full Figura 354 Mas v sen 6 é a altura do paralelogramo determinado por u e v Figura 354 Assim por 6 a drea A desse paralelogramo é dada por A basealtura lul v sen 6 lu X v 35 Produto vetorial 165 Esse resultado também é valido se u e v forem colineares pois nesse caso o paralelogra mo determinado por ue v tera area zero e por 6 teremos u X v 0 j4 que nesse caso 0 0 Assim obtemos 0 teorema seguinte TEOREMA 353 Area de um paralelogramo Se ue v forem vetores do espaco tridimensional entdo u X v é igual a area do para lelogramo determinado por We V Area de um triadngulo Encontre a drea do triangulo determinado pelos pontos P2 2 0 P1 0 2 e P0 4 3 Solucao A Area A do triangulo é 4 da area do paralelogramo determinado pelos vetores P1 0 2 Sw DD ae Px0 4 3 PP e PP Figura 355 Usando o método discutido no Exemplo Ida Seco 31 obte mos PP 3 22e PP 2 2 3 Segue que y PP X PP 105 10 x P2 2 0 verifique e consequentemente que Figura 355 1 1 15 A35PP xX PP50535 DEFINICAO 2 Seu ve w forem vetores do espaco tridimensional dizemos que uv X w é 0 produto misto de u ve w O produto misto de u X u U5 U3 V U Uz U3 W W W W pode ser cal culado a partir da formula Bes uVXWU v 2 7 WwW W UW Isso segue da Formula 4 pois VU U Vv U Vv U voxma a Ell ab tle al W WwW WwW W we WwW UV U vV U Vv U 2 Tu 1 U3 fu 1 Y W W W WwW W WwW Uy Uy Us YY W W UW Calculando um produto misto Calcule 0 produto misto u v X w dos vetores u 3i 2j 5k vi4j4k w3j 2k 166 Algebra Linear com Aplicacées Solugao Por 7 392 5 uvxXw1 4 4 0 3 2 34 4 2 4lacsyt 4 a 2 0 2 0 3 6041549 Observacéo O simbolo u v X w nao faz sentido porque nao podemos formar o produto ve torial de um escalar com um vetor Assim nao ha ambiguidade em escrever u v X w em vez de uv X w No entanto por clareza em geral mantemos os parénteses u Segue de 7 que uv X wWwuX v v w X u e pois os determinantes 3 X 3 que representam esses produtos podem ser obtidos um w v do outro por duas trocas de linhas Verifique Essas relagdes podem ser lembradas movendo os vetores u Vv e w no sentido horario em torno dos vértices do triangulo da Figura 356 Figura 356 Interpretagao geométrica de O préximo teorema fornece uma interpretagéo geométrica util de determinantes 2 X 2 e determinantes 3 X 3 TEOREMA 354 a O valor absoluto do determinante uy u det 7 UV v é igual a Grea do paralelogramo no espaco bidimensional determinado pelos veto res U Uy U5 eV U V Ver Figura 357a b O valor absoluto do determinante U UUs det v Uv 0v WwW W WwW é igual ao volume do paralelepipedo no espaco tridimensional determinado pelos vetores U Uy U Uz V Uy Vy V3 e W W Wz W Ver Figura 357b Provaa Achave para essa prova é usar 0 Teorema 353 Contudo esse teorema é apli cavel a vetores no espaco tridimensional enquanto u u u V U UV Sado vetores do espaco bidimensional Para superar esse problema de dimensao veremos u e Vv como vetores do plano xy de um sistema de coordenadas xyz Figura 357c caso em que esses vetores sao escritos como U UW Uy 0 e V Uj V5 0 Assim ij k ur Uu ur Uu uxvu uw 0 e oer ic Vv OU Vv UU v V 0 1 2 1 2 35 Produto vetorial 167 y Zz z V U2 uy Uy us y Vv u Vv aT v1 0 uy Us Wy Wess x u u x v7 U U5 U3 y x u U5 0 a b c Figura 357 Decorre agora do Teorema 353 e do fato de que k 1 que a 4rea A do paralelogramo determinado por ue v é ur u uy u uy Uu A lu x vl ac K ae kl ace no VU Uv VU v completando a prova Prova b Conforme mostrado na Figura 358 tomamos o paralelogramo determinado por ve wcomo a base do paralelepipedo determinado por u v e w Segue do Teorema vxW 353 que a drea da base é v X wll e conforme ilustrado na Figura 358 a altura h do 0 Aa paralelepipedo é 0 comprimento da projeao ortogonal de u sobre v X w Logo pela For ro mula 12 da Seciio 33 Hl j h liproj ul Ju VX w i projul p vxw Ilv x w Vv hllproi Segue que 0 volume V do paralelepipedo é rei wl Figura 358 Ju v X w V area da base altura v x w u vX w lv X wll e portanto por 7 Uy Uy Us V det v vv 8 Ww Wy Ws completando a prova Observacéo Se V denotar o volume do paralelepipedo determinado pelos vetores u v e w segue das Formulas 7 e 8 que volume do paralelepipedo in determinado poruvew ey 9 Desse resultado e da discuss4o que segue a Definigao 3 da Sec4o 32 podemos concluir que uVvX wV em que os resultados ou dependem de u fazer um Angulo agudo ou obtuso com v X w A Formula 9 leva a um teste util para verificar se trés vetores dados ficam num mesmo plano ou nao Como trés vetores nao coplanares determinam um paralelepipedo 168 Algebra Linear com Aplicacées de volume positivo decorre de 9 que u v X w Ose 86 se os vetores u Ve W estao num mesmo plano Assim temos o resultado seguinte TEOREMA 355 Se os vetores U Uy Uy Uz V Uy Vy U3 Ee W Wy Wy W tiverem 0 mesmo ponto inicial entdo esses vetores sao coplanares Se é SO Se uy UU Us uvXwv v v0 W W W Revisao de conceitos e Calcular o produto misto de trés vetores no espaco e Produto vetorial de dois vetores tridimensional e Produto vetorial em forma de determinante e Conhecer a interpretag4o geométricas do produto misto e Produto misto e Calcular as areas de triangulos e paralelogramos determinados por dois vetores ou trés pontos nos espagos Aptid6es desenvolvidas bi e tridimensional Calcular 0 produto vetorial de dois vetores ue v em R e Usar o produto misto para determinar se trés vetores no e Conhecer as relagdes geométricas entre u X v ue V espago tridimensional sao colineares ou nao e Conhecer as propriedades do produto vetorial listadas no Teorema 352 Conjunto de exercicios 35 Nos Exercicios 12 sejam u 3 2 1 e v 0 2 3 Nos Exercicios 1112 encontre a area do paralelogramo com Em cada parte calcule o vetor indicado os vértices dados 1 a2 VXw b UX VX Ww c UX Vv XW 11 P1 2 P4 4 P7 5 P4 3 2 a u X v X Vv X w b u X v 2w 12 P3 2 P5 4 P9 4 P7 2 c u X v 2w Nos Exercicios 1314 encontre a drea do triangulo com os Nos Exercicios 36 use o produto vetorial para encontrar um vértices dados vetor que seja ortogonal a ue v 13 A 2 0 B 3 4 C1 2 3 u 6 4 2 v 3 15 14 AJ 1 B 2 2 C 3 3 4 u 1 12v 2 12 5 u2 15 v 30 3 Nos Exercicios 1516 encontre a area do triangulo no espaco tridimensional com os vértices dados 6 uG3DvV 042 15 P26 1 P1 1 1 P4 6 2 Nos Exercicios 710 encontre a drea do paralelogramo deter 16 P1 1 2 Q 0 3 4 R 1 8 minado pelos vetores u e v dados 7 u112v 031 Nos Exercicios 1718 encontre o volume do paralelepipedo de arestas u ve w 5 LAW 17 u 2 6 2 v 04 2 w 2 2 4 7 0 230 9 12 2 18 u 3 12 v 45 J w 12 4 10 u 1 1 1 v 2 5 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 35 Produto vetorial 169 Nos Exercicios 1920 determine se u v e w s4o coplanares A desde que posicionados com seus pontos iniciais coincidindo 19 u 1 2 1 v 3 0 2 w 5 4 0 20 u 5 2 1 v 4 1 1 w 1 0 b Figura Ex36 Nos Exercicios 2124 calcule o produto misto u vy x w 37 Em cada parte use 0 resultado do Exercicio 36 para encontrar 21 u20 6 v 1 3 1 w 5 1 1 o volume do tetraedro de vértices P O Re S 22 u 124v G4 2 w 125 a P120 02 13RL 1 I 8G 23 23 u 4 00 v 0 b 0 w 00 b P0 00 1 2 D RG 4 0 1 3 4 24 u 3 1 6 v 24 3 w 6 1 2 38 Prove a parte d do Teorema 351 Sugestdo prove o resul tado primeiro no caso w i 1 0 0 depois no caso w Nos Exercicios 2526 em cada parte calcule a expressdo su j 0 1 0 e por ultimo no caso w k 0 0 1 Final pondo que u v X w 3 mente prove no caso de um vetor arbitrario w W W W 25 a uwXv b VXwu c WuUXv escrevendo w wi wj wk 26 a vuXw b UXwvV Cc V WX Ww 39 Prove a parte e do Teorema 351 Sugestdo aplique a parte 27 a Obtenha a drea do triangulo de vertices A1 0 1 a do Teorema 352 ao resultado da parte d do Teorema BO 2 3e C2 0 1 351 b Use o resultado da parte a para encontrar a altura do 40 Prove vértice C ao lado AB a a parte b do Teorema 352 28 Use o produto vetorial para encontrar o seno do Angulo entre b a parte c do Teorema 352 os vetores u 2 3 6e v 2 3 6 c aparte d do Teorema 352 29 Simplifique u v X u v d aparte e do Teorema 352 30 Sejam a 4 4 a3 b b bp by Cy Cy C3 e aparte f do Teorema 352 d d d d Mostre que a dbXcabXQdbXO Exercicios verdadeirofalso 31 Sejam u ve w vetores nao nulos com 0 mesmo ponto inicial Nas partes af determine se a afirmagao verdadeira ou falsa ae ox justificando sua resposta no espaco tridimensional mas tais que dois quaisquer nao séo colineares Mostre que a O produto vetorial de dois vetores nao nulos ue v um vetor a u X v X w esta no plano determinado por ve w nao nulo se 6 se ue v no forem paralelos b u X v X westé no plano determinado por ue v b Um vetor normal aum plano pode ser obtido tomando 0 pro duto vetorial de dois vetores nao nulos e nao colineares que 32 Em cada parte prove a identidade estdio no plano a Ut kv XvuXxy c O produto misto de u v e w determina um vetor cujo compri b uVvXzUXzZv mento é igual ao volume do paralelepipedo determinado por 33 Prove Sea b c e d estéo num mesmo plano entao uvew a X b X c X d 0 d Se ue v forem vetores do espaco tridimensional entao v X ull 34 Prove Se 6 for o angulo entre ue ve se u v 0 entao igual a area do paralelogramo determinado por u e v tg 0 lu X yu v e Dados vetores u v e w quaisquer do espaco tridimensional 35 Mostre que se u ve w forem vetores em R que nio sao dois a os vetores u X v X weu X Vv X w sao iguais dois colineares entéo u X v X w esta no plano determinado f Seu ve w forem vetores em R com u no nuloe u X v por ve w u X w entéo v w 36 E um teorema da Geometria Sélida que o volume de um tetra edro é dado por area da base altura Use esse resultado para provar que o volume de um tetraedro cujos lados sao os vetores a becé la b X ver figura httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 170 Algebra Linear com Aplicacées Capitulo 3 Exercicios suplementares 1 Sejam u 2 0 4 v 3 1 6 e w 2 5 5 14 Usando os pontos do Exercicio 12 encontre 0 cosseno do an Calcule gulo formado pelos vetores PQ e PR a 3v 2u b lu v whl 15 Encontre a distancia entre o ponto P3 1 3 e o plano c adistancia ente 3uev 5w Sxz3y4 d proju e uv X w 16 Mostre que os planos 3x y 6z 7e 6x 2y 12z1 f Sv w X u vw sao paralelos e encontre a distancia entre eles 2 Repita o Exercicio t 3iSjk a Pt a AETeTr neon os vetores u 31 Sj Nos Exercicios 1722 encontre equac6es vetoriais e paramé v 2i 2kew j 4k 3 Revit artes ad do Exerctcio 1 tricas da reta ou plano dados es a o Exercicio 1 com os vetores a 26 2 1 v 3080ew 9 1 6 6 17 O plano em Rque contém os pontos P2 1 3 6 2 1 ha 0 8 1 6 Q1 1 1 e RG 0 2 Repita as partes ad do Exercicio 1 com os vetores 3 u050 1 2v1 16 20e 18 A ttaem A que conten 0 ponto P 1 6 0 e ortogonal ao w 4 1 4 0 2 Plano Ox E 19 A reta em R que é paralela ao vetor v 8 1 e contém o Nos Exercicios 56 determine se 0 conjunto de vetores dado ponto PO 3 é ortogonal Se for normalize cada vetor para formar um conjunto 20 O plano em R que contém o ponto P2 1 0 e é paralelo ao ortonormal plano 8x 6y z4 5 32 1 19 3 1 5 1 6 2 21 A reta em R de equacgao y 3x 5 6 20 1 1 1 2 5 2 22 O plano em R de equac4o 2x 6y 3z 5 7 a Que tipo de objeto geométrico é 0 conjunto de todos os vetores em R ortogonais a um vetor nao nulo Nos Exercicios 2325 encontre uma equaao pontonormal ate do plano dado b Que tipo de objeto geométrico é 0 conjunto de todos os vetores em R ortogonais a um vetor nao nulo 23 O plano representado pela equacao vetorial c Que tipo de objeto geométrico é o conjunto de todos os y 2 1 56 40 1 3 2 1 0 vetores em R ortogonais a dois vetores nao colineares 24 O plano que contém ponto P5 1 0 e é ortogonal a reta d Que tipo de objeto geométrico é 0 conjunto de todos os de equagoes paramétricas x 3 St y 2rec 7 vetores em R ortogonais a dois vetores nao colineares 25 O plano que passa pelos pontos P9 0 4 Q1 4 3 e 8 Mostre que v 4 Zev 4 34 sao vetores R0 6 2 ortonormais e encontre um terceiro vetor v com o qual o con 26 Suponha que V2 V3 W W2 sejam dois conjuntos de junto v V V ortonormal vetores tais que v w S40 ortogonais com quaisquer iej 9 Verdadeiro ou falso se ue v forem vetores nao nulos tais que Prove que se a1 da 43 b sao escalares quaisquer entao os 2 ie 2 vetores V aV aV aVe W bw bw sao orto lu vil lull lvIl entao u e v sao ortogonais gonais 10 Verdadeiro ou falso se u é ortogonal a v w entao u é orto 2 27 Prove que se dois vetores ue v em R forem ortogonais a um gonalavew 2 we Tes terceiro vetor nao nulo w em R entao ue v sao miultiplos es 11 Considere os pontos P3 1 4 Q6 0 2 e R5 1 1 En calares um do outro come 0 Ponto sem cujo primeiro componente seya 28 Prove que u v ul vi se e s6 se ue v sao vetores tal que PQ seja paralelo a RS paralelos 12 Considere os pontos P3 1 0 6 Q0 5 I 2 29 Se Ae B nao forem ambos nulos entao a equacg4o R4 1 4 0 Encontre 0 ponto Sem R cujo terceiro compo Ax By 0 representa uma reta pela origem em R O que nente seja 6 e tal que PQ seja paralelo a RS representa essa equacao em R se pensarmos nela como sen 13 Usando os pontos do Exercicio 11 encontre 0 cosseno do 4n do Ax By 0z 0 Explique gulo formado pelos vetores PQ e PR CAPÍTULO 4 Espaços Vetoriais Arbitrários CONTEÚDO DO CAPÍTULO 41 Espaços vetoriais reais 171 42 Subespaços 179 43 Independência linear 190 44 Coordenadas e bases 200 45 Dimensão 209 46 Mudança de bases 217 47 Espaço linha espaço coluna e espaço nulo 225 48 Posto nulidade e os espaços matriciais fundamentais 237 49 Transformações matriciais de R n em R m 247 410 Propriedades de transformações matriciais 263 411 A geometria de operadores matriciais de R 2 273 412 Sistemas dinâmicos e cadeias de Markov 282 INTRODUÇÃO Começamos nosso estudo de vetores visualizandoos como segmentos de reta orientados setas Depois estendemos essa ideia introduzindo sistemas de coordenadas retangulares o que nos permitiu ver vetores como pares e ternos ordenados de números reais Ao desenvolver as propriedades desses vetores observamos que em várias fórmulas havia padrões que nos permitiram estender a noção de vetor a ênuplas de números reais Mesmo que as ênuplas nos tenham levado para fora do mundo da experiência visual elas nos deram uma ferramenta valiosa para entender e estudar sistemas de equações lineares Neste capítulo estendemos o conceito de vetor mais uma vez usando as propriedades algébricas mais importantes dos vetores em R n como axiomas Esses axiomas quando satisfeitos por um conjunto de objetos nos permitirão pensar nesses objetos como vetores 41 Espaços vetoriais reais Nesta seção estendemos o conceito de vetor usando as propriedades básicas de vetores em R n como axiomas se esses axiomas forem satisfeitos por algum conjunto de objetos teremos a garantia de que esses objetos se comportam como vetores conhecidos A próxima definição consiste em dez axiomas oito dos quais são propriedades de vetores em R n que foram enunciados no Teorema 311 É importante lembrar que não se demons tra axiomas os axiomas são hipóteses que servem como ponto de partida para provar teoremas Axiomas de espaço vetorial 172 Algebra Linear com Aplicagdes DEFINICAO 1 Seja Vum conjunto nao vazio qualquer de objetos no qual estejam defini das duas operagGes a adigao e a multiplicagao por escalares Por adigaéo entendemos uma regra que associa a cada par de objetos ue vem V um objeto u v denominado soma de ucom Vv por multiplicagao por escalar entendemos uma regra que associa a cada escalar ae cada objeto uem V um objeto au denominado miiltiplo escalar de u por a Se os axio mas seguintes forem satisfeitos por todos os objetos u ve w em Ve quaisquer escalares a e b diremos que V é um espaco vetorial e que os objetos de V sao vetores 1 Se ue v sao objetos em V entéo u v é um objeto em V 2uvvtu 3 utvttwutvw Os escalares de um espaco ve torial podem ser ntimeros reais 4 Existe um objeto 0 em V denominado vetor nulo de V ou vetor zero tal que ou complexos Os espacos ve 0uu 0 u com qualquer uem V toriais com escalares reais sao 5 Dado qualquer u em V existe algum objeto u denominado negativo de u tal ditos espacos vetoriais reais e que u u u u0 aqueles com escalares comple xos sao ditos espacos vetoriais 6 Se a for qualquer escalar e u um objeto em V entéo au é um objeto em V complexos Por enquanto todos 7 au vauav OS nossos espagos vetoriais s4o 8 a bu au bu exclusivamente reais Os espa cos vetoriais complexos serao 9 abu abu considerados mais tarde 10 luu Observe que a definigéo de um espaco vetorial nao especifica nem a natureza dos vetores nem das operag6es Qualquer tipo de objeto pode ser um vetor e as operagdes de adicgao e multiplicagdo por escalar podem no ter relagao alguma com as operag6es usuais em R A tinica exigéncia que os dez axiomas de espaco vetorial sejam satisfeitos Nos exemplos seguintes utilizamos quatro passos basicos para mostrar que um conjunto com duas operagOes é um espaco vetorial Para mostrar que um conjunto com duas operagées é um espaco vetorial Passo 1 Identifique o conjunto V de objetos que serao os vetores Passo 2 Identifique as operagées de adicao e multiplicagdo por escalar Passo 3 Verifique a validade dos Axiomas e 6 ou seja que a soma de dois vetores em V produz um vetor em V e que a multiplicagao de um vetor em V por um es calar também produz um vetor em V O Axioma é denominado fechamento na adicao e o Axioma 6 fechamento no produto escalar Passo 4Confirme que valem os Axiomas 2 3 4 5 7 89 e 10 Ree va Nota historica A nocao de espaco vetorial abstrato evoluiu ao longo Pee a de muitos anos e teve contribuigdes de varias pessoas A ideia crista e lizouse com o trabalho do matematico alemao H G Grassmann que a publicou um artigo cientifico em 1862 no qual considerava sistemas eS j The abstratos de elementos nado especificados com os quais definiu ope S ve ragées formais de adicao e multiplicagao por escalar O trabalho de rn Hy Grassmann levantou controvérsias e alguns inclusive Augustin Cauchy 4 ver pagina 137 questionaram sua originalidade s lmagem Sueddeutsche Zeitung PhotoThe Image Works 64 Hermann Giinther Grassmann 18091877 41 Espacos vetoriais reais 173 Nosso primeiro exemplo é 0 mais simples de todos os espacos vetoriais por conter somente um objeto Como 0 Axioma 4 exige que cada espaco vetorial contenha um vetor zero O objeto devera ser esse vetor O espaco vetorial nulo Seja V um conjunto que consiste num tinico objeto que denotamos 0 e definamos 000 e ad0 com escalares a quaisquer E facil verificar que todos os axiomas de espago vetorial estao satisfeitos Dizemos que esse é 0 espaco vetorial nulo Nosso segundo exemplo é um dos mais importantes espacos vetoriais o conhecido espaco R Nao deveria causar surpresa que as operagGes de R satisfazem os axiomas de espaco vetorial pois esses axiomas tiveram por base as propriedades operacionais conhe cidas de R R é um espaco vetorial Seja V R e defina as operacées de espaco vetorial em V como as operacées conhecidas de adicao e multiplicagao por escalar de énuplas ou seja utv Uy UU Uy 05U0 UU Uy Uy U2U U au du du au O conjunto V R é fechado na adic4o e na multiplicacgao por escalar porque as operagdes que acabamos de definir produzem énuplas e essas operagées satisfazem os Axiomas 2 3 4 5 7 8 9 e 10 por virtude do Teorema 311 4 Nosso pr6ximo exemplo é uma generalizacio de R em que permitimos que os veto res tenham uma infinidade de componentes O espaco vetorial das sequéncias infinitas de numeros reais Seja Vo conjunto de objetos da forma U U UU em que u UU uma sequéncia infinita de nimeros reais Definimos duas se quéncias infinitas como sendo iguais se seus componentes correspondentes forem iguais e definimos a adigdo e a multiplicagao por escalar por UV Uy Uy Uy Uy Uy Uy U Uy Uy Uyu U au du dUy M Deixamos como um exercicio confirmar que com essas operagoes V é um espaco veto rial Denotamos esse espaco vetorial pelo simbolo R 4 No pré6ximo exemplo nossos vetores sao matrizes Inicialmente isso pode parecer um pouco confuso porque matrizes sao compostas por linhas e colunas que por sua vez sao vetores vetores linha e coluna Contudo aqui nao nos interessamos por linhas ou colunas individuais mas sim pela relagdo entre as propriedades das operag6es matriciais e as matrizes como um todo 174 Algebra Linear com Aplicacées Note que a Equagiio 1 envolve O espaco vetorial das matrizes 2 x 2 trés tipos diferentes de opera Seja Vo conjunto de todas as matrizes 2 X 2 com entradas reais e tomemos as operacgdes des a operacéo de adigéo de de espaco vetorial em V como sendo as operagoes usuais de adicao matricial e a multipli vetores a operacao de adicao de cago matricial por escalar ou seja matrizes e a operagao de adicgao de ntimeros reais utv ke i E al i TU Uy 1 Uy gp Vx Uap Uy Uy Ug V99 ke ene ne aua Uy Ug9 Uy AU O conjunto V é fechado na adigdo e na multiplicagao por escalar porque as operacdes matriciais usadas nessa definigao produzem matrizes 2 X 2 como resultado final Assim resta confirmar que valem os Axiomas 2 3 4 5 7 8 9 e 10 Algumas destas sao proprie dades conhecidas de matrizes Por exemplo o Axioma 2 segue do Teorema 14 1a pois u u U UV UV UV u u wevi o o i laveu Uy Udy Ux Un U9 Uap Uy Udy Analogamente os Axiomas 3 7 8 e 9 seguem das partes b h e e respectivamen te daquele teorema verifique Para conferir restam os Axiomas 4 5 e 10 Para confirmar que 0 Axioma 4 esta satisfeito devemos encontrar uma matriz 0 de tamanho 2 X 2 coma qual 0 u u 0 ucom cada matriz 2 X 2 em V Podemos fazer isso tomando 0 0 0 0 0 Com essa definicao 0 0 u u u u ou fn i a 0 0 Uy Ugy Uy Ugo e analogamente u 0 u Para verificar que o Axioma 5 vale devemos mostrar que cada objeto u em V tem um negativo uem V tal queu u 0e u u 0 Isso pode ser feito definindo o negativo de u como u Uu ue i Uy Ugy Com essa definicao u u u u 0 0 we w hi 11 Uy Ugy Uy Ugy 0 0 e analogamente u u 0 Finalmente o Axioma 10 é valido porque u Uu u u w i a Uy Ugo Uy Ugy O espaco vetorial das matrizes m x n O Exemplo 4 é um caso especial de uma classe mais geral de espacos vetoriais O leitor nao deveria encontrar dificuldades em adaptar as argumentacg6es daquele exemplo para mostrar que o conjunto V de todas as matrizes m X n um espaco vetorial com as ope rages usuais de adiao matricial e multiplicagao matricial por escalar Denotamos esse espaco vetorial pelo simbolo M Assim por exemplo 0 espaco vetorial no Exemplo 4 é denotado por M 41 Espacos vetoriais reais 175 O espaco vetorial das fungées reais Seja Vo conjunto das fungoes reais que estao definidas em cada x do intervalo Se f fx e g g x forem duas fungées em Ve se a for um escalar qualquer definimos as operagoes de adicao e multiplicagao por escalar por f g flax g 2 afx afix 3 Uma maneira de pensar nessas operacgoes é interpretar os nimeros fx e gx como com ponentes de f e g no ponto x caso em que as Equagoes 2 e 3 afirmam que duas fungdes sfo somadas somando os componentes correspondentes e que uma fungdo é multiplicada por um escalar multiplicando cada componente por esse escalar exatamente como em Re R Essa ideia esta ilustrada nas partes a e b da Figura 411 O conjunto Vcom essas operagoes denotado pelo simbolo F Podemos provar que isso um espaco vetorial como segue Axiomas 1 e 6 Esses axiomas de fechamento exigem que tomando duas funcées quais quer que estejam definidas em cada x do intervalo a soma e qualquer multiplo escalar dessas fungdes também estarao definidos em cada x do intervalo Isso decorre das Formulas 2 e 3 Axioma 4 Esse axioma exige que exista alguma funcao 0 em F que somada com qualquer outra funcdo f em F produza f de volta como resultado A funcao cujo valor é zero em cada ponto x do intervalo tem essa propriedade Geometricamen t Afico da funcao 0 é a ret incid 1x0 Xx e o grafico da funcao 0 é a reta que coincide com 0 eixo x No Exemplo 6 as funcées estiio Axioma 5 Esse axioma exige que dada qualquer fungdo f em F exista alguma deGinidas ea tod jimicrvailo funcao f em F que somada a funcao f produza a funcgao 0 A fungao definida Contudo os argumen por fx fx tem essa propriedade O grafico de f pode ser obtido refletindo o tos usados naquele exemplo sao grafico de f em torno do eixo x Figura 411c aplicdveis igualmente em todos Axiomas 2 3 7 8 9 10 A validade de cada um desses axiomas segue de propriedades os subintervalos de 2 como algum intervalo fechado dos ntimeros reais Por exemplo se f e g forem fungdes em F entaéo o Axioma 2 fiootfl d a b ou algum intervalo aberto exige que gs ISSO Segue Ce a b Denotaremos os espacos f gx fx gx gx 0 g AX vetoriais das funcdes definidas nesses intervalos por Fa b e em que a primeira e a Ultima igualdades decorrem de 2 e a igualdade central é uma Fa b respectivamente propriedade dos ntimeros reais A prova das demais partes é deixada como exercicio 4 y y y fg g eo OTRO af PT fe x 0 f Se x x a b c Figura 411 E importante reconhecer que nao podemos impor quaisquer duas operacdes em qualquer conjunto V e esperar que os axiomas de espaco vetorial estejam satisfeitos Por exemplo se V for o conjunto das énuplas de componentes positivos e se usarmos as ope ragGes padrao de R entaio V nao é fechado na multiplicagao por escalar porque se u for uma énupla nao nula em V entao 1u tem pelo menos um componente negativo e 176 Algebra Linear com Aplicacées portanto nao esta em V Um exemplo menos obvio 0 seguinte em que somente um dos axiomas de espaco vetorial deixa de valer Um conjunto que nao é um espao vetorial Seja V R e defina as operagoes de adicao e multiplicagado por escalar como segue se U u U V U U defina utvu vu v e se a for um ntimero real qualquer defina au au 0 Por exemplo se u 2 4 v 3 5 e a 7 entao uv 2 345 19 au 7u 72 0 14 0 A adicdo é a operacao de adicdo padraio em R mas a operacio de multiplicacio por es calar nao é Nos exercicios pedimos para 0 leitor mostrar que os nove primeiros axiomas de espaco vetorial estao satisfeitos No entanto existem certos vetores com os quais 0 Axioma 10 falha Por exemplo se u u u for tal que u 0 entao lu 1w u 1 u 0 Y 0 u Assim V nao é um espaco vetorial com as operagGes fornecidas 4 Nosso exemplo final é um espaco vetorial incomum que incluimos para mostrar a variedade permitida pelo conceito de espaco vetorial Como os objetos desse espaco sao numeros reais é importante prestar atendo se a operacao pretendida é a do espago veto rial ou a operacao usual dos nimeros reais Um espaco vetorial incomum Seja Vo conjunto dos ntiimeros reais positivos e defina as operagdes de V por uvu uv A adico vetorial é a multiplicagao numérica au u A multiplicacao por escalar é a exponenciacao numérica Assim por exemplo 1 1e21 1 1 Muito estranho mas mesmo assim o conjunto V com essas operagoes satisfaz os 10 axiomas de espaco vetorial e é por tanto um espaco vetorial Confirmamos os Axiomas 4 5 e 7 deixando os demais como exercicio e Axioma 4 O vetor zero nesse espaco é 0 numero ou seja 0 1 pois uttlulu e Axioma 5 O negativo de um vetor u é seu recfproco ou seja u 1u pois 1 1 uu10 Uu u e Axioma 7 Temos au v uv uv au av 4 Algumas propriedades de O seguinte é 0 nosso primeiro teorema sobre espagos vetoriais arbitrarios Como pode vetores ser observado a prova é muito formal sendo cada passo justificado por algum axioma de 41 Espacos vetoriais reais 177 espaco vetorial ou alguma propriedade conhecida de ntimeros reais Nao havera muitas provas estritamente formais como esta neste texto mas a incluimos para reforgar a ideia de que todas as propriedades conhecidas de vetores podem ser deduzidas dos axiomas de espaco vetorial TEOREMA 411 Sejam V um espaco vetorial u um vetor em V e a um escalar Entdo a Ou0 b a0J0 c Duu d Se au 0 entdoaO0ouu0 Provamos as partes a e c e deixamos a prova das demais partes como exercicios Provaa Podemos escrever Ou 0u00u Axioma 8 Ou Propriedade do nimero 0 Pelo Axioma 5 0 vetor Ou tem um negativo Ou Somando esse negativo a ambos os lados acima resulta Ou Ou Ou Ou Ou ou Ou Ou Ou Ou Ou Axioma 3 Ou00 Axioma 5 Ou0 Axioma 4 Prova c Para mostrar que 1u u devemos mostrar que u 1u 0 Para ver isso observe que ulu1lu1u Axioma 10 11u Axioma 8 Ou Propriedade de nimeros 0 Parte a desse teorema Esta secao do texto é muito importante para o plano geral da Algebra Linear por estabele Uma observacdao final cer um elo comum entre objetos matematicos tao distintos como vetores geométricos ve tores em R sequéncia infinitas matrizes e func6es reais para mencionar alguns poucos Como consequéncia sempre que descobrirmos um novo teorema sobre espacos vetoriais arbitrarios ao mesmo tempo estaremos descobrindo um novo teorema sobre vetores geo métricos vetores em R sequéncia infinitas matrizes e fungdes reais bem como qualquer outros novos tipos de vetores que possamos descobrir Para ilustrar essa ideia considere o que 0 resultado aparentemente inocente dado na parte a do Teorema 411 diz sobre 0 espago vetorial no Exemplo 8 Lembrando que os vetores daquele espacgo sao niimeros reais positivos que a multiplicagao por escalar signi fica exponenciagao numérica e que o vetor nulo é 1 a equagao Ou 0 é uma afirmacao do fato de que se u for um ntimero real positivo entao u1 178 Algebra Linear com Aplicacées Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Espaco vetorial e Determinar se um dado conjunto com duas operagoes é e Fechamento na adicdo um espago vetorial e Fechamento na multiplicacao por escalar e Mostrar que um conjunto com duas operag6es nao é um espaco vetorial provando que pelo menos um dos axiomas e Exemplos de espagos vetoriais falha Conjunto de exercicios 41 1 Seja Vo conjunto de todos os pares ordenados de nimeros 7 Oconjunto de todos os ternos de nimeros reais com a ope reais e considere as operacées de adicAo e multiplicagdo por racgao padrao de adicgo mas com multiplicagdo por escalar escalar definidas em u u u V U U5 por definida por u t v u Uu U2 au 0 au ax y Z ax ay a a Calcule u veau com u 1 2 v 3 4ea 3 8 O conjunto de todas as matrizes 2 X 2 invertiveis com as ope b Explique por que V fechado na adicdo e multiplicacao racgGes matriciais padrao de adic4o e multiplicagao por escalar por escalar 9 O conjunto de todas as matrizes 2 X 2 da forma c Como a adigao de V é a operacio de adicao padrao de R a 0 certos axiomas de espaco vetorial valem para V por vale E rem em R Quais sao esses axiomas d Mostre que valem os Axiomas 7 8 e 9 com as operag6es matriciais padrao de adigao e multiplicacgéo e Mostre que o Axioma 10 falha e que portanto V nao é Por escalar um espaco vetorial com as operagGes dadas 10 O conjunto de todas as fungoes reais f definidas em cada pon 2 Seja Vo conjunto de todos os pares ordenados de nimeros to da reta real tais que f1 0 com as operagoes do Exem reais e considere as operacées de adicAo e multiplicagao por plo 6 escalar definidas em u w u V U V por 11 O conjunto de todos os pares de ntimeros reais da forma 1 x com as operagdes utvuv1uv 1 au au au Lydyyty e alya a Calcule u ve au com u 04 v 1 3ea 2 Ly y Cy y 1 y CL ay b Mostre que 0 0 0 12 Oconjunto de todos os polinédmios da forma a ax com as operagoes c Mostre que 11 0 d Mostre que vale o Axioma 5 fornecendo um par ordenado dq ax by Bix dy bo a Byx u tal que u u 0 comu u u e e Encontre dois axiomas de espaco vetorial que nao sejam ka ax ka kax validos 13 Verifique os Axiomas 3 7 8 e 9 com 0 espago vetorial dado Nos Exercicios 312 determine se 0 conjunto equipado com no Exemplo 4 as operacoes dadas um espago vetorial Para os que nao sao espa 44 Verifique os Axiomas 1 2 3 7 8 9 e 10 com o espaco veto cos vetoriais identifique os axiomas que falham rial dado no Exemplo 6 3 Sane de todos hu lieneno Peas Com as operagoes Pa 15 Com as operacées de adicao e multiplicagao por escalar defi Tao de adigao e multiplicagao nidas no Exemplo 7 mostre que V R satisfaz os Axiomas 4 Oconjunto de todos os pares de ntimeros reais da forma x 0 de 1 até 9 2 com as operagGes padrao de R 16 Verifique os Axiomas 1 2 3 6 8 9 e 10 com 0 espago veto 5 O conjunto de todos os pares de ntimeros reais da forma x y rial dado no Exemplo 8 2 em que x 0 com as operagées padrao de R 17 Mostre que 0 conjunto de todos os pontos em R que estio 6 O conjunto de todas as énuplas de nimeros reais da forma numa reta é um espaco vetorial em relacio As operac6es pa x x x com as operagGes padrao de R drao de adic4o e multiplicacao por escalar se e sé se a reta passa pela origem 42 Subespacos 179 18 Mostre que o conjunto de todos os pontos em R que esto Hipotese sejam u um vetor qualquer num espaco vetorial 0 0 num plano é um espaco vetorial em relagdo as operagGes pa vetor nulo de Ve a um escalar drao de adic4o e multiplicac4o por escalar se e s6 se o plano Conclusdo entio a0 0 assa pela origem P P Prova Nos Exercicios 1921 prove que 0 conjunto com as operacgdes 1 a0 au a0 u dadas é um espaco vetorial 2 au 19 Oconjunto V 0 com as operagoes de adicao e multiplica 3 Como au esta em V au esta em V cao por escalar dadas no Exemplo 1 4 Portanto a0 au au au au 20 O conjunto de todas as seauencias monies de nimeros reals 5 a0 au au au au com as operagées de adigao e multiplicacao por escalar dadas pe pease P 6 a00 no Exemplo 3 7 ad0 21 Oconjunto M de todas as matrizes m X n com as operagées padrao de adicao e multiplicacao por escalar 26 Seja v um vetor qualquer num espaco vetorial Prove que 22 Prove a parte d do Teorema 411 Tv Dy 27 Prove se u for um vetor num espaco vetorial Ve a um escalar 23 O argumento a seguir prova que se u v e w forem vetores num tais que au 0 entao ou a 0 ouu 0 Sugestdo mostre espaco vetorial V tais que u w v w entao u v a lei que se au 0ea O entao u 0 O resultado segue entao de cancelamento para a adicao vetorial Conforme exemplifi a ee tare como uma consequéncia légica cado justifique ao passos dados preenchendo as lacunas uwvw Hipétese Exercicios verdadeirofalso u w w vww Somar wa ambos lados Nas partes ae determine se a afirmacdo é verdadeira ou falsa u w w vw w justificando sua resposta u0v0 a Um vetor é um segmento de reta orientado seta uv b Um vetor é uma énupla de ntimeros reais 24 Seja v um vetor qualquer num espaco vetorial Prove que c Um vetor é um elemento qualquer num espao vetorial Ov 0 d Existe um espaco vetorial consistindo em exatamente 25 O argumento a seguir prova em sete passos a parte b do Teo dois vetores distintos rema 411 Justifique cada passo afirmando que é verdadeiro e Oconjunto de polindmios de grau exatamente 1 é um es por hipotese ou especificando qual dos dez axiomas de espaco paco vetorial com as operacGes definidas no Exemplo 12 vetorial é aplicavel 42 Subespacos E possivel para um espaco vetorial estar contido num outro espaco vetorial Nesta seciio discutimos como reconhecer tais espacos vetoriais e apresentamos uma variedade de exemplos que serao utilizados mais adiante Comegamos com alguma terminologia DEFINICAQ 1 Um subconjunto W de um espago vetorial V é denominado subespaco de V se W for um espago vetorial por si s6 com as operacgoes de adicdo e multiplicagao por escalar definidas em V Em geral devemos verificar os dez axiomas de espaco vetorial para mostrar que um conjunto W com duas operagées forma um espaco vetorial No entanto se W for parte de um espaco vetorial V conhecido entao certos axiomas nao precisam ser verificados pois eles sao herdados de V Por exemplo ndo é necessario conferir que u v v u vale em W pois isso vale para todos os vetores de V inclusive os de W Por outro lado é ne 180 Algebra Linear com Aplicacées cessario verificar que W é fechado na adicao e multiplicagdo por escalar j4 que possivel que a soma de dois vetores em W ou a multiplicagaéo de um vetor em W por algum escalar produza um vetor em V que esteja fora de W Figura 421 uv V7 x Figura 421 Os vetores u e v estao em W mas os vetores u ve au nao estao Os axiomas que nao sao herdados por W sao Axioma Fechamento na adicao Axioma 4 Existéncia de vetor zero em W Axioma 5 Existéncia de negativo em W para cada vetor em W Axioma 6 Fechamento na multiplicagao por escalar de modo que esses devem ser verificados para provar que W é um subespaco de V Contu do segue do teorema seguinte que se os Axiomas e 6 valerem em W entao os Axiomas 4e5 valem em W como uma consequéncia e portanto nao precisam ser verificados TEOREMA 421 Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaco vetorial V entdo W é um subespaco de V se e sé se as condigées seguintes forem vdlidas a Se ue v forem vetores em W entdo u V esta em W b Sea for um escalar qualquer e wu algum vetor de W entdo au esta em W Prova Se Wfor um subespaco de V entao todos os axiomas de espaco vetorial sao satis feitos inclusive os Axiomas e 6 que sao exatamente as condig6es a e b Reciprocamente suponha que valham as condicées a e b Como estas sao os Em palavras 0 Teorema 421 Axiomas e 6 e como os Axiomas 2 3 7 8 9 e 10 sao herdados de V basta mostrar que afirma que W é um subespaco a POCO oa ioc ent os Axiomas 4 e 5 valem em W Para isso seja u um vetor qualquer em W Da condigao b adicgio e na multiplicacao por segue que dado qualquer escalar a o vetor au esta em W Em particular Ou 0 e 1u escalar uestao em W mostrando que os Axiomas 4e5 valememW O subespaco zero Se V for um espaco vetorial qualquer e se W 0 for 0 subespaco de V que consiste Observe que cada espaco veto pag d 2 d ae P s 4 2 somente no vetor nulo entao W é fechado na adicao e na multiplicagao por escalar ja que rial tem pelo menos dois subes pacos ele mesmo e seu subespa 000 e ad0 co nulo com qualquer escalar a Dizemos que W é 0 subespaco zero ou nulo de V Retas pela origem sdo subespacos em R e R Se W for uma reta pela origem de R ou R entdo a soma de dois vetores na reta W ou a multiplicagao de um vetor na reta W por algum escalar produz um outro vetor na reta W de modo que W é fechado na adicao e na multiplicacao por escalar ver Figura 422 para uma ilustragéo em R 42 Subespacos 181 W W utv au v u u a Wé fechado na adicao b Wé fechado na multiplicacgao Figura 422 por escalar Planos pela origem sao subespacos de R Se ue v forem vetores num plano W pela origem de R entio é geometricamente evidente wey que u ve au também estarao nesse mesmo plano W com qualquer escalar a Figura 7 eee 423 Assim W é fechado na adigao e na multiplicagao por escalar os u A Tabela seguinte da uma lista de subespacos de ReR que encontramos até aqui Adiante veremos que esses sao os tinicos subespagos de ReR W Figura 423 Ambos os Tabela 1 vetores u ve au estdo no Subespacos de R Subespacos de R mesmo plano de ue v 0 0 e Retas pela origem e Retas pela origem eR e Planos pela origem e R Um subconjunto de R que nao é um subespaco Seja W o conjunto de todos os pontos x y em R tais que x Oe y 0 a regiao des y tacada na Figura 424 Esse conjunto nao é um subespaco de R pois nao é fechado Ww 1 na multiplicagao por escalar Por exemplo v 1 1 um vetor em W mas 1v 1 1 nao é x Subespacos de MV Pelo Teorema 172 sabemos que a soma de duas matrizes n X n simétricas é simétrica e C1 1 que um miultiplo escalar de uma matriz n X n simétrica é simétrica Assim 0 conjunto de Figura 424 Wnaoé todas as matrizes simetricas nx neum subespago de Mn Analogamente o conjunto das gachado na multiplicagao por matrizes triangulares superiores triangulares inferiores e diagonais sao subespagos de M agcalar Um subespaco de M que nao é um subespaco O conjunto das matrizes n X n invertiveis nado um subespao de M falhando duas vezes por nao ser fechado na adiao nem na multiplicagao por escalar lustramos isso com um exemplo em M que pode ser adaptado facilmente a M Considere as matrizes 1 2 1 2 U e V 2 5 2 5 A matriz OU é a matriz 2 X 2 nulae portanto nao é invertivel e a matriz U Vtem uma coluna de zeros portanto tampouco é invertivel 182 Algebra Linear com Aplicacées REQUER CALCULO O subespaco C Existe um teorema no Calculo que afirma que a soma de fung6es continuas continua e que uma constante vezes uma fungao continua é continua Enunciado na linguagem de espacos vetoriais o conjunto das fungdes continuas em é um subespaco de F Denotamos esse subespago por C REQUER CALCULO Fungdes com derivada continua Dizemos que uma funa4o com derivada continua continuamente derivdvel Existe um teorema no CAalculo que afirma que a soma de duas fung6es continuamente derivaveis é continuamente derivavel e que uma constante vezes uma fungao continuamente deriva vel continuamente derivavel Assim as fungdes que sao continuamente derivaveis em formam um subespaco de F Denotamos esse espaco por C 00 sendo que o expoente enfatiza que a primeira derivada é continua Levando isso um passo adiante o conjunto das fungdes com derivadas até ordem m continuas em é um subespago de F bem como é um subespaco 0 conjunto das fungdes com deri vadas de todas as ordens continuas em Denotamos esses espacos por C e C respectivamente O subespaco de todos os polinédmios Lembre que um polin6émio é uma fungado que pode ser expressa na forma PX a taxt 4 1 com dp a a constantes E evidente que a soma de dois polinémios é um polinémio e que uma constante vezes um polindmio é um polindmio Assim o conjunto de todos os polinédmios é fechado na adicao e na multiplicacao por escalar e é portanto um subespa Neste texto consideramos todas ne eo nenel co de F Denotamos esse espaco por P ndmios de grau zero Observe no entanto que alguns autores nao associam um grau a cons O subespaco dos polinédmios de grau n tante 0 Ae As Lembre que o grau de um polindmio é a maior poténcia da variavel que ocorre com coe ficiente nao nulo Assim por exemplo se a 0 na Formula 1 esse polindmio tem grau n Nao é verdade que 0 conjunto dos polinémios de grau positivo n seja um subespaco de F porque esse conjunto nao é fechado na adiao Por exemplo ambos os polinémios 12x3x 57x3x tém grau 2 mas sua soma tem grau No entanto o que é verdade é que fixado qualquer inteiro nao negativo n os polindmios de grau menor do que ou igual an formam um subespago de F que denotamos por P 4 A hierarquia de espacos de Provase em Calculo que os polindmios sao fungdes continuas que tém derivadas con funcédes tinuas de todas as ordens em Assim segue que P um subespago nao s6 de F como observamos no Exemplo 9 mas também um subespaco de C Deixamos para 0 leitor verificar que os espacos vetoriais discutidos nos Exemplos 7 a 10 estao aninhados um no outro conforme ilustrado na Figura 425 Observacao Nos nossos exemplos anteriores e conforme ilustrado na Figura 425 consideramos somente fungées definidas em todos os pontos do intervalo As vezes queremos considerar fungGes que estao definidas somente em algum subintervalo de digamos o intervalo fe chado a b ou o intervalo aberto a b Nesses casos adaptamos a notag4o correspondentemente Por exemplo Ca b é 0 espaco das fungées continuas de a b e Ca b 0 espaco das fungdes continuas de a b 42 Subespacos 183 C20 2 CKco 00 C Figura 425 LC O teorema a seguir fornece uma maneira Util de criar novos subespacos a partir de subes Construindo subespacos pacos conhecidos TEOREMA 422 SeWW W forem subespacos de um espaco vetorial V entdo a intersecdo desses subespacos também sera um subespaco de V Prova Seja Wa intersecao dos subespacos W W W Esse conjunto nao é vazio por que como cada um desses subespacos contém o vetor nulo de V também sua intersecao tem o vetor nulo Assim falta mostrar que W é fechado na adicao e na multiplicagao por escalar Para provar o fechamento na adic4o sejam u e v vetores em W Como W a interse i Observe que 0 primeiro passo na cao de W W W segue que u e v também estado em cada um desses subespacos x C b re fechad dica d A demonstragaéo do Teorema 422 omo esses su espagos sao ec ados na adicdo todos contém 0 vetor u Vv e portanto foi estabelecer que W continha sua intersegao W tambem contém esse vetor Isso prova que W é fechado na adicao Dei pelo menos um vetor Isso é xamos para 0 leitor provar que W é fechado na multiplicagao por escalar 4 importante pois caso contrario toda a argumentagao subsequen A te poderia estar logicamente cor As vezes queremos encontrar o menor subespago de um espaco vetorial V que conte aa 2 reta mas desprovida de sentido nha todos os vetores de algum conjunto que nos interesse Para conseguir isso é convenien te apresentar a seguinte definicdo que é uma generalizagao da Definigao 4 da Secao 31 DEFINICAO 2 Dizemos que um vetor w num espaco vetorial V é uma combinacdéo linear dos vetores V V Vem V se w puder ser expresso na forma W4V1 av ay 2 em que a a a sao escalares Esses escalares sio denominados coeficientes da combinacao linear ee s Se r 1 entaéo a Formula 2 tem a forma w av caso em que a combinacao linear é s6 um TEOREMA 423 Seja S w WW um conjunto ndo vazio de vetores num multiplo escalar de y espaco vetorial V a O conjunto W de todas as combinacées lineares possiveis de vetores em S é um subespaco de V b O conjunto W da parte a é 0 menor subespaco de V que contém todos os ve tores de S no sentido de que qualquer outro subespaco de V que contenha todos aqueles vetores contém W Prova a Seja Wo conjunto de todas as combinag6es lineares possiveis de vetores em S Devemos mostrar que W é fechado na adicao e na multiplicagao por escalar Para provar o fechamento na adicAo sejam ucw cowcw e Vkw kw kw 184 Algebra Linear com Aplicacées dois vetores em W Segue que sua soma pode ser escrita como uvc kw c kw c kw que uma combinacAo linear dos vetores em W Assim W é fechado na adicao Deixamos para o leitor provar que W também é fechado na multiplicagao por escalar sendo portan to um subespaco de V Prova b Seja W um subespaco qualquer de V que contenha os vetores em S Como W é fechado na adigdo e na multiplicac4o por escalar contém todas as combinacgées lineares de vetores em Se portanto contém W A definigo seguinte da a notag4o e a terminologia relevantes relacionadas ao Teo rema 423 DEFINICAO 3 Dizemos que 0 subespaco de um espago vetorial V que é formado com todas as combinac6es lineares possiveis de vetores de um conjunto nao vazio S é gerado por S e dizemos que os vetores em S geram esse subespaco Se S W WW denotamos o gerado de S por gerWWW ou gerS Os vetores unitarios canénicos geram R Lembre que os vetores unitarios candnicos em R sao e 1000 e 0100 e 001 Esses vetores geram R pois cada vetor v U UU em R pode ser expresso como Vve Ue Ue que é uma combinacAo linear de e e e Assim por exemplo os vetores i00 j010 k 00 1 geram R pois cada vetor v a b c nesse espaco pode ser expresso como v ab c al 0 0 BO 1 0 c0 0 1 ai Dj ck Uma visio geométrica de espaco gerado em R e R a Se v for um vetor nao nulo em R ou R com ponto inicial na origem entao gerv que é 0 conjunto de todos os miultiplos escalares de v a reta pela origem determina Nota historica Os termos linearmente independente e linearmente de pendente foram introduzidos por Maxime Bécher ver pagina 7 em seu livro Introduction to Higher Algebra publicado em 1907 O termo com binacao linear é devido ao matematico norteamericano G W Hill que o we RB introduziu num artigo cientifico sobre movimento planetario publicado em 1900 Hill foi um eremita que preferia trabalhar em sua casa em West Se Nyack no estado de Nova York em vez do ambiente académico embora gs gi tenha tentado por alguns anos lecionar na Columbia University E inte nb ressante saber que aparentemente ele devolveu seu salario de professor a indicando que nao precisava do dinheiro e nado queria ser incomodado cuidando dele Embora tenha sido tecnicamente um matematico Hill mostrava pouco interesse nos modernos desenvolvimentos dos matema ticos e trabalhou quase que totalmente na teoria das orbitas planetarias George William Hill lmagem Cortesia da American Mathematical Society 18381914 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 42 Subespacos 185 da por v Isso pode ser visualizado na Figura 426a observando que o ponto final do vetor kv pode ser feito coincidir com qualquer ponto da reta escolhendo o valor de k de maneira apropriada b Se v e v forem vetores nao nulos em R com pontos iniciais na origem entio gerv V que consiste em todas as combinac6es lineares de v e v5 o plano pela origem determinado por esses dois vetores Isso pode ser visualizado na Figura 426b observando que o ponto final do vetor kv kv pode ser feito coincidir com qualquer ponto do plano ajustando apropriadamente os escalares k e k para encom pridar encurtar ou reverter o sentido dos vetores kv e kv z z gerv gerv v kv kv ky kv 37 fi v V2 y v ky y ao x x Jf a Gerv é a reta pela origem b Gerfv v 0 plano pela origem Figura 426 determinada por v determinado por Vv e Y Um conjunto gerador para P Os polindmios 1 x Xi x geram o espaco vetorial P definido no Exemplo 10 pois cada polindmio p em P pode ser escrito como pataxta que é uma combinagaAo linear de 1 x x X Podemos denotar isso escrevendo P gerlxxx Os dois exemplos seguintes se referem a dois tipos de problema importantes e Dado um conjunto S de vetores em R e um vetor v em R determine se v uma com binagdo linear de vetores de S e Dado um conjunto S de vetores em R determine se os vetores geram R Combinago6es lineares Considere os vetores u 1 2 1 e v 6 4 2 Mostre que w 9 2 7 uma combinagao linear de ue v e que w 4 1 8 ndo é uma combinacAo linear de u ev Solucao Para que w seja uma combinacao linear de u e v devem existir escalares k e k tais que w ku kv ou seja 9 27 kU 2 1 k6 4 2 ou 9 2 7 k 6k 2k 4k k 2k 186 Algebra Linear com Aplicacées Igualando componentes correspondentes obtemos k 6k 9 2k 4k 2 k2k7 Resolvendo esse sistema com eliminagao gaussiana obtemos k 3 k 2 de modo que w 3u 2v Analogamente para que w seja uma combinacAo linear de u e v devem existir esca lares k ek tais que w ku kv ou seja 4 1 8 k 21 k6 4 2 ou 4 1 8 k 6k 2k 4k k 2k Igualando componentes correspondentes obtemos k 60k 4 2k 4k 1 k 2k 8 Esse sistema de equacgoes é inconsistente verifique de modo que nao existem tais esca lares k e k Consequentemente w nao é uma combinagao linear de ue v Testando o gerado Determine se v 1 1 2 v 1 0 1 e v 2 1 3 geram 0 espaco vetorial R Solucdo Devemos determinar se um vetor arbitrario b b b b em R pode ser expresso como uma combinagao linear bkv ky kv dos vetores v V V Escrevendo essa equacgao em termos dos componentes temos b 6 b k 12 k 0 1 2 1 3 ou b by bs k ky 2k ky ky 2k k 3k ou k k 2k b k kb 2k k 3k b Assim nosso problema se reduz a determinar se esse sistema é consistente para quaisquer valores de b b e b Uma maneira de verificar isso usar as partes e e g do Teorema 238 que afirma que o sistema é consistente se e s6 se sua matriz de coeficientes 1 1 2 A1 0 1 2 1 3 tem um determinante nao nulo Mas isso ndo ocorre deixamos para 0 leitor confirmar que detA 0 de modo que v v e v ndo geram R 42 Subespacos 187 As solugées de um sistema linear homogéneo Ax 0 de m equagées em n incégnitas po Espacos de solugédes de dem ser vistas como vetores em R O teorema a seguir fornece uma visdo Util daestrutura sistemas homogéneos geométrica do conjunto de solug6es TEOREMA 424 As solucées de um sistema linear homogéneo Ax 0 em n incégni tas é um subespaco de R Prova Seja Wo conjunto de solugdes do sistema O conjunto W nao é vazio porque contém pelo menos a solugao trivial x 0 Para mostrar que W é um subespaco de R precisamos mostrar que fechado na adi ao e na multiplicaao por escalar Para isso sejam x e x dois vetores em W Como esses vetores sao solucgées de Ax 0 temos Ax0 e Ax0 Segue dessas equacoes e da propriedade distributiva da multiplicagao matricial que Como o conjunto das solugées Ax x Ax Ax 000 de um sistema homogéneo em oo n incdgnitas realmente é um de modo que W é fechado na adicao Analogamente se k for um escalar qualquer entao subespaco de R é costume di Akx kAx k0 0 Zer que esse conjunto é 0 espaco solucdao do sistema de modo que W é fechado na multiplicacao por escalar Espacos solucao de sistemas homogéneos Considere os sistemas lineares 1 2 3 x 0 1 2 3 x 0 a2 4 6y0 b 3 7 8y0 36 9 z 0 2 4 6z 0 1 2 3 x 0 0 0 O x 0 c 3 7 8y10 dy 0 0 Oy0 4 1 2 z 0 0 0 0 Lz 0 Soluado a Deixamos para o leitor verificar que as solug6es sao x2s3t ys zt do que segue que x2y3z ou x2y3z0 Essa é a equacdo de um plano pela origem com vetor normal n 12 3 b Deixamos para o leitor verificar que as solugdes sao xSt yt zt que sao equacées paramétricas da reta pela origem paralela ao vetor v 5 1 1 c Deixamos para o leitor verificar que a unica solucao é x 0 y 0 z 0 de modo que 0 espaco solugao é 0 d Esse sistema linear é satisfeito por quaisquer valores reais de x y e z de modo que o espaco solucao é todo o R 188 Algebra Linear com Aplicacées Observacao Enquanto o conjunto das solugoes de cada sistema homogéneo de m equag6es em n inc6gnitas um subespaco de R nunca verdade que 0 conjunto das solugdes de um sistema ndo homogéneo de m equacdes em n inc6gnitas seja um subespaco de R Ha dois cendrios possiveis primeiro o sistema pode n4o ter quaisquer solugGes e segundo se houver solucées entao o con junto de solugées nao sera fechado nem na adigao nem na multiplicaao por escalar Exercicio 18 Observacao final E importante reconhecer que os conjuntos geradores nao sao tinicos Por exemplo qual quer vetor nao nulo na reta da Figura 426a gera aquela reta e quaisquer dois vetores nao colineares no plano da Figura 426b geram aquele plano O pr6ximo teorema cuja prova é deixada como exercicio enuncia condig6es sob as quais dois conjuntos de vetores geram 0 mesmo espaco TEOREMA 425 Se S vV5V eS W W W Sao conjuntos nao vazios de vetores num espaco vetorial V entao gervVV gerw W W se e 86 se cada vetor em S é uma combinacao linear dos vetores em S e cada vetor em S é uma combinacdao linear dos vetores em S Revisao de conceitos e Mostrar que um subconjunto de um espago vetorial é um e Subespaco subespaco e Subespaco nulo e Mostrar que um subconjunto no vazio de um espago vetorial nao é um subespacgo demonstrando que o e Exemplos de subespacos 2 os xg ae conjunto nao é fechado na adiao ou nao é fechado na Combinagao linear multiplicacao por escalar e Gerado e Dado um conjunto S de vetores em R e um vetor v em R e Espaco solugao determinar se v é uma combinagAo linear dos vetores em S a e Dado um conjunto S de vetores em R determinar se os Aptiddes desenvolvidas vetores em S geram R Determinar se um subconjunto de um espaco vetorial e Determinar se dois conjuntos nao vazios de vetores num um subespaco espaco vetorial V geram 0 mesmo subespaco de V Conjunto de exercicios 42 1 Use 0 Teorema 421 para determinar quais dos seguintes sao b Oconjunto de todas as matrizes A de tamanho n X n tais subespacos de R que detA 0 a Todos os vetores da forma a 0 0 c Oconjunto de todas as matrizes A de tamanho n X n tais J b Todos os vetores da forma a 1 1 que trA 0 c Todos os vetores da forma a bc comb ac d Oconjunto de todas as matrizes n X n simétricas d Todos os vetores da forma a bc comb attc1 e Oconjunto de todas as matrizes A de tamanho n X n tais 5c 4 ue A A e Todos os vetores da forma a b 0 4 O junto de tod trizes A de t hon X 2 Use o Teorema 421 para determinar quais dos seguintes sao congunte oe as as me nes samanho mm com as quais Ax 0 s6 tem a solucao trivial subespagos de M a O conjunto de todas as matrizes a 0 0 diagonais g O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n X n tais J 7 8 que AB BA com alguma matriz B fixada 42 Subespacos 189 3 Use o Teorema 421 para determinar quais dos seguintes sao c O d 7 8x9x subespagos de P 11 Em cada parte determine se os vetores dados geram R s Ae 2 3 a joao polinédmios a ax ax ax com a v 22 2 v 0 0 3 v 0 1 1 ck vc polinomioea haw tas han b v 2 13 4 12 v 818 b Todos os po Inomios dy ax ax ax com v14v 235 v 5 2 9 a aaa0 v 14 1 c Todos os polinémios da forma Ay ax ax ax d v 126 34 D vy 43 D em que dp a a S40 inteiros v31 ae 4 Wa vs d Todos Os polinomios da forma a ax em que a ea 12 Sejam v 2 1 03 v 315 2ev 102 1 sao numeros reais Em cada parte decida se 0 vetor esta em gerV V5 V3 4 Quais dos seguintes s4o subespacos de FC 00 a 23 73 b 00 00 a Todas as fungdes fem FC ras que f0 0 c G 11 1 d 4 6 13 4 b Todas as fungoes fem F tais que f0 1 13 Determine se os polindmios dados geram P c Todas as fungdes fem F tais que fx f x 2 d Todos os polin6émios de grau 2 p loxt ax Pp 3 x 5 5 Quais dos seguintes sio subespacos de R Py Sx 40 py 2 2x 2x a Todas as sequéncias v em R da forma 14 Sejam f cos xe g sen x Quais dos seguintes esto no v v 0 v 0v0 espaco gerado por f e g b Todas as sequéncias v em R da forma a cos 2x b 34x c 1 d sen x e 0 vv1v Lv 1 15 Determine se 0 espaco solugao do sistema Ax 0 é uma reta c Todas as sequéncias v em R da forma pela origem um plano pela origem ou somente a origem Se v v 2u 40 8u 16v for um plano obtenha uma equacio desse plano se for uma d Todas as sequéncias em R cujos componentes sao nulos reta obtenha equagGes paramétricas dessa reta a partir de algum ponto 1 1 1 2 3 6 Uma reta L pela origem em R pode ser representada por a A 31 0 b A 3 6 9 equacGes paramétricas da forma x at y bt ez ct Use 2 4 5 2 4 6 essas equacOes para mostrar que L é um subespaco de R mostrando que se v y Z Vy yx Z forem pon 12 3 1 2 6 tos em Le k for um numero real qualquer entao kv e v v A2 5 3 d A 1 4 4 também sao pontos em L 108 3 10 6 7 Quais dos seguintes sao combinagées lineares de u 0 22ev 1 3 1 1 l 1 1 3 1 a 22 2 b 3 15 A2 1 4 A2 6 2 c 045 d 00 0 3 obou 3 9 3 8 Expresse os seguintes como combinagoes lineares de 16 Requer Calculo Mostre que os seguintes conjuntos de fun u 2 1 4 v 1 1 3 e w 3 2 5 des so subespacos de F a 9 7 15 b 6 11 6 a Todas as fungdes continuas em c 0 0 0 d 7 89 b Todas as fungées derivaveis em 9 Quais dos seguintes sao combinagées lineares de c Todas as funcées derivaveis em que satisfazem 4 0 11 0 2 f 2f 0 A 2 2 B 2 3 C 1 4 2 17 Requer Calculo Mostre que 0 conjunto das fungoes f f x continuas em a b tais que 6 8 0 0 b a lt 3 b E 0 fx dx 0 a c 6 0 d I 5 é um subespaco de Ca b 3 8 7 1 x A 18 Mostre que os vetores solucao de um sistema nao homogéneo 10 Em cada parte expresse 0 vetor como uma combinagao linear e consistente de m equac6es lineares em n incégnitas nao for dep 2x 4x p 1x3xve p342x 5x mam um subespaco de R a 9 7x 15x b 6 lx 6x 19 Prove o Teorema 425 190 Algebra Linear com Aplicacées 20 Use o Teorema 425 para mostrar que os vetores v 1 6 4 e Oconjunto das solugées de um sistema linear consistente Ax v 24 1 v 1 25 w 1 2 Se b de m equac6es em n incégnitas um subespaco de R 3 w 0 8 9 geram 0 mesmo subespago de R f O gerado de qualquer conjunto finito de vetores em um espa 0 vetorial é fechado na adicdo e na multiplicacao por escalar Exercicios verdadeirofalso s s pmeagaeP 4 g A intersecgdo de dois subespacos quaisquer de um espaco ve Nas partes ak determine se a afirmacAo é verdadeira ou falsa Z torial V é um subespaco vetorial de V justificando sua resposta a4 h A uniao de dois subespacos quaisquer de um espaco vetorial a Cada subespaco de um espago vetorial é ele mesmo um es P V éum subespago vetorial de V paco vetorial a 1 Dois subconjuntos de um espago vetorial V que geram 0 mes b Cada espago vetorial é um subespaco de si mesmo mo subespaco de V devem ser iguais c Cada subconjunto de um espago vetorial V que contenha 0 j Oconjunto de matrizes n X n triangulares superiores é um vetor zero de V é um subespaco de V b d ial de tod x subespaco do espaco vetorial de todas as matrizes n X n d Oconjunto R é um subespago de R k Os polinémios x 1 x 1 ex 1 geram P 43 Independéncia linear Nesta seao consideramos o problema de decidir se os vetores de um dado conjunto estao interrelacionados no sentido de que um deles ou mais pode ser expresso como uma combinacao linear dos outros Isso é importante nas aplicagdes porque a existéncia de tais relagdes muitas vezes indica que podem ocorrer certos tipos de complicag6es Vetores irrelevantes Num sistema de coordenadas retangulares xy cada vetor no plano pode ser expresso de exatamente uma maneira como combinagaéo linear dos vetores unitarios candnicos Por exemplo a tinica maneira de escrever 0 vetor 3 2 como uma combinag4o linear de y i 10ej 0 Dé 3 2 31 0 20 1 31 2j 1 bs 909 3 2 31 0 20 1 j 1 oD Figura 431 Entretanto vejamos 0 que ocorre se introduzirmos um terceiro eixo coor J denado que faz um angulo de 45 com o eixo x Denotemos esse eixo por w Conforme J x ilustrado na Figura 432 o vetor unitario ao longo do eixo w é i 3 Figura 431 igura 43 w v2 V2 y Enquanto a Formula 1 mostra a Gnica maneira de escrever o vetor 3 2 como uma com binagao linear de i e j ha uma infinidade de maneiras de escrever esse vetor como uma combinac4o linear de i j e w Trés possibilidades sao 3 2 31 0 200 0J 5 3i 2 0 a 9 Jl J Ww Ah 02 VE 1 J2 J2 1 1 3 2 21 0 0 b 3 3ijV2w Figura 432 V2 2 1 1 3 2 41 0 30 1 V3 41 3j V2w J2 2 Resumindo ao introduzir um eixo supérfluo criamos a complicacao de ter muiltiplas ma neiras de associar coordenadas aos pontos do plano O que torna 0 vetor w supérfluo é 0 fato de que ele pode ser expresso como uma combinagao linear dos vetores i e j a saber 1 1 1 4 1 w i j V2 V2 V2 V2 43 Independéncia linear 191 Assim uma das nossas tarefas nesta segao é desenvolver maneiras de descobrir se um vetor de um conjunto S é uma combinagao linear dos demais vetores em S DEFINICAO 1 Se S V V Vv for um conjunto nao vazio de vetores num Independéncia e espaco vetorial V entao a equacao vetorial dependéncia linear kv khvkyv0 tem uma solucgao pelo menos a saber k0 k0 k0 4 2 r Muitas vezes utilizamos os ter Dizemos que essa a solucao trivial Se essa for a nica solugao dizemos que S é um mos linearmente independente e conjunto linearmente independente Se existem outras solugées além da trivial dize dependente com os préprios ve mos que S é um conjunto linearmente dependente tores em vez do conjunto Independéncia linear dos vetores unitarios canénicos em R O conjunto linearmente independente mais bdsico de R 0 conjunto dos vetores unitdrios candnicos e 1000 e 0100 e000 1 Para simplificar a notagdo provemos a independéncia linear em R de i100 j10 k01 A dependéncia ou independéncia linear desses vetores é determinada pela existéncia ou nao de solugGes nfo triviais da equacao vetorial kit kj kk 0 2 Em termos de componentes essa equacao é k k k 0 0 0 de modo que k k k 0 Isso implica que 2 s6 tem a solugao trivial e que portan to os vetores sao linearmente independentes Independéncia linear em R Determine se os vetores v 1 23 v 56 1 v3 3 2 1 sao linearmente independentes ou dependentes em R Solugao A dependéncia ou independéncia linear desses vetores determinada pela existéncia ou nao de solugées nao triviais da equacéo vetorial kv kv kv 0 3 ou equivalentemente de k1 2 3 k5 6 1 k3 2 1 0 0 0 Igualando componentes correspondentes dos dois lados obtemos o sistema linear homo géneo k 5k 3k 0 2k 6k 2k 0 4 3k k k 0 192 Algebra Linear com Aplicacées Assim nosso problema reduz a determinar se esse sistema tem solug6es nao triviais Ha va rias maneiras de fazer isso uma possibilidade é simplesmente resolver 0 sistema obtendo 1 1 k5t ky 3t kt omitimos os detalhes Isso mostra que o sistema tem solugées n4o triviais e que por tanto os vetores sdo linearmente dependentes Um segundo método de obter o mesmo resultado é calcular o determinante da matriz de coeficientes P 1 5 3 No Exemplo 2 qual é a relacao que pode ser observada entre os A2 6 2 componentes de v Vv V as 31 1 colunas da matriz de coeficien tes A e usar as partes b e g do Teorema 238 Deixamos para o leitor verificar que detA 0 do que segue que 3 tem solugGes n4o triviais e os vetores sao linearmente dependentes Independéncia linear em R Determine se os vetores vi d 2 2 1 V 4 9 9 4 Vv 5 8 9 5 em R sao linearmente dependentes ou independentes Solucao A dependéncia ou independéncia linear desses vetores determinada pela existéncia ou nao de solug6es nao triviais da equaao vetorial kv kv kv 0 ou equivalentemente de kC 22 1 k4 9 9 4 k5 89 5 0 0 0 0 Igualando os componentes correspondentes dos dois lados obtemos 0 sistema homogéneo k 4k 5k 0 2k 9k 5k 0 2k 9k 9k 0 k 4k 5k 0 Deixamos para 0 leitor verificar que esse sistema s6 tem a solucAo trivial k0 k0 k 0 do que podemos concluir que v V V sao linearmente independentes Um conjunto linearmente independente importante em P Mostre que os polindmios l x x x formam um conjunto linearmente independente em P Soluao Por conveniéncia denotemos os polinédmios por 1 2 on Po 1 Pi X PrT PrX Devemos mostrar que a equacao vetorial Ay Py 4 P ap ap 0 5 tem somente a solucAo trivial dy a aa0 43 Independéncia linear 193 Mas 5 é equivalente 4 afirmacao de que dy tax tax ax0 6 com qualquer x em portanto devemos mostrar que isso vale se e s6 se cada coe ficiente em 6 for nulo Para isso lembramos da Algebra que um polinémio nao nulo de grau n tem no maximo n raizes distintas Dessa forma cada coeficiente em 6 deve ser nulo pois caso contrario 0 lado esquerdo da equacAo seria um polindmio nao nulo com uma infinidade de raizes distintas Assim 5 s6 tem a solugao trivial 4 O préximo exemplo mostra que o problema de determinar se um dado conjunto de vetores em P linearmente dependente ou independente pode ser reduzido a determinar se um certo conjunto de vetores em R é linearmente dependente ou independente Independéncia linear de polin6mios Determine se os polinémios pplx pp53x2x pplt3xx sao linearmente dependentes ou independentes em P Solugao A dependéncia ou independéncia linear desses vetores determinada pela existéncia ou nao de solugées nao triviais da equacéo vetorial kp kp kp 0 7 Essa equagao pode ser rescrita como k x k5 3x 2x 1 3x 2 0 8 ou equivalentemente como k 5k k k 3k 3kx 2k kx 0 Como essa equacao deve ser satisfeita com qualquer x de cada coeficiente deve ser zero conforme explicado no exemplo precedente Assim a dependéncia ou inde pendéncia linear dos polindmios dados depende de o sistema linear seguinte ter ou nao solucao nao trivial No Exemplo 5 qual é a relacgao k 5k k 0 que pode ser observada entre k 3k 3k 0 9 os coeficientes dos polinémios dados e os vetores colunas da 2k ky 0 matriz de coeficientes do siste ma 9 Deixamos para o leitor mostrar que esse sistema tem alguma solugao no trivial ou re solvendo diretamente ou mostrando que a matriz de coeficientes tem determinante nulo Assim 0 conjunto p p p linearmente dependente 4 Os termos linearmente dependente e linearmente independente pretendem indicar seos Uma interpretacao alternativa vetores de um dado conjunto estao interrelacionados de alguma maneira O proximo da independéncia linear teorema cuja demonstraao adiamos para o final desta secdo torna essa ideia mais precisa TEOREMA 431 Um conjunto S de dois ou mais vetores é a linearmente dependente se e s6 se pelo menos um dos vetores de S pode ser ex presso como uma combinagao linear dos outros vetores em S b linearmente independente se e s6 se nenhum vetor em S pode ser expresso como uma combinagdao linear dos outros vetores em S 194 Algebra Linear com Aplicacées EXEMPLO 6 Denovoo Exemplo 1 No Exemplo 1 mostramos que os vetores unitérios can6nicos em R sao linearmente in dependentes Assim segue do Teorema 431 que nenhum desses vetores pode ser escrito 3 como uma combinag4o linear dos outros vetores Para ilustrar isso em R suponha por exemplo que kkikj ou em termos de componentes que 0 0 1 k k 0 Como essa equacgao nao pode ser satisfeita com quaisquer valores de k e k nao ha como expressar k como uma combinagAo linear de i e j Analogamente i nao pode ser expresso como uma combinacaAo linear de j e k e j nao pode ser expresso como uma combinacao linear de ie k EXEMPLO 7 Denovoo Exemplo 2 No Exemplo 2 vimos que os vetores v 1 23 v 56 1 v G3 2 D sao linearmente dependentes Assim segue do Teorema 431 que pelo menos um desses vetores pode ser escrito como combinacgao linear dos outros dois Deixamos para 0 leitor confirmar que esses vetores satisfazem a equac4o ty lvyv0 7V 7 V2 Y do que decorre por exemplo que ly H VY5Vt5v 4 Conjuntos de um ou O teorema a seguir se refere 4 dependéncia e 4 independéncia linear de conjuntos de um dois vetores ou dois elementos e conjuntos que contenham o vetor nulo TEOREMA 432 a Um conjunto finito que contenha 0 é linearmente dependente b Um conjunto de exatamente um vetor é linearmente independente se e s6 se esse vetor nado é 0 c Um conjunto de exatamente dois vetores é linearmente independente se e sO se nenhum dos dois vetores é um miltiplo escalar do outro pe Nota historica O matematico francopolonés Jozef Hoéné de Wronski iy nasceu como Jozef Hoéné e adotou o nome de Wronski depois de ca a sar Sua vida foi repleta de controvérsia e conflito que alguns atribuem es a suas tendéncias psicopatas e a seu exagero na atribuigao de impor Si tancia a sua propria obra Embora o trabalho de Wroriski tenha sido Wo yy ignorado como irrelevante por muito tempo e grande parte realmente oS estivesse errada algumas de suas ideias continham luminosidade es A condida e sobreviveram Entre outras coisas Wroriski projetou um vei aa culo movido a lagarta para competir com trens que nunca foi fabricado oe a e pesquisou o famoso problema da determinacao da longitude em alto mar Seus ultimos anos foram vividos na pobreza Imagem Wikipedia J6zef Hoéné deWronski 17781853 43 Independéncia linear 195 Provamos a parte a e deixamos o resto como exercicio Prova a Dados quaisquer vetores v V V0 conjunto S vvVv0é linearmente dependente pois a equagao Ov Ov Ov 100 0 expressa 0 como uma combinagao linear dos vetores em S com coeficientes nao todos nulos Independéncia linear de duas fungdes As fungées f x e f sen x sdo vetores linearmente independentes em F pois nenhuma das duas um miultiplo escalar da outra Por outro lado as duas func6es g sen 2x e g sen x cos x sdo linearmente dependentes pois a identidade trigonométrica sen 2x 2 sen x cos x revela que g e g so miltiplos escalares uma da outra 4 A sys 44s 2 3 A independéncia linear tem a seguinte interpretagdo geométrica util em Re R Uma interpretacdo geométrica 2 3 ow 4s 1 Ancia Ii e Dois vetores em R ou R sao linearmente independentes se e sé se os vetores nao da independéncia linear ficam numa mesma reta quando colocados com seus pontos iniciais na origem Caso contrario um deles seria um multiplo escalar do outro Figura 433 z z Zz v 2 v 1 vi Vv v y y y x x x Figura 433 a Linearmente dependentes b Linearmente dependentes c Linearmente independentes A 3 Zz e Trés vetores em R sao linearmente independentes se e s6 se os vetores nao ficam num mesmo plano quando colocados com seus pontos iniciais na origem Caso contra rio pelo menos um deles seria uma combinagAo linear dos outros dois Figura 434 z Zz z Vv v3 V3 V2 Vv Vv z y y a y vi Vv v3 x x x Figura 434 a Linearmente dependentes b Linearmente dependentes c Linearmente independentes ope 2 4 4 No inicio desta segéo observamos que um terceiro eixo coordenado em R é supér fluo mostrando que um vetor unitario ao longo de um eixo desses seria uma combinaao linear dos vetores unitarios ao longo dos eixos x e y Aquele resultado é uma consequéncia do préximo teorema que mostra que um conjunto linearmente independente em R pode conter no maximo n vetores 196 Algebra Linear com Aplicacées TEOREMA 433 Seja S v VV um conjunto de vetores em R Se r n entdo S é linearmente dependente Prova Suponha que Vi Uy Vy 0 Vo V5 Vy ns V V Ui ns v e considere a equagao kv khvkyv0 Expressando ambos os lados dessa equag4o em termos dos componentes e igualando os Segue do Teorema 433 por P qhag P 8 2 componentes correspondentes obtemos o sistema exemplo que um conjunto em R com mais oe os vetores é line Vk Uok 0k 0 armente epen ente e um con junto em R com mais de trés ve Vink Uyk F Uyk 0 tores é linearmente dependente Vink Vo k Unk 0 Isso um sistema homogéneo de n equacoes nas r incdgnitas k k Como rn segue do Teorema 122 que o sistema tem solug6es nao triviais Portanto S V V5Vé um conjunto linearmente dependente 4 REQUER CALCULO As vezes podemos deduzir a dependéncia linear de fung6es a partir de identidades conhe Independéncia linear de cidas Por exemplo as fungdes fungdes fsenx fcosx e f5 formam um conjunto linearmente dependente em F pois a equacgao 5f 5f f 5senx 5cos x 5 5senx cos x 50 expressa 0 como uma combinacAo linear de f f e f com coeficientes nao todos nulos Infelizmente nao existe um método geral que possa ser usado para determinar se um conjunto de fungoes é linearmente dependente ou independente No entanto existe um teorema que é Util para estabelecer a dependéncia linear em certas circunstancias A definicdo seguinte é util para discutir esse teorema DEFINICAO 2 Sef fx f fQ f0x forem fungdes n 1 vezes de rivaveis no intervalo entéo o determinante Sf fy x vee Sf fi fx nee fx Wix a n1 n1 APO APO ef PO denominado wronskiano def f f 43 Independéncia linear 197 Suponha por enquanto que f fx f fx sejam vetores linear mente dependentes em C2 Isso implica que para certos valores dos coeficien tes a equacao vetorial kf kf kf 0 tem alguma solucao nao trivial ou equivalentemente que a equacgao kK ftkhfatk fx 0 é satisfeita com qualquer x em Usando essa equacao juntamente com as equa goes obtidas por m sucessivas derivagées o resultado é 0 sistema linear Kf k fy x f x 0 kK fi x kfy x e k fy x 0 k n1 k n1 a k n1 0 Si CO khf thf OO Assim a dependéncia linear de f f f implica que o sistema linear ff fy ves fx k 0 fi f ef k 0 of 10 1 n1 n1 ft x ty x uc fi x k 0 tem uma soluc4o no trivial Mas isso implica que o determinante da matriz de coeficien tes de 10 é zero em cada um desses x Como esse determinante 0 wronskiano de f f 5f estabelecemos 0 seguinte resultado TEOREMA 434 Se as fungées f f f tiveremn 1 derivadas continuas no intervalo e se o wronskiano dessas funcdes ndo for identicamente zero em entdo essas funcgédes formam um conjunto linearmente independente de ve tores em C 00 00 No Exemplo 8 mostramos que x e sen x sao fung6es linearmente independentes ob servando que nenhuma é um miultiplo escalar da outra O préximo exemplo mostra como obter o mesmo resultado usando 0 wronskiano se bem que nesse caso particular 0 pro cedimento é mais complicado Independéncia linear usando o wronskiano Use 0 wronskiano para mostrar que f x e f sen x sao linearmente independentes Solugao O wronskiano é x senx Wx xcosx senx 1 cosx Essa fungao nao é identicamente zero no intervalo porque por exemplo 7 7 7 7 7 W 5 cos sen 2 2 2 2 2 Assim as fungOes sao linearmente independentes 198 Algebra Linear com Aplicacées ADVERTENCIA A reciproca Independéncia linear usando o wronskiano do Teorema 434 é falsa Se o Use 0 wronskiano para mostrar que f 1 f ee f e sao linearmente independen wronskiano de f f f for tes identicamente zero em entéo nada pode ser concluido Solugao O wronskiano sobre a independéncia linear de dy le oe f f podendo esse 5 conjunto de vetores ser linear Wix0 e 2e 2e mente independente ou linear 0 4e mente independente Essa fungao obviamente no é identicamente zero em portanto f f e f formam um conjunto linearmente independente OPCIONAL Terminamos esta secao provando a parte a do Teorema 431 Deixamos a prova da parte b como exercicio Prova do Teorema 431a SejaS v V V um conjunto com dois ou mais vetores Supondo que S seja linearmente dependente existem escalares k kk nao todos nulos tais que kv kvkyv0 11 Para sermos especificos suponha que k 0 Entao 11 pode ser reescrita como k k vv Vv 1 k 2 k r que expressa v como combinag4o linear dos outros vetores em S Analogamente se k Oem 11 com algum j 2 3 7 entao v pode ser escrito como uma combinacao linear dos outros vetores em S Reciprocamente suponha que pelo menos um dos vetores em S possa ser expresso como uma combinacAo linear dos outros vetores Para sermos especificos suponha que V 6V 6V CY e portanto V GV 6V ov 0 Segue que S é linearmente dependente pois a equacao kv thy kyv0 é satisfeita por k1 kckc que nao sao todos nulos A prova é andloga no caso em que algum outro vetor e nao V puder ser escrito como combinagAo linear dos outros vetores de S Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Solugao trivial e Determinar se um conjunto de vetores é linearmente e Conjunto linearmente independente dependente ou independente Conjunto linearmente dependente e Expressar um vetor em um conjunto linearmente dependente como uma combinagao linear dos outros e Wronskiano vetores no conjunto e Usar 0 wronskiano para mostrar que um conjunto de fungoes é linearmente independente 43 Independéncia linear 199 Conjunto de exercicios 43 1 Explique por que o conjunto de vetores dado é linearmente in b Expresse cada vetor na parte a como uma combinac4o dependente Resolva o problema inspecionando 0 conjunto linear dos outros dois a u 1 24 eu 5 10 20 em R 9 Os vetores dados formam um conjunto linearmente dependen 3 b u G 1 u 45 u 4 7 em R te em R com quais valores reais de A 2 2 f 2 c p 32xx ep 64x 2x emP vA 4 1 vy hA4 vy 4 4 X 1 39 9 2 27 a 3 2 2 3 4 3 4 d A eB em M 2 0 2 0 10 Mostre que se v V V for um conjunto linearmente inde 2 Quais dos seguintes conjuntos de vetores em R sao linear pendente de vetores entao também 0 so V V2 Vi Vs mente dependentes Vor Va Vi Vo vs a 4 12 4 10 2 11 Mostre que se S v v V for um conjunto linear mente independente de vetores entao também o é qualquer b 30 4 5 1 2 1 3 subconjunto nao vazio de S c 8 1 3 40 1 12 Mostre que se S v V v for um conjunto linearmente d 290 1 G 2 5 6 1 1 7 0 2 dependente de vetores num espaco vetorial V e se v for um 3 Quais dos seguintes conjuntos de vetores em R sao linear vetor qualquer em V que nao esta em S entao v V V3 V4 mente dependentes também é linearmente dependente a 38 7 3 1 5 3 1 2 1 2 6 1 4 0 3 13 Mostre que se S v V V for um conjunto line b 00 22 33 00 1 10 1 armente dependente de vetores num espago vetorial Ve se Ne V41 V forem vetores quaisquer em V que nao esto em c 0 oy 2 0 0 6 0 4 2 2 S entao V VVVij V também é linearmente 9 89 ty dependente d 30 3 6 0 2 3 I 0 2 2 0 2 12 I 14 Mostre que qualquer conjunto com mais de trés vetores em P 4 Quais dos seguintes conjuntos de vetores em P sao linear é linearmente dependente mente dependentes 15 Mostre que se v v for um conjunto linearmente indepen a 2x4x3 6x 2x2 10x 4x dente e v nao pertencer a gerv V entao V V V line b 3 x4x2x5xr4 3 armente independente c 6x1ltx4 16 Prove dados quaisquer vetores u Vv e w num espaco vetorial 14304302 F454 6r 3874 208 Vos vetoes wy we wa forma am conjunto I 5 Suponha que v v e Vv sejam vetores em R com pontos ini 3 ciais na origem Em cada parte determine se os trés vetores 17 Pro ve 0 espaco gerado p or dois vetores on R time Teta pela estéio num mesmo plano origem um plano pela origem ou a propria origem a v 2 2 0 vy 6 14 v 20 4 18 Sob quais condigdes é um conjunto de um tnico vetor linear mente independente b 6 7 2 3 24 4 12 b vi 67 2 Va 4D Vs 19 Os vetores v v V na parte a da figura dada so linear 6 Suponha que v v e Vv sejam vetores em R com pontos ini mente independentes E os da parte b Explique ciais na origem Em cada parte determine se os trés vetores estéo num mesmo plano a v 123 2 4 6 v 3 6 0 b v 214 v 42 3 v 27 6 c v 4 6 8 v 2 3 4 Vy 2 3 4 ZL 7 a Mostre que os trés vetores v 0 3 1 1 v 6 05 1 ev 4 7 1 3 formam um conjunto y y Vv y linearmente dependente em R b Expresse cada vetor na parte a como uma combinac4o ZoON linear dos outros dois x 8 a Mostre que os trés vetores v 1 2 3 4 a b V2 0 10 lIev 1 3 3 3 formam um conjunto Figura Ex19 linearmente dependente em R 200 Algebra Linear com Aplicacées 20 Utilizando identidades apropriadas onde necessario deter dependente de vetores em R Sera que qualquer conjunto mine quais dos conjuntos de vetores em F dados séo de vetores mutuamente ortogonais em R forma um con linearmente dependentes junto linearmente independente Justifique sua conclusao a 63 sen x 2 cos x b x cos x geometricamente c 1 sen x sen 2x d cos 2x sen x cos x b Justifique sua conclusao algebricamente Sugestdo use roduto escalar e 3 xx 6x 5 f 0 cos mx sen 37x P 21 As fungdes fx x e fx cos x sao linearmente indepen Exercicios verdadeirofalso dentes i F 2 fi orque enum des duas um miultiplo Nas partes ah determine se a afirmacAo é verdadeira ou falsa escalar da outra Confirme a independéncia linear usando o justificando sua resposta teste do wronskiano a a Um conjunto que consiste num tinico vetor é linearmente de 22 As fungdes fx sen x efx cos x sao linearmente in pendente dependentes em F porque nenhuma das duas é um multiplo escalar da outra Confirme a independéncia linear b Dado qualquer escalar k o conjunto de vetores v ky line usando o teste do wronskiano armente dependente 23 Requer Célculo Em cada parte use o wronskiano para c Cada conjunto linearmente dependente contém o vetor zero mostrar que 0 conjunto de vetores dado é linearmente inde d Seo conjunto de vetores v V V3 for linearmente indepen pendente dente entao dado qualquer escalar nao nulo k 0 conjunto a lxe b 1x kv kv kv também é linearmente dependente 24 Use o teste do wronskiano para mostrar que as funcdes e Sev Vv forem vetores nao nulos linearmente dependen fx fx xe e fx Ve so linearmente indepen tes entao pelo menos um vetor v uma combinacAo linear 1 9J2 3 as dentes em F unica de V Vy 25 Use o teste do wronskiano para mostrar que as funcdes f Oconjunto das matrizes 2 X 2 que contém exatamente dois 1 x 1 e dois 0 é linearmente independente em M F sen x 6 cos x e fx x cos x sao linearmente 22 independentes em F g Os trés polindmios x 1x 2 xx 2 e xx 1 s4o 26 Use a parte a do Teorema 431 para provar a parte b linearmente independentes 27 Prove a parte b do Teorema 432 h As fungoes f ef sdo linearmente dependentes se existirem um numero real x e escalares k e k tais que k fx k fx 28 a Mostramos no Exemplo 1 que os vetores mutuamente 0 ortogonais i j e k formam um conjunto linearmente in 44 Coordenadas e bases Costumamos pensar numa reta como sendo unidimensional num plano como bidimensional e no espago a nossa volta como tridimensional O objetivo principal desta e da pr6xima segoes é tornar mais precisa essa nogAo intuitiva de dimensao Nesta secao discutimos sistemas de coordenadas em espacos vetoriais arbitrarios e preparamos o terreno para uma definigdo precisa de dimensao na préxima secao istema rdenadas na a Geometria Analitica aprendemos a usar sistemas de coordenadas retangulares para istemas de coorde S NaG tria Analit prend t d denad tangul Pp Algebra Linear criar uma correspondéncia bijetora entre os pontos do espaco bidimensional e os pares ordenados de nimeros reais bem como entre os pontos do espaco tridimensional e os ternos ordenados de ntimeros reais Figura 441 Embora os sistemas de coordenadas retangulares sejam comuns eles nao so essenciais Por exemplo a Figura 442 mostra sistemas de coordenadas nos espacos bi e tridimensionais em que os eixos coordenados nao sao mutuamente perpendiculares Na Algebra Linear costumamos especificar sistemas de coordenadas usando vetores em vez de eixos coordenados Por exemplo na Figura 443 recriamos os sistemas de coordenadas dados na Figura 442 usando vetores unitdrios para identificar os sentidos poOsitivos nos eixos e ento associando coordenadas a um ponto P usando os coeficientes escalares nas equagdes OP avbv e OPavbv cv httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 44 Coordenadas e bases 201 z y c Pa b Pla bc bP i ee y va b 7 Oo a x a As coordenadas de P num sistema As coordenadas de P num sistema de coordenadas retangulares de coordenadas retangulares Figura 441 no espaco bidimensional no espao tridimensional z y Cc PCa b Plabe I y V oatnteateneneenien amen W b Jy 7 O a x As coordenadas de P num sistema As coordenadas de P num sistema de coordenadas ndo retangulares de coordenadas nao retangulares no espaco bidimensional no espaco tridimensional Figura 442 cv by 7 Pla b Ma Pca b c Vy O 1 Vv bv Figura 443 v1 ay mM Ingredientes essenciais de qualquer sistema de coordenadas sAo as unidades de medi ao Em problemas geométricos tentamos utilizar a mesma unidade de mediao em cada eixo para evitar a distorgao do formato das figuras Isso menos importante naquelas aplicagdes em que as coordenadas representam quantidades fisicas com unidades diversas por exemplo tempo em segundos num dos eixos e temperatura em graus Celsius num outro Para acomodar esse nivel de generalidade deixamos de exigir que sejam unitdrios os vetores utilizados para identificar os sentidos positivos dos eixos e exigimos somen te que sejam linearmente independentes A esses vetores nos referimos como sendo os vetores de base do sistema de coordenadas Resumindo sao os sentidos dos vetores de base que estabelecem o sentido positivo nos eixos e seu comprimento que estabelece a escala ou seja 0 espagamento entre os pontos inteiros nos eixos Figura 444 A definigao seguinte torna as ideias precedentes mais precisas e nos permite estendero Bases de um espaco vetorial conceito de sistema de coordenadas a espacgos vetoriais arbitrarios DEFINICAO 1 Se V for um espaco vetorial qualquer e S v V Vv for um Note que na Definicao 1 exigi conjunto finito de vetores em V dizemos que S é uma base de V se valerem as duas mos que bases tenham um nt condig6es a seguir mero finito de vetores Alguns ey autores dizem que isso é uma a S é linearmente independente q base finita mas essa terminolo b S gera V gia nao sera utilizada aqui 202 Algebra Linear com Aplicacées y y y y 4 2 4 2 3 3 2 1 2 1 1 x x 1 x x 321 1 2 3 3 21 1 23 352 Hl 2 3 3 21 2 3 2 2 1 3 a 4 2 4 4 Escalas idénticas Escalas diferentes Escalas idénticas Escalas diferentes Eixos perpendiculares Eixos perpendiculares Eixos obliquos Eixos obliquos Figura 444 Pensando numa base como descrevendo um sistema de coordenadas para um espaco vetorial V entao a parte a da definigao garante que nao ha interrelag6es entre os vetores de base e a parte b garante que ha vetores de base em numero suficiente para fornecer coordenadas para todos os vetores em V Vejamos alguns exemplos A base canGnica de R Vimos no Exemplo 11 da Seao 42 que os vetores unitarios candnicos e 1000 e 0100 e 001 geram R e pelo Exemplo 1 da Secao 43 sabemos que sio linearmente independentes Assim esses vetores formam uma base de R que denominamos base canénica de R Em particular i 100 j10 k0 1 é a base can6nica de R A base canonica de P Mostre que S 1 x xx uma base do espaco vetorial P dos polindmios de grau no maximo n Solugao Devemos mostrar que os polindmios em S sao linearmente independentes e que geram P Denotemos esses polinémios por 1 2 on Po 1 Pi X PrT PrX Mostramos no Exemplo 13 da Secao 42 que esses vetores geram P e no Exemplo 4 da Secdo 43 que sdo linearmente independentes Assim esses vetores formam uma base de P que denominamos base canénica de P Uma outra base de R Mostre que os vetores v 1 2 1 v 2 9 0 e v 3 3 4 formam uma base de R Solugao Devemos mostrar que esses vetores s4o linearmente independentes e que ge ram R Para mostrar a independéncia linear devemos mostrar que a equacio vetorial CV cv V 0 1 s6 tem a solucio trivial e para provar que esses vetores geram R devemos mostrar que cada vetor b b b b de R pode ser expresso como CV V V b 2 44 Coordenadas e bases 203 Igualando componentes correspondentes dos dois lados essas duas equagdes podem ser expressas como Os sistemas lineares c 2c 3c 0 c 2c 3c by 2c 9c 3c 0 e 2c 9c 3c bo 3 C 4c 0 C 4c b3 verifique Assim reduzimos o problema a mostrar que o sistema homogéneo 3 s6 tem a solucao trivial e que o sistema nao homogéneo 5 é consistente com quaisquer valores de b b e b Mas os dois sistemas 3 e 5 tem a mesma matriz de coeficientes 1 2 3 A2 9 3 1 0 4 de modo que segue das partes b e e g do Teorema 238 que podemos provar ambos resultados simultaneamente mostrando que detA 0 Deixamos para o leitor confirmar que detA 1 0 que prova que os vetores v v e v formam uma base de R A base canGnica de M Mostre que as matrizes 1 0 0 1 0 0 0 0 M M M M 0 0 0 0 1 0 0 1 formam uma base do espaco vetorial M das matrizes 2 X 2 Solucao Devemos mostrar que as matrizes sao linearmente independentes e que geram M Para mostrar a independéncia linear devemos mostrar que a equaao vetorial cM cM cM cM 90 4 s6 tem a solucao trivial em que 0 é a matriz nula 2 X 2 e para provar que essas matrizes geram M devemos mostrar que cada matriz 2 x 2 a B c d pode ser expressa como cM cM cM M B 5 As formas matriciais das Equagées 4 e 5 sao 1 0 4 0 1 4 0 0 0 0 0 0 c c c c 10 0 10 0 11 0 10 1 0 0 e 1 0 0 1 1 0 0 4 0 0 a b c c c c lo 0 10 0 1 0 10 1 c d que podem ser reescritas como Cy Cy 0 0 cy Cy a b e Cc Cy 0 0 Cz Cy c d Como a primeira equacao sé tem a solucao trivial Cj 0 0 c0 as matrizes sao linearmente independentes e como a segunda equagao tem a solucgao Cha G b c3 cgd 204 Algebra Linear com Aplicacées essas matrizes geram M Isso prova que as matrizes M M M M formam uma base de M Mais geralmente a base canénica de M consiste nas mn matrizes distintas com uma tnica entrada e todas as demais entradas iguais a zero 4 ee es No é verdade que todo espaco vetorial tenha uma base no sentido da Definico 1 O Alguns autores definem 0 con 2 Z exemplo mais simples é 0 do espao vetorial nulo que nao contém conjuntos linearmente junto vazio como sendo uma ind d b O torial d 1 Xo t base do espaco vetorial nulo indepen entes e portanto nao tem base espago vetorial do exemplo seguinte nao tem mas aqui nao faremos isso base no sentido da Definigao 1 porque nao pode ser gerado por um numero finito de vetores Um espaco vetorial que nao tem conjunto gerador finito Mostre que o espaco vetorial P de todos os polindmios com coeficientes reais nao tem conjunto gerador finito Solucdo Se existisse algum conjunto gerador finito digamos S p pDp entao os graus dos polindmios em S teriam um valor maximo digamos n Isso por sua vez implicaria que qualquer combinacAo linear de polindmios em S teria grau n no ma cA 1 ximo Assim nao haveria como expressar 0 polindmio x como uma combinacio linear de polindmios em S 0 que contradiria a hipdtese de que os vetores de S geram P 4 Por motivos que serao esclarecidos em breve dizemos que um espaco vetorial que nao pode ser gerado por um numero finito de vetores é de dimensdo infinita ao passo que um que pode é de dimensdo finita Alguns espagos de dimenso finita e infinita Nos Exemplos 1 2 e 4 encontramos bases para R P e M portanto esses espacos vetoriais sao de dimensao finita Mostramos no Exemplo 5 que o espaco vetorial P nao é gerado por um ntimero finito de vetores e portanto é de dimensAo infinita Nos exer cicios desta e da préxima secées pedimos ao leitor mostrar que os espacos vetoriais R F C C e C tém dimensio infinita Coordenadas em relacéo a No comego desta secao estabelecemos uma analogia entre vetores de base e sistemas de uma base coordenadas Nosso proximo objetivo é precisar essa ideia definindo a nogao de sistema de coordenadas em espagos vetoriais arbitrarios O teorema a seguir nosso primeiro passo nessa direcao TEOREMA 441 Unicidade da representagao em base Se S v VV for uma base de um espaco vetorial V entao cada vetor em V pode ser expresso na forma V cV CV V de exatamente uma tunica maneira Prova Como S gera V segue da definigdo de conjunto gerador que cada vetor de V pode ser expresso como uma combinacao linear dos vetores em S Para ver que s6 existe uma maneira de expressar um vetor como uma combinacao linear dos vetores em S suponha que um certo vetor v possa ser escrito como V CV CV CY e também como vekykyv kv 44 Coordenadas e bases 205 Subtraindo a segunda equagao da primeira obtemos 0 c kv c kv 6 kv Como o lado direito dessa equagao é uma combinagao linear dos vetores em S a indepen z déncia linear de S implica ck SED 7 k k k sy c k 0 ck0 ck 0 LJ poeDdD 7 7 a bo ou seja Ck Gkh ck 4 ly x lo Assim as duas express6es para v sao amesma i 100 a dj 0 7 7 FY 0 1 0 soe os a Agora dispomos de todos os ingredientes necess4rios para definir a nogdo de coor ose 3 2 denadas num espago vetorial arbitrario Para motivar 0 conceito observe que em R por Figura 445 exemplo as coordenadas a b c de um vetor v sao precisamente os coeficientes na formula vait bj ck As 3 que expressa v como uma combinagao linear dos vetores candnicos de R ver Figura 445 A definigaéo seguinte generaliza essa ideia As vezes é adequado escrever um vetor de coordenadas como DEFINICAO 2 Se S vvv for uma base de um espaco vetorial V e se uma matriz coluna caso em que utilizamos colchetes em sua no V CV OV CY taco como em a expressdo de um vetor v em termos da base S entao os escalares c c C SAO denominados coordenadas de v em relagio a base S O vetor c co em R cy construfdo com essas coordenadas é denominado vetor de coordenadas de v em rela Iv cao a S e é denotado por Pp n V5 Cy C 2 6 2 Ws Cy Cx Cn 6 Dizemos que v é a matriz de coordenadas e reservamos a ter minologia vetor de coordenadas Observacao Lembre que dois conjuntos s4o0 considerados iguais se tem os mesmos elementos mes para os vetores v escritos com mo se esses elementos estiverem escritos em alguma outra ordem No entanto se v VV virgulas for um conjunto de vetores de base entéo uma troca na ordem em que escrevemos os vetores trocaria a ordem das entradas em v produzindo possivelmente um vetor de coordenadas diferente Para evitar essa complicacao introduzimos a conven4o de que em qualquer discussAo envolvendo uma base S a ordem dos vetores em S permanece inalterada Alguns autores dizem que um conjunto de vetores de base com essa restrigdo é uma base ordenada No entanto aqui s6 utilizaremos essa ter minologia quando a énfase na ordem for necessdria para 0 entendimento Observe que v é um vetor em R de modo que uma vez fornecida uma base S de um espaco vetorial V o Teorema 441 estabelece uma bijecdo entre os vetores em V e os vetores em R Figura 446 Uma bijecao oo v Vs Figura 446 V R Coordenadas em relacdo a base canonica de R No caso especial em que V R e S for a base canénica o vetor de coordenadas v é igual ao vetor v V Vs 206 Algebra Linear com Aplicacées Por exemplo em Ra representagao v a b c de um vetor como combinagao linear dos vetores na base canGénica S i j k é vait bj ck de modo que o vetor de coordenadas em relagdo a essa base Vv a b c que igual ao vetor v Vetores de coordenadas em relagao a bases candnicas a Encontre o vetor de coordenadas do polinédmio pa a textox e em relagdo a base candnica do espaco vetorial P b Encontre 0 vetor de coordenadas de a B c d em relagdo a base candnica de M Solugdo a A férmula dada de px expressa esse polindmio como uma combinaao linear dos vetores da base canénica S 1 x x x Assim o vetor de coordenadas de p em relacao a S é Ps Co Cys Cos Cy Solugado b Mostramos no Exemplo 4 que a representacdo de um vetor Re a b le d como uma combinagAo linear dos vetores da base canénica é pal Pleat OPanl Teel Pleal le dl lo 0 0 of li o 01 de modo que o vetor de coordenadas de B em relagao a S é B a b c d Coordenadas em R a Mostramos no Exemplo 3 que os vetores v21 v290 v G3 34 formam uma base de R Encontre o vetor de coordenadas de v 5 1 9 em rela cdo a base S Vj V V3 b Encontre o vetor em R cujo vetor de coordenadas em relagao a base S é Vv 1 3 2 Solugao a Para encontrar v precisamos primeiro expressar V como uma combina cao linear dos vetores em S ou seja precisamos encontrar valores de c c c tais que V CV CV C3V3 ou em termos de componentes 5 19 2 1 c2 9 0 3 3 4 44 Coordenadas e bases 207 Igualando os componentes correspondentes obtemos ce 2ce43c 5 2c 9c 3c 1 Cy 4c 9 Resolvendo esse sistema obtemos c 1 c 1 c 2 verifique Portanto v 1 2 Solugdo b Usando a definigao de v obtemos v Dv 3v 2v 11 2 1 32 9 0 233 4 11 317 Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Base e Mostrar que um conjunto de vetores é uma base de um e Bases can6nicas de R P M espaco vetorial e Dimensio finita e Encontrar as coordenadas de um vetor em relagao a uma wp base e Dimensao infinita Coordenadas e Encontrar 0 vetor de coordenadas de um vetor em relagao a uma base e Vetor de coordenadas Conjunto de exercicios 44 1 Em cada parte explique em palavras por que os vetores dados ec ltxtxxtxx ndo sGo uma base do espago vetorial dado d 44x43x65x 284 4rt 2 a u 1 2 u 0 3 us 2 7 para R 5 Mostre que as matrizes dadas formam uma base de M b u 13 2 u 1 1 para RR p 1x4p x 1 para P 3 6 0 1 0 8 1 0 1 1 6 0 3 0 36 1 oO 12 4 1 2 d A B C 2 3 1 4 1 7 5 1 7 1 6 Seja V 0 espago gerado por v cos x v sen x D E para M Vv cos 2x 4 2 2 9 a Mostre que S v v v nado é uma base de V 2 Quais dos conjuntos de vetores dados so bases de R b Encontre uma base de V a 2 1 3 0 b 4 D 7 8 7 Em cada parte encontre o vetor de coordenadas de w em rela c 0 3 d 9 4 12 cdo A base S u u de R 3 Quais dos conjuntos de vetores dados so bases de R a u 10 u 0 Ds w GB 7 a 1 00 22 0 33 3 a 4 m G83 w LD b 1 4 25 6 14 8 m Dee 2 w 8 c 2 3 1 4 1 1 0 7 1 8 Em cada parte encontre o vetor de coordenadas de w em rela ee cdo a base S u u de R d 1 6 4 24 D 1 2 5 1 a1 10 4 Quais dos conjuntos de vetores dados sao bases de P wy HG Dw Dew 00 2 2 b u 1 1 u 1 1 w 1 a 13x2x1x4x17x a1 a4 a4 b 446xx14 4425 42x2 w Dw Dew D httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 208 Algebra Linear com Aplicacdes 9 Em cada parte encontre o vetor de coordenadas de v em y y relagdo a base S v V V3 a v 2 1 3 v 1 0 0 v 2 2 0 v 3 3 3 b v 5 12 3 v 1 2 3 v 4 5 6 v 7 8 9 45 xex 10 Em cada parte encontre o vetor de coordenadas de p em Figura Ex16 relagdo a base S p P P3 a p43xx3pl1pxpx b P 94 2 Pr 1 i 4p axtHv 17 A figura dada mostra um sistema de coordenadas retangulares b P TT XS Pi Po Ps XTX xy determinado pelos vetores unitdrios i e j da base canénica 11 Encontre o vetor de coordenadas de A em relacfo a base e um sistema de coordenadas xy determinado pelos vetores S A Aj A Aj unitdrios i e j de uma outra base Encontre as coordenadas xy 0 11 14 dos pontos cujas coordenadas xy estao dadas A A A Jl b dC Jl d ab E 1 rt 2 S 1 a V31 bs 40 1 D A 0 0 A 0 0 3 1 ol 4 0 1 yey x Nos Exercicios 1213 mostre que A A A A uma base jeu de M e expresse A como uma combinacaAo linear dos vetores da base u 1 0 1 1 1 0 30 x mar of 5 4g 5 Uf 1 0 0 0 0 1 1 Figura Ex17 0 0 6 2 A 3 A 1 0 5 3 18 A base de M dada no Exemplo 4 consiste em matrizes nao B A Il A 0 1 A 0 0 invertiveis Sera que existe alguma base de M consistindo a 1 1 1 1 3 1 1 em matrizes invertiveis Justifique sua resposta 0 0 1 0 19 Prove que R tem dimensao infinita A 3 A 0 1 1 0 Exercicios verdadeirofalso Nos Exercicios 1415 mostre que p p P umabasede P Nas partes ae determine se a afirmacdo é verdadeira ou falsa e expresse p como uma combinacAo linear dos vetores da base justificando sua resposta 14 p12xxp2 9xp3 4 3x4 4x a Se V gervv entao v v uma base de V 2 p 2 I7x 3x b Cada subconjunto linearmente independente de um espago 15 pp1ltxt x Pxt x Pp x3p7xt2x vetorial V é uma base de V 16 A figura dada mostra um sistema de coordenadas retangulares c Se v V5 V for uma base de um espago vetorial V en xy e um sistema de coordenadas xy com eixos obliquos tao cada vetor em V pode ser expresso como uma combinacg4o Supondo que em todos os eixos foram utilizadas escalas de linear de v v V uma unidade encontre as coordenadas xy dos pontos cujas d O vetor de coordenadas de um vetor x em R em relaciio A coordenadas xy estao dadas base canonica de R x a CL D b 10 c 0 1 d ab e Cada base de P contém pelo menos um polinédmio de grau 3 ou menor 45 Dimensao 209 45 Dimensao Na secio anterior mostramos que a base canénica de R tem n vetores e que portanto a base can6nica de R tem trés vetores a base canOnica de R tem dois vetores e a base canOnica de R R tem um vetor Como pensamos no espaco como sendo tridimensional um plano como bidimensional e uma reta como unidimensional parece haver alguma relagao entre o numero de vetores em uma base e a dimens4o do espaco vetorial Nesta secao desenvolvemos essa ideia Nosso primeiro objetivo nesta secdo é estabelecer 0 teorema fundamental que segue Numero de vetores em uma base TEOREMA 451 Todas as bases de um espaco vetorial de dimensdo finita tém o mes mo numero de vetores Para provar esse teorema vamos precisar do resultado preliminar seguinte cuja prova é deixada para o final desta sec4o TEOREMA 452 Sejam V um espaco vetorial de dimensdo finita e V VV uma base qualquer de V a Um conjunto com mais de n vetores é linearmente dependente b Um conjunto com menos de n vetores nao gera V Agora nao é dificil ver por que vale o Teorema 451 pois se SvvV for uma base arbitrdria de V entéo a independéncia linear de S implica que qualquer conjunto em V com mais de n vetores é linearmente dependente e qualquer conjunto em V com menos de n vetores nao gera V Assim vemos que um conjunto em V nao pode ser base a menos que tenha exatamente n vetores Le Alguns autores definem o con Notamos na introducao desta segao que para certos espacgos vetoriais familiares a 4o intuitiva de di a incid d tores numa base A definicao junto vazio como sendo uma nogao intuitiva de dimensao coincide com o numero de ve base do espaco vetorial nulo seguinte torna precisa essa ideia Taso 6 consiwionia Gon A MORaA definigéo de dimensfo pois o conjunto vazio nao tem vetores DEFINICAO 1 A dimensdo de um espaco vetorial de dimensao finita V denotada 0 espaco vetorial nulo tem di por dimV e é definida como o ntimero de vetores numa base de V Além disso defini mensao 0 mos 0 espao vetorial nulo como tendo dimensao zero EXEMPLO 1 DimensGes de alguns espacos vetoriais familiares dimR n A base can6nica tem n vetores Os engenheiros costumam usar dimP n 1 A base candnica tem n 1 vetores 0 termo graus de liberdade dimM mn A base canénica tem mn vetores como sindnimo de dimensiao EXEMPLO 2 Dimensao de gerS Se S v V V for um conjunto linearmente independente no espaco vetorial V entao S é automaticamente uma base de gerS por qué e isso implica dimgerS r 210 Algebra Linear com Aplicacées Em palavras a dimensao do espaco gerado por algum conjunto linearmente independente de vetores é igual ao numero de vetores naquele conjunto Dimenso de um espaco solucgao Encontre uma base e a dimenso do espago solugao do sistema homogéneo 2x 2x Xx x0 xX X 2x 3x x5 0 xX x 2x x0 xX x x0 Solugao Deixamos para 0 leitor resolver esse sistema com eliminaa4o de GaussJordan e mostrar que sua solucao geral é Xst x S x t x0 x F que pode ser escrita em forma vetorial como X1 X5 Xz X4 X5 s t s 240 1 ou alternativamente como X1 X5 X3 X4 X5 s1 1 0 0 0 41 0 1 0 1 Isso mostra que os vetores v 1 1 0 0 0 e v 1 0 1 0 1 geram 0 espago solucgdo Como nenhum desses vetores é um multiplo escalar do outro também sao line armente independentes e portanto formam uma base do espaco solua4o Assim 0 espaco solugao tem dimensao 2 Dimens4o de um espaco solucgao Encontre uma base e a dimenso do espago solugao do sistema homogéneo x 3x 2x 2x 0 2x 6x 5x 2x 4x 3x 0 5x 10x 15x 0 2x 6x 8x 4x 18x 0 Solugao No Exemplo 6 da Seco 12 vimos que a solucdo desse sistema x 3r4s 2txr x 28 x5 xX t x 0 que pode ser escrita em forma vetorial como X15 Xy X35 X ys Xs Xs 3r 4s 2t r 25 5 t 0 ou alternativamente como X X5 X3 X4 X5 r3 1 0 0 0 0 s4 0 2 1 0 0 42 0 0 0 1 0 Isso mostra que os vetores v 3 10 000 v 40 21 00 v 2 0 00 1 0 geram 0 espaco solugao Deixamos para 0 leitor verificar que esses vetores sao linearmen te independentes mostrando que nenhum deles é combinaga4o linear dos outros dois mas veja a observacao a seguir Assim o espaco solugao tem dimens4o 3 4 Observacao Pode ser mostrado que para sistemas homogéneos 0 método do exemplo anterior sempre produz uma base do espago solugao do sistema Omitimos a prova formal 45 Dimensao 211 Dedicamos 0 restante desta segdo a uma série de teoremas que revelam as interrelagdes Alguns teoremas sutis entre os conceitos de independéncia linear base e dimensdo Esses teoremas nao fundamentais sao simples exercicios de matematica tedrica eles so essenciais para o entendimento de espacos vetoriais e das aplicagdes com eles construidas Comecgamos com um teorema demonstrado no final desta segado que trata do efeito sobre a independéncia linear de um conjunto nao vazio de vetores e do espao por ele gerado se um vetor for juntado a esse conjunto ou removido dele Enunciado informal mente comecando com um conjunto linearmente independente S e juntando a S um vetor que nao é uma combinagao linear dos de S entao o conjunto aumentado ainda continua linearmente independente Além disso comegando com um conjunto S de dois ou mais vetores no qual um dos vetores é uma combinagAo linear dos outros entéo esse vetor pode ser removido de S sem afetar 0 gerado por S Figura 451 O vetor fora do plano pode Qualquer um dos vetores Qualquer um dos dois vetores ser juntado aos dois outros pode ser removido e os colineares pode ser removido sem afetar sua independéncia dois restantes continuam e os dois restantes continuam linear gerando o plano gerando o plano Figura 451 TEOREMA 453 Teorema do maismenos Seja S um conjunto ndo vazio de vetores num espaco vetorial V a Se S for um conjunto linearmente independente e se v for um vetor em V que esta fora do gerS entao o conjunto S U v que resulta do acréscimo de v a ainda é linearmente independente b Sev for um vetor em S que pode ser expresso como combinacdao linear dos outros vetores de S e se S v denotar o conjunto obtido removendo v de S entdo S e S v geram 0 mesmo espaco ou seja gerS gerS v Aplicando o teorema maismenos 2 2 3 Mostre que p 1 x p 2 x ep X sao vetores linearmente independentes Solugd4o O conjunto S p p é linearmente independente pois nenhum de seus vetores um miultiplo escalar do outro Como o vetor p nao pode ser expresso como combinagao linear dos vetores em S por qué pode ser juntado a S para produzir um conjunto linearmente independente S p pp 4 Em geral para mostrar que um conjunto de vetores V V5 V uma base de um espaco vetorial V devemos mostrar que os vetores sao linearmente independentes e que geram V No entanto se soubermos que V tem dimensao n de modo que V VV tem o nimero correto de vetores de uma base entao basta verificar ou que sao linearmen te independentes ou que geram pois dessa forma a outra condigdo é automaticamente satisfeita Esse 0 contetido do teorema a seguir 212 Algebra Linear com Aplicacées TEOREMA 454 Sejam V um espaco vetorial de dimensdao n e S um conjunto em V com exatamente n vetores Entdo S é uma base de V se e sé se S gera V ou S é linear mente independente Prova Suponha que S tenha exatamente n vetores e que gere V Para provar que S é uma base devemos mostrar que S é um conjunto linearmente independente Se esse nao for o caso entao algum vetor v em S é uma combinagao linear dos demais vetores Removendo esse vetor de S segue do Teorema 4535 que 0 conjunto restante de n vetores ainda gera V Mas isso é impossivel pois segue do Teorema 452b que nenhum conjunto com menos do que n vetores pode gerar um espaco vetorial de dimensa4o n Assim S é linear mente independente Suponha que S tenha exatamente n vetores e que seja um conjunto linearmente inde pendente Para provar que S é uma base devemos mostrar que S gera V Se esse nao for 0 caso entao existe algum vetor v de V que nao esta no gerS Acrescentando esse vetor a S segue do Teorema 453a que 0 conjunto resultante de n vetores ainda é linearmen te independente Mas isso é impossivel pois o Teorema 452a afirma que nenhum con junto com mais de n vetores em um espaco vetorial de dimensdo n pode ser linearmente independente Assim S geraV Base por inspecao a Por inspecdo explique por que v 3 7 e v 5 5 formam uma base de R b Por inspecao explique por que v 2 0 1 v 4 0 7 ev 1 1 4 for mam uma base de R Solucdo a Como nenhum dos dois vetores é um multiplo escalar do outro os dois vetores formam um conjunto linearmente independente no espaco R de dimensio 2 e portanto constituem uma base pelo Teorema 454 Solugao b Os vetores v e v formam um conjunto linearmente independente no plano xz por qué O vetor v esta fora do plano xz portanto o conjunto Vv V V tam bém é linearmente independente Como R tem dimensio 3 0 Teorema 445 implica que v VV uma base de R O préximo teorema cuja prova adiada para o final desta secdo revela dois fatos importantes sobre os vetores num espaco vetorial de dimensdo finita 1 Cada conjunto gerador de um subespaco ou é uma base desse subespago ou contém nele uma base 2 Cada conjunto linearmente independente num subespago ou é uma base desse subes paco ou pode ser estendido a uma base dele TEOREMA 455 Seja S um conjunto finito de vetores num espaco vetorial V de di mensao finita a Se S gerar V mas ndo for uma base de V entdo S pode ser reduzido a uma base de V removendo vetores apropriados de S b Se S for um conjunto linearmente independente mas nao for uma base de V entdo S pode ser ampliado a uma base de V acrescentando vetores apropriados a S 45 Dimensao 213 Concluimos esta segéo com um teorema que relaciona a dimensdo de um espaco ve torial com as dimens6es de seus subespacos TEOREMA 456 Se W for um subespaco de um espaco vetorial V de dimensdo finita entao a W tem dimensdao finita b dimW dimV c WVse e 86 se dimW dimV Prova a Deixamos a prova dessa parte como exercicio Prova b A parte a mostra que W tem dimensAo finita de modo que possui uma base S WWW Ou S também é uma base de V ou nao Se for entéo dimV m 0 que significa que dimV dimW Se nao for como S é um conjunto linearmente independente pode ser ampliado a uma base de V pela parte b do Teorema 455 0 que implica que dimW dimV Assim em ambos casos mostramos que dimW dimV Prova c Suponha que dimW dimV e que S W WW seja uma base de W Se S nao fosse também uma base de V entao por ser linearmente independente S poderia ser ampliado a uma base de V pela parte b do Teorema 455 Mas isso significaria que dimV dimW contradizendo nossa hipotese Assim S deve ser também uma base de V 0 que significaqueWV 4 A Figura 452 ilustra as relagdes geométricas entre os subespacos de R em ordem de dimensao crescente Reta pela origem dimensfo 1 Plano pela A origem origem dimensdo 0 dimensfo 2 R Figura 452 dimensao 3 Concluimos esta segao com as provas opcionais dos Teoremas 452 453 e 455 OPCIONAL Prova do Teorema 452a Seja S w W W um conjunto qualquer de m vetores em V com m n Queremos mostrar que S é linearmente dependente Como S v v V uma base cada w pode ser expresso como uma combinagao linear dos vetores em S digamos W 4V tavt av W 4V aV av 1 W an IV bet Qa n 214 Algebra Linear com Aplicacées Para mostrar que S é linearmente dependente devemos encontrar escalares k k nao todos zero tais que kw kw kw 0 2 Usando as equagdes em 1 podemos reescrever 2 como kay hyd Fo Qin VI kag Kydyy He thom V2 kya kydyy Ki Gim Vn 9 Assim pela independéncia linear de S o problema de provar que S é um conjunto line armente independente se reduz a mostrar que existem escalares k k k nado todos zero que satisfagam Ay ky ayk o0 4k 0 Ay ky yk a k 0 3 an k ak te Frm Kn 0 No entanto 3 tem mais incégnitas do que equacodes de modo que a prova esta completa pois o Teorema 122 garante a existéncia de solugées n4o triviais Prova do Teorema 452b Seja S w W W um conjunto qualquer de m vetores em V com m n Queremos mostrar que S nao gera V Faremos isso mostrando que a suposicao de que S gere V leva a uma contradicao da independéncia linear de v VV Se S gera V entéo cada vetor em V é uma combinagao linear dos vetores em S Em particular cada vetor v da base é uma combinacgao linear dos vetores em S digamos Vi Ay Wy 1 4g Wy PF Gy Wn Vy AyW HF AyWy FF An Wn 4 Vn a1W azW ue GinWn Para obter nossa contradi4o mostraremos que existem escalares k k k nao todos Zero tais que kv khyvkv0 5 No entanto 4 e 5 tém a mesma forma que 1 e 2 exceto pela permutagao de m com ne dos vetores w com os vetores v Assim a conta que nos levou a 3 agora fornece ayiky ai2ky dinkn 0 aniky aykz Arnkn 0 Amik Gm2k2 Annkn 0 Esse sistema tem mais incdégnitas do que equacgoes e portanto tem solugdes nAo triviais pelo Teorema 122 Prova do Teorema 453a Suponha que S v V Vv sejaum conjunto linear mente independente de vetores em V e que v seja um vetor em V que esta fora do gerS Para mostrar que S v V VV um conjunto linearmente independente deve mos mostrar que os tinicos escalares que satisfazem a equagao kv tkyvkyvkv0 6 45 Dimensao 215 sto k k k k 0 Mas certamente temos k 0 pois caso contrario poderfamos resolver 6 em v como uma combinacAo linear de v V V contradizen do a nossa suposicao de que v esta fora do gerS Assim 6 simplifica para kv kyvkyv0 7 0 que implica pela independéncia linear de v v Vv que k k k0 Prova do Teorema 4536 Suponha que S v v Vv seja um conjunto de vetores em V e para sermos especificos suponha que v é uma combinagao linear de v VV digamos V CV ONy Fe CV 8 Queremos mostrar que se v for removido de S entéo 0 conjunto restante v VV ainda gera gerS ou seja devemos mostrar que cada vetor w em gerS pode ser expresso como uma combinagao linear de v v V Mas se w for um vetor em gerS entao w pode ser expresso na forma wkytkvkv kv ou entao substituindo 8 wky thy kiivi k ev ov V o que da w como uma combinagao linear de v V5 V Prova do Teorema 455a Se S for um conjunto de vetores que gera V mas nao é uma base de V entao S é um conjunto linearmente dependente Assim algum vetor v em S pode ser expresso como uma combinacao linear dos demais vetores em S Pelo Teorema de MaisMenos 453b podemos remover v de S e 0 conjunto S resultante ainda gera V Se S for linearmente independente entao S é uma base de Ve podemos parar Se S for linearmente dependente entéo podemos remover algum vetor apropriado de S para obter um conjunto S que ainda gera V Podemos continuar removendo vetores dessa maneira até chegar finalmente num conjunto de vetores em S que é linearmente independente e que gera V Esse subconjunto de S é uma base de V Prova do Teorema 455b Suponha que dimV n Se S um conjunto linearmente independente que ainda nao uma base de V entao S nao gera Ve portanto existe algum vetor v em V que nao esta no gerS Pelo Teorema de MaisMenos 453a podemos acrescentar v a S e o conjunto S resultante ainda é linearmente independente Se S gerar V entao S é uma base de V e podemos parar Se S nao gerar V entéo podemos acres centar algum vetor apropriado a S para obter um conjunto S que ainda é linearmente independente Podemos continuar acrescentando vetores dessa maneira até chegar num conjunto de n vetores linearmente independentes em V Esse conjunto sera uma base de V pelo Teorema 454 4 216 Algebra Linear com Aplicacées Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Dimensao e Encontrar uma base e a dimensao do espaco solugao de e Relaco entre 0 conceitos de independéncia linear base e um sistema linear homogéneo dimensao e Usar a dimensdo para determinar se um conjunto de vetores é uma base de um espaco vetorial de dimensao finita e Estender um conjunto linearmente independente a uma base Conjunto de exercicios 45 Nos Exercicios 16 encontre uma base do espago solucao do b Faga uma conjectura sobre a dimensao de W sistema linear homogéneo e encontre a dimensao desse espaco c Confirme sua conjectura encontrando uma base de W lL xy 4 4 0 2 3x x 3 4 0 12 Em cada caso encontre um vetor da base can6nica de R que 2x x 2x 0 5x 3 X 0 pode ser acrescentado ao conjunto v v para formar uma x3 0 base de R 3 x 4 3x x 0 a v 1 2 3 v 2 2 2x 8x 6x 2x 0 b v 1 1 0 v G 1 2 4 x 3x x 0 13 Encontre vetores da base candnica de R que podem ser acres 2x 6x 2x 0 centados ao conjunto v V para formar uma base de R n 9 3x 0 v 1 4 2 3 v 3 8 4 6 5 2x x 3x 0 6 xt yt z 0 14 Seja v v V uma base de um espago vetorial V Mostre que 1 5x3 0 3x 2y 2 0 u u u também é uma base sendo u v u v ve m 4 0 4x 3y z20 u v tv V3 ox 5y z0 15 Os vetores v 1 2 3 ev 0 5 3 sao linearmente 7 Encontre bases dos seguintes subespacos de R independentes Aumente v v até uma base de R a O plano 3x 2y 5z0 16 Os vetores v 1 23 5 ev 0 1 2 3 sao b Oplanox y 0 linearmente independentes Aumente v v até uma base 4 c Aretax 2ty tz 41 de R d Todos os vetores da forma a bc comb a tc 17 a Mostre que para cada inteiro positivo n podemos encon 4 trarn 1 vetores linearmente independentes em F 8 Encontre as dimensdes dos seguintes subespacos de R 2 Sugestdo procure polindmios a Todos os vetores da forma a b c 0 b Use o resultado da parte a para provar que F b Todos os vetores da forma a b c dem quedab tem dimensao infinita ecab c Prove que C e C so espacos vetoriais c Todos os vetores da forma a b c d em que de dimensAo infinita abcd 18 Seja S uma base de um espaco vetorial V de dimensao n Mos 9 Encontre a dimensfo de cada um dos seguintes espacos veto tre que se V V V formarem um conjunto linearmente riais independente de vetores em V ento os vetores de coordena a O espaco vetorial de todas as matrizes n X n diagonais das Vigo Wass Vv s formam um conjunto linearmente b O espaco vetorial de todas as matrizes n X n simétricas independente em R e reciprocamente 19 Usando a notacao do Exercicio 18 mostre que se os vetores c O espaco vetorial de todas as matrizes n X n triangulares VVV gerarem V entado os vetores de coordenadas superiores Vos Vas5 V Jy geram R e reciprocamente 10 Encontre a dimensao do subespaco de P consistindo em to ar 2 3 20 Em cada caso encontre uma base do subespago de P gerado dos os polinémios a ax ax ax com ay 0 pelos vetores dados 11 a Mostre que conjunto W de todos os polinémios em P a 1x 2x3 3x4 629 tais que p1 0 um subespaco de P 46 Mudanga de bases 217 b 1xx 2 2x 3x c Existe um conjunto de 11 vetores que gera R c 1 x 3x2 2 6x3 3x 9x d Cada conjunto linearmente independente de cinco vetores em 5S 2 5 Sugestdo seja S a base canénica de P e trabalhe com os vetores R é uma base de R de coordenadas em relagao a S como nos Exercicios 18 e 19 e Cada conjunto de cinco vetores que gera R é uma base de R 21 Prove qualquer subespaco de um espaco vetorial de dimensao f Cada conjunto de vetores que gera R contém alguma base de finita tem dimensao finita R 22 Enuncie as duas partes do Teorema 452 em forma contrapo g Cada conjunto de vetores linearmente independente em R sitiva estd contido em alguma base de R h Existe alguma base de M consistindo em matrizes inverti Exercicios verdadeirofalso veis iG oe n2 N as pares aj determine se a afirmacao é verdadeira ou falsa i Se A tiver tamanho n X nel A A A forem matrizes Justilicando sua resposta distintas entdo J A AA linearmente indepen a O espaco vetorial nulo tem dimensao zero dente b Existe um conjunto de 17 vetores linearmente independentes j Existem pelo menos dois subespacos tridimensionais distin em R tos de P 46 Mudanga de bases Uma base conveniente para um problema pode nao ser conveniente para um outro de forma que é um procedimento comum no estudo de espagos vetoriais a mudanga de uma base para uma outra Como a base é a generalizagado de coordenadas para um espago vetorial a mudanga de bases é relacionada A mudanga de eixos coordenados em R e R Nesta secao estudamos problemas relativos 4 mudanga de bases Se S v V V for uma base de um espago vetorial V de dimensao finita e se Aplicagao de coordenadas VW 5 Cy Ca 2 Cy for o vetor de coordenadas de v em relacao a S entao como observamos na Segao 44 a aplicacgao Vv Vs 1 cria uma conex4o uma bijecdo entre os vetores do espaco vetorial arbitrdrio V e os vetores do espaco vetorial familiar R Dizemos que 1 é a aplicacgao de coordenadas Aplicagdo de coordenadas de V em R Nesta secao é conveniente expressar os vetores de coordenadas em formato matricial ds 1 vos C Cy ivls 2 V R C Figura 461 em que os colchetes enfatizam a notacgao matricial Figura 461 Existem muitas aplicagdes em que é necessério trabalhar com mais de um sistema de Mudanca de bases coordenadas Nesses casos acaba sendo importante saber como se relacionam as coorde nadas de um vetor fixado em relacdo a cada um desses sistemas de coordenadas Isso nos leva ao problema seguinte Problema da mudanga de base Se v for um vetor num espaco vetorial V de dimensao finita e se mudarmos a base de V de uma base B para uma base B qual é a relac4o entre os vetores de coordenadas Vv e v 218 Algebra Linear com Aplicacées Observacéo Para resolver esse problema é conveniente dizer que B é a base velha e B a base nova Assim nosso objetivo é encontrar a relac4o entre as coordenadas velhas e novas de um vetor vem V fixado Para simplificar resolvemos esse problema em espacos bidimensionais A solucgao para espacos de dimensao n é andloga Sejam Buu e B uu as bases velha e nova respectivamente Precisamos dos vetores de coordenadas dos veto res da base nova em relacdo a base velha Suponha que sejam a c lulea lwle 3 isto é u au bu 4 uw cu du Seja agora v um vetor qualquer em Ve seja k ve j 5 k 0 novo vetor de coordenadas de modo que vku ku 6 Para conseguir encontrar as coordenadas velhas de v devemos expressar v em termos da base velha B Para isso substituimos 4 em 6 Isso fornece v kau bu kcu du ou vka kcu kb kdu Assim 0 velho vetor de coordenadas de v é kia kc Iv Lb 1 kd que por 5 pode ser escrito como a ck ac Vv VI Essa equacao afirma que o velho vetor de coordenadas v é 0 resultado da multiplicagao do novo vetor de coordenadas Vv 4 esquerda pela matriz pult b d Como as colunas dessa matriz s40 as coordenadas dos vetores da base nova em relacgao a base velha ver 3 temos a solucdo seguinte para o problema de mudanga de base Solucdo do problema de mudanga de base Se mudarmos a base de um espaco vetorial V de alguma base velha B u u u para uma base nova B u UU entao dado qualquer vetor v em V o velho vetor de coordenadas v esta relacionado com o novo vetor de coordenadas v pela equacao v Ply onde as colunas de P sao os vetores de coordenadas dos vetores da base nova em rela ao a base velha ou seja os vetores coluna de P sao u Us ui 8 46 Mudanca de bases 219 A matriz P na Equacao 7 é denominada matriz de transiao de B para B que paraen Matrizes de transicao fatizar muitas vezes denotamos por P Segue de 8 que essa matriz pode ser expressa em termos de seus vetores coluna como Pron fury fusy ds 9 Analogamente a matriz de transigéo de B para B pode ser expressa em termos de seus vetores coluna por P33 u uy u 10 Observacao Ha uma maneira simples de se lembrar dessas férmulas usando os termos matriz velha e matriz nova definidos na observagio precedente Na Formula 9 a base velha é B ea nova é B ao passo que na Férmula 10 a base velha é B e a nova é B Assim ambas férmulas podem ser reescritas como segue As colunas da matriz de transigado de uma base velha para uma base nova sao os veto res de coordenadas da base velha em relagdo a base nova Encontrando matrizes de transigao Considere as bases B u u e B u us de R onde u 10 u0 up uQ2 a Encontre a matriz de transigao P de B para B b Encontre a matriz de transigdo P de B para B Soluado a Aqui os vetores da base velha sao uj e U5 e os vetores da base nova sao u e u Queremos encontrar os vetores de coordenadas dos vetores u e uw da base velha em relacdo aos vetores u u da base nova Para isso observamos que u u u uw 2u u do que segue 1 2 uz e Wz 1 1 e portanto que Pp 1 2 BB 1 1 Solugao b Aqui os vetores da base velha sao u e u e os vetores da base nova sao u e u Como na parte a queremos encontrar os vetores de coordenadas dos vetores u e u da base velha em relagao aos vetores u e uw da base nova Para isso observamos que u uu u 2u u do que segue 1 2 We e Wlp 1 1 e portanto que P 7 4 Bo B 1 1 220 Algebra Linear com Aplicacées Suponha agora que B e B sejam as bases de um espaco vetorial V de dimensao finita Como a multiplicagao por P transforma vetores de coordenadas em relagao a base B em vetores de coordenadas em relacao a base B e P transforma vetores de coordenadas em relagao 4 base B em vetores de coordenadas em relacao 4 base B segue que para cada vetor v de V temos V5 Py alV1p 1 Vly Paso lVIy 12 Calculando vetores de coordenadas Sejam B e B as bases no Exemplo 1 Use uma férmula apropriada para encontrar v sabendo que ve Vine 5 Solugao Para encontrar v precisamos fazer a transico de B para B Da Formula 11 e da parte a do Exemplo 1 segue que Iv Pp Iv 1 23 7 4 Vv Vie B BB B 1 1 5 2 Invertibilidade de matrizes de Se Be B forem bases de um espaco vetorial V de dimensAo finita entao transiao Px a Psp Prop ja que a multiplicagao por P P transforma inicialmente as coordenadas de um vetor em relacao a B nas coordenadas em relacao a B e depois transforma essas coorde nadas em relacao a B de volta nas coordenadas em relagaéo a B Como 0 efeito final das duas operacgoes é deixar cada vetor de coordenadas no lugar em que se encontrava somos levados a concluir que P deve ser a matriz identidade ou seja Py sg Pas 1 13 omitimos a prova formal Por exemplo com as matrizes de transiao obtidas no Exem plo 1 temos P Pxsn 1 21 2 1 0 I pene P tt ay 1 1f Lo 1 Segue de 13 que P invertivel e que sua inversa é P Assim obtemos 0 teorema a seguir TEOREMA 461 Se P for a matriz de transigado de uma base B para uma base B de um espaco vetorial V de dimensdao finita entdo P é invertivel e P éamatriz de tran sicdo de B para B Um método eficiente para Nosso préximo objetivo é desenvolver um procedimento eficiente para calcular matrizes calcular matrizes de transicgado de transig4o entre bases de R Conforme ilustrado no Exemplo 1 0 primeiro passo no em R calculo de uma matriz de transigao é expressar cada vetor da base nova como uma combi nacdo linear dos vetores da base antiga Em R isso envolve resolver n sistemas lineares em 7 incégnitas todos com a mesma matriz de coeficientes por qué Uma maneira eficiente de fazer isso com o método ilustrado no Exemplo 2 da Secao 16 como segue 46 Mudanga de bases 221 Um procedimento para calcular P Passo 1 Montamos a matriz B B Passo 2 Reduzimos a matriz do Passo a forma escalonada reduzida usando opera des elementares com as linhas Passo 3 A matriz resultante é J P 5 Passo 4 Extraimos a matriz P do lado direito da matriz do Passo 3 Esse procedimento é capturado no diagrama seguinte base nova base velha aaa I transicao da velhaa nova 14 De novo o Exemplo 1 No Exemplo 1 consideramos as bases B uu e B uj uy de R em que u d 0 u 0 1 u d 1 uw 2 1 a Use a Formula 14 para encontrar a matriz de transiao de B para B b Use a Formula 14 para encontrar a matriz de transicao de B para B Solugdo a Aqui B é a base velha e B é a base nova portanto 1 O 1 2 base nova base velha ofl Como o lado esquerdo ja a matriz identidade nao precisamos reduzir Vemos claramen te que a matriz de transigdo é 1 2 Py sp 11 que esta de acordo com 0 resultado no Exemplo 1 Solucgdo b Aqui B é a base velhae B é a base nova portanto b Ib thal 1 21 0 base nova base velha 1 ilo Reduzindo essa matriz até tornar 0 lado esquerdo a identidade obtemos verifique 1 0 I1 2 I transicdo da velha para a nova 0 1 Ll 1 de modo que a matriz de transiao é 1 2 Pysy que também esta de acordo com o resultado no Exemplo 1 4 Note que na parte a do ultimo exemplo os vetores coluna da matriz que faz atransigéo0 Transicao para a base da base B para a base can6nica foram exatamente os vetores de B escritos em forma de candénica em R colunas Isso ilustra o seguinte resultado geral httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 222 Algebra Linear com Aplicacées TEOREMA 462 Sejam B u uu uma base qualquer do espaco vetorial R eS e a base canénica de R Se os vetores dessas bases forem escri tos em forma de colunas entado Py ss u u uy 15 Segue desse teorema que se Au u ul é uma matriz n X n invertivel qualquer entao A pode ser vista como a matriz de transigao da base u u u de R para a base canGnica de R Assim por exemplo a matriz 1 2 3 A2 5 3 1 0 8 cuja invertibilidade foi mostrada no Exemplo 4 da Secao 15 é a matriz de transicgao da base u121 u250 u G 3 8 para a base e 1 0 0 e 0 1 0 e 0 0 1 Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Aplicagao de coordenadas e Encontrar diretamente os vetores de coordenadas em e Problema da mudanga de base relagao a uma base dada e Matriz de transicao e Encontrar a matriz de transigao de uma base para outra e Usar a matriz de transigdo para calcular vetores de coordenadas Conjunto de exercicios 46 1 Em cada parte encontre o vetor de coordenadas de w em 4 Encontre o vetor de coordenadas de A em relacao a base relacao a base S u u de R S A A AA de M a u 10 u 0 1 w 37 2 0 1 1 11 b u 2 4 u 3 8 w 1 1 A 3h 0 of o of c u 1 1 u 0 2 w a b 2 Em cada parte encontre o vetor de coordenadas de v em A i A Hl relacao a base S v V V de R 1 0 01 a v 2 13 v C1 0 0 v 2 2 0 5 Considere os vetores de coordenadas v 3 3 3 8 b v 5 12 3 v 1 2 3 vy 4 5 6 6 3 7 v 7 8 9 IWlsl qls90 Bls 6 3 Em cada parte encontre o vetor de coordenadas de p em 4 4 3 relagdo a base S p p Ps de P a p43x ie p Lp x p x a Encontre w se S for a base no Exercicio 2a b p2x plxp Il x b Encontre q se S for a base no Exercicio 3a Pp x x c Encontre B se S for a base no Exercicio 4 46 Mudanga de bases 223 6 Considere as bases B uu e B ul us de R em que b Encontre a matriz de transicdo de B para B 1 0 2 3 c Calcule o vetor de coordenadas p em que p 4 x u ol u iP u if u 4 e use 12 para calcular p d Confira seu trabalho calculando p diretamente a Encontre a matriz de transicgéo de B para B 11 Seja Vo espago gerado por f sen xe f cos x b Encontre a matriz de transigéo de B para B a Mostre que g 2 senx cosxeg 3 cos x formam c Calcule o vetor de coordenadas w em que uma base de V b Encontre a matriz de transicao de B g g para wal B ff 5 c Encontre a matriz de transicao de B para B e use 10 para calcular Ww d Calcule o vetor de coordenadas h em que h 2 sen x 5 cos x e use 12 para calcular h d Confira seu trabalho calculando w diretamente e Confira seu trabalho calculando h diretamente 7 Repita as orientagdes do Exercicio 6 com o mesmo vetor w 5 mas com 12 Sejam S a base canénica de R e B v v a base dada por v 2 lev 3 4 u 2 ue 4 we 1 we 1 a Encontre a matriz de transigio P por inspecao 2 1 3 1 b Use a Formula 14 para encontrar a matriz de transicao Py os 8 Considere as bases B U u u eB ul ui w de R em que asa U Un Us U1 Ua us de c Confirme que P e P S40 inversas uma da outra d Seja w 5 3 Encontre w e entao use a Formula 3 3 1 11 para calcular w u 0 w 2 w 6 e Seja w 3 5 Encontre w e entao use a Formula 3 l l 12 para calcular w 6 2 2 13 Sejam Sa base canénica de R e B v V V a base dada ui6 w6 w3 por v 1 2 1 v 25 0 ev 3 3 8 0 4 7 a Encontre a matriz de transigao P por inspegao b Use a Formula 14 para encontrar a matriz de transicao a Encontre a matriz de transicao de B para B Poop b Calcule o vetor de coordenadas w em que c Confirme que P e P Sao inversas uma da outra 5 d Seja w 5 3 1 Encontre w e ento use a Formula w 8 11 para calcular w 5 e Seja w 3 5 0 Encontre w e entao use a Formula 12 para calcular Ww e use 12 para calcular w 14 Sejam B u u e B v v5 as bases de R dadas por c Confira seu trabalho calculando w diretamente u 22 u 4 1 v 0 3ev 1 1D 9 Repita as orientagdes do Exercicio 8 com o mesmo vetor w a Use a Formula 14 para encontrar a matriz de transigao mas com Peo 9 2 1 b Use a Formula 14 para encontrar a matriz de transicao Pa spy u1l ul u2 1 1 1 c Confirme que Pssp Pp 4g S40 inversas uma da outra d Seja w 5 3 Encontre w e use a matriz P 3 1 l para calcular w a partir de w B4P By y 1 wea 1 w 0 e Seja w 3 5 Encontre ws e use a matriz Psysp 5 3 2 para calcular w pa partir de w By 2 10 Considere as bases B p p B qq de P em que 15 Sejam B u u e B v v as bases de R dadas por u 1 2 u 2 3 v 1 3 ev C1 4 P 6 3x p 104 2x gi 2 q3 2x a Use a Formula 14 para encontrar a matriz de transigao a Encontre a matriz de transicgéo de B para B P ByBy 224 Algebra Linear com Aplicacées b Use a Formula 14 para encontrar a matriz de transigdo de BdevV parav V Qual é 0 efeito sobre P se Pasay invertermos a ordem dos vetores de B e de B c Confirme que Ps sp Px sp S40 inversas uma da outra 23 Considere a matriz d Scie 1 v 1 viel Mt e use a matriz P para 1 10 calcular w a partir de w a 4P m p1 0 2 e Seja w 25 Encontre w e use a matriz Ps se para 02 4 calcular w g 4 partir de w By 16 Sejam B u u Uj e B V V V3 as bases de R da a P éa matriz de transicéo de qual base B para a base cané das por u 3 0 3 u 3 2 1 u 1 6 1 nica S ee de R Vv 6 6 0 Vv 2 6 4 ev 2 3 7 b Péa matriz de transigdo da base canénica S e e 3 a Encontre a matriz de transigao Py By para qual base B de R b Seja w S 8 5 Encontre Iw e entao use a ma 24 A matriz triz de transi4o obtida na parte a para calcular w 2 por multiplicacgao matricial 1 0 0 2 c Confira seu resultado na parte b calculando w B dire P 1 tamente 17 Repita as orientagdes do Exercicio 16 com 0 mesmo vetor w é a matriz de transigdo de qual base B para a base R de mas com u 2 1 1 u 2 1 1 u C1 2 1 1 1 1 1 0 1 0 0 v G 1 5v C1 1 3 ev 10 2 25 Seja B uma base de R Prove que os vetores v V V 18 Sejam S e e a base canénica de R ea base que resulta formam um conjunto linearmente independente de R se e s6 quando os vetores de S sao refletidos em torno da reta y x se os vetores V Vo V formam um conjunto line a Encontre a matriz de transigao P armente independente de R b Seja P Pe mostre que P P 26 Seja B uma base de R Prove que os vetores V V V e 19 Sejam S e e a base canénica de R e a base que resulta ram Rse 80 se os vetores Vio Vala Wale geram R quando os vetores de S sao refletidos em torno da reta que faz 27 Se valer w w com qualquer vetor w de R o que pode ser um Angulo 6 com 0 eixo x positivo dito sobre a base B a Encontre a matriz de transigao Ps s Exercicios verdadeirofalso b Seja P Pe mostre ne P Psp Nas partes af determine se a afirmacéo é verdadeira ou falsa 20 Se B B e B forem bases de R e se justificando sua resposta 3 1 7 2 a Se B e B forem bases de um espago vetorial V ento Py Ps se k iM existe uma matriz de transigao de B para B b Matrizes de transico sAo invertiveis entao Pp 45 c Se B for uma base do espaco vetorial R entio P éa 21 Se P for a matriz de transigéo de uma base B para uma base B matriz identidade 2 a matriz de transig ao de B para oma base C qual ame d Se P for uma matriz diagonal entaéo cada vetor em triz de transigaéo de B para C Qual é a matriz de transicao de ge C para B B um miltiplo escalar de algum vetor em B e Se cada vetor em B for um multiplo escalar de algum 22 Para escrever o vetor de coordenadas de um vetor é neces Lo vetor em B entéo P uma matriz diagonal sdrio especificar um ordenamento dos vetores das bases Se re P for a matriz de transico de uma base B para uma base B f Se A for uma matriz quadr ada entéo A P BBY usando qual 0 efeito sobre P de uma invers4o da ordem dos vetores certas bases B e B de R 47 Espago linha espago coluna e espago nulo 225 47 Espaco linha espago coluna e espaco nulo Nesta segdo estudamos alguns espacos vetoriais importantes associados com matrizes Aprofundaremos 0 entendimento das relagdes entre as solugdes de um sistema linear e as propriedades de sua matriz de coeficientes Lembre que podemos escrever vetores com parénteses e virgulas ou em forma matricial Espaco linha espaco coluna como vetores linha ou vetores coluna Nesta seco utilizamos essas duas ultimas formas e espaco nulo DEFINICAO 1 Para uma matriz n X n ay a9 ute A A Gy gg Aan Aint An Ginn os vetores r41 4 7s Gn ri 4 4 rn Gini an2 soe Ann em R formados pelas linhas de A so denominados vetores linha de A e os vetores ay Ap G1 ay Ag Ay c G o G nj Any Gin em R formados pelas colunas de A séo denominados vetores coluna de A EXEMPLO 1 Vetores linha coluna de uma matriz 2 x 3 Seja A 2 1 0 3 1 4 Os vetores linha de A sao r2 1 0 e r3 1 4 e os vetores coluna de A sao 2 1 0 cq e QqQ 1 3 2 3 4 A proxima defini4o caracteriza trés espacos vetoriais importantes associados com uma matriz DEFINICAO 2 Se A for uma matriz m X n ent3o o subespaco de R gerado pelos vetores linha de A é denominado espago linha de A e 0 subespaco de R gerado pelos vetores coluna de A é denominado espago coluna de A O espaco solugao do sistema homogéneo de equagdes Ax 0 que um subespaco de R denominado espaco nulo de A 226 Algebra Linear com Aplicacées Nesta seco e na proxima iremos nos ocupar de duas questées gerais Questo 1 Quais relagdes existem entre as solugdes de um sistema linear Ax beo espaco linha 0 espaco coluna e 0 espaco nulo da matriz de coeficientes A Questao 2 Quais relagdes existem entre 0 espaco linha 0 espacgo coluna e 0 espaco nulo de uma matriz Comegando com a primeira questao suponha que Qp Ag tts Ay x A 21 2 ut 2 e x 2 nj An oc Gin Xn Segue da Férmula 10 da Segao 13 que se denotam os vetores coluna de A entéo o produto Ax pode ser expresso como uma combinacAo linear desses vetores com coeficientes de x ou seja Ax xC x 4x 1 Assim um sistema linear Ax b de m equag6es em n incégnitas pode ser escrito como xe t x0 x b 2 do que podemos concluir que Ax b consistente se e s6 se b pode ser expresso como uma combinacAo linear dos vetores coluna de A Isso fornece 0 seguinte teorema TEOREMA 471 Um sistema Ax b de equacées lineares é consistente se e s6 se b esta no espaco coluna de A Um vetor b no espaco coluna de A Seja Ax bo sistema linear 1 3 2 x 1 1 2 3x 9 2 1 2 x 3 Mostre que b esta no espaco coluna de A expressando b como uma combinagao linear dos vetores coluna de A Solugao Resolvendo o sistema por eliminacdo gaussiana obtemos verifique x2 xl 3 Disso e da Formula 2 segue que 1 3 2 1 2 12339 2 1 2 3 Pelo Teorema 344 sabemos que a solucdo geral de um sistema linear consistente Ax b pode ser obtida somando qualquer solugao especifica desse sistema com a solucao geral do sistema linear homogéneo Ax 0 correspondente Lembrando que o espacgo 47 Espago linha espaco coluna e espaco nulo 227 nulo de A é igual ao espago solucgao de Ax 0 podemos reescrever aquele teorema neste formato TEOREMA 472 Se x denotar uma solucdo qualquer de um sistema linear consis tente Ax be se S V V5 V for uma base do espaco nulo de A entdo cada solucdo de Ax b pode ser expressa na forma X X V tov V 3 Reciprocamente com qualquer escolha dos escalares c C Cy 0 vetor X dessa formula é uma solucdo de Ax b A Equagao 3 da uma férmula para a solucdo geral de Ax b O vetor x nessa formula é denominado solugao particular de Ax b e a parte restante da formula é denominada solugdao geral de Ax 0 Em palavras podemos reescrever essa formula como segue A solugdo geral de um sistema linear consistente pode ser expressa como a soma de uma solucao particular daquele sistema com a solucao geral do sistema homogéneo correspondente O conjunto das solugdes de Ax b pode ser visto geometricamente como a transla cao por x do espaco solugao de Ax 0 Figura 471 y X X xX x Conjunto das solugdes de Ax b Espaco solugao Figura 471 de Ax 0 Solug4o geral de um sistema linear Ax b Na subsecAo final da Segao 34 comparamos as solucgées dos sistemas lineares x x 1 32 0 2 0 x 0 1 3 2 0 2 0 x 0 2 6 5 2 4 3 x 0 2 6 5 2 4 3 x 1 0 0 5 10 O I15x to o 0 5 10 0 15 x 7 5 2 6 0 8 4 18 x 0 2 6 0 8 4 18 x 6 Xo 6 228 Algebra Linear com Aplicacées e deduzimos que a solucao geral x do sistema nado homogéneo e a solucao geral x do siste ma homogéneo correspondente quando escrita como vetor coluna estao relacionadas por x 3r 4s 2t 0 3 4 2 X r 0 1 0 0 X3 2s 0 4 0 4 2 4 0 r Ss X4 s 0 0 1 0 Xs t 0 0 0 1 X 5 0 0 0 S ss x Xo X Pela observagao que segue o Exemplo 4 da Secao 45 sabemos que os vetores em x formam uma base do espago solugdo de Ax 0 Bases dos espacos linha Iniciamos o desenvolvimento de operagdes elementares com linhas com o propésito de colunaenulo resolver sistemas lineares e nosso trabalho mostrou que efetuar uma operacao elementar com as linhas de uma matriz aumentada nao altera o conjunto de solugdes do sistema linear correspondente Segue que aplicar uma operacao elementar com as linhas de A nao muda 0 conjunto de solugées do sistema linear Ax 0 correspondente ou dito de outra forma nao altera o espacgo nulo de A Assim temos 0 teorema seguinte TEOREMA 473 As operacées elementares com linhas ndo alteram o espago nulo de uma matriz O resultado que acompanha o Teorema 473 0 préximo teorema cuja prova fica para os exercicios TEOREMA 474 As operagdées elementares com linhas nao alteram o espaco linha de uma matriz Os Teoremas 473 e 474 podem levar o leitor a acreditar erroneamente que as ope ragdes elementares com linhas nao afetam o espago coluna de uma matriz Para ver por que isso ndo é verdade compare a matrizes 1 3 1 3 A e B 2 6 0 0 A matriz B pode ser obtida de A somando 2 vezes a primeira linha 4 segunda Contudo essa operacéo mudou 0 espaco coluna de A pois esse espaco coluna consiste nos multi plos escalares de 1 2 enquanto o espaco coluna de B consiste nos multiplos escalares de 1 0 e os dois espacos sao diferentes 47 Espaco linha espaco coluna e espaco nulo 229 Encontrando uma base do espaco nulo de uma matriz Encontre uma base do espaco nulo da matriz 1 3 2 0 2 0 A 2 6 5 2 4 3 10 0 5 10 O 15 2 6 0 8 4 18 Solugdo O espaco nulo de A 0 espago solugao do sistema linear homogéneo Ax 0 que conforme vimos no Exemplo 3 tem a base 3 4 2 1 0 0 0 2 0 v Ww Y 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Observacao Note que os vetores da base v v e V no ultimo exemplo sao os vetores que obtemos quando tomamos sucessivamente um dos parametros da solugao geral igual a 1 e os demais iguais a0 O préximo teorema torna possivel encontrar apenas por inspeao bases para os espa os linha e coluna de uma matriz em forma escalonada TEOREMA 475 Se uma matriz R esta em forma escalonada por linhas entdo os vetores linha com os pivds ou seja os vetores linha nao nulos formam uma base do espaco linha de R e os vetores coluna com os pivoés vetores linha formam uma base do espaco coluna de R A prova envolve um pouco mais do que uma andlise das posicées das entradas 0 e 1 de R Omitimos os detalhes Bases dos espacos linha e coluna A matriz 1 2 5 0 3 0 1 3 0 0 R 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 esta em forma escalonada por linhas Pelo Teorema 475 os vetores rl 2 5 0 3 r 0 1 3 0 0 r 0 0 0 1 0 230 Algebra Linear com Aplicacées formam uma base do espago linha de R e os vetores 1 2 0 0 1 0 c GQ Qs 10 0 yd 0 0 0 formam uma base do espaco coluna de R Bases de um espaco linha com redugao por linhas Encontre uma base do espaco linha da matriz 1 3 4 2 5 4 26 9 1 8 2 A 26 9 I1 9 7 1 3 4 2 5 4 Solugao Como operacées elementares com linhas nao alteram o espago linha de uma matriz podemos encontrar uma base do espao linha de A encontrando uma base do espa co linha de qualquer forma escalonada por linhas de A Reduzindo A a forma escalonada por linhas obtemos verifique 1 3 4 2 5 4 0 0 1 32 6 R 0 O O 90 1 5 0 0 0 0 0 90 Pelo Teorema 475 os vetores linha nao nulos de R formam uma base do espao linha de Re portanto formam uma base do espaco linha de A Esses vetores de base sao r1 3 4 2 5 4 r0 0 1 32 6 r0 0 0 0 1 5 4 O problema de encontrar uma base do espao coluna da matriz A no Exemplo 6 foi complicado pelo fato de que uma operaga4o elementar com linhas pode alterar 0 espago coluna Contudo a boa noticia que as operagées elementares com linhas ndo alteram as relacées de dependéncia linear entre os vetores coluna Para tornar isso mais preciso suponha que W W W Sejam vetores coluna linearmente dependentes de A de modo que existam escalares c c c nao todos nulos e tais que cw cow w 0 4 Efetuando uma operacgao elementar com as linhas de A esses vetores serao alterados em novos vetores coluna w W W A primeira vista poderia parecer possivel que os vetores transformados poderiam ser linearmente independentes Contudo isso nao ocorre pois pode ser provado que esses novos vetores coluna serao linearmente dependentes e de fato relacionados por uma equagao cw ow w 0 que tem exatamente os mesmos coeficientes de 4 O fato de as operagdes elementares preservarem a independéncia linear entre vetores coluna decorre do fato de essas opera ces serem reversiveis por qué O proximo teorema resume todos esses resultados 47 Espago linha espaco coluna e espaco nulo 231 TEOREMA 476 Sejam A e B matrizes equivalentes por linhas a Um conjunto qualquer de vetores coluna de A é linearmente independente se e s6 se o conjunto de vetores coluna correspondente de B é linearmente independente b Um conjunto qualquer de vetores coluna de A forma uma base do espaco coluna de A se e S6 se o conjunto de vetores coluna correspondente de B forma uma base do espaco coluna de B Base de um espaco coluna com redugao por linhas Encontre uma base do espaco coluna da matriz 1 3 4 2 5 4 2 6 9 l 8 2 A 2 6 9 l1 9 7 1 3 4 2 5 4 Solucao Observamos no Exemplo 6 que a matriz 1 3 4 2 5 4 0 0 1 3 2 6 R 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 0 é uma forma escalonada por linhas de A Lembrando que A e R podem ter espacos coluna distintos nado podemos encontrar uma base do espago coluna de A diretamente a partir dos vetores coluna de R Contudo segue do Teorema 476b que se encontrar mos um conjunto de vetores coluna de R que formem uma base do espago coluna de R entao os vetores coluna de A correspondentes formarado uma base do espao coluna de A Como as primeira terceira e quinta colunas de R contém os pivés dos vetores linha temos que os vetores 1 4 5 0 1 2 Slof Slop 1 0 0 0 formam uma base do espaco coluna de R Assim os vetores coluna de A correspondentes a saber 1 4 5 2 9 8 G C 1 2 3 9 5 9 l 4 5 formam uma base do espaco colunade A 4 Até aqui focamos nosso estudo em métodos para encontrar bases associadas a matri zes Esses métodos podem ser facilmente adaptados ao problema mais geral de encontrar uma base do espaco gerado por um conjunto de vetores em R 232 Algebra Linear com Aplicacées Base de um espaco vetorial usando operacgées com linhas Encontre uma base do subespago de R gerado pelos vetores vi 2 0 0 3 Vv 2 5 3 2 6 v 05 15 100 v 26 18 8 6 Solugao Oespaco gerado por esses vetores 0 espaco linha da matriz 1 2 0 0 3 2 5 3 2 6 0 5 15 10 0 2 6 18 8 6 Reduzindo essa matriz a uma forma escalonada por linhas obtemos 1 2 0 0 3 0 1 3 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 Os vetores linha nao nulos nessa matriz sao w 1 2 00 3 w 0 13 20 w 00 1 1 0 Esses vetores formam uma base do espago linha e consequentemente formam uma base do subespaco de R gerado por VVVeV 4 Bases formadas com vetores Em todos os nossos exemplos considerados até aqui procuramos bases sem considerar linha e coluna de uma matriz restrigdes particulares impostas sobre os vetores individuais na base Agora atacamos 0 problema de encontrar uma base do espaco linha de uma matriz A constituida inteiramen te de vetores linha de A e uma base do espaco coluna de A constituida inteiramente de vetores coluna de A Refletindo sobre o que fizemos anteriormente vemos que 0 procedimento usado no Exemplo 7 produziu de fato uma base do espaco coluna de A constituida de vetores colu na de A ao passo que 0 procedimento usado no Exemplo 6 produziu uma base do espacgo linha de A mas aquela base nao consistia em vetores linha de A O préximo exemplo mostra como adaptar o procedimento do Exemplo 7 para encontrar uma base do espaco linha de uma matriz que seja formada por seus vetores linha Uma base do espaco linha de uma matriz Encontre uma base do espaco linha de 1 2 0 0 3 2 5 3 2 6 A 0 5 15 10 0 2 6 18 8 6 consistindo totalmente em vetores linha de A Soluao Vamos transpor A e com isso converter 0 espaco linha de A no espaco coluna de A em seguida usaremos 0 método do Exemplo 7 para encontrar uma base do espaco 47 Espaco linha espaco coluna e espaco nulo 233 coluna de A e finalmente vamos transpor de novo para converter os vetores coluna de volta para vetores linha Transpondo A obtemos 1 2 0 2 2 5 5 6 A 0 3 15 18 0 2 10 8 3 6 0 6 Reduzindo essa matriz a uma forma escalonada por linhas obtemos 1 2 0 2 0 1 5 10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 As primeira segunda e quarta colunas contém pivés de modo que os vetores coluna de A correspondentes formam uma base do espaco coluna de A a saber 1 2 2 2 5 6 c OO c 3 e c 18 0 2 8 3 6 6 Transpondo de novo e ajustando a notagao de acordo obtemos os vetores r1 2 0 0 3 r2 5 3 2 6 e r2 6 18 8 6 que formam uma base do espaco linhade A 4 Em seguida veremos um exemplo que adapta os métodos desenvolvidos acima para resolver 0 problema geral em R que segue Problema Dado um conjunto S v v V de vetores em R encontre um subconjunto desses vetores que forme uma base de gerS e expresse os vetores que nao estejam na base como combinacoes lineares dos vetores da base Bases e combinacoes lineares a Encontre um subconjunto dos vetores vi d 2 0 3 v 2 5 3 6 v 0 1 3 0 v 14 7 v 5 8 1 2 que forma uma base para 0 espaco gerado por esses vetores b Expresse cada vetor nao da base como uma combinagAo linear dos vetores da base 234 Algebra Linear com Aplicacées Solucao a Comecamos construindo uma matriz que tem V V5 V como vetores coluna como segue 1 2 0 2 5 2 5 1 l 8 i 3 4 1 5 3 6 0 7 2 tT tT fT FT Vv VY Vv WY Vs A primeira parte de nosso problema pode ser resolvida encontrando uma base do espaco coluna dessa matriz Reduzindo a matriz a uma forma escalonada reduzida por linhas e denotando os vetores coluna da matriz resultante por w W W W W obtemos 1 0 2 0 1 0 1 l 0 1 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 tT t Ff FT F w Ww WwW OW OWS Os pivés ocorrem nas colunas 1 2 e 4 e portanto pelo Teorema 475 W Wo Wy é uma base do espaco coluna de 6 e consequentemente v V v é uma base do espaco coluna de 5 Solucao b Comegamos expressando w e w como combinacoes lineares dos vetores w W W da base A maneira mais simples de fazer isso é expressar w Ww em termos dos vetores da base com os menores indices Assim expressaremos wcomo combinagao linear de w e w e W como combinagao linear de w w e w Inspecionando 6 essas combinacoes lineares sao w 2w w wwwiW denominadas equagées de dependéncia As relacdes correspondentes em 5 sao Vv 2v V VsVitV tv A seguir apresentamos um resumo dos passos que seguimos no Ultimo exemplo para resolver o problema proposto Base de gers Passo 1 Formamos a matriz A com os vetores em S V V V Como vetores coluna Passo 2 Reduzimos a matriz A a uma forma escalonada reduzida por linhas R Passo 3 Denotamos os vetores coluna de R por W W W Passo 4 dentificamos as colunas de R com os pivés Os vetores coluna de A corres pondentes formam uma base de gerS Isso completa a primeira parte do problema 47 Espago linha espaco coluna e espaco nulo 235 Passo 5 Obtemos um conjunto de equacées de dependéncia expressando cada vetor coluna de R que nao tem piv6 como uma combinagao linear de vetores coluna pre cedentes que contenham pivés Passo 6 Substituimos os vetores coluna de R que aparecem nas equacoes de depen déncia pelos vetores coluna de A correspondentes Isso completa a segunda parte do problema Revisao de conceitos e Relagoées entre os espacos linha coluna e nulo de uma matriz e Vetores linha e Equacées de dependéncia e Vetores coluna Aptidoes desenvolvidas e Espaco linha e Determinar se um dado vetor esta no espago coluna de e Espaco coluna uma matriz Espago nulo e Encontrar uma base do espaco nulo de uma matriz Solugao geral e Encontrar uma base do espaco linha de uma matriz Solugao particular e Encontrar uma base do espaco coluna de uma matriz e RelacOes entre sistemas lineares e espacos linha e Encontrar uma base do espaco gerado por um conjunto de coluna e nulos n vetores em R Conjunto de exercicios 47 1 Identifique os vetores linha e os vetores coluna da matriz 1 l 1 2 10 1 d A 1 1 1 b0 3 5 7 4 1 l 1 0 P 4 2 7 1201 4 2 Em cada parte expresse 0 produto Ax como uma combinacao e A O 1 2 TY b 3 linear dos vetores coluna de A 1 2 1 3 5 4 0 1 a 0 1 2 2 7 2 3 b3 6 2 3 1 4lfl2 4 Suponha que x 1 x 2x 4x 3 seja uma 0 l 4 5 solugao de um sistema linear nio homogéneo Ax b e que 3 6 2 0 conjunto solucdo do sistema homogéneo Ax 0 seja dado 5 4 0 l 7 1 5 3 pelas formulas 3 2 0 5 6 38 x3rt4s xrs 4 r X I 8 3 a Encontre a forma vetorial da solugao geral de Ax 0 3 Em cada parte determine se b esta no espaco coluna de A e b Encontre a forma vetorial da solucdo geral de Ax b se estiver expresse b como combinacao linear dos vetores x luna de A 5 Em cada parte encontre a forma vetorial da solucao geral cotuna cea do sistema linear Ax b dado e depois use 0 resultado a A I 3 b 2 obtido para encontrar a forma vetorial da solug4o geral de 4 6 10 Ax 0 1 12 1 a x 3x1 b x x 2x 5 b A1 0 1 b 0 2x 6x 2 x x 2 13 2 2x x3x 3 c x 2x x2x1 11 ol 5 2x 4x 2x 4x 2 c A 9 3 1 b 1 x2x x2x 1 1 1 1 l 3x 6x 3x 6x 3 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 236 Algebra Linear com Aplicacées dq x 2x3x x 4 11 Em cada parte encontre uma base do subespago de R gerado 2x x 2x x1 pelos vetores dados Sates t 3 a 1 1 4 3 20 2 2 213 2 4x 7x 5x5 b 1 1 2 0 3 3 6 0 90 0 3 6 Em cada parte encontre uma base do espaco nulo de A c 1 10 0 00 1 1 2 0 2 2 0 3 0 3 1 l 3 2 0 l 12 Encontre um subconjunto dos vetores dados que forma uma a A5 4 4 bs A4 O 2 base do espaco gerado pelos vetores em seguida expresse 7 6 2 0 0 0 cada vetor que nao esta na base como uma combinacao linear dos vetores da base P43 2 a v 10 11 v 337 D A 2 1 3 0 139 3 vy 5 35 D ot 32 2 b v 1 203 2 4 0 6 1 4 5 6 9 v I1 1 20 v 0 1 2 3 3 2 1 4 1 c v 1 15 2 v 2 3 1 0 MA 5 9 4 22 1 v 4 5 94 v 0 4 2 3 3 5 7 8 v 7 18 2 8 13 Prove que os vetores linha de uma matriz invertivel A de 13 2 2 1 tamanho n X n formam uma base de R 0 3 6 0 3 14 Construa uma matriz cujo espaco nulo consista em todas as ec A 2 3 2 4 4 combinac6es lineares dos vetores 3 6 0 6 5 1 5 2 9 2 4 5 1 0 7 Em cada parte é dada uma matriz em forma escalonada por y 3 eM 2 linhas Por inspegdo encontre bases dos espaco linha e coluna 2 4 de A 1 3 0 0 15 a Seja 1 02 0 1 0 0 o 0 1 O15 60 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 1 2 4 5 0 1 3 0 l 2 l 5 Mostre que em relacdo a um sistema de coordenadas 0 1 4 3 retangulares xyz no espaco tridimensional o espaco nulo c 0 0 1 3 d 0 0 1 7 de A consiste em todos os pontos no eixo z e que 0 espago 0 0 0 1 coluna consiste em todos os pontos no plano xy ver figura 0 0 0 0 0 b Encontre uma matriz 3 X 3 cujo espaco nulo seja 0 eixo 8 Para as matrizes do Exercicio 6 encontre uma base do espaco x e cujo espaco coluna seja o plano yz linha de A reduzindo a matriz 4 forma escalonada por linhas 9 Em cada parte encontre uma base do espaco linha e uma base do espaco coluna da matriz 102 13 0 0 Espaco nulo de A 0 1 0 0 joo lo 0 0 0 y oo 0 0 0 0 0 Espaco coluna 1 2 4 5 1210 dea Figura Ex15 0 1 3 0 o o 13 4 3 0 0 0 1 0 0 17 16 Encontre uma matriz 3 X 3 cujo espaco nulo seja 0 0 0 0 0 0 0 I a um ponto b uma reta c um plano 10 Para as matrizes do Exercicio 6 encontre uma base do espaco 17 a encore es matrizes 2 X 2 cujo espaco nulo seja a linha de A consistindo totalmente em vetores linha de A Teta oN OY SS 48 Posto nulidade e os espacos matriciais fundamentais 237 b Esboce o espago nulo das matrizes dadas b Oespago coluna de uma matriz A é 0 conjunto de solucées de Ax b A s B i c Se R for a forma escalonada reduzida de A entao aqueles 0 5 0 5 vetores coluna de R que contém pivés formam uma base do espaco coluna de A C 6 2 D 0 0 d O conjunto de vetores linha nao nulos de uma matriz A é uma 31 0 0 base do espaco linha de A i x é i 18 A equacio x x x 1 pode ser vista como um sistema e SeAe B forem matrizes 7 X neque tm o mesmo espace li Ae nha entao A e B tém o mesmo espago coluna linear de uma equagao em trés incdégnitas Expresse a solugao geral como uma solucio particular mais uma solugio geral f Se E for uma matriz elementar m X me A uma matriz m X n do sistema homogéneo correspondente Sugestdo escreva os entao o espago nulo de EA igual ao espago nulo de A vetores na forma de colunas g Se E for uma matriz elementar m X me A uma matriz m X n 19 Suponha que A e B sejam matrizes n X ne que A seja inver entao o espago linha de EA igual ao espago linha de A tivel Invente e prove um teorema que descreve como estao h Se E for uma matriz elementar m X meA uma matriz m X n relacionados os espagos linha de AB e de B ento o espaco coluna de EA é igual ao espaco coluna de A os i O sistema Ax b é inconsistente se e s6 se b nao esta no Exercicios verdadeirofalso espaco coluna de A Nas partes aj determine se a afirmagao verdadeira ou falsa Gj Existem uma matriz invertivel A e uma matriz singular B tais justificando sua resposta wets que os espacos linha de A e B sAo iguais a O gerado de v v 0 espaco coluna da matriz cujos ve tores coluna sao V V 48 Posto nulidade e os espacos matriciais fundamentais Na secAo anterior investigamos as relagdes entre um sistema de equacées lineares e os espacos linha coluna e nulo de sua matriz de coeficientes Nesta segdo tratamos das dimensGes desses espacos Os resultados que obteremos nos fornecerao uma visao aprofundada das relacg6es entre um sistema linear e sua matriz de coeficientes Nos Exemplos 6 e 7 da Secdo 47 vimos que ambos os espagos linha e coluna da matriz Os espacos linha e coluna 13 42 5 4 dimensées iguais 2 6 9 l 8 2 A 2 6 9 1l 9 7 1 34 2 5 4 tém trés vetores de base e portanto ambos sdo tridimensionais O fato de esses espacos terem a mesma dimensao n4o é acidental mas sim uma consequéncia do teorema seguinte TEOREMA 481 Os espagos linha e coluna de uma matriz tém a mesma dimensdao Prova Seja R uma forma escalonada de uma matriz A Segue dos Teoremas 474 e 476b que dimespaco linha de A dimespaco linha de R dimespaco coluna de A dimespago coluna de R 238 Algebra Linear com Aplicacées de modo que basta mostrar que os espagos linha e coluna de R tém a mesma dimensAo Ocorre que a dimensdo do espaco linha de R 0 nimero de linhas nao nulas e pelo Teorema 475 a dimensao do espaco coluna de R 0 numero de pivés Como esses dois ntimeros sAo iguais os espacos linha e coluna tem a mesma dimensio 4 Posto e nulidade As dimensoes dos espacgos linha coluna e nulo de uma matriz séo nimeros tao importan tes que ha uma notagao e terminologia associadas A prova do Teorema 481 mos DEFINIGAO 1 A dimensado comum do espaco linha e do espaco coluna de uma matriz eee de A pode ser A denominada posto de A e denotada por posA A dimensao do espaco nulo de A interpretado como o numero de denominada nulidade de A e denotada por nulA pivés de qualquer forma escalo nada de A Posto e nulidade de uma matriz 4 x 6 Encontre o posto e a nulidade da matriz 1 2 0 4 5 3 37 2 0 1 4 A 2 5 2 4 6 1 4 9 2 4 4 7 Solucao A forma escalonada reduzida por linhas de A é 1 0 4 28 37 13 1 2 12 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 verifique Como essa matriz tem dois pivés seus espacos linha e coluna sao bidimen sionais e posA 2 Para encontrar a nulidade de A devemos encontrar a dimensao do espaco solucao do sistema linear Ax 0 Esse sistema pode ser resolvido reduzindo sua matriz aumentada a forma escalonada reduzida por linhas A matriz resultante sera idén tica a 1 exceto que tera uma Ultima coluna adicional de zeros e portanto o sistema de equagoes correspondente sera xX 4x 28x 37x 13x0 xX 2x 12x 16x 5x 0 Resolvendo essas equag6es nas variaveis lideres obtemos X 4x 28x 37x 13x 2 X 2x 12x 16x 5x do que obtemos a solugao geral x 4r 28s 37t 13u xX 2r 12s 16t 5u x r xX S xX t Xe U 48 Posto nulidade e os espagos matriciais fundamentais 239 ou em formato de vetor coluna x 4 28 37 13 Xx 2 12 16 5 Vas ofa Of 3 P S u X4 0 1 0 0 X 0 0 1 0 Xe 0 0 0 1 Como os quatro vetores do lado direito de 3 formam uma base do espaco solugao temos nulA 4 Valor maximo do posto Qual é 0 valor maximo possivel para o posto de uma matriz A de tamanho m X n que nao é quadrada Solug4o Como os vetores linha de A esto em R os vetores coluna em R 0 espaco linha de A tem no maximo dimensAo n e 0 espaco coluna tem no maximo dimensao m Como o posto de A é a dimensao comum dos espagos linha e coluna segue que o posto é no maximo o menor dos dois nimeros m en Isso pode ser denotado por posA minm n em que minmnéominimoentremen 4 O teorema seguinte estabelece uma relagdo importante entre o posto e a nulidade de uma matriz TEOREMA 482 O teorema da dimensdo para matrizes Se A for uma matriz com n colunas entado posA nulA n 4 Prova Como A tem n colunas o sistema linear homogéneo Ax 0 tem n incégnitas varidveis Essas varidveis entram em duas categorias as lideres e as livres Assim numero de varidveis lideres nimero de varidveis livres n Ocorre que o numero de variaveis lideres igual ao nimero de pivés na forma escalonada reduzida por linhas de A que é 0 posto de A e o numero de variaveis livres é igual ao numero de parametros na solucao geral de Ax 0 que é a nulidade de A Assim obtemos a Formula 4 4 A soma do posto e a nulidade A matriz 1 2 0 4 Se 37 2 0 1 4 A 2 5 2 4 6 1 4 9 2 4 4 7 240 Algebra Linear com Aplicacées tem 6 colunas portanto posA nulA 6 Isso é consistente com 0 Exemplo 1 onde mostramos que posA 2enulA4 O teorema seguinte que resume os resultados que j4 obtivemos interpreta posto e nulidade em termos de sistemas lineares homogéneos TEOREMA 483 Se A for uma matrizm X n entdo a posA numero de varidveis lideres na solugdo geral de Ax 0 b nulA numero de pardmetros na solucdao geral de Ax 0 O numero de parametros numa solugao geral Encontre o nimero de parametros na solucao geral de Ax 0 se A for uma matriz 5 X 7 de posto 3 Solugado Por 4 nulA n posA 73 4 Assim ha quatro parametros 4 Teorema da equivaléncia No Teorema 238 listamos sete resultados equivalentes 4 invertibilidade de uma matriz quadrada A Agora estamos em condig6es de juntar mais oito resultados aquela lista para obter um tinico teorema que resume a maioria dos t6picos que estudamos até aqui TEOREMA 484 Afirmagdes equivalentes Se A for uma matrizn X n entdo as seguintes afirmagées sao equivalentes a A é invertivel b Ax 0 tem somente a solucdao trivial c A forma escalonada reduzida por linhas de A é I d A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares e Ax b é consistente com cada matriz b de tamanho n X 1 f Ax b tem exatamente uma solugdo com cada matriz b de tamanho n X 1 g detA 0 h Os vetores coluna de A sao linearmente independentes i Os vetores linha de A sao linearmente independentes j Os vetores coluna de A geram R k Os vetores linha de A geram R 1 Os vetores coluna de A formam uma base de R m Os vetores linha de A formam uma base de R n A tem posto n 0 A tem nulidade 0 48 Posto nulidade e os espacos matriciais fundamentais 241 Prova A equivaléncia de h até m segue do Teorema 454 omitimos os detalhes Para completar a prova mostraremos que b 7 e 0 s4o equivalentes provando a se quéncia de implicagées b 0 n b b 0 Se Ax 0 tem somente a solugado trivial entéo nao ha parametros naquela solugdo e portanto nulA 0 pelo Teorema 483b 0 n Teorema 482 n b Se A tem posto n entaéo o Teorema 483a implica que ha n variaveis lideres portanto nao ha variaveis livres na solucao geral de Ax 0 A tinica possibilidade que resta é solucao trivial Em muitas aplicagdes a equacgdo num sistema linear corresponde a restrigdes fisicas ou Sistemas sobredeterminados condigdes que devem ser satisfeitas Em geral os sistemas mais desejaveis sfo aqueles e subdeterminados que tém o mesmo numero de restric6es e de incégnitas pois esses muitas vezes Ch solucao unica Infelizmente nem sempre é possivel fazer coincidir o nimero de restrigdes Na Engenharia e SE apli e 0 de incégnitas de modo que os cientistas muitas vezes se deparam com sistemas linea cagoes a ocorréncia de um sis so tema linear sobredeterminado res que tém mais restrigdes do que incdgnitas denominados sistemas sobredeterminados so ou subdeterminado muitas vezes ou com menos restrigdes do que incégnitas denominados sistemas subdeterminados Os sinaliza que uma ou mais varia dois teoremas seguintes nos ajudam a analisar sistemas sobre e subdeterminados 68 veis foram omitidas na formula 4o do problema ou que foram incluidas variaveis irrelevantes TEOREMA 485 Se Ax b for um sistema linear consistente de m equag6es em n Muitas vezes isso leva a algum incégnitas e se A tiver posto r entdo a solucdo geral do sistema contém n r para tipo de resultado fisico indese metros javel Prova Segue do Teorema 472 que o nimero de parametros é igual a nulidade de A que pelo Teorema 482 éigualanr TEOREMA 486 Seja A uma matrizn X n a Caso sobredeterminado Se m n entdo o sistema Ax b é inconsistente com pelo menos um vetor b em R b Caso subdeterminado Se m n entdo dado qualquer vetor b em R o sistema Ax b inconsistente ou tem uma infinidade de solucées Prova a Suponha que m n caso em que os vetores coluna de A nao podem gerar R menos vetores do que a dimensfo de R Assim existe pelo menos um vetor b em R que nao esta no espaco coluna de A e para esse b 0 sistema Ax b inconsistente pelo Teorema 471 Prova b Suponha que m n Dado qualquer b em R ha duas possibilidades ou o sistema Ax b consistente ou é inconsistente Se for inconsistente a prova acaba Se for consistente entao o Teorema 485 implica que a solucdo geral tem n r parametros onde r posA Mas posA é 0 menor dentre os niimeros me n de modo que nrnm0 Isso significa que a solugdo geral tem pelo menos um parametro e que portanto ha uma infinidade de solucées 4 242 Algebra Linear com Aplicacées Sistemas sobre e subdeterminados a O que podemos dizer sobre as solugdes de um sistema Ax b sobredeterminado de 7 equacdes em 5 incdégnitas em que o posto de A ér 4 b O que podemos dizer sobre as solugdes de um sistema Ax b subdeterminado de 5 equagdes em 7 incdégnitas em que o posto de A é r 4 Solugdo a Osistema é consistente com alguns vetores b em R e para cada um desses b o numero de parametros na solucao geralén r541 Solucdo b O sistema pode ser consistente ou inconsistente mas se for consistente com o vetor b em R entao a solucdo geral tem n r 7 4 3 parametros Um sistema sobredeterminado O sistema linear x 2x b X x b xX x b xX 2xb xX 3x é sobredeterminado portanto nao pode ser consistente com todos os valores possiveis de b b bs b e b Podem ser obtidas condig6es exatas sob as quais esse sistema con sistente resolvendo o sistema linear com eliminacao de GaussJordan Deixamos para 0 leitor mostrar que a matriz aumentada é equivalente por linhas a 1 0 2b Db 0 1 b b 0 0 b 3b 2b 5 0 0 b 4b 3b 0 0 b 5b 4b Assim 0 sistema consistente se e s6 se b b b b e b satisfazem as condig6es 2b 3b b 0 3b 4b b 0 4b 5b b0 Resolvendo esse sistema linear homogéneo obtemos b5r4s b4r3s b2rs bor bos comresarbitrarios Observacao A matriz de coeficientes do sistema linear do Ultimo exemplo tem n 2 colunas e tem posto r 2 porque ha duas linhas nao nulas em sua forma escalonada reduzida Isso implica que quando o sistema for consistente sua solugao geral contera n r 0 parametros ou seja a solugao sera inica Com um pouco de reflex4o o leitor deveria ver que isso ocorre devido a 5 Os espacos fundamentais Existem seis espacos vetoriais importantes associados a uma matriz A e sua transposta A de uma matriz o espago linha de A 0 espaco linha de A T oespago colunadeA o espaco coluna de A T 0 espaco nulo de A o espaco nulo de A 48 Posto nulidade e os espacos matriciais fundamentais 243 No entanto transpor uma matriz converte vetores linha em vetores coluna e vetores co luna em vetores linha de modo que exceto por uma diferenca de notag4o oespago linha Toe Toe Se A for uma matriz m X n en de A é igual ao espaco coluna de A e 0 espago coluna de A é igual ao espaco linha de A Assim d i listados somente sao distintos os seguintes 20 os espagos linha e nulo de A SSIIN COS Se1S ESPagos ls sao subespacos de R e 0 espaco coluna de A e 0 espaco nulo de oespago linhade A o espacgo coluna de A P ae ae T A sao subespacos de R o espaco nulo de A 0 espaco nulo de A Esses espagos sao conhecidos como os espacos fundamentais de uma matriz A No final desta secao discutimos as relag6es entre esses quatro subespagos Enfoquemos rapidamente a matriz A Como os espacos linha e coluna de uma matriz tém a mesma dimensdo e como a transposicao converte suas colunas em linhas e suas linhas em colunas o resultado a seguir nao deveria ser surpreendente TEOREMA 487 Se A for uma matriz qualquer entéo posA posA Prova posA dimespao linha de A dimespago coluna de A posA Esse resultado tem algumas implicag6es importantes Por exemplo se A for uma ma triz m X n entdo aplicando a férmula 4 a matriz A e usando o fato de que essa matriz tem m colunas temos T T posA nulA m que em virtude do Teorema 487 pode ser reescrito como posA nulA m 6 Essa forma alternativa da Formula 4 no Teorema 482 torna possivel expressar as di mens6es dos quatro espacgos fundamentais em termos do tamanho e do posto de A Mais especificamente se posA r entao dimlinA r dimcolA r 7 dimnulA n r dimnulA mr As quatro férmulas em 7 fornecem uma relagao algébrica entre os tamanhos da matriz e as dimensoes de seus espacos fundamentais Nosso préximo objetivo é encontrar uma relacao geométrica entre os prdéprios espacos fundamentais Para isso lembre que no Teorema 343 vimos que se A for uma matriz m X n entéo o espaco nulo de A con siste naqueles vetores ortogonais a cada um dos vetores linha de A Para desenvolver essa ideia apresentamos a definigo que segue DEFINICAO 2 Se W for um subespaco de R entdo 0 conjunto de todos os vetores de R ortogonais a cada vetor em W é denominado complemento ortogonal de W e deno tado pelo simbolo W 244 Algebra Linear com Aplicacées O teorema seguinte enumera trés propriedades basicas dos complementos ortogonais Omitimos a prova formal porque adiante veremos uma versao mais geral deste teorema TEOREMA 488 Seja W um subespaco de R a W éum subespaco de R b O tinico vetor comum a W e Ww é0 c O complemento ortogonal de W é W Complementos ortogonais Explique por que 0 e R sao O complemento ortogonal de uma reta W pela origem em R éareta pela origem que é perpendicular a W Figura 481a 0 complemento ortogonal de um plano W pela origem complementos ortogonais 3 em R é areta pela origem que é perpendicular aquele plano Figura 481b y y wt Ww WwW NX aN x x ow 7 7 w J Figura 481 a b Uma relacaéo geométrica O proximo teorema fornece uma relagao geométrica entre os espacos fundamentais de entre os espacos uma matriz Essencialmente a parte a uma reformulagao do Teorema 343 na lin fundamentais guagem de complementos ortogonais e a parte b cuja prova deixamos como exercicio segue da parte a As ideias fundamentais do teorema esto ilustradas na Figura 482 z z y 6 y ws yo A Coy 4 Figura 482 TEOREMA 489 Seja A uma matrizm X n a O espaco nulo de A e o espaco linha de A séio complementos ortogonais em R b O espaco nulo de A e 0 espaco coluna de A sdéo complementos ortogonais em R 48 Posto nulidade e os espacos matriciais fundamentais 245 Como nosso resultado final nesta segdo acrescentamos mais duas afirmagdes ao Teorema ais sobre o teorema da 484 A prova da equivaléncia dessas duas afirmagG6es as demais é deixada como exercicio equivaléncia TEOREMA 4810 Afirmagdes equivalentes Se A for uma matrizn X n entdo as seguintes afirmagées sao equivalentes a A é invertivel b Ax 0 tem somente a solugao trivial c A forma escalonada reduzida por linhas de A é I d A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares e Ax b é consistente com cada matriz b de tamanho n X 1 f Ax b tem exatamente uma solugdo com cada matriz b de tamanho n X 1 g detA 0 h Os vetores coluna de A sao linearmente independentes i Os vetores linha de A sao linearmente independentes j Os vetores coluna de A geram R k Os vetores linha de A geram R 1 Os vetores coluna de A formam uma base de R m Os vetores linha de A formam uma base de R n A tem posto n o A tem nulidade 0 p O complemento ortogonal do espaco nulo de A é R q Ocomplemento ortogonal do espaco linha de A é 0 A Internet tem estimulado a pesquisa na busca de métodos eficientes para transmitir gran Aplicacées do posto des quantidades de informagao digital ao longo de linhas de comunicaao com capacida de de transmissAo limitada A informagao digital em geral é armazenada em formato ma tricial e muitas técnicas para melhorar a velocidade de transmiss4o utilizam de alguma maneira 0 posto de uma matriz O posto tem um papel a desempenhar porque ele mede a redundancia de uma matriz no seguinte sentido se A for uma matriz n X n de posto k entao n k dos vetores coluna e m k dos vetores linha podem ser expressos em termos de k vetores coluna ou vetores linha linearmente independentes A ideia essencial em mui tos esquemas de compressao de dados é aproximar 0 conjunto de dados original por um novo conjunto de dados de posto menor que contenha praticamente a mesma informagao e entao eliminar os vetores redundantes no conjunto novo para aumentar a velocidade de transmissao Revisao de conceitos e Relagoes entre os espacos fundamentais e Posto e Complemento ortogonal e Nulidade e Caracterizagdes equivalentes de matrizes invertiveis Teorema da dimensao Aptiddes desenvolvidas Sistema sobredeterminado e Encontrar o posto e a nulidade de uma matriz Sistema subdeterminado e Encontrar a dimensao do espago linha de uma matriz e Espacos fundamentais de uma matriz httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 246 Algebra Linear com Aplicacées Conjunto de exercicios 48 1 Verifique que posA posA 8 Para cada uma das matrizes do Exercicio 7 encontre a nulida de de A e determine o nimero de parametros na solucao geral 12 4 0 do sistema linear homogéneo Ax 0 A3 1 5 2 9 Quais condig6es devem ser satisfeitas por b b b be bs e 2 3 9 2 para que o sistema linear sobredeterminado 2 Em cada parte encontre o posto e a nulidade da matriz em x 3x d seguida verifique que os valores obtidos satisfazem a Férmu x 2x b la 4 no teorema da dimensfo X x b 1 1l 3 2 0 l x 4x d a A5 4 4 b A4 0 2 x 5x b 7 6 2 9 0 0 seja consistente 1 4 5 2 10 Seja c A 2 1 3 0 a a1 1 322 45 Ay Ay3 1 4 5 6 9 Mostre que A tem posto 2 se e s6 se um ou mais dos deter minantes ad AK 3 2 1 4 l d A 0 1 2 1 ee a fe a 2 3 5 7 8 x Ady 4 ys Ay Ag3 1 3 2 1 nao nulo 0 3 6 0 3 11 Suponha que A seja uma matriz 3 X 3 cujo espacgo nulo é uma reta pela origem no espaco tridimensional O espaco linha ou e A 2 3 2 4 4 Pi 0 espaco coluna também podem ser uma reta pela origem 3 6 0 6 5 Explique 2 9 2 4 5 12 Em cada parte discuta como o posto de A varia com f 3 Em cada parte do Exercicio 2 use os resultados obtidos para lt 1 31 encontrar sem resolver o sistema o numero de varidveis 1 1 A 5 lideres e o nimero de parametros na solucao de Ax 0 a A b A 3 6 t 1 1 l t 4 Em cada parte use a informagao na tabela para encontrar as 3 dimensGes do espago linha de A do espago coluna de A do 13 Existem valores de re s com os quais 0 posto de espaco nulo de A e do espaco nulo de A 1 0 0 ob OM oO O r2 2 O s1l r2 Tamanho de A3 x 33 x33x35x99x54x46x2 0 0 3 Posto de A 3 2 1 2 2 0 2 é um ou dois Se existirem encontre esses valores 5 Em cada parte encontre o maior valor possivel para 0 posto 14 Use o resultado no Exercicio 10 para mostrar que 0 conjunto de A e o menor valor possivel para a nulidade de A de pontos x y z em R com os quais a matriz a Aé4X4 b Aé3 X5 c Aé5 X3 x yz 6 Se A for uma matriz m X n qual é 0 maior valor possivel para x seu posto e o menor valor possivel para sua nulidade a 2 tem posto é a curva de equagGes paramétricas x t y f 7 Em cada parte use a informagao na tabela para determinar se zP oO sistema linear Ax b é consistente Se for dé o nimero de 15 Prove se k 0 entio Ae kA tém 0 mesmo posto parametros em sua solucao geral 16 a Dé um exemplo de uma matriz 3 X 3 cujo espaco coluna a 6 seja um plano pela origem no espaco tridimensional Tamanho deA 13x 33x33x315x915x9l4x416x2 b Que espécie de objeto geométrico é 0 espaco nulo da ma Posto deA 3 2 I 2 2 0 2 triz encontrada no item a Posto deA b 3 3 1 2 3 0 2 c Que espécie de objeto geométrico é 0 espago linha da matriz encontrada no item a 49 Transformacdes matriciais de R em R 247 17 a SeA for uma matriz 3 X 5 entao o ntimero de pivés na Exercicios verdadeirofalso forma escalonada reduzida por linhas de A no maximo Nag partes aj determine se a afirmagao é verdadeira ou falsa Por qué justificando sua resposta b Se A for uma matriz 3X 5 entao numero de parame a Ou os vetores linha ou os vetores coluna de uma matriz qua mo na solugao geral de Ax 0 no maximo drada sao linearmente independentes or qué 4 b Uma matriz com os vetores linha linearmente independentes c Se A for uma matriz 3 x 5 entao o numero de Pivos na e os vetores coluna linearmente independentes é quadrada forma escalonada reduzida por linhas de A é no maximo oo A c A nulidade de uma matriz nao nulam X n é no maximo m Por qué d Se A for uma matriz 5 X 3 entdo o némero de parame d Adicionar uma coluna a mais a uma matriz aumenta seu pos tros na solugao geral de Ax 0 é no maximo to por um Por qué e A nulidade de uma matriz quadrada com linhas linearmente 18 a SeA for uma matriz 3 X 5 entio o posto de A é no ma independents no minimo um ximo Por qué f Se A for uma matriz quadrada e Ax b for inconsistente com b Se A for uma matriz 3 X 5 entao a nulidade de A é no algum vetor b entao a nulidade de A zero maximo Por qué g Se uma matriz A tiver mais linhas do que colunas entao a di c Se A for uma matriz 3 X 5 entdo o posto de A é no mé mensao do espaco linha é maior do que a dimensdo do espaco A coluna ximo Por qué d Se A for uma matriz 3 X 5 entdo a nulidade de A é no h Se pos4 posA entao A quadrada maximo Por qué i No existe matriz 3 X 3 alguma cujos espacos linha e nulo 19 Encontre matrizes A e B tais que posA posB mas so retas no espago tridimensional posA pos B j Se V for um subespago de R e W for um subespaco de V en Los L 20 Prove se uma matriz A nao for quadrada entéo ou os vetores tao W um subespago de V linha ou os vetores coluna de A sao linearmente dependentes 8 8 n m 49 Transformacdes matriciais de R emR Nesta secao estudamos fungdes da forma w Fx em que a variavel independente x é um vetor em R e a varidvel dependente w é um vetor em R Vamos nos concentrar numa classe especial dessas fung6es denominada transformagées matriciais Essas transformag6es sao fundamentais no estudo da Algebra Linear e tém aplicagdes importantes na Fisica nas Engenharias nas Ciéncias Sociais e em varias areas da Matematica Lembre que uma funcdo é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um Funcées e transformacées e exatamente um elemento de um conjunto B Se f associa o elemento b ao elemento a entao escrevemos b fla f e dizemos que b é a imagem de a por f ou que fa 0 valor de f em a O conjunto A é a denominado dominio de f e 0 conjunto B contradominio de f Figura 491 A imagem ke de f o subconjunto do contradominio consistindo em todas as imagens de pontos no dominio O dominio e 0 contradominio de muitas fungdes comuns sao conjuntos de nimeros Dominio Contradominio reais mas neste texto estamos interessados em fungdes cujo dominio e contradominio A B sao espacos vetoriais Figura 491 248 Algebra Linear com Aplicacées DEFINICAQ 1 Se Ve W forem espagos vetoriais e se f for uma fungao de dominio Ve contradominio W dizemos que f é uma transformacdao de V em W ou uma aplicagdo de V em W que denotamos por fVow No caso especial em que V W também dizermos que uma transformacdo é um ope rador de V Nesta secao tratamos exclusivamente de transformacées de R em R sendo que as transformagées de espacos vetoriais arbitrarios serao consideradas em seées posteriores Para ilustrar uma maneira pela qual podem surgir essas transformagoes suponha que f f 5f sejam fungoes reais de n variaveis digamos W fy Xj X W fy Xj Wi fry X45 Xo5 00 Xp Essas m equagGes associam um ponto wW W tnico em R a cada ponto X5X em R e assim definem uma transformacio de R em R Denotando essa transformacao por T temos T R R e T XX WW W Transtormacées matriciais No caso especial em que as equagdes em 1 forem lineares elas poderdo ser expressas na forma Wy Ay XH AyX Hers AX W AX F AyXy Hrs Ay X 2 W Gini X Ana X2 Gin Xn que entao poderemos escrever em formato matricial como Ww Gy Aygo Ay x WwW Gp gg gy xy oe 3 Wn aint An ue Gin xn ou mais concisamente como w Ax 4 Embora possamos ver isso como um sistema linear vamos interpretar 4 como uma transformagao que associa 0 vetor coluna x em R ao vetor coluna w em R pela multipli cacao a esquerda de x por A obtendo 0 que se denomina uma transformacdao matricial ou operador matricial se m n que denotamos por T R R Com essa notagiio a Equagao 4 pode ser expressa por w Tx 5 Dizemos que a transformagao matricial T é a multiplicagdo por A e que a matriz A éa matriz canonica dessa transformagao As vezes também é conveniente denotar 5 de maneira esquematica por T4 x Ww 6 que lemos 7 aplica x em w httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 49 Transformacées matriciais de R em R 249 Uma transformacao matricial de R em R A transformagao matricial T R R definida pelas equagdes W 2x 3x x Sx W 4x xX 2x Xx 7 W 5x x 4x pode ser expressa em forma matricial como x Ww 2 3 1 5 xy w4 1 2 1 x 8 Ww 5 1 4 off 3 X4 de modo que a matriz can6nica de T é 2 3 1 5 A4 1 2 1 5 l 4 0 A imagem de um ponto x x5 x3 X pode ser calculada diretamente das equacgoes defini doras 7 ou de 8 por multiplicagao matricial Por exemplo se X1 X3 X4 d 3 0 2 entao substituindo em 7 temos w 1 w 3 w 8 verifique ou alternativamen te por 8 1 W 2 3 1 5 3 1 5 l 4 0 8 W As vezes queremos denotar uma transformagao matricial sem dar algum nome a propria Algumas questées de matriz Nesses casos denotamos a matriz can6nica de T R R pelo simbolo T As notacao sim a equagao Tx Tx 9 simplesmente afirma que T é a transformagao matricial de matriz candénica T e que a imagem de x por essa transformagao 0 produto da matriz T pelo vetor coluna x O préximo teorema lista quatro propriedades basicas de transformagGes matriciais que Propriedades de decorrem de propriedades da multiplicagao matricial transformacoées matriciais TEOREMA 491 Dada qualquer matriz A a transformacdo matricial T R R tem as propriedades seguintes com quaisquer vetores ue v em R e escalar k a T0 0 b Tkv kTv Homogeneidade c Tu v Tu Tv Aditividade d Tu v Ta Tv 250 Algebra Linear com Aplicacées Prova As quatro partes sao reformulacées das propriedades conhecidas da multiplica ao matricial a saber A00 Akv kAv AutvAuAv AuvAuAv 4 Segue do Teorema 491 que uma transformacao matricial faz correspoder a com binacGes lineares de vetores em R as combinacGes lineares correspondentes em R no sentido de que TkV kav ky k Tv kT v kTv 10 Dependendo da interpretagao de énuplas como vetores ou pontos 0 efeito geométrico de uma transformacéo matricial T R R o de aplicar cada vetor ponto em R num vetor ponto em R Figura 492 R R R R x Tx Xe NT 7 0 0 0 0 Figura 492 T aplica vetores em vetores T aplica pontos em pontos O préximo teorema afirma que se duas transformagées matriciais de R em R tive rem a mesma imagem em cada ponto de R ent4o as préprias matrizes devem ser iguais TEOREMA 492 SeTR R eT R R forem transformagées matriciais e se Tx Tx com qualquer vetor x em R entéo A B Prova Dizer que Tx Tx com qualquer vetor em R é o mesmo que dizer que Ax Bx com cada vetor x em R Isso vale em particular se x for um dos vetores e da base can6nica em R ou seja Ae Be j 12n 11 Como cada entrada de e nula exceto a jésima que 1 segue do Teorema 131 que Ae a jésima coluna de A e Be a jésima coluna de B Assim segue de 11 que as colunas correspondentes de A e B sao iguais ou sejaqueA B As transformagoes nulas Se 0 for a matriz zero m X n entéo Tx 0x 0 de modo que a multiplicac4o por zero transforma cada vetor em R no vetor nulo de R Dizemos que T é a transformacao nula ou transformacao zero de R em R 49 Transformacées matriciais de R em R 251 Os operadores identidade Se for a matriz identidade n X n entao T x Ix x de modo que a multiplicacao por J transforma cada vetor em R em si mesmo Dizemos que T o operador identidade de Rk Existe uma maneira de encontrar a matriz candnica de uma transformagao matricial de Um procedimento para R em R considerando 0 efeito dessa transformacao nos vetores da base canonica de R encontrar matrizes canénicas Para explicar essa ideia suponha que A seja desconhecida e que e sejam os vetores da base can6nica de R Suponha também que as imagens desses veto res pela transformacao T sejam Te Ae Te Ae Te Ae Segue do Teorema 131 que Ae uma combinagao linear das colunas de A em que os coeficientes sucessivos sAo as entradas de e Como todas as entradas de e sao nulas exceto a jésima segue que o produto Ae exatamente a jésima coluna da matriz A Assim A Te Te2 Tile 12 Resumindo temos 0 seguinte procedimento para encontrar a matriz candénica de uma transformagao matricial Encontrando a matriz canénica de uma transformagao matricial Passo 1 Encontre as imagens dos vetores e da base candnica de R em formato de coluna Passo 2 Construa a matriz que tem as imagens obtidas no Passo 1 como colunas sucessivas Essa é a matriz canénica da transformacao ae os 2 3 Entre os operadores matriciais mais importantes de R e R estao os que aplicam cada Operadores de reflexdo ponto na sua imagem simétrica em relagao a alguma reta ou plano fixados que sao de nominados operadores de reflexdao ou reflexdes simplesmente A Tabela mostra as As 2 matrizes candnicas das reflex6es nos eixos coordenados em R e a Tabela 2 mostra as A 3 matrizes candnicas das reflex6es nos planos coordenados de R Em cada caso a matriz can6onica foi obtida encontrando as imagens dos vetores da base can6nica convertendo essas imagens em vetores coluna e entao usando esses vetores coluna como colunas sucessivas da matriz can6nica see 2 3 Os operadores matriciais de RK e RK que aplicam cada ponto em sua projecéo ortogonal Operadores de projecao numa reta ou plano fixados sao denominados operadores de projecao ou mais precisa mente de operadores de projecao ortogonal ou simplesmente projecées ortogonais A Tabela 3 mostra as matrizes can6nicas das projecdes ortogonais sobre os eixos coorde 2 As ow nados em R e a Tabela 4 mostra as matrizes can6nicas das projegOes ortogonais sobre os 3 planos coordenados em R 252 Algebra Linear com Aplicacées Tabela 1 Operador llustragao Imagens dee ee Matriz canénica y Reflexdo no eixo y oy Tle T1 0 1 0 Fe xy 77 sfP ay Tx y x y Te T0 1 O 1 0 1 Tx x x Lewy xf Reflexdo no eixo x x Te TC 0 1 0 i Tx y x y Tle TO 1 0 1 0 l Tx x y y yex y x Tx Reflexao na reta y x x Te TC 0 0 1 4 Toy y Xx Me TO 10 re Tabela 2 Operador llustragao Imagens de e e e Matriz can6énica z Ho 1 0 0 Reflexdo no plano xy x Te TC 0 0 1 0 0 y T e TO 10 0 1 0 Oo 1 0 T x y 2 y 2 T e T0 0 1 00 1 0 oO 1 x m x y 2 z x y 2 y 2 Reflexao no plano xz Te TC 0 0 C1 0 0 0 0 Tx F y TeTO 10 1 0 9 1 0 T x y Z y 2 T e T 0 0 1 0 0 1 0 oOo 1 x z Reflexao na plano yz Tx x 2 Te TC 00 1 00 I 0 0 Xx y TE T710 O 10 0 1 0 Tx y2 x y2 2 Te T 00 1 00 1 001 x 49 Transformacdes matriciais de R em R 253 Tabela 3 Operador llustragao Imagens de e ee Matriz canénica y Projecdo ortogonal sobre o ei 9 rojecao ortogonal sobre o eixo x x Te T 0 1 0 lc 0 T xy x 0 a 0 x THeTOYO9 oa Tx y Projeco ortogonal sobre o eixo 0 y 77x Gy jeg g y Te TC 0 0 0 E T x y 0 y Tx x x Te TO 1 0 1 0 1 Tabela 4 Operador llustragao Imagens de e e e Matriz canénica Zz Projec4o ortogonal sobre o plano xy 2 TeT 0 0 1 0 0 1 0 0 x i y T e T O 10 0 1 0 o 1 0 Tx y 2 y 0 Is TeT 00 1 0 00 00 0 TI if a 50 z Projegao ortogonal sobre o planoxz x 0 2 R H x y 2 Te T 1 0 0 1 0 0 10 0 x 7 y T e T 0 1 0 0 0 0 0 0 0 Tx y 2 x 0 2 Tx Te700100 1 00 1 x z 0 y z Projec4o ortogonal sobre o plano yz Tx Os 7 T e T 1 0 0 0 0 0 90 0 Z 7 y T e T O 10 0 1 0 0 1 0 T xy 2 0 y 2 TeT 00 1 0 0 1 001 x Os operadores matriciais de ReR que movem pontos ao longo de arcos circulares sao Operadores de rotacao denominados operadores de rotagao ou simplesmente rotagdes Vejamos como é possi vel encontrar a matriz can6nica de uma rotacaio T R R que move os pontos no sen tido antihordrio em torno da origem por um Angulo 6 Figura 493 Conforme ilustrado na Figura 493 as imagens dos vetores da base canénica sao T e TC 0 cos 0 sen e TeT 0 1 sen 8 cos 8 de modo que a matriz canénica de T é Te Te cos sené e e sen cos 254 Algebra Linear com Aplicacées y sen 6 cos 0 4Zs A cos 6 sen 0 K y ON FaN x 7 e Figura 493 Mantendo a notaao usual denotamos esse operador por R e dizemos que cos sené Ry 13 sen 0 cos 6 é a matriz de rotacado de R Sex x y for um vetor em Resew w w for sua imagem por essa rotaao entao a relacdo w Rx pode ser dada em termos de compo nentes por w x cosé ysen 14 Ww xsen ycosé Essas relagdes s4o denominadas equagées de rotagao em R Essas ideias esto resumidas na Tabela 5 Tabela 5 Operador llustragao Equagoes de rotagado Matriz canénica Rotacao pelo angulo 6 y ww w xcos ysené cos sen Ss w xsen ycos sen 0 cosé w TS x y No plano os angulos antihora 6 x x rios sao positivos e os angulos hordrios sao negativos A matriz de rotagao de uma rotagao ho rdria de radianos pode ser obtida substituindo 6 por em Um operador de rotagao 13 Simplificando obtemos Encontre a imagem de x 1 1 pela rotagao de 776 radianos 30 em torno da origem P cos sen Solugado Segue de 13 com 776 que sen cosé a A 3 1 31 R 1 a 037 x R a6 1 1 143 137 2 2 2 ou em notacao de virgulas R1 1 037 137 Rotacées em R Em geral descrevemos uma rotacdo de vetores em R em relagdo a um raio partindo da origem denominado eixo de rotacdo A medida que um vetor gira em torno do eixo de rotacao ele varre alguma porgdo de um cone Figura 494a O dngulo de rotagado que é medido na base do cone é descrito como sendo no sentido hordario ou antihorario em relacdo a um ponto de vista ao longo do eixo de rotagao olhando para a origem Por exem plo na Figura 494a o vetor w resulta da rotagao no sentido antihordrio do vetor x em torno do eixo por um angulo de 0 Assim como em R os angulos sao positivos se gerados por rotacées no sentido antihorario e negativos se gerados por rotagoes no sentido horario 49 Transformacées matriciais de R em R 255 A maneira mais comum de descrever um eixo de rotagao arbitrario é especificando um vetor nao nulo u com ponto inicial na origem e apontando ao longo do eixo de rota cao O sentido antihorario para a rotag4o em torno do eixo pode entao ser determinado pela regra da mAo direita Figura 494b Se o polegar da mo direita apontar na direcao e sentido do vetor u os dedos da mao fechada apontam num sentido antihorario Zz Zz Rotagao Eixo de rotagao antihoraria X x Va 6 pace y y x x Figura 494 a Angulo de rotacgio b Regra da mao direita 3 2 Um operador de rotagdo em R ou simplesmente uma rotagdao é um operador matri 3 a cial que gira cada vetor em R em torno de algum eixo de rotac4o por um Angulo 6 fixado 3 Na Tabela 6 descrevemos as rotagdes em R cujos eixos de rotacdo sao os eixos coordena dos positivos Para cada uma dessas rotagdes um dos componentes permanece inalterado e a relagdo entre os dois outros componentes pode ser deduzida da mesma maneira que deduzimos 14 Por exemplo na rotag4o em torno do eixo z os componentes z de x e de w 7x sao 0s mesmos e os componentes x e y estao relacionados como em 14 Isso fornece as equacées de rotacgdo mostradas na ultima linha da Tabela 6 Tabela 6 Operador llustragao Equagoes de rotagao Matriz canénica z wx 1 0 0 wo anti horse y Rotagao anti horaria em torno do w ycos 0 zsen0 0 cos sen8 eixo x positivo pelo angulo 6 w A w ysen zcos 0 O sen cosé xX 0 Vv x z w xcos zsené cos 0 send Rotagao antihoraria em torno do xg wy 0 1 0 eixo y positivo pelo angulo 6 y w x sen zcos sen 0 cosé x WwW a z pa 9 ow w xcos ysené cos sen 0 Rotagao antihoraria em torno do x w w xsen 0 ycos 0 sen 6 cos6 0 eixo Z positivo pelo angulo y WZ 0 0 1 x 256 Algebra Linear com Aplicacées Observamos para completar que a matriz candnica de uma rotaao antihoraria por um Angulo 6 em torno de um eixo em R determinado por um vetor arbitrario u a b c mas unitdrio com ponto inicial na origem é a l1coscos ab1coscsen ac1 cos6 bsen 0 ab1 coscsen b1 cos cos bc1 cos asen 0 15 ac1 cos bsen bc1 cos asen 0 cl cos cosé A dedugao dessa matriz pode ser encontrada no livro intitulado Principles of Interactive Computer Graphics de W M Newmann e R F Sproull editado em 1979 pela McGraw Hill de Nova York Pode ser instrutivo para o leitor deduzir os resultados da Tabela 6 como casos especiais desse resultado mais geral Dilatacées e contracdes Se k for um escalar nao negativo entéo o operador Tx kx de R ou R tem 0 efeito de aumentar ou diminuir 0 comprimento de cada vetor pelo fator k Se 0 k 1 0 operador é denominado contragdao de fator k e se k 1 dilatagdo de fator k Figura 495 Se k entéo T é 0 operador identidade que pode ser considerado uma contraao ou uma dilatagao As Tabelas 7 e 8 ilustram esses operadores LS x Tx kx y As f Tx kx SA oo Figura 495 a Ok1 b k1 Tabela 7 llustragao Matriz Operador T x y kx ky Efeito na base canénica canGnica Contragao y 0 1 de fator kem R x y 0 k i Ok1 Tx kx ky x a 1 0 k 0 i x Ok Dilatagao y Tx 8 kx ky 1 0 k rm de fator k em R k1 XX xy x 10 k0 Guinada arfagem e rolagem Muitas vezes na Aeronautica e Astrondutica a orientagiéo de um unica rotacao em torno desse eixo para obter a orientagao correta aviao ou de um Gnibus espacial em relagao a um sistema de coor Tais manobras rotacionais sAo utilizadas para alinhar uma antena denadas xyz é descrita em termos de angulos denominados gui apontar a nave em dire4o a um objeto celeste ou posicionar um nada arfagem e rolagem Por exemplo se o plano xy definira compartimento para carga e descarga horizontal e um 6nibus espacial estiver voando ao longo do eixo y positivo entéo a guinada é o angulo de rotacgao do aviio em Z torno do eixo z positivo aarfagem é 0 angulo de rotac4o em torno Guinada do eixo x positivo e a rolagem é 0 angulo de rotacgdo em torno nN do eixo y positivo Uma combinagao de guinada arfagem e rola he gem pode ser obtida com uma tinica rotagéo em torno de algum WZ ac tag eixo pela origem Essa é a maneira pela qual um 6nibus espacial iva y efetivamente faz seus ajustes de voo nao corrigindo cada rota ay 4o separadamente mas sim calculando um eixo e efetuando uma Arfagem Lalo 49 Transformacdes matriciais de R em R 257 Tabela 8 Operador llustragao Matriz can6énica z Contragao de fator k em R A 2 Tx kx ky kz Osk1 Z y x k 0 0 0 k O 0 Ok z kx ky kz Tx 3 Dilatagao de fator kem R xv x y2 k 1 y x Numa dilatacgAo ou contragao de R ou R todas as coordenadas sao multiplicadas pelo fa Expans6ées e compressées tor k Se somente uma das coordenadas for multiplicada por k entaéo o operador resultante é denominado expansdao ou compressdao de fator k Isso é ilustrado na Tabela 9 em RO leitor n4o deveria encontrar dificuldades para estender esses resultados ao R Tabela 9 Operador llustragao Efeito na base canénica Matriz canénica f tex 01 01 Compressio de R na he x y direcao x de fator k Tx x 0k 1 x P 1 0 k 0 k 0 0 1 Gy key OD 01 Expansao de R na oe x direcao x de fator k Tx k 1 x L 1 0 k 0 Operador llustragao Efeito na base canénica Matriz canénica y 0 1 4 Compressio de R na x y 0 k direco y de fator k x Yok k1 Jo Tw 1 0 1 0 1 0 Ok a ky 0 k x 2 0 1 tt Expansao de R na Tx x y direcao y de fator k k 1 x x 1 0 1 0 258 Algebra Linear com Aplicacées Cisalhamentos Um operador matricial da forma T x y x ky y translada um ponto x y do plano xy paralelamente ao eixo x por uma quantia ky proporcional a coordenada y do ponto Esse operador deixa fixados os pontos do eixo x pois y 0 mas 4 medida que nos afastamos do eixo x aumenta a distancia transladada Dizemos que esse operador é um cisalha mento de fator k na diregao x Analogamente um operador matricial da forma T x y x y kx um cisalhamento de fator k na diregao y A Tabela 10 ilustra a informagao basica sobre cisalhamentos em R Tabela 10 Operador Efeito na base canGnica Matriz canénica k 1 k1 Cisalhamento de R de 0 1 RI fator k na direcao x lk Tx y x ky y 0 1 10 10 1 0 k 0 k 0 Cisalhamento de R de 0 1 0 1 0 1 fator k na diregaéo y Lb 1 0 T xy Gy kx a kl 10 1 k k0 k 0 Alguns operadores matriciais basicos de R Em cada parte descreva 0 operador matricial correspondente a A e mostre seu efeito no quadrado unitario a A 1 2 b A 2 0 c A 2 0 a Cc 10 1 0 2 10 1 Solugao Comparando os formatos dessas matrizes com os das Tabelas 7 9 e 10 vemos que a matriz A corresponde a um cisalhamento de fator 2 na direcao x a matriz A corres ponde na uma dilatagao de fator 2 e A corresponde a uma expansao na direao x de fator 2 Os efeitos desses operadores no quadrado unitdério séo mostrados na Figura 496 4 y y y 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x x Xx Figura 496 1 2 3 1 2 3 1 2 3 OPCIONAL Na Tabela 3 listamos as matrizes canG6nicas das projegOes ortogonais sobre Os eixos coor Projegdes ortogonais sobre denados de R Esses operadores so casos especiais do operador T R R mais geral retas pela origem que aplica cada ponto em sua projec4o ortogonal sobre uma rela L pela origem que faz um Angulo com 0 eixo x positivo Figura 497 No Exemplo 4 da Secao 33 usamos httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 49 Transformacdes matriciais de R em R 259 a Formula 1 daquela segao para encontrar as projegdes ortogonais dos vetores da base y can6nica de R sobre aquela reta Em termos matriciais vimos que essas projegdes sao L Te cos 6 Te sen 0 cos s e e e sen 6 cos 6 sen 0 Tx Assim a matriz canénica de T é 6 x IT Te Te cos sen cos cos sen 20 e e a sencos sen 3sen20 sen 6 Figura 497 Mantendo a notacao usual denotamos esse operador por P cos sen cos cos 6 3 sen 16 ree ie nee versoes ea For Dy ad 1 Dy mula porque ambas sao sen cos sen 0 27 Sen 26 sen 0 muito usadas Enquanto a pri meira verséo envolve somente o angulo 6 a segunda envolve tanto 6 quanto 20 Projegao ortogonal sobre uma reta pela origem Use a Formula 16 para encontrar a projedo ortogonal do vetor x 1 5 sobre a reta pela origem que faz um Angulo de 776 30 com 0 eixo x positivo Solugao Como sen776 12 e cos76 V3 2 segue de 16 que a matriz canénica dessa projecdo é Pp cos z 6 sen76 cosa 6 76 sen216 cos 776 sen 776 7 4 1 Assim 8 r17 FS4 7291 x R me v3 1 5 V345 168 4 4 4 ou em notag4o com virgulas P1 5 291 168 Na Tabela 1 listamos as reflexes pelos eixos coordenados em R Esses operadores s40 Reflexdes em retas pela casos especiais do operador H R R mais geral que aplica cada ponto em sua refle origem xao na reta L pela origem que faz um Angulo 0 com 0 eixo x positivo Figura 498 Po y derfamos encontrar a matriz candnica de H encontrando as imagens dos vetores da base Hox canOnica mas em vez disso vamos aproveitar nosso trabalho com projecdes ortogonais ce e usar a Formula 16 com P para encontrar uma formula para H O leitor pode ver da Figura 499 que com qualquer vetor x em R 0 x x Pxx 3 Hx x ou equivalentemente Hx 2P Ix Fi 498 Assim segue do Teorema 492 que igure y H6 2P0 1 17 Agx NIK L e portanto segue de 16 que Px V4 cos 20 sen 20 a XK ox H 18 sen20 cos20 Figura 499 260 Algebra Linear com Aplicacées EXEMPLO 7 Reflexdo numa reta pela origem Encontre a reflexdo do vetor x 1 5 na reta pela origem que faz um Angulo de 776 30 com 0 eixo x positivo Solugao Como sen773 V3 2 e cos773 12 segue de 18 que a matriz canénica deixae como esta reflexdo é H cosz3 senz3 5 2 7 senr3 cosz3 8 Assim a SB 34 7 483 Observe que as matrizes can6ni HL 4X 3 1115 35 63 cas nas Tabelas 1 e 3 sdo casos 2 2 2 Se ea ou em notagaéo com virgulas H15 483 163 4 Revisao de conceitos e Matriz de rotacéo e Funcao e Equagoes de rotagao e Imagem e Eixo de rotagado no espaco e Valor e Angulo de rotagao no espaco e Dominio e Expansao e Contradominio e Compressdo e Transformacao e Cisalhamento e Operador e Dilatacado e Transformacao matricial e Contracgao Operador matricial Aptiddes desenvolvidas e Matriz canénica aoe a ee e Encontrar 0 dominio e 0 contradominio de uma e Propriedades de transformag6es matriciais transformacdo e determinar se a transformagao é linear e Transformagao nula e Encontrar a matriz can6nica de uma transformacao e Operador identidade matricial e Reflexao e Descrever 0 efeito de um operador matricial na base Projecao canOnica de R e Rotacao Conjunto de exercicios 49 Nos Exercicios 12 em cada parte encontre o dominio e 0 5 Em cada parte encontre 0 dominio e 0 contradominio da contradominio da transformagao Tx Ax transformacio definida pelas equagées e determine se a 1 a Atemtamanho3 X 2 b A tem tamanho 2 X 3 transformagao é linear c Atemtamanho3 X 3 d Atemtamanho X 6 a Wi s 4x b W 2xx 3 xy Ww 2 a Atemtamanho4 x5 b A temtamanho5 X 4 2h MFM a nm c A tem tamanho 4 X 4 d A tem tamanho 3 X 1 c W 5x x x 3 Se Tx x Xp X 3m entao o dominio de Té wx x 7 o contradominio de T é ea imagem de w 2x 4x x x 1 2 por Té 2 4 Se T x X53 2x x 2x entéo o dominio de T é d w x 3x 3 2X4 0 contradominio de T é e a imagem de Wy 3x 4x xp X x 0 1 4 por Té httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 49 Transformacées matriciais de R em R 261 6 Em cada parte determine se T é uma transformagao matricial 13 Em cada parte use a matriz canénica de T para encontrar Tx a Tx y 2x y b Tx y yx e depois confira 0 resultado calculando 7x diretamente c Tx y 2x yxy a Tx x x x x x 1 4 d Tx y y Tay y 6 Tr Xa 3 OX Xp Xa My XO 7 Em cada parte determine se T é uma transformac4o matricial x 21 3 a Txy2 00 b Tay 14 oi my pucasio matricial para encontrar a reflexao de c Ty2 Gx Ay 2x 5z a no eixo x THyYDO9 THYD01L9 b no eixo y 8 Em cada parte encontre a matriz candénica da transformagao c naretay x definida pelas equagées y a w 2x3y x b w 7x 2x 8x 15 Os ae matricial para encontrar a reflexao de W 3x 5x Xy WwW x 5x 7 W 4x 7x Xx a plano xy c Wj x X d wx b plano xz W 3x 2x W X X c plano yz W Sx 7 Wy X by 3 16 Use multiplicagao matricial para encontrar a projecdo ortogo Wy X FX X Hy nal de 2 5 sobre o 9 Encontre a matriz canénica do operador T R R definido a eixox por b eixo y WwW 3x 5x x 17 Use multiplicacgéo matricial para encontrar a projegao ortogo W4x x x nal de 2 1 3 sobre 0 W 3x 2x x a plano xy oo b plano xz e depois calcule 71 2 4 por substituigdo direta nas equa ges e também por multiplicacgéo matricial c plano yz 10 Em cada parte encontre a matriz canénica do operador T 18 Use multiplicagao matricial para encontrar a imagem do vetor definido pela formula 3 4 se for girado por um Angulo de a T a x 2x x x x a 0 is b 6 60 6 45 d 6 90 b Txx Oa C Tx Xp y 20 xy x 5X 19 Use multiplicagao matricial para encontrar a imagem do vetor 2 1 2 se for girado por d T xy x X3 4x 7x5 8x5 a 30 em torno do eixo x 11 Em cada parte encontre a matriz canénica da transformacgéo T 5 definida pela formula b 45 em toro do eixo y a Tx Oy x x 3x x 4 c 90 em torno do eixo z b TQ Xo Xp X Ix 2 yy ty t xy x 20 Encontre a matriz canénica do operador que efetua a rotagao de um vetor em R por um Angulo de 60 em torno do c Tx X x3 0 0 0 0 0 a ei a eixox d Tx Xz X3 x4 X X15 X35 Xy X X b eixo 12 Em cada parte encontre Tx e expresse a resposta em forma matricial c eixoz 1 2 3 21 Use multiplicagao matricial para encontrar a imagem do vetor a T a x 2 1 2 se for girado por a 30 em torno do eixo x 1 b IT 1 2 OF 1 b 45 em torno do eixo y 6 3 1 5p 3 c 90 em torno do eixo z 22 Definimos as projegées ortogonais de R sobre os eixos x y e 2 1 4 xy Z respectivamente por c T 3 5 Tl x x 6 0 1 x Tx y 2 00 Ty y 2 0 y 0 Tx y z 0 0 z tol xy a Mostre que as projeg6es ortogonais sobre os eixos coor d T 2 4 x denados sao operadores matriciais e encontre suas matri 7 8 zes candénicas httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 262 Algebra Linear com Aplicacées b Mostre que se T R R for uma projecdo ortogonal 29 Em cada caso descreva em palavras 0 efeito geométrico de sobre um dos eixos coordenados entao dado qualquer multiplicar um vetor x pela matriz A vetor em R os vetores T x e x T x sdo ortogonais 2 0 2 0 c Faga um esbogo indicando x e x Tx no caso em que T a A lo 0 b A E 5 a projecdo ortogonal sobre 0 eixo x 30 Em cada caso descreva em palavras 0 efeito geométrico de 23 A partir da Formula 15 obtenha as matrizes can6nicas das multiplicar um vetor x pela matriz A rotagdes em torno dos eixos x ye z de R A 24 Use a Formula 15 para encontrar a matriz canénica de uma a A lo b A 2 2 rotac4o de 772 radianos em torno do eixo determinado pelo 0 3 5 8 vetor v 1 1 1 Observacdo a Formula 15 exige que 0 Lo 31 Descreva em palavras 0 efeito geométrico de multiplicar um vetor que define 0 eixo de rotacdo tenha comprimento 1 vetor x pela matriz 25 Use a Formula 15 para encontrar a matriz canénica de uma rotac4o de 180 em torno do eixo determinado pelo vetor v cos6 sen 2sen6cosd 2 2 1 Observacdao a Formula 15 exige que 0 vetor que A 2sencos cos sen 0 define 0 eixo de rotagao tenha comprimento 1 26 Pode ser provado que se A for uma matriz 2 X 2 de vetores 32 Se a multiplicagdo por A gira um vetor x do plano xy por um coluna ortonormais e com detA 1 entao a multiplicacgao Angulo 0 qual 0 efeito de multiplicar x por A Explique seu por A é uma rotac4o por algum angulo 0 Verifique que raciocinio 1 1 33 Seja x um vetor coluna nao nulo em R e suponha que A V2 V2 TR R sejaa transformacio definida pela formula T x a a x Rx em que R é a matriz candnica da rotagdo de R em tor no da origem pelo angulo 6 Dé uma descrigéo geométrica dessa satisfaz as condicdes enunciadas e encontre o Angulo de rotacdo transformagao Sera uma transformagao matricial Explique 27 O resultado enunciado no Exercicio 26 pode ser estendido ao 34 E costume dizer que uma fungao da forma fx mx bé R isto é pode ser provado que se A for uma matriz 3 X 3 de uma fungao linear porque o grafico de y mx b é uma vetores coluna ortonormais e se detA 1 ento a multipli reta f sera uma transformacao matricial em R cacao por A é uma rotacgao em torno de algum eixo por algum 35 Sejam x x tvumaretaem R e T R R um operador angulo 6 Use a Formula 15 para mostrar que esse Angulo de matricial de R Que tipo de objeto geométrico é a imagem rotagao satisfaz a equag4o dessa reta pelo operador T Explique seu raciocinio cosé ma Exercicios verdadeirofalso Nas partes ai determine se a afirmacao é verdadeira ou falsa 28 Seja A uma matriz 3 X 3 diferente da matriz identidade que justificando sua resposta satisfaga as condigdes enunciadas no Exercicio 27 Pode ser a Se A for uma matriz 2 X 3 ento o dominio da transformacao mostrado que se x for um vetor nao nulo qualquer em R en Té R a Ax Ax 1 aoo vetor uAx tA x I trAyIx determina um eixo b Se A for uma matriz m X n entéo o contradominio da trans de rotago quando u for posicionado com seu ponto inicial na 2 pn formagao T é R origem Ver 0 artigo The Axis of Rotation Analysis Algebra n oo Geometry por Dan Kalman em Mathematics Magazine Se Tr R Re T0 0 entao T é uma transformagao ma Vol 62 N 4 outubro de 1989 tricial a Mostre que a multiplicaco por d Se r 7R Re Tx Gy eT x eT y com quaisquer escalares c e c e quaisquer vetores x e y em R 3 entao T é uma transformaga4o matricial A 8 4 1 e S6 existe uma Unica transformacio matricial T R R tal 9 9 9 y n que T x T x com qualquer vetorxem FR 4 7 4 5 9 f S6 existe uma tnica transformagio matricial T R R tal que T x y Tx y com quaisquer vetores x e yem R é uma rotagao h g Seb for um vetor nao nulo em R entao T x x b define b Encontre um vetor de comprimento que define um eixo um operador matricial de R da rotacao c Encontre todas as solugdes da equacao do Exercicio 27 h A matriz 2 2 é a matriz canénica de alguma rotacio que pertencam ao intervalo 0 277 e substituindo essas 2 2 solugGes na formula 15 encontre um Angulo de rotagao i As matrizes canGnicas das reflexdes nos eixos coordenados do em torno do eixo da parte b que resulta da multiplica a 0 cao pela matriz A da parte a espaco bidimensional tém o formato 0 ih coma 1 410 Propriedades das transformacées matriciais 263 410 Propriedades das transformagées matriciais Nesta segdo discutimos propriedades de transformag6es matriciais Mostramos por exemplo que se aplicarmos varias transformagG6es matriciais em sucessao entéo 0 mesmo resultado pode ser obtido por uma tnica transformagao matricial apropriadamente escolhida Também exploramos a relacao entre a invertibilidade de uma matriz e as propriedades da transformagao correspondente Suponha que 7 seja uma transformacao matricial de R em Re T uma transformagao Composicao de matricial de R em R Se x for um vetor em R ento T aplica esse vetor num vetor Tx transformacées matriciais em Re T por sua vez aplica esse vetor no vetor TTx em R Esse processo cria uma transformagio de R em R que denominamos a composigéo ou a composta de T com 7 que denotamos pelo simbolo T0T que se lé 7 bola T Conforme ilustrado na Figura 4101 a transformagao 7 na for mula é aplicada antes ou seja T0 Tx TT00 Qe ADVERTENCIA Assim como Essa composicéo também é uma transformagio matricial pois nao verdade em geral que AB BA T 0 Tx TTx BUT x BAx BAx também nao é verdade em ge mostrando que é a multiplicacgdo por BA Isso pode ser resumido na formula ral que T0T T oT T0T T 2 BO BA 2 Ou seja a ordem importa na composicdo de transformacgées As composig6es podem ser definidas com qualquer sucess4o finita de transformag6es matriciais matriciais cujos dominios e contradominios tenham as dimens6es apropriadas Por exem plo para estender a Formula 2 para trés fatores considere as transformag6es matriciais TROR TR OR TR 3 R Definimos a composicio To T 0 T R R por T0 T 0 Tx TAT Tx Como antes pode ser mostrado que essa transformacao é matricial com matriz can6nica CBA e que T0T0T Teg 3 T T Figura 4101 TT 264 Algebra Linear com Aplicacées Como na Férmula 9 da Secdo 49 podemos usar colchetes para denotar uma trans formagao matricial sem referéncia a uma matriz especifica Assim por exemplo a formula T07T TT 4 é uma reformulagao da Formula 2 afirmando que a matriz canénica da composta é 0 produto das matrizes canénicas na ordem apropriada Analogamente T0T07 T3T7 5 é uma reformulagao da Férmula 3 Composicao de duas rotagdes Sejam T R Re T R R os operadores matriciais que giram os vetores pelos angulos 6 e 8 respectivamente Assim 0 operador T Tx TTx primeiro gira x por um Angulo 6 e entao gira Tx por um Angulo 0 Segue que o efeito liquido de T o T é girar cada vetor em R por um angulo 6 6 Figura 4102 Assim as matrizes candnicas desses operadores matriciais sao 6 sené 6 send IT cos6 sen B cos 6 sen6 sen 0 cos 6 sen 6 cos 6 cos0 6 sen 0 ToT 1 2 1 2 sen6 45 cos0 95 Essas matrizes deveriam satisfazer 4 Com a ajuda de algumas identidades trigonomeétri cas basicas podemos confirmar isso como segue cos6 sencos0 sené T7 send cos 6 sen cos 6 cos cos sen sen cos sen send cos 6 sen 0 cos cos6sen sen sen cos cos6 cos 6 sen0 9 sen0 0 cos6 85 T0T A composicao nao é comutativa Sejam T R R ateflexdo na reta yxeTY ROR a projecao ortogonal sobre o eixo y A Figura 4103 ilustra graficamente que T o T e T o T tém efeitos diferentes sobre um vetor x Essa mesma conclusao pode ser alcangada mostrando que as matrizes canonicas de T e T nado comutam 0 10 0 0 1 T0oT 7T 0 OO 1 0 0 T0oT TT de modo que T o T T oT 410 Propriedades das transformagées matriciais 265 y y Tx yx yex TTx XN TTx x NTO 11 te R I N x NM x a AO 42 yy T Tx po TT TT Figura 4102 Figura 4103 EXEMPLO 3 Acomposigao de duas reflexdes Sejam 7 R R ateflexao no eixo ye T R R ateflexao no eixo x Nesse caso T 0 T e T o T sao idénticas ambas aplicando cada vetor x x y em seu negativo x x y Figura 4104 como segue T 0 T Tx y Y T 0 Tx y Tx y x y A igualdade de T o T e T o T também pode ser deduzida mostrando que as matrizes canonicas de T e T comutam como segue l Of1 0 l 0 T oT TT 1 O1 0 l 0 T oT T7 O operador T x x de R ou R é denominado reflexdo na origem Como mostram as contas acima a matriz candnica desse operador de Ré IT 1 0 0 l y y x y x y x y x Tx x x x T TT09 A TAT x y PS XY x y Figura 4104 Net thet EXEMPLO 4 Composigao de trés transformagdes Encontre a matriz can6nica do operador T RR que primeiro gira um vetor no sentido antihorario em torno do eixo z por um angulo 6 depois reflete o vetor resultante no plano yz e finalmente projeta esse vetor ortogonalmente sobre o plano xy 266 Algebra Linear com Aplicacées Solugao O operador T pode ser expresso como a composiao TToT oT em que 7 a rotacao em torno do eixo z T a reflexdo no plano yz e T é a projecao or togonal sobre o plano xy Pelas Tabelas 6 2 e 4 da Secdo 49 as matrizes can6nicas dessas transformacgoées lineares sao cos send 0 1 0 0 1 0 O T send cos 0 T 0 1 O 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 Assim segue de 5 que a matriz canénica de T é 1 0 O1 O OF cos send 0 T0 1 0 0 1 0 sen 0 cos 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 COs send 0 sen cos 0 4 0 0 0 Transtormacées matriciais Nosso proximo objetivo estabelecer uma relagao entre a invertibilidade de uma matriz A injetoras eas propriedades da transformacgdo matricial T correspondente DEFINICAO 1 Dizemos que uma transformagdo matricial T R R injetora se T aplica vetores pontos distintos em R em vetores pontos distintos em R Ver Figura 4105 Essa ideia pode ser expressa de varias maneiras Por exemplo o leitor deve reconhecer que as afirmagOes seguintes s4o simplesmente reformulagées da Definigao 1 1 T é injetora se para cada vetor b na imagem de T existir exatamente um vetor x em R tal que Tx b 2 T injetora se a igualdade Tu Tv implicar u v OS e Nl R R R R Figura 4105 Injetora Nao injetora As rotagdes de R sio injetoras porque vetores distintos que so girados pelo mesmo angulo tém imagens distintas Figura 4106 Em contrapartida a projecdo ortogonal de R sobre o plano xy nao é injetora porque transforma pontos distintos da mesma reta ver tical num mesmo ponto Figura 4107 O teorema seguinte estabelece uma relagéo fundamental entre a invertibilidade de uma matriz e as propriedades da transformagao matricial correspondente 410 Propriedades das transformagées matriciais 267 TEOREMA 4101 Se A for uma matrizn X ne T R R o operador matricial Tv correspondente entdo as afirmacées seguintes sao equivalentes Tu a A é invertivel 6 b A imagem de T é R 6 y c T é injetor ny As so Figura 4106 Vetores ue Prova Vamos estabelecer a sequéncia de implicag6es a b c a Vv distintos so girados em veto a 6 Suponha que A seja invertivel Pelas partes a e e do Teorema 4810 0 sis res Tu e 7v distintos tema Ax b é consistente com qualquer matriz b de tamanho n X 1 em R Isso implica que T transforma x no vetor arbitrario b em R o que por sua vez significa que a imagem z de T é todo o R P b c Suponha que a imagem de 7 seja todo o R Isso implica que para cada vetor sn a Q y bem existe algum vetor x em R com o qual Tx be portanto que o sistema linear Ax b consistente com qualquer vetor b em R Pela equivaléncia das partes e e f M do Teorema 4810 decorre que Ax b tem uma tnica solugao com qualquer vetor b em R Assim para cada vetor b na imagem de 7 existe exatamente um vetor x em R tal que Figura 4107 Os pontos Tx b distintos P e Q so aplicados no mesmo ponto M c a Suponha que o operador T seja injetor Assim dado um vetor b qualquer em T existe um tinico vetor x em R tal que Tx b Deixamos para o leitor completar a prova usando o Exercicio 30 4 Propriedades de uma rotacgao Conforme indicado na Figura 4106 o operador T R R que efetua a rotagio em R pelo angulo 0 é injetor Confirme que 7 é invertivel de acordo com o Teorema 4101 Solucao Pela Tabela 5 da Secao 49 a matriz canénica de T é cos sené T send cosé Essa matriz é invertivel pois cos sen detT cos 06sen0140 send cos 8 Propriedades de uma projecao Conforme indicado na Figura 4107 0 operador T R R que projeta cada vetor em R ortogonalmente no plano xy nao é injetor Confirme que 7 nao é invertivel de acordo com 0 Teorema 4101 Solucao Pela Tabela 4 da Secao 49 a matriz canénica de T é 1 0 0 T0 1 0 0 0 0 Essa matriz nao é invertivel pois detT 0 4 268 Algebra Linear com Aplicacées Inversa de um operador Se T R R for um operador matricial injetor ento a matriz A é invertivel pelo Teo matricial injetor rema 4101 O operador matricial T R R que corresponde a A denominado operador inverso ou simplesmente inverso de T Essa terminologia apropriada porque 7 e T1 cancelam um 0 efeito do outro no sentido de que se x for um vetor em R entao T TZ x AA x Ixx T7x A Ax Ix x y ou equivalentemente forma X em w T T Ty T ise w Ty10Ty Ty T x S A110 44 Fata 7 Tovtranstor o oe De um ponto de vista mais geométrico se w for a imagem de x por T entao T transfor ma w de volta em x pois x T1 w TTx x Figura 4108 Figura 4108 Antes de passar aos exemplos é titil mencionar um assunto de notagao Se T R R for um operador matricial injetor e se T R R for seu inverso ento as matrizes ca nOnicas desses operadores estao relacionadas pela equagdo ToiT 6 Nos casos em que for preferivel nao associar um nome a matriz escrevemos essa equacao como 1 cal T T 7 A matriz canénica de T Seja T R Ro operador que efetua a rotagdo de cada vetor em R pelo angulo 6 de modo que pela Tabela 5 da Secao 49 IT cos sené 8 send cos E geometricamente evidente que para desfazer 0 efeito de T devemos efetuar a rotacdo de cada vetor em R pelo angulo 6 Ocorre que isso é exatamente 0 que o operador T faz pois a matriz canénica de Té cosO send cos sené 1 1 T7T send cos sen0 cos verifique que a matriz canénica da rotacado pelo angulo 6 Encontrando T Mostre que o operador matricial T R R definido pelas equagdes W 2x x W 3x 4x injetor e encontre T Ww W httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 410 Propriedades das transformacdes matriciais 269 Solucao A forma matricial dessas equagoes é Ww 3 4 Lx de modo que a matriz can6nica de T é 2 1 T 3 4 Essa matriz é invertivel e portanto T é injetor e a matriz candnica de Té 4 1 1 1 5 5 T T 30 2 5 5 Assim 4 I 4 1 Ww 5 su 5W 5 Tt w 3 2lw 3 2 2 ad 5 2 5 5 WwW pelo que concluimos que 1 4 1 3 2 T w W fw W2W4W Até aqui enfocamos exclusivamente as transformagGes matriciais de R em R Contudo Propriedades de linearidade esses nao so os tinicos tipos de transformacées de R em R Por exemplo se ff f forem quaisquer fungoes reais das n variaveis x x X entéo as equacdes W ff WwW Si x oy X Wy Son 1 X05 Xp definem uma transformagio T R R que aplica o vetor x x X X no vetor W W W No entanto s6 no caso em que essas equagoes forem lineares que T sera uma transformacao matricial A questéo que passamos a considerar é a seguinte Questaéo Existem propriedades algébricas de uma transformacio T R R que possam ser usadas para determinar se T é uma transformagao matricial A resposta é dada pelo teorema seguinte TEOREMA 4102 T R R é uma transformacdo matricial se e sé se as relacdes seguintes forem vdlidas com quaisquer vetores ue v em R e escalar k a T vTu Ty Aditividade ii Tkv kTv Homogeneidade Prova Se T for uma transformagao matricial entao as propriedades i e ii seguem das partes c e b do Teorema 491 respectivamente Reciprocamente suponha que valham as propriedades i e ii Devemos mostrar que existe alguma matriz A de tamanho m X n tal que T x Ax com qualquer vetor x em R Como um primeiro passo lembramos que a Férmula 10 da Secdo 49 juntamente com a aditividade e a homogeneidade implicam em T kv ky kyv k Tv kT v 47 9 270 Algebra Linear com Aplicacées com escalares k k k e vetores v V Vem R quaisquer Seja A a matriz ATe Te Te 10 em que S40 os vetores da base canénica de R Segue do Teorema 131 que Ax uma combinacAo linear das colunas de A em que os sucessivos coeficientes sao as entradas xx x de x Dessa forma Ax xTe xT e xTe Usando 9 podemos reescrever isso como Ax Txe xe xe Tx o que completa aprova 4 Dizemos que as propriedades de aditividade e homogeneidade do Teorema 4102 sao as condigées de linearidade e que uma transformacao que satisfaz essas propriedades é uma transformacao linear Usando essa terminologia podemos reformular o Teorema 4102 como segue TEOREMA 4103 Toda transformacdo linear de R em R é uma transformacdo ma tricial e reciprocamente toda transformacao matricial de R em R é uma transfor macdo linear Mais sobre o teorema da Como nosso resultado final nesta segao acrescentamos as partes b e c do Teorema equivaléncia 4101 ao Teorema 4810 TEOREMA 4104 Afirmagdes equivalentes Se A for uma matrizn X n entdo as seguintes afirmagées sao equivalentes a A é invertivel b Ax 0 tem somente a solucdao trivial c A forma escalonada reduzida por linhas de A é I d A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares e Ax b é consistente com cada matriz b de tamanho n X 1 f Ax b tem exatamente uma solucdo com cada matriz b de tamanho n X 1 g detA 0 h Os vetores coluna de A sao linearmente independentes i Os vetores linha de A sao linearmente independentes j Os vetores coluna de A geram R k Os vetores linha de A geram R 1 Os vetores coluna de A formam uma base de R m Os vetores linha de A formam uma base de R n A tem posto n 0 A tem nulidade 0 p O complemento ortogonal do espaco nulo de A é R q O complemento ortogonal do espago linha de A é 0 r A imagem de T é R s T um operador injetor 410 Propriedades das transformagées matriciais 271 Revisao de conceitos Aptiddes desenvolvidas e Composicao de transformag6es matriciais e Encontrar a matriz can6nica de uma composta de e Reflexdo na origem transformacg6es matriciais e Transformacao injetora e Determinar se um operador matricial é injetor e se for encontrar o operador inverso e Inversa de operador matricial Condicdes de linearidade e Determinar se uma transformacao é linear e Transformagaéo linear e Caracterizacg6es equivalentes de invertibilidade de matrizes Conjunto de exercicios 410 Nos Exercicios 12 considere os operadores matriciais T o T c Uma rotagao de 15 seguida de uma rotacao de 105 das matrizes dadas Encontre a matriz canénica de T 0 T seguida de uma rotagao de 60 1 2 0 2 3 3 7 Encontre a matriz can6nica para a composicao dada em R 1 A14 1 3 B5 0 1 a Uma reflexdo no plano yz seguida de uma projecao orto 5 2 4 6 1 7 gonal sobre o plano xz 6 31 4 0 4 b Uma rotacao de 45 em torno do eixo y seguida de uma dilatagao de fator k 2 2 A2 0 1 Bl 5 2 c Uma projecao ortogonal sobre o plano xy seguida de 43 6 3 8 c Uma projegao ortogonal sobre o plano xy seguida d uma reflexdo no plano yz 3 Sejam 7 y Xp 8 Encontre a matriz canOnica para a composicSo dada em R Tx X 3x 2x 4x oo a Uma rotagao de 30 em torno do eixo x seguida de uma a Encontre as matrizes can6nicas de T e T rotac4o de 30 em torno do eixo z seguida de uma con b Encontre as matrizes canénicas de T 0 T e T 0 T tracdo de fator k i c Use as matrizes encontradas na parte b para encontrar b Uma reflexao em torno do plano xy seguida de uma formulas para TTx x e T7x x reflexdo em torno do plano xz seguida de uma projecio Pp g proje 4 Sejam Tx xx 4x 2x x x 3xe ortogonal sobre o plano yz TyXy Xp X3 2 X3 40 X3 c Uma rotagiio de 270 em torno do eixo x seguida de uma g a Encontre as matrizes canénicas de T eT rotacdo de 90 em torno do eixo y seguida de uma rota b Encontre as matrizes canénicas de T 0 T e T oT Go de 180 em torno do eixo z c Use as matrizes encontradas na parte b para encontrar 9 Determine se T 0 T T oT formulas para TTx x X3 TT X X3 a TR R éa projecao ortogonal sobre 0 eixo x e 1 proje g 2 24 sow 5 Encontre a matriz can6nica para a composicio dada em R T R R a projecao ortogonal sobre 0 eixo y a Uma rotagao de 90 seguida de uma reflex4o na reta y x b T R R arotagao por um Angulo 6 e T R ORE b Uma projegao ortogonal sobre 0 eixo y seguida de uma a rotagao por um angulo 6 contracao de fator k 5 c T R R a projecio ortogonal sobre 0 eixo x e p2 24 a c Uma reflexaéo em torno do eixo x seguida de uma dilata T 1 R R a rotagao por um aingulo 0 ao de fator k 3 10 Determine se T 0 T ToT 6 Encontre a matriz canénica para a composicao dada em R a T R R é a dilatagao de fator ke T RRéa a Uma rotagao de 60 seguida de uma projecao ortogonal rotacdo em torno do eixo z por um Angulo sobre 0 eixo x seguida de uma reflex4o na reta y x b T R R arotacio em torno do eixo x por um Angu b Uma dilatacao de fator k 2 seguida de uma rotacao de lo6eT R R a rotagio em torno do eixo z por um 45 seguida de uma reflexdo no eixo y angulo 6 272 Algebra Linear com Aplicacdes 11 Em cada parte determine por inspegdo se 0 operador matricial 17 a Tx y 2x yx y injetor b Txy Ly c Ty 09 a Uma projecao ortogonal sobre o eixo x em R d Tx y J b Uma reflexao no eixo yem R 2 Nos Exercicios 1819 em cada parte use 0 Teorema 4102 c Uma reflexdo na reta y xem R 3 2 5 para determinar se T R R é uma transformag4o matricial d Uma contragao de fator k 0 em R s ee 18 Toydxtyt2 taga t n oe ee em oO ee em b Tiny CD ma reflexao no plano xy em R ina diletncm de fator te 0 em 19 a Toy 00 taca t g Uma dilatagao de fator k 0 em b Tx y 2 Gx 4y 2x 5z 12 Em cada parte encontre a matriz canénica do operador ma 20 Em cada parte use o Teorema 4103 para encontrar a matriz tricial definido pelas equacées e use o Teorema 4104 para As ae can6nica do operador matricial a partir das imagens dos veto determinar se o operador é injetor A res da base canénica a wW 8x 4x b wW 2x 3x a As reflexdes em R da Tabela 1 da Secao 49 W2x Xx W 5x x 5 b As reflex6es em R da Tabela 2 da Secao 49 c W 3x 2x5 d w 2x 3x c As projegdes em R da Tabela 3 da Secio 49 w 2x as w 2x1 90 345 d As projecdes em R da Tabela 4 da Seciio 49 wWy x 3x 6x w 8x d projegdes em f a Tabela 4 da Segao 49 e As rotagdes em R da Tabela 5 da Secao 49 13 Em cada parte determine se 0 operador matricial T R R 3 definido pelas equacg6es é injetor e se for encontre a matriz f As dilatagdes e contragdes em R da Tabela 8 da Secao 49 can6nica do operador inverso e encontre T w W 21 Em cada parte encontre a matriz canénica do operador matri a w x 2x b w 4x 6x cial dado Wx x Ww 2x 3x a T R R projeta cada vetor ortogonalmente sobre o eixo x e em seguida reflete esse vetor no e1xo y i 2 b T R R reflete cada vetor na reta y x e em seguida a i reflete esse vetor no eixo x 3 3 14 Em cada parte determine se o operador matricial T R R c T R R dilata cada vetor pelo fator 3 em seguida lefinido pelas equagoes i ctor e se for encontre a matriz reflete esse vetor na reta y x e finalmente projeta esse candénica do operador inverso e encontre T w Ww W vetor ortogonalmente sobre 0 eixo y a W x 2x 2x b w x 3x 4x 22 Em cada parte encontre a matriz can6nica do operador matri W 2x Xy 3 Wy X Xt Xs cial dado Wys AF Ws 2 945 a T RK R reflete cada vetor no plano xz e em seguida c wp x1 400 3 d w x 2x x contrai esse vetor pelo fator i W2 2x 7x x3 W 2x xX 4x b T ROR projeta cada vetor ortogonalmente sobre o w3 x1 3x2 W 7x 4x 5x plano xz e em seguida projeta esse vetor ortogonalmente 15 Em cada parte determine por inspecdo a inversa do operador sobre o plano xy matricial injetor dado c T R R reflete cada vetor no plano xy em seguida a A reflexio no eixo xem R reflete esse vetor no plano xz e finalmente reflete esse vetores no plano yz b A rotagao por um angulo 74 em R 33 SeiaT RoR itipl R7 t a c A dilatagao de fator 3 em R Jets MUNAPNCALAO POF d A reflexao no plano xy em R 1 3 0 e A contracgao de fator i em R A 2 l 2 4 5 3 Nos Exercicios 1617 em cada parte use 0 Teorema 4102 e sejam e e os vetores da base canénica de R Em cada para determinar se T R R é um operador matricial parte encontre o vetor por inspecao 16 a Tx y 2x y b Tx y y a Te Te e Te Tay y9 d Ta y 0 b Te e e c T7e 411 A geometria de operadores matriciais de R 273 24 Em cada parte determine se a multiplicagao por A é uma 29 Sejam A uma matriz n X n tal que detA Oe T R Ra transformac4o matricial injetora multiplicagao por A 1 1 a O que pode ser dito sobre a imagem do operador matri a A2 0 b A l 2 il cial T Dé um exemplo que ilustre sua conclusao 34 1 04 b O que pode ser dito sobre 0 nimero de vetores que T aplica em 0 2 1 30 Prove se a transformacao matricial T R R for injetora c A 0 1 1 entao A é invertivel 1 1 0 1 01 Exercicios verdadeirofalso Nas part f determi fi ao é verdadei falsa 25 a Sera injetora a composta de transformacgGes matriciais aS panies a determine se a afirmagao verdadeira ou falsa justificando sua resposta injetoras Justifique sua resposta a Se T R R e T0 0 entio T é uma transformagio ma b Pode ser injetora a composta de uma transformacaéo tricial matricial injetora com uma transformacao matricial que n nao injetora Considere ambas ordens de composiao e b SeTR R eT cx Gy T x y com justifique sua resposta quaisquer escalares c e c e quaisquer vetores x e y em R tao T é t fe a tricial 26 Mostre que T x y 0 0 define um operador matricial em emae ue nansrommaga ta ae R mas T x y 1 1 nao c Se T RF R for uma transformagao matricial injetora en tao na ist t distint i 27 a Prove que se T R R for uma transformagao matri Tix ES MOSS NS SES LS cial entéo T0 0 ou seja T transforma o vetor nulo de y R no vetor nulo de R d Se T R R for uma transformagao matricial e m n en tao T é injetora b A reciproca de a nao é verdadeira Dé um exemplo de afore ue oe uma transformacio T tal que T0 0 mas tal que T nao e Se T R R for uma transformagao matricial e m n en uma transformac4o matricial tao T injetora 28 Prove uma matriz A de tamanho n X n é invertivel se e 36 f Se r R R for uma transformagao matricial e m n en se O sistema linear Ax w tem exatamente uma solucao com tao T injetora qualquer vetor w em R tal que o sistema seja consistente tone 9 411 A geometria de operadores matriciais de R Nesta secao opcional discutimos mais detalhadamente os operadores matriciais de R As ideias aqui desenvolvidas tém aplicagdes importantes na Computacao Grafica Na Segao 49 enfocamos o efeito que um operador matricial tem sobre vetores indivi Transformacao de regides duais em R e R No entanto também é importante entender como esses operadores afe tam os formatos de regides Por exemplo a Figura 4111 mostra uma fotografia famosa de Albert Einstein e trés modificagées dessa fotografia geradas por computador que sao o resultado de operadores matriciais de RA figura original foi escaneada e em seguida digitalizada para decomp6la num arranjo retangular de pixels Esses pixels foram entao transformados como segue e Foi utilizado 0 programa MATLAB para associar coordenadas e um nivel de cinza a cada pixel e As coordenadas dos pixels foram transformadas por multiplicagao matricial e Os niveis originais de cinza foram entao associados aos pixels para produzir a figura transformada Muitas vezes o efeito geral de um operador matricial de R pode ser entendido olhando para as imagens dos vértices 0 0 1 0 0 1 e 1 do quadrado unitario Figura 4112 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 274 Algebra Linear com Aplicacdes A 7 SN fi a y N a ON iy ai q sj aN ch La Tao L i a ao a Digitalizagao Rotagao Cisalhamento horizontal Compressao horizontal Figura 4111 y a y y e qa 1 x x y 7 Z 7 J 7 7 e Quadrado unitario Quadrado unitario girado Quadrado unitario Quadrado unitario Quadrado unitario refletido no eixo y refletido na reta y x projetado no eixo x Figura 4112 A Tabela mostra 0 efeito que algumas transformacg6es matriciais estudadas na Segao 49 tém sobre 0 quadrado unitario Para isso ficar mais claro destacamos uma metade do quadrado original e a parte correspondente na imagem EXEMPLO 1 Transformando com matrizes diagonais Suponha que o plano xy seja inicialmente comprimido ou expandido pelo fator k na di recao x e depois comprimido ou expandido pelo fator k na diregaéo y Encontre um sé operador matricial que efetue ambas operacées Solugdo As matrizes canGénicas das duas operacgées so k 0 1 0 0 1 0k expansao compressao em x expans4o compressao em y Assim a matriz canénica da composta da operac4o em x seguida pela operacéo em y é A 1 Ofk 0 k 0 1 0 IJLO 1 0 Isso mostra que a multiplicac4o por uma matriz diagonal 2 X 2 com entradas nao negati vas expande ou comprime o plano na direcao x e também na direcao y No caso especial em que k ek sao iguais digamos k k k a Formula 1 é simplificada para A k 0 10 k que é uma dilatagao ou contragio Tabela 7 da Secao 49 4 411 A geometria de operadores matriciais de R 275 Tabela 1 Operador Matriz canénica Efeito no quadrado unitario y y ad 1 l 1 1 0 Reflexao no eixo y 0 1 x x y y d l 1 0 Reflexao no eixo x x x 0 l d1 y y ad 1 d 1 01 Reflexao na reta y x 1 0 x x cos 6 sen 0 sen 8 cos 0 y yy a 1 Rotagaio antihordria cos sen6 pelo Angulo 6 sen cos x 0 M y y x sn a 1 k 1 Compressao na diregaio k 0 x pelo fator k 0 1 x x Ok1 y y 11 k 1 ExpansAo na direcao x k 0 op ev pelo fator k 0 1 x x k1 y y d 1 k 1 Cisalhamento de fator Lk k Ona diregao x 01 x x y 11k y Cisalhamento de fator 10 a k 0 na diregao y k 1 x x 276 Algebra Linear com Aplicagées EXEMPLO 2 Encontrando operadores matriciais a Encontre a matriz candnica do operador matricial de R que é dado pelo cisalhamento de fator 2 na diregao x seguido da reflex4o na reta y x Esboce a imagem do quadra do unitario por esse operador b Encontre a matriz canénica do operador matricial de R que é dado pela reflexao na reta y x seguida pelo cisalhamento de fator 2 na diregao x Esboce a imagem do quadrado unitdrio por esse operador c Confirme que 0 cisalhamento e a reflexdo das partes a e b nao comutam Solugdo a A matriz canénica do cisalhamento é 1 2 A 0 1 ea da reflexdo é A 0 1 11 0 Assim a matriz canénica do cisalhamento seguido pela rotagao é 0 1ff1l 2 0 1 AA 1 O0 1 1 2 Solugdo b A matriz candénica da reflex4o seguida pelo cisalhamento é 1 20 1 2 1 AA 0 l11 0 1 0 Solucao c Os calculos nas solugoes das partes a e b mostram que AA AA de modo que as matrizes candénicas e portanto os operadores matriciais ndo comutam A mesma conclusao segue das Figuras 4113 e 4114 j4 que os dois operadores produzem imagens diferentes do quadrado unitario 4 y y y x y 7 7 vo 31 11 1 x x x 7 7 Reflexdo Cisalhamento emyx de fator 2 Figura 4113 na diregao x y y y y yaw 1 3 yx 7 7 7 7 7 7 7 7 yo 31 vo a 1 7 7 7 7 x Z x x 7 7 4 4 Cisalhamento Reflexao de fator 2 emyx Figura 4114 na diregao x 411 A geometria de operadores matriciais de R 277 Voltamos nossa atengao aos operados matriciais injetores de R que so importantes por A geometria de operadores aplicarem pontos distintos em pontos distintos Pelo Teorema 4104 das afirmagées matriciais injetores equivalentes sabemos que uma transformacao matricial T é injetora se e s6 se A puder ser expressa como um produto de matrizes elementares Assim podemos analisar 0 efeito de qualquer transformagao injetora T fatorando a matriz A num produto de matrizes ele mentares digamos AEEE e expressando T como a composta T Tr gk Ty Ty Oro0 T 2 O teorema seguinte explica 0 efeito geométrico dos operadores matriciais corresponden tes a matrizes elementares TEOREMA 4111 Se E for uma matriz elementar entdo T R R é um dos ope radores seguintes a Um cisalhamento na diregdo de um eixo coordenado b Uma reflexdo na reta y x c Uma compressao na direcdo de um eixo coordenado d Uma expansdao na direcdao de um eixo coordenado e Uma reflexdo num eixo coordenado f Uma compressdao ou expansdao na diredao de um eixo coordenado seguida de uma reflexdo num eixo coordenado Prova Como uma matriz elementar 2 2 resulta de uma tinica operacgdo elementar nas linhas da matriz identidade 2 X 2 uma matriz dessas necessariamente tem um dos forma tos seguintes verifique 1 0 1 ok 0 1 k 0 1 0 k oA 0 17 1 OV 0 17 Ok As primeiras duas matrizes representam cisalhamentos na diregao de um eixo coordena do e a terceira uma reflexdo na reta y x Se k 0 as duas tiltimas matrizes representam expans6es ou compress6es na direcao de um eixo coordenado dependendo se 0 k louk 1 Sek Oe se expressarmos k na forma k k com k 0 ento as duas ultimas matrizes podem ser escritas como k O k O 1 Ok 0 3 0 1 0 1 0 10 1 1 0 1 0 1 OJ1 0 4 Ok 0 k 0 10 Como k 0 o produto em 3 representa uma compressdo ou expansao na direcdo x se guida de uma reflex4o no eixo y e 4 representa uma compressao ou expansao na direcao y seguida de uma reflex4o no eixo x No caso em que k 1 as transformagoes 3 e 4 s4o simplesmente reflexGes nos eixos y e x respectivamente Como toda matriz invertivel é o produto de matrizes elementares 0 proximo resulta do decorre do Teorema 4111 e da Formula 2 278 Algebra Linear com Aplicacées TEOREMA 4112 Se T RR for a multiplicagao pela matriz invertivel A entado o efeito geométrico de T é igual ao de uma sucessdo apropriada de cisalhamentos compressdes expansoes e reflexdes Analisando o efeito geométrico de um operador matricial Supondo que k e k sejam positivos expresse a matriz diagonal A k 0 0k como um produto de matrizes elementares e descreva 0 efeito geométrico da multiplica ao por A em termos de compresses e expans6es Solugao Pelo Exemplo 1 temos k 0 1 Ok 0 A 0 k 0 kJ 0 1 0 que mostra que a multiplicagao por A tem o efeito geométrico de comprimir ou expandir pelo fator k na diregdo x e depois comprimir ou expandir pelo fator k na diregao y Analisando o efeito geométrico de um operador matricial Expresse A 1 2 3 4 como um produto de matrizes elementares e entao e descreva 0 efeito geométrico da mul tiplicagdo por A em termos de cisalhamentos expansoes e reflex6es Solugao A pode ser reduzida a J como segue 1 2 y 1 2 1 2 y 1 0 3 4 0 2 0 1 0 1 Somamos 23 Multiplicamos Somamos 22 vezes a primeira a segunda vezes a segunda linha a segunda linha por 5 linha a primeira As trés operag6es sucessivas com as linhas podem ser efetuadas multiplicando A pela esquerda sucessivamente por Ee 1 0 p 1 0 Ex 1 2 3 1f 7 JO 5P FF fo Invertendo essas trés matrizes e usando a Férmula 4 da Segao 15 obtemos Az EUR B 1 Ojf1 O1 2 tes 13 ASLO 2 0 1 Lendo da direita para a esquerda e observando que 1 Oo fil O1 0 0 2 o 1lo 2 segue que 0 efeito de multiplicar por A equivale a 411 Ageometria de operadores matriciais de R 279 1 um cisalhamento de fator 2 na diregao x 2 seguido por uma expansao de fator 2 na diregao y 3 seguida por uma reflex4o no eixo x e entao 4 um cisalhamento de fator 3 na direcéo y 4 Na Computagao Grafica muitas imagens sao construidas ligando pontos por segmentos Imagens de retas por de retas O préximo teorema ajuda a entender como os operadores matriciais transformam operadores matriciais tais imagens A prova de algumas partes do teorema fica como exercicios TEOREMA 4113 SejaT RRa multiplicagao por uma matriz invertivel a A imagem de uma reta é uma reta Ai oem TS b A imagem de uma reta pela origem é uma reta pela origem Observe que do Teorema c As imagens de retas paralelas sao retas paralelas 4113 segue que se A for uma d A imagem do segmento de reta ligando P e Q é 0 segmento de reta ligando as matriz 2 X 2 invertivel entao a imagens de P e Q multiplicagdo por A transforma y triangulos em triangulos e para e As imagens de trés pontos sGo colineares se e somente se os pontos sGo colineares lelogramos em paralelogramos Imagem de um quadrado y Esboce a imagem do quadrado de vértices 0 0 1 0 C1 1 e 0 1 pela multiplicagao 01 1 por x a i 0 0 1 0 2 l Solugao Como 1 20 0 1 21 l 1 2 Y 2 10 o 2 10o 2 d 1 1 20O 2 1 21 fl 2 11 1 2 11 x 0 0 a imagem do quadrado é um paralelogramo de vértices 0 0 1 2 2 le d 1 Figura 4115 2 1 Figura 4115 Imagem de uma reta De acordo com 0 Teorema 4113 a matriz invertivel 3 1 A 2 1 leva a reta y 2x 1 em alguma outra reta Encontre sua equacao Solugdo Seja x y um ponto da reta y 2x 1 e seja x y sua imagem pela multi plicagao por A Entao x 3 1x x 3 17 fx 1 1 f e y 2 IjlLy y 2 1 y 2 3 Ly 280 Algebra Linear com Aplicacées de modo que x x y y 2x 3y Substituindo em y 2x 1 obtemos 2x 3y 2x y 1 ou equivalentemente y 2x i Assim x y satisfaz 4 I Vaux ts que é a equacéo procurada 4 Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Efeito de um operador matricial no quadrado unitario e Encontrar as matrizes candénicas de transformagG6es ae 2 e Geometria de operadores matriciais invertiveis geométricas de R e Imagens de retas por operadores matriciais e Descrever 0 efeito geométrico de um operador matricial invertivel e Encontrar a imagem do quadrado unitario por um operador matricial e Encontrar a imagem de uma reta por um operador matricial Conjunto de exercicios 411 1 Em cada parte encontre a matriz candnica do operador c rotagao de cada vetor por 90 no sentido antihorario em T R R que transforma cada ponto x y na sua torno do eixo y olhando ao longo do eixo y positivo para a reflexfo na reta y x a origem b reflexdo na origem 6 Esboce a imagem do retangulo de vértices 0 0 1 0 1 2 1 e 0 2 c projecao ortogonal sobre 0 eixo x on a pela reflexao no eixo x d projegéo ortogonal sobre 0 eixo y b pela reflexao no eixo y 2 Em cada parte do Exercicio 1 use a matriz obtida para c pela compressio na direcdo y de fator calcular 72 1 Confira suas respostas geometricamente P P s y esbocando 0s pontos 2 1 e 2 1 d pela expansdo na diregao x de fator k 2 lo cisalh to de fator k diregao x 3 Em cada parte encontre a matriz canénica do operador e pelo amento ee tenor 3na ese T R R que transforma cada ponto x y z na sua f pelo cisalhamento de fator k 2 na direcao y a reflexdo no plano xy 7 Esboce a imagem do quadrado de vértices 0 0 1 0 1 1 1 pel Itiplicaga b reflex4o no plano xz e 0 1 pela multiplicagao por c reflexao no plano yz A lo 1 4 Em cada parte do Exercicio 3 use a matriz obtida para calcular T1 1 1 Confira suas respostas geometricamente 8 Em cada parte encontre a matriz que faz a rotagao de cada esbocando os vetores 1 1 1 e 71 1 1 ponto x y em torno da origem por 5 Encontre a matriz canénica do operador T R R que a 45 b 90 c 180 a 270 30 efetuaa 9 Em cada parte encontre a matriz 2 X 2 que efetua um a rotago de cada vetor por 90 no sentido antihorario em cisalhamento 8 torno do eixo z olhando ao longo do eixo z positivo para a de fator k 4 na diregao y a origem b de fator k 2 na direcao x b rotagao de cada vetor por 90 no sentido antihorario em 10 Em cada parte encontre a matriz 2 X 2 que comprime ou torno do eixo x olhando ao longo do eixo x positivo para expande a origem a por um fator na diregao y b por um fator 6 na diregao x 411 Ageometria de operadores matriciais de R 281 11 Em cada parte descreva 0 efeito geométrico da multiplicagéo d A reflexdo no eixo y por A e A rotagao de 60 em torno da origem a A b A I c A Ic 18 Encontre a matriz de um cisalhamento na direcAo x que trans 0 1 0 5 0 1 forma o triangulo de vértices 0 0 2 1 e 3 0 num trian 12 Em cada parte expresse a matriz como um produto de matri gulo retangulo com o Angulo reto na origem zes elementares e descreva 0 efeito da multiplicagéo por A em 19 a Mostre que a multiplicagao por termos de compress6es expansoes reflexGes e cisalhamentos 3 2 0 1 4 A A b A 6 2 a5 5 w a 4 0 5 3 aplica cada ponto no plano sobre a reta y 2x c A d A b Segue da parte a que os pontos nao colineares 1 0 4 0 4 6 0 1 e 1 0 sAo transformados em pontos de uma 13 Em cada parte encontre uma tinica matriz 2 X 2 que efetue a reta Isso contradiz a parte e do Teorema 4113 sucessao de operagoes indicadas 20 Prove a parte a do Teorema 4113 Sugestdo uma reta no a A compressao de fator na direcao x seguida da expansao plano tem uma equac4o da forma Ax By C0 comAeB de fator 5 na diregao y nao ambos zero Use o método do Exemplo 6 para mostrar que b A expansao de fator 5 na direciio y seguida do cisalha a imagem dessa reta pela multiplicagdo pela matriz invertivel mento de fator 2 na direcao y ab c A reflexao na reta y x seguida da rotacao pelo Angulo k A de 180 em torno da origem 14 Em cada parte encontre uma tinica matriz 2 X 2 que efetue a tem a equagao Ax By C0 com sucessao de operagées indicadas A dA cBVad bc a A reflexao no eixo y seguida da expansao de fator 5 na e direcao x seguida pela reflexdo na reta y x b A rotacao pelo Angulo de 30 em torno da origem segui B bA aBad be da pelo cisalhamento de fator 2 na direc4o y seguido Em seguida mostre que A e B nao sao ambos nulos para pela expansao de fator 3 na diregio y concluir que a imagem é uma reta 15 Em cada parte use inversao matricial para mostrar a afirma 21 Use a sugestiio do Exercicio 20 para provar as partes b e c gao do Teorema 4113 a A transformagao inversa da reflexao na reta y x a re 22 Em cada parte encontre a matriz can6nica do operador matri flexao na reta y x cial descrito pela figura b A transformagao inversa de uma compressfo na direc4o de um eixo é uma expansao na direcao daquele eixo z z z c A transformacao inversa da reflex4o num eixo coordena do é a reflexdo naquele eixo x y 2 Ki y x e d A transformacgao inversa de um cisalhamento na direg4o x 2 de um eixo coordenado é um cisalhamento na diregao 7 d y y Gy y aquele eixo eo 16 Encontre a equacao da imagem da reta y 4x 3 pela x x x multiplicagdo por 92 x zy 4 3 A a b c 32 Figura Ex22 17 Em cada parte encontre a equacao da imagem da reta y 2x 1 dor Pero opens on 23 Em R o cisalhamento de fator k na direcao xy a transfor a O cisalhamento de fator k 3 na diregao x macio matricial que aplica cada ponto x y z paralelamente b A compressao de fator 5 na direcao y ao plano xy no novo ponto x kz y kz z Ver figura c A reflexao no eixo y x a Encontre a matriz canénica do cisalhamento de fator k na direcao xy 282 Algebra Linear com Aplicacées b Como vocé definiria o cisalhamento de fator k na diregio Exercicios verdadeirofalso i irecio yz x XZ 0 cisalhamento de fator k na diregao yet Encontre as Nas partes ag determine se a afirmacaAo é verdadeira ou falsa matrizes can6nicas dessas transformacgGées matricials justificando sua resposta a A imagem do quadrado unitdrio por um operador matricial z z injetor é um quadrado b Um operador matricial 2 X 2 invertivel tem 0 efeito geomé trico de uma sucessfo de cisalhamentos compress6es expan x y 2 h s6es e reflexGes e y y c A imagem de uma reta por um operador matricial injetor é L uma reta d Toda reflexdo de R é sua prépria inversa x x fd 1 e A matriz 1 1 representa uma reflexéo numa reta Figura Ex23 7 1 2 f A matriz 1 representa um cisalhamento 1 0 x g A matriz 0 3 representa uma expansao 412 Sistemas dinamicos e cadeias de Markov Nesta seao opcional mostraremos como os métodos matriciais podem ser usados para analisar 0 comportamento de sistemas fisicos que evolvem com 0 passar do tempo Os métodos que estudamos aqui tém sido aplicados a problemas de Administragao de Ecologia de Demografia de Sociologia e da maioria das ciéncias fisicas Sistemas dinamicos Um sistema dinaémico é um conjunto finito de varidveis cujos valores mudam com 0 pas sar do tempo O valor de uma variavel num dado instante de tempo denominado 0 esta do da varidvel naquele instante de tempo e o vetor formado pelos estados é denominado 0 estado do sistema dindmico naquele instante de tempo Nosso principal objetivo nesta secdo é analisar como 0 estado de um sistema dinamico evolui com 0 tempo Comecemos com um exemplo indice de audiéncia como um sistema dindmico Suponha que cada um de dois canais de televisdo concorrentes os canais e 2 tenha 50 da audiéncia num dado instante de tempo inicial Suponha que ao longo de cada periodo de um ano o canal atraia 10 da audiéncia do canal 2 e 0 canal 2 capture 20 da audi éncia do canal ver Figura 4121 Qual a audiéncia de cada canal ao final de um ano Soluga4o Comecemos introduzindo as variaveis Canal 0 Canal xt fragdo de audiéncia do canal no instante de tempo rf 2 xt fragao de audiéncia do canal 2 no instante de tempo f 20 G que dependem do tempo e o vetor coluna 80 90 t x t Fracao de audiéncia do canal 1 no instante de tempo xX O canal perde 20 e x t Fracio de audiéncia do canal 2 no instante de tempo mantém 80 0 canal one 10 As varidveis xf e xt formam um sistema dinamico cujo estado no instante de tempo 0 see A t o vetor xt Tomando tf 0 como o ponto inicial no qual ambos canais tém 50 da Figura 4121 audiéncia temos que o estado do sistema naquele instante de tempo é 412 Sistemas dinamicos e cadeias de Markov 283 x0 x 0 05 Fracdo de audiéncia do canal 1 no instante de tempo 0 1 xX 0 05 Fracdo de audiéncia do canal 2 no instante de tempo 0 Vamos tentar encontrar o estado do sistema no instante de tempo t 1 um ano depois Ao longo do ano o canal retém 80 de seus 50 iniciais e ganha 10 dos 50 iniciais do canal 2 Assim x1 0805 0105 045 2 Analogamente o canal 2 ganha 20 dos 50 iniciais do canal e retém 90 de seus 50 iniciais Assim x1 0205 0905 055 3 Portanto 0 estado do sistema no instante de tempo é x 1 045 Frago de audiéncia do canal 1 no instante de tempo t 1 x1 as 4 xX 1 055 Fragao de audiéncia do canal 2 no instante de tempo 1 Evolugao do indice de audiéncia ao longo de cinco anos Acompanhe os indices de audiéncia dos canais e 2 do Exemplo num perfodo de cinco anos Solugao Para resolver esse problema vamos supor que ja calculamos os indices de audiéncia de cada canal no instante de tempo t k e que estamos interessados em usar os valores conhecidos de xk e xk para calcular os indices xk 1 e xk 1 um ano depois A analise é exatamente a mesma que foi usada para obter as Equacoes 2 e 3 Ao longo do ano 0 canal retém 80 de sua fragdo inicial xk e ganha 10 da fragao inicial xk do canal 2 Assim xk 1 08xk 01xk 5 Analogamente o canal 2 ganha 20 da fragao inicial xk do canal 1 e retém 90 de sua propria fraao inicial xk Assim xk 1 02xk 09xk 6 As Equagoes 5 e 6 podem ser expressas em formato matricial como XK1 08 01 x K 7 xk1 02 09 Lx k que fornece uma maneira de usar a multiplicagao matricial para calcular o estado do sis tema no instante t k 1 a partir do estado no instante t k Por exemplo usando 1 e 7 obtemos 08 01 0 08 01 05 045 mY To2 09 02 09 Los 055 que confere com 4 Analogamente Q 08 01 08 01 045 0415 we 102 09 02 09 055 0585 Agora podemos continuar esse processo usando a Férmula 7 para calcular x3 a partir de x2 depois x4 a partir de x3 e assim por diante Isso fornece verifique 3 03905 4 037335 5 0361345 8 106095 062665 0638655 Assim depois de cinco anos 0 canal vai ter um fndice de audiéncia de 36 e 0 canal 2 um indice de 64 4 284 Algebra Linear com Aplicacées Se quisermos podemos continuar a andlise de mercado do Ultimo exemplo além do periodo de cinco anos e explorar 0 que acontece com os indices de audiéncia a longo prazo Fizemos isso usando um computador e obtivemos os seguintes vetores de estado arredondados até a sexta casa decimal 10 0338041 20 0333466 40 0333333 9 x Re x x 0661959 0666534 0666667 Todos os vetores de estado subsequentes quando arredondados até a sexta casa decimal sao iguais a x40 portanto vemos que os indices de audiéncia acabam se estabilizando com o canal mantendo cerca de um tergo da audiéncia e 0 canal 2 cerca de dois tergos Adiante ainda nesta seao explicaremos por que ocorre essa estabilizagao Cadeias de Markov Os estados das varidveis em muitos sistemas dinamicos nao sao conhecidos com absoluta certeza mas podem ser dados como probabilidades esses sistemas dinadmicos sao deno minados processos estocdsticos da palavra grega stochastikés significando palpite conjectura Um estudo detalhado de processos estocasticos requer uma definicdo pre cisa do termo probabilidade 0 que esta além dos propésitos deste livro Contudo para o nosso estudo a seguinte interpretacdo desse termo é suficiente Em termos informais a probabilidade de um experimento ou de uma observacdao pro duzir um certo resultado é aproximadamente a fracdo de tempo durante a qual esse resultado ocorreria se o experimento fosse repetido muitas vezes sob condigées cons tantes quanto maior o numero de repetigdes mais precisamente a probabilidade des creve a fracdo das ocorréncias Por exemplo quando dizemos que é a probabilidade de se obter cara jogando uma moeda honesta queremos dizer que se a moeda fosse langada muitas vezes sob condides constantes entaéo esperarfamos que em aproximadamente metade das ocorréncias obte rfamos cara As probabilidades s4o muitas vezes expressas como decimais ou como por centagens Assim a probabilidade de se obter cara jogando uma moeda honesta também pode ser expressa como 05 ou 50 Se um experimento ou observacao tiver n resultados possiveis entaéo as probabilidades desses resultados deverao ser fragdes nao negativas cuja soma é 1 As probabilidades sao nao negativas porque cada uma descreve a fragdo de ocorréncias de um resultado a longo prazo e a soma é porque eles dao conta de todos os possiveis resultados Por exemplo se uma caixa contém uma bola vermelha trés bolas verdes e seis bolas amarelas e se uma bola for retirada aleatoriamente da caixa entao as probabilidades dos possiveis resultados sao P probvermelho 110 01 P probverde 310 03 P probamarelo 610 06 Cada probabilidade é uma fragao nao negativa e Pi p t p 91 03 06 1 Num processo estocastico com n possiveis estados 0 vetor de estados em cada ins tante tem o formato x t A probabilidade de que o sistema esteja no estado 1 xX t A probabilidade de que o sistema esteja no estado 2 xt x t A probabilidade de que o sistema esteja no estado n As entradas desse vetor devem somar pois dao conta de todas as n possibilidades Em geral dizemos que um vetor é um vetor probabilidade se suas entradas sao nao negativas e tém soma 412 Sistemas dinamicos e cadeias de Markov 285 EXEMPLO 3 Denovoo Exemplo 1 do ponto de vista probabilistico Observe que os vetores de estado nos Exemplos e 2 sao todos vetores de probabilida de Isso era de se esperar j4 que as entradas de cada vetor de estado sao os indices de audiéncia dos canais que juntos compreendem toda a audiéncia Além disso é preferi vel interpretar as entradas de vetores de estado como probabilidades em vez de indices exatos de audiéncia j4 que a informacao sobre a audiéncia costuma ser obtida por meio de procedimentos estatisticos com incertezas intrinsecas Assim por exemplo o vetor de estado xd 0 45 x1 1 x 1 055 que no Exemplo 1 foi interpretado como significando que o canal 1 detém 45 da audiéncia e 0 canal 2 detém 55 da audiéncia também pode ser interpretado como significando que um individuo escolhido aleatoriamente é um telespectador do canal 1 com uma probabilidade de 045 e é um telespectador do canal 2 com uma probabilidade de 055 4 Dizemos que uma matriz quadrada é uma matriz estocdstica se cada um de seus vetores coluna for um vetor probabilidade Em geral tais matrizes ocorrem em formulas que dao os estados sucessivos de um processo estocastico Por exemplo os vetores de estado xk 1 e xk em 7 estao relacionados por uma equagéo da forma xk 1 na qual 08 01 P 10 02 09 é uma matriz estocastica Nao deveria ser surpreendente que os vetores coluna de P sao vetores de probabilidade j4 que as entradas em cada coluna dizem 0 que ocorre com a audiéncia de cada canal ao longo de cada ano a saber que as entradas na coluna indi cam que a cada ano o canal 1 mantém 80 de sua audiéncia e perde 20 e as entradas na coluna 2 dizem que a cada ano o canal 2 mantém 90 de sua audiéncia e perde 10 As entradas em 10 também podem ser vistas como probabilidades P 98 probabilidade de que um telespectador do canal 1 continue sendo telespectador do canal P 02 probabilidade de que um telespectador do canal passe a ser telespectador do canal 2 P 91 probabilidade de que um telespectador do canal 2 passe a ser telespectador do canal Px 09 probabilidade de que um telespectador do canal 2 continue sendo telespectador do canal 2 O Exemplo é um caso especial de uma classe maior de processos estocasticos deno minados cadeias de Markov GEES Nota histérica As cadeias de Markov s4o assim denominadas em ho Fs 2 menagem ao matematico russo A A Markov um amante da poesia que fe Tf ee as utilizou para analisar as alteragdes de vogais e consoantes no poema POSE 7 ee Eugene Onegin de Pushkin Markov acreditava que a unica aplicagao fas 1 Ok de suas cadeias seria a analise de obras literarias de modo que ele Pee ae ficaria surpreso se soubesse que hoje sua descoberta é usada pelas ae Ciéncias Sociais pela Teoria Quantica e pela Genética ed bai Imagem Wikipedia Andrei Andreyevich Markov 18561922 286 Algebra Linear com Aplicacées Estado no instante t k te DEFINICAO 1 Uma cadeia de Markov é um sistema dindmico cujos vetores de es tado numa sucessao de intervalos de tempo sao vetores de probabilidade e para 0 qual by Estado no instante os vetores de estado em intervalos de tempo sucessivos estao relacionados por uma take equacao da forma xk 1 Pxk A entrad S babilidad 2 ays z sy de que o cilteme otters ho em que P p uma matriz estocastica e p a probabilidade com que o sistema estado i no instante t k 1 estara no estado i no instante t k se estiver no estado j no instante t k A matriz se o sistema estiver no estado P é denominada matriz de transigao do sistema j no instante t k Figura 4122 Observacao Observe que nessa definicao o indice i de linha corresponde ao estado seguinte e 0 indice j de coluna ao estado anterior Figura 4122 Migragdes como cadeias de Markov Suponha que um leao marcado possa migrar entre trés reservas em busca de comida As reservas sao denotadas por 1 2 e 3 e tendo por base dados sobre os recursos de alimento os pesquisadores concluem que o padrao mensal de migragao do leao pode ser modelado por uma cadeia de Markov com matriz de transigao Reserva no instante t k 1 2 3 05 04 06 1 P02 02 03 2 Reservano instantet k 1 03 04 01 3 ver Figura 4123 Assim P 05 probabilidade de que 0 leao permanega na reserva quando esta na reserva 05 ey iC P 04 probabilidade de que o leo migre da reserva 2 para a reserva P1 06 probabilidade de que 0 ledo migre da reserva 3 para a reserva Reserva y P 02 probabilidade de que 0 ledo migre da reserva para a reserva 2 A Ne Px 02 probabilidade de que o leao permanega na reserva 2 quando esta na reserva 2 04 06 ay 03 Px 03 probabilidade de que o leao migre da reserva 3 para a reserva 2 2 cap P3 03 probabilidade de que o le4o migre da reserva para a reserva 3 04 Px 04 probabilidade de que 0 ledo migre da reserva 2 para a reserva 3 Figura 4123 P3 01 probabilidade de que 0 ledo permanega na reserva 3 quando esta na reserva 3 Se f estiver em meses e sabendo que 0 leao é largado na reserva 2 no instante t 0 acom panhe sua localizagao provavel ao longo de um periodo de seis meses Solugao Sejam xk xk e xk as probabilidades do leao estar na reserva 1 2 e 3 respectivamente no instante tf ke seja x k xk x k x3 k o vetor de estado naquele instante Como sabemos com certeza que 0 ledo esta na reserva 2 no instante tf 0 o vetor de estado inicial é 0 x0 1 0 412 Sistemas dinamicos e cadeias de Markov 287 Deixamos para 0 leitor mostrar que os vetores de estado ao longo do periodo de seis me ses sao 0400 0520 0500 x1 Px0 0200 x2 Px1 0240 x3 Px2 0224 0400 0240 0276 0505 0504 0504 x4 Px3 0228 x5 Px4 0227 x6 Px5 0227 0267 0269 0269 Como no Exemplo 2 aqui os vetores de estado parecem estabilizar ao longo do tempo com uma probabilidade de aproximadamente 0504 de o ledo estar na reserva 1 uma probabilidade de aproximadamente 0227 de estar na reserva 2 e uma probabilidade de aproximadamente 0269 de estar na reserva3 4 Numa cadeia de Markov com estado inicial x0 os sucessivos vetores de estado sio Cadeias de Markov como poténcias da matriz de x1 Px0 x2 Px1 x3 Px2 x4 Px3 transicao Para simplificar é costume denotar xk por x 0 que nos permite escrever Os sucessivos vetores de estado mais sucintamente como X PX XPX XPX XPX 11 Alternativamente esses vetores de estado podem ser expressos em termos do vetor de estado inicial x como xX PX xX PPX PX xX PPx Px xX PPx Px Lee do que segue que Note que a Formula 12 torna x PIX 12 possivel calcular o vetor de esta d i alcul sem calcular todos os estados intermediarios Adiante discutiremos métodos eficazes de ne ae he estado terioree calcular poténcias de matrizes que tornam essa férmula ainda mais Util como é exigido na Formula 1 L Encontrando um vetor de estado diretamente de x Use a Formula 12 para encontrar 0 vetor de estado x3 do Exemplo 2 Solugao Por 1 e 7 0 vetor de estado inicial e matriz de transigo sao 05 08 01 x0 los he 00 Deixamos para 0 leitor calcular P e mostrar que 3 Pp 0562 0219 05 03905 x3 x Px 3 0438 0781 05 06095 0 que confere com o resultado em 8 4 Vimos dois exemplos de cadeias de Markov nos quais os vetores de estado parecem es Comportamento a longo tabilizar depois de um certo periodo de tempo Assim é razoavel perguntar se todas as prazo de uma cadeia de cadeias de Markov tém essa propriedade O proximo exemplo mostra que isso nao ocorre Markov Uma cadeia de Markov que nAao estabiliza A matriz Pe 0 1 1 0 288 Algebra Linear com Aplicacées é estocastica e pode portanto ser considerada como a matriz de transigaéo de uma cadeia de Markov Um calculo simples mostra que P Ido que segue que TPPP e PpPPPp Assim os estados sucessivos na cadeia de Markov com vetor inicial x sao Xp PX Xo PX Xp que oscilam entre x e Px Assim a cadeia de Markov nao estabiliza a menos que ambos componentes de x sejam verifique 4 Uma definigao precisa do que significa uma sequéncia de ntiimeros ou de vetores estabilizar é dada no Calculo mas aquele nivel de precisdo nao sera necessario aqui In formalmente diremos que uma sequéncia de vetores X Xy Xpee tende a um limite q ou que converge a q se todas as entradas de x podem se tornar arbitra riamente proximas das entradas correspondentes de q tomando k suficientemente grande Vamos denotar isso escrevendo x q quando k Vimos no Exemplo 6 que os vetores de estado de uma cadeia de Markov nao pre cisam se aproximar de um limite em todos os casos Contudo podemos garantir que os vetores de estado tendem a um limite impondo mais uma condicAo na matriz de transigao de uma cadeia de Markov DEFINICAO 2 Uma matriz estocdstica P é dita regular se P ou alguma poténcia po sitiva de P tiver todas as entradas positivas e uma cadeia de Markov com matriz de transicao regular é dita uma cadeia de Markov regular Matrizes estocasticas regulares As matrizes de transigéo nos Exemplos 2 e 4 sao regulares pois suas entradas sao positi vas A matriz Pp 05 1 05 0 é regular porque 9 075 05 Pr 025 05 tem entradas positivas A matriz P no Exemplo 6 nao é regular porque P e cada poténcia positiva de P tm algumas entradas nulas verifique 4 O préximo teorema que enunciamos sem prova 0 resultado fundamental sobre o comportamento a longo termo de cadeias de Markov TEOREMA 4121 Se P for a matriz de transigdo de uma cadeia de Markov regular entao a Existe um unico vetor probabilidade q tal que Pq q b Dado qualquer vetor probabilidade inicial x a sequéncia de vetores de estado Xp PX Px tee converge a q 412 Sistemas dinamicos e cadeias de Markov 289 O vetor q desse teorema é denominado vetor de estado estaciondrio da cadeia de Markov Esse vetor pode ser encontrado reformulando a equagao da parte a como I Pqg90 e entao resolvendo essa equagao para q condicionada a exigéncia que q deve ser um vetor probabilidade Vejamos alguns exemplos De novo os Exemplos 1 e 2 A matriz de transigao da cadeia de Markov do Exemplo 2 é pe 08 01 02 09 Como as entradas de P sao positivas a cadeia de Markov é regular e tem portanto um unico vetor de estado estacionario q Para encontrar q resolvemos 0 sistema J Pq 0 que pode ser escrito como 02 01 fq 0 02 01 Lg 0 A solugao geral desse sistema é q 95s qs verifique que pode ser escrito em formato vetorial como q 05s 38 q D2 Ss Ss 13 Para q ser um vetor probabilidade precisamos ter lq 8 que implica s 2 Substituindo esse valor em 13 obtemos o vetor de estado estacionario 1 3 3 0 que é consistente com os resultados numéricos obtidos em 9 De novo o Exemplo 4 A matriz de transigao da cadeia de Markov do Exemplo 4 é 05 04 06 P02 02 03 03 04 01 Como as entradas de P sao positivas a cadeia de Markov é regular e tem portanto um unico vetor de estado estacionario q Para encontrar q resolvemos o sistema J Pq 0 que pode ser escrito usando fragdes como 1 2 3 2 5 5 q 0 1 4 3 s 5 Ti HL 3 2 9 0 2 i 93 14 290 Algebra Linear com Aplicacées Convertemos tudo para fragdes para evitar erros de arredondamento neste exemplo ilus trativo Deixamos para o leitor confirmar que a forma escalonada reduzida por linhas da matriz de coeficientes é 15 1 0 27 0 1 3 0 0 0 e que a solucao geral de 14 é LF hF GBS 15 Para q ser um vetor probabilidade precisamos ter g q gq 1 do que segue que s a verifique Substituindo esse valor em 15 obtemos o vetor de estado estacionario 60 119 05042 277 q 7 02269 32 02689 119 verifique o que é consistente com os resultados obtidos no Exemplo 4 4 Revisao de conceitos e Cadeia de Markov regular e Sistema dinamico e Vetor de estado estacionario Estado de uma variavel Aptiddes desenvolvidas e Estado de um sistema dinaémico a sett e Determinar se uma matriz é estocastica Processo estocastico e Calcular os vetores de estado a partir da matriz de e Probabilidade transico e um estado inicial e Vetor probabilidade e Determinar se uma matriz estocdstica é regular e Matriz estocastica e Determinar se uma cadeia de Markov é regular e Cadeia de Markov e Encontrar o vetor de estado estacionario de uma matriz de e Matriz de transicgado transicdo regular e Matriz estocastica regular Conjunto de exercicios 412 Nos Exercicios 12 em cada parte determine se A é uma matriz Nos Exercicios 34 use as Formulas 11 e 12 para calcular estocastica Se A nao for estocastica explique por que nao é o vetor de estado x de duas maneiras diferentes 1 a A 04 03 b A 04 06 3 P 05 06 x 05 a 06 07 03 07 05 04 05 1 1 1 1 1 lo 3 3 3 2 4 p9s bs 4 A0 0 3 At 4 4 02 05 0 1 1 1 1 0 33 2 3 1 Nos Exercicios 56 em cada parte determine se P é uma ma 02 09 02 08 triz estocdstica regular 2 a A b A 1 4 1 1 08 01 09 01 tt 10 1 5 a P b P c P toiled j iol 4 6 4 4 49 12 9 6 3 2 5 7 5 5 c A 4 0 2 dd A 0 4 5 1 2 3 1 5 1 0 6 P b P P 3 D9 3 7 0 03 43 412 Sistemas dinamicos e cadeias de Markov 291 Nos Exercicios 710 verifique que P é uma matriz estocas e se o rato escolhe o tipo II num certo dia entéo a chance de tica regular e encontre o vetor de estado estacionario da cadeia de escolher o tipo II no dia seguinte é de 50 Markov associada a Encontre uma matriz de transicdo para esse fendmeno 3 02 06 b Se hoje o rato escolher 0 tipo I com qual probabilidade 7 P 3 1 8 P 08 04 escolhera 0 tipo I daqui a dois dias 4 3 os a 11 c Se hoje o rato escolher o tipo II com qual probabilidade 7 7 0 304 5 escolhera o tipo II daqui a trés dias 9 P 10 P 0 3 2 d Seo tipo I tem uma chance de 10 de ser escolhido hoje 19 2 291 com qual probabilidade também sera escolhido amanha 4 3 3 5 15 Num certo instante de tempo inicial havia 100000 habitantes 11 Considere um processo de Markov com matriz de transigaéo numa certa cidade e 25000 habitantes nos arredores da ci Estado1 Estado 2 dade A Comissao de Planejamento Regional detectou que a Estado 1 02 01 cada ano 5 da populagao da cidade muda para os arredores Estado 2 0 8 0 9 e 3 da populacao dos arredores muda para a cidade a Supondo que a populagao total permanega constante facga a O que representa a entrada 02 uma tabela mostrando a populac4o da cidade e dos arre b O que representa a entrada 01 dores ao longo de um periodo de cinco anos arredonde woe intei i 6x1 c Se inicialmente o sistema estiver no estado 1 com qual Para 0 mnverro mals proximo oo probabilidade ele estard no estado 2 na préxima obser b A longo prazo qual sera a distribuigao da populagao en vacaio tre a cidade e os arredores d Seo sistema tiver uma chance de 50 de estar inicial 16 Num certo instante de tempo inicial cada um de dois canais mente no estado 1 com qual probabilidade ele estard no de televisdo concorrentes os canais e 2 tem 50 da audién estado 2 na proxima observaciio cia A cada periodo de um ano 0 canal atrai 5 da audién 12 Considere um processo de Markov com matriz de transigaéo do canal 2 eo canal 2 captura 10 da audiéncia do canal Estado 1 Estado 2 a Facga uma tabela mostrando a participacao na audiéncia Estado1 9 4 dos dois canais ao longo de um periodo de cinco anos Estado 2 b A longo prazo qual sera a participagao na audiéncia dos dois canais 6 a O que representa a entrada 7 17 Uma locadora de automoveis possui trés agéncias numera b O que representa a entrada 0 das 1 2 e 3 Um cliente pode alugar um carro de qualquer c Se inicialmente o sistema estiver no estado 1 com qual uma das trés agéncias e retorndlo a qualquer uma das trés probabilidade ele estard no estado 1 na préxima observa agéncias Os registros da locadora mostram que os carros sao cio retirados e devolvidos de acordo com as probabilidades se d Seo sistema tiver uma chance de 50 de estar inicial guintes mente no estado 1 com qual probabilidade ele estara no Alugados da agéncia estado 2 na préxima observacio 1 2 3 13 Num dado dia a qualidade do ar numa certa cidade é boa ou 3 ma Os registros mostram que quando a qualidade do ar é boa 1 num dado dia entdio existe uma chance de 95 de que venha Retornados a ser boa no pr6éximo dia e quando a qualidade do ar é ma A agéncia 2 5 7 5 num dado dia entéo existe uma chance de 45 de que venha 4 b yi I I I ser ma no préximo dia 3 a Encontre uma matriz de transiéo para esse fendmeno b Se hoje a qualidade do ar for boa com qual probabilidade a Se um carro for alugado na agéncia 1 com qual probabili também sera boa daqui a dois dias dade sera retornado a agéncia depois de duas locagées c Se hoje a qualidade do ar for ma com qual probabilidade b Supondo que esse sistema dindmico possa ser modelado também sera ma daqui a trés dias como uma cadeia de Markov encontre seu vetor estacio d Sea qualidade do ar tem uma chance de 20 de ser boa nario hoje com qual probabilidade também sera boa amanha c Sea locadora possui uma frota de 120 carros qual 14 Um rato num experimento de laboratério pode escolher um deveria ser a quantidade de vagas de estacionamento entre dois tipos de comida a cada dia 0 tipo I ou 0 tipo II Os em cada agéncia para haver garantia razoavel de ter su registros mostram que se 0 rato escolhe o tipo I num certo dia ficiente espaco para os carros a longo prazo Explique entao a chance de escolher 0 tipo I no dia seguinte é de 75 seu raciocinio 292 Algebra Linear com Aplicacées 18 Os tracos fisicos sao determinados pelos genes que um des 20 Se P for uma matriz estocastica n X ne se M for uma matriz cendente recebe de seus dois ascendentes No caso mais sim 1 X ncujas entradas so todas iguais a 1 entao MP ples um trago no descendente determinado por um par de 21 Se P for uma matriz estocdstica regular com vetor de estado genes um de cada um dos dois ascendentes Em geral cada estaciondrio q 0 que pode ser dito sobre a sequéncia de pro gene num par pode tomar uma de duas formas denotadas por dutos A ea que sao os alelos Isso leva a trés pareamentos possi Pq Pq P PX veis a saber q q q q AA Aa aa quando k sys 22 a Se P for uma matriz estocastica regular n X n com vetor denominados gen6tipos os pares Aa e aA determinam o a Le x eo de estado estacionario q e se e e e forem os veto mesmo traco e sao portanto indistinguiveis Mostrase no ae A we res unitarios canénicos em forma de coluna 0 que pode estudo da hereditariedade que se um dos ascendentes tiver ae aes We ser dito sobre o comportamento da sequéncia genotipo conhecido e 0 outro ascendente for de genétipo alea torio entao o descendente tera a probabilidade de gendétipo Pe Pe Prei Pi dada na proxima tabela que pode ser vista como uma matriz o quando k comi 12n de transigao de um processo de Markov b O que isso diz sobre 0 comportamento dos vetores coluna Gen6tipo de ascendente de P quando k AA Aa aa a 23 Prove que o produto de duas matrizes estocasticas é uma AA Pe a fo matriz estocastica Sugestdo escreva cada coluna do produto como uma combinac4o linear das colunas do primeiro fator Genotipo de ae x P Aa i L tL 24 Prove que se P for uma matriz estocastica cujas entradas sao descendente 2 2 2 oo x 2 todas maiores do que ou iguais a p entao as entradas de P aa ofa fs serao maiores do que ou iguais a p Exercicios verdadeirofalso Assim por exemplo o descendente de um ascendente de ge oe P P 8 Nas partes ae determine se a afirmacao é verdadeira ou falsa notipo AA e de outro escolhido aleatoriamente e de gendtipo ustificando sua resposta desconhecido tem uma chance de 50 de ser AA 50 de ser J posta Aa enenhuma chance de ser aa 3 a Mostre que a matriz de transicdo é regular a O vetor 0 é um vetor probabilidade ok 2 b Encontre o vetor estaciondrio e discuta sua interpretagao 3 fisica 492 Lt cys 19 Encontre as entradas que faltam na matriz estocdstica b A matriz og ofum matriz estocastica regular a c Os vetores coluna de uma matriz de transi4o séo vetores robabilidade P 3 P 1 403 d O vetor de estado estaciondrio de uma cadeia de Markov com 10 5 10 matriz de transigao P é qualquer soluc4o do sistema linear Ud Pq 0 e encontre seu vetor de estado estacionario ays 2 as e O quadrado de qualquer matriz estocastica regular é estocastica Capitulo 4 Exercicios suplementares 1 Seja Vo conjunto de todos os ternos ordenados de nimeros d Mostre que valem os Axiomas 7 8 e 9 reais e considere as operacées de adicAo e multiplicagao por ec Mostre que o Axioma 10 falha com as operacoes dadas escalar definidas em u u Uy U V UV U5 U3 por 2 Em cada parte 0 espaco solucao do sistema é um subespaco de ut v u 0u UU0 au au 00 R e portanto deve ser uma reta pela origem um plano pela ori gem todo o R ou sé a origem Para cada sistema determine qual a Calculeu ve aucomu 3 24v 15 2e é 0 caso Se o subespaco for um plano encontre uma equacao al desse plano e se for uma reta obtenha equag6es paramétricas b Explique em palavras por que V é fechado na adigao e na a Ox Oy 0z 0 b 2x 3y z0 multiplicag4o por escalar 6x 9y 3z 0 c Como a adigéo em V é a operacao de adicao padrao de 4x by 22 0 R alguns axiomas de espaco vetorial valem em V porque c x2y7z0 d x4y48z0 é sabido que valem em R Quais axiomas da DefinicAo 1 4x 8y5z0 2x 5y6z0 da Secaio 41 sao esses 2x 4y 3z 0 3x y4z20 412 Sistemas dinamicos e cadeias de Markov 293 3 Com quais valores de s é 0 espaco solucao de 1000 1 Xx x 5x 0 0 1 0 1 0 X5x x0 b0 0 1 0 0 Sx x x0 oto tr 0 100 0 1 uma reta pela origem um plano pela origem a origem ou todo oR c A matriz X de tamanho 2n 1 X 2n 1 4 a Expresse 4a a b a 2b como uma combinagiio 11 Em cada parte mostre que 0 conjunto de polindmios é um linear de 4 1 1e 0 1 2 subespago de P e encontre uma base desse subespago b Expresse 3a b 3c a 4b c 2a b 2c a Todos os polinémios em P tais que px px como uma combinaga4o linear de 3 1 2 e 1 4 1 b Todos os polinémios em P tais que p0 0 c Expresse 2a b 4c 3a c 4b c como uma com 12 Requer Calculo Mostre que 0 conjunto de todos os poliné binagao linear de trés vetores nao nulos mios em P que tém uma tangente horizontal em x 0 é um 5 Seja Wo espaco gerado por f sen x e g cos x subespaco de P Encontre uma base desse subespago a Mostre que dado qualquer valor de 6 f senx 6 e 13 a Encontre uma base do espaco vetorial de todas as matri g cosx sdo vetores em W zes 3 X 3 simetricas b Mostre que f e g formam uma base de W b Encontre uma base do espaco vetorial de todas as matri 1 1 3 X 3 ant St 6 a Expresse v 1 1 como uma combinagao linear de Zs aneassumenicas v 1 1 v 3 0 ev 2 1 de duas maneiras 14 Em Algebra Linear avangada provase 0 critério de posto distintas seguinte usando determinantes O posto de uma matriz A é b Expli diz oT 4A r se e s6 se A tem alguma submatriz r X r de determinante Xplique Pp er que sso mae contradiz 0 eorema nao nulo e todas as submatrizes de tamanho maior tém deter 7 SejaA uma matrizn X ne sejam V V V vetores linear minante nulo Observagdo uma submatriz de A é qualquer mente independentes em R EXpressos Como matrizes n X matriz obtida de A por eliminagao de linhas ou colunas de A Para ter AV Ay Av linearmente independentes 0 que A A propria matriz A também considerada uma submatriz de deve satisfazer A Em cada parte use esse critério para encontrar o posto da 8 Uma base de P necessariamente contém algum polindmio de matriz grau k com qualquer k 0 1 2 n Justifique sua resposta a l 2 0 b 12 3 9 Para uso neste exercicio definimos uma matriz tabuleiro 2 4 2 4 6 como sendo uma matriz quadrada A a tal que 1 0 1 1 l 2 0 a 1 sei j for par c 2 1 3 d 3 1 0 0 10 sei j for impar 31 4 l1 2 4 90 Em cada caso encontre o posto e a nulidade da matriz tabu 15 Use o resultado do Exercicio 14 para encontrar os postos pos leiro dada siveis das matrizes da forma a A matriz tabuleiro 3 X 3 0 0 0 0 0 ag b A matriz tabuleiro 4 X 4 0 0 0 0 0 a c A matriz tabuleiro n X n 0 0 0 0 0 ax 10 Para uso neste exercicio definimos uma matriz X como 0 0 0 0 0 ay sendo uma matriz quadrada com um ntimero impar de linhas Gs sy 53 sg Asx sg e colunas que tem 0 em cada entrada exceto nas diagonais principal e secundaria onde tem todas entradas iguaisa1En 16 Prove se S for uma base de um espaco vetorial V entdo valem contre o posto e a nulidade das matrizes X a seguir as relagdes seguintes com quaisquer vetores u e v e qualquer 101 escalar k lo 1 0 a ut vs ws Ws 101 b kvs Ks Esta página foi deixada em branco intencionalmente CAPITULO 5 CONTEUDO DO CAPITULO 51 Autovalores e autovetores 295 52 Diagonalizagado 305 53 Espacos vetoriais complexos 315 54 Equacoes diferenciais 327 INTRODUCAO Neste capitulo abordamos as classes de escalares e vetores conhecidas como autovalores e autovetores que S40 especiais por suas caracteristicas peculiares A ideia subjacente surgiu no estudo do movimento rotacional e mais tarde foi usada para classificar varios tipos de superficies e para descrever solucOes de certas equagdes diferenciais No inicio do século XX foi aplicada a matrizes e transformag6es matriciais e hoje tem aplicagées a areas tao diversas como computagao grafica vibragdes mecAnicas fluxo do calor dinamica populacional mecanica quantica e até economia 51 Autovalores e autovetores Nesta segdo definimos os conceitos de autovalor e autovetor e discutimos algumas de suas propriedades basicas Comecgamos com a definigao principal desta secao Definicao de autovalor e autovetor DEFINICAO 1 SeA for uma matriz n X n entio um vetor nao nulo x em R é deno minado autovetor de A ou do operador matricial T se Ax for um miultiplo escalar de x isto é Ax AX com algum escalar A O escalar A é denominado autovalor de A ou de T e dizemos que x é um autovetor associado a X Em geral a imagem de um vetor x pela multiplicagao com uma matriz quadrada A a Impomos a exigéncia de um au defere de x tanto em magnitude quanto em diregAo e sentido No entanto no caso especial em que x for um autovetor de A a multiplicagao por A deixa a direcao inalterada Por tovelor Ser nao nulo para evitar q 7 3 foo o caso irrelevante AO AO que exemplo em R ou R a multiplicagdo por A aplica cada autovetor x de A se houver vale com quaisquer A eA sobre a mesma reta pela origem determinada por x Dependendo do sinal e da magnitude do autovalor A associado a x a operagéo Ax Ax comprime ou expande x pelo fator A invertendo o sentido no caso em que A for negativo Figura 551 296 Algebra Linear com Aplicacées x AX x Lf 0 4 dx Lo 0 oe 0 Ax ax a OA1 bA1 c lA 0 d 1 Figura 511 Autovetor de uma matriz 2 x 2 1 O vetor x é um autovetor de ap 6 3x 8 1 associado ao autovalor A 3 pois TAx me Wee x 5x s 12 Le 1 3 Figura 512 Geometricamente a multiplicag4o por A expandiu o vetor x pelo fator 3 Figura512 4 Calculando autovalores e Nosso préximo objetivo é elaborar um procedimento geral para encontrar autovalores e autovetores autovetores de uma matriz A de tamanho n n Comegamos com um procedimento para encontrar os autovalores de A Inicialmente observe que a equagaéo Ax Xx pode ser reescrita como Ax Ax ou equivalentemente como AI Ax 0 Para que A seja um autovalor de A essa equacao deve possuir alguma solucao x nao nula No entanto segue das partes b e g do Teorema 4104 que isso ocorre se e sé se a matriz de coeficientes AJ A tem determinante nulo Assim temos o resultado seguinte TEOREMA 511 Se A for uma matrizn X n entdo X é um autovalor de A se e SO Se satisfaz a equagdo detAl A 0 1 Essa equacdo é a equacao caracteristica de A Encontrando autovalores No Exemplo 1 observamos que A 3 um autovalor da matriz 3 0 A 8 1 mas nao explicamos como foi encontrado Use a equacao caracteristica para encontrar todos os autovalores dessa matriz Solugao Segue da Férmula 1 que os autovalores de A s4o as solugdes da equagdo detAI A 0 que pode ser escrita como A3 0 0 At1 51 Autovalores e autovetores 297 da qual obtemos A 3A 1 0 2 Isso mostra que os autovalores de A so A 3e A 1 Assim além do autovalor A 3 usado no Exemplo 1 descobrimos 0 segundo autovalorA 1 4 Quando o determinante detAJ A do lado esquerdo de 1 é expandido resulta um polinémio pA de grau n denominado polinémio caracteristico de A Por exemplo segue de 2 que o polinémio caracteristico da matriz A de tamanho 2 X 2 do Exemplo 2 é pA A 3A 1 A 23 que é um polinémio de grau 2 Em geral 0 polinémio caracteristico de uma matrizn X n é da forma pAA cA 6 em que é 0 coeficiente de A Exercicio 17 Como um polinémio de grau n tem no maximo n raizes distintas segue que a equagao MeAr60 3 tem no maximo 7 soluc6es distintas e consequentemente que uma matriz n X n tem no maximo n autovalores distintos Como algumas dessas solugdes podem ser ntimeros complexos possivel que uma matriz tenha autovalores complexos mesmo se a propria matriz tiver entradas reais Discutiremos esse assunto numa secAo posterior pois agora vamos nos concentrar em exemplos nos quais os autovalores sao ntimeros reais Autovalores de uma matriz 3 x 3 Encontre os autovalores de 0 1 0 A10 0 1 4 I17 8 Solucao O polindmio caracteristico de A é A l 0 detA Adet 0 A 1 A8417A4 4 17 A8 Portanto os autovalores de A satisfazem a equacgao ctibica Mw 8 17140 4 Para resolver essa equacgao comecgamos procurando solugGées inteiras Essa tarefa pode ser simplificada se lembrarmos do fato de que todas as solug6es inteiras se houver de uma equagao polinomial MeAr60 de coeficientes inteiros s40 divisores do termo constante c Assim as Unicas possiveis solug6es inteiras de 4 sao os divisores de 4 ou seja 1 2 4 Substituir sucessiva ee mente cada um desses valores em 4 mostra que A 4 uma solucAo inteira Consequen matrive cornies inttitae vanes temente A 4 deve ser um fator do lado esquerdo de 4 Dividindo Ne 8X 17A4 x a nao é factivel calcular a equa por 4 temos que 4 pode ser reescrita como cdo caracteristica diretamente A Ayr 4 10 de modo que devem ser usados outros métodos para encontrar Assim as demais solugoes de 4 satisfazem a equacgdo quadratica autovalores Esses métodos se NM 4A 10 rao abordados no Capitulo 9 298 Algebra Linear com Aplicacées que pode ser resolvida pela f6rmula quadratica Assim os autovalores de A sao A4 A24V3 e A2V3 Autovalores de uma matriz triangular superior Encontre os autovalores da matriz triangular superior Gy Ap 430 Ag A 0 a Gy Ay 0 0 a dy 0 0 O a Solucao Lembrando que o determinante de uma matriz triangular o produto das entra das na diagonal principal Teorema 212 obtemos A a 4 443 a4 0 Aa a a detAI A det 0 3 4 0 0 Ay Gyy 0 0 0 A yy A 4 A Ay A 53 A yy Assim a equagao caracteristica é A ay A a5A 433A ay4 0 e os autovalores sao Aa AAy A A Ay que sao precisamente as entradas na diagonal principalde A 4 O teorema geral seguinte deveria ser evidente a partir das contas no exemplo precedente TEOREMA 512 Se A for uma matrizn X n triangular superior inferior ou diago nal entdo os autovalores de A sao as entradas na diagonal principal de A Autovalores de uma matriz triangular inferior Por inspegao os autovalores da matriz triangular inferior 0 0 Se tivéssemos 0 Teorema 512 2 5 a nossa disposicéo no Exemplo A1 3 0 2 poderiamos ter antecipado o 5 g 1l 4 resultado obtido naquele exer af x 12 1 cicio stoA 54 7eA TEOREMA 513 SeA for uma matrizn X n sdo equivalentes as afirmacées seguintes a A um autovalor de A b O sistema AI Ax 0 de equagées tem solucées nao triviais c Existe algum vetor ndo nulo x tal que Ax Xx d A éuma solucao da equagao caracteristica detAI A 0 51 Autovalores e autovetores 299 Agora que sabemos como encontrar autovalores de uma matriz passamos ao problemade Encontrando autovetores e encontrar os autovetores associados Como os autovetores associados aum autovalorA de bases para autoespacos uma matriz A s4o os vetores nao nulos que satisfazem a equacao Al Ax 0 esses autovetores sao os vetores nado nulos do espago nulo da matriz AJ A Dizemos Z Observe que x 0 esta em cada que esse espaco nulo é 0 autoespago de A associado a A Enunciado de outra forma o x autoespaco mesmo nao sendo autoespaco de A associado ao autovalor X é o espaco solucdo do sistema homogéneo um autovetor Assim so os ve QI Ax 0 tores ndo nulos de um autoespa O que sao Os autovetores EXEMPLO 6 Bases de autoespacos Encontre bases dos autoespacos da matriz 3 0 A 8 l Solucao No Exemplo 1 vimos que a equacao caracteristica de A é A 3A 1 0 da qual obtemos os autovalores A 3e A 1 Assim temos dois autoespagos de A cada um associado a um autovalor Por definicao x x x é um autovetor de A associado ao autovalor A 3 se e s6 se x uma solucfo nfo trivial de AI Ax 0 ou seja de A3 0 x 0 8 AI1x 0 SeA 3 essa equacao é dada por 0 O x 0 8 4x 0 Nota histérica Os métodos da Algebra Linear estdo sendo utilizados u ra TFS u no novo campo do reconhecimento facial computadorizado Os pesqui sadores da area estado trabalhando com a ideia que toda face humana ac num certo grupo racial é uma combinagdo de umas poucas duzias de i Ab formatos primarios Por exemplo analisando as imagens tridimensionais e ADA escaneadas de muitas faces pesquisadores da Universidade Rocke feller produziram tanto um formato facial médio do grupo caucasico f P coy A kA denominado face média a esquerda na linha superior na figura dada és ao quanto um conjunto de variagées padronizadas daquele formato de I f Dad nominadas autofaces 15 das quais estdo exibidas na figura dada ee ba ba PA Essas formas sdo assim denominadas por serem autovetores de uma ry e INS certa matriz que armazena a informagao facial digitalizada Os formatos faciais sdo representados matematicamente como combinacées linea res das autofaces lmagem Cortesia Dr Joseph Atick Dr Norman Redlich e Dr Paul Griffith 300 Algebra Linear com Aplicacées cuja solugao geral é X4 yt verifique ou em forma matricial x st 5 X t 1 Assim 1 2 1 é uma base do autoespaco associado aA 3 Deixamos para o leitor seguir o padrao des sas contas para mostrar que 0 1 é uma base do autoespaco associado aA 1 Autovetores e bases de autoespacos Encontre bases dos autoespacos de 0 0 2 A1 2 1 1 0 3 Solugao A equagao caracteristica de A é 5d 8A 4 0 on fatorada A 1 A 2y 0 verifique Assim os autovalores distintos de A sito A 1 eA 2 e existem dois autoespagos de A Por definicgao x x x x3 é um autovetor de A associado a J se e s6 se x uma solugao nfo trivial de AJ Ax 0 ou em forma matricial A 0 2 x 0 l1 A2 I x0 5 1 0 A3 Lx 0 No caso A 2 a Férmula 5 se torna 2 0 2 x 0 1 0 lx10 1 0 l Lx 0 Resolvendo esse sistema por eliminagao gaussiana obtemos verifique XS X t X S Assim os autovetores de A associados aA 2 sao os vetores nao nulos da forma s s 0 1 0 x t Ots O41 Ss s 0 1 0 Como l 0 O e jl 1 0 51 Autovalores e autovetores 301 sao linearmente independentes por qué esses vetores formam uma base do autoespaco associado aA 2 Se A 1 entao 5 se torna 1 0 2 x 0 1 1 l x 10 1 0 2 x 0 Resolvendo esse sistema obtemos verifique x 2s x s5 X5 Assim os autovetores associados aA sao os vetores nao nulos da forma 2s 2 2 sls 1 de modo que 1 Ss 1 1 é uma base do autoespago associadoaA 1 4 Uma vez obtidos os autovalores e autovetores de uma matriz A é uma questao simples Poténcias de uma matriz obter os autovalores e autovetores de qualquer poténcia inteira positiva de A por exemplo se A for um autovalor de A e x um autovetor associado entaéo Ax AAx AAx AAx AAX Ax 0 que mostra que d um autovalor de A e que x é um autovetor associado Em geral temos 0 resultado seguinte TEOREMA 514 Sek for um inteiro positivo X um autovalor de uma matriz A e x um autovetor associado entéo X é um autovalor de A e x é um autovetor associado Poténcias de uma matriz No Exemplo 7 mostramos que os autovalores de 0 0 2 Al 2 1 1 0 3 sao A 2eA 1 de modo que pelo Teorema 514 ambos A 2128eA 1 1 sio autovalores de A Também mostramos que 1 0 O e 1 1 0 sao autovetores de A associados ao autovetor A 2 de modo que pelo Teorema 514 esses vetores também sao autovetores de A associados aA 2 128 Analogamente o autovetor 2 1 1 de A associado a 1 também é um autovetor de A associadoad 11 4 O teorema seguinte estabelece uma relacAo entre os autovalores e ainvertibilidade deuma Autovalores e invertibilidade matriz TEOREMA 515 Uma matriz quadrada A é invertivel se e s6 se X 0 ndo é um autovalor de A 302 Algebra Linear com Aplicacées Prova Suponha que A seja uma matriz n X ne observe primeiro que A 0 é uma solu cao da equacao caracteristica MeA0 se S6 se o termo constante c for zero Assim suficiente provar que A é invertivel se e 86 se c 0 Mas detAI AA cA 6 ou tomando A 0 detAc ou 1 detA c Segue da tiltima equacdo que detA 0 se e sé se c 0 e isso por sua vez implica que A é invertivel seesésec 0 4 Autovalores e invertibilidade A matriz A no Exemplo 7 é invertivel pois tem autovalores A 0 e A 2 nenhum dos quais é zero Deixamos para 0 leitor conferir essa conclusio mostrando que detA 0 4 Mais sobre o teorema da Como nosso resultado final nesta seg4o usamos o Teorema 515 para acrescentar mais equivaléncia uma parte ao Teorema 4104 TEOREMA 516 Afirmagdes equivalentes Se A for uma matrizn X n entdo as seguintes afirmagées sao equivalentes a A é invertivel b Ax 0 tem somente a solucdao trivial c A forma escalonada reduzida por linhas de A é I d A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares e Ax b é consistente com cada matriz b de tamanho n X 1 f Ax b tem exatamente uma solugdo com cada matriz b de tamanho n X 1 g detA 0 h Os vetores coluna de A sao linearmente independentes i Os vetores linha de A sao linearmente independentes j Os vetores coluna de A geram R k Os vetores linha de A geram R 1 Os vetores coluna de A formam uma base de R m Os vetores linha de A formam uma base de R n A tem posto n 0 A tem nulidade 0 p O complemento ortogonal do espaco nulo de A é R q Ocomplemento ortogonal do espaco linha de A é 0 r A imagem de T é R s 7 é um operador injetor t A Ondo é um autovalor de A Esse teorema relaciona todos os principais topicos que estudamos até aqui 51 Autovalores e autovetores 303 Revisao de conceitos e Autoespaco e Autovetor e Teorema das equivaléncias Autovalor Aptid6es desenvolvidas Equacao caracteristica e Encontrar os autovalores de uma matriz e Polinémio caracteristico e Encontrar bases dos autoespacos de uma matriz Conjunto de exercicios 51 Nos Exercicios 12 confirme por multiplicag4o que x é um 11 Encontre bases dos autoespagos das matrizes do Exercicio 9 autovetor de A e encontre o autovalor correspondente 12 Em cada parte encontre os autovalores por inspecao 4 0 1 1 3 0 0 1A2 3 2x2 2 7 0 0 5 1 0 4 1 b 4 8 1 2 1 l 1 t 0 0 0 2 A1 2 lx1 0 2 0 0 c 1 l 2 1 0 0 1 0 1 3 Em cada parte encontre a equacao caracteristica da matriz 0 0 0 2 9 a b Fe c k 13 Encontre os autovalores de A sendo 8 l 4 2 4 0 1307 U1 2 1 d 2 7 e 0 0 f 1 0 A 0 5 3 8 1 2 0 0 0 1 000 4 4 Encontre os autovalores das matrizes no Exercicio 3 0 0 0 2 5 Encontre bases dos autoespagos das matrizes do Exercicio 3 14 Encontre os autovalores e bases dos autoespacos de A sendo 6 Em cada parte encontre a equacao caracteristica da matriz l1 2 2 4 0 1 0 5 A I 2 1 a 2 1 0 b l 0 11 0 2 0 1 1 1 2 2 0 1 0 1 15 SejaA uma matriz 2 X 2 Dizemos que uma reta pela origem de R é invariante por A se Ax estiver nessa reta sempre que x c 6 2 0 d 1 3 0 estiver Em cada parte obtenha as equagGes de todas as retas 19 5 4 4 13 1 2 woes de R que s4o invariantes pela matriz dada 5 0 1 5 6 2 A 4 l b A 0 1 A 2 3 1 1 0 0 1 8 M41 if 41 1 of O4h0 2 7 1 0 1 0 2 ae as 16 Encontre detA sabendo que A tem polinémio caracteristico 7 Encontre os autovalores das matrizes no Exercicio 6 DA 8 Encontre bases dos autoespagos das matrizes do Exercicio 6 a pPAA 2A A45 9 Em cada parte encontre a equacao caracteristica da matriz b pA A A 7 0 0 2 0 10 9 0 0 Sugestdo ver a prova do Teorema 515 a 1 0 1 0 b 4 2 0 0 17 SejaA uma matriz n X n 0 1 2 0 0 0 2 7 a Prove que o polinémio caracteristico de A tem grau n 0 0 0 0 0 l 2 b Prove que 0 coeficiente de A no polinémio caracteristico 10 Encontre os autovalores das matrizes no Exercicio 9 él 304 Algebra Linear com Aplicacdes 18 Mostre que a equacao caracteristica de uma matriz A de tama e use os Exercicios 23 e 24 para encontrar os autovalores e nho 2 X 2 pode ser expressa como A trAA detA 0 bases dos autoespacos de onde trA 0 tracgo de A a A b A3I c A2I 19 Use o resultado do Exercicio 18 para mostrar que se 27 a Prove que se A for uma matriz quadrada entao A e A a b tém os mesmos autovalores Sugestdo olhe para a equa A cdo caracteristica detAJ A 0 b Mostre que A e A niio precisam ter os mesmos autoespa entao as solugdes da equagao caracterfstica de A sao cos Sugestdo use 0 resultado do Exercicio 20 para en 1 7 contrar uma matriz 2 X 2 tal que A e A tém autoespacos A 35 a dVady Abe diferentes U Itad A 28 Suponha que o polinémio caracteristico de alguma matriz A se esse resultado para mostrar que A tem seja pA A 1A 3A 4 Em cada parte responda a dois autovalores reais distintos se a d 4be 0 a pergunta e explique seu raciocinio b um autovalor real se a d 4bc 0 a Qual é 0 tamanho de A c nenhum autovalor real se a d 4bc 0 b A é invertivel 20 Seja A a matriz do Exercicio 19 Mostre que se b 0 entéao c Quantos autoespacos tem A b b 29 As vezes os autovetores que estudamos nesta secio sao deno Hl Fla y minados autovetores a direita para distinguilos de autoveto 2 x res a esquerda que sao matrizes coluna x de tamanho n X 1 sao autovetores de A associados respectivamente aos auto que satisfazem a equacdo xA x com algum escalar p valores Qual sera a relacdo se houver entre os autovetores a direita e autovalores correspondentes e os autovetores a esquerda e z A 5 a d Jad Abe autovalores correspondentes e Exercicios verdadeirofalso 1 5 Nas partes ag determine se a afirmacaAo é verdadeira ou falsa An 3 a d Vady 4be justificando sua resposta a Se A for uma matriz quadrada e Ax Ax com algum escalar 21 Use o resultado do Exercicio 18 para provar que se pA for o a A ee ts nao nulo A entao x é um autovetor de A polindmio caracteristico de uma matriz A de tamanho 2 X 2 entio pA 0 b Se A for um autovalor de uma matriz A entaéo o sistema linear oo Al Ax 06 tem a solugao trivial 22 Prove se a b ce d s4o numeros inteiros tais que a b s cdentiao c Seo polinémio caracteristico de uma matriz A for PA dW 1 entdo A é invertivel A i i d SeA for um autovalor de uma matriz A entao 0 autoespago ec d de A associado a A 0 conjunto de autovetores de A associa tem autovalores inteiros a saberA abeAac dos ar 5 23 Prove se A for um autovalor de uma matriz invertivel A com Se 0 for um antovalor de uma matriz A entao A singular autovetor associado x entao 1A é um autovalor de A com f Os autovalores de uma matriz A sdo iguais aos autovalores da autovetor associado x forma escalonada reduzida por linhas de A 24 Prove se A for um autovalor de A com autovetor associado x e g Se 0 for um autovalor de uma matriz A ento 0 conjunto de se s for um escalar entao A s é um autovalor de A sJ com vetores coluna de A linearmente independente autovetor associado x 25 Prove se A for um autovalor de A com autovetor associado x entao A é um autovalor de sA com autovetor associado x qualquer que seja o escalar s 26 Encontre os autovalores e bases dos autoespacos de 2 2 3 A2 3 2 4 255 52 Diagonalizacao 305 52 Diagonalizagao Nesta seco abordamos o problema de encontrar uma base de R que consista em autovetores de uma dada matriz A de tamanho n X n Essas bases podem ser usadas para estudar propriedades geométricas de A e para simplificar muitas contas envolvendo A Essas bases também tém significado fisico numa variedade de aplicag6es algumas das quais consideramos mais adiante neste texto Nosso primeiro objetivo nesta segao mostrar que sAo equivalentes os dois problemasa O problema da seguir que aparentemente sao bastante diferentes diagonalizagao matricial Problema 1 Dada uma matriz A de tamanhon X n existe alguma matriz invertivel P tal que P AP uma matriz diagonal Problema 2 Dada uma matriz A de tamanho n X n existem n autovetores de A line armente independentes O produto matricial PAP que aparece no Problema é denominado uma transforma Semelhanca cao de semelhanca da matriz A Esses produtos sao importantes no estudo de autovetores e autovalores de modo que comecgamos com alguma terminologia associada DEFINICAO 1 Se Ae B forem matrizes quadradas dizemos que B é semelhante a A se existir alguma matriz invertivel P tal que B P AP Note que se B for semelhante a A entéo também é verdade que A é semelhante a B j4 que podemos expressar A como A Q BO tomando Q P Por isso em geral dizemos que A e B sao matrizes semelhantes se uma delas for semelhante a outra As matrizes semelhantes tém muitas propriedades em comum Por exemplo se B nvariantes de semelhanca PAP entdo decorre que A e B tém o mesmo determinante ja que detB detP AP detP detA detP 1 detA detP detA detP Em geral dizemos que uma propriedade de matrizes é invariante por semelhanga ou que a propriedade é um invariante de semelhana se ela for compartilhada por quaisquer duas matrizes semelhantes A Tabela lista os invariantes de semelhanga mais importan tes As provas de alguns desses resultados sao dadas nos exercicios Expresso na linguagem de semelhanga o Problema é equivalente a perguntar se a matriz A é semelhante a alguma matriz diagonal Nesse caso a matriz diagonal tera todas as propriedades invariantes por semelhanga de A mas por ter uma forma mais simples é mais simples analisar e trabalhar com a matriz diagonal Essa importante ideia tem uma terminologia associada DEFINIGAO 2 Uma matriz quadrada A dita diagonalizdvel se for semelhante a al guma matriz diagonal ou seja se existir alguma matriz invertivel P tal que PAP 6é diagonal Nesse caso dizemos que a matriz P diagonaliza A 306 Algebra Linear com Aplicacdes Tabela1 Invariantes de semelhanga Propriedade Descrigao Determinante Ae P AP tém o mesmo determinante Invertibilidade A é invertivel se e sé se P AP invertivel Posto Ae P AP témo mesmo posto Nulidade Ae P AP téma mesma nulidade Tracgo Ae P AP tém o mesmo traco Polinémio caracteristico Ae P AP témo mesmo polinémio caracteristico Autovalores Ae P AP tém os mesmos autovalores Dimensiao de autoespago Se A for um autovalor de A e portanto de P AP ent3o 0 autoespago de A associado aA e 0 autoespaco de P AP associado a A tém a mesma dimensao O teorema seguinte mostra que os Problemas e 2 colocados no inicio desta secao sao na verdade formas diferentes do mesmo problema matemiatico TEOREMA 521 SeA for uma matrizn X n sdo equivalentes as afirmacoées seguintes a A é diagonalizavel b A tem n autovetores linearmente independentes A parte b do Teorema 521 é 6 P equivalente a dizer que existe al guma base de R consistindo em autovetores de A Por qué Prova a b Como estamos supondo que A é diagonalizavel existem uma matriz invertivel P e uma matriz diagonal D tais que PAP Dou equivalentemente AP PD 1 Denotando os vetores coluna de P por p p p Supondo que as entradas diagonais de D sejam XAA segue pela Formula 6 da Secao 13 que 0 lado esquerdo de 1 pode ser expresso por AP Alp P PllAp AP APJ e como observamos logo depois do Exemplo 1 da Secao 17 0 lado direito de 1 pode ser expresso por PDAP AP ALP Assim segue de 1 que Ap AP AP AP AP AP 2 Como P é invertivel sabemos do Teorema 516 que seus vetores coluna p p P sao linearmente independentes e portanto nao nulos Assim segue de 2 que esses n vetores coluna sao autovetores de A Prova b a Suponha que A tenha n autovetores linearmente independentes p p Pp com autovalores associados A AA Escrevendo Pp BP P 1 e denotando por D a matriz diagonal de entradas diagonais sucessivas A AA obtemos APAlp P PJAP AP AP lAP AP AP PD 52 Diagonalizacao 307 Como os vetores coluna de P sao linearmente independentes segue do Teorema 516 que P é invertivel de modo que essa Ultima equacgao pode ser reescrita como PAP D mostrando que A é diagonalizavel O teorema precedente garante que uma matriz A de tamanho n X n com n autovetores Um procedimento para linearmente independentes é diagonalizavel e a prova sugere 0 método seguinte para diagonalizar uma matriz diagonalizar A Procedimento para diagonalizar uma matriz Passo I Confirme que a matriz realmente diagonalizavel encontrando n autoveto res linearmente independentes Uma maneira de fazer isso é encontrar uma base de cada autoespao e juntar todos esses vetores num tinico conjunto S Se esse conjunto tiver menos do que n elementos a matriz nao é diagonalizavel Passo 2 Forme amatrizP p p p que tem os vetores de S como ve tores coluna Passo 3 A matriz PAP sera diagonal com os autovalores AAA correspon dentes aos autovetores p p Pp Como entradas diagonais sucessivas Encontrando uma matriz P que diagonaliza uma matriz A Encontre uma matriz P que diagonalize 0 0 2 A1 2 1 1 0 3 Solucao No Exemplo 7 da secao precedente verificamos que a equacao caracteristica de A é A DA2yY 0 e encontramos as seguintes bases dos autoespacos 1 0 2 A2 p OO p1 AHlk p 1 1 0 1 Ha4 um total de trés vetores de base portanto a matriz 1 0 2 P 0 1 1 1 0 1 diagonaliza A Para conferir deixamos para o leitor verificar que 1 0 2 0 O 2f1 0 2 2 0 0 PAP 1 1 1 1 2 JI 0 1 I0 2 0 l 0 l 1 0 3 1 0 1 0 0 1 Em geral nao existe uma ordem preferencial para as colunas de P Como a iésima entrada diagonal de PAP é um autovalor do iésimo vetor coluna de P mudar a ordem das colunas de P so muda a ordem dos autovalores na diagonal de PAP Assim se ti véssemos escrito l 2 0 P 0 1 1 1 1 0 308 Algebra Linear com Aplicacdes no exemplo precedente terfamos obtido 2 0 0 PAP0 1 0 0 0 2 Uma matriz que nao é diagonalizavel Encontre uma matriz P que diagonalize 1 0 0 A 1 2 0 3 5 2 Solugao O polindmio caracteristico de A é A1 0 0 detAJ A 1 A2 O 1DA2Y 3 5 A2 de modo que a equagao caracteristica é A DA2y 0 Assim os autovalores distintos de A sto A 1 eA 2 Deixamos para o leitor mostrar que sao bases dos autoespacos os vetores 1 g 0 1 Ah pp 3 I A2 p0 l 1 Como A é3 X 3 e sé ha um total de dois vetores de base A nao é diagonalizavel Solugdao alternativa Se s6 estivermos interessados em determinar se uma dada matriz é ou nao diagonalizavel sem precisar encontrar uma matriz P que diagonalize A entaéo nao é necessArio calcular bases para os autoespacos bastando encontrar as dimens6es dos au toespacos Nesse exemplo 0 autoespaco associado aA 0 espaco solugao do sistema 0 O 0 x 0 l l O x 0 35 1 x 0 Como a matriz de coeficientes tem posto 2 verifique o Teorema 482 traz que a nulida de dessa matriz é e portanto o autoespacgo associado aA é unidimensional O autoespaco associado aA 2 0 espaco solucao do sistema 1 0 0 x 0 1 0 OO x 0 35 0 x 0 Essa matriz de coeficientes também tem posto 2 e nulidade verifique de modo que o au toespaco associado a A 2 também é unidimensional Como os autoespacgos produzem um total de dois vetores de base sendo necessdrios trés a matriz A nao é diagonalizavel No Exemplo 1 usamos sem justificar que sao linearmente independentes os vetores coluna de P que consistem em vetores de bases dos varios autoespacos de A O préximo teorema demonstrado ao final desta seg4o mostra que isso realmente é justificavel 52 Diagonalizacao 309 TEOREMA 522 SevVVforem autovetores de uma matriz A associados a autovalores distintos entdo VVV um conjunto linearmente independente Observacao O Teorema 522 é um caso especial de um resultado mais geral como segue Su ponha que A A A sejam autovalores distintos e que escolhamos um conjunto linearmente independente em cada autoespaco correspondente Se juntarmos todos esses vetores num tinico conjunto o resultado sera um conjunto que ainda é linearmente independente Por exemplo esco lhendo trés vetores linearmente independentes de um autoespaco e dois vetores linearmente inde pendentes de um outro autoespaco entao os cinco vetores juntos formam um conjunto linearmente independente Omitimos a prova Como uma consequéncia do Teorema 522 obtemos 0 resultado importante a seguir TEOREMA 523 Se uma matriz A de tamanho n X n tem n autovalores distintos en tao A é diagonalizdvel Prova SevVVV S40 autovetores associados aos autovalores distintos AA5 A entao pelo Teorema 522 v V V S40 linearmente independentes Assim A é diagonalizavel pelo Teorema 521 Usando o Teorema 523 Vimos no Exemplo 3 da secao anterior que 0 1 0 A0 0 1 4 17 8 tem trés autovalores distintos A 4A 2 V3e2 V3 Portanto A é diagona lizavel e 4 0 0 PAP0 24vV3 0 0 OO 2V3 com alguma matriz invertivel P Se quisermos poderemos obter a matriz P pelo método mostrado no Exemplo desta secao Diagonalizabilidade de matrizes triangulares Pelo Teorema 512 os autovalores de uma matriz triangular sao as entradas na diagonal principal Assim uma matriz triangular com entradas distintas na diagonal principal é diagonalizavel Por exemplo 1 2 4 0 A 0 3 1 7 7 0 0 5 8 0 0 0 2 é uma matriz diagonalizavel de autovalores A 1A 3A5A 2 4 310 Algebra Linear com Aplicacdes Calculando as poténcias Em muitas aplicag6es é necessario calcular poténcias elevadas de uma matriz quadrada de uma matriz Veremos a seguir que se a matriz for diagonalizavel podemos simplificar as contas dia gonalizando essa matriz Para comegar digamos que A seja uma matriz diagonalizavel de tamanho n X n que P diagonaliza A e que A O 0 4 0 A 0 PAP D 0 0 A Elevando ambos os lados dessa equaao ao quadrado obtemos A 0 0 0 AS 0 PAPY D 0 0 Podemos reescrever o lado esquerdo dessa equagao como P AP P APP AP PAIAP PAP de onde encontramos a relagao PAP D Mais geralmente se k for um inteiro positi vo entao uma conta andloga mostra que M0 0 0 AS 0 PspD 0 0 At que pode ser reescrita como MoO 60 0 AS 0 A PDPP 2 e 3 A Formula 3 revela que elevar uma matriz diagonalizdvel A a Observe que o calculo do lado direito dessa formula envolve somente trés multiplicagdes uma poténcia inteira positiva matriciais e as poténcias das entradas diagonais de D Para matrizes grandes e poténcias tem 0 efeito de elevar seus auto elevadas de A isso envolve substancialmente menos operag6es que calcular A diretamente valores a essa poténcia Poténcia de uma matriz Use 3 para calcular A sendo 0 0 2 A1 2 1 1 0 3 Solugao Mostramos no Exemplo que a matriz A é diagonalizada por 1 0 2 P 0 1 1 1 0 1 e que 2 0 0 DPAP0 2 0 0 0 1 52 Diagonalizacao 311 Assim segue de 3 que 1 0 22 0 0 1 0 2 AvPDP 0 1 I0 2 0 1 1 1 4 1 0 10 oO 1 1 0 1 8190 0 16382 8191 8192 8191 4 8191 0 16383 Observacaéo A maior parte do trabalho no método do exemplo precedente é diagonalizar A Uma vez concluido esse trabalho podemos utilizalo para calcular qualquer poténcia de A Assim para calcular A s6 precisamos trocar os expoentes de 13 para 1000 em 4 Uma vez encontrados os autovalores e autovetores de uma matriz quadrada A qualquer Autovalores de poténcias de é uma tarefa simples encontrar os autovalores e autovetores de qualquer poténcia inteira uma matriz positiva de A Por exemplo se A for um autovalor de A e x um autovetor associado entao Ax AAx AAx AAx AAx Ax 0 que mostra que nao sé um autovalor de A mas que x é um autovetor associado Em geral temos o resultado seguinte TEOREMA 524 Se A for um autovalor de uma matriz quadrada A com autovetor a we yk k Note que a diagonalizabilidade associado x e se k for algum inteiro positivo qualquer entado X é um autovalor de A e ee nao é exigida no Teorema 524 x é um autovetor associado Alguns problemas em que se utiliza esse teorema estao dados nos exercicios O Teorema 523 nao resolve totalmente o problema da diagonalizacgao pois somente Multiplicidades geométrica e garante que uma matriz quadrada com n autovalores distintos é diagonalizavel mas nao algébrica impede a possibilidade de existirem matrizes diagonalizaveis com menos que n autovalo res distintos O exemplo seguinte mostra que isso realmente pode ocorrer A reciproca do Teorema 523 é falsa Considere as matrizes 1 0 0 1 1 0 T0 1 O e Jj0 1 1 0 0 1 0 0 1 Segue do Teorema 512 que ambas as matrizes tém somente um autovalor distinto a saber A 1 e portanto somente um autoespacgo Deixamos para o leitor resolver as equagoes caracteristicas AIDx0 e lIJx0 com A e mostrar que para J 0 autoespaco é tridimensional todo 0 Rye que para J é unidimensional consistindo em todos os multiplos escalares de 1 x0 0 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 312 Algebra Linear com Aplicacées Isso mostra que a recfproca do Teorema 523 é falsa pois produzimos duas matrizes 3 X 3 com menos do que 3 autovalores distintos uma sendo diagonalizavel e a outra nao 4 Uma excursao completa no estudo da diagonalizacao é deixada para textos mais avanados mas queremos tocar num teorema que é importante para um melhor entendi mento da diagonalizabilidade Pode ser provado que se A for um autovalor de A entao a dimensao do autoespaco associado a A nao pode exceder o nimero de vezes que A dy aparece como um fator do polinémio caracteristico de A Por exemplo nos Exemplos e 2 0 polinémio caracteristico é A DA 27 Assim 0 autoespaco associado aA é no maximo unidimensional e portanto exa tamente unidimensional e 0 autoespaco associado aA 2 é no maximo bidimensional No Exemplo 1 0 autoespaco associado aA 2 de fato tem dimensao 2 resultando em diagonalizabilidade mas no Exemplo 2 0 autoespago associado a A 2 tem dimensao somente I resultando na nao diagonalizabilidade Existe alguma terminologia relacionada com esse assunto Se A for um autovalor de uma matriz A de tamanho n X n entao a dimensao do autoespaco associado a A deno minada multiplicidade geométrica de X e o numero de vezes que A A aparece como um fator do polinémio caracteristico de A é denominado multiplicidade algébrica de O teorema a seguir que apresentamos sem prova resume a discussao precedente TEOREMA 525 Multiplicidades geométrica e algébrica Se A for uma matriz quadrada valem as afirmagées seguintes a Dado qualquer autovalor de A a multiplicidade geométrica é menor do que ou igual a multiplicidade algébrica b A é diagonalizdavel se e s6 se a multiplicidade geométrica de cada autovalor é igual a multiplicidade algébrica OPCIONAL Completamos esta segéo com uma prova opcional do Teorema 522 Prova do Teorema 522 Sejam v V V autovetores de A associados aos autovalo res distintos AAA Vamos supor que V V5 V Sejam linearmente dependentes e obter uma contradicdo Assim poderemos concluir que v V V S40 linearmente independentes Como um autovetor nao nulo por definiao v é linearmente independente Seja r 0 maior inteiro tal que v V V linearmente independente Como estamos supon do que V VV linearmente dependente r satisfaz 1 r k Além disso pela definicao de r V V5V linearmente dependente Assim existem escalares c Cz C 40 todos nulos tais que CV OV Fe 2 C41V4 9 5 Multiplicando ambos os lados de 5 por A e usando o fato de que AV AV AV AV 2s AV AV obtemos CAV AW Fe CAV 0 6 Multiplicando agora ambos os lados de 5 por A e subtraindo a equagao resultante de 6 obtemos CA An V A ADV Fo A Ay DV 0 52 Diagonalizacao 313 Como v V V um conjunto linearmente independente essa equado implica CA Apa OA Ap GA A4 0 e como os AAA 40 distintos segue que c0 7 Substituindo esses valores em 5 obtemos Chai Vr1 0 Como 0 autovetor v nado nulo segue que c0 8 Mas as Equacoes 7 e 8 contradizem 0 que supomos a respeito dessas constantes a saber que c C5 C ndo s4o todos nulos e completamos a prova Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Transformagao de semelhanga e Determinar se uma matriz quadrada é diagonalizavel e Invariante de semelhancga e Diagonalizar uma matriz quadrada e Matrizes semelhantes e Encontrar poténcias de uma matriz usando semelhanga e Matriz diagonalizavel e Encontrar as multiplicidades geométrica e algébrica de e Multiplicidade geométrica um autovalor e Multiplicidade algébrica Conjunto de exercicios 52 Nos Exercicios 14 mostre que A e B nao s4o matrizes seme a Encontre os autovalores de A Ihantes b Para cada autovalor A encontre o posto da matriz AJ A LA B c Sera A diagonalizavel Justifique sua conclusao 13 27 3 2 Nos Exercicios 711 use o método do Exercicio 6 para deter 2A 41 B 41 minar se a matriz diagonalizavel 2 4 2 4 2 0 a 7 0 0 1 2 3 12 0 fT j 90 2 0 3 A0 1 2B45 1 0 0 1 2 Qo 001 21 0 1 To 0 2 1 1 10 1 1 1 0 101 3 0 11 4A2 0 2B2 2 0 413 1 0 0 3 2 3 0 3 011 0 0 03 5 Seja A uma matriz 6 X 6 com equacio caracteristica Nos Exercicios 1215 encontre uma matriz P que diagonalize WA LA 2 0 Quais sao as possiveis dimens6es dos Aecalcule P AP autoespagos de A Ae 1412 A 1 0 6 Seja 7A 59 17 Ol 6 y sot 1 0 0 2 0 2 A 3 2 4A40 1 1 is A0 3 0 10 4 an o 01 1 0 O 3 314 Algebra Linear com Aplicacées Nos Exercicios 1621 encontre as multiplicidades geométrica 27 Nocaso em que a matriz A do Exercicio 26 for diagonaliza e algébrica de cada autovalor de A e determine se A é diagonali vel encontre uma matriz P que diagonalize A Sugestdo ver zavel Se for encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule o Exercicio 20 da Segao 51 PAP 28 Prove que matrizes semelhantes tem 0 mesmo posto 19 9 6 1 4 2 6 A 125 ul 9 UV A 3 4 0 29 Prove que matrizes semelhantes tém a mesma nulidade 17 9 4 3 1 3 30 Prove que matrizes semelhantes tém o mesmo trago 5 0 0 00 0 31 Prove que se A for uma matriz diagonalizavel entio A é dia 18 A 15 0 19 A 00 0 gonalizavel qualquer que seja o inteiro positivo k 01 5 301 32 Prove que se A for uma matriz diagonalizavel entéo o posto de A é 0 nimero de autovalores nao nulos de A 2 0 0 0 0 5 0 0 33 Suponha que o polinémio caracteristico de alguma matriz A 20 A seja pA A 1A 3A 4 Em cada parte responda 0 0 3 0 a pergunta e explique seu raciocinio 0 0 1 3 a O que pode ser dito sobre as dimensGes dos autoespacos 2 0 0 0 de A 0 2 5 5 b O que pode ser dito sobre as dimensdes dos autoespagos 21 A 0 0 3 0 sabendo que A é diagonalizavel 0 0 0 3 c Se v V5 for um conjunto linearmente independente 0 de vetores de A cada um dos quais esta associado ao 22 Use o método do Exemplo 5 para calcular A sendo mesmo autovalor de A 0 que pode ser dito sobre esse autovalor A 1 0 1 2 34 Este problema conduz a uma prova do fato de que a multipli h cidade algébrica de um autovalor de uma matriz A de tamanho 23 Use o método do Exemplo 5 para calcular A sendo n X n maior do que ou igual 4 multiplicidade geométrica 1 7 4 Para isso suponha que A seja um autovalor de multiplicidade A 0 1 0 geométrica k 0 15 2 a Prove que existe alguma base B u U u de R na qual os primeiros k vetores formam uma base do auto 24 Em cada parte calcule a poténcia indicada de espago associado a Ay b Seja P a matriz cujos vetores coluna sao os vetores de B 2 j Prove que 0 produto AP pode ser dado por A0 l 0 Ayl xX 0 0 1 AP P vi a A b A 1 c Al d A 25 Encontre A se n for um inteiro positivo e Sugestdo compare os k primeiros vetores coluna de am bos os lados 31 0 c Use o resultado da parte b para provar que A é seme A1 2 1 lhante a 0 l 3 CH X 26 Seja Lo Y A b e que portanto A e C tém 0 mesmo polinémio caracte c d ristico Mostre que d Considerando detAI C prove que 0 polindmio carac a 2 be teristico de C e portanto de A contém o fator A Aj a A diagonalizavel se a dy c 0 pelo menos k vezes provando assim que a multiplicida b A nao é diagonalizavel se a d 4bc 0 de algébrica de A é maior do que ou igual 4 multiplicida Sugestao ver o Exercicio 19 da Segao 51 de geométrica k 53 Espagos vetoriais complexos 315 Exercicios verdadeirofalso e Se A for diagonalizavel e invertivel entio A ser diagonali Nas partes ah determine se a afirmagdo é verdadeira ou falsa zavel justificando sua resposta f Se A for diagonalizavel entao Aé diagonalizavel a Toda matriz quadrada é semelhante a si mesma g Se existir alguma base de R consistindo em autovetores de b Se A Be C forem matrizes tais que A é semelhante a Be B é uma matriz A de tamanho n x n entao A diagonalizavel semelhante a C entaio A é semelhante a C h Se todo autovalor de uma matriz A tiver multiplicidade algé c Se Ae B forem matrizes invertiveis semelhantes entiio A e brica 1 entao A diagonalizavel B sdo semelhantes d Se A for diagonalizavel entéo existe uma Unica matriz P tal que PAP é uma matriz diagonal 53 Espacos vetoriais complexos As nogoées de autovalor e autovetor complexos surgem naturalmente mesmo no contexto de matrizes de entradas reais porque a equacao caracteristica de qualquer matriz quadrada pode ter solugdes complexas Nesta segao discutimos essa ideia e aplicamos nossos resultados ao estudo mais aprofundado de matrizes simétricas No final deste texto apresentamos uma revisao das propriedades essenciais dos numeros complexos Lembre que se z a bi for um nimero complexo entio Revisao de numeros e Rez ae Imz DJ sao denominados parte real de z e parte imagindria de z complexos respectivamente e z Va b édenominado médulo ou valor absoluto de z e za bié denominado conjugado complexo de z linz b zatbi mz TTT 2 2 2 e wzaatb z A Z e dizemos que o angulo na Figura 531 é um argumento de z FI e Rez zcos ob Imz send Re a e zzcos d isen é denominada forma polar de z Figura 531 Observamos na Formula 3 da Segao 51 que a equagao caracteristica de uma matriz A Autovalores complexos de tamanho n X n arbitraria tem a forma 1 A cA c0 1 em que o coeficiente da maior poténcia de A é 1 Até aqui limitamos nossa discussao a matrizes tais que as solucdes de 1 eram ntimeros reais Contudo é possivel que a equagao caracteristica de uma matriz A de entradas reais tenha solug6es imagindarias Por exemplo o polindmio caracterfstico da matriz 2 l A 5 2 é A2 1 2 A10 5 A2 que tem as solugOes imaginarias A ie A i Para tratar desse caso precisamos explo rar as nogGes de espaco vetorial complexo e algumas ideias relacionadas 316 Algebra Linear com Aplicacdes Vetores em C Um espago vetorial em que os escalares podem ser nimeros complexos é denominado espaco vetorial complexo Nesta secdo vamos nos ocupar somente da generalizagao se guinte do espaco vetorial real R DEFINICAO 1 Sen for um inteiro positivo entéo uma énupla complexa é uma se quéncia de n nimeros complexos U U U O conjunto de todas as énuplas com plexas é denominado espago complexo de dimensdao n e denotado por C Os escalares sao Os nimeros complexos e as operagdes de adicgdo subtragdo e multiplicagao por escalar sao efetuadas componente a componente A terminologia usada para énuplas reais é aplicavel igualmente a énuplas complexas Assim Se U U U forem nimeros complexos dizemos que Vv UUU um vetor em C e que U U5 U SA0 seus Componentes Alguns exemplos de vetores em C siio u1i4i32i v0i5 w 6V2i9 ti 7 Qualquer vetor V UUU a Dji a Di a bi em C pode ser repartido nas partes real e imagindria como V a4 b b b que também denotamos por v Rev i Imv em que Rev aaa e Imv bb5 O vetor VU U0 a Di a pi a 61 é denominado conjugado complexo de v e pode ser expresso em termos de Rev e Imv por V a da iD byb Rev i Imv 2 Segue que os vetores em R podem ser vistos como aqueles vetores em C cuja parte imaginaria é nula dito de outra forma um vetor vem C esté em R se e 86 se V V Nesta secao também precisaremos considerar matrizes com entradas complexas e por isso passamos a dizer que uma matriz A é uma matriz real se suas entradas so ne cessariamente nimeros reais e uma matriz complexa se suas entradas podem ser nimeros complexos As operag6es conhecidas com as matrizes reais passam sem modificagGes para matrizes complexas e todas as propriedades familiares de matrizes continuam valendo Se A for uma matriz complexa entéo ReA e ImA so as matrizes formadas com as partes real e imagin4ria das entradas de A e A é a matriz formada tomando o conjugado complexo de cada entrada de A Partes real e imaginaria de vetores e matrizes Sejam 3 i 2i 5 aaiti v 1 2l e 4 6 2i 53 Espagos vetoriais complexos 317 Entao v 31 25 Rev 305 Imv 1 2 0 Z 1i i ReA 1 0 imA 1 1 5 e m 4 642i 4 6 0 2 1i i detA 14i6 2i i488i 4 6 2i Os dois teoremas seguintes listam algumas propriedades de vetores e matrizes complexos Propriedades algébricas do que utilizamos nesta segao Algumas das provas sao deixadas como exercicios conjugado complexo TEOREMA 531 Se ue v forem vetores em C e aalgum escalar entdéo a wu b au au c UVUV dq uvuVv TEOREMA 532 Se A for uma matriz complexa de tamanho m X k e B uma matriz complexa de tamanho k X n entado a AA b A AY c ABAB A proxima definico estende os conceitos de produto escalar e norma aC Produto interno euclidiano complexo DEFINICAO 1 Seu Uy UU EV Uy VU forem vetores em C entao o produto escalar complexo de u e v também denominado produto interno euclidiano complexo é denotado por u v e definido por uVUu0u0 40 3 Os conjugados complexos em Também definimos a norma euclidiana em C por 3 garantem que y é um nu mero real pois sem os conjuga Vio P dos a quantidade v v em 4 Iv Vvvvlof lv Io 4 marae pode ser imaginaria Como no caso real dizemos que v é um vetor unitdrio em C se v 1 e dizemos que dois vetores u e v sao ortogonais se u v 0 Produto interno e norma euclidiana complexos Encontre u v v u ul e v com os vetores u17143i e v1i24i 318 Algebra Linear com Aplicacdes Soluao uv1i1 7 12 B4i i i 21 GB i4i 2 10i veu14i1 i 2 406 i 1 i i 21 413 i 2 10i ju Vib i i 13 if V2 1410 V3 Iv il 27 14i 244 16 22 Na Tabela 1 da Secao 32 vimos que se u e v forem vetores coluna em R ento seu produto escalar podera ser expresso por T T uvuvVvu A formula anéloga em C é dada por verifique uvu VVvu 5 O Exemplo 2 revela uma diferenga essencial entre 0 produto escalar em R e 0 pro duto escalar complexo em C No produto escalar em R sempre temos v u u Vv a propriedade de simetria mas no produto escalar complexo a relacdo correspondente é u V V U que denominamos a propriedade de antissimetria desse produto O proximo teorema é 0 andlogo do Teorema 322 TEOREMA 533 O produto escalar complexo tem as propriedades seguintes com quaisquer vetores u V e w em C e qualquer escalar a a UCVVU Antissimetria b uvwuvtuw Distributividade c auv auv Homogeneidade d uavauv Antihomogeneidade e vvO0evvO0Sees6sev 90 Positividade As partes c e d desse teorema afirmam que um escalar multiplicando um produto escalar complexo de dois vetores pode ser reagrupado com o primeiro vetor mas para reagrupélo com o segundo vetor precisamos primeiro tomar seu conjugado complexo Provamos a parte d e deixamos as demais como exercicio Prova d auv aU av U avu Gv u U av Para completar a prova substitua a por a e use 0 fato de que aa Conceitos vetoriais em C Exceto pelo uso de escalares complexos as nogdes de combinagao linear independéncia linear subespago espaco gerado base e dimensio passam para C sem modificagGes no h Os autovalores e autovetores de matrizes complexas sao definidos exatamente da R sera um subespaco de C mesma maneira que para matrizes reais Se A for uma matriz n X n com entradas com Explique bas plexas entao as raizes complexas da equagao caracteristica detAI A 0 sao denomi nadas autovalores complexos de A Como no caso real A é um autovalor complexo de A se SO Se existe um vetor nao nulo x em C tal que Ax Ax Cada um desses vetores x é um autovetor complexo de A associado a A Os autovetores complexos de A associados a A sao as solug6es nao nulas do sistema linear AJ Ax 0 e 0 conjunto de todas essas solugGes é um subespaco de C denominado autoespaco de A associado a X O prdéximo teorema afirma que se uma matriz real tem autovalores complexos entao esses autovalores e seus autovetores associados ocorrem em pares conjugados 53 Espacos vetoriais complexos 319 TEOREMA 534 Se A for um autovalor de uma matriz real A de tamanho n X n e Xx um autovetor associado entdo i também é um autovalor de A e X é um autovetor associado Prova Como A é um autovalor de A e x um autovetor associado temos AX Ax AX 6 Contudo A A ja que A tem entradas reais portanto segue da parte c do Teorema 532 que Ax Ax Ax Juntando as Equag6es 6 e 7 obtemos AX Ax AX onde x 0 por qué isso significa que A um autovalor de A e que x é um autovetor associado Autovalores e autovetores complexos Encontre os autovalores e uma base do autoespago de A 2 1 a 2 Solucao O polindmio caracteristico de A é A2 1 2 1 1AAFA de modo que os autovalores de A sio A ie A i Observe que esses autovalores sao complexos conjugados como garante o Teorema 534 Para encontrar os autovetores devemos resolver 0 sistema A2 1 x 0 5 A2x 0 com A ie depois com A i Com A i o sistema é dado por i2 1 x 0 y 8 5 i2 x 0 Poderiamos resolver esse sistema reduzindo a matriz aumentada i2 1 0 9 5 i2 0 a forma escalonada reduzida por linhas usando eliminaa4o de GaussJordan mesmo que a aritmética complexa seja um pouco tediosa Um procedimento mais simples é observar primeiro que a forma escalonada reduzida por linhas de 9 deve ter uma linha de zeros pois 8 tem solugées n4o triviais Por isso cada linha de 9 é um miultiplo escalar da outra e portanto a primeira linha pode ser zerada pela soma com um multiplo apropriado da segunda linha Por esse motivo podemos simplesmente igualar a zero as entradas da 320 Algebra Linear com Aplicagdes primeira linha permutar as linhas e entao multiplicar a nova primeira linha por t para obter a forma escalonada reduzida por linhas 21 1 5 5 0 0 0 0 Assim uma solucao geral do sistema é 21 x244it mt Isso nos diz que 0 autoespaco associado aA é unidimensional e que consiste em todos os multiplos escalares complexos do vetor da base 4i x 10 1 Para conferir mostremos que Ax ix Temos 21 21 1 2 2 l7s ts 2F5i1 5 3 Ax 5 2 1 1X 1 5 zi 2 i Poderfamos encontrar uma base do autoespaco associado aA i de maneira andloga mas isso é desnecessario pois o Teorema 534 afirma que 2 x 11 1 deve ser uma base desse autoespago As contas a seguir confirmam que x é um autovetor de A associado aA i 2 1 2 l7s 73 AX 5 2 l 2 1 1 2 23i1 s 5 5 1 ix 521i 2 i Como muitos de nossos exemplos subsequentes envolvem matrizes 2 X 2 de entradas reais é Util discutir alguns resultados gerais sobre os autovalores de tais matrizes Obser ve que 0 polinémio caracteristico da matriz A a b e d Nota historica Olga TausskyTodd foi uma das mulheres pioneiras na on sie Analise Matricial e a primeira mulher a ocupar um cargo de professora no Instituto Tecnolégico da California Ela trabalhou no Laboratério Na cional de Fisica em Londres durante a Segunda Guerra Mundial onde 4 mm foi encarregada de estudar as vibragdes em aeronaves supersonicas Ela logo observou que alguns resultados sobre os autovalores de uma 1 ol certa matriz complexa 6 6 poderiam ser usados para responder ques rd t6es fundamentais sobre o problema dessas vibragées que de outra forma exigiriam calculos trabalhosos Depois da Segunda Guerra Mun e 3 dial ela continuou seu trabalho em assuntos relacionados a matrizes e i ajudou a trazer muitos resultados conhecidos mas discrepantes sobre é matrizes para um assunto coerente que hoje conhecemos como a teo ria de matrizes Olga TausskyTodd Imagem cortesia dos Arquivos do California Institute of Technology 19061995 53 Espacos vetoriais complexos 321 é Aa b 3 detAI A n gq 7 ADA beh add ad bc Podemos expressar isso em termos do trago e do determinante de A como detAI A A trAA detA 12 do que segue que a equacao caracteristica de A é d trAA detA 0 13 Agora lembre da Algebra que se ax bx c 0 for uma equacao quadratica de coefi cientes reais entao o discriminante b 4ac determina a natureza das rafzes b 4dac0 Duas raizes reais distintas b 4ac 0 Uma raiz real repetida b 4ac 0 Duas raizes complexas conjugadas Aplicando isso a 13 coma 1 b trA ec detA obtemos o teorema seguinte TEOREMA 535 Se A for uma matriz 2 X 2 com entradas reais entao a equacdo caracteristica de A é trAA detA 0e a A tem dois autovalores reais distintos se trA 4 detA 0 b A tem um autovalor real repetido se trA 4 detA 0 c A tem dois autovalores complexos conjugados se trA 4 detA 0 Autovalores de uma matriz 2 x 2 Em cada parte use a Formula 13 da equaco caracteristica para encontrar os autovalores de 2 2 0 l 2 3 A b A A a7 5 wmasi of a5 3 Solugao a Temos trA 7 e detA 12 portanto a equagdo caracteristica de A é NM 7A 120 Fatorando obtemos A 4A 3 0 de modo que os autovalores de A sfo A 4e A 3 Solugao b Temos trA 2 e detA 1 portanto a equagao caracteristica de A é N2A10 Fatorando essa equacao obtemos A 1 0 de modo que A 0 tinico autovalor de A sua multiplicidade algébrica é 2 Solugao c Temos trA 4e detA 13 portanto a equagao caracteristica de A é MN 4d 130 Resolvendo essa equagao pela férmula quadratica obtemos 4 4 413 4 36 ga EVA AAO FEO Ly 3 2 2 Assim os autovalores de A sioA 2 3ieA 231 4 322 Algebra Linear com Aplicacées Matrizes simétricas tam Nosso préximo resultado que se refere aos autovalores de matrizes reais simétricas im autovalores reais portante numa grande variedade de aplicagées O ponto crucial da prova é considerar as ma trizes simétricas reais como matrizes complexas cujas entradas tém parte imaginaria nula TEOREMA 536 Se A for uma matriz simétrica real entdo A tem autovalores reais Prova Sejam um autovalor de A e x um autovetor associado sendo que pode ser complexo e x pode estar em C Assim Ax Ax onde x 0 Multiplicando ambos os lados dessa equaciio por X e usando 0 fato de que x Ax x Ax AX x Ax x Alx7 obtemos x Ax A Zz IIx Como o denominador dessa expressdo real podemos concluir que A é real mostrando que x Ax xX Ax 14 Mas A simétrica e tem entradas reais portanto segue da segunda igualdade em 14 e de propriedades da conjugacdo que xAx x Ax x Ax Axx AXx Ax x XAxXxAx 4 Uma interpretagao O teorema seguinte é fundamental no entendimento do significado geométrico de autova geométrica de autovalores lores complexos de matrizes reais 2 X 2 complexos TEOREMA 537 Os autovalores da matriz real a b C 15 fn 15 sao X a bi Seae bndao forem ambos nulos entdo essa matriz pode ser fatorada y como a b a b A O cos sen 16 ir hl b a 0 Alsen cos onde é o Gngulo do eixo x positivo ao raio que vai desde a origem até o ponto a b Figura 532 Figura 532 y Geometricamente esse teorema afirma que a multiplicaga4o por uma matriz da forma 15 Diatagao cx pode ser vista como uma rotacao pelo angulo seguida de uma dilatacAo ou contragao Rotagao de fator A Figura 533 Prova A equacao caracteristica de C é A ay b 0 verifique portanto os auto valores de C sao A a bi Supondo a e b nao ambos nulos seja o angulo do eixo x x eae A 2 x positivo ao raio desde a origem até o ponto a b O angulo o argumento do autovalor A a bi portanto vemos na Figura 532 que Figura 533 aAcos e bAlsend 53 Espacos vetoriais complexos 323 Segue disso que a matriz em 15 pode ser escrita como a b a bA 0 A A IA 0 cos seng 4 b al 0 All b a 0 Alsen cosd IA AI O préximo teorema cuja prova discutida nos exercicios mostra que cada matriz real 2 X 2 com autovalores complexos é semelhante a uma matriz da forma 15 TEOREMA 538 Seja A uma matriz real 2 X 2 com autovalores complexos X a bi em que b 0 Se x for um autovetor de A associado a a bi entdo a matriz P Rex ImxX é invertivel e b AP K Pp 17 boa Uma fatoracgao matricial usando autovalores complexos Fatore a matriz no Exemplo 3 na forma 17 usando o autovalor A i e o autovetor associado que foi dado em 11 Solugao Para manter a notaca4o do Teorema 538 denotemos 0 autovetor em 11 asso ciado aA i por x em vez de x como antes Para esses e x temos 2 1 a0 b1 Rex Ima 1 0 Assim 2 1 PRex Im 1 0 de modo que A pode ser fatorada na forma 17 como 2 13 sfo 17 0 1 5 2 1 Oo Ll O5 2 O leitor pode querer conferir isso multiplicando 0 lado direito Para entender o significado geométrico do Teorema 538 denotemos as matrizes do lado Uma interpretacao direito de 16 por Se R respectivamente e entao usemos 16 para reescrever 17 como geométrica do Teorema 538 A 0 A PSR P p A cosd send po 18 0 AlLsend cosd Interpretando agora P como a matriz de transigaéo da base B Rex Imx para a base canénica vemos que 18 diz que 0 cadlculo do produto Ax pode ser decomposto num processo de trés passos como segue Passo 1 Aplicamos x das coordenadas can6nicas para as coordenadas na base B for mando o produto P x Passo 2 Aplicamos uma rotag4o e uma dilatagdo ou contraao ao vetor Px formando 0 produto SR yP Xy Passo 3 Aplicamos o vetor girado e dilatado ou contrafdo de volta as coordenadas cané nicas para obter Ax PSR yPX 324 Algebra Linear com Aplicacées Sequéncias de poténcias Ha muitos problemas nos quais estamos interessados em entender como as sucessivas aplicag6es de uma transformagao matricial afetam um vetor especifico Por exemplo se A for matriz can6nica de um operador de R e x algum vetor fixado em R entéo podemos estar interessados no comportamento da sequéncia de poténcias Xp AX AX Lees Ax Lae Por exemplo se 1 3 z q 1 2 4 a 3 e w 5 10 entaéo com a ajuda de um computador ou calculadora podemos mostrar que os cinco primeiros termos da sequéncia de poténcias sao 1 125 2 10 3 035 xX AX AX AX vs 02 082 Com a ajuda de MATLAB ou de algum outro sistema de computagao simbdlica podemos mostrar que se os primeiros 100 termos forem desenhados como pares ordenados x y entao os pontos se movem ao longo da trajetoria elfptica mostrada na Figura 534a y y y x 1 1 41 Ax i i fo a 3 3 a i 2 i iii w 1 i 2 x i 2 1 5 o x tL i ra a fs a 1 Ax rl i CF 7 im oe m alt Ay sl Reo Be Re ee ee cee celts foe eet te nee cette ee lee oot Ax a b c Figura 534 Para entender por que os pontos se movem ao longo de uma trajetéria elfptica preci samos examinar os autovalores e autovetores de A Deixamos para o leitor mostrar que os autovalores de A sao A 4 3i e que autovetores associados sao 4 3 14 44 3 ij A BT Fh v 5 41 e AJ FR v 5 i 1 Tomando A A 2iex v 4 i 1 em 17 e usando o fato de que A 1 obtemos a fatoracao 1 3 1 4 3 2 a i 375 3 Uy 3 4 4 5 10 1 Of s 5 2 19 A P Ry Pp em que R uma rotagao em torno da origem pelo Angulo cuja tangente send 35 3 3 tg 6 arctg 369 8b sb as 4 PT aCe 53 Espacos vetoriais complexos 325 A matriz P em 19 é a matriz de transigao da base y 1 B Rex Imx 4 1 0 01 t1 para a base can6nica e P é a matriz de transicdo da matriz canOnica para a base B Figu ra 535 Agora observe que se n for um inteiro positivo ento 19 implica Rex n Iy npl AX PRgP X PRy P Xp x n re I 10 de modo que o produto Ax pode ser calculado transformando primeiro x no ponto P x moo 10 em coordenadas B depois multiplicando por R para girar esse ponto em torno da origem Figura 535 pelo angulo nd e finalmente multiplicando R Px por P para transformar o ponto resul tante de volta 4s coordenadas candénicas Agora podemos ver o que esta acontecendo geo metricamente Nas coordenadas B cada multiplicagdo sucessiva por A faz com que 0 ponto Px avance por um Angulo q tracgando assim uma 6rbita circular em torno da origem Contudo B é uma base torcida e nao ortogonal de modo que quando os pontos da 6rbita circular sao transferidos de volta para as coordenadas candénicas sofrem uma distorgao da 6rbita circular para a Grbita elfptica percorrida por Ax Figura 534b As contas para a primeira iterada s4o as seguintes as iteradas sucessivas estado ilustradas na Figura 534c 1 3 1 4 3 7 4 a E 3 ufl 3 4 1 q 5 10 1 0 5 5 I 2 bope 3 3 4 1 x transformado nas coordenadas B 5 1fs O ponto 1 é girado pelo Angulo 1 0 1 5 4 1 O ponto 4 1 é transformado nas coordenadas can6nicas 2 Revisao de conceitos e Autovalor complexo e Parte real de z e Autovetor complexo e Parte imaginaria de z e Autoespago em C e Modulo de z e Discriminante e Conjugado complexo de sm Jus P Aptiddes desenvolvidas e Argumento de wo g e Encontrar a parte real a parte imaginaria e o conjugado e Forma polar de z de uma matriz complexa ou de um vetor complexo e Espago vetorial complexo e Encontrar 0 determinante de uma matriz complexa e Enupla complexa e Encontrar produtos internos complexos e normas de e Espago complexo de dimensao n vetores complexos e Matriz real e Encontrar os autovalores e as bases dos autoespacos de Matriz complexa matrizes complexas e Produto escalar complexo produto interno euclidiano e Fatorar uma matriz real 2 2 com autovalores complexos complexo num produto de matrizes de contraao ou dilatagdo e 4 rotacao e Norma euclidiana em C s e Propriedade de antissimetria 326 Algebra Linear com Aplicacées Conjunto de exercicios 53 Nos Exercicios 12 encontre u Reu Imu e ull Nos Exercicios 1922 cada matriz C tem a forma 15 O 1 u2i4i1 3 2 u 61 4i6 21 Teorema 537 implica que C é 0 produto de uma matriz de con traco ou dilatagao de fator A pela matriz de rotacao de Angulo Nos Exercicios 34 mostre que u ve a satisfazemoTeorema Encontre Ae 0 Angulo tal que 7 h S 7 531 11 05 3 u34i2i6i vUi2i4 azi 19 C 1 1 20 C 5 0 4 u6147621 v4321i3 ai 5 Resolva a equacao ix 3v Wem x sendo ue V os vetores 1 C 1 V3 CH v2 V2 no Exercicio 3 3 1 7 22 6 Resolva a equagdo 1 ix 2u Vem x sendo ue Vv os vetores no Exercicio 4 Nos Exercicios 2326 encontre uma matriz invertivel P e uma matriz C da forma 15 tais que A PCP Nos Exercicios 78 encontre A e ReA ImA detA e trA 1l 5 4 5 23 A 24 A Si 4 4 7 1 0 7A 2i 145i 8 6 5 2 25 4 26 a 8 a 4i oo 3 2 1 3 2 3i I 27 Em cada parte encontre se houver todos os escalares com 3 9 Sejam A a matriz dada no Exercicio 7 e B a matriz plexos k com os quais u e v sao ortogonais em C 1i a u 217 31 v i 67 4 i o b ukk 1 vU11a 28 Mostre que se A for uma matriz real n X ne x um vetor colu Confirme que essas matrizes tém as propriedades enunciadas na em C entéo ReAx ARex e ImAx AImx no Teorema 532 29 As matrizes 10 Sejam A a matriz dada no Exercicio 8 e B a matriz fo 1 0 i fl 0 p tt of 8 Li of Lo 1 14 A denominadas matrizes spin de Pauli sao utilizadas na Meca Confirme que essas matrizes tém as propriedades enunciadas no Teorema 532 nica Quantica para estudar o spin de particulas As matrizes de Dirac que também sao utilizadas na Mecanica Quantica Nos Exercicios 1112 calcule u v u We V we mostre sdo expressas em termos das matrizes spin de Pauli e a matriz que os vetores satisfazem a Formula 5 e as partes a b e c do identidade J de tamanho 2 x 2 por Teorema 533 L 0 0 o 11 ui 213 v4211i w 2 i 2i5 3i p A 0 L o O a2i 12 u1i43i v3 4i2 3 a ly at 4 w1i4145 a1i Lo 0 Lo 0 13 Calcule u V W Ucom os vetores u Ve Ww no Exercicio 11 a Mostre que Bg a a a 14 Calcule iu w ulv ucom os vetores u v e w no b Duas matrizes A e B tais que AB BA sio ditas anti Exercicio 12 comutativas Mostre que as matrizes de Dirac sao antico tati Nos Exercicios 1518 encontre os autovalores e as bases dos mananvas autoespacos de A 30 Sek for um escalar real e v um vetor em R entao oO Teorema 45 i 5 321 afirma que kv Al v Essa relacdo continuaré valida 15 A 16 A se k for um escalar complexo e v um vetor em C Justifique 0 4 7 sua reposta 5 2 8 6 31 UV AE 18 A 31 Prove a parte c do Teorema 531 1 3 3 2 32 Prove o Teorema 532 54 Equacées diferencias 327 33 Prove que se ue v forem vetores em C entao du Substituindo isso nas equagdes Au au bve Av I I bu av obtidas na parte a mostre que 1 dbu uvjut vi luvil 0 Finalmente mostre que isso leva a uma contradicao 4 4 provando que P é invertivel i i lju iv lu iv 36 Neste problema provamos o andlogo complexo da desigual 4 4 dade de CauchySchwarz 34 Segue do Teorema 537 que os autovalores da matriz de rotac4o a Prove se k for um nimero complexo e ue v vetores em C entiio R cos send send cos u kv ukv uukuv ku v kkvv sio A cos isen d Prove que se x for um autovetor b Use o resultado da parte a para provar que associado a um desses autovalores entéo Rex e Imx sao ee ortogonais e ttm o mesmo comprimento Nota isso implica 0 uukuv ku vy kk v que P Rex Imx é um miiltiplo escalar real de uma c Tomando k u vv v na parte b prove que matriz ortogonal v 35 As duas partes deste exercicio indicam o caminho para provar ju vl fall vl 0 Teorema 538 Exercicios verdadeirofalso a Para simplificar a notagao seja Nas partes af determine se a afirmacéo é verdadeira ou falsa a b justificando sua resposta M ki a Existe alguma matriz real 5 X 5 sem autovalores reais b toval d tri lexa 2 X 2 sa lu e escreva u Rex e v Imx de modo que P u v b Os aurova ores ma ihe come xe saoas solu cdes da equacao A trAA detA 0 Mostre que a relagéo Ax Ax implica c Matrizes que ttm os mesmos autovalores complexos com as Ax au by ibu av mesmas multiplicidades algébricas tém o mesmo trago e entao iguale as partes real e imaginaria nessa equacAo para d Se A for um autovalor complexo de uma matriz real A com mostrar que autovetor complexo associado v entao A é um autovalor com lexo de A e V é um autovetor complexo de A associado a A AP Au Av au bv bu av PM P P e Todo autovalor de uma matriz complexa simétrica é real 0 Mostre que P invertivel com que termina ap rova f Se uma matriz A real 2 X 2 tiver autovalores complexos e pois o resultado da parte a implica A PMP Su 2 on 2 2 X for um vetor em R entao os vetores X AXy AX 5 gestdo se P nao for invertivel entéo um de seus vetores n a AX pertencem a uma elipse coluna é um miultiplo escalar real do outro digamos v 54 Equagoes diferencias Muitas leis da Fisica da Quimica da Biologia da Engenharia e da Economia sao descritas em termos de equagoes diferenciais ou seja equagdes envolvendo fung6es e suas derivadas Nesta segdo abordamos uma maneira pela qual Algebra Linear autovalores e autovetores podem ser aplicados na resolucao de sistemas de equagoes diferenciais O Calculo é um prérequisito para esta seco Uma equagdo diferencial é uma equagao que envolve fungdes desconhecidas e suas de Terminologia rivadas A ordem de uma equagao diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equacao As equacoes diferenciais mais simples sao as de primeira ordem da forma y ay 1 328 Algebra Linear com Aplicacées em que y fx é uma funcao desconhecida a ser determinada y dydx é sua derivada e a uma constante Como ocorre com a maioria das equagoes diferenciais essa equagao tem uma infinidade de solugées que sao as fungdes da forma y ce 2 em que c é uma constante arbitraria Cada funcao dessa forma uma solucao de 1 pois y cae ay e é mostrado nos exercicios que essas s40 as tinicas solugdes Em vista disso dizemos que 2 éa solugao geral de 1 Por exemplo a solucao geral da equacao diferencial y Sy é y ce 3 Com frequéncia um problema fisico que leva a uma equacao diferencial imp6e algumas condig6es que nos permitem isolar uma solucao particular da solugao geral Por exemplo se exigirmos que a solucao 3 da equacao y 5y satisfaca a condicéo adicional yO 6 4 ou seja que y 6 quando x OQ entao substituindo esses valores em 3 obteremos 6 cec pelo que concluimos que y 6e é a tinica solucao de y Sy que satisfaz 4 Uma condiao como 4 que especifica o valor da solucdo geral num ponto é deno minada condicao inicial e o problema de resolver uma equacao diferencial sujeita a uma condig4o inicial denominado problema de valor inicial Sistemas lineares de Nesta seco vamos nos ocupar com a resolucao de sistemas de equagées diferenciais da primeira ordem forma Y a AV Ho G4 Y Y5 4 ay Ho 4y 5 yy 4 ayy Ho 4Y em que y fX Y fx y f4 sao fungoes a determinar e os coeficientes a sao constantes Em notacao matricial 5 pode ser escrito como yi Gy Ay rt GL My I Vp Gy yy Gy My a y a an ste Gin y Um sistema de equagoes dife renciais da forma 5 é denomi ou mais concisamente nado sistema linear de primeira ordem y Ay 6 em que a notagio y denota o vetor obtido derivando cada componente de y Solugao de um sistema linear com condic6es iniciais a Escreva o sistema dado em forma matricial y 3y y 2y 7 Y 5s 54 Equagées diferencias 329 b Resolva o sistema c Encontre uma solucao do sistema que satisfaga as condigoes iniciais y0 1 y0 4ey0 2 Solugdo a y 3 0 OTy y0 2 0 y 8 ys 0 O 5y ou 3 0 0 y0 2 Oly 9 0 0 5 Solugdo b Como cada equacdo em 7 envolve sé uma fungao incégnita podemos resolver as equacoes individualmente Segue de 2 que essas solugOes sao y ce y ce y ce ou em notagao matricial yy ce ylyce 10 y ce Solugado c Pelas condiées iniciais dadas obtemos ly0cec 4y0cec 2y0 ce c de modo que a solugao que satisfaz essas condig6es é 3x 2x 5x ye y4e 7 y3 2e ou em notagao matricial y e yy 4e y 2e O que facilitou a resolugao do sistema no Exemplo foi 0 fato de que cada equagao envol Resolucao por veu somente uma funcfo incégnita de modo que na formulagio matricial do sistema y diagonalizacao Ay aparece uma matriz de coeficientes A diagonal Férmula 9 Uma situagao mais complicada ocorre quando uma ou todas as equag6es do sistema envolvem mais de uma das fung6es incdgnitas pois nesse caso a matriz de coeficientes nao é mais diagonal Passamos a considerar uma maneira de resolver um sistema desses A ideia basica para resolver um sistema y Ay cuja matriz de coeficientes A nao é diagonal é introduzir um novo vetor incégnito u que esteja relacionado com o vetor in cégnito y por uma equacao da forma y Pu em que P é uma matriz invertivel que diago naliza A E claro que tal matriz pode existir ou nao mas se existir poderemos reescrever a equacéo y Ay como Pu APu 330 Algebra Linear com Aplicacées ou alternativamente como u P APu Como estamos supondo que P diagonaliza A essa equacdo tem a forma u Du com D diagonal Agora podemos resolver essa equagao em u usando 0 método do Exem plo 1 e entao obter y por multiplicacdo matricial a partir da relagdo y Pu Resumindo temos o procedimento seguinte para resolver um sistema y Ay no caso em que A seja diagonalizavel Um procedimento para resolver y Ay se a for diagonalizavel Passo I Encontre uma matriz P que diagonaliza A Passo 2 Faga as substituigdes y Puee y Pu para obter um novo sistema dia gonal u Du com D PAP Passo 3 Resolvau Du Passo 4 Determine y a partir da equac4o y Pu Solugao usando diagonalizagao a Resolva o sistema y N Ye yy 4y 2y b Encontre a solucdo que satisfaz as condig6es iniciais y0 1 y0 6 Solugdo a A matriz de coeficientes do sistema é 1 1 A 4 2 Como vimos na Secao 52 a matriz A sera diagonalizavel por qualquer matriz P cujas colunas sejam autovetores linearmente independentes de A Como detAI A AT 1 NM A6 A 3A 2 e 4 A42 os autovalores de A sto A 2eA 3 Por definigao x f x é um autovetor de A associado a J se e sé se x uma solugao nao trivial de A1 l x 0 4 A2x 0 Se A 2 esse sistema se torna 1 lx 0 4 4x 0 Resolvendo esse sistema obtemos x f x ft de modo que x t 1 f xX t 1 54 Equacées diferencias 331 Assim 1 P 1 é uma base do autoespaco associado aA 2 Analogamente o leitor pode mostrar que l 4 P 1 é uma base do autoespao associado aA 3 Assim 1 p 74 1 1 diagonaliza A e DPAP 2 0 7 LO 3 Conforme observado no Passo 2 do procedimento enunciado acima a substituiao yPue yPu fornece o sistema diagonal 2 0 uy 2u u Du u ou 0 3 uy 3u Por 2 a solugdo desse sistema é uy ce ce 3x ou Uu 3x Uy Ce Co de modo que a equacao y Pu fornece como solucao para y y 1 i ce ce Toe y y fl Loe lee ce ou 2x 1 3x yHce 402 11 y ce 4 ce Solugao b Substituindo as condig6es iniciais dadas em 11 obtemos c 50 1 cj 4 6 Resolvendo esse sistema obtemos c 2 c 4 de modo que de 11 segue que a solu ao satisfazendo as condigées iniciais é y 2e eo y Ie 4 de Observacéo Nao esqueca que o método do Exemplo 2 funciona porque a matriz de coeficientes do sistema pode ser diagonalizada Quando isso nao ocorrer necessitamos de outros métodos que s40 discutidos em textos dedicados a equagoes diferenciais 332 Algebra Linear com Aplicacées Revisao de conceitos Aptiddes desenvolvidas e Equagao diferencial e Encontrar a forma matricial de um sistema de equagdes e Ordem de uma equacao diferencial diferenciais lineares e Solucio geral e Encontrar a solugdo geral de um sistema de equag6es diferenciais lineares por diagonalizagao e Solugdo particular woe ee e Encontrar a solucao particular de um sistema de equacdes e Condicao inicial Leg ae o diferenciais lineares satisfazendo uma condigao inicial e Problema de valor inicial e Sistema linear de primeira ordem Conjunto de exercicios 54 1 a Resolvao sistema 7 As vezes é possivel resolver uma s6 equaciio diferencial 1 44 linear de coeficientes constantes de ordem superior expressan we Yo doa como um sistema e usando os métodos desta segao Para yy 2y 3y a equacao diferencial y y 6y 0 mostre que as substi oa tuigd yl ist b Encontre a solugao que satisfaz as condig6es iniciais mHgOES Yy VE Ya Y Tevam ao sistema 0 0 y0 0 yay 2 a Resolva o sistema y 6y y i 3 1 Resolva esse sistema e use 0 resultado para resolver a equacao y 4y 52 diferencial original b Encontre a solugao que satisfaz as condig6es iniciais 8 Use 0 procedimento do Exercicio 7 para resolver y0 2 y0 1 yy 12y0 3 a Resolvao sistema 9 Explique como o procedimento do Exercicio 7 poderia ser yi Ay usado para resolver y 6y lly 6y 0 Use sua ideia ara resolver a equagao Yn 2y Y2 P anes y 2y y 10 a Reescrevendo 11 em forma matricial mostre que a so lucdo do sistema no Exemplo 2 pode ser expressa por b Encontre a solugao que satisfaz as condig6es iniciais y0 1 y0 I y0 0 ft 2 ycye ce 4 Resolva o sistema 1 1 y 4y 2y2y 44 42 Essa solugdo é denominada solucdo geral do sistema yo 4Y y y 2 4 b Observe que na parte a o vetor no primeiro termo é um Ys 2Y1 F AYa AYs autovetor associado ao autovalor A 2 e o vetor no segundo 5 Mostre que qualquer solucdo de y ay tema forma y ce termo é um autovetor associado ao autovalor A 3 Isso é Sugestdo considere uma solucao y fx e mostre que um caso especial do resultado geral a seguir Sade é constante 6 Mostre que se A for diagonalizavel e Teorema Se a matriz de coeficientes A do sistema y Ay 1 for diagonalizdvel entdo a solugao geral do sistema pode ser y yo expressa por y ce x ce X tee t ce X Vn sendo X A os autovalores de A e x um autovetor de A é uma solugao do sistema y Ay entao cada y é uma combi de autovalor X nacdo linear de e e e onde AA A 40 OS autovalores de A 54 Equagées diferencias 333 Prove esse resultado seguindo o procedimento de quatro pas Exercicios verdadeirofalso sos discutido antes do Exemplo 2 com Nas partes ae determine se a afirmacdo é verdadeira ou falsa A O 0 justificando sua resposta 0 A 0 a Qualquer sistema de equacées diferenciais y Ay tem D e Pxxx alguma solucao 0 0 X b Sex Axey Ay entiox y c Sex Axey Ay entao cx dy Acx dy 11 Considere o sistema de equagGes diferenciais y Ay em que quaisquer que sejam os escalares c e d A uma matriz 2 X 2 Com quais valores de ay 12 A 22 d Se A for uma matriz quadrada com autovalores reais distin os componentes yt yt das solugdes tendem a zero com a 4 1 oe a 2 tos entao é possivel resolver x Ax por diagonalizagao t Em particular o que deve ser verdade sobre o determi i nante e o traco de A para isso ocorrer e Se Ae P forem matrizes semelhantes entéo y Aye oo u Pu tém as mesmas solucGes 12 Resolva o sistema nao diagonal yHNtY Ys 2 Capitulo 5 Exercicios suplementares 1 a Mostre que se 0 0 7 entio 7 Em textos avancados de Algebra Linear provase o Teorema 9 9 de CayleyHamilton que afirma que uma matriz quadrada A A cos Sen satisfaz sua equacao caracteristica ou seja se sen 0 cosé Cot cA oA 406AA0 nao possui autovalores e consequentemente autovetores a for a equac4o caracteristica de A entao b Dé uma explicagao geométrica para o resultado na parte a Col cA t cA teeet c A A0 2 Encontre os autovalores de Verifique esse resultado com 0 1 0 3 0 1 0 A 0 0 1 w a b A0 0 1 ke 3k 3k 13 3 3 a Mostre que se D for uma matriz diagonal com entradas Nos Exercicios 810 use 0 Teorema de CayleyHamilton nao negativas na diagonal principal ento existe uma enunciado no Exercicio 7 2 matriz 5 tal que S D 8 a Use 0 Exercicio 18 da Secao 51 para provar o Teorema b Mostre que se A for uma matriz diagonalizavel com auto de CayleyHamilton com matrizes 2 X 2 valores nao negativos entdo existe uma matriz S tal que b Prove o Teorema de CayleyHamilton com matrizes n X n S A 5 diagonalizaveis c Encontre uma matriz S tal que S A sendo 9 O Teorema de CayleyHamilton fornece um método para 3 1 calcular poténcias de uma matriz Por exemplo se A for uma I matriz 2 X 2 de equac4o caracteristica A0 4 5 5 00 9 Cy t cA A 0 r entio col cA A 0 de modo que 4 Prove se A for uma matriz quadrada entéo A e A tém o mes 5 mo polinémio caracteristico Ao cA col 5 Prove se A for uma matriz quadrada e pA detAI A o Multiplicando ambos os lados por A temos A c A CA polin6mio caracteristico de A entao o coeficiente de A em que expressa A em termos de A e A e multiplicando por A PA 0 negativo do trago de A temos A cA CA que expressa A em termos de A e 6 Prove se b 0 entdo A Continuando assim podemos calcular poténcias sucessivas de A expressandoas em termos de poténcias menores Use A E esse procedimento para calcular A A A e A com 10 a 3 6 slr nao é diagonalizavel 1 2 334 Algebra Linear com Aplicacées 10 Use 0 método do exercicio precedente para calcular A e A b Encontre uma matriz cujo polinémio caracteristico seja com pd 120 47 3 8 0 0 13 Uma matriz quadrada A dita nilpotente se A 0 com al A0 0 1 gum inteiro positivo n O pode ser dito sobre os autovalores de 1 3 3 uma matriz nilpotente 14 Prove se A for uma matriz n X n com n impar entaéo A tem 11 Encontre os autovalores da matriz pelo menos um autovalor real Cy 0 tt 15 Encontre uma matriz A de tamanho 3 X 3 com autovalores CG te Xd 0e 1 e autovetores associados A Dt 0 1 0 OG Gy 1 1 1 12 a No Exercicio 17 da Secao 51 foi mostrado que se A l I I for uma matriz n X n entio 1 é 0 coeficiente de A no polinémio caracteristico de A Um polinédmio com essa respectivamente propriedade é denominado ménico Mostre que a matriz 16 Suponha que uma matriz A de tamanho 4 X 4 tenha autovalo res 2A 3eA3 0 0 0 0 e Z as a Use 0 método do Exercicio 16 da Secao 51 para encon 10 0 0 e trar detA 0 1 0 0 e b Use 0 Exercicio 5 precedente para encontrar trA soho 17 Seja A uma matriz quadrada tal que A A O que pode ser A dito sobre os autovalores de A tem polinémio caracteristico 18 a Resolva o sistema pid e toa e02 6 NE y Wn 3y2 pr a yy 2y 4y Isso mostra que cada polindmio ménico é 0 polinémio caracteristico de alguma matriz A matriz nesse exemplo b Encontre a solugao que satisfaz as condig6es iniciais é denominada matriz companheira de pA Sugestdo y0 Se y0 6 calcule todos os determinantes nesse problema somando um miuiltiplo da segunda linha a primeira para introduzir um zero no topo da primeira coluna e entéo expandir por cofatores ao longo da primeira coluna CAPITULO 6 Espacos com Produto Interno CONTEUDO DO CAPITULO 61 Produtos internos 335 62 Angulo e ortogonalidade em espacos com produto interno 345 63 Processo de GramSchmidt decomposicéo QR 352 64 Melhor aproximagao minimos quadrados 366 65 Ajuste de minimos quadrados adados 376 66 Aproximagao funcional séries de Fourier 382 INTRODUCAO No Capitulo 3 definimos 0 produto escalar de vetores em R e utilizamos esse conceito para definir as nogdes de comprimento angulo distancia e ortogonalidade Neste capitulo generalizamos aquelas ideias para que sejam aplicaveis a qualquer espaco vetorial e nao s6 ao R Também discutimos varias aplicagdes dessas ideias 61 Produtos internos Nesta secao utilizamos as propriedades mais importantes do produto escalar de R como axiomas que sendo satisfeitos pelos vetores num espao vetorial V permitem a extensdo das nocodes de comprimento distancia angulo e perpendicularidade a espagos vetoriais arbitrarios Na Definicao 4 da Secao 32 definimos o produto escalar de dois vetores em Re no Teo Produtos internos gerais rema 322 listamos as quatro propriedades fundamentais desses produtos Nosso primeiro objetivo nesta secao é estender a nogao de produto escalar para espacgos vetoriais arbitra rios usando essas quatro propriedades como axiomas Apresentamos a seguinte definigio Observe que a Definicgao 1 sé contempla espagos vetoriais DEFINICAO 1 Umproduto interno num espaco vetorial real V uma funcao que as reais Uma definigao de pro socia um numero real u v a cada par de vetores em V de tal maneira que os seguintes dutol interno em espagos ve axiomas sao Satisfeitos por quaisquer vetores u v e w de Ve qualquer escalar a torials comp nes exercicios Como quase nunca 1 uv v u Axioma de simetria utilizamos espacos vetoriais 2 u v w u w vy w Axioma de aditividade complexos neste texto o leitor 3 au V au Vv Axioma de homogeneidade Oe ee em oe te todos os espacos vetoriais em 4 vv 0e v v Ose esd sev 90 Axioma de positividade consideraciio sao reais mesmo Um espaco vetorial real com um produto interno é chamado espago com produto in que alguns dos teoremas sejam terno real igualmente validos em espagos vetoriais complexos Como os axiomas de produto interno real tém por base as propriedades do produto escalar esses axiomas de espago com produto interno estao automaticamente satisfeitos se definirmos o produto interno de dois vetores u e v em R por uv UuvVuv0 uv 40 336 Algebra Linear com Aplicacées Esse produto interno costuma ser denominado produto interno euclidiano ou produto interno canénico em R para distinguilo de outros produtos internos que possam ser definidos em R Dizemos que 0 espaco R com o produto interno euclidiano é 0 espago euclidiano de dimensao n Os produtos internos podem ser usados para definir as nogdes de comprimento e dis tancia em espacos com produto interno arbitrarios da mesma forma que o fizemos com 0 produto escalar em R Nas Formulas 11 e 19 da Secao 32 vimos que se u e v forem vetores no espaco euclidiano de dimensao n a norma e a distancia podem ser expressas em termos do produto escalar por lvl Vvv e duv luvil uv uv Motivados por essas f6rmulas apresentamos a definiao seguinte DEFINICAO 1 Se V for um espaco com produto interno real entao a norma ou com primento de um vetor v em V é definida por Ilvll v Vv e a distancia entre dois vetores é denotada por du v e definida por du v uv yuv u vy Dizemos que um vetor de norma é um vetor unitdrio O préximo teorema que enunciamos sem prova mostra que a norma e a distancia num espaco com produto interno real tém muitas das propriedades esperadas TEOREMA 611 Se ue v forem vetores num espaco com produto interno real V ek um escalar entdo a v 0 com igualdade valendo se e sé se v 0 b Ikv At IIvIl c du v dvy u d du v 0 com igualdade valendo se e s6 se U V Embora o produto interno euclidiano seja o produto interno mais importante do R existem varias aplicagdes nas quais é desejavel modificar o produto interno euclidiano ponderando cada termo diferentemente Mais precisamente se WWW forem nimeros reais positivos que denominamos pesos e se U Uy U5 U V U U5U forem vetores em R ento pode ser mostrado que a férmula UV W UV W uv W UV 1 Observe que 0 produto interno define um produto interno em R que denominamos produto interno euclidiano pondera euclidiano canGnico é 0 caso es do com pesos W WW pecial de produto interno eucli diano ponderado em que todos 0s pesos sao iguais a 1 Produto interno euclidiano ponderado Sejam u u u V V V vetores em R Verifique que o produto interno euclidiano ponderado u Vv 3uv 2uv 2 satisfaz os quatro axiomas de produto interno 61 Produtos internos 337 Solucao a No Exemplo 1 utilizamos a le Axioma Trocar ue v de lugar na Férmula 2 nao altera a soma do lado direito por tra w com indices para denotar tanto u v v u os componentes do vetor w e Axioma 2 Se w w W entao nado os pesos Os pesos sao os ntimeros 2 e 3 na Formula 2 uv w 3u 0W2u vW 3uW UW 2uW VW 3uW 2u W 3vw 20wW u W Vv w Axioma 3 au v 3au v 2au v a3uv 2uv au V Axioma 4 v v 3vv 2vv 3v 2 0 com igualdade se e s6 se Vv v 0 ousejanv0 4 Para ilustrar uma maneira pela qual pode surgir um produto interno euclidiano ponderado Umaa plicacao dos produtos digamos que um experimento fisico possa produzir qualquer um entre 1 possiveis valores jnternos euclidianos numéricos ponderados X44 Xp X e que uma série de m repetigdes do experimento fornecam esses valores com varias fre quéncias Mais especificamente digamos que x ocorra f vezes x ocorra f vezes e assim por diante Como ha um total de m repetigdes do experimento obtemos froth ttfm Assim a média aritmética dos valores numéricos observados denotada por x é xX fox te f X 1 gpa fit het thm lee gpg t px 3 fithteoth m Se escrevermos f fi f fi X XX WWw1m entao 3 pode ser expresso como o produto interno euclidiano ponderado xX fx w fix wi fx Fx Usando um produto interno euclidiano ponderado E importante nfo esquecer que a norma e a distancia dependem do produto interno que esta sendo usado Se o produto interno for mudado entao as normas e as distancias entre vetores também mudam Por exemplo para os vetores u 1 0 e v 0 1 em R com o produto interno euclidiano temos juljJV1 0 1 e du v ju vil Di VV ly v2 No entanto mudando para o produto interno euclidiano ponderado u V 3uv 2uv 338 Algebra Linear com Aplicacdes temos 12 12 jul uu BC 2 O V3 e du v lju yl 1 1 12 BI 2lDI VvV5 Circulos unitarios e esferas Se V for um espago com produto interno entao 0 conjunto de todos os pontos em V que em espacos com produto satisfazem interno ilu 1 y é denominado esfera unitdria ou circulo unitario de V hull 1 Circulos unitarios incomuns em R a Esboce o circulo unitario num sistema de coordenadas xy em R usando o produto interno euclidiano u v u V UV b Esboce o circulo unitario num sistema de coordenadas xy em R usando o produto interno euclidiano ponderado u v 5uy v iu U a O circulo unitario usando um produto Solugdo a Seu x y entao u u u x y de modo que a equaao interno euclidiano do circulo unitario é x y lou elevando ao quadrado ambos os lados canonico 5 5 xty1 y 2 Como era de se esperar 0 grafico dessa equacao um circulo de raio centrado na ull 1 origem Figura 611a x 2 12 12 Solugdo b Seu x y entaojul uu 5x zy de modo que a equa ao do circulo unitario é 5x 5 y ou elevando ao quadrado ambos os lados x y 21 b O circulo unitario 9 4 usando um produto O grafico dessa equacao é a elipse mostrada na Figura 611b 4 interno euclidiano ponderado Figura 611 Observacao Pode parecer estranho que o circulo unitario na segunda parte do exemplo prece dente tenha um formato eliptico Isso faz mais sentido se pensarmos em circulos e esferas em es pacos vetoriais arbitrarios do ponto de vista algébrico u 1 em vez de geométrico A mudanga na geometria ocorre porque a norma nao sendo euclidiana tem o efeito de distorcer 0 espaco que estamos acostumados a ver com olhos euclidianos Produtos internos gerados Os produtos internos euclidiano e ponderado sao casos particulares de uma classe geral por matrizes de produtos internos do R denominados produtos internos matriciais Para definir essa classe de produtos internos sejam u e v vetores em R dados em forma de coluna e seja uma matriz n X n invertivel Pode ser mostrado Exercicio ue se u v denota o A t x tivel Pod trado E 31 q denot produto interno euclidiano em R entao a férmula u Vv Au Av 4 também define um produto interno denominado produto interno em R gerado por A Na Tabela da Secao 32 vimos que se u e v estiverem em forma de coluna entao u V pode ser escrito como vu do que segue que 4 pode ser expresso por u v AvAu 61 Produtos internos 339 ou equivalentemente u v vAAu 5 Produtos internos euclidianos ponderados gerados por matrizes Os produtos internos euclidianos candénico e ponderado s40 exemplos de produtos inter nos matriciais O produto interno euclidiano canénico de R é gerado pela matriz identi dade n X n pois tomando A 7 na Férmula 4 obtemos uv JuIvuv e 0 produto interno euclidiano ponderado UV WuU Wuv WUv 6 é gerado pela matriz JW 0 O 0 0 Jw 0 0 A i 7 0 O O fw Isso pode ser visto observando primeiramente que AA é a matriz diagonal cujas entradas na diagonal sao os pesos W W W depois observando que 5 simplifica para 6 quando A for a matriz na Férmula 7 De novo o Exemplo 1 O produto interno euclidiano ponderado u v 3uU 2u v discutido no Exemplo 1 P 2 P ml 2 P Qualquer matriz diagonal de en o produto interno de R gerado por we tradas diagonais positivas gera V3 0 um produto interno ponderado A Por qué 0 2 Até aqui consideramos somente exemplos de produtos internos em R Agora conside Quiros exemplos de produtos ramos exemplos de produtos internos em alguns dos outros tipos de espagos vetoriais jnternos discutidos previamente Um produto interno em M Se Ue V forem matrizes n X n entéo a formula UV trUV 8 define um produto interno no espaco vetorial M ver a Definicao 8 da Secao 13 para uma definigdo de trago Podemos provar que isso ocorre confirmando que os quatro axio mas de espacos vetoriais com produtos internos sao satisfeitos mas podemos ver por que isso ocorre calculando 8 para as matrizes 2 X 2 y Uy e V UV u Uy UV Uy Obtemos U V trUV uv uv uv Uv 340 Algebra Linear com Aplicacdes que é simplesmente o produto escalar das entradas correspondentes das duas matrizes Por exemplo se v 1 2 V 1 0 3 4f 3 2 entao U V 11 20 33 42 16 A norma de uma matriz U em relacao a esse produto interno JU UU uy as us m O produto interno canénico em P Se pataxtax e qbtbxt b forem polindmios em P entéo a formula seguinte define um produto interno em P veri fique que denominamos produto interno canénico nesse espaco p q ab ab ab 9 A norma de um polinémio p em relacao a esse produto interno é Ip p p ay tay a O produto interno de avaliagado em P Se ppWMataxtax e qaqa btbxt b forem polindmios em P se Xp X x forem nuimeros reais distintos denominados pontos amostrais entao a formula P 4 Pq Pea pa 10 define um produto interno em P que denominamos produto interno de avaliagdo em Xp XAlgebricamente isso pode ser visto como o produto escalar das énuplas PXqs POs PA Gqs YX F e portanto os trés primeiros axiomas de produto interno seguem das propriedades do produto escalar O quarto axioma de produto interno segue do fato de que Pp p PAT PDE PGP 0 com igualdade valendo se e s6 se PX PQ p 0 Como um polindmio nao nulo de grau n nao pode ter mais que n raizes distintas necessa riamente p 0 provando que é valido o quarto axioma de produto interno A norma de um polinémio p em relagao ao produto interno de avaliagao é Ip V Pp Pp VipP pP p 1 Trabalhando com o produto interno de avaliagao Considere em P 0 produto interno de avaliagado nos pontos Xy2 x 0 e x2 Calcule p q p com os polindmios p px x eq gx 1 x 61 Produtos internos 341 Solugao Segue de 10 e 11 que pq p2q2 p0q0 p2q2 41 0 1 43 8 Ipll VipP pPP pP Vip2P POP PRP JV44044 732 42 Um produto interno em Cfa b REQUER CALCULO Sejam f fx e g gx duas funcgGes continuas em Ca b e defina b f g Fx gx dx 12 Mostremos que essa f6rmula define um produto interno em Ca b verificando os quatro axiomas de produto interno com as fungées f fx g gx eh Ax em Ca b b b 1 ite f forgiydx f ge fonae et mostra que vale o Axioma 1 b 2 f gh fx gxhx dx b b Fxhx dx 8xhx dx f h g h mostra que vale o Axioma 2 b b 3 ke f kfoeoode k forge kite mostra que vale o Axioma 3 4 Sef fx for uma fungdo qualquer em Ca b entao b f f fxdx 0 13 pois f x 0 cada x do intervalo a b Além disso por f ser continua em a b a igualdade na Formula 13 vale se e s6 se a funcao f for identicamente nula em a b ou seja se f 0 mostrando que vale o Axioma 4 Norma de um vetor em Cla 6 REQUER CALCULO Se Ca b tem o produto interno definido no Exemplo 10 entéo a norma de uma fungao f fx em relagao a esse produto interno é b ig 9 f Poras 14 e a esfera unitdria nesse espaco consiste em todas as fungdes f em Ca b que satisfazem a equaao b fxdx1 Observacéo Observe que o espaco vetorial P é um subespaco de Ca b porque os polinémios sao fung6es continuas Assim a Formula 12 define um produto interno em P 342 Algebra Linear com Aplicacées Observacao No Calculo mostrase que o comprimento de arco de uma curva y fx ao longo de um intervalo a b é dado pela formula b L VIEF COP dx 15 No confunda esse conceito de comprimento de arco com fl que 0 comprimento norma de f quando f for visto como um vetor em Ca b As duas Formulas 14 e 15 s4o bem diferentes Propriedades algébricas dos O proximo teorema lista algumas das propriedades algébricas de produtos internos que produtos internos seguem dos axiomas de produto interno Esse resultado generaliza o Teorema 323 rela tivo ao produto escalar em R TEOREMA 612 Seu v e w forem vetores num espaco com produto interno real V e k for um escalar entdo a 0 v v 0 0 b uv w uv U w c uv w u v u W d u v Ww uw Vv W e ku v u ky Prova Provamos a parte b e deixamos a prova das demais partes como exercicios uv w v w u Por simetria Vv u Ww u Por aditividade uv u w Por simetria O exemplo a seguir ilustra como 0 Teorema 612 e as propriedades que definem os produtos internos podem ser usados para efetuar calculos algébricos com produtos inter nos E instrutivo o leitor justificar cada passo da argumentagao a seguir Calculando com produtos internos u 2v 3u 4v u 3u 4v 2v 3u 4v u 3u u 4v 2v 3u 2v 4v 3u u 4u v 6v u 8v v 3lul 4u v 6u v 8ilvl 3ul 2u v 8v Revisao de conceitos e Exemplos de produtos internos e Axiomas de produto interno e Propriedades de produtos internos e Produto interno euclidiano Aptidées desenvolvidas Espaco euclidiano de dimensao n e Calcular o produto interno de dois vetores e Produto interno euclidiano ponderado e Encontrar a norma de um vetor Circulo esfera maar e Encontrar a distancia entre dois vetores Produto interno matricial e Mostrar que uma dada férmula define um produto interno Norma num espago com produto interno e Mostrar que uma dada formula nao define um produto Distancia entre dois vetores num espago com produto interno provando que nao vale pelo menos um dos interno axiomas de produto interno 61 Produtos internos 343 Conjunto de exercicios 61 1 Sejam u v 0 produto interno euclidiano em R e u 1 1 é 0 produto interno em R gerado por v 2 w 0 1 ek 3 Calcule as expressGes dadas 4 a uv b kv w c uvw A E 4 d lv e duv ju ky I e au Ol b Use o produto interno da parte a para calcular u v 2 Repita o Exercicio 1 com o produto interno euclidiano ponde com u 0 3ev 6 2 rado u v 2uv 3uv oo 11 Sejam u u u e V U V Em cada parte a expressao 3 Sejam u v o produto interno euclidiano em R e 2 k if dada é um produto interno em R Encontre a matriz que gera u GB 2 v 45 w 1 6 ek 4 Verifique as esse produto interno expressoes dadas a uv 3uv Suv b uv 4uv 6uv a uv v u 12 Suponha que P tenha o produto interno do Exemplo 7 Em b u v w u w v w cada parte encontre p uv w uv u w a p23x42x b p43r d au v au v u av 13 Suponha que M tenha o produto interno do Exemplo 6 Em e 0 v v0 0 cada parte encontre A 4 Repita o Exercicio 3 com o produto interno euclidiano ponde 2 5 an rado u v 4u v 5u U a A 3 sl b A lo 0 4 2 an u v 0 produto interno euclidiano em R gerado por 14 Suponha que P tenha o produto interno do Exemplo 7 En I 4 eu 2 1 v 1 1 w 0 1 Calcule as contre dp p com 2 2 2 expressGes dadas pH3xtx qa 45x 15 Suponha que M tenha o produto interno do Exemplo 6 Em a u v b v w uty w cada parte encontre dA B Wl dw f Iv wl 6 44 6 Repita o Exercicio 5 com o produto interno em R gerado por a A 5 a B 1 1 yh 2 4 5 1 w a ob i 7 Em cada parte calcule u v usando 0 produto interno do Exemplo 6 16 Suponha que P tenha o produto interno do Exemplo 9 e con a 1 3 sidere p 1 x xeq 1 2x Emcada parte calcule a a u F v 1 i expressao 1 A 6 a pq b Ilpll c dp q b u 3 v 0 17 Suponha que P tenha o produto interno de avaliacao nos pon tos amostrais 8 a ca parte calcule p q usando o produto interno do xl x0 x41 4 2 xemplo f 5 5 Encontre p q e p com p x xeq1 x a p 2 txt a q4 7 5 18 Em cada parte use o produto interno em R dado para calcular b p S5 4 2xxq 3 2x 4x wl com w 1 3 9 a Use a Formula 4 para mostrar que u a 0 produto interno euclidiano uy Auzv2 0 produto interno em R gerado por b 0 produto interno euclidiano ponderado u v A I 3uU 2uv CoM U U Uy eV Uj V 0 2 c 0 produto interno gerado pela matriz b Use o produto interno da parte a para calcular u v A 1 2 com u 3 2ev 17 11 3 10 a Use a Formula 4 para mostrar que 19 Use os produtos internos do Exercicio 18 para encontrar u v 5uv uv uv 10 uv du v com u 1 2 ev 2 5 344 Algebra Linear com Aplicacées 20 Suponha que u v e w sejam vetores tais que 28 Requer Calculo Suponha que P tenha o produto interno uv 2 vw3 uw 5 pq d pq pxqx dx jul 1 lv 2 Iwi 7 1 Em cada parte calcule a expresso a Encontre pcom p 1pxepx a uvv w b 2v w 3u 2w b Encontre dp q com p leq x c uv2w4uv d lut vil 29 Requer Calculo Em cada parte use 0 produto interno e 2w v f lu 2v 4w 1 21 Em cada parte esboce o circulo unitério em R usando o pro pq Pxq x dx duto interno dado a uv iu v Kus v em P para calcular p q lxtx5x x3x b uv 2uv 50 a Pp x q 3 2 22 Encontre um produto interno euclidiano ponderado em R no b pxS5x q2 8x qual o circulo unitario seja a elipse mostrada na figura dada 30 Requer Calculo Em cada parte use 0 produto interno I f g Fxgx dx y 0 1 em CO 1 para calcular f g x a fcos2mx g sen2ax 3 b fx ge u Figura Ex22 c f eZ g1 31 Prove que a Formula 4 define um produto interno em R 23 Sejam u ut uUeV Y v Em cada parte mostre que a 32 A definigdo de espago vetorial complexo foi dada na primeira expressdo um produto interno em R verificando a validade nota marginal da Secdo 41 A definicdo de um produto in dos axiomas de produto interno terno complexo num espaco vetorial complexo V é idéntica a uv 3uv Suv a definigdo 1 exceto que os escalares podem ser nimeros b uv 4uv uv uv 4uv complexos e o Axioma 1 é substituido por u v v u Os demais axiomas permanecem inalterados Um espaco 24 Sejam u u uy U eV Uj V U3 Em cada parte deter 2 3 vetorial complexo com um produto interno complexo é de mine se a expresso é um produto interno em R Se nao for nominado espaco com produto interno complexo Prove que liste os axiomas que nao valem x se V for um espaco com produto interno complexo entao a UV WU UV u av au v b uv wu wu wv c uv 2uv up 4uv Exercicios verdadeirofalso uv u uv ur Nas partes ag determine se a afirmacdo é verdadeira ou falsa justificando sua resposta 25 Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer 2 a O produto escalar em R é um exemplo de produto interno espacgo com produto interno ponderado 2 2 2 2 Ju vi lu vif 2ffull 2Ilvih b O produto interno de dois vetores nao pode ser um nimero 26 Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer real negativo espaco com produto interno c uv w vu wu 2 uv llu vi glu vf Cau ay a aN e Se u v entiou Oouv 0 27 SejamU i elev f f Se v entdo v 0 Ms M4 a g Se A for uma matriz n X n entdo u v Au Av define um Mostre que U V uv u0 uv uv ndo define produto interno em R um produto interno em M 62 Angulo e ortogonalidade em espacos com produto interno 345 62 Angulo e ortogonalidade em espacos com produto interno Na Secdo 32 definimos a nocao de Angulo entre vetores em R Nesta secao estendemos essa ideia a espagos com produto interno arbitrarios Com isso também podemos estender a nogao de ortogonalidade preparando o terreno para uma variedade de novas aplicag6es Na Foérmula 20 da Secdo 32 vimos que o Angulo 6 entre dois vetores ue v em R é Desigualdade de uev CauchySchwarz 9 arccos 1 Ilulliivil A validade dessa formula foi garantida porque seguia da desigualdade de Cauchy Schwarz Teorema 324 que uv l 1 2 Iull lvl 0 que se exige para definir a funcao arco cosseno A generalizacao seguinte do Teorema 324 nos permite definir o Angulo entre dois vetores em qualquer espago com produto interno real TEOREMA 621 Desigualdade de CauchySchwarz Se ue v forem vetores num espaco com produto interno real V entado u v ffull lvl 3 Prova Antes de comegar advertimos 0 leitor que a prova dada aqui depende de um tru que que nao é facil de motivar No caso em que u 0 os dois lados de 3 so iguais pois u v e lul sao ambos nulos Logo basta considerar 0 caso em que u 0 Com essa hipétese sejam auu b2uv c vv e fum numero real qualquer Como 0 axioma da positividade afirma que 0 produto interno de qualquer vetor por ele mesmo é sempre nao negativo segue que 0 tuvtuv u ur 2u vt Vv v at btc Essa desigualdade implica que o polinédmio quadratico at bt c nao tem raiz real ou tem uma raiz real dupla Portanto seu discriminante deve satisfazer a desigualdade b 4ac 0 Expressando os coeficientes a b e c em termos dos vetores ue v resulta 4u v Au u v v 0 ou equivalentemente u v u u v Extraindo a raiz quadrada em ambos os lados e usando 0 fato que u u e Vv v sao nao negativos obtemos u v u u v v ou equivalentemente u v ful v completando aprova 346 Algebra Linear com Aplicacdes E titil conhecer as duas formas alternativas seguintes da desigualdade de Cauchy Schwarz u v uu v v 4 2 2 2 uv lall Ilvil 5 A primeira dessas formulas foi obtida na prova do Teorema 621 e a segunda é uma va riagao da primeira A ngulo entre vetores Nosso pr6ximo objetivo é definir o que significa Angulo entre vetores num espaco com produto interno real Como um primeiro passo deixamos para 0 leitor usar a desigualdade de CauchySchwarz para mostrar que uv l uv 1 6 ilulliivll Em vista disso existe um Unico angulo 0 em radianos com o qual uv cosa 5 goer 7 ulliivil Figura 621 Isso nos permite definir 0 dngulo 0 entre ue v como u Vv 6 arccos 8 lull lvl y 1 0 7 F 5 7 3a 27 2 3a 1 Figura 621 Cosseno de um Angulo entre dois vetores em R Tomando em R o produto interno euclidiano encontre 0 cosseno do angulo entre os vetores u 4 3 1 2 ev 2 1 2 3 Solugao Deixamos para 0 leitor verificar que jul V30 lvl V18 e uv 9 do que segue que uv 9 3 cosg EM Iu Iv V30V 18 215 Propriedades de comprimento Na Secao 32 usamos 0 produto escalar para estender as nogdes de comprimento e distancia e distancia em espacos com ao R e mostramos que varios teoremas conhecidos permaneceram validos ver Teoremas produto interno arbitraérios 325 326 e 327 Com ajustes minimos nas provas daqueles teoremas podemos mostrar que eles permanecem validos em quaisquer espacos com produtos internos reais Por exem plo temos a generalizagado seguinte do Teorema 325 relativo 4 desigualdade triangular TEOREMA 622 Seu ve w forem vetores num espaco com produto interno real entdo a fu vl Slull Ilvll Desigualdade triangular de vetores b dtu v du w dw v Desigualdade triangular de distancias 62 Angulo e ortogonalidade em espacos com produto interno 347 Prova a ju vi uvuyv u u 2u v Vv v u u 2u v v Vv Propriedade do valor absoluto u u 2ullv v v Por 3 jull 2ulliivil ivi lull Ilvll Extraindo a raiz quadrada obtemos u y ul vll Prova b Idéntica a prova da parte b do Teorema 325 4 Embora 0 Exemplo seja um exercicio matematico util s6 ha ocasionalmente a necessi Ortogonalidade dade de calcular Angulos em espagos vetoriais distintos de ReRUm problema de maior interesse em todos os espagos com produtos internos arbitrarios é determinar se o 4ngulo entre dois vetores é 772 A partir da Formula 8 podemos ver que se u e v forem dois vetores nao nulos entéo o angulo entre eles é 0 72 se e s6 se u v 0 Em vista disso apresentamos a definigaéo seguinte que pode ser aplicada mesmo se um dos vetores ou ambos for nulo DEFINICAQ 1 Dizemos que dois vetores u e v de um espaco com produto interno sao ortogonais se u Vv 0 Como mostra 0 proximo exemplo a ortogonalidade depende do produto interno pois num mesmo espao vetorial dois vetores podem ser ortogonais em relagao a um produto interno mas nao em relag4o a um outro A ortogonalidade depende do produto interno Os vetores u 1 1 e v 1 1 sao ortogonais em relacgdo ao produto interno eucli diano em R pois uv 11 Uy 0 Contudo nao s4o ortogonais em relacgao ao produto interno euclidiano ponderado u v 3uv 2uv pois u v 31 2011 1 0 Vetores ortogonais em M Tomando em M 0 produto interno do Exemplo 6 da segao precedente as matrizes y 1 0 V 0 2 e 1 1 0 0 sao ortogonais pois U V 10 02 10 10 0 Vetores ortogonais em P REQUER CALCULO Consideremos em P 0 produto interno 1 Pp q Pxqx dx 1 348 Algebra Linear com Aplicacdes esejam p xeqg x Entio 1 12 1 12 2 Ipll p p vvds x ax p2 1 1 1 12 l 12 2 llall 44 vxdx x ax 2 l 1 5 1 1 iva xv dx x dx 0 1 l Como p q 0 os vetores p xe q x sdo ortogonais em relaao ao produto interno dado 4 Na Seco 33 provamos o teorema de Pitagoras para vetores no espaco euclidiano de dimensfo n O proximo teorema estende esse resultado a vetores em qualquer espago com produto interno real TEOREMA 623 Teorema de Pitagoras generalizado Se ue v forem vetores ortogonais num espaco com produto interno entdo lla viP llull IvIP Prova A ortogonalidade de ue v implica u v 0 e portanto lJu vil uvuy ljul 2u v lvl lull Iv 4 REQUER CALCULO O teorema de Pitagoras em P No Exemplo 4 mostramos que p xe q x sitio ortogonais em relagao ao produto interno 1 wa f poacras 1 em P Segue do Teorema 623 que lIp all Ilpl llall Assim pelas contas feitas no Exemplo 4 temos 2 2 Ip ql 2 2 242 Pra V3 5 3 5 15 Podemos verificar esse resultado diretamente por integragao como segue 1 Ip ql pqpq xxOxx dx 1 1 1 1 2 2 16 vax2f vax xdx04l2 1 l 3 5 15 Complementos ortogonais Na Segao 48 definimos a nogao de complemento ortogonal para subespagos de Re usamos aquela definigdo para estabelecer uma relagéo geométrica entre os espacos fun 62 Angulo e ortogonalidade em espacos com produto interno 349 damentais de uma matriz A definicgao seguinte estende essa nogdo para espacgos com produto interno arbitrarios DEFINICAO 2 Se W for um subespaco de um espaco com produto interno V entao o conjunto de todos os vetores em V que sao ortogonais a cada vetor em W é denominado L complemento ortogonal de We denotado por W No Teorema 488 enunciamos trés propriedades do complemento ortogonal em R O teorema seguinte generaliza as partes a e b daquele teorema para espacos com pro duto interno arbitrarios TEOREMA 624 Se W for um subespaco de um espaco com produto interno V entao a W éum subespaco de V b WOW 0 Prova a Oconjunto W contém pelo menos o vetor nulo pois 0 w 0 com qual quer vetor w em W Assim resta mostrar que W é fechado na adic4o e na multiplicagao por escalar Para ver isso suponha que u e v sejam vetores em W de modo que dado qualquer w em W temos u w Oe v w 0 Segue dos axiomas de aditividade e homogeneidade de produtos internos que uv w u w vw 000 au w au w a0 0 provando que u ve auestaio em w Prova b Se v for qualquer vetor em ambos W e W entao v é ortogonal a si mesmo ou seja v v 0 Segue do axioma da positividade de produtos internos quaev 0 O préximo teorema que enunciamos sem prova generaliza a parte c do Teorema 488 Observe entretanto que esse teorema s6 pode ser aplicado a espacos vetoriais com produto interno de dimensao finita ao passo que 0 Teorema 488 n4o teM CSSA TEStIGAO O Teorema 625 implica que os complementos ortogonais em TEOREMA625 Se W for um subespaco de um espaco com produto interno de dimen espagos com produto interno de sdo finita V entéio o complemento ortogonal de W é W ou seja dirriensao finite ocome ti 20s pas res cada um sendo ortogonal ao W W outro Figura 622 No nosso estudo dos espacos fundamentas de uma matriz na Sec4o 48 mostramos que w os espacos linha e nulo de uma matriz sao complementos ortogonais em relagdo ao produto interno euclidiano em R Teorema 489 O exemplo a seguir usa essa informacao Ww Uma base de um complemento ortogonal Seja W o subespaco de R gerado pelos vetores Ww 13 2 0 2 0 Ww 2 6 5 2 4 3 w 0 05 100 15 w 2 6 0 8 4 18 Figura 622 Cada vetor em W 6 ortogonal a cada vetor Encontre uma base do complemento ortogonal de W em W e viceversa 350 Algebra Linear com Aplicacdes Solugao Oespaco W é igual ao espaco linha da matriz 1 32 0 2 0 A 2 6 5 2 4 3 10 0 5 10 0 15 2 6 0 8 4 18 Como o espaco nulo de A é um complemento ortogonal do espaco linha de A nosso problema se reduz a encontrar uma base do espaco nulo dessa matriz No Exemplo 4 da Secdo 47 mostramos que 3 4 2 1 0 0 0 2 0 oop 2 ap 9 0 0 1 0 0 0 formam uma base desse espaco nulo Expressando esses vetores em notagao com virgulas para combinar com a notaao de w w W W obtemos os vetores de base vi 3 1 0 0 0 0 v 4 0 2 1 0 0 V3 2 0 0 0 1 0 O leitor pode querer conferir que esses vetores so ortogonais a w W W W calculando os produtos escalares necessarios 4 Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Desigualdade de CauchySchwarz e Encontrar o angulo entre dois vetores num espacgo com e Angulo entre vetores produto interno e Vetores ortogonais e Determinar se dois vetores num espaco com produto interno sao ortogonais e Complemento ortogonal e Encontrar uma base do complemento ortogonal de um subespaco de um espaco com produto interno Conjunto de exercicios 62 1 Considere R R e R com o produto interno euclidiano Em 3 Considere M com o produto interno do Exemplo 6 da Segao cada parte encontre o cosseno do Angulo entre ue v 61 Em cada parte encontre o cosseno do angulo entre A e B 1 3 24 2 6 32 a u vV24 a 8 b u10 v8 1 3 1 0 c u152 v 24 9 2 4 3 1 b A B d u418 v0 3 1 3 4 2 ce u 10 10 v 3 3 3 3 4 Em cada parte determine se os vetores dados sao ortogonais f u2171 v 40 0 0 em relacAo ao produto interno euclidiano 2 Considere P com o produto interno do Exemplo 7 da Seao a u132 v 42 1 61 Em cada parte encontre o cosseno do Angulo entre p e q b u2 22 v11 2 p aT Set 2x qs 24 ax 9x U Hj 4 000 b pxx q7 3x4 3x d u46101 v 21 29 62 Angulo e ortogonalidade em espacos com produto interno 351 e u 03 21 v52 1 0 Nos Exercicios 1415 suponha que R tenha o produto inter f uab vba no euclidiano 5 Mostre que p 1 x 2x q 2x x sio ortogonais em 14 Seja Wa reta em R de equacao y 2x Obtenha uma equaciio relacdo ao produto interno do Exercicio 2 para W 6 Seja 15 a Seja Wo plano em R de equacao x 2y 3z 0 Obte nha equagées paramétricas de W A 4 b Seja Wa reta em R de equagdes paramétricas x2t yS5t z4t Em cada parte verifique se a matriz dada é ortogonal a A em relac4o ao produto interno do Exercicio 3 Obtenha uma equacio de W a 3 0 b 1 1 c Seja Wa intersecdo dos dois planos 0 2 0 1l xtyz0 e xyz0 0 0 2 1 c 0 0 d 5 2 em R Obtenha uma equaciio de W 16 Em cada parte encontre uma base do complemento ortogonal 7 Verifique se existem escalares k e tais que os vetores do subespaco de R gerado pelos vetores dados u 2 k 6V 5 3ew a 2 3 sejam mutuamente a v113 4 644 v7 62 ortogonais em relagao ao produto interno euclidiano 501 402 8 Suponha que R tenha o produto interno euclidiano e conside 6 w 20D m 40 2 reu 1 1 1e v 6 7 15 Encontre um valor de a v 45 2 v 21 30 v 1 32 2 com 0 qual au v 13 d v 1 4569 v 3 2 14 D 9 Suponha que R tenha o produto interno euclidiano Em cada v3 10 1 21 vy 2 35 7 8 parte encontre os valores de k com os quais os vetores u e V 17 Seja V um espaco com produto interno Mostre que se ue v sao ortogonais forem vetores unitarios ortogonais em V entao u v 2 a u213 v74 18 Seja V um espago com produto interno Mostre que se w for b ukk 1 vk56 ortogonal a ambos u e u entdo w é ortogonal a ku ku 10 Suponha que R tenha o produto interno euclidiano Encontre quaisquer que sejam os escalares k Interprete esse resul P q ok P tado geometricamente no caso em que V for R como produto dois vetores unitdrios que sejam ortogonais a cada um dos trés interno euclidiano vetores u 2 1 4 0 v 1 1 2 2e w 3 25 4 19 Sea V 4 M f t te ti 11 Em cada parte verifique a validade da desigualdade de ee onal a cagka ane done orecu a a wiito w é a CauchySchwarz para os vetores dados usando o produto in s lacad poeesene terno euclidiano togonal a cada vetor em gerU U U 32 41 20 Seja v VV uma base de um espago com produto a uG2 v 4 1 interno V Mostre que o vetor nulo é 0 tinico vetor em V que é b u310 v 13 ortogonal a cada um dos vetores da base c u421 v 8 4 2 21 Seja w w Ww uma base de algum subespago W de d u0221 v111 V Mostre que W consiste em todos os vetores de V que sao 12 Em cada parte verifique a validade da desigualdade de Cau ortogonais a cada um dos vetores da base chySchwarz para os vetores dados 22 Prove a generalizacgdo do Teorema 623 a seguir Se a u 2 1e v 1 0 usando o produto interno do V V V forem vetores dois a dois ortogonais de um es Exemplo IdaS ecdo 6 1 pago com produto interno V entiao l 2 1 O vi tv ttviP Id Iie tee Id b U 6 4 e V usando o produto in Ini Fv I vill Ivall i 23 Prove se ue v forem matrizes n X e A uma matrizn X n terno do Exemplo 6 da Secao 61 entiio c p12xx eq 2 4 usando 0 produto in bor hor hor terno dado no Exemplo 7 da Secio 61 vA Au WA Aujv AAy 4 4 13 Suponha que R tenha o p roduto interno euclidiano seya 24 Use a desigualdade de CauchySchwarz para provar que da u 1 1 0 2 Determine se 0 vetor u é ortogonal ao dos quaisquer valores reais de a be 6 vale subespaco gerado pelos vetores w 1 1 3 Oe w 4 0 9 2 acosbsenéy Sa b 352 Algebra Linear com Aplicacées 25 Prove se W W W forem nimeros reais positivos e se 1 2 1 1 U Uy UU V U UU forem dois vetores a Sxgx 7 fx 7 gx ix quaisquer em R entao W UjUy Way WUU 2 m 2 b wy wy wu wv ww w0 b fay eYdx Pay dx 12 26 Mostre que vale a igualdade na desigualdade de Cauchy 2 ae gx dx Schwarz se e s6 se u e Vv sao linearmente independentes 0 27 Use métodos vetorials para p Tovar que sempre retangulo Sugestdo use a desigualdade de CauchySchwarz qualquer triangulo inscrito num circulo de tal modo que um de seus lados seja um didmetro Sugestdo expresse os veto 30 Requer Calculo Suponha que C0 77 tenha o produto interno res ABe BC da figura dada em termos de ue v fg fagx dx 0 B e sejaf cos nx n 0 1 2 Mostre que se k I entao f e f sio vetores ortogonais 31 a Seja Wareta y x num sistema de coordenadas xy de R Descreva 0 subespaco W A Cc v Figura Ex27 b Seja Wo eixo y num sistema de coordenadas xyz de R Descreva 0 subespaco W c Seja Wo plano yz num sistema de coordenadas xyz de R 28 Os vetores u 1 3ev 1 V3 indicados na figura Descreva 0 subespaco W dada tém norma 2 e 0 Angulo de 60 entre eles em relagado eas a 32 Prove que a Formula 4 é valida com quaisquer vetores u e v ao produto interno euclidiano Encontre um produto interno i num espaco com produto interno V euclidiano ponderado em relacao ao qual u e v sejam vetores unitarlos Ortogonals Exercicios verdadeirofalso Nas partes af determine se a afirmagao é verdadeira ou falsa y justificando sua resposta C1 V3 1 V3 a Seu for ortogonal a cada vetor de algum subespaco W R a7 entéo u 0 x b Seu for um vetor em ambos We W entio u 0 2 c Se ue v forem vetores em W entio u v é um vetor em W d Seu for um vetor em W e a um ntimero real entdo au é Figura Ex28 um vetor em W e Se ue v forem ortogonais ento u v ull IvI 29 Requer Calculo Sejam fx e gx funcdes contfnuas em 0 f Se ue v forem ortogonais entao u v lull IvIl 1 Prove 63 Processo de GramSchmidt decomposicgao QR Em muitos problemas envolvendo espagos vetoriais temos a liberdade de escolher qualquer base para 0 espago vetorial que nos parega apropriada Em espagos com produto interno a solugao de um problema muitas vezes é simplificada enormemente pela escolha de uma base na qual os vetores sejam ortogonais entre si Nesta segao mostramos como obter tais bases Conjuntos ortogonais e Na Segao 62 j4 definimos que dois vetores num espaco com produto interno sao ortogo ortonormais nais se seu produto interno for nulo A préxima definiao estende a nogao de ortogonali dade a conjuntos de vetores num espacgo com produto interno 63 Processo de GramSchmidt decomposicao QR 353 DEFINIGAO 1 Dizemos que um conjunto de dois ou mais vetores num espaco com produto interno real é ortogonal se quaisquer dois vetores distintos do conjunto forem ortogonais Um conjunto ortogonal no qual cada vetor tem norma é dito ortonormal Um conjunto ortogonal em R Sejam U 0 1 0 u d 0 1 Uu d 0 1 e suponha que R tenha o produto interno euclidiano Entéo o conjunto de vetores S u u u é ortogonal pois u u u U Uu0 4 Se v for um vetor nao nulo num espacgo com produto interno entao segue do Teorema 611b com k v que 1 1 1 TY ly lvl 7 Iv 1 IIvll IIvll IIvll do que concluimos que multiplicar um vetor nao nulo pelo recfproco de sua norma sempre produz um vetor unitario Esse processo é denominado normalizacao de v Decorre disso que qualquer conjunto ortogonal de vetores ndo nulos pode ser convertido num conjunto ortonormal normalizando cada um de seus vetores Construindo um conjunto ortonormal As normas euclidianas dos vetores do Exemplo sao Jui 1 ul V2 jusl V2 Consequentemente a normalizacdo de u u e u fornece u u 1 1 v 0 10 m n BOG ilu ilu V2 2 u 1 1 Vv 0 Ilus J2 V2 Deixamos para 0 leitor verificar que 0 conjunto S v V V ortonormal mostrando que Vj Vo V1 V3 Vo V3 O e lvl Ilvoll Ilvsll1 4 Dois vetores nao nulos perpendiculares quaisquer em R sao linearmente indepen dentes pois nenhum deles é um miltiplo escalar do outro e em R trés vetores nado nulos mutuamente perpendiculares quaisquer sao linearmente independentes porque nenhum desses vetores esta no plano dos outros dois e portanto nao é alguma combinagao dos outros dois Essas observag6es sao generalizadas no teorema seguinte TEOREMA 631 Se S V5 V for um conjunto ortogonal de vetores nado nulos num espaco com produto interno entdo S é linearmente independente Prova Suponha que kv kvkv 0 1 Para demonstrar que S v V V linearmente independente devemos provar quek k k0 354 Algebra Linear com Aplicacées Dado qualquer v em S segue de 1 que kv kv kv v 0 v 0 ou equivalentemente que Kiv Vi kv2 Vi 4 V V 0 Pela ortogonalidade de S decorre que v v 0 comj i de modo que essa equagao reduzida a kvV 90 Como os vetores em S sdo nao nulos por hipdtesesegue do axioma de positividade dos produtos internos que vi vi 0 Assim a equacao precedente implica que cada k na Equagao 1 é zero que é o que querfamos provar 4 Num espaco com produto interno uma base consistindo em vetores ortonormais é de Como todo conjunto ortonormal Lo o nominada base ortonormal e uma base consistindo em vetores ortogonais é denominada é ortogonal e como seus vetores h LU lo familiar de b léab snica de R Pea atoetrertnerntmiteee ase ortogona Um exemplo familiar de base ortonormal é a base canGnica de R com o gue do Teorema 631 que todo produto interno euclidiano a saber conjunto ortonormal linear e 1000 e0100 e001 mente independente Uma base ortonormal No Exemplo 2 mostramos que os vetores 0 1 0 vy 010 v 0 e v0 v2 V2 v2 V2 formam um conjunto ortonormal em relagdo ao produto interno euclidiano de R Pelo Teorema 631 esses vetores formam um conjunto linearmente independente e como R tem dimensdo 3 segue do Teorema 454 que S v V5 V uma base ortonormal de R Coordenadas em relacdo a Uma maneira de expressar um vetor u como uma combinagao linear dos vetores de uma bases ortonormais base SvVV é converter a equagao vetorial uCV 6V V num sistema linear e resolver para os coeficientes c C c Contudo se a base for or togonal ou ortonormal o proximo teorema mostra que os coeficientes podem ser obtidos de uma maneira mais simples calculando certos produtos internos apropriados TEOREMA 632 a Se S v VV for uma base ortogonal de um espaco com produto interno V eu for um vetor qualquer em V entado u V u V5 u v us avi tt y lv I Ilva lv I 2 b Se S v V V for uma base ortonormal de um espago com produto in terno V eu for um vetor qualquer em V entdo u u VVv U Vv U Vv 3 63 Processo de GramSchmidt decomposicao QR 355 Provaa ComoS vvV uma base de V qualquer vetor u em V pode ser escrito na forma UCV 6V YV Vamos completar a prova mostrando que u v c we 4 Ilv II com i 1 2 Para isso observe primeiro que u Vi cV CyVy uc CVn v VV C9 V9 V2 Fee 6 V5 Vi Como S é um conjunto ortogonal todos os produtos internos na Ultima igualdade sao nulos exceto o iésimo portanto 2 u v v Vv lvl Resolvendo essa equacao para c obtemos 4 o que completa a prova Prova b Nesse caso v v lv 1 de modo que a Formula 2 simpli fica e resulta na Formula 3 Usando a terminologia e a notacao da Definigao 2 da Secao 44 segue do Teorema 632 que o vetor de coordenadas de um vetor u em V em relacgdo a uma base ortogonal S vVV uv U v5 u v ys BAe Ee Be 5 Iv live IIV Il e em relagdo a uma base ortonormal S v VV u u V U V2 U V 6 Um vetor de coordenadas em relagao a uma base ortonormal Sejam 4 9 3 3 9 4 v 0 10 v 0 3 v 30 9 E facil verificar que S v V V uma base ortonormal de R com o produto interno euclidiano Escreva 0 vetor u 1 1 1 como uma combinagao linear dos vetores em S e encontre o vetor de coordenadas u Solugao Deixamos para o leitor verificar que 1 7 uyv1 uvZ e UV3 Portanto pelo Teorema 632 obtemos uv iv ty ou seja 174 4 3 13 9 4 qd 1 1 0 1 0 33 0 3 22 0 9 Assim 0 vetor de coordenadas de u em relagao a S é 17 us u Vv u V u v 1 35 9 356 Algebra Linear com Aplicacdes Uma base ortonormal a partir de uma base ortogonal a Mostre que os vetores Ww 0 2 0 Ww 3 0 3 Ww 4 0 4 formam uma base ortogonal de R com o produto interno euclidiano e use essa base para encontrar uma base ortonormal normalizando cada vetor b Expresse o vetor u 1 2 4 como uma combinagao linear dos vetores da base orto normal obtida na parte a Solugao a Os vetores dados formam um conjunto ortogonal pois WW 0 WW3 0 W2 W3 0 Segue do Teorema 631 que esses vetores sao linearmente independentes e portanto for mam uma base de R pelo Teorema 454 Deixamos a cargo do leitor calcular as normas de w w e w e obter a base ortonormal Ww Ww 1 1 vy 019 W II Il hws V2 2 w 1 1 w 404 II w5 ll V2 2 Solugdo b Segue da Formula 3 que u uVVv U VVv U VV Deixamos a cargo do leitor conformar que uv 1 24 0 10 2 1 1 5 u v 1 24 0 V2 V2 2 tury 02 502 u Vv 7 81 TE Us TE V2 V2 V2 e portanto que 1 24 20 10 0 5 5 0 J2 J2 J2 J2 J2 J2 Projegdes ortogonais Muitos problemas nas aplicag6es sao melhor resolvidos trabalhando com vetores de bases ortogonais ou ortonormais Geralmente essas bases sao encontradas convertendo alguma base simples digamos uma base canénica numa base ortogonal ou ortonormal Para explicar exatamente como isso é feito precisamos de algumas ideias preliminares sobre projegdes ortogonais Na Secao 33 provamos um resultado que denominamos Teorema da Projedo ver Teorema 332 que trata do problema de decompor algum vetor u em R na soma de dois vetores W W em que w a projecdo ortogonal de u sobre algum vetor nao nulo a e w ortogonal a w Figura 332 Aquele resultado é um caso especial do teorema mais geral a seguir TEOREMA 633 Teorema da projecgao Se W for um subespaco de dimensdo finita de um espaco com produto interno V entdo cada vetor u em V pode ser expresso de maneira unica como uwtw 7 em que w é um vetor em We w é um vetor em W 63 Processo de GramSchmidt decomposicao QR 357 Os vetores w e w na Formula 7 costumam ser denotados por we W projyu e W projyuU 8 e denominados projegao ortogonal de uem W e projecao ortogonal de u em W respec u woh u tivamente O vetor w também denominado componente de u ortogonal a W Usando a mw notaao em 8 podemos reescrever a Férmula 7 como 0 proj u u projU projyu 9 W Figura 631 Figura 631 Além disso como projyu u proj u também podemos escrever a Férmula 9 como u proj u u proj U 10 O proximo teorema fornece férmulas para calcular projegdes ortogonais TEOREMA 634 Seja W um subespaco de dimensdo finita de um espaco com produto interno V a Se V VV for uma base ortogonal de W e u um vetor qualquer em V entdo u v u V u V projy w zV ZV v 11 ve tiv llvoll lv 1I b Se v VV for uma base ortonormal de W e u um vetor qualquer em V entao proj u u vv u vv U Y Vv 12 Provaa Segue do Teorema 633 que o vetor u pode ser escrito na forma u w wem que w projy u um vetor em We w um vetor em W e segue do Teorema 632 que 0 componente proj U w pode ser expresso em termos dos vetores da base de W como wVv wV wV projy uw ey 4 Mwy yg Mwy 13 IIv Il IIv II llv Il Como w é ortogonal a W segue que W5 V W V2 W v 0 de modo que podemos reescrever 13 como wwV w wVv w wV projy usw Naty Oi Methy yg ty IIv Il II v2 I Ilv I ou equivalentemente como u v u v u v projy Uw ZV ZV ZV liv live lv ll Prova b Nesse caso v lv lv 1 de modo que a Férmula 13 sim plifica e resulta a Formula 12 4 Calculando projegdes Suponha que R tenhao produto interno euclidiano e que W seja 0 subespaco gerado pelos vetores ortonormais v 0 1 0e v2 3 0 2 Pela Férmula 12 a projecao orto gonal de u 11 1em Wé projy u uUVVv U VV 10 1 0 4 4 0 2 18 25 0 25 358 Algebra Linear com Aplicacdes O componente de u ortogonal a W é 4 3 21 28 projy u uproj u 11 1 4 1 9 Observe que projy u é ortogonal a ambos v e v de modo que esse vetor ortogonal a cada vetor no espaco W gerado por v e v como deveria ser 4 Uma interpretagao Se W for um espago unidimensional de um espago com produto interno V digamos geométrica da projegao gera entao a Formula 11 s6 tem uma parcela ortogonal u a proj u a lla No caso especial em que V for R como produto interno euclidiano essa é exatamente a Formula 10 da Seao 33 para a projecdo ortogonal de u sobre a Isso sugere que pode mos pensar em 11 como a soma das projeg6es ortogonais sobre os eixos determinados pelos vetores da base do subespago W Figura 632 u fo projyu 2 Vo Vo oN 0 Sb projyu W projy u Figura 632 I O processo de Vimos que as bases ortonormais exibem uma variedade de propriedades titeis Nosso pr6 GramSchmidt ximo teorema que é o resultado principal desta segao mostra que cada espaco vetorial nao nulo de dimensao finita possui alguma base ortonormal A prova desse resultado é extremamente importante ja que fornece um algoritmo ou método para converter uma base arbitrdria numa base ortonormal TEOREMA 635 Cada espaco vetorial ndo nulo de dimensdo finita possui alguma base ortonormal Prova Seja Wum subespao nao nulo de dimensao finita de algum espaco com produto interno e suponha que u u u seja alguma base de W E suficiente mostrar que W tem uma base ortogonal pois os vetores dessa base podem ser normalizados para pro duzir uma base ortonormal A sequéncia de passos a seguir produz uma base ortogonal V VoV de W Passo 1 Sejav u Vy Uy PrOjy Uy Passo 2 Conforme ilustrado na Figura 633 podemos obter um vetor v ortogonal a v tomando o componente de u ortogonal ao espaco W gerado por v Usando a Férmu u 2 la 11 para fazer essa conta obtemos w u V vy PIO y Uo V U projy Uy Uy iv 2 v 1 Figura 633 2 E claro que se v 0 entao v nao é um vetor de base Mas isso nao pode ocorrer pois entao decorreria da f6rmula acima para v que u Uy i U YD 250 TV IIv lI ilu II 0 que implica que u um miultiplo de u contradizendo a independéncia linear da base S uUU 63 Processo de GramSchmidt decomposicao QR 359 Passo 3 Para construir um vetor v que seja ortogonal a ambos V e v calculamos o V3 Us PIOjyUs componente de u ortogonal ao espaco W gerado por Vv e v Figura 634 Usando a Zz NX Férmula 11 para fazer essa conta obtemos Vv U projy u U UsVi MWs Va y 3 7 Wy 3 3 2 1 2 2 II Il IIv ll ve La v W Como no Passo 2 a independéncia linear de u u u garante que v 0 Deixamos os detalhes para o leitor ProjyUs Passo 4 Para determinar um vetor v que seja ortogonal a v v V3 calculamos 0 com Figura 634 ponente de u ortogonal ao espaco W gerado por v Vv e v Por 11 Vv U projy u u Wa Vi y Us Va y Was Vs y 4 4 We 4 gD 3 3 Ilv lI II II IIv5 I Continuando dessa maneira depois de r passos obtemos um conjunto ortogonal de vetores V V Como conjuntos ortogonais sao linearmente independentes esse conjunto uma base ortogonal do espaco W de dimensao r Normalizando os vetores da base obtemos uma base ortonormal A construao passo a passo para de uma base ortogonal ou ortonormal dada na prova precedente é denominada processo de GramSchmidt Para referéncia futura apre sentamos um resumo dessa construcao Processo de GramSchmidt Para converter uma base u U u numa base ortogonal V V5 v efetue as seguintes contas Passol v u u V Passo 2 vy u sv IIv ll us V Us V Passo 3 Vv U ay ay IIv Il IIv II uy V Uy V u V3 Passo 4 V Uy Tv Sv vy IIv lI II Vo I II5 I continue até r passos Passo opcional Para converter a base ortogonal numa base ortonormal q qq normalize os vetores da base ortogonal Usando o processo de GramSchmidt Considere 0 espaco vetorial R com o produto interno euclidiano Aplique 0 processo de GramSchmidt para transformar os vetores de base u d 1 1 Uu 0 1 1 U 0 0 1 em uma base ortogonal v v5 V depois normalize os vetores da base ortogonal para obter uma base ortonormal q q q3 Soluado Passol vu 11 u V Passo 2 Y u PrOy u u Wie 0 1 1 11 211 3 b 3 eT 3 3 360 Algebra Linear com Aplicacdes u V u V5 Passo 3 V U prOjw U U Twat Wwe 1 2 1 13 211 0 0 1d 1 lz THA 3 23 33 3 1 1 0 TFA 2 2 Assim 211 1 1 vi 11 1 Y 3 373 y 0555 formam uma base ortogonal de R As normas desses vetores sao J6 1 Iv l V3 Ile a7 IMll Va 34 de modo que uma base ortonormal de R é Vv 1 1 1 vy 2 1 1 q a 37 eo Q FS 5 Fo Fe IIv ll V3 V3 V3 IIV Il V6 V6 V6 V 1 1 w 25 0 IIv5 I V2 V2 Observacao No exemplo precedente normalizamos no final para converter a base ortogonal numa base ortonormal Alternativamente poderfamos normalizar cada vetor da base ortogonal a medida que vai sendo obtido produzindo com isso uma base ortonormal passo a passo No entanto com contas feitas a mao esse método geralmente tem a desvantagem de produzir mais raizes qua dradas para contabilizar Uma variacao mais util é alterar a escala dos vetores da base ortogonal a cada passo para eliminar algumas das fracgdes Por exemplo depois do Passo 2 acima poderiamos ter multiplicado o vetor por 3 para produzir 2 1 1 como segundo vetor da base e com isso simplificar as contas do Passo 3 Nota historica Schmidt foi um matematico alemo que estudou para seu dou torado na Universidade de Géttingen orientado por David Hilbert um dos gi gantes da Matematica moderna Durante a maior parte de sua vida lecionou na Universidade de Berlim onde além de fazer importantes contribuig6es em uma iy a variedade de areas da Matematica conseguiu moldar algumas das ideias de N s noe eS Hilbert num unico conceito abrangente denominado espao de Hilbert que é fundamental no estudo de espaos vetoriais de dimensAo infinita Ele descreveu i rs primeiramente o processo que leva seu nome num trabalho sobre equagdes Ry integrais que ele publicou em 1907 j oy Imagem Arquivos do Mathematisches Forschungsinstitut 4 Nota historica Gram foi um atuario dinamarqués cuja educaao elementar foi a obtida em escolas de aldeias e suplementada com tutoria particular Ele obteve Erhardt Schmidt Jorgen Pederson Gram o grau de Doutor em Matematica enquanto trabalhava na Companhia Hafnia de 18751959 18501916 Seguros de Vida onde se especializou na matematica de seguros de acidentes Foi em sua tese que ele formulou suas contribuigdes ao processo de Gram Schmidt Mais tarde Gram passou a interessarse por Matematica abstrata e recebeu uma medalha de ouro da Sociedade Real Dinamarquesa de Ciéncias e Letras em reconhecimento pelo seu trabalho No entanto seu interesse pelas aplicagées da Matematica nunca diminuiu tendo produzido uma variedade de tratados sobre administracao florestal dinamarquesa Imagem Wikipedia 63 Processo de GramSchmidt decomposicao QR 361 Polinédmios de Legendre REQUER CALCULO Consideremos 0 espao vetorial P com o produto interno 1 Pp q Pxqx dx 1 Aplique 0 processo de GramSchmidt para transformar a base can6nica 1 x x de P numa base ortonormal x 6x 6x Solugéo Tomemos u 1 u xeu x Passol vu1 Passo 2 Temos l u V xdx 0 1 portanto 2 2 Ilv 1 2 Passo 3 Temos 1 ay x 2 uV x dx 37 V1 4 3 3 1 1 aq 3 x u V x dx 0 1 4 1 1 l llv II vv ldx 2 1 4 portanto vu U3 Vi U3 Vo x 1 U7 FTV TU X Ta SW wa 3 Assim obtivemos a base ortogonal x x 63x sendo 1 2 P1 bx OQ x 3 Observacao Os vetores da base ortogonal do exemplo precedente costumam ter sua escala alte rada de tal forma que todos tém o valor 1 em x 1 0 que nao altera sua ortogonalidade Os poli ndmios resultantes 1 x 1 xX 5 Ox que sao conhecidos como polinémios de Legendre desempenham um papel importante numa va riedade de aplicagGes Na parte b do Teorema 455 vimos que todo conjunto linearmente independente deum Estendendo conjuntos espaco vetorial de dimensado finita pode ser estendido até uma base pela adigao de vetores ortonormais a bases convenientes O teorema seguinte é o andlogo daquele resultado para conjuntos ortogo ortonormais nais e ortonormais em espacos com produto interno de dimensaAo finita 362 Algebra Linear com Aplicacées TEOREMA 636 Seja W um espaco com produto interno de dimensdo finita a Qualquer conjunto ortogonal de vetores nado nulos em W pode ser ampliado para uma base ortogonal de W b Qualquer conjunto ortonormal em W pode ser ampliado para uma base ortonor mal de W Provamos a parte b deixando a parte a como exercicio Prova b Suponha que S v V5 V Seja um conjunto ortonormal de vetores em W Pela parte b do Teorema 455 podemos aumentar S até alguma base S Vi Van Veo Vat ees Vad de W Aplicando o processo de GramSchmidt ao conjunto S os vetores V V V nao serao afetados pois ja so ortonormais e 0 conjunto SY Vj Va25Vy5 Vint Vet resultante sera uma base ortonormal deW OPCIONAL Um algoritmo que tem por base o processo de GramSchmidt conhecido como decom Decomposicaéo QR posigao QR tem alcangado nos tltimos anos importancia crescente como o fundamento matematico de uma variedade de algoritmos numéricos inclusive os de calcular autovalo res de matrizes grandes Os aspectos técnicos desses algoritmos sao discutidos em livros especializados nos aspectos numéricos da Algebra Linear mas aqui podemos discutir algumas das ideias subjacentes Comegamos com 0 seguinte problema Problema Se A for uma matriz n n com vetores coluna linearmente independentes e se Q for a matriz que resulta aplicando o processo de GramSchmidt aos vetores co luna de A qual relacgdo existe entre A e Q se é que ha alguma Para resolver esse problema suponha que os vetores coluna de A sejam U U U e que os vetores coluna ortonormais de Q sejam q q q Assim A e Q podem ser escritas em bloco como AuJuul e QIqa al al Segue do Teorema 632 que u u U podem ser escritos em termos dos vetores q qq como u u qq U qq UL q 4 u Uqq Uqq Uy qq u U44 U Goq U 44 No Exemplo 9 da Secao 13 vimos que o jésimo vetor coluna de um produto matricial uma combinagao linear dos vetores coluna do primeiro fator com os coeficientes vindos da jésima coluna do segundo fator Decorre que essas relagdes podem ser expressas em forma matricial por u4 Uq U4 u Qo u q sce u luu ullq lq 4 u q U q i u q 63 Processo de GramSchmidt decomposicao QR 363 ou mais concisamente por AQR 14 em que R é o segundo fator no produto No entanto é uma propriedade do processo de GramSchmidt que com j 2 o vetor qé ortogonal a u U us Assim todas as entradas abaixo da diagonal principal de R sao nulas e R tem a forma uq u q uc u4 0 uq Uq R 2 q n dh 15 0 0 uq Deixamos para o leitor mostrar que R é invertivel j4 que as entradas na diagonal de R sao nao nulas Assim a Equagao 14 uma fatoragao de A no produto de uma matriz Q com vetores coluna ortonormais e uma matriz triangular superior invertivel R Dize mos que a Equagao 14 é a decomposido QR de A Resumindo obtivemos o teorema seguinte TEOREMA 637 Decomposicgao QR Se A for uma matriz m X n com vetores coluna linearmente independentes entdo A pode ser fatorada como AQR Q Na Algebra Linear numérica é onde Q é uma matrizm X n com vetores coluna ortonormais e R é uma matrizn X n comum dizer que uma matriz de triangular superior invertivel colunas linearmente independen tes tem posto coluna maximo Lembre que pelo Teorema 516 0 Teorema da Equivaléncia uma matriz qguadrada tem colunas linearmente independentes se e s6 se for invertivel Assim segue do teo rema precedente que qualquer matriz invertivel tem uma decomposicdao QR Decomposicao OR de uma matriz 3 x 3 Encontre a decomposicao OR de 1 0 0 A1 1 0 1 1 1 Solugao Os vetores coluna de A sao 1 0 0 ul wl u0 1 1 1 Aplicando o processo de GramSchmidt com normaliza4o a esses vetores coluna obte mos 0s vetores ortonormais ver Exemplo 7 1 2 B 0 1 1 1 G1dB F Vv SBl1 a as aa v3 v6 v2 364 Algebra Linear com Aplicacdes Assim segue da Férmula 15 que R Sa 2 1 uq u q uq v3 v3 v3 2 1 R 0 uq U G5 0 V6 V6 0 0 uq3 3 Ws 0 O Fi do que segue que a decomposicao QR de A é Mostre que a matriz Q no q gue q posicao O Exemplo 9 tem a propriedade tL 2 0 3B 2 QQ I Mostre que qualquer 1 0 0 3 v6 v3 8 matriz m X n de vetores coluna 1 1 OJ B Ye Va 0 Ve Vv ortonormais tem essa proprie 111 aL aL aL 0 o dade V3 V6 J2 V2 A Q R Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Conjuntos ortogonais e ortonormais e Determinar se um conjunto de vetores é ortogonal ou e Normalizacao de um vetor ortonormal e Projecdes ortogonais e Calcular as coordenadas de um vetor em relacd4o a uma e Processo de GramSchmidt base ortogonal ou ortonormal Decomposicao OR e Encontrar as projegdes ortogonais de um vetor num subespaco e Usar 0 processo de GramSchmidt para construir uma base ortogonal ou ortonormal de um espaco com produto interno e Encontrar a decomposigao QR de um matriz invertivel Conjunto de exercicios 63 1 Em cada parte decida se 0 conjunto de vetores dado é ortogo 4 Quais dos conjuntos de vetores do Exercicio 3 sao ortonor nal em relaco ao produto interno euclidiano de R mais em relagdo ao produto interno euclidiano de R a 0 1 2 0 5 Em cada parte decida se o conjunto de polinémios dado é l 1 ortogonal em relacio ao produto interno de P discutido no vb z 5 Exemplo 7 da Secao 61 V2 J2 v v2 2 2 1 2 1 2 c 3 4 5 a pj 3 37 3 Px 3 3 37 V2 V2 v2 v2 12 2 4 00 01 PODS Zt art ae 2 Quais dos conjuntos de vetores do Exercicio 1 sao ortonor 1 x I 4 I x 2 mais em relagdo ao produto interno euclidiano de R b PW 1 PW J2 J2 Xo Ps 3 Em cada Parte decida se 0 conjunto de vetores dado ortogo 6 Em cada parte decida se o conjunto de matrizes dado é or nal em relagao ao produto interno euclidiano de R togonal em relaco ao produto interno de M discutido no 1 1 1 1 1 1 Exemplo 6 da Secao 61 a 0 9 9 Yo 40 5 V2 V2 V3 V3 V3 ae 1 0 0 2 0 2 0 4 2 21 21 2 122 Oly oh f ck Ja ch fe b 3 3 3 3 3 3 3 33 333 333 b lc 0 E 4 k k 1 1 c 100 0 001 ee 7 Em cada parte mostre que 0 conjunto de vetores dado é a tol o2 toon 0 ortogonal com o produto interno euclidiano e convertao num V6 V6 V6 v2 v2 conjunto ortonormal normalizando os vetores 63 Processo de GramSchmidt decomposigao QR 365 a 1 2 3 3 1 1 b w 112 u b 10 1 2 0 2 0 5 0 Vil Vil vI1 244 Ch 40 3 w42 4 8 Verifique que o conjunto de vetores 1 0 0 1 é ortogonal vo vo v6 com 0 produto interno u v 4uv uv de R e converta ue l 4 7 o num conjunto ortonormal normalizando seus vetores J66 66 66 9 Verifique que os vetores 3 4 a4 Nos Exercicios 1415 os vetores dados sfo ortogonais com v 3 5 0 YW 3 5 0 v 0 0 1 0 produto interno euclidiano Encontre proj x com x 1 2 0 es 2 e Wo subespaco de R gerado pelos vetores dados formam uma base ortonormal de R com o produto interno euclidiano Depois em cada parte use o Teorema 632 14 a vy L110 11 para expressar o vetor dado como uma combinagao linear de b v 0 1 4 1 vy G5 1 1 Vj V2 V3 15 a v 111v 1 1 1 a 12 b 374 4 7 3 v1111 10 Verifique que os vetores b v 0 1 4 1 v G 5 1 1 10 1 4 vy 1121 v 2232 V3 C014 v 1 20 1 v 1 00 1 Nos Exercicios 1617 os vetores dados so ortonormal com 4 0 produto interno euclidiano Use o Teorema 632b para encontrar formam uma base ortonormal de R com o produto interno 4 4 proj x com x 1 20 1 e Wo subespago de R gerado pelos euclidiano Depois em cada parte use o Teorema 6325 para Lea vetores dados expressar 0 vetor dado como uma combinagao linear de v v veV 1 4 1 15 11 3 Ve 16 a v 0 v 5222 a 0 111 V18 V18 18 266 6 b V2 3V2 5V2 V2 b 1111 11 11 YW5555 Rh 557575 c 4 349 1 22722 2 22 2 2 11 a Mostre que os vetores 4 Lo I 4 1 1s vy 1234 v 143 OME Te ie Vial la ee 6 vy 3412 vy 432 Ly 4 V3 9 Vs SS formam uma base ortogonal de R com o produto interno v18 v18 v18 euclidiano 11141 11 1 1 b Use o Teorema 632 para expressar u 1 2 3 7 b v 55555 V2 55555 eae 222 2 22 2 2 como uma combinacao linear dos vetores da parte a 1 11 1 Nos Exercicios 1213 é dada uma base ortonormal com o 2 22 2 produto interno euclidiano Use 0 Teorema 6325 para encontrar 0 vetor de coordenadas de w em relacao a essa base 18 No Exemplo 6 da Segio 49 encontramos a projegao ortogo I 1 I 1 nal do vetor x 1 5 sobre a reta pela origem que faz um 4n 12 a w 37 u 5 u gulo de 76 radianos com 0 eixo x positivo Resolva o mesmo v2 v2 v2 v2 problema usando o Teorema 634 w 102 u 5 2 19 Encontre os vetores w em We w em W tais que x w w 3 3 3 com x e W dados no 2 1 2 12 2 a Exercicio 14a w255ms55 33 3 33 3 b Exercfcio 15a 212 12 2 20 Encontre os vetores w em We w em W tais que x w W 13 a w 205 u 5 3 w 5 3 com x e W dados no 2 1 a Exercicio 16a ur 5 3 3 b Exercicio 17a 366 Algebra Linear com Aplicacdes 21 Suponha que R tenha o produto interno euclidiano Em cada 1 0 1 parte use 0 processo de GramSchmidt para transformar a 102 12 1 1 11 base u u numa base ortonormal e esboce os vetores de dd 0 1 1 e1 1 1 f 101 ambas as bases no plano xy 12 0 03 1 11441 Ca Oe 30 No Passo 3d do T 635 foi afirmado que b u 10 u 3 5 No Passo 3 da prova do Teorema 635 foi afirmado que a 4 independéncia linear de u u Uu garante que v 0 22 Suponha que FR tenha o produto interno euclidiano Em cada Prove essa afirmaciio Parte use 0 processo de GramSchmidt para transformar a 31 Prove que as entradas na diagonal de R na Férmula 15 sao base u U U U numa base ortonormal nao nulas uy 1 Du 1 1 0u 21 32 Requer Calculo Em cada parte use 0 Teorema 632a para b u C1 0 0 u 37 2 u 0 4 1 expressar 0 polindmio dado como uma combinagao linear dos 23 Suponha que R tenha o produto interno euclidiano Em cada trés primeiros polinémios de Legendre ver a observacéo que parte use o processo de GramSchmidt para transformar a segue o Exemplo 8 base u U U U numa base ortonormal a lx4 b 27 c 4 3x u 0 2 1 0 u 1 1 0 0 33 Requer Cdlculo Suponha que P tenha o produto interno u 1201 u 100 I 24 Suponha que R tenha o produto interno euclidiano Encon pq Dxqx dx tre uma base ortonormal do subespago gerado por 0 1 2 10 1 1 1 3 Aplique o processo de GramSchmidt para transformar a base 25 Suponha que R tenha o produto interno canénica S 1 x x numa base ortonormal u v uv 2uv 3uyv 34 Encontre vetores x e y em R que sejam ortonormais em re lagdo ao produto interno u v 3uv 2uv mas nao em Use 0 processo de GramSchmidt para transformar u relacio ao produto interno euclidiano 1 1 u C 1 0 u C1 0 0 numa base ortonormal 26 Suponha que o R tenha o produto interno euclidiano O Exercicios verdadeirofalso subespaco de R gerado pelos vetores u 30 2e Nas partes af determine se a afirmacdo é verdadeira ou falsa u 0 1 0 um plano passando pela origem Expresse justificando sua resposta w 1 23 na forma w Ww w sendo w um vetor no a Qualquer conjunto linearmente independente de vetores num plano e w perpendicular ao plano espacgo com produto interno é ortogonal 27 Repita o Exercicio 26 com u 1 1 1 eu 20 D b Qualquer conjunto ortogonal de vetores num espaco com pro 28 Suponha que R tenha o produto interno euclidiano Expres duto interno é linearmente independente se o vetor w 1 2 6 0 na forma w w Wo sendo c Qualquer subespaco nao trivial de R tem alguma base orto w um vetor no espaco gerado por u 1 0 12 eu normal em relagao ao produto interno euclidiano 0 1 0 1 e w ortogonal a W d Qualquer espaco com produto interno nao nulo de dimensao 29 Em cada parte encontre a decomposicéo QR se houver finita tem alguma base ortonormal Lo 4 1 2 1 1 e proj x é ortogonal a qualquer vetor em W a b 0 1 c 2 1 f Se A for uma matriz n X n com determinante nfo nulo entao 1 4 2 1 A tem uma decomposicfo OR 64 Melhor aproximagao minimos quadrados Nesta seao tratamos de sistemas lineares que nao podem ser resolvidos exatamente e para Os quais é necessario obter alguma solu4o aproximada Esses sistemas costumam aparecer em aplicagGes nas quais erros de medicao perturbam os coeficientes de um sistema consistente a tal ponto que o sistema passa a ser inconsistente Solucées de minimos Suponha que Ax b seja um sistema linear inconsistente de m equagdes em n incdégnitas quadrados de sistemas sobre 0 qual suspeitamos que a inconsisténcia tenha sido causada por erros de medigao lineares nos coeficientes de A Como nao é possivel encontrar alguma solugdo exata vamos pro curar um vetor x que chegue tao perto quanto possivel de ser uma solugao no sentido de que esse vetor minimiza b Ax em relacdo ao produto interno euclidiano de R Pode 64 Melhor aproximagao minimos quadrados 367 mos ver Ax como uma aproximagio de b e b Ax como o erro dessa aproximacao quanto menor o erro melhor a aproximagao Isso nos leva ao problema seguinte Problema dos minimos quadrados Dado um sistema linear Ax b de m equacdes em n inc6gnitas encontre um vetor x que minimiza b Ax em relagdo ao produto interno euclidiano de R Dizemos que um vetor x desses é uma solucdo de mini mos quadrados do sistema que b Ax é 0 vetor erro de minimos quadrados e que b Ax 0 erro de minimos quadrados Para esclarecer a terminologia dada suponha que a forma matricial de b Ax seja ey 5 bAx en O termo solugo de minimos quadrados decorre do fato de que minimizar b Ax também minimiza b Ax ef e e Suponha que queiramos aproximar um vetor b em R fixado por algum vetorwdealgum Melhor aproximacao subespaco W de R A menos que b esteja em W qualquer aproximacao dessas resulta num vetor erro b w que nao pode ser considerado igual a 0 independentemente do vetor w escolhido Figura 641a No entanto escolhendo w proj b podemos tornar 0 comprimento do vetor erro b wll b proj bl tao pequeno quanto for possivel Figura 64 1b P Zab Ze projy b Q Ww Ww Figura 641 a b Essas ideias geométricas sugerem 0 teorema geral a seguir TEOREMA 641 Teorema da melhor aproximagao Se W for um subespaco de dimensdo finita de um espaco com produto interno V eb um vetor em V entdo projy b é a melhor aproximacdo de b em W no sentido de que Ib proj bl b wll qualquer que seja o vetor w em W distinto de proj b Prova Dado qualquer vetor w em W podemos escrever b w b proj b proj b w 1 368 Algebra Linear com Aplicacdes Sendo uma diferenga de vetores de W o vetor proj b westéem We como b projy b ortogonal a W os dois termos 4 direita em 1 sdo ortogonais Assim segue do teorema de Pitagoras Teorema 623 que 2 2 2 b wll Ib proj bl lprojy b wl Como w proj b segue que o segundo termo nessa soma positivo e portanto que 2 2 Ib proj bl b wll Como as normas sao nao negativas segue de uma propriedade de desigualdades que b proj bl lb wi Solucées de minimos Uma maneira de encontrar alguma solugdo de minimos quadrados de Ax b calcular quadrados de sistemas 4 projecao ortogonal proj b no espago coluna W da matriz A e depois resolver a equagao lineares proj Ax projy b 2 Contudo podemos evitar 0 calculo da projecao reescrevendo 2 como b Ax b projyb e entao multiplicar ambos os lados dessa equacio por A para obter A b Ax A b proj b 3 Como b proj b o componente de b que é ortogonal ao espaco coluna de A segue do Teorema 489b que esse vetor est4 no espaco nulo de A e que portanto A b proj b 0 Assim podemos simplificar 3 e obter A b Ax 0 que pode ser reescrito como AAx A b 4 Dizemos que essa equacao é a equagao normal ou o sistema normal associado a Ax b Vistas como um sistema linear as equacées individuais sio denominadas equagées nor mais associadas a Ax b Resumindo estabelecemos o seguinte resultado TEOREMA 642 Dado qualquer sistema linear Ax b o sistema normal associado eee AAx Ab 5 Se um sistema linear for consis é consistente e todas as solugdes de 5 sdo solucdes de minimos quadrados de tente entao suas solugoes exatas Ax b Além disso se W for o espaco coluna de A e x uma solugdo de minimos qua sao iguais as solugoes de mini drados qualquer de Ax b entdo a projecao ortogonal de b em W é mos quadrados caso em que o erro zero proj b Ax 6 Solugao de minimos quadrados a Encontre todas as solugdes de minimos quadrados do sistema linear X x 4 3x 2x 1 2x 4x 3 b Encontre o vetor erro e 0 erro 64 Melhor aproximagao minimos quadrados 369 Solugdo a E conveniente expressar 0 sistema no formato matricial Ax b com 1 1 4 2 4 3 Segue que 1 1 r 1 3 2 14 3 1 2 4 3 21 2 4 4 r 1 32 1 l 2 4 10 3 de modo que o sistema normal AAx A b é 14 3x 1 3 21x 10 Resolvendo esse sistema obtemos uma tinica solugao de minimos quadrados a saber 17 143 X 95 2 385 Solugdo b O vetor erro é 92 1232 4 1 1Pu 4 285 285 Ca 439 154 bAxl 3 2 wllit 439 13 3 2 4 285 3 95 4 57 3 e oerro b Ax 4556 Projegao ortogonal num subespaco Encontre a projecao ortogonal do vetor u 3 3 8 9 no subespago de R gerado pelos vetores u G101 u211 u102 1 Solucdo Poderiamos resolver esse problema usando primeiro 0 processo de GramSchmidt para converter u U U numa base ortonormal e depois aplicando 0 método usado no Exemplo 6 da Secao 63 Contudo 0 método a seguir é mais eficiente O subespaco W de R gerado por U U e U 0 espaco coluna da matriz 3 1 l AK 1 2 0 0 1 2 1 1 1 Assim se u for escrito como um vetor coluna podemos obter a projecdo ortogonal de u em W encontrando a solucao de minimos quadrados do sistema Ax ue depois calculan 370 Algebra Linear com Aplicacées do proj u Ax a partir dessa solucdo de minimos quadrados As contas sao as seguintes O sistema Ax u é 3 1 l 3 1 2 off f3 0 1 2 4 8 1 oa 1b3 9 portanto 3 1 l 3 1 0 1 11 6 4 r 1 2 0 AA 1 2 1 1 0 1 6 7 0 1 0 2 l 4 0 6 1 1 l 3 3 1 0 1 3 3 Au 1 2 1 1 g 8 1 0 2 l 10 9 Nesse caso 0 sistema normal AAx Aué 11 6 4 x 3 6 7 Oxy 8 4 0 6 x 10 Resolvendo esse sistema obtemos xX 1 x 0 2 X 1 como a solugao de minimos quadrados de Ax u verifique de modo que 3 1 l 1 2 A 1 2 0 3 Tr x projw W 0 1 2 4 4 1 1 l 0 ou entio em notac4o com virgulas projy u 2 3 40 4 Unicidade das solucdes de Em geral as solugdes de minimos quadrados de sistemas lineares nao sao tnicas Embora minimos quadrados 0 sistema linear do Exemplo tenha tido uma solucao de minimos quadrados tnica isso s6 ocorreu porque a matriz de coeficientes do sistema satisfaz certas condigdes que garan tem a unicidade Nosso pr6ximo teorema mostra quais so essas condicg6es TEOREMA 643 Se A for uma matrizm X n as condiées seguintes sao equivalentes a Os vetores coluna de A sao linearmente independentes b AA é invertivel Prova Provamos que a b deixando a prova de b a como exercicio a b Suponha que A tenha vetores coluna linearmente independentes A matriz AA tem tamanho n X n portanto podemos provar sua invertibilidade mostrando que 64 Melhor aproximagao minimos quadrados 371 o sistema linear AAx 0 tem somente a solucio trivial Mas se x for qualquer solugado desse sistema entio Ax esta no espaco nulo de A e também no espaco coluna de A Pelo Teorema 489b esses espacos sio complementos ortogonais de modo que a parte b do Teorema 624 implica Ax 0 Como A tem vetores coluna linearmente independentes resulta x 0 pelo Teorema 131 4 O préximo teorema que segue diretamente dos Teoremas 642 e 643 da uma for mula explicita para a solugaéo de minimos quadrados de um sistema linear que tenha uma matriz de coeficientes com vetores coluna linearmente independentes TEOREMA 644 SeA for uma matrizm X ncom vetores coluna linearmente indepen dentes entaGo dada qualquer matriz b de tamanho m X 1 0 sistema linear Ax b tem a Ds os Como exercicio tente usar a uma unica solugdo de minimos quadrados Essa solugdo é dada por 2 Formula 7 para resolver o pro x AA Ab 7 blema na parte a do Exemplo 1 Além disso se W for o espaco coluna de A entao a projecdo ortogonal de b em W é proj b Ax AAA Ab 8 As Férmulas 7 e 8 tém utilidade teérica mas nao sao eficientes para calculos numéri OPCIONAL cos Na pratica as solugdes de minimos quadrados de Ax b costumam ser encontradas O papel da decomposiao usando alguma variacao da eliminagao gaussiana para resolver as equacgdes normais ou QRem problemas de usando a decomposiao QR e o teorema seguinte minimos quadrados TEOREMA 645 Seja A uma matrizm X n com vetores coluna linearmente indepen dentes e A QR uma decomposicao QR de A ver Teorema 637 Dado qualquer b em R o sistema Ax b tem uma unica solucdo de minimos quadrados dada por xROQb 9 Uma prova desse teorema e uma discussao de sua utilidade podem ser encontradas em muitos livros que tratam de métodos numéricos da Algebra Linear No entanto a Formula 9 pode ser obtida substituindo A QR em 7 e usando que aO para obter 1 x QRQR QRb RQOR ORb RR R0Ob R Ob Na Secao 48 mostramos como calcular as projegdes ortogonais sobre os eixos coorde Projecao ortogonal em nados de um sistema de coordenadas retangulares em R e mais geralmente sobre retas subespacos de R pela origem em R Passamos a considerar agora o problema de encontrar projegdes ortogonais em subespacos de R Comegamos com uma definiao DEFINICAO1 Se Wfor um subespaco de R entdo a transformacio linear P R W que associa a cada vetor x em R sua projecdo ortogonal proj x em W é denominada projecao ortogonal de R em W 372 Algebra Linear com Aplicacdes Segue da Formula 7 que a matriz candénica da transformacao linear P é P AAA A 10 y sendo os vetores coluna de A construfdos a partir de qualquer base de W Ww A matriz canénica de uma projecao ortogonal sobre uma w reta 1 con 8 Mostramos na Férmula 16 da Segao 49 que x cos sen cos 0 cos 6 P sencos sen Figura 642 é a matriz can6nica da projecdo ortogonal sobre a reta W pela origem de R que faz um angulo de 8 com 0 eixo x positivo Deduza esse resultado usando a Férmula 10 Solugdo Os vetores coluna de A podem ser formados a partir de qualquer base de W Como W é unidimensional podemos tomar w cos 0 sen como o vetor da base Fi gura 642 ou seja A cos 6 sen 6 Deixamos a cargo do leitor mostrar que AA é a matriz identidade de tamanho 1 X 1 As sim a Formula 10 simplifica e obtemos cos 6 P AATAAT AAT cos sen 6 sen 0 cos sen cos 8 p sencos sen 6 Outro ponto de vista de No Teorema 489 vimos que os espacos nulo e linha de uma matriz A de tamanho m X minimos quadrados sao complementos ortogonais bem como os espagos nulo de A ecoluna de A Assim dado um sistema linear Ax b em que A é uma matriz m X n 0 teorema da projecao 633 nos diz que os vetores x e b podem ser decompostos em somas de termos ortogo nais do tipo X Xincay Xauyay b Dawa Dossy M QUE Xji44 Xp SAO AS projegdes ortogonais de x nos espagos linha e nulo de A e os ve tores D4 Doy4 40 as projegdes ortogonais de b nos espagos nulo de A ecoluna de A Na Figura 643 representamos os espagos fundamentais de A por retas perpendicu lares em R e R nas quais indicamos as projegdes ortogonais de x e b E claro que isso é s6 uma representacAo visual pois os espagos fundamentais nao precisam ser unidimen sionais A figura mostra Ax como um ponto no espago coluna de A e indica que b4 nulA colA AX XnulA x b Besta 7 linA nulA R Xinca Dau R Figura 643 64 Melhor aproximagao minimos quadrados 373 0 ponto de colA que esta mais préximo de b Isso ilustra que as solucdes de minimos quadrados de Ax b sao as solugGes exatas da equagao Ax By y4 Como nosso resultado final da parte principal desta segao acrescentamos mais uma parte ais sobre o teorema da ao Teorema 516 equivaléncia TEOREMA 646 Afirmagdes equivalentes Se A for uma matrizn X n entdo as seguintes afirmagées sdo equivalentes a A é invertivel b Ax 0 tem somente a solugao trivial c A forma escalonada reduzida por linhas de A é I d A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares e Ax b é consistente com cada matriz b de tamanho n X 1 f Ax b tem exatamente uma solugdo com cada matriz b de tamanho n X 1 g detA 0 h Os vetores coluna de A sao linearmente independentes i Os vetores linha de A sao linearmente independentes j Os vetores coluna de A geram R k Os vetores linha de A geram R 1 Os vetores coluna de A formam uma base de R m Os vetores linha de A formam uma base de 0 n A tem posto n o A tem nulidade 0 p O complemento ortogonal do espaco nulo de A é R q Ocomplemento ortogonal do espaco linha de A é 0 r A imagem de T é R s I é um operador injetor t A Ondo é um autovalor de A u AA é invertivel A prova da parte u segue da parte h desse teorema e do Teorema 643 aplicado a matrizes quadradas Agora temos todos os ingredientes necessarios para provar 0 Teorema 633 no caso OPCIONAL especial em que V for 0 espaco vetorial R Prova do Teorema 633 Deixamos 0 caso W 0 como exercicio e portanto vamos supor que W 0 Seja v v V uma base qualquer de We consideremos a ma triz M cujas colunas sao os sucessivos vetores dessa base Assim W 0 espaco coluna de Me portanto W é 0 espaco nulo de M A prova estara terminada se mostrarmos que qualquer vetor u em R pode ser escrito de uma tinica maneira como uw t Ww em que w esta no espaco coluna de Me M w 0 No entanto dizer que w esta no es paco coluna de M equivale a dizer que w Mx com algum vetor x em R e dizer que M w 0 equivale a dizer que M u w 0 Assim se soubermos mostrar que a equagdo M u Mx 0 11 374 Algebra Linear com Aplicacées tem uma unica solucao para x entéo w Mx e w x w serao vetores determinados de maneira tinica com as propriedades exigidas Para isso reescrevemos 11 como MMx Mu Como a matriz M tem vetores coluna linearmente independentes a matriz MM é inver tivel pelo Teorema 646 e portanto a equagéo tem uma solugao Unica como queriamos mostrar Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Problema de minimos quadrados e Encontrar a solugéo de minimos quadrados de um sistema e Solucgao de minimos quadrados linear e Vetor erro de minimos quadrados e Encontrar o erro e o vetor erro associados a uma solugao as de minimos quadrados de um sistema linear e Erro de minimos quadrados e Usar as técnicas desenvolvidas nesta secdo para calcular e Melhor aproximacgao Le projec6es ortogonais e Equagao normal As ox e Encontrar a matriz candnica de uma projecao ortogonal e Projecao ortogonal Conjunto de exercicios 64 1 Em cada parte encontre o sistema normal associado ao siste 3 2 l 2 ma linear dado 4 a A1 4 3 b 2 1 1 2 1 10 7 1 2 3 f1 a x lao 2 0 1 0 4 5 5 ai 7 2 4 8 21 0 1 2 1 Of JO b Oy 4 sf 1 1 2 4 xX 2 Nos Exercicios 56 em cada parte encontre o vetor erro e b Ax que resulta da solucaéo de minimos quadrados x e verifique que é ortogonal ao espaco coluna de A Nos Exercicios 24 em cada parte encontre a solugdo de mi 5 a Aebcomo no Exercicio 3a nimos quadrados do sistema linear Ax b 1 1 5 b Aebcomo no Exercicio 3b 6 a Ae bcomo no Exercicio 4a 2 a A2 3 b1 4 5 5 b Ae bcomo no Exercicio 4b 7 Em cada parte encontre todas as solugdes de minimos qua 2 2 drados de Ax be confirme que todas as solugdes tém o b A1 il ba 1 mesmo vetor erro Calcule o erro de minimos quadrados 3 1 1 2 1 3 a A 4 2 b2 1 1 7 2 1 1 3 a AJ1 1 b 0 1 2 7 1 3 1 b A2 6 b 0 1 0 l 6 3 9 1 2 1 2 0 b A 1 o Po 1 3 2 7 A 2 1 34 b 0 1 oo l 3 sb 0 1 1 7 64 Melhor aproximagao minimos quadrados 375 8 Em cada parte encontre a projegao ortogonal de u no subes x2t yt z4t de R gerado pelos vet Pago CEN BETACS PeIOS VENOTES Vi Vo a Encontre uma base de W 2 1 3 11 121 a w 213 w C10 w C2 b Use a Férmula 10 para encontrar a matriz canénica da b u161 vy 12D v2 2 24 projecdo ortogonal em W 9 Em cada parte encontre a projegao ortogonal de u no subes c Use a matriz obtida na parte b para encontrar a projeciio paco de R gerado pelos vetores v Vv V3 ortogonal de um ponto Pxo Yos Zo em W a u 6396 v2111 v01 D d Encontre a distancia entre 0 ponto P2 1 3 eareta W 3 210 17 Considere a reta em R dada pelas equacdes b u20 24 v 1 30 v 2 1 2 D v 3 1 13 4a yh zt 10 Encontre a projegao ortogonal de u 5 6 7 2 no espaco e areta m dada pelas equacg6es solucao do sistema linear homogéneo xs y2s1 z1 0 HH 1 Sejam P um ponto em e Q um ponto em m Minimize a dis 2x X X 0 tancia ao quadrado P Q e com isso encontre os valores 11 Em cada parte encontre detAAe aplique o Teorema 643 de re s que minimizam a distancia entre essas retas para determinar se A tem vetores coluna linearmente indepen 18 Prove se A tem vetores coluna linearmente independentes e dentes se Ax b é consistente entéo a solucao de minimos quadra 3 dos de Ax b ea solucao exata de Ax b coincidem 1 3 2 0 1 l 19 Prove se A tem vetores coluna linearmente independentes e a A 2 1 3 b A 0 2 b é ortogonal ao espaco coluna de A entao a solucao de mini 0 1 1 4 5 3 mos quadrados de Ax bé x 0 20 Seja PR Wa projecao ortogonal de R no subespaco W 12 Use a Formula 10 e o método do Exemplo 3 para encontrar a a Prove que PI P matriz can6nica da projec4o ortogonal P R R oo b O que o resultado da parte a implica sobre a composta a no eixo x PoP b no eixo y c Mostre que P é simétrica Ob servacdo compare suas respostas com a Tabela 3 da Se 21 Seja A uma matriz m X n com vetores coluna linearmente gao 49 independentes Obtenha a matriz canénica da projecao orto 13 Use a Formula 10 e o método do Exemplo 3 para encontrar a gonal de R no espaco coluna de A Sugestdo comece com a matriz can6nica da projecio ortogonal P R R Formula 10 a no plano xz 22 Prove a implicagao b a do Teorema 643 b no plano yz vos Exercicios verdadeirofalso Observagdao compare suas respostas com a Tabela 4 da Se x Nas partes ah determine se a afirmacaAo é verdadeira ou falsa ao 49 stificand t ta 14 Mostre que se w a b c for um vetor nao nulo entao a Justaticando sua respos or matriz can6nica da projecao ortogonal de R nareta gerw é a A for uma matriz m X n entao AA uma matriz quadra a 2 I a ab ac b Se AA for invertivel entdo A é invertfvel 2 P ab bbe c Se A for invertivel entao AA é invertivel ab c 2 ac be c d Se Ax b for um sistema linear consistente entao AAx A b também consistente 15 Seja Wo plano de equac4o 5x 3y z 0 E base de W e Se Ax b for um sistema linear inconsistente entao a Encontre uma base de W AAx A b também 6 inconsistente b Use a Formula 10 para encontrar a matriz canonica da f Qualquer sistema linear tem uma solugdéo de minimos qua projecao ortogonal em W drados c Use a matriz obtida na parte b para encontrar a projegéo g Qualquer sistema linear tem uma tinica solugéo de minimos ortogonal de um ponto Px Yo Z em W quadrados d Encontre a distancia entre o ponto P1 2 4 o plano h Se A for uma matriz m X n com colunas linearmente inde W econfira seu resultado usando o Teorema 334 m pendentes e b for um vetor em R entéo Ax b tem uma 16 Seja Wa reta de equacdes paramétricas unica solucdo de minimos quadrados 376 Algebra Linear com Aplicagées 65 Ajuste de minimos quadrados a dados Nesta segao usamos nossos resultados sobre projegdes ortogonais em espagos com produto interno para obter uma técnica de como ajustar uma reta ou uma outra curva polinomial a um conjunto de pontos no plano determinados experimentalmente Ajustando uma curva a dados Um problema comum no trabalho experimental é obter uma relagdéo matematica y fx entre duas variaveis x e y através do ajuste de uma curva aos pontos no plano que cor respondem aos varios valores de x e y determinados experimentalmente digamos x y x Ys see x y Na base de considerag6es tedricas ou simplesmente observando o padrao apresentado pelos pontos decidimos a forma geral da curva y fx a ser ajustada Algumas possibi lidades sao Figura 651 a Uma reta y a bx b Um polinémio quadratico y a bx cx c Um polinomio ctibico y a bx cx dx Como os pontos sao obtidos experimentalmente muitas vezes temos algum erro de me digaéo nos dados tornando impossivel encontrar uma curva da forma desejada que passe por todos os pontos Assim a ideia é escolher a curva determinando seus coeficientes que melhor ajusta os dados Comegamos com 0 caso mais simples e mais comum ajus tar uma reta aos pontos obtidos experimentalmente y y y e e e e x x x Figura 651 a yatbx b yatbxcxr c yatbxcrtdx0 Ajuste linear de minimos Digamos que queiramos ajustar uma reta y a bx aos pontos uadrados q x ys x Yo se X5 y determinados experimentalmente Se esses pontos de dados fossem colineares a reta pas saria por todos os n pontos e os coeficientes incdégnitos a e b satisfariam as equagdes y a t bx yy a bx y a bx Podemos escrever esse sistema em forma matricial como 1x y 1 x a 2 i Lb 1 x Vn 65 Ajuste de minimos quadrados a dados 377 ou mais compactamente como Mv y 1 em que Ji 1 x V5 1 x a y M S v 5 2 Dt b Yn 1 x Se os pontos de dados nao forem colineares impossivel encontrar coeficientes a e b que satisfagam o sistema 1 exatamente ou seja o sistema é inconsistente Nesse caso procuramos uma solugdo de minimos quadrados a vve b Dizemos que uma reta y a bx é uma reta de regressao dos dados ou um ajuste linear de minimos quadrados aos dados se os coeficientes da reta provém de uma solugao de minimos quadrados Para explicar essa terminologia lembre que uma solucao de mini mos quadrados de 1 minimiza lly Mvl 3 Expressando 0 quadrado de 3 em termos de componentes obtemos 2 2 2 2 lly Mv 0 a bx Oy a bxy y a bx 4 Agora denotando dya bx dyabx d y a bx podemos reescrever 4 como lly Mv d d 4 5 Conforme ilustrado na Figura 652 os nimeros d podem ser interpretados como a dis tancia vertical entre a reta y a bx e os pontos de dados x y Essa distancia uma medida do erro que resulta no ponto x y do ajuste inexato de y a bx a esse ponto dos dados supondo que os x sejam conhecidos exatamente e que todo 0 erro seja prove niente da mediao do y Como 3 e 5 sao minimizados pelo mesmo vetor v 0 ajuste linear de minimos quadrados minimiza a soma dos quadrados desses erros estimados e dai o nome ajuste linear de minimos quadrados y x D de ha 1 d x 94 Figura 652 dmede 0 erro vertical x na reta de minimos quadrados No Teorema 642 vimos que a solugéo de minimos quadrados de 1 pode ser obtida Equacées normais resolvendo o sistema normal associado MMy My cujas equagdes sao denominadas equagées normais 378 Algebra Linear com Aplicacées Nos exercicios sera mostrado que os vetores coluna de M sao linearmente indepen dentes se e s6 se os n pontos dos dados nao estéo numa reta vertical no plano xy Nesse caso segue pelo Teorema 644 que a solugao de minimos quadrados é tinica e é dada por ve MM My Resumindo temos 0 seguinte teorema TEOREMA 651 Unicidade da solugao de minimos quadrados Seja XY XY X y um conjunto de dois ou mais pontos de dados ndo todos numa reta vertical e sejam 1 x aa 1 x M l e y 1 x Yn Entdo existe um tnico ajuste linear de minimos quadrados ya bx aos pontos de dados Além disso a v é dado pela formula v MMMy 6 que expressa a unicidade da solugdo v v da equacdo normal MMv My 7 Reta de minimos quadrados Encontre o ajuste linear de minimos quadrados aos quatro pontos 0 1 1 3 2 4 e 3 4 Ver Figura 653 5 Solugao Temos 4 ofe 1 0 1 1 r 4 6 Typ 1 7 3 3 M MM MM y 1 2 6 14 10 3 2 2 1 3 l 1 7 3f1 1 1 I43 15 1 e Ty pv y fT v M M uM My 5 3 lo 1 2 if lr 0 l 0 1 2 3 4 4 x Figura 653 e portanto a reta procurada é y 15 x A constante de uma mola A lei de Hooke da Fisica afirma que 0 comprimento x de uma mola uniforme é uma fungao linear da forga y aplicada 4 mola Descrevendo essa relagao por y a bx 0 coeficiente b é denominado constante da mola Suponha que uma determinada mola nao estendida tenha um comprimento de 61 cm ou seja x 61 se y 0 Aplicando forgas 65 Ajuste de minimos quadradosadados 379 de 24 e 6 kg a mola obtemos os comprimentos correspondentes de 76 cm 87 cme 104 cm ver Figura 654 Encontre a constante dessa mola bl g f ete Solugao Temos z Comprimento bore ype 2 foe M y 1 87 4 1 104 6 Forga y Figura 654 e a 86 ve MM My b 14 onde os valores numéricos foram arredondados a uma casa decimal Assim o valor esti mado da constante dessa mola é b 14 kgcm 4 A técnica descrita para ajustar uma reta de minimos quadrados a pontos de dados gene Ajuste polinomial de minimos raliza facilmente para ajustar um polindmio de qualquer grau especificado a pontos de quadrados dados Vamos tentar ajustar um polindmio de grau fixo m yattax ax 8 aos n pontos x y x Ys sso x y Substituindo esses n valores de x e y em 8 obtemos as n equacgdes Vy Hy ax o 4x Vp ay tax 4x7 m Vn a aX e X ou em formato matricial y Mv 9 em que 1 2 m y X Xp ttt x Ay lx X X5 a y 2 2 777 Ag y0 Ma 2 ve 10 Yn 1 ox xX se X Qn 500 Nota historica No dia 5 de outubro de 1991 a sonda espacial Ma B Temperatura da x 2 on galhaes penetrou na atmosfera de Vénus e passou a transmitir a tem 450 atmosfera venusiana 1 peratura T em kelvins K em fungdo da altitude h em quilémetros km g 400 Foe da Magalhdes 3213 até que deixou de transmitir a uma altitude de aproximadamente 34 km 350 E Datag de outubro de 1991 acima da superficie do planeta Descontando o sinal erratico inicial os 300 Latitude 67 N dados sugerem fortemente uma relacao linear de modo que foi feito 8 ora 2205 LIST um ajuste linear por minimos quadrados na parte linear dos dados para g 250 obter a equagao oO 200 T 7375 8125h 150 Tomando h 0 nessa equacao estimouse que a temperatura da su 1005 fici Vé 3 de T 7375 K 30 40 50 60 70 80 90 100 Perficie de Venus de Altitude h km Fonte NASA 380 Algebra Linear com Aplicacdes Como antes as solugdes das equag6es normais MMvy My determinam os coeficientes do polindmio e o vetor v minimiza lly MvIl No Exercicio 7 so discutidas condigdes que garantem a invertibilidade de MM Se MM for invertivel entaéo as equag6es normais tém uma solucéo v v tinica dada por v MM My 11 Ajustando uma curva quadratica a dados De acordo com a segunda lei de Newton do movimento um corpo perto da superficie da Terra cai verticalmente para baixo de acordo com a equagao ss vot tet 12 onde s deslocamento vertical para baixo relativo a algum ponto fixado So deslocamento inicial no instante t 0 Uy velocidade inicial no instante t 0 g aceleragao da gravidade na superficie da Terra na Equagao 12 sendo desconhecidos o deslocamento e a velocidade iniciais e sendo medidas em certos instantes as distancias que 0 corpo tenha caido em relacao a algum ponto de referéncia fixado Suponha que seja realizado um experimento num laboratério nos Estados Unidos para estimar g usando essa equacao Digamos que nos instantes f 01 02 03 04 e 05 segundos tenha sido observado que 0 corpo caiu s 018 031 103 248 e 373 pés respectivamente desde 0 ponto de referéncia Encontre um valor aproximado de g usando esses dados Solugao O problema matemiatico é ajustar a curva quadratica satattat 13 aos cinco pontos de dados 01 018 02 031 03 103 04 248 05 373 Com os ajustes apropriados na notacao as matrizes Me y em 10 sao 14 ff 1 01 001 5 0 18 146 1 02 004 5 031 M1 4 103 009 ys 103 1 4 G 1 04 016 5 248 lt 6 1 05 025 Ss 373 Assim por 11 ax 040 v a MM My 035 as 161 Por 12 e 13 temos a 5 de modo que o valor estimado de g é g 2a 2 161 322 péssegundo 65 Ajuste de minimos quadrados a dados 381 Se quisermos também podemos estimar o deslocamento e velocidade iniciais do corpo 4 5 a 040 pés 23 UV a 035 péssegundo 22 s cA 3 1 Na Figura 655 esbogamos os cinco pontos de dados e o polindmio aproximante AO 1 0 O 02 03 04 05 06 Tempo em segundos Figura 655 Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Ajuste linear de minimos quadrados e Encontrar o ajuste linear de minimos quadrados a um e Reta de regressio conjunto de pontos de dados e Ajuste polinomial de minimos quadrados e Encontrar o ajuste polinomial de minimos quadrados a um conjunto de pontos de dados e Usar as técnicas desta sec4o para resolver problemas de aplicagées Conjunto de exercicios 65 1 Encontre o ajuste linear de minimos quadrados aos trés pontos 9 Uma corporacao obtém os seguintes dados relacionando o 0 0 1 2 e 2 7 numero de representantes de vendas em seu quadro com as 2 Encontre o ajuste linear de mfnimos quadrados aos quatro vendas anuais pontos 0 1 2 0 3 1 e 3 2 3 Encontre o polindmio quadratico de melhor ajuste aos quatro Numero de io as 20 2s pontos 2 0 3 10 5 48 e 6 76 representantes de vendas 5 10 15 20 25 30 4 Encontre 0 polinémio ctibico de melhor ajuste aos cinco pon Vendas anuais milhdes 34 83 tos 1 14 0 5 Il 4 2 De G 22 eat Explique como poderiamos usar métodos de minimos quadra 5 Mostre que a matriz M na Equagao 2 tem colunas linear dos para obter uma estimativa das vendas anuais com 45 re mente indep endentes Se SO SE pelos menos dois dos ntime presentantes de vendas e discuta as hipoteses utilizadas Nao TOS X1 X X 40 distintos é necessario efetuar as contas 6 Mostre que as colunas da matriz M de tamanho n x m 1 10 A Agéncia Espacial dos Estados Unidos utilizou uma espa na Equagao 10 sao linearmente indep endentes senme conave experimental leve pilotada remotamente e movida a pelo menos m 1 dos numeros Xp Xp0 4X SAO distintos energia solar denominada Pathfinder numa série de experi Sug estado um Pp olinémio nao nulo de grau m tem no maxi mentos para determinar a viabilidade da utilizag4o de energia mo m raizes distintas solar em voos de grande altitude e longa duragéo Em agosto 7 Seja M a matriz da Equagao 10 Usando o Exercicio 6 de 1997 a Pathfinder registrou os dados da tabela dada que mostre que uma condicao suficiente para a matriz MM ser relacionam a altitude H com a temperatura T Mostre que é invertivel que n me que pelo menos m 1 dos nimeros razodvel um modelo linear esbogando os pontos de dados e XX5X S40 distintos encontre o ajuste linear de minimos quadrados H H kT 8 O dono de um negocio em rapida expansao descobre que nos One Oe UMS pr oP Ay Tabela Ex10 cinco primeiros meses do ano as vendas em milhares foram 40 44 52 64 e 80 O dono coloca esses dados num Altitude H grafico e conjectura que pelo resto do ano a curva de vendas milhares pode ser aproximada por um polinémio quadratico Encontre de pés 15 20 25 30 35 40 45 o polinémio quadratico de ajuste de minimos quadrados a Temperatura curva de vendas e useo para projetar as vendas no décimo T C 45 59 161 276 398 502 629 segundo més do ano 382 Algebra Linear com Aplicacées 11 Encontre a curva da forma y a bx que melhor ajuste os b Se os pontos de dados x y yo Y NO so pontos 1 7 3 3 e 6 1 fazendo a substituicgéo X 1x Es colineares entéo o sistema 1 é inconsistente boce a curva e marque os pontos de dados no mesmo sistema c Sey a bx for 0 ajuste linear de minimos quadrados dos de coordenadas pontos de dados x y 5 Yos Xs Y ento d y a bx minimo qualquer que seja 1 i n Exercicios verdadeirofalso bi ne ee d Se y a bx for 0 ajuste linear de minimos quadrados Nas partes ad determine se a afirmacaAo é verdadeira ou falsa d os pontos de dados x y XY y ento justificando sua resposta ww Ly at bx é minimo a Cada conjunto de pontos de dados tem um Unico ajuste linear de minimos quadrados 66 Aproximagao funcional séries de Fourier Nesta segao vamos mostrar como as projecgdes ortogonais podem ser usadas para aproximar certos tipos de fungdes por fungdes mais simples com as quais seja mais facil trabalhar As ideias abordadas aqui tém aplicagdes importantes nas Ciéncias e nas Engenharias Esta secao requer Calculo A melhor aproximacado Todos os problemas que estudamos nesta segao so casos particulares do seguinte proble ma geral O problema da aproximacao Dada uma fungao f continua num intervalo a b en contre a melhor aproximacao possivel de f entre todas as fungdes de um subespaco W especificado de Ca b Vejamos alguns exemplos desses problemas a Encontrar a melhor aproximagao possfvel de e em 0 1 por um polinémio da forma Ay ax ax b Encontrar a melhor aproximagao possivel de sen 77x em 1 1 por uma fungao da forma a ae ae ae c Encontrar a melhor aproximacao possivel de x em 0 277 por uma funcao da forma dy a senx a sen 2x b cos x b cos 2x No primeiro exemplo W é 0 subespaco de C0 1 gerado por 1 xe x no segundo exem plo W é 0 subespaco de C1 1 gerado por 1 e ee e no terceiro exemplo W é 0 subespacgo de C0 277 gerado por 1 sen x sen 2x cos x e cos 2x Erro de medicao Para resolver problemas de aproximacao desses tipos a frase melhor aproximagado em a b deve tornarse matematicamente precisa Para isso precisamos de alguma ma g neira de quantificar o erro que resulta quando uma fungao continua é aproximada por f uma outra em a b Se f6ssemos aproximar fx por gx e nossa tnica preocupacado fosse o erro da aproximacgao num unico ponto xX entao seria natural definir 0 erro como sendo Fe 0 erro fix go XxX a b que as vezes é denominado desvio entre fe g em x Figura 661 No entanto nao es Figura 661 O desvio tamos pensando em medir o erro num Unico ponto mas sim no intervalo inteiro a b entre fe gem x O problema que uma aproximacao pode ter desvio pequeno numa parte do intervalo e 66 Aproximagao funcional séries de Fourier 383 grande numa outra parte Uma maneira possivel de levar isso em conta integrar 0 desvio fx gx no intervalo a b e definir 0 erro no intervalo como sendo b erro fx gx dx 1 a Geometricamente 1 é a 4rea entre os graficos de fx e gx no intervalo a b Figura 2 662 quanto maior a area maior o erro total Embora 1 seja natural e tenha apelo geométrico a maioria dos matemAticos e cien f tistas costuma preferir a medida alternativa seguinte do erro total denominado erro qua dratico médio t b a b 2S 24 2 erro quadratico médio fix gx dx Figura 662 A area 4 entre os graficos de fe g em a b mede o erro na aproxi O erro quadratico medio enfatiza o efeito de erros maiores pois elevado ao quadrado e macao de f por g em a b tem a vantagem adicional de nos permitir colher frutos da teoria dos espagos com produto interno Para ver como supomos que f seja alguma fungao continua em a b que quere mos aproximar por alguma fungao g em algum subespaco W de Ca b e que em Ca b tomamos o produto interno b f g Sx 8 x dx a Segue que b If gl fgfg fx ga dx erro quadratico médio a e portanto minimizar o erro quadratico médio é o mesmo que minimizar f gl Assim podemos reformular precisamente o problema de aproximagao enunciado informalmente no inicio desta segao O problema da aproximagao de minimos quadrados Sejam f uma funcao continua Aproximacao de minimos no intervalo a b quadrados b ite fe eo dv a o produto interno em Ca b e Wum subespaco de dimensao finita de Ca b Encon tre uma funcdo g em W que minimize b 2 2 it gi f 1fo9 geoP dv a Como f gl e f gl so minimizados pela mesma funcio g esse problema é equi valente a procurar uma fungao g em W que esteja mais préxima de f Mas pelo Teorema 641 j4 sabemos que uma tal fungdo é g proj f Figura 663 f funcdo em Ca b a ser aproximada g projyf aproximagao Ww de minimos quadrados subespacgo de f em W das fungdes Figura 663 aproximantes 384 Algebra Linear com Aplicacdes Assim temos 0 resultado seguinte TEOREMA 661 Se f for uma fungao continua em a b e W um subespaco de dimen sdo finita de Ca b entado a fungdo g em W que minimiza o erro quadratico médio 2 tee soot as a é proj f sendo a projecao ortogonal em relagao ao produto interno b f g FX 8 x dx a Dizemos que a funcdado g proj f é a aproximagdao de minimos quadrados de f em W Séries de Fourier Uma fungdao da forma Tx Cy Cc COS X COS 2x c cos nx dsenx dsen 2x d sen nx 2 denominada polinémio trigonométrico se c d ndo forem ambos nulos dizemos que Tx é de ordem n Por exemplo T x 2 cos x 3 cos 2x 7 sen 4x é um polindémio trigonométrico de ordem 4 com Go2 cq 1l c 3 c0 c0 d0 d0 d0 d7 E evidente por 2 que os polinémios trigonométricos de ordem n ou menor sio as varias combinacoes lineares possiveis de 1 cosx cos2x cosnx senx sen2x sennx 3 Pode ser mostrado que essas 2n 1 fungG6es sao linearmente independentes e que portan to formam uma base de um subespaco de dimensao 2n 1 de Ca b Consideremos agora o problema de encontrar a aproximacao de minimos quadrados de uma fungao fx continua no intervalo 0 277 por algum polindmio trigonométrico de ordem 7 ou menor Como observamos a aproximagao de minimos quadrados de f em W é a projecdo ortogonal de f em W Para encontrar essa projecao ortogonal devemos en contrar uma base ortonormal gp g 8 de W com a qual entéo podemos calcular a projecao ortogonal em W pela férmula projy f f go 8 Be gi f 8 Bon 4 ver Teorema 634b Uma base ortonormal de W pode ser obtida aplicando o processo de GramSchmidt aos vetores de base em 3 usando 0 produto interno QT ite f forge ax 0 Isso resulta ver Exercicio 6 na base ortonormal 1 1 1 2 gg Hcosx g cosnx oar 1 tr JT 1 1 5 241 Van a van 66 Aproximago funcional séries de Fourier 385 Introduzindo a notagao f So f 1 f g do fg a f2 a4 fg 0 Vang BO Tee Ja 6 1 1 Py eM Bast eos Pn Teh Ba e substituindo 5 em 4 obtemos projy f a cosx acosnxbsenx bsennx 7 com Fatt poe 4 pea a Xx x Xx XxX J 217 So V27r Jo 20 T Jo mth f fey eosxdv 2 forreosra a f x cosx dx x x dx tr VT Jo JT T Jo mth f foycosmedx feseosnea ad fg x cosnx dx x cosnx dx St JT Jo JT T Jo by then Ef feosenxde 4 pensenxd f xsenxdx x NX ax a BO Tie fy mj b th foo esennvar 2 foosenned fg xsennx dx xsennx dx ft Vm Jo JT 7 Jo Em resumo 1 20 1 2a b f fx coskxdx b a Ffxsenkx dx 8 T Jo T Jo Os ntimeros dp d 6 sao denominados coeficientes de Fourier de f Aproximagao de minimos quadrados Encontre a aproximacao de minimos quadrados de fx x em 0 277 por a um polinémio trigonométrico de ordem 2 ou menor b um polindémio trigonométrico de ordem 7 ou menor Solugdo a 1 Qa 1 Qa a fonds xdx 27 9a T Jo T Jo Com k 1 2 a integragd4o por partes fornece verifique 1 20 1 Qa aq Fx coskx dx xcoskx dx 0 9b T Jo 7 Jo 1 2a 1 2a 2 b Ffxsen kx dx xsenkx dx 9c T Jo TT Jo k 386 Algebra Linear com Aplicacdes Assim a aproximacado de minimos quadrados de x em 0 277 por um polindmio trigono métrico de ordem 2 ou menor é A x a cosx 4 cos2x bsenx bysen 2x ou por 9a 9b e 9c x 7 2 sen x sen 2x Solugao b A aproximacao de minimos quadrados de x em 0 277 por um polinédmio trigonométrico de ordem n ou menor é A x a cosx a cosnxbsenx b sennx ou por 9a 9b e 9c sen2x sen3x sen nx x 7 2senx 44 2 3 n Os graficos de y x e de algumas dessas aproximag6es aparecem na Figura 664 y yex a c 4 6 ys m2 senx 22 450 sat ae j y m2 senx 202 sa2 4 y72 sen x sae a ay ae 4 ym2senx nN f RG ae J 3 we yar 2 Jean Baptiste Fourier 17681830 I x Nota historica Fourier foi um ma tematico e fisico francés que des Figura 664 2 3 4 5 620 7 cobriu as séries de Fourier e ideias relacionadas enquanto trabalhava oy em problemas de difusdo de calor E natural esperar que o erro quadratico médio va diminuir 4 medida que aumentar o Essa foi uma das descobertas mais ntimero de termos na aproximacao de minimos quadrados influentes na historia da Matematica sendo a pedra fundamental de muitas a 0 areas de pesquisa matematica e uma fx 2 iG cos kx b senkx ferramenta basica em muitos ramos k da Engenharia Fourier um ativista ays 24 politico durante a Revolugao France Pode ser provado que com funcées fem C0 27 0 erro quadratico médio tende a zero sa passou algum tempo encarcerado quando n o que denotado por por defender vitimas do Terror Mais tarde tornouse um favorito de Napo fx a Sia coskx bsenkx leAo sendo agraciado com o titulo de 2 k k barao kl imagem The Granger en O lado direito dessa equagao é denominado série de Fourier de f no intervalo 0 27 Es lew Yor De ns tae 24s sas séries sio de extrema importancia nas Engenharias nas Ciéncias e na Matematica 4 66 Aproximagao funcional séries de Fourier 387 Revisao de conceitos Aptiddes desenvolvidas e Aproximacaéo de fungdes e Encontrar a aproximaao de minimos quadrados de uma e Erro quadratico médio fungao e Aproximacao de minimos quadrados e Encontrar o erro quadratico médio da aproximagao de toa as minimos quadrados de uma fungao e Polindmio trigonométrico e Calcular a série de Fourier de uma funcao e Coeficientes de Fourier e Série de Fourier Conjunto de exercicios 66 1 Encontre a aproximacao de minimos quadrados de 8 Encontre a série de Fourier de fx 7 x no intervalo Jf 1 xno intervalo 0 277 por 0 27 a um polinémio trigonométrico de ordem 2 ou menor 9 Encontre a série de Fourier de fx 1seOxae b um polinémio trigonométrico de ordem n ou menor Se 0 se 7 x 277 no intervalo 0 277 2 Encontre a aproximacao de minimos quadrados de 10 Qual a série de Fourier de sen3x x 1 no intervalo 0 277 usando to fo oo Exercicios verdadeirofalso a um polindmio trigonométrico de ordem 3 ou menor 4 oo Nas partes ae determine se a afirmacdo é verdadeira ou falsa b um polinémio trigonométrico de ordem n ou menor justificando sua resposta 3 a Encontre a aproximacao de minimos quadrados de xno a Se uma funcao f em Ca b for aproximada por uma fun intervalo 0 1 por uma fungao da forma a be cao g entao o erro quadratico médio é igual a area entre b Encontre o erro quadratico médio da aproximagao os graficos de fx e gx no intervalo a b 4 a Encontre a aproximacdo de minimos quadrados de e no b Dado um subespaco W de dimensio finita de Ca b a intervalo 0 1 por um polinédmio da forma a ax fungao g proj f minimiza o erro quadratico médio b Encontre o erro quadratico médio da aproximagao c 1 cos x sen x cos 2x sen 2x um subconjunto orto 5 a Encontre a aproximagao de minimos quadrados de gonal do espaco vetorial C0 277 em relago ao produto ax no intervalo 1 1 por um polinémio da forma interno f g So fxgx dx Ay ax ax d 1 cos x sen x cos 2x sen 2x é um subconjunto orto b Encontre o erro quadratico médio da aproximagao normal do espago vetorial C0 277 em relagao ao produ 6 Use o processo de GramSchmidt para obter a base ortonor to interno f g 0 Fxgx dx mal 5 a partir da base 3 e 1 cos x sen x cos 2x sen 2x é um subconjunto linear 7 Efetue as integracgGes indicadas em 9a 9b e 9c mente independente de C0 277 Capitulo 6 Exercicios suplementares 1 Suponha que R tenha o produto interno euclidiano 3 Suponha que M tenha o produto interno U V tr UV a Encontre um vetor em R que seja ortogonal a trV U definido no Exemplo 6 da Seciio 61 Descreva 0 com u 10 0 0 eu 0 0 0 1 e que faca angulos plemento ortogonal do subespaco de iguais com u 0 1 0 0 eu 0 0 1 0 a todas as matrizes diagonais b Encontre um vetor x x X X X de comprimento b todas as matrizes simétricas que seja ortogonal aos vetores u u dados na parte a 4 Seja Ax 0 um sistema de m equacGes em n incégnitas Mos e tal que o cosseno do angulo entre x e u seja o dobro do tre que cosseno do angulo entre x e u x 2 Prove se u v for o produto interno euclidiano de R e se A x for uma matriz n X n entio x u Ay Au v é uma soluc4o do sistema se e s6 se o vetor Sugestdo use o fato de que u v uv vu X x XX ortogonal a cada vetor linha de A em relacdo ao produto interno euclidiano de R 388 Algebra Linear com Aplicacées 5 Use a desigualdade de CauchySchwarz para mostrar que b Requer Calculo O que acontece com o Angulo 6 da par i 1 te a quando a dimensio n de R tende a a a4 a tee n 12 Sejam ue v vetores num espago com produto interno 1 2 n a Prove que lul v se e s6 se u ve u v sao orto quaisquer que sejam os ntimeros reais positivos d d d gonais 6 Mostre que se x e y forem quaisquer vetores num espaco com b Dé uma interpretacéo geométrica desse resultado em R produto interno e c um escalar qualquer entao com 0 produto interno euclidiano lex yl clxlP 2cx y ly 13 Sejam u um vetor num espaco com produto interno Ve 3 V V V uma base ortonormal de V Mostre que se a 7 Suponha que R tenha o produto interno euclidiano Encon for o Angulo entre we v entio tre dois vetores de comprimento 1 que sejam ortogonais a 5 5 5 cada um dos trés vetores u 1 1 1 u 2 1 2e cos a cos a cos a u 10 D 14 Prove se u v e u v forem dois produtos internos num es 8 Encontre um produto interno euclidiano ponderado em R tal paco vetorial V entaéo a quantidade u v u v u Vv que os vetores também é um produto interno v 100 0 15 Prove o Teorema 625 v 0 200 16 Prove se A tiver vetores coluna linearmente independentes e v 00 V3 0 b for ortogonal ao espaco coluna de A entao a solucgao de mi eee nimos quadrados de Ax béx 0 17 Existe algum valor de s com o qual x 1 ex 2 sejaa so v 000n lucg4o de minimos quadrados do sistema linear dado formem um conjunto ortonormal X y l 9 Existe algum produto interno euclidiano ponderado em R no 2x 3x 1 qual os vetores 1 2 e 3 1 formem um conjunto ortonor 4x 5x5 mal Justifique sua resposta 10 Se ue v forem vetores num espacgo com produto interno V Explique seu raciocinio entdo u Ve u v podem ser considerados como os lados de 18 Mostre que se p e qg forem inteiros positivos distintos entao as um triangulo em V ver figura Prove que a lei dos cosse fung6es fx sen px e gx sen gx sao ortogonais em rela nos vale para esses triangulos ou seja prove que ao ao produto interno llu vif lull Ivll 2lul lvl cos fg Fx gx dx em que 6 0 angulo entre ue v 19 Mostre que se p e g forem inteiros positivos entao as fungdes y FS cos px e gx sen qx sao ortogonais em relacgao ao y 2 uv produto interno Qa AN Mo fg Plxgta dx u Figura Ex10 0 11 a Conforme pode ser visto na Figura 326 os vetores k 0 0 0 k 0 e 0 0 k formam as arestas de um cubo em R com diagonal k k k Analogamente os vetores k000 0400 0004 podem ser considerados como as arestas de um cubo com diagonal k k k k Mostre que cada uma dessas arestas faz um Angulo 6 com a diagonal sendo cos 1Jn CAPITULO 7 1 1 s F Quadrati CONTEUDO DO CAPITULO 71 Matrizes ortogonais 389 72 Diagonalizagao ortogonal 397 73 Formas quadraticas 405 74 Otimizacéo usando formas quadraticas 417 75 Matrizes unitarias normais e hermitianas 424 INTRODUCAO Na Segao 52 encontramos condi6es que garantem que uma matrizn X n seja diagonalizavel mas nao consideramos qual classe ou classes de matrizes efetivamente satisfazem aquelas condigoes Neste capitulo mostramos que qualquer matriz simétrica é diagonalizavel Esse é um resultado extremamente importante por ser utilizado de maneira essencial em muitas aplicac6es 71 Matrizes ortogonais Nesta segao discutimos a classe das matrizes cujas inversas podem ser obtidas por transposigao Essas matrizes ocorrem numa variedade de aplicag6es e também surgem como as matrizes de transigao quando passamos de alguma base ortonormal para outra Comegamos com uma definiao Matrizes ortogonais DEFINICAQ 1 Dizemos que uma matriz quadrada A é ortogonal se sua transposta for No Teorema 163 j4 vimos que sua inversa ou seja se se uma das igualdades em 1 4 r for valida entao a outra também A A sera valida Assim A é ortogonal se valer AA Jou AA I ou equivalentemente se AA AA1 1 Uma matriz ortogonal 3 x 3 A matriz 3 2 8 7 7 7 6 3 2 A5 5G 2 6 3 7 7 7 é ortogonal pois 3 6 2 3 2 6 7 77 7 7 7 7 1 0 0 T 2 3 6 6 3 2 AA15 5 Glim7 7 7FO 1 0 6 2 3 2 6 3 0 0 1 7 7 7 7 7 7 390 Algebra Linear com Aplicacdes Matrizes de rotagdo e reflexao sao ortogonais Lembre pela Tabela 5 da Seco 49 que a matriz canénica da rotacao antihoraria de R por um angulo 0 é cos send A sen6 cos 0 Essa matriz ortogonal qualquer que seja a escolha de 6 pois ATA cos sencos sené 1 0 sen cossen cos 0 1 Deixamos para 0 leitor verificar que todas as matrizes de reflex4o nas Tabelas e 2 e to das as matrizes de rotac4o na Tabela 6 da Secao 49 sao ortogonais 4 Observe que nas matrizes ortogonais dos Exemplos e 2 tanto os vetores linha quanto os vetores coluna formam conjuntos ortonormais em relagao ao produto interno euclidiano Isso uma consequéncia do teorema a seguir TEOREMA 711 Sdo equivalentes as afirmagées dadas com matrizes A de tamanho nXn a A é ortogonal b Os vetores linha de A formam um conjunto ortonormal de R em relacdao ao pro duto interno euclidiano c Os vetores coluna de A formam um conjunto ortonormal de R em relacdo ao produto interno euclidiano Prova Provamos a equivaléncia de a e b e deixamos a equivaléncia de a e c como exercicio a b A entrada na iésima linha e jésima coluna da matriz produto AA éo produto escalar do iésimo vetor linha de A com o jésimo vetor coluna de A pela Formula 5 da Secao 13 No entanto exceto notacio o jésimo vetor coluna de A é 0 jésimo vetor linha de A Assim se r r forem os vetores linha de A entao o produto matricial AA pode ser expresso por r Y rYr eee rY AA Bek Teh ct Wel rt rf ue rf pela Formula 28 da Secao 32 Assim segue que AA se e sé se rer rjemn Hr 1 e ADVERTENCIA Observe que uma matriz ortogonal tem linhas rr0 quandoi j e colunas ortonormais e nao 1 simplesmente linhas e colunas que valem se e so se rF for um conjunto ortonormal de R ortogonais O proximo teorema enumera trés propriedades fundamentais adicionais de matrizes ortogonais As provas sao todas imediatas e deixadas para o leitor 71 Matrizes ortogonais 391 TEOREMA 712 a A inversa de uma matriz ortogonal é ortogonal b Um produto de matrizes ortogonais é ortogonal c SeA for ortogonal entdo detA 1 ou detA 1 detA 1 se A for uma matriz ortogonal A matriz tL a 2 v2 V2 é ortogonal pois seus vetores linha e coluna formam conjuntos ortonormais de Rem relagao ao produto interno euclidiano Deixamos para o leitor verificar que detA 1 e que uma troca de linhas produz uma matriz ortogonal com detA 1 4 Observamos no Exemplo 2 que sao ortogonais as matrizes candnicas dos operadores ba Matrizes ortogonais como sicos de reflexao e rotagao de ReRO proximo teorema explica por que isso ocorre operadores matriciais TEOREMA 713 Sdo equivalentes as afirmagées dadas com matrizes A de tamanho nxn a A é ortogonal b Ax x qualquer que seja x em R c Ax Ay xy quaisquer que sejam x e y em R Prova Provamos a sequéncia de implicag6es a b c a a b Suponha que A seja ortogonal de modo que AA I Segue da Formula 26 da Seco 32 que Axl Ax Ax x AAX x x Ix b ec Suponha que Ax x qualquer que seja x em R Pelo Teorema 327 temos Ax Ay jAx AylP glAx Ayll ZAG yIP GAG yIF 4lixtyll ZIxyl xy c a Suponha que Ax Ay x y quaisquer que sejam x y em R Segue da Fér mula 26 da Seco 32 que xyxAAy que pode ser reescrito como x AAy y 0 ou como xAA Dy 0 Como essa equacio é valida qualquer que seja x em R em particular vale sempre que x AA Dy portanto AA 1y AA Ty 0 Assim segue do axioma da positividade dos produtos internos que AA Iy0 Como essa equacio é valida qualquer que seja o vetor y em R necessariamente AA 1 é a matriz nula por qué e portanto AA J Assim A é ortogonal 4 392 Algebra Linear com Aplicacées ee eee Considerado do ponto de vista de transformag6es matriciais o Teorema 713 tem As partes a e c do Teorema eae n Paiepanerenmmanertonenics uma interpretagao geométrica util Se A for uma matriz ortogonal e T R R a multi a licac4o por A dizemos que 7 é um operador ortogonal de R Segue das partes a e b res ortogonais mantém inaltera piicagao Pp q A P se P a 6 dos os dngulos entre dois veto do Teorema 713 que os operadores ortogonais de R sao precisamente os operadores que res Por qué mantém inalterados os comprimentos de todos os vetores Isso explica por que no Exem plo 2 as matrizes das reflexGes e rotagdes de R eR resultaram ortogonais Mudanca de bases As bases ortonormais de espagos com produto interno sdo convenientes porque como ortogonais mostra o teorema seguinte muitas formulas familiares sao validas com essas bases A prova é deixada como exercicio TEOREMA 714 Se S for uma base ortonormal de um espaco com produto interno V de dimensGo ne se U Uy UsU Vs Uy U0U entao 2 2 2 a lul u tu tu 2 2 2 b dtu v V4 0 uy 2 CU Y c UV uv u 0 4 0 Observacao Note que as trés partes do Teorema 714 podem ser expressas como lull sl du v dus vs a Us Vs em que a norma a distancia e o produto interno dos lados esquerdos sfo em relago ao produto interno de V e nos lados direitos em relacgao ao produto interno euclidiano de R As transig6es entre bases ortonormais de um espaco com produto interno sao de im portancia especial na Geometria e em varias aplicagdes O préximo teorema cuja prova sera adiada para o final desta secao trata dessas transig6es TEOREMA 715 Seja V um espaco com produto interno de dimensdo finita Se P for a matriz de transido de uma base ortonormal de V para uma outra base ortonormal de V entdo P é uma matriz ortogonal Rotagao de eixos no espaco bidimensional Em muitos problemas é dado um sistema de coordenadas retangulares xy que girado no sentido antihorario em torno da origem por um Angulo 6 produz um novo sistema de coordenadas xy Quando isso é feito cada ponto Q do plano tem dois conjuntos de co ordenadas a saber as coordenadas x y em relagio ao sistema xy e as coordenadas xy em relacao ao sistema xy Figura 711 Introduzindo vetores unitarios u e u ao longo dos eixos x e y positivos e vetores unitarios uj e uw ao longo dos eixos x e y positivos podemos considerar essa rotag4o como uma mudanga de uma base velha B u u para uma nova B uj us Figura 711b Assim as coordenadas novas x y e as coordenadas velhas x y de um ponto Q estarao relacionadas por Mert y y 2 71 Matrizes ortogonais 393 onde P é a matriz de transigo de B para B Para encontrar P devemos determinar as matri zes de coordenadas dos vetores uj e u da base nova em relagao a base velha Conforme in dicado na Figura 711c os componentes de uj na base velha sao cos 6 e sen 8 de modo que u cosé u sen6 Analogamente pela Figura 711d vemos que os componentes de u na base velha sio cos 772 sen e sen 72 cos 0 de modo que fu sené U ae cos 6 Assim a matriz de transicao de B para B é P cos send 3 sen cos Observe que P é uma matriz ortogonal como era de se esperar pois B e B sao bases ortonormais Assim pipe cos send 7 sen cosé e portanto por 2 x cos sené x 4 y Lsen cos Ly ou equivalentemente x xcosd ysend 5 y xsen6 ycosé Essas equagoes costumam ser chamadas de equacées de rotagao de R yi AY yl AY yl AY wy oy u ww Trrsst ey wae 7 x ul u x sen 6 3 O 3 x 6 x 6 6 sen x 6 x a cos 0 cos 6 3 a b c d Figura 711 Rotacao de eixos no espaco bidimensional Use a forma 4 das equagGes de rotagdo de R para encontrar as coordenadas novas do ponto Q2 1 se os eixos coordenados de um sistema de coordenadas retangulares forem girados por um angulo de 6 774 Solugao Como 7 7 1 sen cos 4 4 V2 a equacao em 4 é dada por 1 I 3 Se 1 1 y BOB y 394 Algebra Linear com Aplicacdes Assim se as coordenadas velhas de um ponto Q forem x y 2 1 entao tL tL aa x 2 v2 2 7 yf fet Ly yl fe v2 v2 v2 ho x y LE e portanto as coordenadas novas de Q sao x y ww Observacao Note que a matriz de coeficientes em 4 é igual 4 matriz canénica do operador linear que efetua a rotag4o dos vetores de R pelo Angulo 6 ver nota marginal da Tabela 5 da Seco 49 Isso era de se esperar pois girar os eixos coordenados por um Angulo 6 com os vetores de R manti dos fixados tem o mesmo efeito que girar os vetores por um Angulo 6 com os eixos mantidos fixados Rotagao de eixos no espaco tridimensional z Ae Suponha que um sistema de coordenadas retangulares xyz seja girado em torno do eixo z no sentido antihorario olhando para baixo ao longo do eixo z positivo por um angulo u Au 6 Figura 712 Introduzindo vetores unitarios u u e u ao longo dos eixos x y e z yl positivos e vetores unitarios uj ue uy ao longo dos eixos x y e z positivos podemos uy considerar essa rotagao como uma mudanga de uma base velha B u u u para uma nova B uj us uy Em vista do Exemplo 4 deveria ser evidente que u u cos é send y ui sen6 e uj cosd 0 0 Figura 712 Além disso como uj se estende ao longo de uma unidade para cima no eixo z positivo temos 0 uy 0 1 Segue que a matriz de transico de B para B é cosé senéd 0 P send cosé 0 0 0 1 e a matriz de transigao de B para B é cos send 0 P sen cosd 0 0 0 1 verifique Assim as coordenadas novas x y z de um ponto Q podem ser calculadas a partir das coordenadas velhas x y z por x cosO send O0x y sen cos Oy 4 z 0 0 I z OPCIONAL Concluimos esta segéo com uma prova opcional do Teorema 715 Prova do Teorema 715 Suponha que V seja um espaco com produto interno de di mensao n e que P seja a matriz de transigdo de uma base ortonormal B para uma base ortonormal B Denotemos a norma em relaco ao produto interno de V pelo simbolo 71 Matrizes ortogonais 395 para distinguila da norma relativa ao produto interno euclidiano de R que denotamos por I Lemb denot Para provar que P é ortogonal vamos usar 0 Teorema 713 e mostrar que Px embre que u denota um ve h Looe tor de coordenadas escrito no x qualquer que seja o vetor x em R Como um primeiro passo nessa diregao lembre formato de virgulas ao passo que pelo Teorema 714a a norma de qualquer vetor u em V em relacdo a qualquer base que ul denota um vetor de co ortonormal de V é a mesma que a norma do vetor de coordenadas em relacgdo ao produto ordenadaslescritomoltormatolde interno euclidiano de R ou seja coluna full Ioedell teal ou fully ed ll Pcadelh 6 Seja agora x um vetor qualquer em R e seja u o vetor em V cujo vetor de coordenadas em relagao a base B x ou seja u x Assim por 6 full IIxl Px provando que Péortogonal 4 Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Matriz ortogonal e Ser capaz de identificar uma matriz ortogonal e Operador ortogonal e Saber os valores possiveis do determinante de uma matriz e Propriedades de matrizes ortogonais ortogonal e Propriedades geométricas de um operador ortogonal e Encontrar as novas coordenadas de um ponto que e Propriedades da matriz de transigéo de uma base resultam de uma rotagao de eixos ortonormal para outra Conjunto de exercicios 71 1 a Mostre que a matriz 3 Em cada parte determine se a matriz é ortogonal Se for obte nha a inversa 4 0 3 5 5 1 1 Az2 4 B 1 0 4 25 5 25 a b ve v an 01 uo ortogonal de trés maneiras calculando AA usando a O11 t i 1 1 parte b do Teorema 711 e usando a parte c do Teo v2 v2 vs 8 rema 711 c1 0 0 d 0 Ve VB b Encontre a inversa da matriz A da parte a 0 0 w a a a 2 a Mostre que a matriz 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 1 0 0 90 3 3 3 1 s 1 1 0 t 1 0 2 2 1 2 6 6 6 v3 2 3 e 1 1 1 3 f 0 7 7 1 2 1 2 2 6 6 6 v3 3 3 3 1 1 5 1 a 1 2 6 6 6 o wz ortogonal b SejaT RR a multiplicagao pela matriz A da parte 4 Prove que se A for ortogonal entao A sera ortogonal a Encontre 7x com o vetor x 2 3 5 Usan do o produto interno euclidiano de R verifique que 5 Verifique que as matrizes de reflexdo nas Tabelas 1 e 2 da Se 70 IIx cao 49 sao ortogonais 396 Algebra Linear com Aplicacdes 6 Sejaxy o sistema de coordenadas retangulares obtido pela 14 Prove que uma matriz ortogonal A de tamanho 2 X 2 é de uma rotagao do sistema de coordenadas retangulares xy no sentido de duas formas possiveis a saber antihorario pelo angulo 6 374 a Encontre as coordenadas xy do ponto cujas coordenadas A se Q eal ou A fen 0 vor xy sao 2 6 send cos send cosd b Encontre as coordenadas xy do ponto cujas coordenadas onde 0 6 2m Sugestdo comece com uma matriz arbi xy sao 5 2 traria A a de tamanho 2 X 2 use 0 fato que os vetores 7 Repita o Exercicio 6 com 773 coluna formam um conjunto ortonormal de R 8 Seja xyz o sistema de coordenadas retangulares obtido pela 15 a Use o resultado do Exercicio 14 para provar que a multi rotagao do sistema de coordenadas retangulares xyz no sentido plicag4o por uma matriz ortogonal 2 X 2 é uma rotacdo antihordrio em torno do eixo z olhando para baixo no eixo z ou uma reflexdo seguida por uma rotacao positivo pelo angulo 74 b Mostre que a multiplicagdo por A é uma rotagao se detA a Encontre as coordenadas xyz do ponto cujas coordena e uma rotacdo ou uma reflexio seguida por uma das xyz sao 1 2 5 rotagao se detA 1 b Encontre as coordenadas xyz do ponto cujas coordenadas 16 Em cada parte use o resultado do Exercicio 15 para determi xyz so 1 6 3 nar se a multiplicacgdo por A é uma rotacAo ou uma reflexao 9 Repita o Exercicio 8 com uma rotac4o no sentido antihorario seguida por uma rotagao Encontre o angulo de rotagao em em torno do eixo y olhando ao longo do eixo y positivo para a ambos 0s casos origem pelo angulo 6 773 1 1 1 10 Repita o Exercicio 8 com uma rotac4o no sentido antihorario a A v2 2 b A 2 2 em torno do eixo x olhando ao longo do eixo x positivo para a yw 8 5 origem pelo angulo 6 374 opp 17 Encontre a be c tais que a matriz 11 a Sejaxyz o sistema de coordenadas retangulares obtido pela rotacao do sistema de coordenadas retangulares xyz a took no sentido antihordrio em torno do eixo y olhando ao v2 v2 longo do eixo y positivo para a origem pelo angulo 6 b x K Encontre uma matriz A tal que c a1 a v3 v3 4A seja ortogonal SAo unicos tais valores de a b e c Explique y 18 O resultado do Exercicio 15 tem um andlogo para matrizes ortogonais 3 X 3 como segue Pode ser provado que a multi onde x y 2 xyz sfio as coordenadas do mesmo plicagao por uma matriz ortogonal A de tamanho 3 x 3 éuma ponto nos sistemas xyz e xyz respectivamente rotagao em torno de algum e1xo se detA leé uma rota cao em torno de algum eixo seguida por uma reflex4o num b Repita a parte a com uma rotaao em torno do eixo x plano coordenado se detA 1 Em cada parte determine 12 Sejaxyz o sistema de coordenadas retangulares obtido pela se a multiplicacgéo por A é uma rotagfo ou uma rotacao segui rotac4o do sistema de coordenadas retangulares xyz no sentido da por uma reflex4o antihordério em torno do eixo z olhando para baixo ao longo 5 6 5 6 do eixo z positivo pelo angulo de 60 e seja xyz o sistema 7 7 7 7 7 7 de coordenadas retangulares obtido pela rotacgao do sistema a A F 3 b A de coordenadas retangulares xyz no sentido antihorério em 2 6 3 6 2 3 torno do eixo y olhando ao longo do eixo y positivo para a 7 7 7 7 7 7 origem pelo angulo de 45 Encontre uma matriz A tal que 19 Use o fato enunciado no Exercicio 18 e a parte b do Teorema x x 712 para mostrar que a composicao de rotagdes pode ser ylaly sempre realizada por uma Unica rotac4o em torno de algum 2 eixo apropriado 20 Prove a equivaléncia das afirmacées a e c do Teorema 711 onde x y z e x y 2 sio as coordenadas do mesmo ponto 21 Dizemos que um operador matricial de R é rigido se mantiver nos sistemas xyz e x y z respectivamente o comprimento dos vetores e que preserva Gngulo se nao mu 13 Quais condigdes devem satisfazer a e b para que a matriz dar o angulo entre vetores nao nulos a Dé o nome de dois tipos distintos de operadores que so K b b rigidos ab ba Lo we b Dé o nome de dois tipos distintos de operadores que pre seja ortogonal servam Angulo 72 Diagonalizagao ortogonal 397 c Existem operadores matriciais de R que sejam rigidos c Uma matriz A de tamanho m X n é ortogonal se AA I e nao preservem angulo Que preservem Angulo e nao d Uma matriz quadrada cujas colunas formam um conjunto or sejam rigidos Justifique suas respostas togonal é ortogonal Exercicios verdadeirofalso e Qualquer matriz ortogonal é invertivel 2 4 Nas partes ah determine se a afirmacaAo é verdadeira ou falsa f Sea for ume matriz ortogonal entao A sera ortogonal e justificando sua resposta det Ay 1 1 0 g Qualquer autovalor de uma matriz ortogonal tem valor abso luto 1 a Amatriz 0 1 é ortogonal 0 0 h Se A for uma matriz quadrada tal que Aul 1 qualquer que seja o vetor unitdrio u entaéo A sera ortogonal l 2 b A matriz 1 ortogonal 72 Diagonalizagao ortogonal Nesta secao tratamos do problema de diagonalizar uma matriz simétrica A Como veremos esse problema esté muito relacionado com o de encontrar uma base ortonormal de R que consista em autovetores de A Problemas desse tipo sao importantes porque muitas das matrizes que aparecem nas aplicag6es sao simétricas Na Definicao da Secgao 52 definimos duas matrizes quadradas A e B como sendo se O problema da melhantes se existir alguma matriz invertivel P tal que P AP B Nesta segao tratamos djagonalizacao ortogonal do caso especial em que possivel encontrar uma matriz ortogonal com a qual valha essa relacao DEFINICAO 1 Sejam A e B matrizes quadradas Dizemos que A e B sao ortogonal mente semelhantes se existir alguma matriz ortogonal P tal que PAP B Se A for ortogonalmente semelhante a alguma matriz diagonal digamos PAP D dizemos que A é ortogonalmente diagonalizavel e que P diagonaliza A ortogonalmente Nosso primeiro objetivo nesta segao é determinar quais condigdes devem ser satis feitas por uma matriz para que seja ortogonalmente diagonalizavel Como um primeiro passo observe que nao ha esperanga de diagonalizar uma matriz que nao seja simétrica Para ver por que isso é assim suponha que PAP D 1 onde P é uma matriz ortogonal e D é uma matriz diagonal Multiplicando 0 lado esquerdo de 1 por P 0 lado direito por P e usando o fato de que PP PP I podemos rees crever essa equacao como A PDP 2 Agora transpondo ambos os lados dessa equagao e usando o fato de que uma matriz dia gonal é igual a sua transposta obtemos A PDP PDP PDP A portanto A deve ser simétrica 398 Algebra Linear com Aplicacdes Condigées para a O préximo teorema mostra que qualquer matriz simétrica é de fato ortogonalmente dia diagonalizacao ortogonal gonalizavel Nesse teorema e no restante desta segao ortogonal significa ortogonal em relacdo ao produto interno euclidiano de R TEOREMA 721 Se A for uma matrizn X n entdo as afirmagées seguintes sao equi valentes a A é ortogonalmente diagonalizdvel b A tem um conjunto ortonormal de n autovetores c A é simétrica Prova a b Como A é ortogonalmente diagonalizavel existe alguma matriz or togonal P tal que PAPé diagonal Como mostramos na prova do Teorema 521 os n vetores coluna de P sao autovetores de A Como P é ortogonal esses vetores coluna s4o ortonormais de modo que A tem n autovetores ortonormais b a Suponha que A tenha um conjunto ortonormal p p p de n autove tores Como mostramos na prova do Teorema 521 a matriz P que tem esses autovetores como colunas diagonaliza A Como esses autovetores sao ortonormais P é ortogonal e assim diagonaliza A ortogonalmente a c Na prova de a b mostramos que uma matriz A de tamanho n X n orto gonalmente diagonalizavel é ortogonalmente diagonalizada por uma matriz P de tamanho n X ncujas colunas formam um conjunto ortonormal de autovetores de A Seja D a matriz diagonal D PAP do que segue que A PDP Assim A PDP PDP PDP A o que mostra que A simétrica c a A prova dessa parte esta esbogada no Exercicio 21 4 Propriedades de matrizes Nosso proximo objetivo é construir um procedimento para diagonalizar ortogonalmente simétricas uma matriz simétrica mas antes de poder fazer isso precisamos do resultado critico se guinte sobre autovalores e autovetores de matrizes simétricas TEOREMA 722 Se A for uma matriz simétrica valem as afirmagées seguintes a Os autovalores de A sao reais b Autovetores de autoespacos diferentes sao ortogonais A prova da parte a que requer conhecimentos de espacos vetoriais complexos sera discutida na Secao 75 Prova b Sejam v e v autovetores associados aos autovalores distintos A e A da ma triz A Queremos mostrar que v Vv 0 Nossa prova disso envolve o truque de comegar com a expressao AV v Segue da Formula 26 da Secao 32 e da simetria de A que Av VVA Vv v Av 3 72 Diagonalizagao ortogonal 399 Como v é um autovetor de A associado a A e v um autovetor de A associado a X segue de 3 a relagado AV Vy V AQ que pode ser reescrita como A AV V2 0 4 Mas A A 0 j4 que A eA sdo distintos Assim segue de 4 quevv 0 4 O Teorema 722 fornece 0 procedimento seguinte para diagonalizar uma matriz simétrica Diagonalizagao ortogonal de uma matriz simétrica n xX n Passo I Encontre uma base de cada autoespaco de A Passo 2 Aplique o processo de GramSchmidt a cada uma dessas bases para obter uma base ortonormal de cada autoespaco Passo 3 Forme a matriz P cujas colunas sao os vetores de base construidos no Passo 2 Essa matriz diagonaliza A ortogonalmente e os autovalores na diagonal de D PAP estarao na mesma ordem que seus autovetores associados em P Observacao A justificativa para esse procedimento deveria estar clara O Teorema 722 garante que autovetores de autoespacos diferentes sAo ortogonais e aplicar 0 processo de GramSchmidt garante que os autovetores obtidos dentro de um mesmo autoespaco sao ortonormais Segue que 0 conjunto inteiro de autovetores obtidos por esse procedimento é ortonormal Diagonalizando ortogonalmente uma matriz simétrica Encontre uma matriz ortogonal P que diagonaliza 4 2 2 A2 4 2 2 2 4 Solucao Deixamos para 0 leitor verificar que a equacao caracteristica de A é A4 2 2 detAl A det 2 A4 2 A2A8 0 2 2 A4 Assim os autovalores distintos de A sao A 2 eA 8 Pelo método usado no Exemplo 7 da Secdo 51 pode ser mostrado que 1 1 u 1 w 0 5 0 1 formam uma base do autoespago associado a A 2 Aplicando o processo de Gram Schmidt a u u obtemos os autovetores ortonormais seguintes tL v2 v6 1 1 v Wp e wy 6 2 0 Ve 400 Algebra Linear com Aplicacdes O autoespaco associado aA 8 tem 1 u 1 1 como base Aplicando 0 processo de GramSchmidt a u ou seja normalizando u obtemos 1 V3 ao Y VB ae V3 Finalmente usando y v e v como vetores coluna obtemos tL LL a v2 v6 V3 P tL tL aa v2 v6 v3 0 2 as v6 V3 que diagonaliza A ortogonalmente Deixamos para o leitor confirmar que tL aa 0 tL Lb aa v2 v2 422 V2 v6 v3 2 0 0 T tL 2 tL tL aL 1 1 224 0 2 1 0 0 8 V3 v3 v3 v6 v3 Decomposicao espectral Se A for uma matriz simétrica ortogonalmente diagonalizada por Pu uu eseAAA forem os autovalores de A associados aos vetores unitarios U U U entio sabemos que D PAP onde D é uma matriz diagonal com os autovalores ao longo da diagonal Segue disso que a matriz A pode ser expressa como r Xr 1 QO O U 0 dv 0 uw APDP u u ul T 0 0 A uw T u T u Au AuU AU T U Multiplicando essas matrizes obtemos a formula T T T AAuu AuuAuU 7 que é denominada uma decomposigao espectral de A A terminologia decomposicdo espectral faz referéncia ao espectro de uma matriz que é como muitas vezes é denominado 0 conjunto de todos os autovalores de uma matriz A terminologia decomposigdo em autovalores se deve a Dan Kalman que a introduziu num artigo cientifico premiado intitulado A Singularly Valuable De composition The SVD of a Matrix publicado no College Mathematics Journal Vol 27 No 1 January 1996 72 Diagonalizacao ortogonal 401 Observe que cada termo na decomposico espectral de A tem a forma Auu em que u é um autovetor unitario de A em forma de coluna e A é um autovalor de A associado a u Como u tem tamanho n X 1 segue que o produto uu tem tamanho n X n Pode ser de monstrado mas nao 0 faremos aqui que uu é a matriz canénica da projecao ortogonal de R no subespaco gerado pelo vetor u Aceitando isso a decomposiao espectral de A nos diz que a imagem de um vetor x pela multiplicagao por uma matriz simétrica A pode ser obtida projetando x ortogonalmente sobre as retas subespacos unidimensionais determi nadas pelos autovetores de A depois utilizando os autovalores para adequar os tamanhos das projecoes e finalmente somando as projegdes modificadas Aqui temos um exemplo Uma interpretagao geométrica de uma decomposiao espectral A matriz A 1 2 2 2 tem autovalores 3 eA 2 com autovetores associados 1 2 X verifique Normalizando esses vetores de base obtemos aa a x V5 x v5 ie 2 A pena fo V5 V5 de modo que uma decomposigao espectral de A é 1 2 as 2 V5 1 2 V5 2 1 5 ruuyhuul3 Yi ye Sie V5 V5 1 2 4 2 5 5 5 5 D 5 gfF 1 8 5 5 5 5 onde conforme observado acima as matrizes 2 X 2 do lado direito de 8 s4o as matrizes canonicas das projeg6es ortogonais sobre os autoespacos associados aA 3 eA 2 respectivamente Agora vejamos 0 que essa decomposiao espectral nos diz sobre a imagem do vetor x 1 1 na multiplicagao por A Escrevendo x em forma de coluna temos que Ax 1 21 3 9 l2 2 11 Lo e de 8 segue 1 2 4 2 1 2 1 3 s1 3 sffl Ax 3 2 x sli Af atti 5 5 5 5 1 6 3 2 H 5 5 3 12 3 3 5 5 402 Algebra Linear com Aplicacdes As Formulas 9 e 10 fornecem duas maneiras diferentes de visualizar a imagem do vetor 1 1 pela multiplicagao por A A Férmula 9 nos diz diretamente que a imagem desse ve tor é 30 enquanto a Férmula 10 nos diz que essa imagem também pode ser obtida pro jetando 1 1 nos autoespagos associados aA 3 eA 2 para obter os vetores zt 2 e S 3 depois adequando os tamanhos desses vetores com a utilizagao dos autovalores 3 6 12 6 x para obter 2 9 e 4 9 e entio somando esses vetores ver Figura 721 dy 2 x1 1 2 55 6 3 12 rood 3 5 5 ee y Ax 3 0 3 6 Ny 5 Figura 721 Ay3 O caso nao diagonalizavel Se A for uma matriz que nao é diagonalizavel ortogonalmente ainda pode ser possivel al cancar uma simplificacio consideravel na forma de PAP pela escolha apropriada da ma triz ortogonal P Consideramos dois teoremas sem demonstragao que ilustram isso O primeiro devido ao matematico alemAo Issai Schur afirma que qualquer matriz quadrada A com autovalores reais ortogonalmente semelhante a uma matriz triangular superior que tem os autovalores de A na diagonal principal TEOREMA 723 Teorema de Shur Se A for uma matrizn X n com entradas reais e autovalores reais entdo existe uma matriz ortogonal P tal que PAP é uma matriz triangular superior da forma Ny X X c X O A xX s X PAP 0 0 A X 11 0 0 O X na qual XA4 Sao os autovalores da matriz A repetidos de acordo com a mul tiplicidade SF Nota historica A vida do matematico alemao Issai Schur é uma triste lembranga do efeito ie que a politica nazista teve sobre os intelectuais judeus durante os anos 1930 Schur foi um ee matematico brilhante e um expositor famoso que atraiu muitos alunos e professores para a DD je y Universidade de Berlim onde trabalhava e lecionava Suas conferéncias as vezes atraiam 1 o tantos alunos que os que sentavam nas Uultimas filas utilizavam bindéculos para vélo A vida de t oa mg Schur ficou cada vez mais dificil durante o regime nazista e em abril de 1933 foi forgado a se Pe aposentar da universidade por causa de uma lei que proibia nao arianos de manter posiao a ia de servidor civil Houve uma revolta por parte de muitos alunos e colegas que o respeita A set f 4A a vam e admiravam mas isso nao impediu seu afastamento completo em 1935 Shur que se me fs considerava um alemao leal em vez de judeu nunca entendeu a perseguido e a humilhagao hE que sofreu nas mos dos nazistas Em 1939 um homem quebrado deixou a Alemanha pela AF Palestina Sem recursos financeiros ele teve de vender seus adorados livros de Matematica e viveu na pobreza até sua morte em 1941 Issai Schur Imagem Cortesia Electronic Publishing Services Inc New York City 18751941 72 Diagonalizagao ortogonal 403 E comum denotar a matriz triangular superior em 11 por S de Schur caso em que aquela equacao pode ser reescrita como A PSP 12 que é entaéo denominada uma decomposigao de Schur de A O préximo teorema devido ao matematico e engenheiro alemao Karl Hessenberg xxx xX 19041959 afirma que qualquer matriz quadrada com entradas reais ortogonalmente x xX X X semelhante a uma matriz na qual cada entrada abaixo da primeira subdiagonal é zero xX XX Xx Xx Figura 722 Dizemos que uma matriz dessas esté em forma de Hessenberg superior x X XX X x X X x Primeira subdiagonal TEOREMA 724 Teorema de Hessenberg Figura 722 Se A for uma matrizn X n com entradas reais entdo existe uma matriz ortogonal P tal que PAP é da forma xX X s X xX xX X X xX X P A P 0 x x x x 13 OO ee 13 Observe que diferente das en nn a tradas em 11 as entradas na diagonal de 13 nao sao em ge 0 0 0 x x ral os autovalores de A E comum denotar a forma de Hessenberg superior em 13 por H de Hessenberg caso em que aquela equacao pode ser reescrita como A PHP 14 que é entéo denominada uma decomposicdo de Hessenberg superior de A Observacéo Em muitos algoritmos numéricos a matriz inicial é primeiro convertida 4 forma de Hessenberg superior reduzindo com isso a quantidade de calculos nas etapas subsequentes do al goritmo Muitos pacotes computacionais tém comandos proprios para encontrar as decomposicées de Schur e de Hessenberg Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Matrizes ortogonalmente semelhantes e Ser capaz de reconhecer uma matriz ortogonalmente e Matrizes ortogonalmente diagonalizaveis diagonalizavel e Decomposicio espectral e Saber que os autovalores de matrizes simétricas sao a numeros reais e Decomposicao de Shur e Saber que os autovetores de autoespacos distintos de uma e Subdiagonal ve matriz simetrica sao ortogonais e Forma de Hessenberg superior e Ser capaz de diagonalizar ortogonalmente uma matriz e Decomposigao de Hessenberg superior simétrica e Ser capaz de encontrar a decomposica4o espectral de uma matriz simétrica e Conhecer o enunciado do Teorema de Shur e Conhecer o enunciado do Teorema de Hessenberg 404 Algebra Linear com Aplicacées Conjunto de exercicios 72 1 Em cada parte encontre a equagao caracteristica da matriz si 13 Use o resultado do Exercicio 19 da Seco 51 para provar o métrica dada e depois por inspec4o determine as dimensGdes Teorema 722a com matrizes 2 X 2 simétricas dos autoespagos 14 Existe alguma matriz 3 X 3 simétrica com autovalores 1 4 2 A 1A 34 7 autovetores associados a bs 4 1 2 0 0 2 4 2 2 2 1 0 1 111 4 2 2 i 0 yl rot 2 4 2 Se existir encontre tal matriz e se nao existir explique por 1 1 1 22 4 qué 440 0 2 1 0 0 15 E verdadeira a reciproca do Teorema 722b Explique e 4 4 0 0 1 2 0 0 16 Em cada parte encontre a decomposicao espectral da matriz 10 0 0 0 0 0 21 3 1 6 2 000 0 0 01 2 My 3 M5 3 3 1 2 2 0 36 Nos Exercicios 29 encontre uma matriz P que diagonaliza A 1 3 2 4 0 3 0 ortogonalmente e determine PAP d 2 2 0 36 0 23 301 6 273 2 A 1 3 3 A 237 17 Mostre que se A for uma matriz simétrica e ortogonal entao 1 e 1 so seus tnicos autovalores possiveis 6 2 0 36 18 a Encontre uma matriz 3 X 3 simétrica cujos autovalores 4 A 5 A 0 3 0 sejam A 1A 3 A 7 os autovetores associa 2 3 36 0 23 dos sejam v 0 1 1 v 1 0 0 v 1 1 b Existe alguma matriz 3 x 3 simétrica com autovalo 1 1 0 21 l resA 1A 3A 7 e autovetores associados 6 A1 1 0 7 AI1 2 1 v 0 1 1 v 1 0 0 v C1 1 1 Explique 0 0 0 1 l 2 seu raciocinio 310 0 7 24 0 0 19 Seja A uma matriz diagonalizavel tal que autovetores associa dos a autovalores distintos sejam ortogonais A sera necessa 8 A 130 0 9 A 24 7 0 0 riamente simétrica Explique seu raciocinio 00 0 0 0 0 7 24 20 Prove se u uu for uma base ortonormal de R e se 09 0 0 0 0 0 24 7 A puder ser expressa como 10 Supondo que b 0 encontre uma matriz que diagonaliza or Tr togonalmente a matriz A uu Ayuu to AU ab entao A é simétrica e tem autovalores AAA b 21 Neste exercicio estabelecemos que uma matriz A é ortogo nalmente diagonalizavel se e sé se é simétrica Ja mostramos 11 Prove que se A for uma matriz m X n qualquer entao AA tem que uma matriz diagonalizavel ortogonalmente é simétrica A um conjunto ortonormal de n autovetores parte mais dificil é provar que uma matriz simétrica é diago 12 a Mostre que se v for uma matriz n X 1 qualquer e for a nalizavel ortogonalmente Procedemos em duas etapas mos matriz identidade n X n entio J wv diagonalizavel trando primeiro que A é diagonalizavel e depois usando isso ortogonalmente mostrando que A é diagonalizavel ortogonalmente b Encontre uma matriz P que diagonaliza I vv ortogo a Suponha que A seja uma matriz n x n simétrica Uma nalmente sendo maneira de provar que A é diagonalizavel mostrar que a multiplicidade geométrica de qualquer autovalor A é 1 igual 4 multiplicidade algébrica desse autovalor Para v10 isso se a multiplicidade geométrica de A for k tomamos l uma base ortonormal By u U U do autoespa o associado a A estendemos essa base a uma base orto 73 Formas quadraticas 405 normal B u uu de R e tomamos a matriz P Exercicios verdadeirofalso cujas colunas Sa0 OS vetores de B Conforme mostramos Nas partes ag determine se a afirmacao é verdadeira ou falsa no Exercicio 34b da Secao 52 o produto AP pode ser justificando sua resposta escrito como ror a Se A for uma matriz quadrada entao AA e AA serao ortogo AP P x nalmente diagonalizaveis 0 y b Se v e v forem autovetores de autoespacos distintos de uma Use 0 fato de que B é uma base ortonormal para provar matriz simétrica entio v v lv llvoll que X 0 a matriz nula de tamanho n X n k c Qualquer matriz ortogonal é ortogonalmente diagonalizavel b Segue da parte a e do Exercicio 34c da Segao 52 que d Se A for uma matriz ortogonalmente diagonalizavel e tam 0 polindmio caracteristico de A igual ao de bém invertivel entao A é ortogonalmente diagonalizavel C Aol 0 e Qualquer autovalor de uma matriz ortogonal tem valor abso 0 Y luto 1 Use esse fato e o Exercicio 34d da Seco 52 para f Se A for uma matriz n X n ortogonalmente diagonalizavel provar que a multiplicidade algébrica de A é igual A entao existe alguma base ortonormal de R formada de auto multiplicidade geométrica de A Isso estabelece que A é vetores de A diagonalizavel g Se A for ortogonalmente diagonalizavel entéo A tem autova c Use o Teorema 722b e 0 fato de A ser diagonalizavel lores reais para provar que A é ortogonalmente diagonalizavel 73 Formas quadraticas Nesta secao utilizamos métodos matriciais para estudar fung6es reais de varias varidveis nas quais cada termo é 0 quadrado de alguma varidvel ou o produto de duas variaveis Essas fungdes surgem em uma variedade de aplicag6es que incluem as vibragGes de sistemas mecanicos bem como a Geometria a Estatistica e a Engenharia Elétrica Expresses da forma Definigao de uma forma uadratica AX t axX ax q ocorreram no nosso estudo de equagoes e sistemas lineares Se d d a forem tra tados como constantes fixadas entao essa expressdo é uma funcao real das n varidveis X1 X5X denominada forma linear de R Numa forma linear todas as varidveis aparecem na primeira poténcia e nao ha produtos de variaveis Agora estudamos formas quadraticas de R que sao fungées da forma ax ax ax todos os termos aXxX possiveis nos quais x x Cada termo da forma a xx denominado termo com produto misto ou as vezes termo misto Para evitar duplicagao costume combinar os termos com produto misto envol We a 2 vendo xx com os termos envolvendo xx Assim uma forma quadratica arbitraria de R pode ser escrita como 2 2 a xX ax 2a x x 1 e uma forma quadratica arbitraria de R como 2 2 2 AX ax ax 2a x xX 2a x x 2a x x 2 Se nao fizermos alguma distingao entre o nimero a e a matriz X a e se x denotar o vetor coluna das variaveis entéo 1 e 2 podem ser dados em formato matricial como a ax T x e E axx a3 43 x a a as fx JA x X5 x a G a x x Ax a5 4g 43 L3 406 Algebra Linear com Aplicacées verifique Observe que a matriz A nessas formulas é simétrica suas entradas na diagonal sao os coeficientes dos termos com quadrado e suas entradas fora da diagonal s4o a me tade dos coeficientes dos termos com produto misto Em geral se A for uma matrizn X n simétrica e x for o vetor colunan X das varidveis entaéo dizemos que a funao T Qx x Ax 3 é a forma quadratica associada a A Quando for conveniente podemos escrever 3 na notacao de produto como xAx x Ax Axx 4 No caso em que A for uma matriz diagonal a forma quadratica xAx nao tem termos com produto misto por exemplo se A tiver entradas diagonais AAA entao 4 O 0 x 0 A 0 x XAxx x x Do PT dyap thy tee A 0 0 AL Le Expressando formas quadraticas em notacgado matricial Em cada parte expresse a forma quadratica em notacao matricial xAx sendo A simétrica a 2x 6xy 5y b x 7x 3x3 4x x 2xx3 8xx Solugao As entradas diagonais de A sao os coeficientes dos termos com quadrado e as entradas fora da diagonal sao a metade dos coeficientes dos termos com produto misto portanto 2 3 x 2x 6xy Sy xy xy Sy YI 5 y 1 2 1 fx xy 7x 3x 4xx 2x0 8x x x 2 7 4 x 1 4 3 Lx Mudanea de variaveis numa Existem trés tipos de problemas importantes que ocorrem nas aplicag6es de formas qua forma quadratica draticas Problema 1 Se xAx for uma forma quadratica de R ouR que tipo de curva ou su perficie é representada pela equaciio xAx k Problema 2 Se xAx for uma forma quadratica de R que condicées deve satisfazer A para garantir que xAx tenha valores positivos com x 0 Problema 3 Se xAx for uma forma quadratica de R quais sao seus valores maximo e minimo se x for condicionado a satisfazer x 1 Consideramos os dois primeiros problemas nesta secdo e o terceiro na proxima secao Muitas das técnicas para resolver esses problemas tém por base a simplificacgao da forma quadratica xAx obtida com uma substituido x Py 5 73 Formas quadraticas 407 que expressa as varidveis x x x em termos das variaveis novas y yy9eP for invertivel entéo 5 é denominada uma mudanga de varidveis e se P for ortogonal dizemos que 5 é uma mudanca de varidveis ortogonal Fazendo a mudanga de coordenadas x Py na forma quadratica xAx obtemos T T T pT T T x Ax Py APy y PAPy y P APy 6 Como a matriz B PAP é simétrica verifique 0 efeito da mudanca de varidveis é pro duzir uma nova forma quadratica y By nas varidveis Vy Yn Y Em particular se esco Ihermos P para diagonalizar A ortogonalmente entdo a nova forma quadratica sera y Dy onde D é uma matriz diagonal com os autovalores de A na diagonal principal ou seja 4 O 0 y 0 Nn OO y T T 2 2 xAxyDyy Yo Ml 2 YY 0 0 ue Dn A t hype FY Assim temos 0 resultado seguinte denominado teorema dos eixos principais TEOREMA 731 Teorema dos eixos principais Se A for uma matriz simétrica n X n entdo existe uma mudanga de varidveis ortogonal BA2 T Zae T que transforma a forma quadrdatica x Ax na forma quadratica y Dy sem termos mistos Especificamente se P diagonaliza A ortogonalmente entdo a mudanga de varidveis x Py transforma a forma quadratica xAx na forma quadratica T T 2 2 2 xX AX yDy h Vit Ayyy bo Fn na qual XXA sao os autovalores de A associados aos autovetores que consti tuem as colunas sucessivas de P Uma ilustragao do teorema dos eixos principais Encontre uma mudanga de varidveis ortogonal que elimine os termos mistos da forma quadratica Q x x 4xx 4xx e expresse Q em termos das novas variaveis Solucao A forma quadratica pode ser expressa em notaao matricial por 1 2 Of x QxAxx x 2 0 2x 0 2 l1 x A equagao caracteristica da matriz A é A1 2 0 2 A 2 9AA43A3 0 0 2 At1 de modo que os autovalores séo A 0 3 3 Deixamos para o leitor mostrar que bases ortonormais dos trés autoespagos sao 2 1 2 3 3 3 9 Jl 2 2 3 2 A0 xz A3 s A3 5 2 2 1 3 3 3 408 Algebra Linear com Aplicacées Assim a substituigao x Py que elimina os termos mistos é 2 1 2 x 3 3 3 J 1 2 2 MP s ZF ZF x3 2 2 i LY 3 3 3 Isso produz a nova forma quadratica 0 0 07 Ty T pl 2 2 QyPAPyy y Ys9 3 0 3y 3y 0 0 3 Ly na qual nao ha termos mistos 4 Observacio Se A for uma matriz simétrica n X n entao a forma quadratica xAx é uma fungdo oe vos T in real cuja imagem é 0 conjunto de todos os valores possiveis de xAx com x variando em R Pode ser mostrado que uma mudanga de variaveis ortogonal x Py nao altera a imagem de uma forma quadratica ou seja 0 conjunto de todos os valores de xAx com x variando em R é igual ao con junto de todos valores de yP AP y com y variando em R Formas quadraticas na Uma segdao cénica ou simplesmente uma cénica é uma curva obtida cortandose um geometria cone circular reto por um plano Figura 731 As segdes cOnicas mais importantes sao as elipses as hipérboles e as parabolas que ocorrem quando o plano cortante nao passa pelo vértice do cone Os circulos sao casos especiais de elipses que resultam quando o plano cortante é perpendicular ao eixo de simetria do cone Se o plano cortante passa pelo vértice entao a intersec4o resultante é denominada uma cénica degenerada cujas possi bilidades s4éo um ponto um par de retas que se cortam ou uma Unica reta p Pp q ll if I t x i ci I f 1 Figura 731 Circulo Elipse Parabola Hipérbole 24s 2 As As formas quadraticas em R surgem naturalmente no estudo de seg6es cénicas Por exemplo mostrase em Geometria Analitica que uma equacao da forma 2 2 ax 2bxy cy dxeyf0 7 com a b ec nao todos nulos representa uma seao cOnica Sed e Oem 7 entao nao existem termos lineares e a equacdo se reduz a 2 2 ax 2bxy cy f0 8 Sempre existe a possibilidade de nao haver valores reais de x e y que satisfagam a equagao por exemplo xt y 1 0 Nesses casos dizemos que a equacdo nao tem grafico ou entao que tem um grafico vazio 73 Formas quadraticas 409 denominada cénica central ou reduzida Essas cénicas incluem os circulos as elipses e as hipérboles mas nao as parabolas Além disso se b 0 em 8 nao ha termos mistos e dizemos que a equacao 2 2 ax cy f0 9 representa uma cénica central em posicao canénica As cOnicas mais importantes desse tipo aparecem na Tabela 1 Tabela 1 y y y y B B B B x x x x e a a a a a a a 3 6 B B x 2 x 2 x 2 2 x S41 S451 at 21 431 a 8B a B a PB Boa aB0 Ba0 a 0 B 0 a 0 B 0 Passando a constante f nas Equagées 8 e 9 para o lado direito e tomando k f podemos reescrever essas equacgdes em formato matricial como y a blx a Ox x k e x k 10 Ir i a Ir s A x A primeira dessas corresponde a Equagao 8 em que ha 0 termo misto 2bxy e a segunda corresponde a Equacao 9 em que nao ha termo misto Geometricamente a existéncia de um termo misto indica que o grafico da forma quadratica foi girado em torno da origem como na Figura 732 Os andlogos tridimensionais das equagdes em 10 sao Uma cénica ade x a 00 x central girada para fora da x y z db f yk e x y z 0 b 0 yl k db posiao canénica e c Zz 0 0 cliz f Figura 732 Se a be c nao forem todos nulos entao os graficos dessas equagdes em R sao denomi nados quddricas centrais ou reduzidas e mais especificamente 0 grafico da segunda equagao é denominado quddrica central em posigado canénica Agora estamos prontos para considerar o primeiro dos trés problemas apresentados ante dentificando secdes cénicas riormente o de identificar a curva ou superficie representada por uma equacdo xAx k em duas ou trés varidveis Vamos nos ocupar com 0 caso bidimensional Ja observamos que uma equacao da forma ax 2bxy cy f0 12 representa uma cOnica central Se b 0 ento a cOnica esta em posicdo candénica e se b 0 ela esta girada E facil identificar as c6nicas centrais em posicao candnica compa rando sua equagéo com uma das equagdes em forma canénica Por exemplo a equacao 9x loy 144 0 410 Algebra Linear com Aplicacées y pode ser reescrita como 3 x y 1 x 16 9 4 4 que por comparacao com a Tabela 1 é a elipse mostrada na Figura 733 Se uma cOnica central for girada para fora de sua posiao candnica podemos identi 3 ficala primeiro girando os eixos coordenados para colocala na posiao candénica e entao comparando sua equagao com uma das equagdes em forma canO6nica da Tabela 1 Para 2 2 221 encontrar uma rotacdo que elimine 0 termo misto da equaao 16 9 ax 2bxy cy k 13 Figura 733 é conveniente expressar a equagao em forma matricial como r a blx xAxx y k 14 b clly e procurar uma mudanga de variaveis x Px que diagonalize A e tal que detP 1 Como no Exemplo 4 da Segao 71 vimos que a matriz de transicao cos sené P 15 send cosé tem 0 efeito de girar os eixos xy de um sistema de coordenadas retangulares pelo angulo 6 nosso problema se reduz a encontrar 6 que diagonalize A com o que eliminamos o termo misto em 13 Fazendo essa mudanga de variaveis resulta que a Equacao 14 no sistema de coordenadas xy é dada por AN O fx T 1 x Dx x k 16 we onfy Sf as onde A A sao os autovalores de A A conica pode agora ser identificada escrevendo 16 na forma Ax Ayr k 17 e efetuando a Algebra necessaria para igualala a uma das formas canOnicas da Tabela 1 Por exemplo se A A e k forem positivos entaéo 17 representa uma elipse de eixos medindo 2kh na direc4o x e 2kX2 na direcdo y O primeiro vetor coluna de P que é um autovetor unitario associado a A esta ao longo do eixo x positivo e o segundo vetor coluna de P que é um autovetor unitdrio associado a A esta ao longo do eixo y positivo Esses sao os eixos principais da elipse 0 que explica por que o Teorema 731 é denominado teorema dos eixos principais Ver Figura 734 Autovetor unitario de A 4 y y AKA ox sen 0 cos oe cos 0 sen 0 6 x VKIX Autovetor unitario de A Figura 734 73 Formas quadraticas 411 Identificando uma coénica por eliminagao do termo misto a Identifique a cOnica de equacio 5x 4xy 8y 36 0 girando os eixos xy até colocar a c6nica em posiAo canonica b Encontre o angulo 6 pelo qual foram girados os eixos xy na parte a Solucao a A equacao dada pode ser escrita no formato matricial como x Ax 36 onde 5 2 A a O polinémio caracteristico de A é A5 2 A4A9 uN A4A 9 portanto os autovalores sto A 4eA 9 Deixamos para o leitor mostrar que bases ortonormais dos autoespacgos sao 2 t A4 v8 A V5 V5 Assim A é ortogonalmente diagonalizavel por a p v8 18 Vv V5 Além disso por acaso temos detP 1 de modo que sabemos que a substituicao x Px Se tivéssemos tido detP 1 executa uma rotagao de eixos Segue de 16 que a equac4o da c6nica no sistema de co x hope entaéo trocariamos as colunas ordenadas xy para inverter o sinal I yy 4 Ofx 36 xX YIlg 9 y que pode ser escrita como 72 2 x y 4x 9y 36 ou 1 9y 9 4 Agora vemos da Tabela que a c6nica uma elipse cujo eixo tem comprimento 2a 6 na diregdo x e comprimento 2B 4 na direcao y Solugao b Segue de 15 que 2 1 p Vs V5 cos send tL 2 sen cos V5 V5 o que implica f 4 2 1 send ears cosd send tg 5 Ns J5 V5 cosO 2 x Assim 0 arctg 266 Figura 735 266 Observacao Nos exercicios pedimos ao leitor mostrar que se b 0 ento 0 termo misto da equacgao Figura 735 ax 2bxy tcy k 412 Algebra Linear com Aplicacées pode ser eliminado por uma rotacao de angulo 0 que satisfaga tg 290 19 co 2b Deixamos para o leitor confirmar que isso é consistente com a parte b do exemplo anterior Formas quadraticas positivas Consideramos agora 0 segundo dos trés problemas colocados anteriormente o de deter ow T minar as condig6es sob as quais x Ax 0 quaisquer que sejam os vetores nao nulos x Em breve explicamos por que isso seria importante mas antes vamos apresentar alguma terminologia A eB Pa 44 T Z A terminologia na Definigao 1 DEFINICAO 1 Dizemos que uma forma quadratica x Ax é também é aplicada a matrizes Le Tay 0 0 ou seja dizemos que uma matriz positiva se x Ax com quaiquer x simétrica é positiva negativa ou negativa se xAx 0com qualquer x 0 indefinida se a forma quadrati r ca associada a essa matriz tiver indefinida se x Ax tem valores tanto positivos quanto negativos essa propriedade O préximo teorema cuja prova adiada para o final desta secdo fornece uma manei ra de usar os autovalores para determinar se uma matriz A e sua forma quadratica associa da so positivas negativas ou indefinidas TEOREMA 732 Seja A uma matriz simétrica Valem as afirmacées T woe soe a x Ax é positiva se e s6 se todos os autovalores de A sao positivos T 2 p b x Ax é negativa se e s6 se todos os autovalores de A sao negativos T se woe c x Ax é indefinida se e s6 se A tem pelo menos um autovalor positivo e pelo me nos um autovalor negativo Observacao As trés classificagdes na Definigéo 1 nao cobrem todas as possibilidades Por exem plo uma forma quadratica para a qual xAx 0 se x 0 é denominada ndo negativa e uma paraa qual xAx 0 se x 0 nao positiva Cada forma positiva é nao negativa mas nao reciprocamente e cada forma negativa é nao positiva mas n4o reciprocamente por qué Ajustando apropriada mente a prova do Teorema 732 podemos provar que xAx é nao negativa se e s6 se todos os autovalores de A s4o nao negativos e que é nao positiva se e sé se todos os autovalores de A sao nao positivos Formas quadraticas positivas Em geral nao é possivel detectar a classificagao de uma matriz simétrica A apenas a partir do sinal de suas entradas Por exemplo as entradas da matriz 3 1 1 A1 0 2 1 2 0 sao todas nao negativas mas a matriz é indefinida pois seus autovalores sfo A 14 2 verifique Para ver isso de uma outra maneira escrevamos a forma quadratica como 3 1 I fx T 2 xAxx Xx x31 O 2 x 3x 4 2xx 2xx 4x we 1 2 0 Matrizes positivas e negativas 3 x a a5 SHO MNES Parene Agora podemos ver por exemplo que 73 Formas quadraticas 413 xAx4 com x0 x1 x1 e que x Ax4 com x0 x1 x41 Se xBx k fora equacao de uma cOnica e se k 0 podemos dividir tudo pork e rees Classificacao de secées crever a equacdo na forma c6nicas usando autovalores xAx 20 onde A 1kB Girando agora os eixos coordenados para eliminar 0 termo misto se houver dessa equagao entao a equacao da cénica no novo sistema de coordenadas sera da forma Ax Ay 1 21 na qual A e A sao os autovalores de A O tipo de cénica representado por essa equagdo dependera dos sinais dos autovalores A e A Por exemplo nao é dificil ver a partir de 21 que e xAx lrepresenta uma elipse se A Oe A 0 y e x Ax nao tem grafico sed O0eA 0 e xAx representa uma hipérbole se A eA tém sinais opostos No caso da elipse a Equagao 21 pode ser reescrita como x VAi AvA2 de modo que os eixos da elipse tm comprimentos 2A e 2A Figura 736 Figura 736 O préximo teorema é uma consequéncia imediata dessa discussao e do Teorema 732 TEOREMA 733 Seja A uma matriz 2 X 2 simétrica Valem as afirmagées a xAx 1 representa uma elipse se A for positiva b xAx 1 ndo tem grdfico se A for negativa c xAx 1 representa uma hipérbole se A for indefinida No Exemplo 3 efetuamos uma rotac4o para mostrar que a equacgao 5x 4xy 8y 36 0 representa uma elipse com um eixo maior de comprimento 6 e eixo menor de comprimen to 4 Essa conclusao também pode ser obtida reescrevendo a equacao na forma 521 22 yx atyt gy l e mostrando que a matriz associada a 1 A 36 18 1 2 18 9 tem autovalores A edAo Esses autovalores sao positivos de modo que a ma triz A é positiva e a equacgdo representa uma elipse Além disso segue de 21 que os eixos da elipse tm comprimentos 2A 6 e 2A2 4 0 que é consistente com o Exemplo 3 414 Algebra Linear com Aplicacées Identificando matrizes Matrizes positivas s4o as matrizes simétricas mais importantes nas aplicagées portanto é positivas util aprender um pouco mais sobre elas J4 sabemos que uma matriz simétrica é positiva se 6 se seus autovalores sao todos positivos Vejamos agora um critério que pode ser usado para descobrir se uma matriz simétrica positiva sem precisar encontrar os auto valores Para isso definimos a késima submatriz principal de uma matriz A de tamanho n X ncomo a submatriz k X k consistindo nas primeiras k linhas e colunas de A Por exemplo as submatrizes principais de uma matriz 4 X 4 arbitraria sAo as seguintes 4 U2 43 G4 a Ay a3 a4 Gy Ayn 3 yg Gy Ayn 3 yg Gy Ag g3 gy Ax Ag Anz Ang 44 Ay 3 Any Gy Ay7 Ag3 gy 43 432 33 34 43 32 33 gg 43 Ax Ay3 sq 43 3233 gq Ag Ag AUy3 Agy Ay Ay G3 gy Ay Ayn A430 gg Ay Ay M43 gy Primeira submatriz principal Segunda submatriz principal Terceira submatriz principal Quarta submatriz principal A O préximo teorema que enunciamos sem prova fornece um teste para determinar se uma matriz simétrica é positiva TEOREMA 734 Uma matriz simétrica A é positiva se e s6 se o determinante de cada submatriz principal é positivo Trabalhando com submatrizes principais A matriz 2 l 3 A1 2 4 3 4 9 é positiva pois os determinantes 1 2 1 3 I2 2 Ja 12 4a1 3 4 9 sao todos positivos Assim podemos ter certeza de que todos autovalores de A sao positi T vose quex Ax Ocomx 0 4 OPCIONAL Concluimos esta segéo com uma prova opcional do Teorema 732 Prova do Teorema 732a e b Segue do teorema dos eixos principais Teorema 731 que existe uma mudanga de varidveis ortogonal x Py com a qual T T 2 2 2 x Ax y Dy yy Ay Ay 23 onde os J sao os autovalores de A Além disso segue da invertibilidade de P que y 0 se Z T e s6 se x 0 de modo que os valores de xAx com x 0 s4o0 os mesmos que os valores T T zZ de y Dy com y 9 Assim segue de 23 que x Ax 0 com x 0 se e sé se todos os woe oye T Zz coeficientes naquela equacao sao positivos e que x Ax 0 com x 0 se e s6 se todos Os A sao negativos Isso prova as partes a e b Provac Suponha que A tenha pelo menos um autovalor positivo e pelo menos um au tovalor negativo e para sermos especificos suponha que A 0 eA 0 em 23 Entao T xAx0O se y 1e todos os demais y sao iguais a 0 73 Formas quadraticas 415 e xAx 0 se y 0e todos os demais y sao iguais a 0 que prova que xAx é indefinida Reciprocamente se xAx 0 com algum x entio y Dy 0 com algum y de modo que pelo menos um dos em 23 deve ser positivo Analogamente se xAx 0 com algum x entéo y Dy 0 com algum y de modo que pelo menos um dos em 23 deve ser negativo o que completa a prova Revisao de conceitos e Forma quadratica indefinida e Forma linear e Forma quadratica nao negativa e Forma quadratica e Forma quadratica nao positiva e Termo misto e Submatriz principal e Forma quadratica associada a uma matriz sm q Aptiddes desenvolvidas e Mudanga de variaveis aes e Expressar uma forma quadratica em notagao matricial e Mudanga de variaveis ortogonal xAx em que A simétrica e Teorema dos eixos principais e Encontrar uma mudanga de variaveis ortogonal que e Seco cénica elimine os termos mistos de uma forma quadratica e Cénica degenerada e expressar a forma quadratica em termos das novas A variaveis e COnica central ou reduzida As As e Identificar uma segao cénica a partir de uma equacao e Posigdo candnica de uma conica central A girando os eixos para colocar a cOnica em posiao e Forma canonica de uma conica central candénica e encontrar o Angulo de rotacao e Quadrica central e Identificar uma sec4o cénica usando autovalores e Eixos principais de uma elipse e Classificar matrizes simétricas e formas quadraticas como e Forma quadratica positiva positivas negativas indefinidas nao negativas ou nao e Forma quadratica negativa positivas Conjunto de exercicios 73 Nos Exercicios 12 em cada parte expresse a forma quadrati 5 Q 2x 2x5 2xx ca na notado matricial xAx com uma matriz simétrica A 6 Q 5x 2x 4x 4xx 2 2 2 2 1 a 3x 7x b 4x 9x 6xx 7 O 3x 4 4x 4 5x Axx 4xx 2 2 2 c 9x x2 4x3 Oxyxy BxYX XYX 8 QO 2x 5x5 5x 4xx Axx 8x 2 a 5x 5xx b 7xx c x x5 3x Sxx Ox Nos Exercicios 910 escreva a equagao quadratica na notagado matricial xAx Kx f 0 onde xAx é a forma quadratica as Nos Exercicios 34 encontre uma férmula para a forma qua sociada e K é uma matriz apropriada dratica que nao utilize matrizes 9 a 2 xyx6y 20 2 3fx b y 7x 8y 50 3 xy 3 SI Ly 10 a x xy5x8y30 b 5xy 8 2 1 1fx b 5xy 4x x x 2 0 6 Nos Exercicios 1112 identifique o tipo de c6nica representa 1 6 314 da pela equacao 11 a 2x 5y 20 b x y 80 2 2 2 Nos Exercicios 58 encontre uma mudanga de variaveis Ty 5 ot 0 d x 5 25 0 ortogonal que elimine os termos mistos da forma quadratica Q e 12 a 4 9y 1 b 4x Sy 20 expresse Q em termos das novas variaveis ce x 2y d x 3y 416 Algebra Linear com Aplicacées Nos Exercicios 1316 identifique 0 tipo de cénica representa e da pela equac4o girando os eixos para colocar a cOnica em posiao Als At 1 can6nica Encontre a equagao da cénica no sistema de coordenadas v x FP 4 x girado e determine o Angulo de rotacAo n1 13 2x dxy y 80 14 5x dxy Sy 9 séo denominadas respectivamente a média amostral e a variancia 15 11x 24xy 4y 15 0 amostral de x xXX 16 x2 xy y a Expresse a forma quadratica x na notagao matricial xAx com A simétrica Nos Exercicios 1718 determine sem fazer contas se a matriz b s ser uma forma quadratica positiva Explique é positiva negativa indefinida nao negativa ou nao positiva 32 Num sistema de coordenadas xyz 0 gréfico de uma equaciio 17 a 1 0 b 1 0 l 0 do tipo ax by c 1 em que a b ec sio positivos 0 2 0 2 c 0 2 é uma superficie denominada elipsoide central em posicado 1 0 0 0 can6onica ver a figura dada Isso é a generalizacao tridimen d e sional da elipse ax by do plano xy As intersegdes do 0 0 02 elipsoide ax by cz 1 com os eixos coordenados de 2 0 2 0 2 0 terminam trés segmentos de reta denominados eixos do elip 18 a lo q b 0 c E soide Se um elipsoide central for girado em torno da origem de tal modo que dois ou mais de seus eixos nao coincidam d lo e E 0 com os eixos coordenados entao a equacfo resultante tera um 0 5 0 0 ou dois termos mistos a Mostre que a equacao Nos Exercicios 1924 classifique a forma quadratica como positiva negativa indefinida nio negativa ou n4o positiva 4 4 y 4 o 4 xy 4 xz 4 yz 1 19 x 5 20 x 3x5 21 x x Lo 5 7 34 representa um elipsoide e encontre os comprimentos 22 23 x x4 XX de seus eixos Sugestdo escreva a equacao no formato xAx e efetue uma mudanga de varidveis ortogonal Nos Exercicios 2526 mostre que a matriz A é positiva usan para eliminar o termo misto do primeiro o Teorema 732 e depois o Teorema 734 to b Qual propriedade deve ter uma matriz simétrica 3 X 3 5 2 2 l 0 para que a equaciio xAx represente um elipsoide 25 a a s b A1 2 0 0 0 5 z 31 0 2 1 26 a A b A1 2 1 1 2 y 0 l 3 7 Nos Exercicios 2728 encontre todos valores de k com os x quais a forma quadratica é positiva Figura Ex32 27 5x x kx 4xx 2xx 2x 2 2 2 x 4 Looe oo 28 3m 2x3 2m43 2hxaxs a 33 Qual propriedade deve ser satisfeita por uma matriz simétrica 29 Seja x Ax uma forma quadratica NAS Varlavels X X5X A de tamanho 2 X 2 para que xAx 1 represente um circulo defina T R R por Tx x Ax enna R por Tx x AX r 34 Prove se b 0 ento 0 termo misto pode ser eliminado da a Mostre que Tx y Tx 2xAy Ty forma quadratica ax 2bxy cy pela rotaciio dos eixos co b Mostre que 7cx Tx ordenados pelo angulo que satisfaz a equagao 30 Expresse a forma quadratica cx cx cx na ac notagdo matricial xAx com A simétrica cotg 20 2b 31 Na Estatistica as quantidades 35 Prove que se A for uma matriz n X n simétrica com todos os i seus autovalores nao negativos entao xAx 0 com qualquer i i x n4o nulo em R 74 Otimizagao usando formas quadraticas 417 Exercicios verdadeirofalso h Se xAx for uma forma quadratica positiva entio xA x tam Nas partes a1 determine se a afirmacao é verdadeira ou falsa bem justificando sua resposta i Se A for uma matriz que s6 tem autovalores positivos entao T Z a on a Uma matriz simétrica com autovalores positivos é positiva x Ax uma forma quadratica positiva b x 6 2 4xxx uma forma quadratica Gg SeA for uma matriz 2 x 2 simétrica com entradas positivas e 2 ne detA 0 entao A positiva c x 3x éuma forma quadratica r oo k Se x Ax for uma forma quadratica sem termos mistos entao d Uma matriz positiva é invertivel 4 A é uma matriz diagonal e Uma matriz simétrica é positiva negativa ou indefinida 1 Se xAx for uma forma quadrdtica positiva em duas varidveis f Se A for positiva entéo A sera negativa ec 0 entio 0 grafico da equacio xAx c é uma elipse g xxuma forma quadratica qualquer que seja x em R 74 Otimizagdo usando formas quadraticas As formas quadraticas surgem numa variedade de problemas nos quais se exige encontrar 0 valor maximo ou minimo de alguma quantidade Nesta secao discutiremos alguns problemas desse tipo Nosso primeiro objetivo nesta segao é considerar 0 problema de encontrar os valores Pyroblemas de extremos poe poe oe T oo 7 maximo e minimo de uma forma quadratica xAx sujeita 4 condicio x 1 Problemas condicionados desse tipo surgem numa ampla variedade de aplicagées T Z Para visualizar esse problema geometricamente no caso em que x Ax é uma forma 24s 2 T ys ini Axi quadratica de R vemos z x Ax como a equacao de alguma superficie num sistema de wnime doh some do Loe condicionado coordenadas retangulares xyz e x 1 como o circulo unitaério centrado na origem do oy D plano xy Geometricamente o problema de encontrar os valores maximo e minimo de SEs T soe x ow t He x Ax sujeita 4 condicdo x 1 equivale a encontrar 0 ponto mais alto e o mais baixo SSS AEE ail ye SSD ALLE na interseao da superficie com o cilindro circular reto determinado pelo circulo Figura a ag 741 PTY O préximo teorema cuja prova é deixada para o final desta segao é 0 resultado cru x u Circulo unitario cial para resolver esse tipo de problemas Figura 741 TEOREMA 741 Teorema dos extremos condicionados Seja A uma matriz simétrica n X n cujos autovalores em ordem decrescente de tama nho sdoX r 2 2X Entdo 24s T Zo aoe ei a aforma quadratica x Ax atinge um valor maximo e um valor minimo no conjunto de vetores tais que x 1 b o valor maximo atingido na parte a ocorre num autovetor unitdrio associado ao autovalor X c o valor minimo atingido na parte a ocorre num autovetor unitdrio associado ao autovalor X Observacao A condigao x 1 nesse teorema é denominada uma restrigdo ou uma condigéo ou ainda um vinculo e o valor maximo ou minimo de xAx sujeita restrigéo é um extremo con dicionado Essa restricio também pode ser expressa por xx 1 ou por x x teeet x 1 quando for conveniente 418 Algebra Linear com Aplicacées Encontrando extremos condicionados Encontre os valores maximo e minimo da forma quadratica z5x 5y Axy sujeita a condicgao x y 1 Solugao A forma quadratica pode ser expressa em notaao matricial por 5 2x z5x 5y 4xyxAxx y 2 5 ly Deixamos para o leitor mostrar que os autovalores de A so A 7 eA 3 e que Os au tovetores associados sao n if x 3 7 re Tay a 1 Normalizando esses autovetores obtemos a tL 2 2 Mat Mass 1 V2 v2 Assim os extremos condicionados sao maximo condicionado z 7 em x y a za ges a 7 L minimo condicionado z 3 em x y a a Observacao Como os negativos dos autovetores em 1 também sao autovetores unitarios eles também fornecem os valores maximo e minimo de z ou seja o maximo condicionado z 7 tam bém ocorre no ponto y z e o minimo condicionado z 3 também ocorre no ponto x y z 7 Um problema de extremos condicionados Queremos inscrever um retdngulo na elipse 4x 9y 36 conforme a Figura 742 Use métodos de autovalores para encontrar valores nao negativos de x e y que fornegam o retangulo inscrito de 4rea maxima y oy Solugao A Area z do retangulo inscrito dada por z 4xy de modo que o problema é maximizar a forma quadratica z 4xy sujeita a restrigao Ax Oy 36 Nesse problema x o grafico da equacAo restrita é uma elipse em vez de ser 0 circulo unitario exigido pelo Teorema 741 mas isso pode ser remediado reescrevendo a restrigao como 2 2 x 3 5 Figura 742 Um retangulo inscrito na e definindo novas variaveis x e x pelas equagdes 2 2 elipse 4x 9yY 36 x3x e y2y Isso nos permite reformular 0 problema como segue maximizar z 4xy 24xy sujeita a restrigao ty al Para resolver esse problema escrevemos a forma quadratica z 24x y como Ts I 0 12 Ix ZxAxx 1 Ji 12 0 y 74 Otimizagao usando formas quadraticas 419 Agora deixamos para 0 leitor mostrar que 0 maior autovalor de A A 12 e que o tinico autovetor associado com entradas nao negativas é aa x 1 J V2 Assim a 4rea maxima é z 12 que ocorre com 3 2 xX 3x e y2y v2 v2 Uma maneira ttil de visualizar 0 comportamento de uma fungao fx y de duas variaveis Eytremos condicionados e é considerar as curvas no plano xy ao longo das quais f é constante Essas curvas ttm curvas de nivel equagoées da forma z fx y k e f y e sao denominadas curvas de nivel de f Figura 743 Em particular as curvas de nivel de k Plano zk uma forma quadratica xAx de R tém equacoes da forma Y J xAx k 2 y de modo que os valores m4ximo e minimo de xAx sujeita a restriao x 1 sio os maiores e menores valores de k com os quais 0 grafico de 2 intersecta o circulo unita x awa de nivel fx y k rio Tipicamente tais valores de k produzem curvas de nivel que apenas tocam o circulo unitario Figura 744 e os pontos nos quais essas curvas de nivel apenas tocam 0 circulo Figura 743 produzem os vetores que maximizam e minimizam xAx sujeita a restricAo x 1 y we De novo o Exemplo 1 usando curvas de nivel IIx 1 No Exemplo e na observacgao subsequente encontramos os valores maximo e minimo SS x da forma quadratica Sy T z 5x 5y 4xy xAx k sujeita a restriao x y 1 Mostramos que 0 maximo condicionado z 7 ocorre nos pontos Figura 744 Ge w s 3 XW a a e xXW TS 9 J2 2 J2 V2 e que o minimo condicionado z 3 ocorre nos pontos wZz e wns 5 4 xyz e y3 v2 V2 v2 v2 Geometricamente isso significa que a curva de nivel 5x 5y 4xy 7 deveria apenas tocar o circulo unitario nos pontos em 3 e que a curva de nivel 5x 5y 4xy 3 deveria apenas tocar o circulo unitario nos pontos em 4 Isso tudo consistente com a Figura 745 Yoo go J Sx 5y 4xy 7 1 1 2 SS a 3 2 2 4 xyel x tL it 1 1 2 SF Figura 745 5x Sy day 3 420 Algebra Linear com Aplicacdes REQUER CALCULO Concluimos esta segéo mostrando como as formas quadraticas podem ser usadas para Extremos relativos de estudar caracteristicas de fung6es reais de duas variaveis reais funcées de duas variadveis No Calculo vése que se uma fungao fx y tem derivadas parciais de primeira or dem entao os maximos e minimos relativos dessa fung4o se houver ocorrem em pontos nos quais z fa y0 e fxy 0 cy DD Tais pontos sao denominados pontos criticos de f O comportamento especifico de f num Wea ponto critico x y determinado pelo sinal de Ny Dx 9 GoJo 5 YY nos pontos x y que estao proximos mas sao distintos de Xp yo y x e Se Di y 0 nos pontos x y que estao suficientemente préximos mas sAo distin Minimo relativo em 0 0 tos de Xg Yo entao fx Yo fxy nesses pontos e dizemos que f tem um minimo relativo em Xp yo Figura 746a a e Se DX y nos pontos x y que estao suficientemente proximos mas sao distintos de Xos Yo Ent4o fX Yo fxy nesses pontos e dizemos que f tem um maximo relati vo em Xo Yo Figura 746 PX e Se Dx y tem valores tanto positivos quanto negativos dentro de qualquer circulo A y centrado em Xp yo entao existem pontos x y arbitrariamente proximos de Xp Yo NN nos quais fX9 Yo fxy e pontos x y arbitrariamente proximos de Xp yp nos HON quais fx Yo fxy Nesse caso dizemos que f tem um ponto de sela em Xp Yo ANY Figura 746c Em geral pode ser dificil determinar diretamente o sinal de 5 Contudo o préximo Maximo relativo em 0 0 teorema que provado em Calculo torna possivel analisar os pontos criticos usando somente derivadas b i TEOREMA 742 Teste da derivada segunda sh an Suponha que Xp Yo Seja um ponto critico de uma fungdo fx y com derivadas parciais NN Ai de segunda ordem continuas em alguma regido circular centrada em Xp yo Entdo Ie y a ftem um minimo relativo em Xp yo Se NY eset FoaXor YoVhyXor Yo fesor Yo 0 fpr Yo 0 x Ponto de sela em 00 b ftem um maximo relativo em Xp Be Se FexXo Yoyo Yo Fy or Yo 9 fixo Yo 9 Cc c ftem um ponto de sela em Xp Yo sé Figura 746 5 FexXo Vo yyos Yo Fy Yo 0 d O teste é inconclusivo se Fer Yoiyo Yo F Xo Yo 0 Nosso interesse aqui é mostrar como reformular esse teorema usando propriedades de matrizes simétricas Para isso consideremos a matriz simétrica FX y ty x y Axy fy OY fy y que é denominada matriz hessiana ou simplesmente a hessiana de f no ponto em ques tao em homenagem ao matemiatico e cientista alemao Ludwig Otto Hesse 18111874 74 Otimizagao usando formas quadrdaticas 421 A notagao Ax y enfatiza que as entradas da matriz dependem de x e y Temos interesse na hessiana porque fe Yo fi Xq Yo 2 deat v9 fee Xo Yo fry Co Yo Fry Qo Yo 0 0 fi Xp Yo fy Xp Yo a 0 0 y 0 0 5 0 0 é a expressao que aparece no Teorema 742 Agora podemos reformular o teste da deri vada segunda como segue TEOREMA 743 Forma hessiana do teste da derivada segunda Suponha que Xo Yo Seja um ponto critico de uma fungdo fx y com derivadas par ciais de segunda ordem continuas em alguma regido circular centrada em Xp Yo Se H Xp Yo for a hessiana de f em Xp yo entdo a ftem um minimo relativo em Xp Yo Se HXp Yo for uma matriz positiva b ftem um maximo relativo em Xp Yo S HXo Yo for uma matriz negativa c ftem um ponto de sela em Xp Yo Se HXo Yo for uma matriz indefinida d O teste é inconclusivo nos demais casos Provamos a parte a deixando a prova das demais partes como exercicio Prova a Se Ax y for uma matriz positiva entao o Teorema 734 implica que as submatrizes principais de HxXp y tém determinantes positivos Assim Fx 0 Yo Sry 0s Yo 2 det A x0 F fx O05 Yo Sy Ao Yo fey Yo O Foy or Yo ty 0 Yo or ote tor Yo e detfo Yo fo Yo 9 de modo que f tem um minimo relativo em x yo pela parte a do Teorema 742 Usando a hessiana para classificar extremos relativos Encontre os pontos criticos da fungao fay x xy 8xy3 e use os autovalores da matriz hessiana nesses pontos para determinar quais desses pon tos se houver algum sAo maximos relativos minimos relativos ou pontos de sela Solugao Para encontrar tanto os pontos criticos quanto a matriz hessiana precisamos calcular as derivas parciais de primeira e segunda ordem de f Essas derivadas sao fyax y 8y fGy 2xy 8x faye y 2y 8 fix 8 Y 2x Sy y 2x Assim a matriz hessiana é x x 2x 2y8 ao y fy y fy yy fly OY 2y8 2x Para encontrar os pontos criticos igualamos f e f a Zero Isso fornece as equacgdes fy x y8y0 e fxy 2xy 8x Ixy 4 0 A resolugdo da segunda equagao fornece x 0 ou y 4 Substituindo x 0 na primeira equagao e resolvendo em y obtemos y 0 ou y 8 substituindo y 4 na primeira equa ao e resolvendo em x obtemos x 4 ou x 4 Assim encontramos os quatro pontos criticos 422 Algebra Linear com Aplicacdes 00 08 44 44 Calculando a matriz hessiana nesses pontos obtemos 0 8 0 8 H00 A08 o Hay 4 H44 H44 10 84 1 0 8 Deixamos para o leitor encontrar os autovalores dessas matrizes e deduzir a classificagao seguinte dos pontos estacionarios Ponto critico Xo Yo Ay A Classificacao oo 8 Pawan om 8 Paine 8 ain mas ff Mice OPCIONAL Concluimos esta segéo com uma prova opcional do Teorema 741 Prova do Teorema 741 O primeiro passo na prova é mostrar que xAx tem valores maximo e minimo condicionados em x 1 Como A é simétrica 0 teorema dos eixos principais Teorema 731 implica que existe uma mudanga de coordenadas ortogonal x Py tal que XAx Ayy tHAyp Ay 6 onde X 5 A 840 os autovalores de A Suponha que x 1 e que os vetores coluna de P que sao autovetores unitarios de A tenham sido ordenados de tal modo que MSA A 7 Como P é uma matriz ortogonal a multiplicagao por P preserva comprimentos de modo que lyl x 1 ou seja 2 2 2 yi ty tee ty 1 Segue dessa equacao e de 7 que 2 2 2 2 2 2 A AOT ty Fo ty SM ade Ho FAY 2 2 2 SAO y5 ty h e portanto por 6 que dN xAx A Isso mostra que todos os valores de xAx com x 1 esto entre o maior e o menor auto valor de A Agora seja x um autovetor unitdrio associado a A Entao xAx xAx Axx A x T so oo ee O que mostra que x Ax tem A como maximo condicionado e que esse maximo ocorre se x for um autovetor unitario de A associado a A Analogamente se x for um autovetor unitario associado a A entao xAx xAx Axx Ax A de modo que xAx tem A como um minimo condicionado e esse minimo ocorre se x for um autovetor unitario de A associado a A Isso completa a prova 4 74 Otimizaco usando formas quadraticas 423 Revisao de conceitos Aptiddes desenvolvidas e Restricaéo e Encontrar os valores maximo e minimo de uma forma e Extremos condicionados quadratica sujeita a alguma restricao e Curvas de nivel e Encontrar os pontos criticos de uma fungao real de duas as variaveis reais e usar os autovalores da matriz hessiana e Ponto critico vs oe a nos pontos criticos para classificalos como maximos e Minimo relativo relativos minimos relativos ou pontos de sela e Maximo relativo e Ponto de sela e Teste da derivada segunda e Matriz hessiana Conjunto de exercicios 74 Nos Exercicios 14 encontre os valores maximo e minimo da Nos Exercicios 1316 encontre se houver todos pontos cri forma quadratica dada sujeita a restricio x y 1 e determine ticos de fe classifiqueos como maximos relativos minimos relati os valores de x y e z nos quais ocorrem esses extremos vos ou pontos de sela 3 3 L 5k y wxy 3 3x 79 4 5x Sxy 13 fx y x 3xy y 14 fx y x 3xyy Nos Exercicios 56 encontre os valores maximo e minimoda 45 fx y x 2y xy forma quadratica dada sujeita a restrigao 4 J 16 fx y x y 3x 3y ytyQZ1 17 Um retangulo centrado na origem com lados paralelos aos ar 2 2 e determine os valores de x y e z nos quais ocorrem esses extre eixos coordenados deve ser inscrito na elipse x 25y 25 mos Use 0 método do Exemplo 2 para encontrar valores nao negati 5 5 5 5 vos de x e y que produzam o retangulo inscrito de maior area 9x Ay 22x ty c Qxy 5 Ox Ay 32 6 ax ty te dxy 2x 18 Suponha que a temperatura no ponto x y de uma placa me 7 Use 0 método do Exemplo 2 para encontrar os valores maxi tdlica seja dada por Tx y 4x 4xy y Uma formiga mo e minimo de xy sujeita A restricio 4x 8y 16 caminhando na placa percorre uma circunferéncia de raio 5 centrada na origem Quais sfo a maior e a menor temperaturas 8 Use 0 método do Exemplo 2 para encontrar os valores a So 3 dy encontradas pela formiga maximo e minimo de x xy 2y sujeita a restrigado 3y 16 19 a Mostre que as funcGes fayaxi tye gaya xiy Nos Exercicios 910 esboce 0 circulo unitario e as curvas de nivel correspondentes 4 forma quadratica dada Mostre que o tem p ontos Critlcos em 0 0 mas que o teste da derivada circulo unitario intersecta cada uma dessas curvas em exatamente segunda inconclusivo nesse ponto dois pontos determine esses pontos e verifique que os extremos b Dé um argumento que mostre que f tem um minimo rela condicionados ocorrem nesses pontos tivo em 0 0 e que g tem um ponto de sela em 0 0 9 5ey 10 xy 20 Suponha que a matriz hessiana de uma certa forma quadratica to Si y seja dada por 11 a Mostre que a funcao fx y 4xy x y tem pontos criticos em 0 0 1 Ie1 1 He 4 2 b Use a forma hessiana do teste da derivada segunda para mostrar que f tem maximos relativos em 1 1 e O que pode ser dito sobre a localizagio e a classificago dos 1 1 eum ponto de sela em 0 0 pontos criticos de f 12 a Mostre que a funcio fx y x 6xy y tem pontos 21 Sejam A uma matriz simétrican X ne criticos em 0 0 e 2 2 qx xAx b Use a forma hessiana do teste da derivada segunda para onde x é um vetor qualquer em R expresso em forma de colu mostrar que f tem um maximo relativo em 2 2 e um na O que pode ser dito sobre o valor de q se x for um autove ponto de sela em 0 0 tor unitdrio associado a um autovalor A de A 424 Algebra Linear com Aplicacées 22 Prove seja xAx uma forma quadratica cujos valores maxi a Uma forma quadratica sempre tem algum valor maximo ou mo e minimo condicionados 4 restricAo x 1 sAo me M algum valor minimo respectivamente Mostre que dado qualquer numero eno b O valor maximo de uma forma quadratica xAx sujeita a intervalo mc M existe algum vetor unitario X tal que restricdo x 1 ocorre num autovetor unitdrio associado ao x Ax c Sugestdo no caso em que mM sejam ue Uy maior autovalor de A autovetores unitdrios de A tais que uAu meuAu M s e tome q AU wAUy c A matriz hessiana de uma funcao f com derivadas parciais de segunda ordem continuas é uma matriz simétrica x Mc u cm u d Se yo for um ponto critico de uma fung4o fe a matriz VMm Mm hessiana de fem Xp yp for a matriz nula entéao fnao tem um r maximo relativo nem um minimo relativo em Xp yo Mostre que x Ax c soe x a e Se A for uma matriz simétrica e detA 0 entéo o minimo T oe x ow Exercicios verdadeirofalso de xAx sujeita a restrigdo x 1 negativo Nas partes ae determine se a afirmacio é verdadeira ou falsa justificando sua resposta 75 Matrizes unitarias normais e hermitianas Sabemos que qualquer matriz simétrica real ortogonalmente diagonalizavel e que as matrizes simétricas reais sao as unicas matrizes ortogonalmente diagonalizaveis Nesta segao consideramos 0 problema de diagonalizagao de matrizes complexas Matrizes hermitianas e A operagao de transposigao é menos importante para matrizes complexas do que para as unitérias Matrizes reais Uma operacao mais util para matrizes complexas é a dada na definiao seguinte DEFINICAO 1 Se A for uma matriz complexa entdo a transposta conjugada de A denotada por A é definida por al AA 1 Observacéo Como a parte b do Teorema 532 afirma que AT A nao é relevante a ordem em que efetuamos as operacGes de transposico e conjugacao no cadlculo de A A Também no caso em que A tiver entradas reais teremos A A A de modo que A é igual a A com matrizes reais Transposta conjugada Encontre a transposta conjugada A da matriz 1i i 0 A 2 321 i Solugao Temos 1i 2 1i i 0 UT A e portanto A A i 32i 2 342i i 0 i O préximo teorema partes do qual s4o provadas nos exercicios mostra que as pro priedades algébricas basicas da operacao de transposiao conjugada sao semelhantes as da transposiao comparar com 0 Teorema 148 75 Matrizes unitarias normais e hermitianas 425 TEOREMA 751 Se k for um escalar complexo e se A B e C sdo matrizes complexas cujos tamanhos so tais que as operagédes enunciadas podem ser efetuadas entdo a A A b A B A B c A B A B d kA kA e AB BA Observacio Note que a relacio u v Vu na Formula 5 da Secdo 53 pode ser expressa em termos de transposta conjugada por uvvu 2 Agora estamos prontos para definir duas novas classes de matrizes que sao importan tes no nosso estudo de diagonalizagaéo em C DEFINICAO 2 Uma matriz quadrada complexa A dita unitdria se AA 3 e é dita hermitiana se AA 4 Se A é uma matriz real entéo A A caso em que 3 se torna AAle 4 se Lo T wos er Observe que as matrizes unita torna A A Assim as matrizes unitarias s4o a generalizagao complexa das matrizes p 7 7 rias também podem ser defini ortogonais reais e as matrizes hermitianas sao a generalizagao complexa das matrizes das como as matrizes quadradas simetricas reais complexas A que satisfazem AA AA I Reconhecendo matrizes hermitianas As matrizes hermitianas sao faceis de reconhecer porque suas entradas na diagonal sao reais por qué e as entradas posicionadas simetricamente em relagdo a diagonal princi pal sao nimeros complexos conjugados Assim por exemplo podemos dizer sem fazer contas que 1 i 1i A i 5 2i 1i 2i 3 éhermitiana O fato de que matrizes simétricas reais tém autovalores reais um caso especial do resultado mais geral a seguir relativo a matrizes hermitianas cuja prova é deixada como exercicio TEOREMA 752 Os autovalores de uma matriz hermitiana sdo nimeros reais O fato de que autovetores de autoespacos distintos de uma matriz simétrica real sao or togonais é um caso especial do resultado mais geral a seguir relativo a matrizes hermitianas Em homenagem ao matematico francés Charles Hermite 18221901 426 Algebra Linear com Aplicacdes TEOREMA 753 Se A é uma matriz hermitiana entdo autovetores de autoespacos diferentes sao ortogonais Prova Sejam v v autovetores de A associados aos autovalores distintos A e A Usan do a Férmula 2 e os fatos de que A A A A eA A podemos escrever A v v A v Vy Av Vv vA v vAv v Av ViOQ2 AaA2 Aa2 Vi Isso implica A AV V Oe portanto que vv O GaqueA A Autovalores e autovetores de uma matriz hermitiana Confirme que a matriz hermitiana 2 i A I i 3 tem autovalores reais e que autovetores de autoespacos diferentes sao ortogonais Solugao O polindmio caracteristico de A é A2 li detAT A ett l4i A A2A3 11 3 A 5A62A1A4 de modo que os autovalores de A s4o A 1 eA 4 que sdo reais As bases dos autoespa cos de A podem ser obtidas resolvendo o sistema linear A2 1ix 0 1i A3x 0 com A ecomA 4 Deixamos para o leitor mostrar que as solug6es gerais desses sistemas sao 1 li 51 i ASI fe e A4 y x 1 xX 1 Assim as bases desses autoespacgos sao 1 li 51 i Al1 n e A4 ne 1 Os vetores v e V sao ortogonais pois vey 1 0 0 0 1d1 1 0 e portanto todos os multiplos escalares desses vetores também sfo ortogonais 4 Em geral nao é facil reconhecer uma matriz unitaria sem fazer contas Contudo o analogo seguinte dos Teoremas 711 e 713 parte do qual provado nos exercicios fornece uma maneira de decidir se uma dada matriz é unitaria sem precisar calcular sua inversa 75 Matrizes unitarias normais e hermitianas 427 TEOREMA 754 Se A for uma matrizn X n com entradas complexas entdo as afirma cdes seguintes sao equivalentes a A é unitaria b Ax x qualquer que seja x em C c Ax Ay xy quaisquer que sejamx e y em C d Os vetores coluna de A formam um conjunto ortonormal em C em relacdo ao produto interno euclidiano complexo e Os vetores linha de A formam um conjunto ortonormal em C em relagdo ao pro duto interno euclidiano complexo Uma matriz unitaria Use o Teorema 754 para mostrar que 1 1 A 1 d é unitdria e encontre A Solucao Mostremos que os vetores linha r4di 404 e 1 4d0 4140 sao ortonormais As contas pertinentes sao Inj l Vl s0 d fs71 Irl SdP C14a3441 rer 40 4 404 40 4C140 41 i 40 i 0 0 11 4141 0 Como sabemos que A unitaria segue que 1 1 A A 2H 2049 1 1 tqi 413 Deixamos para o leitor confirmar a validade desse resultado mostrando que AA AA Como as matrizes unitdrias s4o 0 anélogo complexo das matrizes ortogonais reais a defi Diagonalizabilidade unitaria nigdo seguinte é uma generalizacao natural da ideia de diagonalizacao ortogonal de ma trizes reais DEFINICAO 3 Uma matriz quadrada complexa é dita unitariamente diagonalizdvel se existe uma matriz unitaria P tal que PAP D é uma matriz diagonal complexa Dizemos que qualquer matriz P nessas condiées diagonaliza A unitariamente Lembre que uma matriz simétrica A de tamanho n X n tem um conjunto ortonormal de n autovetores e é ortogonalmente diagonalizavel por qualquer matriz n X n cujos veto res coluna constituam um conjunto ortonormal de autovetores de A Aqui esta o andlogo complexo desse resultado 428 Algebra Linear com Aplicacdes TEOREMA 755 Qualquer matriz hermitiana A de tamanho n X n tem um conjunto ortonormal de n autovetores e é unitariamente diagonalizada por qualquer matriz P de tamanho n X n cujos vetores coluna constituem um conjunto ortonormal de auto vetores de A O procedimento para diagonalizar unitariamente uma matriz hermitiana A é exata mente o mesmo utilizado para diagonalizar ortogonalmente uma matriz simétrica Diagonalizagao unitaria de uma matriz hermitiana Passo I Encontre uma base de cada autoespago de A Passo 2 Aplique o processo de GramSchmidt a cada uma das bases para produzir bases ortonormais dos autoespacos Passo 3 Forme a matriz P cujos vetores coluna sao os vetores de base obtidos no Passo 2 Essa matriz é unitaria Teorema 754 e diagonaliza A unitariamente Diagonalizagao unitaria de uma matriz hermitiana Encontre uma matriz P que diagonaliza unitariamente a matriz hermitiana 2 1i A 1i 3 Solugao Mostramos no Exemplo 3 que os autovalores de A sto A le A 4e que bases dos autoespacos associados sao 1 li zd 71 AHly e A4 v 1 Como cada autoespaco tem somente um vetor na base aplicar 0 processo de GramSchmidt significa simplesmente normalizar esses vetores de base Deixamos para o leitor mostrar que ali Lei p vy V3 e p Vv v6 17 Woy 27 yy Ilv ll 4 II Il 4 v3 v6 Assim A é unitariamente diagonalizada pela matriz a v3 6 Pp Pl 1 2 v3 vb Embora seja um pouco tedioso o leitor pode querer conferir esse resultado mostrando que ti Pali li PAP V3 VB 2 1i v3 vo 1 0 fui 2lii 3 1 27Io0 4 v6 v6 v3 V6 Matrizes antissimétricas e No Exercicio 37 da Segao 17 definimos uma matriz quadrada com entradas reais como antihermitianas sendo antissimétrica se A A Uma matriz antissimétrica necessariamente tem entra 75 Matrizes unitarias normais e hermitianas 429 das nulas na diagonal principal por qué e cada entrada fora da diagonal principal deve ser 0 negativo da entrada posicionada simetricamente em relagd4o a diagonal principal Vejamos um exemplo 0 1 2 Al 0 4 antissimétrica 2 4 0 T Deixamos para 0 leitor confirmar que A A O analogo complexo das matrizes antissimétricas s4o as matrizes tais que A A denominadas antihermitianas Como uma matriz antihermitiana A tem a propriedade T A A A uma matriz antihermitiana necessariamente tem entradas nulas ou imaginarias puras na dia gonal principal por qué e os complexos conjugados das entradas posicionadas simetrica mente em relac4o a diagonal principal sao 0 negativo uma da outra Vejamos um exemplo i 1i 5 Ali 2i i antihermitiana 5 i 0 As matrizes hermitianas possuem varias mas nao todas propriedades de matrizes simé atrizes normais tricas reais Por exemplo sabemos que matrizes simétricas reais s4o ortogonalmente dia gonalizaveis e que matrizes hermitianas s4o unitariamente diagonalizaveis Contudo ao passo que as matrizes simétricas reais sao as unicas matrizes ortogonalmente diagonali zaveis as matrizes hermitianas nao constituem toda a classe de matrizes complexas uni tariamente diagonalizaveis ou seja existem matrizes unitariamente diagonalizaveis que nao sao hermitianas Mais especificamente pode ser provado que uma matriz quadrada complexa A é unitariamente diagonalizavel se e sé se AA AA 5 Matrizes com essa propriedade sao ditas normais As matrizes normais incluem as her mitianas as antihermitianas e as unitdrias no caso complexo e as simétricas as antissi métricas e as ortogonais no caso real As matrizes antissimétricas nao nulas sao particu larmente interessantes por serem exemplos de matrizes reais que nao sao ortogonalmente diagonalizaveis mas sao unitariamente diagonalizaveis Vimos que matrizes hermitianas tém autovalores reais Nos exercicios pedimos ao leitor Uma comparacao de mostrar que os autovalores de matrizes antihermitianas sao ou nulos ou imaginarios pu autovalores ros ou seja tém parte real nula e que os autovalores de matrizes unitarias tém médulo 1 Esses resultados estado ilustrados esquematicamente na Figura 751 y Autovalores imaginarios puros antihermitiana A 1 unitaria 1 x Autovalores reais hermitiana Figura 751 430 Algebra Linear com Aplicagdes Revisao de conceitos Aptiddes desenvolvidas e Transposta conjugada e Encontrar a transposta conjugada de uma matriz e Matriz unitdria e Ser capaz de identificar matrizes hermitianas e Matriz hermitina e Encontrar a inversa de uma matriz unitaria e Matriz unitariamente diagonalizavel e Encontrar uma matriz unitéria que diagonaliza uma matriz e Matriz antissimétrica hermitiana e Matriz antihermitiana e Matriz normal Conjunto de exercicios 75 Nos Exercicios 12 encontre A a3 V3 i a 1 ll A l LG art 2 1i 14i na I iv3 x5 i V3 1 A 4 3 1 2 A 4 5T7i i 1 1 sti 0 wilti Zd 12 A 1 5 Nos Exercicios 34 encontre ntimeros que colocados no lu v3 v6 gar dos sinais X tornem A hermitiana oo Nos Exercicios 1318 encontre uma matriz unitaria P que 1 i 23i 2 0 345i diagonalize a matriz hermitiana A e determine PAP A 1 A 4 i 3 x 3 4 x i 4 lj 3 i x x 2 x x 6 13 A 14 A li 5 i 3 Nos Exercicios 56 em cada caso mostre que A nao é hermi 6 242i 0 384i sai 15 A 16 A tiana para qualquer escolha dos sinais x 2 2 4 31 3 1 i 23i 5 a A i 3 x 5 o o 2 3 x x 17 A0 1 1i 0 li 0 x x 345i A 0 Gi i 2 yi zi 3Si i x 18 A zi 2 0 1 1li x zi 0 2 6 a A1i 7 x 6 2i x 0 Nos Exercicios 1920 encontre nimeros que colocados no lugar dos sinais X tornem A antihermitiana 1 x 345i b A x 3 1i 0 i 23i 0 0 35Si 3S5i x 224i 19 Ax 0 1 20 Ax OO i x x 4i x x 0 Nos Exercicios 78 verifique que os autovalores de A sao reais e que os autovetores de autoespacos diferentes so ortogo Nos Exercfcios 2122 mostre que A nao é antihermitiana nais de acordo com o Teorema 753 qualquer que seja a escolha dos sinais X yw au 77 gs a 7 0 i 23i OF N94 3h 1 a Hee 21 a A i 0 x Nos Exercicios 912 mostre que A é unitaria e encontre 243i x x Al 1 x 3Si 3 4 a a 9 A 5 5 10 A v2 v2 b A x 2i I 4 3 41i 04a 345i i 3i 75 Matrizes unitarias normais e hermitianas 431 i x 231 34 Mostre que se u for um vetor no nulo em C escrito em for 22 a A x 0 Li ma de coluna entaéo P uu é uma matriz hermitiana 243i li x 35 Mostre que se u for um vetor unitério em C escrito em forma de coluna entéo H J 2uu é uma matriz unitaria e hermi 0 i 447i tiana bo A x 0 x 36 O que pode se dito sobre a inversa de uma matriz A que é her 4Ti x 1 mitiana e unitaria 37 Encontre uma matriz 2 X 2 que seja hermitiana e unitdria e Nos Exercicios 2324 verifique que os autovalores da matriz cujas entradas nao sejam todas ntimeros reais antihermitiana A sdo nimeros imagindrios puros 38 Sob quais circunstancias é normal a matriz A 0 1i 0 3i 3 a r 4 a 0 a 0 0 A0 0 c as 0 b O Nos Exercicios 2526 mostre que A é normal 142i 2i 2i 39 Que interpretagdes geométricas plausiveis poderiam ser dadas 25 A 2i Li i a multiplicacgao pelas matrizes P uu e H J 2uu nos 2 j j L4i Exercicios 34 e 35 40 Prove se A for uma matriz invertivel entaéo A é invertivel e 22i i li A AS 26 A i 2i 13i 41 a Prove que detA detA Ii 13i 38i b Use o resultado da parte a e 0 fato de que uma matriz 27 Mostre que a matriz quadrada e sua transposta tém o mesmo determinante para provar que detA detA il i0 A Ls e e 42 Use a parte b do Exercicio 41 para provar as afirmagées i0 i0 V2 Lie re a Se A for hermitiana entao detA sera real unitaria qualquer que seja o valor de 0 Nota ver a Formu b Se A for unitdria ento detA 1 la 17 no Apéndice B para a definicao de e 43 Use propriedades da transposicao e da conjugacao complexa 28 Mostre que cada entrada na diagonal principal de uma matriz para provar as partes a e e do Teorema 751 antihermitiana é igual a zero ou é um numero imaginario 44 Use propriedades da transposicao e da conjugacao complexa puro para provar as partes b e d do Teorema 751 29 Seja A uma matriz n X n com entradas complexas e defina as 45 Prove que uma matriz A de tamanho n X n com entradas matrizes B e C por complexas é unitaria se e s6 se as coluna de A formam um 1 1 conjunto ortonormal em C B 2 AFA C yi A A 46 Prove que os autovalores de uma matriz hermitiana so reais a Mostre que B e C sao hermitianas Exercicios verdadeirofalso b Mostre que A B iCeA BiC Nas partes ae determine se a afirmacdo é verdadeira ou falsa c Que condigées devem satisfazer B e C para que A seja justificando sua resposta normal 0 i 30 Mostre que se A for uma matriz n X n com entradas comple a A matriz hermitiana xas e se ue V forem vetores em C dados em forma de coluna entao Bi A AuvuAv e uAvAuv b A matriz 0 a B é unitdria 31 Mostre que se A for uma matriz unitaria entéo A também Bi A sera unitaria c A transposta conjugada de uma matriz unitaria é unitaria 32 Mostre que os autovalores de uma matriz antihermitiana sao d Qualquer matriz unitariamente diagonalizavel é hermitiana ou nulos ou imaginarios puros e Uma poténcia inteira positiva de uma matriz antihermitiana 33 Mostre que os autovalores de uma matriz unitaria tém médulo 1 é antihermitiana 432 Algebra Linear com Aplicacdes Capitulo 7 Exercicios suplementares 1 Em cada caso verifique que a matriz é ortogonal e encontre 8 Em cada caso encontre uma mudanga de variavel ortogonal sua inversa que elimine o termo misto da forma quadratica e expresse a 4 9 3 forma quadratica em termos das variaveis novas 3 4 5 5 2 2 5 5 9 4 12 a 3x 5x 2xx a 4 3 b 35 5735 2 2 2 3 5 R 3 16 b Sx x x 6xx 4xx 28 25 9 Em cada caso identifique o tipo da sec4o cénica representada 2 Prove se Q for uma matriz ortogonal entao cada entrada de pela equaciio Q é dada pelo seu cofator se detQ 1 e pelo negativo de seu a y v0 b 3x Ly 0 cofator se detQ 1 o oo 10 Encontre uma matriz unitaria U que diagonaliza 3 Prove que se A for uma matriz simétrica positiva e u e v veto res em forma de coluna entaio 1 1 0 u v uAv A0 1 1 1 0 1 é um produto interno de R 4 Encontre o polinémio caracteristico e as dimensGes dos auto e determine a matriz diagonal D UAU espagos da matriz simétrica 11 Mostre que se U for uma matriz unitérian X ne 32 2 llzl 1 23 2 entao o produto 2 2 3 z O 0 O 5 Encontre uma matriz P que diagonalize 0 zy 0 0 Uy 1 0 1 Dott A 0 1 0 0 0 0 ve Qn 1 ol também é unitario ortogonalmente e determine a matriz diagonal D PAP 12 Suponha que A A 6 Em cada caso expresse a forma quadratica em notagao matri a Mostre que iA hermitiana cial xAx b Mostre que A é unitariamente diagonalizavel e tem auto a 4 x 16 x 15xx valores imaginarios puros b 9x4 x 4x 6xx Bxx xx 7 Classifique a forma quadratica x 3xx Ax como positiva negativa indefinida nao negativa ou nao po sitiva CAPITULO 8 Transt Oes LI CONTEUDO DO CAPITULO 81 Transformagoées lineares arbitrarias 433 82 Isomorfismo 445 83 Composigées e transformagées inversas 452 84 Matrizes de transformagoées lineares arbitrarias 458 85 Semelhanca 468 INTRODUCAO Nas Secées 49 e 410 estudamos transformagées lineares de R em R Neste capitulo vamos definir e estudar transformag6es lineares de um espao vetorial arbitrario V num espaco vetorial arbitrario W Os resultados aqui obtidos tém aplicagdes importantes na Fisica na Engenharia e em varias areas da Matematica 81 Transformacées lineares arbitrarias Até aqui nosso estudo de transformag6es lineares ficou concentrado nas transformag6es matriciais de R em R Nesta sec4o passamos a estudar transformagé6es lineares envolvendo espagos vetoriais arbitrarios Mostramos como surgem tais transformag6es e estabelecemos uma relacao fundamental entre espacos vetoriais arbitrarios de dimensao ne o R Na Seco 49 definimos uma transformagao matricial T R R como sendo uma Definicdes e terminologia aplicagao da forma Tx Ax em que A é uma matriz m X n Depois disso estabelecemos nos Teoremas 4102 e 4103 que as transformagGes matriciais sao exatamente as transformacoes lineares de R em R ou seja as transformagGes com as propriedades de linearidade Tu v 7Tu Tv e Tkv kTv Utilizamos essas duas propriedades como o ponto inicial da definigado de transformag6es lineares mais gerais DEFINICAO 1 Se 7 V W for uma fungao de um espago vetorial V num espaco vetorial W entaéo T é denominada transformagao linear de V em W se as duas proprie dades seguintes forem validas com quaisquer vetores ue v em Ve qualquer escalar k i Tkv kTv Homogeneidade Gi Tu v Tw Tv Aditividade No caso especial em que V W a transformac4o linear é denominada operador linear do espaco vetorial V 434 Algebra Linear com Aplicacées A homogeneidade e a aditividade de uma transformacgao linear T V W podem ser usadas em combinagao para mostrar que se v e v forem vetores em Ve k ek escalares quaisquer entao Tkv kv kTv kTv Mais geralmente se v V Vv forem vetores em Vek kk forem escalares quaisquer entao Tkv kv kv kTv kTv kT Cv 1 O préximo teorema é um andlogo das partes a e d do Teorema 491 TEOREMA 811 Se T V W for uma transformacgdao linear entdo a T0 0 b Tu v Tu Tv quaisquer que sejam ue v em V Use as duas partes do Teorema Prova Seja u um vetor qualquer em V Como Ou 0 segue da homogeneidade na De finigao que 811 para provar que Tv Ttv T0 Tu OTu 0 com qualquer v em V provando a Podemos provar a parte b reescrevendo Tu v como Tu v Tu 1v Tu 1Ty Tu Tv Deixamos para o leitor justificar cada um dos passos dados Transformag6es matriciais Como utilizamos as propriedades de homogeneidade e aditividade de transformagdes ma triciais para definir uma transformacao linear arbitraria segue que qualquer transforma cio matricial T R R também é uma transformacao linear nesse contexto mais geral com V Re W R A transformagao nula Sejam V e W dois espagos vetoriais quaisquer A aplicagéo T V W tal que Tv 0 qualquer que seja o vetor v em V é a transformagao linear denominada transformacao nula ou zero Para ver que T é linear observe que Tuv0 Tu0 Tiv0 e Tkv0 Portanto Tu v 7Tu Tv e Tkv kTv O operador identidade Seja V um espaco vetorial qualquer A aplicagao J V V definida por Jv v é denomi nada operador identidade de V Deixamos para 0 leitor verificar a linearidade de 81 Transformag6es lineares arbitrarias 435 Operadores dilatagao e contracgao Se V for um espaco vetorial e k um escalar qualquer entéo a aplicagao T V V dada por 7x kx um operador linear de V pois dados um escalar c e vetores ue vem V quaisquer entao Tcv kcv ckv cTv Tuuv kutv kukv Tu Tv Dizemos que T é uma contracao de V de fator k se 0 k e uma dilatagao de V de fator ksek 1 Figura 811 ww Dae Se a kx x x kx V V Figura 811 Dilatagaéo de V Contragao de V Uma transformagao linear de P em P Seja p px cy te x um polindmio em P e defina a transformacao TPP por Tp Tpx xp cy x c xX beet C x Essa transformacao é linear pois dado qualquer escalar k e quaisquer polinémios p e p temos Tkp Tkpx xkpx kp kTp e Tp P Tp px Xp x py x xp x xpx Tp TP Uma transformagao linear usando um produto interno Dados um espaco com produto interno V e um vetor v qualquer fixado em V seja T V Ra transformacao Tx x Vo que associa a cada vetor x o seu produto interno com v Essa transformacao linear pois dados qualquer escalar k e quaisquer vetores u e v em V das propriedades de produtos internos decorre que Tkv kv V kv v kTv Tu v UV Vy U Vo V Vo Tu Tv Transformagoes de espacos matriciais Seja M 0 espago vetorial das matrizes n X n Em cada parte determine se a transforma ao é linear a TA A b TA detA Solugado a Segue das partes b e d do Teorema 148 que T kA kA kA kTA T A BAB A B TAT7B de modo que 7 é linear 436 Algebra Linear com Aplicacdes Solugao b Segue da Férmula 1 da Secao 23 que TkA detkA k detA kTA Assim T nao é homogénea e portanto nao é linear sen 1 Observe que a aditividade também falha pois mostramos no Exemplo da Secdo 23 que detA B e detA detB nao sao iguais em geral y A translacgao nao é linear x Xp A parte a do Teorema 811 afirma que uma transformagao linear faz corresponder 0 a 0 Essa propriedade é util para identificar transformag6es que ndo sao lineares Por exemplo fo fixando um vetor nao nulo x em R a transformaciio Tx x x x tem o efeito geométrico de transladar cada ponto x numa direao paralela a x por uma distancia x Figura 812 Isso nao pode ser uma transformacao linear pois T0 X 0 de modo que T nao associa 0 a 0 Figura 812 7x x X translada cada ponto x A transformacao de avaliacado ao longo de uma reta paralela ean a X por uma distancia x Dados um subespaco V de F e numeros reais distintos XX X seja T V R a transformagao TP FO fA 0 2 que associa a f a énupla de valores dessa funcgao em x5 x Dizemos que essa é a transformacao de avaliagao de V em x x x Assim por exemplo se xX l x2 x4 ese fx x 1 entéo TP FO f Of 3 O 3 15 A transformagao de avaliacgao em 2 é linear pois dados qualquer escalar k e quais quer fung6es fe g em V entao TKA KAO KA O5 KA kf Kf KAF kFO FO FO KTP e Tf 8 f 8 Ff 8 F 84 fm 8 FQ 805 8 f fO 5 FOG 90m 805 8 TfTg 4 Encontrando transformacées Vimos na Formula 12 da Segao 49 que se T for uma transformagao matricial digamos lineares a partirdas imagens a multiplicagdo por A e se e forem os vetores da base candnica de R entao A de vetores de uma base pode ser expressa por ATe Tie Te 81 Transformagées lineares arbitrarias 437 Segue disso que a imagem de qualquer vetor v c c5C em R pela multiplicagao por A pode ser expressa por Tv c Te c Tie Te Essa formula nos diz que a imagem de qualquer vetor por uma transformagao matricial pode ser escrita como uma combinagao linear das imagens dos vetores da base candnica Isso um caso especial do resultado geral seguinte TEOREMA 812 Se V W for uma transformacdo linear V um espaco vetorial de dimensdo finita e S V VV uma base de V entdo a imagem de qualquer vetor Vv em V pode ser escrita como Tv cTv cTv T 3 em que C CC SAO Os coeficientes que expressam V como uma combinagdao linear dos vetores em S Prova Escrevav como v cv cv V e use alinearidadedeT 4 Calculando com imagens de vetores de base Considere a base S V V5 V de R com vy11 v10 v 00 Seja T ROR a transformagao linear tal que Tv 19 Tv 2 1 Tv3 3 Encontre uma férmula para Tx x x e use essa f6rmula para calcular 72 3 5 Solugao Inicialmente precisamos escrever x x X5 x3 como uma combinagao linear de v V V3 Escrevendo X X5 X 1 1 1 C 1 0 1 0 0 e equacionando componentes correspondentes obtemos Cc tO 0 x Cc cy X C X que da c x3 C X X3 C X X portanto x X5 X x 1 1 1 x x1 1 0 x xC1 0 0 X3V XV 4 XV3 Assim TX XX xTv x xTV x xTV3 x 1 0 x a x2 1l x x 4 3 4x 2x x 3x 4x x A partir dessa formula obtemos T2 3 5 9 23 438 Algebra Linear com Aplicacdes REQUER CALCULO Uma transformacdo linear de C em F 2 0 Sejam VC 00 26 0 espaco vetorial das fungdes com derivadas continuas em e W F 0 espaco vetorial de todas as fung6es reais definidas em Seja DV Watransformagao que associa cada fungao f fx a sua derivada isto é Df f Pelas propriedades da derivacgdo temos Df g Df Dig e Dkf kDf Assim D é uma transformagao linear REQUER CALCULO Uma transformagao integral Sejam V C o espago vetorial das fung6es continuas no intervalo e W C 0 espaco vetorial das fungdes com derivadas continuas em Seja JV Watransformagao que associa cada fungao f fx a x r fo fear 0 Por exemplo se fx x entdo x r x x wn f dt 0 3 Io 3 A transformacao J V Wé linear pois dados qualquer constante k e quaisquer fungdes fe gem V as propriedades da integracgdo garantem que x x Jkf kftdt ft dt kIf 0 0 Xx x Xx Jf 8 ft gt dt fnar gtdtJfJg 0 0 0 Nucleo e imagem Lembre que se A for uma matriz m X n entao 0 espaco nulo de A consiste em todos os ve tores x em R tais que Ax 0 pelo Teorema 471 0 espaco coluna de A consiste em to dos os vetores b em R para os quais existe pelo menos um vetor x em R tal que Ax b Do ponto de vista de transformagées matriciais o espacgo nulo de A consiste em todos os vetores em R que a multiplicagao por A transforma em 0 e 0 espaco coluna de A consiste em todos os vetores em R que sio imagem de pelo menos um vetor em R na multiplica cao por A A definigao seguinte estende essas ideias a transformacoes lineares arbitrarias DEFINICAO 2 Seja T V Wuma transformacio linear O conjunto dos vetores em V que T transforma em 0 é denominado niicleo de T e é denotado por NucT O con junto de todos os vetores em W que sao imagem por T de pelo menos um vetor em V é denominado imagem de T e é denotado por Im7 Nucleo e imagem de uma transformagao matricial Se T R R for a multiplicagao pela matriz A de tamanho m X n entao pelo que acabamos de observar 0 nticleo de T 0 espago nulo de A e a imagem de T 0 espaco coluna de A 81 Transformacées lineares arbitrarias 439 Nucleo e imagem da transformagao nula Seja T V Wa transformagao nula Como T transforma cada vetor em V em 0 segue que Nuc7 V Além disto como 0 é a vinica imagem por T de vetores em V segue que Im7 0 Nucleo e imagem do operador identidade Seja Il V Vo operador identidade Como v v com qualquer vetor em V qualquer vetor em V é a imagem de algum vetor a saber ele mesmo assim Im V Como 0 é 0 tinico vetor que transforma em 0 segue que Nuc 0 Nucleo e imagem de uma projecao ortogonal Conforme ilustrado na Figura 813a os pontos que T transforma em 0 0 0 0 sao exatamente os do eixo z de modo que NucT é 0 conjunto dos pontos da forma 0 0 z Conforme ilustrado na Figura 813b T transforma os pontos de R no plano xy sendo cada ponto desse plano a imagem de todos os pontos da reta vertical acima dele Assim Im7 0 conjunto dos pontos da forma x y 0 Nucleo e imagem de uma rotagao Seja T R Ro operador linear que gira cada vetor no plano xy pelo angulo 6 Figura 814 Como cada vetor no plano xy pode ser obtido pela rotagao de algum vetor pelo angulo 0 segue que Im7 R Além disso 0 tinico vetor que gira em 0 é 0 portanto Nuc7 0 z z 002 TW x y 2 tr y y 0 0 0 T Sy x x x y 0 0 a NucT 0 eixo z b ImT é todo o plano xy Figura 813 Figura 814 Nucleo de uma transformagao de derivagao REQUER CALCULO Sejam V C o espaco vetorial das fungdes com derivadas continuas em W F o espaco vetorial de todas as fungoes reais definidas em e D V Watransformacao de derivacado Df f x O nticleo de D é 0 conjunto de todas as fungdes em V com derivada zero Do Calculo sabemos que esse 0 conjunto das fungGes constantesem Em todos os exemplos dados Nuc7 e Im7 sempre foram subespagos Nos Exemplos Propriedades do nucleo e 14 15 e 17 foram ou o subespaco nulo ou todo o espao vetorial No Exemplo 16 ont da imagem cleo foi uma reta pela origem e a imagem foi um plano pela origem ambos os quais sao subespacos de R Tudo isso é uma consequéncia do resultado geral seguinte 440 Algebra Linear com Aplicacées TEOREMA 813 SejaT V W uma transformacdao linear a Onicleo de T é um subespaco de V b A imagem de T é um subespaco de W Prova a Para mostrar que NucT um subespago precisamos mostrar que contém pelo menos um vetor e que é fechado na adicAo e na multiplicagao por escalar Pela parte a do Teorema 811 0 vetor 0 esta em Nuc T de modo que esse conjunto contém pelo menos um vetor Sejam v e v vetores em Nuc7 e k um escalar quaisquer Entao Tv v Tv Tv 000 de modo que v v esta em Nuc7 Também Tkv kTv k0 0 de modo que kv esta em Nuc7 Prova b Para mostrar que ImT um subespago de W precisamos mostrar que con tém pelo menos um vetor e que é fechado na adigdo e na multiplicacao por escalar Con tudo a imagem contém pelo menos 0 vetor zero de W pois T0 0 pela parte a do Teorema 811 Para provar que é fechado na adicAo e multiplicagao pro escalar devemos mostrar que se w e w forem vetores em Im7 e k for um escalar qualquer entao existem vetores ae b em V com os quais Taww e Tb kw 4 Mas como w e w estao em Im7 existem vetores v e v em V tais que Tvw e Tvw As contas a seguir completam a prova mostrando que os vetores a v v eb kv satisfazem as equagoes de 4 a saber Ta Tv v Tv Tv w Wo Tb Tkv kTv kw 4 REQUER CALCULO Aplicagao as equagoes diferenciais As equacgoes diferenciais da forma y wy 0 umaconstante positiva 5 surgem no estudo das vibragdes O conjunto de todas as solucdes dessa equagao no in tervalo o nucleo da transformacao linear D C 2 C dada por Diy y wy Mostrase em qualquer livro texto de Equagées Diferenciais que 0 nticleo é um subespaco bidimensional de C de modo que se obtivermos duas solug6es linearmente in dependentes de 5 entao todas as outras solugdes podem ser obtidas como combinacao linear dessas duas Deixamos para o leitor confirmar que y coswx e y senwx sao solugdes de 5 Essas fungdes sao linearmente independentes pois nenhuma é um multiplo escalar da outra e portanto y c cos wx c sen wx 6 é uma solucao geral de 5 no sentido de que qualquer escolha de c e c produz alguma solucao e qualquer solucéo é dessa forma 4 81 Transformag6es lineares arbitrarias 441 Na Definigao da Segao 48 definimos as nog6es de posto e nulidade de uma matrizm Xn Posto e nulidade de e no Teorema 482 que denominamos teorema da dimensdo provamos que a soma do transformacées lineares posto com a nulidade én A seguir mostramos que esse resultado é um caso especial de um resultado mais geral sobre transformacoes lineares Comegamos com uma definiao DEFINICAO 3 Seja T V Wuma transformagao linear Se a imagem de T tiver dimensa4o finita dizemos que sua dimensao 0 posto de T e se 0 nucleo de T tiver dimensAo finita dizemos que sua dimensao é a nulidade de T O posto de T é denotado por posT e a nulidade por nulT O teorema seguinte generaliza o Teorema 482 a prova é opcional TEOREMA 814 Teorema da dimensAo para transformagoes lineares Se T V W for uma transformacao linear de um espaco vetorial V de dimensdao n num espaco vetorial W entao posT nul7 n 7 No caso especial em que A for uma matriz m X ne T R R a multiplicago por A 0 nticleo de T 0 espaco nulo de A e a imagem de T 0 espago coluna de A Assim segue do Teorema 814 que pos7 nul7 n Prova do Teorema 814 Precisamos mostrar que OPCIONAL dimIm7 dimNuc7 n Vejamos a prova no caso 1 dimNucT n deixando os casos dimNuc7 0 e dimNuc7 n para os exercicios Suponha que dimNuc7 re sejav V uma base do nticleo Como v v linearmente independente o Teorema 4555 garante que existem n r vetores V V tals que 0 conjunto aumentado VV Vij v uma base de V Para completar a prova mostramos que os n r vetores no conjunto S Tv Tv formam uma base da imagem de T Disso decorre entao que dimIm7 dimNuc7 2 71 rn Primeiro provamos que S gera a imagem de T Se b for um vetor qualquer da imagem de T entao b 7v com algum vetor v em V Como vVV4V uma base de V podemos escrever 0 vetor v no formato VHCV Fe FON C5V4 b CY Como y V sao vetores do nticleo de T temos Tv Tv 0 logo b Tv cTV4 T Assim S gera a imagem de T Finalmente mostramos que S é um conjunto linearmente independente e que conse quentemente forma uma base da imagem de T Suponha que alguma combinacAo linear de vetores em S seja nula Entao kT kTv 0 8 Precisamos mostrar que k k 0 Como T linear 8 pode ser reescrita como TK iV p41 Feet KV 0 442 Algebra Linear com Aplicacées que diz que k v kv esta no nucleo de T Esse vetor pode portanto ser escri to como uma combinacao linear dos vetores v v da base digamos KV Peet KV Ky Peet KY Assim Ky Peet KY KV KV 0 Como v V linearmente independente todos os coeficientes k s4o nulos em particular k k 0completandoaprova 4 Revisao de conceitos Aptiddes desenvolvidas e Transformagao linear e Determinar se uma funcao é uma transformacao linear e Operador linear e Encontrar uma férmula para uma transformacao linear e Transformacao nula T V Wsendo dados os valores de T numa base de V e Transformacao identidade e Encontrar uma base do nticleo de uma transformagao x linear e Contracgao e Encontrar uma base da imagem de uma transformaao e Dilatacgao linear e Transformagao de avaliagao 4 e Encontrar o posto de uma transformagao linear e Nitcleo 4 e Encontrar a nulidade de uma transformacao linear e Imagem e Posto e Nulidade Conjunto de exercicios 81 Nos Exercicios 18 determine se a fung4o é uma transforma 9 Considere a base S v v de R em que v 1 le cao linear Justifique sua resposta v 1 Oe sejaT R R o operador linear tal que 1 T VR sendo V um espaco vetorial com produto interno e Tv 12 e Tv 41 Tu lull 2 TR R sendo v um vetor fixado em Re Tu u X vy Encontre uma formula para Tx x e use essa formula para 3 TM M sendo B uma matriz 2 X 3 fixadae TA AB obter T5 3 4 TM R sendo TA trA 10 Considere a base S v v de Rem que v 2 le mn 2 3 5 FM M sendo FA Al v 1 3 e sejaT R RF a transformagao linear tal que 6 TM R sendo Tv 120 e Tv 0 35 a T il 3a4bced Encontre uma férmula para 7x x e use essa formula para c d obter 72 3 b T a b 4P 11 Considere a base S v v V de R em que vy 1 1 c d v 1 10 ev 1 0 0 e seja T R R 0 operador 7 T P P sendo linear tal que a Tay ax ax ay tax 1 ax 1P Tv 2 1 4 Tv G 0 1 b Tay ax ay a 1 a Dx t Qt DX TW L 51 8 T F F sendo Encontre uma formula para 7x x5 x e use essa formula a TA1f b TH fet VD para obter 12 4 1 81 Transformag6es lineares arbitrarias 443 12 Considere a base S v v v de R em que v 1 2 1 22 Verifique a Formula 7 do teorema da dimensdo para v 29 O ev 3 3 4 e sejaT R R a transforma a 0 operador linear do Exercicio 14 ao linear tal que b atransformagao linear do Exercicio 16 Tiv 19 Tv11 Tv3 1 c atransformacao linear no Exercicio 18 Encontre uma formula para 7x x 3 use essa formula Nos Exercicios 2326 seja T a multiplicacéo pela matriz A para obter 77 13 7 Encontre 13 Sejam v M2 e Vv vetores num espago vetorial Ve seja a uma base da imagem de T TVR umatransformagao linear tal que b uma base do nucleo de T Tv 1 2 Tv 0 3 2 c o posto e a nulidade de T Tv 3 I 2 d o posto e a nulidade de A Encontre T2v 3v 4v 1 l 3 2 0 l 14 SejaT R R 0 operador linear dado pela formula 23 A 5 6 4 24 A 4 0 2 7 4 2 20 0 0 Tx y 2x y 8x 4y 4 1 5 2 Em cada caso decida se 0 vetor esta em Im7 25 A 12 3 0 a 1 4 b 50 c 3 12 1 4 5 0 9 15 Seja T R R o operador linear do Exercicio 14 Em cada 32 1 0 l caso decida se o vetor esté em NucT 26 A 1 0 1 0 1 a S 10 32 UD 35 1 16 SejaT R R a transformacio linear dada pela formula 27 Descreva o nticleo e a imagem TX 1 Xp X31 X4 4x x 2x3 3x a da projecdo ortogonal sobre o plano xz 2X Xy X53 4X 6X 9x 9X4 b da projecdo ortogonal sobre o plano yz Em cada caso decida se 0 vetor esté em Im7 c da projec4o ortogonal sobre o plano definido pela equa cdo y x 0 0 6 b 130 24 1 4 3 b 28 Sejam V um espaco vetorial qualquer e T V V definido por 17 SejaTR RF a transformacao linear do Exercicio 16 Em Tv 3v cada caso decida se o vetor esta em Nuc7 a Qual é0 niicleo de 7 a 3 8 2 0 b 0001 c 0 4 1 0 eo b Qual é a imagem de T 18 Seja T P P a transformacao linear definida por 29 Em cada parte use a informacao dada para encontrar a nulida Tpx xpx Em cada caso decida se 0 vetor esta em ao NucT de da transformagao linear T pd 7 a b 0 c 1x a TR R tem posto 3 19 Seja T P P a transformacao linear do Exercicio 18 Em b T Py Ps tem posto 1 3 pe 3 2 p3 cada caso decida se o vetor esta em ImT c AimagemdeT RK R ER a x x b 1 x c 3x d T M M tem posto 3 20 Encontre uma base do nticleo 30 Seja A uma matriz 7 X 6 tal que Ax 0 s6 tem a solucao tri 6 7 a do operador linear do Exercicio 14 viale seja TR R amultiplicagao por A Encontre o posto e a nulidade de T b da transformac4o linear do Exercicio 16 31 Seja A uma matriz 5 X 7 com posto 4 c da transformacao linear no Exercicio 18 oo a Qual é a dimensdo do espaco solugaéo de Ax 0 21 Encontre uma base da imagem b Ax b sera consistente qualquer que seja o vetor b em a do operador linear do Exercicio 14 R Explique b da transformacao linear do Exercicio 16 32 SejaT R Wumatransformacio linear de R num espaco c da transformacao linear no Exercicio 18 vetorial qualquer Dé uma descrigéo geométrica de Nuc7T 444 Algebra Linear com Aplicacées 33 SejaT V R uma transformacio linear de um espaco veto 41 Requer Calculo Seja D P P a transformagao de deri rial qualquer em R Dé uma descricaio geométrica de Im7 vacio Dp px Descreva o nticleo de D 34 SejaT R R a multiplicacio por 42 Requer Calculo Seja J P Ra transformagao de integra 1304 a0 Jp fi px dx Descreva 0 nticleo de J 4 43 Requer Calculo Sejam V o espaco vetorial das fungdes 3 7 reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo 2 2 0 x e W F oes i paco vetorial de todas as fun c6es reais definidas em a Mostre que o ntcleo de 7 é uma reta pela origem e en oo 4 contre equacées paramétricas dessa reta a Encontre uma transformacaéo linear T V W cujo nt cleo seja P b Mostre que a imagem de 7 é um plano pela origem e en oo 4 b Encontre uma transformacao linear T V W cujo nt contre uma equacao desse plano 1 4 P cleo seja P 35 a Mostre que se a a b e b forem escalares quaisquer ae entio a formula 44 Se A for uma matriz m X ne seo sistema linear Ax b for consistente com qualquer vetor b em R 0 que pode ser dito qualq bem R 0 que pod d Fx y ax byy ax by sobre a imagem de T R R 2 define um operador linear de R Exercicios verdadeirofalso b A formula Fx y air By Yo GX byy define um Nas partes ai determine se a afirmacao é verdadeira ou falsa operador linear de R Explique er justificando sua resposta 36 Sejam v V Vv uma base de um espao vetorial Ve a Se Tcv c cTlv cTtv com quaisquer veto T V Wumatransformagao linear Mostre que se Z res v e v em Ve quaisquer escalares c e c entao T é uma Tv Tv Tv 0 transformacao linear ento T a transformacdo nula b Se v for um vetor nao nulo em V entao existe exatamente uma transformacao linear T V W tal que Tv Tv 37 Sejam v V V uma base de um espago vetorial Ve T V Vum operador linear Mostre que se c Existe exatamente uma transformacao linear T V W tal que 7u v Tu v quaisquer que sejam os vetores TV V TV Vo5 TUV V uevem V entio T é o operador identidade de V d Se v for um vetor nao nulo em V entao a formula 38 Dado um inteiro positivo n 1 qualquer seja T M R Tv Vo v define um operador linear de V a transformagdo linear definida por TA trA em que A e O nticleo de uma transformacao linear é um espaco vetorial é uma matriz de entradas reais Determine a dimensdo de f A imagem de uma transformacio linear é um espaco vetorial NucT g Se T P M for uma transformagado linear entdo a nulida 39 Prove se V VV for uma base de Ve w W W de de Té 3 vetores em W nao necessariamente distintos entéo existe al h A fungdo T M R definida por TA detA é uma guma transformagao linear T V W tal que x 1 transformacado linear Tv W TV W TV W i A transformacao linear T M M definida por 2 2 p 40 Requer Calculo Sejam V Ca b 0 espaco vetorial das 1 3 fung6es continuas em a b e T V Va transformacao TA A definida por x tem posto 1 Tf 5fx 3 St dt Sera T um operador linear 82 lsomorfismo 445 82 lsomorfismo Nesta seg4o estabelecemos uma conex4o fundamental entre espacos vetoriais de dimensao finita e 0 espaco euclidiano R Essa conex4o nao sé tem importancia teérica como tem aplicag6es praticas por nos permitir efetuar calculos vetoriais em espacos vetoriais arbitrarios utilizando vetores de R Embora muitos dos teoremas neste texto tenham se ocupado exclusivamente com 0 es Injetora e sobrejetora paco vetorial R isso nao é tao restritivo como pode parecer Como veremos 0 espaco vetorial R é a mae de todos os espacos vetoriais reais de dimensdo finita no sentido de que qualquer espaco desses pode até diferir de R na notacdo usada para representar seus vetores mas nao difere em sua estrutura algébrica Para explicar 0 que se entende por isso precisamos de duas definig6es a primeira das quais é uma generalizacao da Defini cao das Secao 410 Ver Figura 821 DEFINICAO 1 Se 7 V W for uma transformacio linear de um espaco vetorial V num espaco vetorial W dizemos que 7 é uma transformagao injetora se T transformar vetores distintos de V em vetores distintos de W DEFINICAO 2 Se T V W for uma transformacio linear de um espaco vetorial V num espaco vetorial W dizemos que T é uma transformagao sobrejetora ou simples mente sobre W se qualquer vetor em W for a imagem de pelo menos um vetor em V V Ww V Ww VW vrs H Ww ee tl y ee e 1 aaa ee e s a Imagem Imagem ee ee deT ear deT Injetora Vetores distintos Nao injetora Existem Sobre W Cada vetor Nao sobre W Nem todo em V tém imagens vetores distintos em V em W éa imagem de vetor em W é a imagem distintas em W com a mesma imagem algum vetor em V de algum vetor em V Figura 821 O pr6ximo teorema fornece uma maneira util de dizer se uma dada transformacao linear é injetora a partir de seu nticleo TEOREMA 821 Se T V W for uma transformacgdao linear as afirmacgées seguintes sao equivalentes a T é injetora b NucT 0 Prova a b Como T é linear sabemos que 70 0 pelo Teorema 811a Como T é injetora nao pode haver outros vetores em V que so transformados em 0 de modo que NucT 0 446 Algebra Linear com Aplicacées Prova b a Vamos supor que NucT 0 Dados vetores distintos ue v em V temos u v 0 Isso implica que Tu v 0 pois caso contrario NucT conteria um vetor nao nulo Como T é linear segue que Tu Tv Tu v 0 de modo que T transforma vetores distintos de V em vetores distintos de W ou seja é injetora No caso especial em que V for de dimens4o finita e T um operador linear de V pode mos acrescentar uma terceira afirmacgao aquelas no Teorema 821 TEOREMA 822 Se V for um espaco vetorial de dimensdo finita e T V V for um operador linear as afirmacées seguintes sao equivalentes a T é injetor b NucT 0 c T é sobrejetor ou seja ImT V Prova Jasabemos que a e b sAo equivalentes pelo Teorema 821 de modo que basta mostrar que b e c s4o equivalentes Deixamos para o leitor mostrar isso supondo que dimV ne aplicando o Teorema 814 Dilatagdes e contragdes sao injetores e sobre Mostre que se V for um espaco vetorial de dimensdo finita e c algum escalar nao nulo entao o operador linear T V V definido por Tv cv é injetor e sobre Solugao O operador T é sobre e portanto injetor pois um vetor v qualquer em V éa imagem do vetor 1cv Operadores matriciais Se T R R for o operador matricial Tx Ax ento segue das partes r e s do Teorema 516 que 7 é injetor e sobre se e sd se A invertivel Operadores de translagao Seja V R o espaco de sequéncias discutido no Exemplo 3 da Secao 41 e considere o operador de translagao de V definido por TUUU O uy uU5 Ty U Uy Uys e Uy Uy Us a Mostre que T é injetor mas nao sobre b Mostre que T sobre mas n4o injetor Solugdo a O operador T é injetor porque sequéncias distintas de R claramente tém imagens distintas Esse operador nao é sobre porque por exemplo nenhum vetor em R é aplicado na sequéncia 10 00 Por que o Exemplo 3 nao contra Solucao b O operador T nao é Injetor porque por exemplo ambos os vetores di 1000e2000 sao transformados em 0 000 Esse iz 0 Teorema 822 mo operador é sobre porque qualquer sequéncia de nimeros reais pode ser obtida com uma escolha apropriada dos ntimeros u U3U 82 lsomorfismo 447 Transformacoes basicas que sao injetoras e sobre A transformagoes lineares T P Re TM R definidas por T a bx cx dx abc d r be4 a b Cc le d so injetoras e sobre verifique isso mostrando que seus nticleos contém apenas o vetor nulo Uma transformagao linear injetora SejaT P P a transformagao linear Tp Tipx xp estudada no Exemplo 5 da Secao 81 Se PPXXYCotext tex e qeqxdtdxtdx forem polinémios distintos entéo eles diferem em pelo menos um coeficiente Logo Tp ceyx tex tex e TWqdxtdxttdx também diferem em pelo menos um coeficiente Assim T é injetora pois transforma po lindmios distintos p e q em polinémios distintos Tp e Tq Uma transformacao que no é injetora REQUER CALCULO Seja D C F2 a transformacao de derivagdo estudada no Exemplo 11 da Secao 81 Essa transformacgao linear ndo é injetora porque transforma fung6des que diferem por uma constante na mes ma fungao Por exemplo Dix D 12x Nos exercicios pedimos ao leitor que prove os dois fatos importantes seguintes sobreuma Dimensdao e transformacées transformagao linear T V W no caso em que V e W sao de dimensao finita lineares 1 Se dimW dimV entao T nao pode ser injetora 2 Se dimV dimW entéo T nao pode ser sobrejetora Enunciado informalmente se uma transformacao linear transformar um espacgo maior num espago menor entéo alguns pontos do espaco maior devem ter a mesma ima gem e se uma transformacao linear transformar um espago menor num espacgo maior entao devem existir pontos do espacgo maior que nao sao imagem de qualquer ponto do espacgo menor Observacio Essas observagées nos dizem por exemplo que qualquer transformagio linear de R em R deve transformar certos pontos distintos de R no mesmo ponto de R e também nos dizem que nao existe transformacio linear alguma de R que seja sobre todo o R Nossa pré6xima defini4o prepara o terreno para o resultado principal desta seco lsomorfismo DEFINICAO 3 Se uma transformacio linear T V W for injetora e sobre dizemos que T é um isomorfismo e que os espacos vetoriais V e W sao isomorfos 448 Algebra Linear com Aplicacées A palavra isomorfo deriva dos radicais gregos iso que significa idéntico e morfo que significa forma Essa terminologia é apropriada porque como veremos agora espa os isomorfos tém a mesma forma algébrica mesmo se consistirem em objetos de tipos distintos Para ilustrar essa ideia na Tabela mostramos como 0 isomorfismo 2 T Ay ax ax ay 4 4 traduz as operagoes de P e R Tabela 1 Operagao em P Operacao em R 31 2x 3x 3 6x 9X 31 2 3 3 6 9 Qxxtx5e344 9 21D15 G04 4 2x 3x 24 3x26x 423 2 43 2 6 0 O pr6ximo teorema que é um dos mais importantes resultados da Algebra Linear revela a importAncia fundamental do espaco vetorial R TEOREMA 823 Qualquer espaco vetorial real de dimensGo n é isomorfo a R Prova Seja V um espaco vetorial real de dimensao n Para provar que V é isomorfo a R O Teorema 823 nos diz que um 4 n ae devemos encontrar uma transformagaéo linear T V R que seja injetora e sobre Para espaco vetorial real de dimensao n pode diferir de R na notacao ISSO sejam mas tem a mesma estrutura algé Vii Veer V brica uma base qualquer de Ve ukyvkyvky 1 a representagdo de um vetor uem V como uma combinaga4o linear dos vetores da base e defina a transformacao T V R por Tu k kk 2 Mostremos que 7 é um isomorfismo linear injetor e sobre Para provar a linearidade sejam ue v dois vetores de Ve a um escalar e sejam ukyvkykyv e vadydyvdy 3 as representacdes de u e v como combinagoes lineares dos vetores da base Entao segue de 1 que Tau Takv akv akv ak akak akkk aT e segue de 2 que Tuyv Tk d V ky dV Te k dv k dk dk d kkk ddd Tu Tv mostrando que T é linear Para mostrar que T é injetora devemos mostrar que se ue V forem vetores distintos em V ento suas imagens em R também o sao Mas se u ve se 82 lsomorfismo 449 as representacOes desses vetores em termos dos vetores da base forem como em 3 entao devemos ter k d com pelo menos um i Assim Tu kkk d dd Tv mostrando que u e v tém imagens distintas por T Finalmente a transformacao T é sobre pois se w k kk for um vetor qualquer de R entao segue de 2 que w é a imagem por T do vetor ukyvkhykyv 4 Observacao Note que o isomorfismo 7 na Férmula 2 da prova precedente é a aplicagao de coordenadas T u kkk Ws que transforma u em seu vetor de coordenadas em relagdo 4 base S v V V Como em geral ha muitas bases possiveis de um dado espaco vetorial geralmente ha muitos isomorfismos entre Ve R um para cada base distinta O isomorfismo natural de P em R Deixamos a cargo do leitor mostrar que a aplicagao n1 T Ay FaX a 1X dy a4 de P em R é injetora sobre e linear Essa transformagdo é denominada isomorfismo natural de P em R pois como mostra 0 calculo a seguir ela transforma a base natural 1xxx de P na base canénica de R no T 110x0x 0x 1000 n T xOx00 0x 0100 no T x 040x 0 x s 0001 O isomorfismo natural de M em R As matrizes E 1 0 E 0 1 E 0 0 E 0 0 10 Of 10 Of f1t Of 0 1 formam uma base do espaco vetorial M das matrizes 2 X 2 Podemos construir um iso morfismo T M R escrevendo primeiro uma matriz A de M em termos dos vetores da base como A a a 1 0 4 0 1 4 0 0 4 0 0 a a a a a a 10 0 10 O 1 Of 0 1 e entao definindo T como TA a a a3 a Assim por exemplo 1 3 r 1 346 sol Mais geralmente essa ideia pode ser usada para mostrar que 0 espaco vetorial M das matrizes m X n com entradas reais é isomorfo a R 450 Algebra Linear com Aplicacées REQUER CALCULO Derivagao por multiplicagao matricial Considere a transformagao de derivagdo D P P no espaco vetorial dos polinémios de grau no maximo 3 Se usarmos os isomorfismos naturais para associar P e P a Re R respectivamente entao a transformagao D produz uma transformagao matricial corres pondente de R em R Mais especificamente a transformacao de derivacgao 2 3 dD 2 Ay a X 4xX 4x a 2ax 3ax produz a transformagao matricial A 0 1 0 0 a a 0 0 2 0 2a a 0 0 0 3 3a a Assim por exemplo a derivada d 2 3 2 2x4x x1 8x 3x dx pode ser calculada com o produto matricial 2 0 1 0 0 1 1 002 0 4 8 0 0 0 3 3 l Essa ideia é util na construgao de algoritmos numéricos para efetuar calculos de deriva cio 4 lsomortismos de espacos Se V for um espago com produto interno real de dimensao n entéo ambos V e R tém com produto interno além de sua estrutura algébrica uma estrutura geométrica resultante de seus respectivos produtos internos Assim é razodvel perguntar se existe um isomorfismo de V em R que preserve a estrutura geométrica bem como a estrutura algébrica Por exemplo gostaria mos que vetores ortogonais em V tivessem como contrapartida vetores ortogonais em R e que conjuntos ortonormais em V correspondessem a conjuntos ortonormais em R Para um isomorfismo preservar a estrutura geométrica 6bvio que ele deve preservar 0 produto interno ja que as nogdes de comprimento angulo e ortogonalidade tém por base o produto interno Assim se Ve W forem espacgos com produto interno dizemos que um isomorfismo T V W é um isomorfismo de espacos com produto interno se Tu Tv u v Pode ser provado que se V for um espaco com produto interno real de dimensdo n qualquer e R tiver o produto interno euclidiano 0 produto escalar entéo existe um iso morfismo de espacos com produto interno de Vem R Por meio de tal isomorfismo o es paco com produto interno V tem as mesmas estruturas algébrica e geométrica de R Nesse sentido cada espaco com produto interno real de dimensao n uma c6pia carbono de R com 0 produto interno euclidiano que difere desse espago apenas na notacgao usada para representar seus vetores Um isomorfismo de espacos com produto interno Sejam R o espaco vetorial das énuplas reais e M 0 espaco vetorial das matrizes reais n X 1 Em R tomamos 0 produto interno euclidiano u v u ve em M tomamos 82 lsomorfismo 451 o produto interno u v uv em que ue v sao dados em forma de coluna A aplicacdo T R M definida por U r v UUU v é um isomorfismo de espaco com produto interno de modo que a distincgAo entre 0 espago com produto interno R e 0 espaco com produto interno M é essencialmente uma diferen ca de notagao um fato que foi utilizado varias vezes neste texto 4 Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Transformacio injetora e Determinar se uma transformagado linear é injetora e Transformacao sobrejetora e Determinar se uma transformagao linear é sobre e Isomorfismo e Determinar se uma transformagao linear é um e Espacos vetoriais isomorfos isomorfismo e Isomorfismo natural e Isomorfismo de espago com produto interno Conjunto de exercicios 82 b T sera injetora Justifique sua resposta 1 Em cada parte encontre Nuc7 e determine se a transforma cao linear é injetora x4 a T R R com Tx y y x Ao x b TR 3 R com Tx y 0 2x 3y x c T R R com Tx y x yx y d TR 3 R com Tx y x yx y e T R R com Tx y x y y x 2x 2y 3 Figura Ex5 f TR SR com Ti yzytzxy2 2 Quais das transformagées do Exercicio 1 sdo sobre 6 Conforme indicado na figura seja T R R 0 operador li 3 Em cada parte determine se a multiplicagéo por A é uma near que reflete cada ponto no eixo y transformacio linear injetora a Encontre o nticleo de T 1 2 b T sera injetora Justifique sua resposta a A 2 4 3 6 1 3 5 7 Tx 4x b A 2 1 2 4 1 3 O 0 42 Figura Ex6 c A 1 5 7 Em cada parte use a informagao dada para determinar se a 5 3 transformacio linear T é injetora 4 Quais das transformagoes do Exercicio 3 sao sobre a TR R nulT 0 5 Conforme indicado na figura seja T R R a projecaio b TR DR porTn1 ortogonal na reta y x c TRR3nm a Encontre o nticleo de T d TRR RT R 452 Algebra Linear com Aplicacées 8 Em cada parte determine se a transformacio linear T é injetora 15 Decida se a férmula Ta b c ax bx c define uma a T P PcomTa ax 4 x transformacio linear injetora de R em P Explique seu x dy ax ax raciocinio b T P P com Tpx px 1 16 Seja E uma matriz elementar 2 X 2 fixada Decida se a formu 7 2 2 la TA EA defi dor li injetor de M Expli 9 Prove se Ve W forem espacos vetoriais de dimensiao finita a TA mene HID OPETACON MCAT TNYCNON Se WE EXPT a que seu raciocinio tais que dimW dimV entéo nenhuma transformagao li 3 near T V W injetora 17 Sejaaum vetor em R fixado Decida se a formula Tv a X Vv defi dor linear injetor de R Expli iocinio 10 Prove sé pode haver alguma transformacao linear de V sobre cree Oe OP ETA OT NE INAOE a pique seu raciocme Wse dimV dimW 18 Prove que um isomorfismo de espacos com produto interno preserva angulos e distancias ou seja mostre que o 4ngulo 11 a Encontre um isomorfismo entre 0 espaco vetorial de to 7 A Loe 6 entre ue v em V é igual ao Angulo entre Tu e Tv em We das as matrizes 3 X 3 simétricas e R sos cmos dif 4 que lu vil 7 TH Ihw b Encontre O18 ISOMOF ismos lerentes entre 0 espaco de 19 E verdade que um isomorfismo de espagos com produto todas as matrizes 2 X 2e RR interno transforma conjuntos ortonormais em conjuntos orto c Encontre um isomorfismo entre o espago vetorial de normais Explique seu raciocinio ro Os Pons Omios de grau no maximo 3 tais que 20 Encontre um isomorfismo de espagos com produto interno PO 0eR entre P e M d Encontre um isomorfismo entre os espacos vetoriais ger 1 senx cosx eR Exercicios verdadeirofalso 12 Requer calculo Seja J P R a transformagao de integra Nas partes af determine se a afirmacao é verdadeira ou falsa a0 Jp f t px dx Determine se J é injetora Justifique justificando sua resposta sua resposta a Os espagos vetoriais R e P sao isomorfos 2 1 13 Requer calculo Seja V o espaco vetorial C 0 1 e defina b Seo niicleo de uma transformacio linear T P P for 0 TVR por entao T é um isomorfismo TE fO 2f0 3f 1 c Qualquer transformagao linear de M em P é um isomorfis Verifique que T é uma transformacio linear Determine se T é me 4 injetora e justifique sua resposta d Existe algum subespago de M que é isomorfo a R 14 Requer calculo Projete um método de usar a multipli e Existe alguma matriz P de tamanho 2 x 2 tal que cacao matricial para derivar fungdes do espaco vetorial Tr M M definida por TA AP PA seja um ger1 senx cosx sen2x cos2x Use o método isomorfismo projetado para encontrar a derivada de f Existe alguma transformagao linear T P P tal que o nt 3 4 senx sen2x 5 cos2x cleo de T seja isomorfo 4 imagem de T 83 Composicées e transformacées inversas Na Secao 410 discutimos a composi4o e a inversa de transformac6es matriciais Esta segao estende algumas daquelas ideias a transformago6es lineares arbitrarias Composicao de A definigao seguinte estende a Formula 1 da Segao 410 a transformagoées lineares ar transformacées lineares bitrarias Observe que a palavra com es DEFINICAO 1 Se7 UVeT V W forem transformagées lineares ento a tabelece a ordem nas operagoes composigao de T com T denotada por T 0 T que lemos T bola T a aplicagao de composicao A composicao definida pela formula de T com T é T0Tu T7u T0Tu TTu 1 enquanto a composigao de T com T é em que u é um vetor em U 7 0 Tu T7u 83 Composicdes e transformagoes inversas 453 Observacao Note que essa definigao exige que o dominio de T que é V contenha a imagem de T Isso é essencial para que a formula TTu faca sentido Figura 831 T T u Tu TTw Figura 831 A composigao U Vv W de T com T Nosso primeiro teorema mostra que a composiao de transformagoes lineares é ela mesma uma transformagao linear TEOREMA 831 Se T UVeT V W forem transformacées lineares entdo T0T U W também é uma transformagdao linear Prova Seuev forem vetores em U ec um escalar entéo segue de 1 e da linearidade de T e de T que T 0 Tuv TTuv T2Tu Tv TTu T7v T 0 Tu 7 0 Tv e T 0 Tcv TTcv TcTv cTTv cT 0 Tv Assim T 0 T satisfaz as duas exigéncias de uma transformagao linear Composigao de transformacoes lineares Sejam T P Pe T P Pas transformacoes lineares dadas pelas formulas Tp xp e Tpx px 4 Entao a composiao T o T P P é dada pela formula T 0 Tp TTP Tap 2x 4p2x 4 Em particular se px c cx entao T 0 Tpx o Teg x 2x 4 Cy 2x 4 cy 2x 4 2x 4 Composigao com o operador identidade Se T V V for um operador linear qualquer e J V Vo operador identidade Exemplo 3 da Secao 81 entaéo dado qualquer vetor v em V temos T 0 Dv TUy Tv Io Tv IT Tw Segue que Tole Jo T sao iguais a T ou seja TolT e IoTT 2 454 Algebra Linear com Aplicacées Conforme indicado na Figura 832 podemos definir a composiao com mais do que duas transformagées lineares Por exemplo se TUV TV27W e TWY forem transformagoes lineares entéo a composicao T o T o Té definida por T T Tu TTTu 3 T T Tu T T T u Tu TTu TTTu U Vv Ww Y Figura 832 A composicao de trés transformacoes lineares Transformacées lineares No Teorema 4101 mostramos que um operador matricial T R R injetor se e sé inversas se a matriz A invertivel caso em que o operador inverso é T Depois mostramos que se w for a imagem de um vetor x pelo operador 7 entao x é a imagem por T do vetor w Figura 4108 Nosso préximo objetivo é estender a nocao de invertibilidade a transfor macoes lineares arbitrarias Lembre que se T V W for uma transformagao linear entéo a imagem de T deno tada por ImT o subespaco de W consistindo em todas as imagens por T de vetores em V Se T for injetora entao cada vetor w em Im7 a imagem de um Unico vetor v em V Essa unicidade nos permite definir uma nova aplicagao denominada transformacao inver sa de T e denotada por T que transforma w de volta em v Figura 833 T v wTv Figura 833 A inversa de T 1 transforma Tv de volta em v V T Im7 Pode ser provado Exercicio 19 que T Im7 V uma transformagao linear Além disso segue da definicgao de T que 1 1 T Tv T wv 4 T T w Tv w 5 de modo que Te T aplicadas em sucessao e em qualquer ordem cancelam uma 0 efeito da outra Observacio E importante notar que se T V W for uma transformacao linear injetora entdo o dominio de T é a imagem de T ao passo que a imagem pode ou nio ser todo o W Contudo no caso especial em que T V V for um operador linear injetor e V um espaco vetorial de dimensao n segue do Teorema 822 que T também deve ser sobre de modo que 0 dominio de T é todo o espaco V 83 Composicdes e transformagées inversas 455 Uma transformagao inversa No Exemplo 5 da Secao 82 mostramos que a transformagao linear T P P dada por Tp Tipx xp injetora assim T tem uma inversa Nesse caso a imagem de T ndo é todo 0 espaco P mas apenas o subespaco de P consistindo em todos os polindmios com termo constante zero Isso é evidente a partir da formula de 7 como segue Tcy tex ts tex exte t6x Segue que TImT P dada pela formula T cgx cx tenet cx cotcxtertex Por exemplo no caso em que n 3 TQxx 5 4 3x 2x59 43K Uma transformagao inversa Seja T RRo operador linear definido pela f6rmula TX X X3 3x x 2x 4x 3x 5x 4x 2x3 Determine se T é injetor se for encontre Tx X X3 Solucao Segue da Formula 12 da Secao 49 que a matriz candénica de T é 3 1 0 T2 4 3 5 4 2 verifique Essa matriz é invertivel e pela Formula 7 da Secao 410 a matriz canénica deT é 4 2 3 TTll 6 9 12 7 10 Segue que x x 4 2 3 xX 4x 2x 3x TTx7s1l 6 9 x lx 6x 9x3 X3 X 12 7 10 Lx 12x 7x 10x Expressando esse resultado em notacao horizontal temos Tx Xy X3 4x 2x 3x 11x 6x 9x 12x 7x 10x 4 O préximo teorema mostra que a composiao de transformacoes lineares injetoras injeto Composicao de rae relaciona a inversa da composicao as inversas das transformacoes lineares individuais transformacées lineares injetoras TEOREMA 832 SeT U VeT VW forem transformacgées lineares injetoras entao a T oT é injetora e b T0T ToT 456 Algebra Linear com Aplicacées Prova a Queremos mostrar que T o T transforma vetores distintos de U em vetores distintos em W Mas se ue v forem vetores distintos em U entaéo Tu e Tv serao veto res distintos em V pois T é injetora Usando isso e 0 fato de que T é injetora obtemos que TTu e TTv também serao vetores distintos No entanto essas expressOes também podem ser escritas como T0Tu e T0Tv de modo que T o T transforma u e v em vetores distintos em W Prova b Queremos mostrar que 1 1 1 T 0 T w 7 T w qualquer que seja o vetor w na imagem de T o T Para isso seja 1 uT0T w 6 de modo que o nosso objetivo é mostrar que 1 1 uT oT w Observe que de 6 segue T 0 T w ou equivalentemente TTu W Agora aplicando T em cada lado dessa equagao depois aplicando T em cada lado do resultado e entao usando 4 obtemos verifique 1 1 uT ZT w ou equivalentemente u7oTw 4 Em palavras a parte b do Teorema 832 afirma que a inversa de uma composido é a composicdo das inversas na ordem inversa Esse resultado pode ser estendido a compo sigdes de trés ou mais transformago6es lineares por exemplo T0T0TToToT 7 No caso especial em que 7 T e T forem operadores matriciais em R a Formula 7 Note a ordem das matrizes nos d P it qe tar Ape c P indices dos dois lados de 8 pode ser escrita COMO T0T0TT0T oT ou alternativamente ll T Typii CBA A BUC 8 83 Composicdes e transformagoes inversas 457 Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Composicao de transformacoes lineares e Encontrar 0 dominio e a imagem da composicao de duas e Inversa de uma transformacao linear transformagoes lineares e Encontrar a composicao de duas transformagoées lineares e Determinar se uma transformag4o linear tem uma inversa e Encontrar a inversa de uma transformagao linear Conjunto de exercicios 83 10 Em cada parte seja T R R a multiplicagao por A Deter 1 Em cada caso encontre T 0 Tx y mine se T tem uma inversa se tiver encontre 0 Tx y a T y 2x 3y Tix y yx y rr 1 b T y 3y 0 Tx y 4x Sy 3x 6y c Tx y 2x 3yx y 5 2 6 3 47 x A b A A Tx y2 yy 2 a E il b K c i 1 d T yy Tix y z 0x y 2 11 Em cada parte seja T R R a multiplicagao por A Deter mine se T tem uma inversa se tiver encontre 2 Em cada caso encontre T 0 Tx y a T y 2y 3x x 2y Tx y 2 0 z ye Tay t ayy P b Tia yyy x 3 Tix ys Z 0x y z 3y 2 Ys 2 0 x y z 3y 15 2 1 o4 1 Tx y Z 3x 2y 4z Tx 3y a A 1 2 1 b A 1 2 1 3 Sejam T M Re T M Mas transformagoes linea 1 10 1 0 res dadas por TA trAeTA A E tre T o EVA A a b 1 0 1 1 l 1 a Encontre 7 o TA com af Al0 1 1 d Ao 4 1 1 0 2 3 0 b Vocé consegue encontrar T o TA Explique 4 SejamTP Pe T P P os operadores lineares da 12 Em cada parte determine se 0 operador linear T R R é dos por Tpx px 1 e Tpx px 1 Encontre injetor se for encontre Tx Xyy 00 Xs To Tp T 0 T PO a TxXys Xo 2X O X45 Xp5 oe Ky 5 SejaT V Vadilatagdo Tv 4v Encontre um operador b Ty Xyp oo 5 X ps Xp ge ve os Xe Hy linear T V Vtal que T 0 T JeToT I C Ty X45 4 X 5 Xqy XX 6 Suponha que as transformagées lineares T P Pe T P P sejam dadas pelas formulas Tpx px le 13 Seja T R FR o operador linear definido pela formula Tpx xpx Encontre T 0 Tay ax ax TX Xy5 2 X GX ys Xp GX 7 Seja qx um polindmio de grau m fixado e defina a fungao T tant de dominio P pela formula Tpx pqx Mostre que T em que a Gy SAO CONSTANIEs é uma transformacio linear a Sob quais condic6es T terd uma inversa 8 Use a definigao de T o T o T dada na Férmula 3 para pro b Supondo que as condig6es determinadas na parte var que a estejam satisfeitas encontre uma formula para 1 a T0ToT uma transformagaio linear PG Ay Ande b T0T0T T0ToT 14 Sejam T R Re T R R os operadores lineares da c Tyo ToT T0T0T dos pelas férmulas 9 SejaT R R a projecio ortogonal de R sobre o plano xy TMOyxy e Ty xt yx 2y Mostre que To T T a Mostre que T e T sdo injetores 458 Algebra Linear com Aplicacées b Encontre formulas para c T ROR éa dilatagao de fator k e T ROR éa rota4o antihordria em torno do eixo z pelo Angulo 0 TQy Tyy ToT Oy sv Pere ans 4 os 22 Requer Calculo Sejam c Verifique que ToT T oT 15 Sejam T P Pe T P P os operadores lineares da Dffx e Jf ft dt dos pelas férmulas 0 T px xp e Txp0 px 1 as transformagoes lineares dos Exemplos 11 e 12 da Segdo f 1 4 4 81 Em cada parte encontre Jo Df a Encontre férmulas para T px T px e 2 a f x 3x42 b fx senx 70T PQ ee fe b Verifique que T0T ToTy fa e 3 3 3 3 3 3 3 23 Requer Calculo O teorema fundamental do Calculo implica 16 Sejam TR RK T R 7 ReTcoR 7 Ras reflexdes que a integracdo e a derivacdo sao aces que se cancelam nos planos xy xz e yz respectivamente Verifique a Formula mutuamente Defina a transformacao D P P por 8 com esses operadores Dpx px e defina J P P por 17 SejaTP R a funciio definida pela férmula x J t dt Tpx p0 pA Px pw a Encontre T1 2x a Mostre que D e J sao transformagées lineares b Mostre que T uma transformagao linear b Explique por que J nao é a transformacao inversa de D c Mostre que T injetora c Sera possivel restringir o dominio ou o contradominio d Encontre 7 2 3 e esboce seu grafico de D e J de tal modo que sejam transformacées lineares 18 Seja T R R o operador linear dado pela formula inversas Tx y x ky y Mostre que T é injetor e que T T qualquer que seja o valor real de k Exercicios verdadeirofalso 19 Prove se T V W for uma transformacdo linear injetora Nas partes ah determine se a afirmacAo é verdadeira ou falsa entao T ImT V é uma transformacio linear injetora justificando sua resposta a A composigao de duas transformagées lineares também é Nos Exercicios 2021 em cada caso determine se uma transformagio linear ToT Tho t 5 b Se T V VeT V V forem dois operadores lineares 20 a T R R éa projecao ortogonal no cixo xe quaisquer entio T oT ToT T R R a projecao ortogonal no eixo y c A inversa de uma transformacao linear é uma transformacao b T R R a rotacio em torno da origem pelo angulo linear p 22 An 0 TR 8 arotagao em tomo da origem pelo an d Se uma transformacao linear T tiver uma inversa entéo o nu gulo 6 cleo de T sera 0 espaco nulo R S R é arotacio em toro do eixo x pelo Angulo TR 3 aro s P e Se T R R for a projeciio ortogonal sobre 0 eixo x entdo 0eTR R éarotacao em torno do eixo z pelo an 1 p2 2 Z 6 T R R associa a cada ponto do eixo x uma reta que é gulo 7 5 5 5 perpendicular ao eixo x 21 a 1 R OR a reflexao no eixo xe T R R are f Se T U VeT V W forem transformagées lineares e flexdo no eixo y et se T nao for injetora entao tampouco T o T sera injetora b T R R a projecdo ortogonal no eixo xe Ty R R é a rotacio antihordria pelo Angulo 0 84 Matrizes de transformacées lineares arbitrarias Nesta segao mostramos que uma transformagao linear arbitraria de qualquer espaco vetorial de dimensdo n num espago vetorial de dimensao m pode ser considerada como uma transformacao matricial apropriada de R em R Essa ideia é utilizada em célculos computacionais pois os computadores sao muito bons em calculos matriciais Matrizes de transformacées Suponha que V seja um espago vetorial de dimensao n W um espaco vetorial de dimensao lineares meTV Wumatransformagaio linear Suponha também que B seja uma base de V B uma base de We que dado qualquer x em V a matriz de coordenadas de x e Tx sejam x e Tx respectivamente Figura 841 84 Matrizes de transformacées lineares arbitrarias 459 T Um vetor x Tx Um vetor em V em W de dimensao n de dimensao m Um vetor Um vetor em R x Tx em R Figura 841 Nosso objetivo encontrar uma matriz A de tamanho m X n tal que a multiplicacao por A transforma o vetor x no vetor 7x qualquer que seja 0 vetor v em V Figura 842a Se conseguirmos isso entao conforme sugere a Figura 842b seremos capazes de executar a transformacao linear T usando a multiplicagao matricial e o procedimento indireto indicado a seguir Encontrando 7x indiretamente Passo 1 Calcule o vetor de coordenadas x Passo 2 Multiplique x 4 esquerda por A para obter 7x Passo 3 Reconstrua 7x a partir de seu vetor de coordenadas 7x T transforma Vem W x r Tx x Calculo Tx direto le Multiplicagao por A ooo lp A My x 3 Ty 2 A multiplicagao por A transforma R em R a b Figura 842 O passo fundamental para executar esse plano é encontrar uma matriz A de tamanho m X ncom a propriedade de que AIx T 1 Para isso sejam B u u u uma base do espaco vetorial V de dimensao n e B v V V uma base do espaco vetorial W de dimensao m Como a Equacao 1 deve valer qualquer que seja 0 vetor em V deve valer em particular com os vetores de base B ou seja Alu 7u Alu 7uI Alu Tu 1 2 Mas 1 0 0 0 1 0 lul9 wl ul 9 0 0 1 460 Algebra Linear com Aplicacées de modo que 1 Ga Gy cr G 0 a1 Alu A 2 ase On ol ay ant ain us Din 0 Aint 0 Gy Ay rt GL 1 Q19 a a tsa a Alu Jz 21 22 2n 0 2 Ain Gn uc Gin 0 Aang 0 uc 0 a Afule 0 tT lo Gini Gn uc Gin Ginn A substituicdo desses resultados em 2 fornece Qi a2 Qin Ay Ay Ay 7 Iy U Ip inj An Ain O que mostra que as colunas sucessivas de A sao os vetores de coordenadas de Tu Tu Tu em relacao a base B Assim a matriz A que completa a grafico na Figura 842a é ATuy ayy ade 3 Dizemos que essa é a matriz de T em relacao as bases B e B que denotamos por T 5 Com essa notagao podemos reescrever a Formula 3 como Tly6 U7 ayy Tadd 4 Mn e por 1 essa matriz tem a propriedade de que Prob 70 contradominio do dominio Figura 843 Deixamos como um exercicio mostrar que no caso especial em que T R R é a mul tiplicagéo por C e em que Be B sao as bases candnicas de R e R respectivamente entao To lpg C 6 Ty glXp 7 Observacao Observe que na notagao T 0 indice da direita uma base do dominio de T e 0 Figura 844 indice da esquerda é uma base do contradominio de T Figura 843 Além disso observe como o gura 9 indice B parece cancelar na Formula 5 Figura 844 84 Matrizes de transformacées lineares arbitrarias 461 A matriz de uma transformagao linear Seja T P P a transformagao linear definida por Tpx xp Encontre a matriz de T em relagao as bases candnicas B uu e B vv V5 em que u1 ux vl v vVx Solucao Pela formula dada para T obtemos Tu T1 x1 x Tu Tx xx x Por inspegao os vetores de coordenadas de Tu e Tu em relagao a B séo 0 0 Tu lp Tu 0 0 1 Assim a matriz de Tem relagdo a Be B é 0 0 T y8 7u Tu 1 0 0 1 O procedimento de trés passos Considere a transformagao linear T P P do Exemplo e use 0 procedimento de trés passos descrito na figura seguinte para calcular Ta bx xa bx ax bx Calculo x direto TQ le Multiplicagao por T 5 ooo x Q TX Soluado Passo 1 O vetor de coordenadas de x a bx em relacgdo a base B 1 x Ix xX B b Passo 2 Multiplicando x pela matriz T encontrada no Exemplo 1 obtemos Embora o Exemplo 2 seja sim 0 0 0 ples o procedimento ilustrado é a aplicavel a problemas de grande TyeX 1 0 4 Ty complexidade 0 1 b Passo 3 Reconstruindo 7x Ta bx a partir de Tx obtemos Tia bx O ax bx ax bx 462 Algebra Linear com Aplicacdes A matriz de uma transformagao linear Seja T R Ra transformagao linear definida por xX 0 1 x x r 5x13x S5S 13 x Xx 7x 16x 7 16 Encontre a matriz da transformacgao T em relagao as bases B u u de Re B v V V de R sendo 1 1 0 3 5 w bl5 v 0 w 2 v 1 1 2 2 Solucado Pela formula de 7 1 2 Tu2 Tu 1 5 3 Expressando esses vetores como combinacoes lineares de v v e v obtemos verifique Tu v 2v Tu 3v v Vv Assim 1 3 Tu O Ta 1 2 1 e portanto 1 3 Tly2 TMIy TuI 0 1 2 1 Observacao O Exemplo 3 deixa claro que uma transformagao linear especifica geralmente tem miultiplas representagdes cada uma dependendo das bases escolhidas Nesse caso ambas as matrizes 0 1 1 3 T5 13 e Tlyp 0 1 7 16 2 l representam a transformagao T a primeira em relacdo as bases canénicas de R e R a segunda em relagiio as bases B e B fornecidas no exemplo Matrizes de operadores No caso especial em que V W de modo que T V V um operador linear é cos lineares tume tomar B B na construgdo de uma matriz de T Nesse caso a matriz resultante é denominada matriz de T em relagao a base B e costuma ser denotada por T em vez de Dito informalmente as Formu T Se B u uu entéo as Formulas 4 e 5 se tornam las 7 e 8 afirmam que a ma triz de T quando multiplicada T 7I 7a 71 7 pelo vetor de coordenadas de x produz o vetor de coordenadas de TR T lelXy TO 8 No caso especial em que T R R é um operador matricial digamos a multiplicacio por A e em que B é a base canonica de R entao a Formula 7 simplifica para TA 9 84 Matrizes de transformacées lineares arbitrarias 463 Lembre que o operador identidade J V V transforma cada vetor de Vnele mesmo Vatrizes de operadores ou seja x x qualquer que seja o vetor x em V O exemplo seguinte mostra que se jdentidade V for de dimensao n entao a matriz de J em relagao a qualquer base B de V a matriz identidade n X n Matrizes de operadores identidade Se B uu u for uma base de um espaco vetorial V de dimensdo finita e se I V V for 0 operador identidade de V entao Iuu uuu u Segue que 1 0 0 0 1 O 7 0 0 OO T7 0 QO J u 1 I Operador linear de P Seja T P P 0 operador linear definido por Tpx px 5 isto é Tcy cx c x Cy 3x 5 c3x 5 a Encontre T em relagdo a base B 1 x x b Use 0 procedimento indireto para calcular T1 2x 3x c Confira o resultado em b calculando diretamente 71 2x 3x Solugdo a Pela formula de 7 TA 1 Te 3x5 TO 3x 5 9x 30x 25 portanto 1 5 25 T 0 7 3 7G 30 0 0 9 Assim 1 5 25 T 0 3 30 0 0 9 Solugdo b Passo 1 O vetor de coordenadas de p 1 2x 3x em relacdo a base B 1 x xé 1 IP 2 3 464 Algebra Linear com Aplicacées Passo 2 Multiplicando p pela matriz 7 encontrada na parte a obtemos 1 5 25 1 66 Tp 0 3 302 84 7p 0 0 9113 27 Passo 3 Reconstruindo 7p T1 2x 3x a partir de 7p obtemos T1 2x 3x 66 84x 27x Solugao c Calculando diretamente T 2x 3x 1423x 533x 5 16x 1027x 90x 75 66 84x 27x de acordo com o resultado em b 4 Matrizes de composiées e Conclufmos esta segao mencionando sem prova dois teoremas que generalizam as Formu de inversas las 4 e 7 da Segao 410 TEOREMA 841 SeTUVeTV Wforem transformagées lineares e B B e B bases de U V e W respectivamente entdo T 0 TiN5p Ty ep Ti eg 10 TEOREMA 842 Se T V V for um operador linear e B uma base de V as afirma ces seguintes sGo equivalentes a T é injetor b T é invertivel Além disso se valerem essas condig6es equivalentes entGo Tl I7 Ip 11 T Typ p Dily Tile Observacéo Observe como em 10 0 fndice interno B a base do espaco intermediario V pa rece cancelar deixando como indices somente as bases do dominio e do contradominio da com coamanl oer posta Figura 845 Esse cancelamento de indices internos sugere a extensdo seguinte da Formula 10 da composicao de trés transformagé6es lineares Figura 846 Figura 845 T0To Tily8 T3y 3 Ta pn BY Tip5 12 T T T a ee Base B Base B Base B Base B Figura 846 O prdéximo exemplo ilustra o Teorema 841 84 Matrizes de transformacées lineares arbitrarias 465 Composiao Sejam T P P a transformagao linear definida por Tp xp e T P P 0 operador linear definido por Tpx pGBx 5 Entao a composicao T o T P P dada por T 0 Tp T1TP Tap Bx 5pGBx 5 Assim se px Cy cx entao T 0 TCy x Bx 5cy 3x 5 c3x 5 x 5 13 Nesse exemplo P desempenha o papel de U no Teorema 841 e P 0 de ambos Ve W assim podemos tomar B B em 10 o que simplifica a formula para T 0 Tile p Tyy Tile 2 14 Para base de P escolhemos B 1 x e para base de P escolhemos B 1 x x Nos Exemplos e 5 mostramos que 0 0 1 5 25 Tile5 1 0 e Ti 90 3 30 0 1 0 0 9 Assim segue de 14 que 1 5 250 0 5 25 T oT y 3 0 330 1 O 3 30 15 0 0 90 1 0 9 Para conferir calculamos T o T diretamente da Formula 4 Como B 1 x se gue da Férmula 4 com u e u x que ToT ly0 ToT DIy 20 Ty 16 Usando 13 obtemos T0TA 3x5 e T07x Bx 5 9x 30x 25 Disso e do fato de termos B 1 x x segue que 5 25 7 0T Oly 3 e T0Txy 30 0 9 Substituindo em 16 obtemos 5 25 T oT p 3 3 30 0 9 que conferecom 15 4 466 Algebra Linear com Aplicacées Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Matriz de uma transformaga4o linear em relacao a bases e Encontrar a matriz de uma transformacao linear e Matriz de um operador linear em relacdo a uma base T V Wem relagao a bases de Ve W e O procedimento de trés passos para encontrar 7x e Dada uma transformagao linear T V W encontrar 7x usando a matriz de T em relacdo a bases de Ve W Conjunto de exercicios 84 1 Seja T P P a transformagao linear definida por a Encontre a matriz T em relagdo as bases Tpx xp B uu eB v v v3 em que a Encontre a matriz de T em relacgdo as bases canénicas 1 2 B uuu e B v Vv V3 Vy m me em que 1 3 u1 wux u x vi1 v 2 v0 vl Yx Wx Yx 1 0 0 b Verifique que a matriz T obtida na parte a satisfaz 5 a Formula 5 com qualquer vetor x c x oe em b Verifique que a Formula 5 vale com qualquer vetor em R P 6 Seja T R R o operador linear definido por 2 SejaT P P a transformagao linear definida por J 2 s P TX X45 X3 Ky Xp Xy Ay X X3 Tda ax ax a a 2a 3ax a Encontre a matriz de T em relagao a base B v V V3 a Encontre a matriz de T em relacao as bases candénicas em que BlxxeB 1xdePeP b Verifique que a matriz 7 obtida na parte a satisfaz a v10 v1 v 19 6 ctexox Formula 5 com qualquer vetor x x cx em P b Verifique que a Formula 8 com qualquer vetor 3 Seja T P P o operador linear definido por x xxxemR Tdy ayx ax a ax 1 ax 1y c T sera injetor Se for encontre a matriz de T emrela do a base B a Encontre a matriz de T em relagao a base canénica gao a base B 1xx de P 7 Seja T P P 0 operador linear definido por T p2x 1 ja b Verifique que a matriz 7 obtida na parte a satisfaz a PO Pex ou seja Formula 8 com qualquer vetor x a ax ax em P Tcg ex 65x Cy 2x 1 2x 1 4 SejaT R R 0 operador linear definido por 5 a Encontre T em relagao a base B 1 x x T b Use o procedimento de trés passos ilustrado no Exemplo a X X 2 para calcular T2 3x 42 e seja B u u a base em que c Confira o resultado obtido na parte b calculando direta mente 72 3x 4x 1 1 u e u 8 Seja T P P a transformacao linear definida por 1 0 Tpx xp 3 ou seja a Encontre 7 Tcy eyx CX xcy ex 3 ox 3 b Verifique que a Formula 8 vale com qualquer vetor x em R a Encontre T em relagdo as bases B 1 x x e ro 2 3 5 SejaT R R definida por Br 1x0 x J b Use o procedimento de trés passos ilustrado no Exemplo x X 2x 2 para calcular T1 x x rf T x c Confira o resultado obtido na parte b calculando direta 0 mente 71 x x 84 Matrizes de transformacées lineares arbitrarias 467 1 l Sejam B 1x e B 1 x x as bases canénicas de Pe 9 Sejamv ev e seja 3 4 Py 1 3 a Encontre T 0 Tp 3 Top Tip2 A s b Enuncie uma férmula relacionando as matrizes da parte a a matriz de T R R em relagao a base B V Vo c Verifique que as matrizes da parte a satisfazem a formu a Encontre Tv 7v la que vocé enunciou na parte b b Encontre 7v e Tv 13 Sejam T P P a transformacao linear definida por x c Encontre uma férmula para r T Cy X 2y 3x 1 x4 d Use a formula obtida em c para calcular r eT P P a transformagao linear definida por 3 1 0 TCy eyx Cx 3cyx 3cx 30 2 2 3 10 SejaA 1 6 2 1 lamatrizdeTR Rem Sejam B 1xB lxxeBlx4xx 3 0 7 1 a Encontre T oT p55 Tale Tie 2 relacdo as bases B V V Vy V B w W W em b oe uma formula relacionando as matrizes da parte a que 0 1 6 c Verifique que as matrizes da parte a satisfazem a formu 1 i 4 9 la que vocé enunciou na parte b v if Y il vy af Y 4 14 Mostre que se T V W for a transformacao nula entio a matriz de T em relagdo a quaisquer bases de Ve de Wéa 1 1 2 2 matriz zero 0 7 6 15 Mostre que se T V V for uma contracgao de V Exemplo 4 w8 w 8 w 9 da Sec4o 81 entao a matriz de T em relagdo a qualquer base 8 I 1 de V é um miultiplo escalar positivo da matriz identidade a Encontre 7v 7v TV3 TV 16 Seja B v Vv V V uma base de um espaco vetorial V b Encontre Tv Tv Tv e Tv Encontre a matriz em relagao a B do operador linear T V V x definido por Tv v TV V3 TV3 V4 TV4 V 1 X 17 Prove que se B e B forem as bases can6nicas de R e R c Encontre uma férmula para T 4 X3 respectivamente entao a matriz de uma transformacao linear x 5 T R R em relacdo as bases B e B seré a matriz candnica de T 2 2 d Use a férmula obtida em c para calcular T ot 18 Requer Calculo Seja D P P 0 operador de derivagao 0 Dp px Nas partes a e b encontre a matriz de Dem 1 31 relagdo 4 base B pj p p dada 11 SejaA 0 1 a matriz de T P P em re a p 1P4Px 6 2 4 b p 2p 2 3xp23x 8x lagao as bases B Vi V V3 em que v1 3x 3x c Use a matriz da parte a para calcular D6 6x 24x Vv 1 3x 4 2xv3 3 Ix 2x d Repita as instrucGes da parte c para a matriz da parte b a Encontre Tv Tv Tv3 b E qT n Ty nd 19 Requer Calculo Em cada parte B f f f uma base 6 Encontre Tv Tv Tv 3 de um subespaco V do espaco vetorial das fung6es reais defi c Encontre uma formula para Ta ax ax nidas na reta real Nas partes a b e c encontre a matriz d Use a férmula obtida em c para calcular 71 2 do operador derivagaéo D V Vem relagao a B 12 Sejam T P P a transformacao linear definida por a f 1f sen x f cos x b f 1f e f e Tpx xpx 1 2 c f e f xe f xe e T P P 0 operador linear definido por d Use a matriz da parte c para calcular Tpx p2x 1 D4e 6xe 10xe 468 Algebra Linear com Aplicagdes 20 Seja V uma transformagao linear de um espago vetorial V de Exercicios verdadeirofalso dimensao quatro com base B num espaco vetorial W de di Nas partes ae determine se a afirmacao é verdadeira ou falsa mensao sete com base T V W Identifique os quatro espa justificando sua resposta os vetoriais que contém os vetores dos vértices do diagrama co da figura a Sea matriz de uma transformagao linear T V Wem re 24 lacgdo a bases de Ve W for E entao existe algum vetor x Calculo Tx nao nulo x em V tal que Tx 2x diret ne b Sea matriz de uma transformagao linear T V W em re qd 3 hacd d f 2 4 xo existe al Multiplicacio por Tp acao a bases de Ve W for 0 3h ento existe algum vetor a x 0 Tx Figura Ex20 nao nulo x em V tal que 7x 4x c Sea matriz de uma transformagao linear T V W em rela 1 4 21 Em cada parte preencha a lacuna na equacio cao a certas bases de Ve W for entao T é injetora a T 0 Tp2 I IM e5 d SeS V VeT V V forem operadores lineares e B for uma b 70 70 Tl 5 T52 Tol yn pe Tp base de V entao a matriz de So Tem relagao a B T S e Se T V V for um operador linear invertivel e B for uma base de V entdo a matriz de T em relacéo a B é T 85 Semelhanca A matriz de um operador linear T V V depende da base selecionada para V Um dos problemas fundamentais da Algebra Linear é escolher uma base de V que torne a matriz de T tao simples quanto possivel digamos por exemplo uma matriz diagonal ou triangular Nesta segao estudamos esse problema Matrizes simples de As bases canénicas nao necessariamente produzem as matrizes mais simples para ope operadores lineares radores lineares Por exemplo consideremos o operador matricial T R R de matriz canonica IT 1 fl 2 4 1 e interpretemos 7 como a matriz de T em relagao A base canénica B e e de R Comparemos essa matriz 4 matriz de T em relacao a base B uj u5 de R dada por 1 1 w B 2 Como Tu 1 Ifl 2 ou Tu 1 1If1 3 3u u 2u e Uu su 2 41 2 2 42 6 segue que t 2 I 0 Tu 0 e Tu 5 3 de modo que a matriz de T em relac4o a base B é 2 0 Ty TM THDe5 85 Semelhanca 469 Essa matriz por ser diagonal é de formato mais simples que 7 e transmite claramente que o operador T muda a escala de u pelo fator 2 e a de uj pelo fator 3 uma informacgao que nao é de modo algum aparente em 7 Um dos principais temas em textos mais avangados de Algebra Linear é 0 de determi nar a forma mais simples possivel que pode ser obtida para a matriz de um operador li near pela escolha apropriada da base As vezes é possivel obter uma matriz diagonal como acima por exemplo outras vezes devemos nos contentar com uma matriz triangular ou de alguma outra forma Neste texto tocamos apenas levemente nesse importante tépico O problema de encontrar uma base que produza a matriz mais simples possivel de um operador linear T V V pode ser atacado encontrando primeiro uma matriz de T em relacdo a uma base qualquer digamos uma canénica quando aplicavel e em seguida modificando a base de uma maneira que simplifique a matriz Antes de continuar com essa ideia convém rever alguns conceitos sobre mudanga de bases Lembre das Formulas 7 e 8 da Segao 46 em que vimos que se B u UU Um novo ponto de vista B uj us u forem bases de um espago vetorial V entao as matrizes de transigé0 sobre matrizes de transicao de B para B e de B para B sao Ppiy Cu 1 u J us 3 Pye 0jp fs fails 4 em que as matrizes P P S40 inversas uma da outra Também mostramos nas For mulas 9 e 10 daquela secao que se v for qualquer vetor em V entao Psy Vg We 5 Pye Vp V1 6 O proximo teorema mostra que as matrizes de transicao nas Férmula 3 e 4 podem ser vistas como matrizes de operadores identidade TEOREMA 851 Se Be B forem bases de um espaco vetorial V de dimensdo finita e se I V V for o operador identidade de V entao Pa sp ef lee Py ig ef p B Prova Suponha que B uuu eB uj uy u sejam bases de V Usando o fato de que v v qualquer que seja v em V segue da Formula 4 da Secao 84 que ee nly UCIy Ie u J u te uy P Férmula 3 acima A prova de I Py andloga 4 Agora estamos prontos para considerar o principal problema desta secAo O efeito da mudanca de bases nas matrizes de Problema Se Be B forem duas bases de um espaco vetorial V de dimensao finita e operadores lineares T V V for um operador linear qual a relacdo se houver alguma entre as matrizes T Ty A resposta a essa questao pode ser obtida considerando a composigao dos trés operadores lineares de V representados na Figura 851 470 Algebra Linear com Aplicacées I T 1 v v Tv Tv V Vv Vv Vv Figura 851 Base B Base B Base B Base B Nessa figura v transformado primeiro nele mesmo pelo operador identidade em segui da v é transformado em 7v por 7 e finalmente 7Tv é transformado nele mesmo pelo operador identidade Os quatro espacos vetoriais envolvidos na composiao sao 0 mesmo a saber V mas as bases desses espacos variam Como 0 vetor de partida v e o de chega da Tv essa composicdo produz 0 mesmo resultado que aplicar diretamente T ou seja TIoTol 7 Se tomarmos conforme aparece na Figura 851 a base B nos espacos inicial e final e a base B nos dois espacos intermediarios segue de 7 e da Formula 12 da Segdo 84 com uma adaptacao apropriada nos nomes das bases que LT p we loTo TV yp I e8 T 5 al p 8 8 ou em notagao mais simples Tp We 5 Mel Io 5 9 Podemos simplificar essa f6rmula ainda mais usando o Teorema 851 para reescrevéla como T p Posy 1 lpPe ie 10 Resumindo temos 0 teorema seguinte TEOREMA 852 SejamT V Vum operador linear do espaco vetorial V de dimen so finita e B e B bases de V Entao ll T P TP 1 sendo P Pye P Px yy Ty Px se Tp Pose Adverténcia Nao é facil lembrar se P P correto ou P P errado Pode ser util usar A t o diagrama da Figura 852 e observar que os indices externos das matrizes de transigo coincidem Tadices com o indice da matriz que fica ao meio ndices externos Figura 852 Na terminologia da Definicdo da Secdo 52 o Teorema 852 nos diz que devem ser semelhantes as matrizes que representarem 0 mesmo operador linear em bases diferentes O teorema seguinte o mesmo Teorema 852 na linguagem de semelhanga TEOREMA 853 Duas matrizes A e B de tamanho n X n sdo semelhantes se e so se existem duas bases de R uma para A e uma para B relativas as quais as matrizes A e B representam o mesmo operador linear Além disso se B PAP entdo P é a matriz de transigdo da base que da a matriz B para a base que da a matriz A 85 Semelhanca 471 Matrizes semelhantes representam o mesmo operador linear Mostramos no inicio desta seg4o que as matrizes C 1 1 D 2 0 e 2 4 0 3 representam 0 mesmo operador linear T ROR Verifique que essas matrizes sao seme lhantes encontrando uma matriz P tal que D PCP Solucao Precisamos encontrar a matriz de transicao P Pye luis Casta em que B u ub é a base de R dada por 2 e B e eé a base canénica de R Vemos diretamente que ro u e e u e 2e do que segue u us ul e uw 14B 1 24B 2 Assim 1 1 t P Py 3 ui us i 2 Deixamos para 0 leitor verificar que po 2 1 1 e que portanto 2 0 2 1 1 1f1 1 4 0 3 1l 1Il2 41 2 D Po C P Na Segao 52 definimos um invariante de semelhanga como qualquer propriedade que nvariantes de semelhanca é compartilhada por matrizes semelhantes Na Tabela daquela secAo reproduzida a se guir listamos os invariantes de semelhanga mais importantes Como sabemos pelo Teo rema 853 que duas matrizes sao semelhantes se e s6 se representam 0 mesmo operador Tabela1 Invariantes de semelhanca Propriedade Descrigao Determinante Ae PAP tém o mesmo determinante Invertibilidade A invertivel se e s6 se PAP é invertivel Posto Ae PAP témo mesmo posto Nulidade Ae PAP tém a mesma nulidade Tracgo Ae PAP témo mesmo trago Polinémio caracteristico Ae PAP témo mesmo polinémio caracteristico Autovalores Ae PAP tém os mesmos autovalores Dimensiio de autoespago Se A for um autovalor de A e portanto de PAP entao 0 autoespaco de A associado a A e 0 autoespaco de PAP associado a A tem a mesma dimensio 472 Algebra Linear com Aplicacées linear T V V segue que se B e B forem bases de V entao cada propriedade invariante por semelhanga de T também é um invariante de semelhanga de T qualquer que seja a base B de V Por exemplo dadas duas bases quaisquer necessariamente det7 det7 Segue dessa equacao que o valor do determinante depende de T mas nao da particular base que é utilizada para obter a matriz de T Assim 0 determinante pode ser considerado como uma propriedade do operador linear 7 de fato se V for um espago vetorial de di mensaAo finita entaéo podemos definir 0 determinante do operador linear T por detT detT 12 em que B é uma base qualquer de V Determinante de um operador linear No inicio desta seg4o mostramos que as matrizes IT 1 1 IT 2 0 2 4f i lo 3 representam 0 mesmo operador linear em relagao a bases diferentes sendo a primeira em relagiio A base canénica B e e de R e a segunda em relacao a base B ul uj em que I 1 1 U 1 u 2 Isso significa que 7 e 7 devem ser matrizes semelhantes que portanto tém as mes mas propriedades invariantes por semelhanga Em particular devem ter o mesmo determi nante Deixamos para o leitor verificar que detT 6 detT 6 ee Jag af 8S SES 93 Autovalores e bases de autoespacgos Encontre os autovalores e bases dos autoespacos do operador linear T P P definido por Tat bx cx 2cat2bcxtat 3cx Solugao Deixamos para o leitor mostrar que a matriz de T em relagdo a base candnica Blxxé 0 O 2 IT 1 2 1 1 0 3 Os autovalores de T sido A 1 e A 2 Exemplo 7 da Seco 51 Também do mesmo exemplo sabemos que 0 autoespao de T associado aA 2 tema base u u em que 1 0 u 0 w 1 0 e 0 autoespao de 7 associado aA tema base u em que 2 uu 1 1 85 Semelhanca 473 Os vetores U U U S40 Os vetores de coordenadas relativos a B de pl x Px p 2xx Assim 0 autoespago de T associado a A 2 tem a base 2 p Po 1 x x e 0 associado a A tema base ps 2 4x42 Para conferir o leitor poderia usar a f6rmula de T dada e verificar que Tp 2p Tp2p e Tpp Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Semelhanga de matrizes representando um operador e Mostrar que duas matrizes A e B representam um mesmo linear operador linear e encontrar uma matriz de transigao P tal pl e Invariante de semelhanca que B P AP e Determinante de um operador linear e Encontrar os autovalores e bases dos autoespacgos de um operador linear de um espaco vetorial de dimensAo finita Conjunto de exercicios 85 Nos Exercicios 17 encontre a matriz de T em relac4o 4 base e B é a base canénica de R e B V V V3 sendo Beuse o Teorema 852 para calcular a matriz de T em relacao 4 base B 1 1 1 1 T R R definido por vy0 v1 v1 fn P Se xy 7X 5 TR R é a projecio ortogonal no plano xy e Be B sao as eB uu eB v v sendo bases no Exercicio 4 lol HI Hl a 6 TR R é definido por Tx 5x e Be B sao as bases no u w v YW as 0 1 1 4 Exercicio 2 2 TR R é definido por 7 TP P definido por Td ax ay ax le B p p e B q q sendo p 6 3x p 10 2x r x 7X q 2q 3 2x a 3x 4x 8 Em cada caso encontre det7 eB uu eB y v sendo a T R R sendo 2 4 1 Tx X 3x 4x x 7x y 3 w ih w 3 v b TR R sendo TX X55 X3 X Xp X X3 X X 3 T R R é arotacao em torno da origem pelo Angulo de c T P P sendo 45 B e B sao as bases no Exercicio 1 Tpx px 1 4 TR R é definido por 9 Prove que as propriedades seguintes sao invariantes de seme x xX 2x x Ihanga TY x X a posto X x 7x b nulidade c invertibilidade 474 Algebra Linear com Aplicacées 10 Seja T P P 0 operador linear dado pela formula 17 Sejam Ce D matrizes m X ne B v V V uma base Tpx p2x 1 de um espaco vetorial V Mostre que se Cx Dx qual a Encontre uma matriz de T em relacio a alguma base quer que seja x em V entao C D conveniente e depois usea para encontrar 0 posto ea 18 Encontre duas matrizes 2 X 2 que nio sejam semelhantes e nulidade de T explique por que nao sao semelhantes b Use o resultado da parte a para determinar se T é injetor 19 Complete a prova dada justificando cada passo 11 Em cada parte encontre uma base de R em relacao a qual a Hipotese A e B sio matrizes semelhantes matriz de T diagonal Conclusdo A e B tém o mesmo polinémio caracteristico a T xy e Prova 1 detAI B detAl PAP Xs 2x 4x 2 detAP P PAP 7 a 4x 3 detPAI AP X 3x X 4 detP detAl A detP 12 Em cada parte encontre uma base de R relativa 4 qual a ma 5 detP detP detAT A triz de T é diagonal 6 detAl A x 2x XX 20 Se A e B forem matrizes semelhantes digamos B P AP en a T x 2 3 tao segue do Exercicio 19 que A e B tém os mesmos autovalores x3 X X 2x Suponha que A seja um desses autovalores comuns e x seja um autovetor de A associado Veja se vocé consegue encontrar um x xy Xs autovetor de B associado a A expresso em termos de A x e P b Ty Fx 21 J que a base canénica de R tao simples por que quereri 3 X Xp amos representar um operador linear de R em alguma outra base x 4x x c T x 2x 43x 22 22 Prove que o traco é um invariante de semelhanga 4 ve SS FM Exercicios verdadeirofalso 13 SejaT P P definido por Nas partes ah determine se a afirmacAo é verdadeira ou falsa justificand ta Td 4x ax Sa 6a 2a Jusmucamee one maps h a 8ax a 2a yx a Uma matriz nao pode ser semelhante a si mesma b Se A é semelhante a B e B é semelhante a C entio A é seme a Encontre os autovalores de T lhante a C b Encontre bases dos autoespagos de T c Se A e B sao semelhantes e B é singular entao A é singular 14 SejaT M M definido por d Se Ae B sao invertiveis e semelhantes entio A e B so semelhantes a b 2c atc Tr c dl lb2e d e Se T R ReT R R forem operadores lineares e se Ty2 Tyg2 em relagao a duas bases B e B de R entdo a Encontre os autovalores de T Tx Tx qualquer que seja o vetor x em R b Encontre bases dos autoespagos de T f Se T R R for um operador linear e se T T em 15 SejaA um autovalor de um operador linear T V V Prove relagao a duas bases B e B de R entao B B que os autovetores de T associados a J so os vetores nao nu g Se T R R for um operador linear e se T J em re los no nticleo de AJ T lagdo a alguma base B de R entao T é 0 operador identidade 16 a Prove que se A e B forem matrizes semelhantes entaio de R A e B também sao semelhantes Mais geralmente prove h Se T R R for um operador linear e se T em que A e B sao semelhantes qualquer que seja 0 inteiro relacdo a duas bases B e B de R entio T 0 operador identi positivo k dade de R b Se A e B forem semelhantes decorre que A e B sao semelhantes Explique 85 Semelhanca 475 Capitulo 8 Exercicios suplementares 1 Sejam A uma matriz n X n B uma matrizn X 1 nao 8 Sejam Ve W espacos vetoriais T T e T transformagées nula e x um vetor em R expresso em notacfo matricial lineares de Vem We k um escalar Defina novas transforma Tx Ax B seré um operador linear de R Justifique sua goes T T e kT pelas formulas resposta 2 Seja T TX Tx Tx kTx kTX cos sené A sen cos 8 a Mostre que 7 T V WekT V Wsio transfor macoes lineares a Mostre que b Mostre que 0 conjunto de todas as transformagées linea res de Vem W forma um espaco vetorial com as opera wv so 20 sen 70 A e 36 sen 30 ces dadas na parte a e sen2 cos 26 sen3 cos 36 9 Sejam A e B matrizes semelhantes Prove T Too b Usando sua resposta na parte a adivinhe o formato da a A eB sao semelhantes oy matriz A com n um inteiro positivo qualquer b SeAeB forem invertiveis entao A eB sao semelhan sys tes c Considerando 0 efeito geométrico da multiplicagaéo por s A obtenha geometricamente o resultado da parte b 10 O Teorema da Alternativa de Fredholm SejaT VoVum 3 SejaT V V definido por Tv lvlv Mostre que T nao é operador linear num espago vetorial de dimensao n Prove que vale exatamente uma das duas afirmag6es seguintes um operador linear de V 4 Sejam v v v vetores fixados em R e T R R a a A eqhagao 7x b tem alguma solucao qualquer que m seja o vetor b em V fungao definida por Tx K vVXVX Vem que x v 0 produto interno euclidiano de R b A nulidade de T positiva nul7 0 a Mostre que 7 é uma transformacio linear 11 Seja 7 M M 0 operador linear definido por b Mostre que a matriz canGénica de T tem vetores coluna 1 1 0 0 TX XX Vis Von 000 Vine 0 0 1 1 5 Sejam e a base canonica de Re T R Ra transformacio linear dada por Encontre o posto e a nulidade de T 12 Prove se A e B forem matrizes semelhantes e se B e C forem Te 21 Te 0 10 matrizes semelhantes entio A e C serio matrizes semelhantes Te 130 Tes 11 13 Seja L M M 0 operador linear definido por LM M Encontre a matriz de L em relagao a base canénica de M a Encontre bases para a imagem e o nticleo de T 14 Sejam B u u 4 eB v vy vy bases de um espaco b Encontre o posto e a nulidade de T vetorial Ve 6 Suponha que os vetores em R sejam denotados por matrizes 3 1 X 3 edefina T R R por P1 1 4 1 2 4 0 1 2 My SDP m HI 3 0 1 a matriz de transigdo de B para B 2 2 5 on a Expresse v v Como uma combinagao linear de u U U a Encontre uma base para o nticleo de T oe Coo b Expresse u u u como uma combinacAo linear de v b Encontre uma base para a imagem de T VV a Y3 7 Sejam B v V V3 va uma base de um espaco vetorial V e 15 Sejam B u u u uma base de um espaco vetorial Ve T V Vo operador linear dado por T V Vum operador linear tal que Tv v v Vv 3v 3 4 7 Tv V V 2v 2v T 1 0 2 Tv 2v 4v 5v 3v 0 l 0 Tv 2v 6v 6v 2v Encontre T sendo B v V V a base de V definida a Encontre o posto e a nulidade de T por b Determine se 7 é injetor Vu vutu vuuu 476 Algebra Linear com Aplicacées 16 Mostre que as matrizes sendo 1 1 2 1 e Pix Boe 1 4 1 3 x X 5 sao semelhantes mas que Px XY 5 X X1 X3 3 1 l1 2 6 A Pix BOAO x3 x 4 2 nao sao d Qual é a relacdo entre o grafico da fungao 17 Suponha que T V V seja um operador linear e B uma base pona q J P aPx aPx aPx de V tal que OS pontos Xx a X5 A X 4 2 5 1 22 Requer Calculo Sejam px e qx fungées continuas e con T5 2 se xe sidere 0 subespago V de C que consiste em todas as x 3 x3 fungGdes que s4o duas vezes derivaveis Defina L V V por Encontre T LOQ ye py x yO 18 Seja T V Vum operador linear Prove que 7 é injetor se e a Mostre que L é uma transformacio linear 86 se detT 0 b Considere o caso especial em que px Oe qx 1 19 Requer cdlculo Mostre que a fun4o a Mostre que se f fx for duas vezes derivavel en x c senx cos x tao a fung4o D C F 0 definida por Df fx uma transformagao linear esta no nucleo de L quaisquer que sejam os valores reais b Encontre uma base do ntcleo de D C1 Cy c Mostre que 0 conjunto das fung6es que satisfazem a 23 Requer Caleuto SejaD P P 0 operador de deriva equacao Df fx é um subespaco bidimensional de cao Dp Pp Mostre que a matriz de D em relacio a base C e encontre uma base desse subespaco B lxxxe 20 SejaT P R a funcio definida pela formula 0 10 0 O 1 0 0 2 0 0 P 0003 0 Tpx pO Loe pd 000 0 xv a Encontre Tx 5x 6 0 0 0 0 0 b Most Té transf ao linear b Mostre que Te ame Pe STONTE SEO NE 24 Requer Calculo Pode ser mostrado que os vetores c Mostre que 7 é injetora 2 n d Encontre T 0 3 0 l xe x o wo e Esboce o grafico do polinémio na parte d 2 n 21 Sejam x x e x ntimeros reais distintos tais que formam uma base de P qualquer que seja o nimero real c dado Encontre a matriz do operador de derivac4o do Exerci XS 5 cio 23 em relagao a essa base eT P R a funcao definida pela formula 25 Requer Cdlculo Seja J P P a transformagio de inte gracdo definida por px Tpx pm Jp a tat as dt PQs 0 a 2 fey Ga ntl a Mostre que T é uma transformacio linear SMX DX Te 1 b Most T é injetora b Mostre que 7 injetora em que p a ax ax Encontre a matriz de J em c Mostre que se a a e a forem numeros reais quaisquer relacdo as bases canénicas de P e P n ntl entao a T a aPx a Px 4 Px a3 CAPITULO 9 M 7 7 1 étodos Numeéricos CONTEUDO DO CAPITULO 91 Decomposigaéo LU 477 92 O método das poténcias 487 93 Servigos de busca na Internet 496 94 Comparagao de procedimentos para resolver sistemas lineares 501 95 Decomposigao em valores singulares 506 96 Compressdo de dados usando decomposicao em valores singulares 514 INTRODUCAO Neste capitulo tratamos de métodos numéricos da Algebra Linear uma drea de estudo que engloba técnicas para resolver sistemas lineares de grande escala e para encontrar aproximago6es numéricas de varios tipos Nosso objetivo nao é discutir algoritmos e questOes técnicas detalhadamente ja que existem muitos livros excelentes dedicados a esse assunto Em vez disso nos ocupamos com a introdugao de algumas ideias basicas e a exploracao de aplicagdes contemporaneas importantes que dependem de maneira crucial de ideias numéricas a saber a decomposiao em valores singulares e a compressao de dados Para todas as segdes exceto a primeira recomendamos a utilizagao de algum recurso computacional como MATLAB Mathematica ou Maple 91 Decomposigao LU Até aqui estivemos focados em dois métodos de resolugao de sistemas lineares a saber a eliminacao gaussiana reduao a forma escalonada por linhas e a eliminagao de GaussJordan redugao a forma escalonada reduzida por linhas Esses métodos funcionam muito bem com os problemas de pequeno porte deste texto mas nao sao adequados para problemas de grande escala nos quais devem ser considerados erros de arredondamento uso de memoria e velocidade do computador Nesta secdo discutimos um método de resolver sistemas lineares de n equacg6es em n incégnitas que tem por base a fatoragdo da matriz de coeficientes num produto de uma matriz triangular inferior e uma superior Esse método conhecido como decomposicao LU é a base de muitos algoritmos de computacao de uso comum Nosso primeiro objetivo nesta segdo mostrar como resolver um sistema linear Ax bde Resovendo sistemas lineares n equacgoes em n incognitas fatorando a matriz A num produto por fatoragao ALU 1 em que L é uma matriz triangular inferior e U uma superior Uma vez entendido como isso é feito discutimos como a propria fatoracgao pode ser obtida Supondo que de alguma forma tenhamos obtido a fatoracao em 1 podemos resolver o sistema linear Ax b por meio do procedimento seguinte denominado decomposido LU 478 Algebra Linear com Aplicacées O método da decomposicgao LU Passo 1 Reescreva o sistema Ax b como LUx b 2 Passo 2 Defina uma nova matriz y de tamanho n X por Uxy 3 Passo 3 Use 3 para reescrever 2 como Ly be resolva esse sistema em y Passo 4 Substitua y em 3 e resolva em x Esse procedimento ilustrado na Figura 911 substitui o sistema tinico Ax b pelo par de sistemas lineares Uxy Ly b que devem ser resolvidos sucessivamente Contudo como cada um desses sistemas tem uma matriz de coeficientes triangular em geral ocorre que a resolugdo dos dois sistemas nao envolve mais calculos do que a resolugao do sistema original diretamente Resolver Ax b EB R 2v b Figura 911 y Resolvendo Ax b por decomposicao LU Adiante nesta segao vamos deduzir a fatoragao 2 6 2 2 0 0 1 3 1 3 8 0 3 1 0 0 1 3 4 4 9 2 43 7Lo 01 4 A L U Use esse resultado para resolver o sistema linear 2 6 2 xy 2 3 8 0 x2 2 4 9 2 X3 3 A x bD Solugao A partir de 4 podemos reescrever esse sistema como 2 0 0 1 3 1 xy 2 3 1 0 0 1 3 x2 2 5 4 3 7 0 0 1 x3 3 L U x bd Nota histérica Em 1979 foi desenvolvida uma importante biblioteca de programas de Algebra Linear denominada LINPAK no Laboratorio Nacional de Argonne EUA constituida de programas independen tes de plataforma Muitos dos programas naquela biblioteca utilizam os métodos de decomposiao que estudamos nesta segao Variagées das rotinas LINPAK sdo usadas por muitos sistemas de computacao inclusive por MATLAB Mathematica e Maple 91 Decomposigao LU 479 Como especificamos no Passo 2 acima definimos y y e y pelas equag6es 1 3 1 y 0 1 3 x 6 00 1 Ly y 6 U x y 0 que nos permite reescrever 5 como 2 0 07 fy 2 3 1 O y 2 1 4 3 7 3 L y bD ou equivalentemente 2 2 3y yy 2 4y 3y Ty 3 Esse sistema pode ser resolvido por um procedimento parecido com a retrossubstituiao exceto que as equacdes sao resolvidas de cima para baixo em vez de resolvidas de baixo para cima Esse procedimento denominado substituigdo direta fornece y1 y5 y32 verifique Conforme indicado no Passo 4 acima substituimos esses valores em 6 ob tendo o sistema linear 1 3 1 x 1 0 1 3 x 5 0 0 1 Xx 2 ou equivalentemente xX 3x 4 1 xX 3x 5 xX 2 Resolvendo esse sistema por substituigao inversa obtemos a solucao x 2 xIl x2 verifique 4 Nota historica Embora as ideias tenham sido conhecidas antes muitas vezes o crédito pela popularizagao do formalismo matricial da decomposigao LU é atribuido ao matematico britanico Alan Turing pelo seu trabalho de ae 1948 nesse assunto Turing foi um dos grandes génios do século XX e o fundador da area da inteligéncia artificial Entre suas muitas realizagdes nessa area ele desenvolveu 0 conceito de computador internamente programado s m7 antes da tecnologia ter alcangado o estagio em que a construcao de tal maquina fosse possivel Durante a Se o ss y gunda Guerra Mundial Turing foi recrutado secretamente pela Escola de Cifras e Codigo do governo britanico a em Bletchley Park para ajudar a quebrar os cdédigos nazistas denominados Enigma foi a abordagem estatistica de Turing que forneceu a chave Alem de ser um matematico brilhante Turing foi um atleta de nivel internacional tendo competido com sucesso em corridas de nivel olimpico Infelizmente por ser homossexual Turing foi julgado y e condenado por indecéncia grosseira em 1952 violando os estatutos britanicos da época Em depressao ele fh y G J cometeu suicidio aos 41 anos ingerindo uma maga envenenada com cianureto ny po Imagem Time Life PicturesGetty Images Inc Alan Mathison Turing 19121954 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 480 Algebra Linear com Aplicacées Encontrando OExemplo deixa claro que uma vez fatorada a matriz A em matrizes triangulares infe decomposicées LU rior e superior 0 sistema Ax b pode ser resolvido com uma substituigao direta e uma inversa Mostremos agora como obter tal fatoragao Comecamos com alguma termino logia DEFINICAO 1 Umadecomposigao LU ou uma fatoragao LU de uma matriz quadra da A uma fatoragdéo A LU em que L é triangular inferior e U é triangular superior Nao é verdade que qualquer matriz quadrada A tenha uma decomposicao LU Contu do veremos que se for possivel reduzir uma matriz quadrada A 4 forma escalonada por linhas com eliminac4o gaussiana sem permuta de linhas entao A necessariamente possui alguma decomposicao LU nao necessariamente tinica Para ver isso vamos supor que A tenha sido reduzida por operacgdes elementares com as linhas e sem permuta de linhas a forma escalonada por linhas U Segue do Teorema 151 que essas operagdes podem ser efetuadas pela multiplicagao de A 4 esquerda por uma sequéncia apropriada de matrizes elementares ou seja que existem matrizes elementares E E E tais que EEEA U 8 Como as matrizes elementares sao invertiveis podemos resolver 8 para A como AEEEU ou mais concisamente como A LU 9 onde LEEE 10 Agora temos todos os ingredientes para provar o resultado seguinte TEOREMA 911 Se uma matriz quadrada A pode ser reduzida a forma escalonada por linhas U com eliminagao gaussiana sem permuta de linhas entdo A pode ser fato rada como A LU em que L é uma matriz triangular inferior Prova Sejam Le U as matrizes das Formulas 10 e 8 respectivamente A matriz U é triangular superior porque é uma forma escalonada por linhas de uma matriz quadrada portanto todas as entradas abaixo da diagonal principal sao nulas Para provar que L é triangular inferior basta provar que cada fator do lado direito de 10 é triangular inferior pois entao o Teorema 171b implica que L é triangular inferior Como as permutag6es de linhas estao excluidas cada E resulta da soma de um multiplo escalar de uma linha de uma matriz identidade a uma linha inferior ou da multiplicagao de uma linha de uma matriz identidade por um escalar nao nulo Em ambos os casos a matriz E resultante triangular inferior e portanto pelo Teorema 171d E também é triangular inferior Isso completa aprova Uma decomposigao LU Encontre uma decomposicao LU de 2 6 2 A3 8 0 4 9 2 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 91 Decomposicao LU 481 Solucao Para obter uma decomposicao LU A LU vamos reduzir A 4 forma escalo nada por linhas U usando eliminagao gaussiana e depois calcular L a partir de 10 Os passos sao os seguintes Matriz elementar Reducao a forma correspondente a Inversa da escalonada por linhas Operacao com as linhas operacao com as linhas matriz elementar 2 6 2 3 8 0 4 9 2 linha 1 0 0 2 0 0 Passo 1 2 anna E0 1 0 El0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 3 1 3 8 0 4 9 2 1 0 0 1 0 0 Passo 2 3 x linha 1linha2 FL3 1 O Ey 3 1 0 0 0 1 0 0 1 1 3 1 0 1 3 4 9 2 1 0 0 1 0 0 Passo 3 4 x linha 1linha3 F 0 1 O E 0 1 O 4 0 1 4 0 1 1 3 1 0 1 3 0 3 2 1 0 0 1 0 0 Passo 4 3 x linha 2linha3 0 1 O E 0 1 0 03 1 0 3 1 1 3 1 0 1 3 0 0 7 1 0 0 1 0 0 Passo 5 1x linha 3 E50 1 0 0 1 0 00 007 1 3 1 0 1 3U 0 0 1 482 Algebra Linear com Aplicacdes e por 10 2 0 0 1 0 O1 0 OFF 1 0 O1 0 0 L0 1 O3 1 OF 0 1 OF JO 1 OF JO 1 0 0 0 1 0 0 14 0 10 3 10 0 7 2 0 0 3 1 0 4 3 7 de modo que 2 6 2 2 0 O1 3 1 3 8 0 3 1 0O0 1 3 4 9 2 4 3 70 0 1 é uma decomposicgéo LUde A 4 Contabilidade Como mostra esse exemplo a maior parte do trabalho de construir uma decomposiao LU é dedicada a calcular L No entanto todo esse trabalho pode ser eliminado com uma contabilidade cuidadosa das operacées usadas para reduzir A a U Como estamos supondo que nao foram realizadas trocas de linhas para reduzir A a U s6 ha dois tipos de operagdes envolvidas a multiplicagao de uma linha por uma constante nao nula um multiplicador e a soma de um miultiplo escalar de uma linha a uma outra linha A primeira operagao é usada para introduzir os pivés e a segunda para introduzir os zeros abaixo dos pivés No Exemplo 2 usamos um multiplicador 5 no Passo para introduzir um piv6 na primeira linha e um multiplicador 4 no Passo 5 para introduzir um pivé na terceira linha No foi necessério um multiplicador para introduzir um piv6é na segunda linha porque ja havia um no final do Passo 2 mas por conveniéncia digamos que o multiplicador foi 1 Comparando esses multiplicadores com as entradas diagonais sucessivas de L vemos que essas entradas diagonais sAo exatamente os reciprocos dos multiplicadores utilizados para construir U isto é 0 0 L3 M 0 11 4 3 Também observe no Exemplo 2 que para introduzir zeros abaixo do pivé da primeira linha usamos as operagdes somar 3 vezes a primeira linha a segunda somar 4 vezes a primeira linha a terceira e para introduzir 0 zero abaixo do pivé da segunda linha usamos a operacao somar 3 vezes a segunda linha a terceira Agora note que em 12 a entrada em cada posigao abaixo da diagonal principal de L é 0 negativo do multiplicador da operacgdo que introduziu o zero naquela posiao em U ou seja 2 0 0 L3 1 0 12 4 3 7 91 Decomposicao LU 483 Isso sugere 0 procedimento seguinte para construir uma decomposigao LU de uma matriz quadrada A supondo que A possa ser reduzida 4 forma escalonada por linhas sem permu tagao de linhas Procedimento para construir uma decomposicao LU Passo 1 Reduza A a forma escalonada por linhas U por eliminagao gaussiana sem troca de linhas mantendo armazenados os multiplicadores utilizados para intro duzir os pivés e os multiplicadores utilizados para introduzir os zeros debaixo dos pivos Passo 2 Em cada posiao ao longo da diagonal principal de L coloque o reciproco do multiplicador que introduziu 0 pivé naquela posiao em U Passo 3 Em cada posigao abaixo da diagonal principal de L coloque o negativo do multiplicador utilizado para introduzir 0 zero naquela posicao em U Passo 4 Forme a decomposigéo A LU Construindo uma decomposicao LU Encontre uma decomposia4o LU de 6 2 0 A9 l 1 3 7 5 Solugao Reduzimos A 4 forma escalonada por linhas U e a cada passo introduzimos uma entrada de L de acordo com 0 procedimento de quatro passos dado 6 2 0 e 0 0 A 9 1 1 ee 0 denota uma entrada desconhecida de L 3 7 5 eee 1 ae 1 0 multiplicador 60 0 9 l 1 e e 0 3 7 5 ee 1 0 6 0 0 2 1 multiplicador 9 9 e 0 8 5 multiplicador 3 3 0 e 1 3 0 6 0 0 1 0 5 multiplicador 5 9 2 0 0 8 5 3 ee 1 3 6 0 0 0 1 5 9 2 0 0 1 multiplicador 8 3 8 e 1 1 3 0 6 0 0 Aqui nenhuma U 0 1 4 L9 2 0 operagio foi realizada oo de fato pois j4 ha um 0 0 multiplicador 1 3 8 1 pivé na terceira linha 484 Algebra Linear com Aplicacées Assim construimos a decomposicao LU 1 6 0 oy 3 ALU9 2 0 0 1 4 3 8 I 0 0 1 Deixamos para 0 leitor confirmar esse resultado final multiplicando os fatores 4 As decomposicées LU nao Na ausncia de restrigdes as decomposigoes LU nao sao tnicas Por exemplo se sao unicas 1 0 0 Lous uy ALU 1 lL 90 0 1 uw lL ly by 0 0 1 e L tem entradas diagonais nao nulas entao podemos empurrar as entradas diagonais do fator esquerdo para o fator direito escrevendo 0 O2 0 0 Lou M3 A11Ll 1 0 0 Ll O 0 1 uw ly ly by Ly 1 0 0 bss 0 0 1 l 0 Ota lime tii hy ty 1 0 0 hy yp U3 Ly ly ly ly 1 0 0 Ly que da uma outra decomposicao LU de A Decomposicéo LDU O método que descrevemos para calcular uma decomposigao LU pode resultar numa as simetria a saber uma decomposiao em que U tem entradas iguais a na diagonal prin cipal mas L pode nao ter Contudo se for preferivel ter entradas iguais a na diagonal principal do fator triangular inferior entéo podemos empurrar as entradas na diagonal de L para uma matriz diagonal D e escrever L como LLD onde L é uma matriz triangular inferior com entradas iguais a 1 na diagonal principal Por exemplo uma matriz triangular inferior 3 X 3 qualquer com entradas nao nulas na diagonal principal pode ser fatorada como a 9O 0 1 0 0 fa 9 O G ay 0 a a l 0 0 ay 0 431 39 33 34 4xAy I 0 0 as L L D Observe que as colunas de L sao obtidas dividindo cada entrada da coluna correspon dente de L pela entrada diagonal da coluna Assim por exemplo podemos reescrever 4 como 2 6 2 2 0 0 1 3 1 3 8 0 3 1 0 0 1 3 4 9 2 4 3 7 0 0 1 1 0 O F2 0 O7F1 3 1 2 1 Of fo 1 oo1 3 2 3 1 0 0 7 0 0 1 91 Decomposicéo LU 485 Pode ser provado que se A for uma matriz quadrada que pode ser reduzida 4 forma escalonada por linhas sem permuta de linhas entao A pode ser fatorada de maneira tunica como A LDU onde L é uma matriz triangular inferior com entradas na diagonal principal iguais a 1 D uma matriz diagonal e U é uma matriz triangular superior com entradas na diagonal principal iguais a 1 Essa decomposicao é denominada decomposicao LDU de A ou fa toracdo LDU de A Muitos algoritmos de computador que resolvem sistemas lineares efetuam trocas de li Decomposiao PLU nhas para reduzir erros de arredondamento caso em que nao ha garantia da existéncia de uma decomposicao LU Contudo é possivel driblar essa dificuldade préprocessando a matriz de coeficientes A de tal forma que todas as operagées sobre as linhas sao efetuadas antes de calcular a propria decomposiao LU Mais precisamente a ideia é criar uma ma triz Q denominada matriz de permutacao multiplicando em sequéncia todas as matri zes elementares que produzem uma permutacao de linhas e depois executalas calculando o produto QA Esse produto pode entao ser reduzido 4 forma escalonada por linhas sem trocas de linhas e portanto fica garantido que essa matriz possui uma decomposicgao LU QA LU 13 Como a matriz Q invertivel por ser um produto de matrizes elementares os sistemas Ax be QAx Qb tém as mesmas solucoes Mas segue de 13 que esse Ultimo sistema pode ser reescrito como LUx Qb e portanto resolvido usando a decomposicao LU E comum ver a Equacao 13 escrita como A PLU 14 em que P Q Essa decomposicao é denominada decomposigéo PLU de A ou fatora cao PLU de A Revisao de conceitos e Encontrar uma decomposigéo LU de uma matriz e Decomposigao LU quadrada e Decomposicao LDU e Usar o método da decomposicao LU para resolver Decomposicaio PLU sistemas lineares e Encontrar uma decomposicgaéo LDU de uma matriz Aptiddes desenvolvidas quadrada e Determinar se uma matriz quadrada tem uma e Encontrar uma decomposigaéo PLU de uma matriz decomposicao LU quadrada Conjunto de exercicios 91 1 Use 0 método do Exemplo e a decomposicao LU 2 Use o método do Exemplo 1 e a decomposigaéo LU 2 5 12 1110 I 2 0 6 2 4 0 0 1 2 4 7 4 4 1 2 10 0 1 para resolver o sistema para resolver o sistema 3x 6x 0 3x 6x 3x 3 2x 5x 1 2x 6x 22 4x 7x4x 3 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 486 Algebra Linear com Aplicacées Nos Exercicios 310 encontre uma decomposiga4o LU da 14 a Mostre que a matriz matriz de coeficientes e depois use o método do Exemplo 1 para 01 resolver o sistema 1 0 2 8 x 2 3 1 1 x 2 nao possui decomposiéo LU b Encontre uma decomposicao LDU dessa matriz 5 10x 10 4 6 Stix 19 Nos Exercicios 1516 use a decomposigéo PLU dada de A para resolver 0 sistema Ax b reescrevendoo como PAx 2 2 2 x 4 P be resolvendo esse sistema por decomposigao LU 5 0 2 2 xX 2 2 0 1 4 PS 2 Ls 6 15 b1A1 2 2 5 3 1 3 3 12 6 x 33 6 1 2 2x 7 0 1 0 1 0 0 1 2 2 0 l 1 x A1 0 0 10 1 0O0 1 4PLU 0 0 L3 5 10 O 17 5 5 10 x 0 5 412 TP S WT oye yey 16 b0 A0 2 1 0 4 26 x 4 oa oo 6 8 1 8 l1 3 4 x 6 1 0 OO 1 0 0 4 1 2 8 3 10 10 x 3 A0 0 12 1 Of0 1 4PLU 2 4 11 Ls 9 0 1 Oo 2 10 oO 9 0 Oy 7 Nos Exercicios 1718 encontre uma decomposigao PLU de 9 2 3 2 6 l A e usea para resolver 0 sistema Ax b usando 0 método dos 0 l 2 0 3 Exercicios 15 e 16 0 0 1 5 xy 7 3 l 0 2 2 4 0 0 x 8 17 A3 1 1 b 1 ofp 22 aie aes 0 0 2 fle 0 9 3 s 1 A1 1 4b 5 11 Seja 2 2 19 Sej L 1 Seja 2 b A2 1 2 A 2 1 0 c d a Encontre uma decomposiciio LU de A a Prove se a 0 entéo a matriz A tem uma Unica decom igdo L tradas na di 1 principal de L b Expresse A na forma A LDU em que L triangu Posicao LU com en ns me gon pametpares lar inferior com entradas na diagonal principal U é b Encontre a decomposigao LU descrita na parte a triangular superior e D é uma matriz diagonal 20 Seja Ax b um sistema linear de n equacdes em n incégni c Expresse A na forma A LDU em que L é triangular tas e suponha que A seja uma matriz invertivel que pode ser inferior com entradas na diagonal principal e U é reduzida a forma escalonada por linhas sem troca de linhas triangular superior Quantas adicgées e multiplicagdes adicionais sao exigidas para resolver o sistema pelo método do Exemplo 1 Nos Exercicios 1213 encontre a decomposicéo LDU de 21 Prove se A for uma matriz n X n qualquer entao A pode ser A fatorada como A PLU em que L é triangular inferior U 3 D 6 é triangular superior e P pode ser obtida por troca de linhas 2 2 apropriadas de I Sugestdo considere a forma escalonada 12 A 4 1 13 A0 2 0 por linhas U de A e efetue todas as trocas de linhas requeridas 6 28 13 para reduzir A a U antes 92 Ométodo das poténcias 487 Exercicios verdadeirofalso c SeL LLforem matrizes n X n triangulares inferio Nas partes ae determine se a afirmac4o é verdadeira ou falsa res entao o produto L L L sera triangular inferior justificando sua resposta d Se uma matriz quadrada A tiver uma decomposigao LU entaéo a Toda matriz quadrada tem alguma decomposigao LU A tem uma Unica decomposigao LDU b Se uma matriz quadrada A for equivalente por linhas a uma e Toda matriz quadrada tem alguma decomposigao PLU matriz triangular superior U entéo A tem alguma decomposi cao LU 92 Ométodo das poténcias Os autovalores de uma matriz quadrada podem ser encontrados por definiao pela resolucao da equacao caracteristica Contudo esse procedimento apresenta tantas dificuldades computacionais que quase nunca é utilizado nas aplicagées Nesta segao discutimos um algoritmo que pode ser usado para aproximar o autovalor de maior valor absoluto e um autovetor associado Esse autovalor especial e seu autovetor associado sao importantes porque surgem naturalmente em muitos processos iterativos Os métodos que estudamos nesta seco tém sido recentemente usados para criar programas de busca na Internet como o Google Essa aplicagao sera discutida na proxima seao Existem muitas aplicagdes em que algum vetor x de R é multiplicado repetidamente por método das poténcias uma matriz A de tamanho n X n para produzir uma sequéncia 2 k X AX AXAX Dizemos que uma sequéncia dessas uma sequéncia de poténcias gerada por A Nesta secgao nos ocupamos com a convergéncia de sequéncias de poténcias e a maneira pela qual essas sequéncias podem ser usadas para aproximar autovalores e autovetores Para esse fim convém introduzir a seguinte definicao DEFINICAO 1 Se os autovalores distintos de uma matriz A forem A A A for maior do que A A entéo A denominado um autovalor dominante de A Qualquer autovetor associado a um autovalor dominante é denominado um autovetor dominante de A EXEMPLO 1 Autovalores dominantes Algumas matrizes tém autovalores dominantes e algumas nao tém Por exemplo se os autovalores distintos de uma matriz forem A4 A 2 A1 A3 entao A 4 dominante pois A 4 maior do que os valores absolutos de todos os outros autovalores mas se os autovalores distintos de uma matriz forem A 7 4 7 Az2 AZV5 entao A A 7 de modo que no existe autovalor de valor absoluto maior do que o valor absoluto de todos os demais autovalores 4 Os teoremas mais importantes sobre a convergéncia de sequéncias de poténcias sao aplicaveis a matrizes n X n que tém n autovetores linearmente independentes por exem plo matrizes simétricas portanto nesta secao limitamos nossa discussao a esse caso httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 488 Algebra Linear com Aplicacées TEOREMA 921 Seja A uma matriz simétrica n X n com um autovalor dominante X positivo X Se X for um vetor unitdrio de R que ndo é ortogonal ao autoespaco asso ciado a x entdo a sequéncia de poténcias normalizada AX AX AX 1 x on a o xX X pees pees AX I I Ax Il Ax Il converge a um autovetor dominante unitdrio e a sequéncia AX X AXX AXXAXKX 2 converge ao autovalor dominante X Observacao Nos exercicios pedimos para o leitor mostrar que 1 pode ser expresso como AX Ax Ax X X Ts m TT 3 Axoll 4 4 Essa forma da sequéncia de poténcias expressa cada iterada em termos do vetor inicial x em vez de utilizar termos de seu predecessor Nao vamos provar 0 Teorema 921 mas podemos torndlo geometricamente plausi vel no caso 2 X 2 em que A é uma matriz simétrica com autovalores positivos distintos A A um dos quais é dominante Para sermos mais especificos suponha que Aseja dominante e que A A0 Como estamos supondo que A seja simétrica e tenha autovalores distintos segue do Teo rema 722 que os autoespagos associados aA e A sdo retas perpendiculares pela origem Assim a hipétese de que x seja um vetor unitdrio que nao é perpendicular ao autoespao associado a A implica que x nao esta no autoespaco associado a A Para ver o efeito geomeétrico de multiplicar x por A convém decompor x na soma X Vo Wy 4 em que V W Sao as projecdes ortogonais de x nos autoespagos de A e A respectiva mente Figura 921a AVo AWW vy Autoespago A Autoespago A 4 Autoespago A Autoespago A NN Xo XN cy AWo ax xX 1 Ke 1V0 Figura 921 a b c Isso nos permite escrever AX como AX AV AWy AVy AWy 5 Se o autovalor dominante nao for positivo entéo a sequéncia 2 ainda converge ao autovalor dominante mas a sequéncia 1 pode nao convergir a um autovetor dominante especifico por causa de oscilagao de sinal ver Exercicio 11 Mesmo assim para valores suficientemente grandes de k cada termo de 1 esta arbitrariamente proximo de agum autovetor dominante 92 Ométodo das poténcias 489 que nos diz que a multiplicagao de x por A tem o efeito de uma mudanga de escala de fator A e A sobre Vy Wy em 4 respectivamente Contudo A maior do que A e portanto a mudanga é maior na direcdo de v do que na de wp Assim a multiplicagao de X por A puxa x em diredo ao autoespaco de A e a normalizacdo produz um vetor X AXxAx que esté no circulo unitdrio e esté mais pr6ximo do autoespaco de A do que X Figura 921b Analogamente multiplicando x por A e normalizando obtemos um vetor unitario x que esta mais préximo do autoespaco de A do que x Assim parece razoavel que multiplicando repetidamente por A e normalizando obtemos uma sequéncia de vetores x que esto no circulo unitario e que convergem a um vetor unitario x que esta no autoespaco de A Figura 921c Além disso se x convergir a x entao também parece razoavel que Ax X convirja a 2 AX X Axx AIx A que é 0 autovalor dominante de A O Teorema 921 fornece um algoritmo para aproximar o autovalor dominante e um au QO método das poténcias tovetor unitario associado de uma matriz simétrica A desde que 0 autovalor dominante com mudanca de escala seja positivo Esse algoritmo que denominamos método das poténcias com mudanga de euclidiana escala euclidiana pode ser descrito como segue O método das poténcias com mudanga de escala euclidiana Passo 1 Escolha um vetor nao nulo qualquer e normalize se necessario para obter um vetor unitario X Passo 2 Calcule Ax e normalize para obter a primeira aproximacgao x de um auto vetor dominante unitario Calcule Ax x para obter a primeira aproximagao do autovalor dominante Passo 3 Calcule Ax e normalize para obter a segunda aproximacao x de um auto vetor dominante unitario Calcule Ax x para obter a segunda aproximaao do autovalor dominante Passo 4 Calcule Ax e normalize para obter a terceira aproximacao x de um auto vetor dominante unitario Calcule Ax x para obter a terceira aproximacao do autovalor dominante Continuando assim em geral obtemos uma sequéncia de aproximagoées cada vez me lhores do autovalor dominante e de um autovetor unitdrio associado O método das poténcias com mudanga de escala euclidiana Aplique o método das poténcias com mudanga de escala euclidiana a A 3 2 1 com X 2 3 0 Pare em x e compare a aproximacao resultante com os valores exatos do autovalor e autovetor dominantes Se o vetor x for ortogonal ao autoespaco do autovalor dominante entao as hipdteses do Teorema 921 esta rao violadas e o método pode falhar Contudo na pratica ocorre que em geral os erros de arredondamento dos computadores perturbam x suficientemente a ponto de destruir qualquer ortogonalidade que possa ter existido e fazem o método funcionar Essa é uma instancia em que os erros ajudam a obter resultados corretos 490 Algebra Linear com Aplicacées Solugao Deixamos para o leitor mostrar que os autovalores de A sto A Le A 5 e que 0 autoespaco associado ao autovalor dominante A 5 a reta representada pelas equacoes paramétricas x ft x ft que podem ser escritas em formato vetorial como t 6 x 1 Tomandot 1 J2 obtemos o autovetor dominantes normalizado 2 0707100781187 Oo ro 0707106781187 V2 Agora vejamos 0 que acontece usando 0 método das poténcias comegando com o vetor unitario Xp 0 Bl AXo 1 1 I lo ssa70 AX Xx xy y 2 34 0 2 JAXoll 13 L2 360555 2 055470 A 3 2 083205 360555 AX 1 360555 073480 x x x ss x 2 34 055470 332820 Ax 490682 332820 067828 A 3 2 073480 356097 Ax 1 356097 071274 x x xX x 12 3 067828 350445 Ax 499616 350445 070143 A 3 2 071274 354108 Ax 1 354108 070824 xX yR x SX DY 3 2 34 070143 352976 Ax 499985 352976 070597 A 3 2 070824 353666 AX 1 353666 070733 x x Xx x 2 3 070597 353440 Ax 499999 353440 070688 r 083205 A Ax x Ax x 360555 332820 484615 055470 A Ax x Axx 356097 350445 073480 499361 is 067828 Ax x Axx 354108 352976 071274 499974 CR eee 070143 4 r 070824 NE AMY AX X AX X 353666 353440 499999 E acidental que A a quinta 070597 aproximacgaéo tenha produzido 070733 cinco casas decimais de pre AO Ax X Ax x x 353576 353531 500000 on 070688 cisao Em geral n iteradas nao piCSerseenn produzir n casas deci Assim aproxima 0 autovalor dominante com cinco casas decimais de precisao e x mais de precisao 2 aproxima o autovetor dominante em 7 corretamente até a terceira casa decimal 4 O método das poténcias Existe uma variagao do método das poténcias em que cada iterada em vez de ser norma com mudanca de escala de lizada em cada etapa alterada para ter a entrada maxima igual a 1 Para descrever esse entrada maxima método é conveniente denotar o maximo dos valores absolutos das entradas de um vetor X por maxx Assim por exemplo se 5 3 x 7 2 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 92 Ométodo das poténcias 491 entao maxx 7 Vamos precisar da seguinte variagado do Teorema 921 TEOREMA 922 Seja A uma matriz simétrica n X n com um autovalor dominante Xr positivo Se x for um vetor nao nulo de R que nao é ortogonal ao autoespago asso ciado a xX entado a sequéncia AX AX AX Xo X Sse Sees sO ES me SCs0832 maxAXx maxAx maxAx converge a um autovetor associado a X e a sequéncia AX X Ax X AX X AX X ee ee 9 XX X X X xX X converge a xX Observacgao Nos exercicios pedimos para o leitor mostrar que 8 pode ser expresso de forma alternativa como AX Ax Ax 10 X xX xX sss maxAx 2 maxAx maxA X que expressa cada iterada em termos do vetor inicial xp Omitimos a prova desse teorema mas se aceitarmos que 8 converge a um autovetor de A entao nao é dificil ver por que 9 converge ao autovalor dominante Para isso ob serve que cada termo em 9 é da forma Ax x 1 xx que é denominado um quociente de Rayleigh de A No caso em que A é um autovalor de A ex um autovetor associado o quociente de Rayleigh é AXX AxXx Xxx x XX XX Xx Assim se X convergir a um autovetor dominante x entao parece razoavel que AX X AX X d convirjaa 9 X X J xx que é 0 autovalor dominante O Teorema 922 fornece 0 seguinte algoritmo que denominamos método das potén cias com mudanca de escala de entrada maxima Como no Teorema 921 se 0 autovalor dominante nao for positivo entéo a sequéncia 9 ainda converge ao autovalor dominante mas a sequéncia 8 pode nao convergir a um autovetor dominante especifico Mesmo assim para valores suficientemente grandes de k cada termo de 8 esta arbitrariamente préximo de algum autovetor dominante 492 Algebra Linear com Aplicacdes O método das poténcias com mudanga de escala de entrada maxima Passo 1 Escolha um vetor nao nulo x qualquer 7 Passo 2 Calcule Ax e multiplique isso pelo fator 1maxAx para obter a primeira pS aproximacdo x de um autovetor dominante Calcule 0 quociente de Rayleigh de x para obter a primeira aproximagao do autovalor dominante iN Passo 3 Calcule Ax e multiplique isso pelo fator 1maxAx para obter a segunda 1 piq Pp JP g A aproximacdo x de um autovetor dominante Calcule 0 quociente de Rayleigh de x para obter a segunda aproximagao do autovalor dominante JohnWilliam Strutt Rayleigh Passo 4 Calcule Ax e multiplique isso pelo fator ImaxAx para obter a terceira 18421919 aproximacao x de um autovetor dominante Calcule 0 quociente de Rayleigh de x para obter a terceira aproximagao do autovalor dominante Nota historica 0 fisico matemati Continuando assim obtemos uma sequéncia de aproximagoes cada vez melhores do co britanico John Rayleigh recebeu o Prémio Nobel de Fisica em 1904 por autovalor dominante e de um autovetor associado sua descoberta do gas inerte argénio Rayleigh também fez descobertas fundamentais em Acustica e Otica e seu trabalho sobre fendmenos on PP EXEWIPLO 3 Denovo o Exemplo 2 usando mudanga de escala de dulatorios permitiulhe dar a primeira entrada maxima explicagdo correta de por que 0 céu a a é azul Aplique o método das poténcias com mudanga de escala de entrada maxima a Imagem The Granger Collection 32 1 New York A com x 0 Pare em x e compare a aproximagao resultante com os valores exatos e com as aproxima des obtidas no Exemplo 2 Solugao Deixamos para 0 leitor confirmar que 3 2 1 3 AX 13 100000 AX x 5 2 3 0 2 maxAx 3 2 066667 Ax 3 2 100000 433333 AX 7 1 433333 100000 12 3 066667 400000 maxAx 433333 400000 092308 A 3 2 100000 484615 Ax 1 484615 100000 x x x 2 3 092308 476923 maxAx 484615 476923 098413 Ax 3 2 100000 496825 AX 1 496825 100000 12 3 098413 495238 maxAx 496825 495238 099681 A 3 2 100000 499361 AX 1 499361 100000 xX x xX 2 3 099681 499042 maxAx 499361 499042 099936 AX X Ax x 700000 yi AB AX AN X 1 Lx 484615 xX X X X 144444 T Q AX X Ax X 924852 499361 Enquanto 0 método das potén X X X 185207 cias com mudanga de escala r euclidiana produz uma sequén v8 AX X Ax X 984203 499974 cia de aproximagées de um au X X xX X 196851 tovetor dominante unitdrio a r mudanga de escala de entrada AO AX X AX Xq 996808 499999 maxima produz uma sequéncia XX x X 199362 de aproximag6es de um autove r tor dominante cujo maior com vo AX Xs Ax X 999360 500000 ponente é 1 X X x X 199872 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 92 Ométodo das poténcias 493 Assim A aproxima o autovalor dominante corretamente até a quinta casa decimal e x aproxima bem o autovetor dominante 1 x 1 que resulta tomandot 1em6 4 Se A for uma matriz simétrica cujos autovalores distintos podem ser ordenados de tal Taxa de convergéncia modo que lA I lA lA Se lA entdo a taxa de convergéncia dos quocientes de Rayleigh ao autovalor dominante A de pende da razio A A ou seja a convergéncia sera lenta se essa razAo estiver perto de e sera rapida se a razao for grande quanto maior a razao mais rapida a convergéncia Por exemplo se A for uma matriz 2 X 2 simétrica entaéo quanto maior for a razao A A5 maior sera a disparidade entre os efeitos da mudanga de escala de razao 4 e da de razao A na Figura 921 e portanto maior sera 0 efeito que a multiplicagao por A tem em puxar as iteradas em direcdo ao autoespago de A De fato a convergéncia rapida no Exemplo 3 é resultante da razao AA 51 5 que é uma razdo bem grande Nos casos em que a razao estiver perto de 1 a convergéncia do método das poténcias podera ser tao lenta que devem ser usados outros métodos Se A for o valor exato do autovalor dominante e se um método das poténcias produzira Critérios de parada aproximacgao d na késima iteragao entao dizemos que A AY 12 A é o erro relativo de Escrevendo isso como uma porcentagem dizemos que é 0 erro percentual de dX Por exemplo se A 5 e a aproximacao depois da terceira iteragdo for AO 51 entaio A dA 551 erro relativo de A 002 002 A 5 erro percentual de d 002 X 100 2 Nas aplicagdes geralmente sabemos qual 0 erro relativo E que pode ser tolerado no autovalor dominante portanto o objetivo é parar os calculos das iteradas assim que o erro relativo na aproximagao daquele autovalor for menor do que E Contudo existe um problema em calcular o erro relativo em 12 pois o autovalor A é desconhecido Para evitar esse problema é costume estimar A como sendo Me parar os calculos quando NO RD 1 1 E 13 A quantidade do lado esquerdo de 13 é denominada erro relativo estimado de e sua forma percentual é 0 erro percentual estimado de Erro relativo estimado Para as contas feitas no Exemplo 3 encontre o menor valor de k para o qual o erro percen tual estimado em seja menor do que 01 494 Algebra Linear com Aplicacées Solugao Os erros percentuais das aproximacées no Exemplo 3 sao os seguintes APROXIMACAO ERRO ERRO RELATIVO PERCENTUAL we AP A 499361 484615 NO asa aoa 002953 2953 Av 499361 A 499974 499361 A x 000123 0123 rN 499974 A A 499999 499974 A w 000005 0005 A 499999 A Ar 500000 499999 AP x x 000000 0 A 500000 Assim 499999 é a primeira aproximacao com erro percentual estimado menor do que01 4 Observacao Um critério de parada é uma regra para decidir quando parar um processo iterativo Nos exercicios discutiremos critérios de parada para o método das poténcias que sao baseados no autovetor dominante em vez do autovalor dominante Revisao de conceitos e Erro relativo estimado e Sequéncia de poténcias e Erro percentual estimado e Autovalor dominante e Critério de parada Autovetor dominante Aptiddes desenvolvidas e Método das poténcias com mudanga de escala euclidiana se e Identificar 0 autovalor dominante de uma matriz Quociente de Rayleigh e Usar os métodos das poténcias descritos nesta secdo para e Método das poténcias com mudanga de escala de entrada aproximar um autovetor dominante maxima e Encontrar os erros relativo e percentual estimados e Erro relativo associados com os métodos das poténcias e Erro percentual Conjunto de exercicios 92 Nos Exercicios 12 sao dados os autovalores distintos de uma 3A 5 x matriz A Em cada caso determine se A tem um autovalor domi 1 1 0 nante e se tiver encontreo 7 2 0 1 1 a A 7A 3A 8A 1 442 6 2 x 0 b A 5A 3A2A5 0 2 5 0 2 a A 1A 0A 344 2 Nos Exercicios 56 aplique 0 método das poténcias com mu b A 3A 2A 1A 3 danga de escala de entrada maxima 4 matriz A comecando com x e oe a parando em x Compare a aproximagao resultante com o valor exato Nos Exercicios 34 aplique 0 método das poténcias com mu an do autovalor dominante e 0 autovetor unitario correspondente danga de escala euclidiana 4 matriz A comegando com x e paran do em x Compare a aproximagao resultante com o valor exato do 5 A l s xX autovalor dominante e 0 autovetor unitario correspondente 3 5 I 92 Ométodo das poténcias 495 3 22 1 quéncia de poténcias 1 no Teorema 921 nao converge Isso 6 A2 2 0 x1 mostra que é essencial a exigéncia naquele teorema de que 0 20 4 1 autovalor dominante seja positivo 12 Em cada caso use 0 método das poténcias com mudanga de 7 Sejam escala euclidiana para aproximar 0 autovalor dominante e um 2 1 1 autovetor associado da matriz dada Escolha seu vetor inicial A li lo e pare quando o erro percentual estimado na aproximagao do autovalor for menor do que 01 a Use 0 método das poténcias com mudanga de escala de 1 3 3 entrada maxima para aproximar um autovetor dominante a 3 4 1 de A Comece com Xp arredonde todos os calculos em 31 10 trés casas decimais e pare depois de trés iterag6es 1 0 1 1 b Use o resultado da parte a e o quociente de Rayleigh para aproximar o autovalor dominante de A b 0 21 l c Encontre o valor exato do autovalor e autovetor aproxi tol 4 l mados nas partes a e b l l 8 d Encontre o erro percentual na aproximacao do autovalor 13 Repita o Exercicio 12 mas dessa vez pare quando todas as en dominante tradas correspondentes em duas aproximacgG6es sucessivas de 8 Repita as instrucdes do Exercicio 7 com autovalores diferirem por menos de 001 em valor absoluto 14 Repita o Exercicio 12 usando mudanga de escala de entrada 2 1 0 1 maxima A1 2 0 x 1 15 Prove que se A for uma matriz n X n nao nula entao AA e 0 0 10 1 AA tém autovalores dominantes positivos 16 Requer Indugado Matematica Sejam A uma matriz Nos Exercicios 910 sao dados uma matriz A com um autova n X nex um vetor unitério em R e defina a sequéncia lor dominante e uma sequéncia Xp AXo A Xp Use as Férmulas X Xp 005 Xp Por 9 e 10 para aproximar o autovalor dominante e um autovetor ve associado x AXy X AX vey X AX 1 2 1 1 5 5 Axo Ax AX Il vale slsbhsE 201 0 2 4 Prove por inducgiio que x Ax Ax Ax 13 Ax 41 Ax 121 17 Requer Indugado Matematica Sejam A uma matriz 14 40 122 n X ne X um vetor nao nulo em R e defina a sequéncia 12 0 4 4 XXX por wel sEb GbE a x x PI 40 ge 22 maxAX maxAx AX AX AX Ax 13 4 121 x AI maxAx 11 Considere as matrizes AX 10 a Prove por indugao que A e X fo of 6 ts Xe maxAx onde x é um vetor unitario e a 0 Mostre que embora a matriz A seja simétrica e tenha um autovalor dominante a se 496 Algebra Linear com Aplicacées 93 Servicos de busca na Internet Os primeiros servicos de busca na Internet funcionavam verificando palavraschave e frases no titulo e no contetido das paginas de documentos postados Hoje os servicos de busca mais populares usam algoritmos que tém por base 0 método das poténcias para analisar as referéncias os hyperlinks entre documentos Nesta secao discutimos uma das maneiras como isso é feito O Google 0 mais utilizado servigo de busca da Internet foi desenvolvido em 1996 por Larry Page e Sergey Brin enquanto ambos eram pésgraduandos da Universidade de Stanford nos Estados Unidos O Google usa um procedimento conhecido como algorit mo PageRank para analisar como documentos em sites relevantes fazem referéncia uns aos outros Depois associa a cada site um escore PageRank armazena esses escores como uma matriz e usa os componentes do autovetor dominante dessa matriz para estabelecer a importancia relativa dos sites para a busca Google comega usando um servico de busca de texto padrao para encontrar um conjunto inicial S de sites que contém as paginas relevantes Como as palavras podem ter sentidos miultiplos tipicamente 0 conjunto S contém alguns sites irrelevantes e omite sites relevantes Para compensar isso 0 conjunto S é expandido para um conjunto S maior que inclui todos OS sites aos quais as paginas de sites em S fazem referéncia A premissa subjacente é que o conjunto S contera os sites mais importantes que estao relacionados a busca Esse processo é entao repetido um certo nimero de vezes para refinar ainda mais a informacao buscada Para sermos mais especificos vamos supor que 0 conjunto de busca S contenha n sites e vamos definir a matriz de adjacéncia de S como a matriz A a de tamanho n X nna qual a 1 seo site i faz uma referncia ao site j a 0 se 0 site i nao faz uma referncia ao site j Vamos supor que nenhum sife se refira a si mesmo de modo que todos os elementos na diagonal de A sao zero Matriz de adjacéncia Aqui temos uma matriz de adjacéncia tipica para um conjunto de busca S de quatro sites Site referido 12 3 4 0 0 1 1 1 A 1 0 0 02 Si faz ref 1 ite que faz referéncia 10 0 143 1 1 1 Oj 4 Assim 0 site 1 faz referéncia aos sites 3 e 4 0 site 2 faz referéncia ao site 1 e assim por diante 4 Um site pode desempenhar um destes papéis basicos no processo de busca 0 site pode ser um centro o que significa que ele faz referéncia a muitos outros sites ou uma autoridade 0 que significa que ele é referido por muitos outros sites Um dado site tipi camente pode ter propriedades tanto de centro quanto de autoridade por fazer referéncias e por ser referido Nota histérica O termo google é uma variacao da palavra inglesa googol que representa o numero 10 ou seja 1 seguido de 100 zeros Esse termo foi inventado em 1938 pelo matematico norteamericano Edward Kasner 18751955 e diz a lenda que 0 termo nasceu quando Kasner teria pedido a seu sobri nho de oito anos que desse um nome para um numero realmente grande e ele teria respondido googol Kasner continuou entado e também definiu um googolplex como sendo 10 1 seguido de googol zeros 9S Servigos de buscaina Internet 497 Em geral se A for uma matriz de adjacéncia de n sites entéo as somas das entradas de colunas medirao o aspecto autoridade dos sites e as somas das entradas de linhas me dirao o aspecto centro dos sites Por exemplo as somas das entradas de colunas da matriz em 1 sao 3 1 2 e 2 o que significa que o site é referido por trés outros sites 0 site 2 é referido por um outro site e assim por diante Analogamente as somas das entradas de linhas da matriz de 1 sao 2 1 2 e 3 de modo que o site 1 faz referéncia a dois outros sites 0 site 2 faz referéncia a um outro site e assim por diante Em vista disto se A for uma matriz de adjacéncia dizemos que o vetor hy das so mas das entradas de linhas de A 0 vetor centro inicial de A e 0 vetor a das somas das entradas de colunas de A é 0 vetor autoridade inicial de A Alternativamente podemos pensar em a como o vetor das somas das entradas de linhas de A o que acaba sendo mais conveniente para os calculos As entradas do vetor centro sao denominadas os pesos de centro e as do vetor autoridade os pesos de autoridade Vetores centro e autoridade iniciais de uma matriz de adjacéncia Encontre os vetores centro e autoridade iniciais da matriz de adjacéncia A do Exemplo 1 Solugao As somas das entradas de linhas de A fornecem o vetor centro inicial 2 Site1 1 Site 2 B 19 sites 2 3 Site 4 e as somas das entradas de linhas de A que sao as somas das entradas de colunas de A fornecem o vetor centro inicial 3 Site1 1 Site 2 0 101 site3 2 Site4 A contagem de referéncias no Exemplo 2 sugere que o site 4 o principal centro e que 0 site 1 é a maior autoridade Contudo 0 nimero de referéncias nao conta toda a histéria por exemplo parece razoavel que se 0 site 1 for considerado a maior autoridade entao os centros que fazem referéncia a esse site deveriam ter maior peso e se 0 site 4 for considerado o principal centro entao os sites aos quais esse centro faz referéncia deve riam ter maior peso Assim no processo de busca precisa ser levada em conta a interagao que existe entre centros e autoridades Em vista disso uma vez que 0 servico de busca calculou o vetor autoridade inicial ap ele usa a informacao nesse vetor para criar um novo vetor centro h e um novo vetor autoridade a usando as formulas Aa Ah h e a 7 4 Aay I Ah Os numeradores nessas fo6rmulas fazem as ponderagOes e as normalizagdes servem para controlar o tamanho das entradas Para entender como os numeradores efetuam as pon derag6es encare 0 produto Aa como uma combinagao linear dos vetores coluna de A com coeficientes de a Por exemplo com a matriz de adjacéncia do Exemplo e 0 vetor autoridade calculado no Exemplo 2 temos Site referido 1 2 3 4 001 1 3 0 0 1 1 4 Site1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 3 Site 2 1 9 0 1 fap F fap t fol 7o tA ti 5 sites 1 1 1 0 2 1 1 1 0 6 Site 4 498 Álgebra Linear com Aplicações Assim vemos que as referências a cada site referido são ponderadas pelos valores de au toridade em a0 Para controlar o tamanho das entradas o serviço de busca normaliza Aa0 para produzir o vetor centro atualizado O novo vetor centro h1 pode agora ser usado para atualizar o vetor autoridade usando a Fórmula 4 O produto A Th1 efetua a ponderação e a normalização controla o tamanho Uma vez obtidos um vetor centro h1 e um vetor autoridade a1 atualizados o serviço de busca repete o processo e calcula uma sucessão de vetores centro e autoridade gerando assim as sequências interrelacionadas Contudo cada uma dessas sequências é uma sequência de potências disfarçada Por exemplo substituindo a expressão de hk na expressão de ak obtemos o que significa que podemos reescrever 6 como 7 Analogamente podemos reescrever 5 como 8 Observação Nos exercícios pedimos para o leitor mostrar que A TA e AA T têm autovalores do minantes positivos Assim o Teorema 921 garante que 7 e 8 convergem para os autovetores 93 Servicos de busca na Internet 499 dominantes de AA e AA respectivamente As entradas desses autovetores sao os pesos de autorida de e de centro que 0 Google utiliza para ordenar os sites de busca em ordem de importancia como autoridades e centros Um procedimento de ordenamento Suponha que um servico de busca produza 10 sites da Internet em seu conjunto de busca e que a matriz de adjacéncia para esses sites seja Site referido 123 4 5 6 7 8 9 10 01001001 0 0 1 0000 100 0 0 0 2 0000 10 0 0 0 07 3 0000 01 1 0 0 0 4 A ooo ooo oT Oo Site que faz referéncia O01 1 1 100 1 0 1 6 00000000 0 1 7 0000 100 0 0 0 8 0000 0 10 0 0 0 9 0000 0 1 0 0 0 0 10 Use a Formula 7 para ordenar esses sites em ordem decrescente de autoridade Soluaéo Tomemos a como o vetor normalizado das somas das entradas de colunas de A e entao calculemos as iteradas em 7 até que os vetores autoridade paregam estabiliza dos Deixamos para o leitor mostrar que 0 0 2 027217 1 013608 1 013608 1 5 068041 0 7aq13 040825 1 013608 3 040825 0 0 2 027217 e que 0000 00 0 0 0 0 0 0 02 1 1 2 0 0 2 0 14 027217 326599 0 1 1 1 10 0 1 0 14 013608 190516 0 1 1 1 10 0 1 0 14 013608 190516 ATAa 021 15 00 2 0 14 068041 530723 000 0 0 3 10 0 0 040825 136083 000 0 0 1 10 0 Of 013608 054433 02112 003 0 1 040825 367423 0000000 0 0 0 0 0 0111 1 00 1 0 24 L027217 217732 500 Algebra Linear com Aplicacées Assim 0 0 326599 040056 190516 023366 190516 023366 AAa 1 530723 065090 a S Sé YsX A AAa 815362 136083 016690 054433 006676 367423 045063 0 0 217732 026704 Continuando dessa maneira obtemos as seguintes iteragdes de autoridade AAay AAa AAa AAa AAa AAa ay a Tl 7T a 7 a7 7 a a z ay aayay aAya aya Ada AAa 4Aa 0 0 0 0 0 0 0 Site 1 027217 040056 041652 041918 041973 041990 041990 Site 2 013608 023366 024917 025233 025309 025337 025337 Site 3 013608 023366 024917 025233 025309 025337 025337 Site 4 068041 065090 063407 062836 062665 062597 062597 Site 5 040825 016690 006322 002372 000889 000007 000002 Site 6 013608 006676 002603 000981 000368 000003 000001 Site 7 040825 045063 046672 047050 047137 047165 047165 Site 8 0 0 0 0 0 0 0 Site 9 027217 026704 027892 028300 028416 028460 028460 Site 10 AS pequenas variac6es entre a e a sugerem que as iteradas estabilizaram perto de um autovetor dominante de AA A partir das entradas de a concluimos que os sites 1 6 7 e 9 provavelmente sAo irrelevantes para a busca e que os demais sites deveriam ser acessados em ordem de importancia decrescente como site 5 site 8 site 2 site 10 e sites 3e4empate Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Matriz de adjacéncia e Encontrar os vetores centro e autoridade iniciais de uma e Vetor centro matriz de adjacéncia e Vetor autoridade e Usar o método de Exemplo 3 para ordenar sites e Pesos de centro e Pesos de autoridade Conjunto de exercicios 93 Nos Exercicios 12 encontre os vetores centro e autoridade 2 Site referido iniciais da matriz de adjacéncia A 123 4 1 Site referido 0 1 0 11 1 23 1 0 0 12 ne A Site que faz referéncia 00 11 1 0 0 113 A1 0 1 2 Site que faz referéncia 1 1 1 04 1 0 13 94 Comparagao de procedimentos para resolver sistemas lineares 501 Nos Exercicios 34 encontre os vetores centro e autoridade 7 Site referido atualizados h e a da matriz de adjacéncia A 1234 5 3 A matriz do Exercicio 1 Oo 1 1 1 071 4 A matriz do Exercicio 2 1 0 0 0 142 A0 0 0 O 1 3 Site que faz referéncia Nos Exercicios 58 é dada a matriz de adjacéncia A de um servico de busca na Internet Use 0 método do Exemplo 3 para or 0 1 0 0 04 denar os sites em ordem decrescente de autoridade 0 1 1 0 045 5 Site referido 8 Site referido 1234 123 4 5678 9 10 00 1 011 0 1 1 01 1 0 0 0 1 1 1 0 0 02 00 1 00 0 0 0 0 Of 2 A 1 10 03 Site que faz referéncia 0000000 0 0 13 01 0 04 0 1 1 00 1 1 0 0 14 4 6 Site referido A 00 0 T0000 0 07 5 Site que faz 0 10 0 0 0 0 0 0 O 6 referéncia 123 4 000000 0 0 1 04 7 Or Tr ojt 000 00 1 0 0 0 0 8 Aao oO OT Site que faz referencia 011001010 149 000 00 1 0 0 0 0 10 1 0 0 04 94 Comparacao de procedimentos para resolver sistemas lineares Existe um velho ditado que diz que tempo é dinheiro Isso é especialmente valido na industria onde o custo de resolver um sistema linear é muitas vezes determinado pelo tempo que um computador leva para executar seus calculos Em geral 0 tempo de computagao depende de dois fatores a velocidade do processador e 0 numero de operag6es exigidas pelo algoritmo Assim a escolha do algoritmo correto tem implicagées financeiras importantes num contexto industrial ou de pesquisa Nesta segao discutimos alguns dos fatores que afetam a escolha do algoritmo na resolucao de sistemas lineares de grande escala No jargao computacional uma operagao aritmética entre dois nimeros reais Flops e o custo de resolucao é denominada um flop que é um acrénimo em inglés para operacgao pontoflutuante de um sistema linear O ntmero total de flops necessdrios para resolver um problema que é denominado o custo da solucao fornece uma maneira conveniente de escolher entre varios algoritmos para resolver o problema Se a velocidade do processador do computador e os aspectos financeiros de suas operagdes forem conhecidos podemos converter quando necessario o custo em flops para unidades de tempo ou dinheiro Por exemplo muitos dos compu tadores pessoais de hoje s4o capazes de executar cerca de 10 gigaflops por segundo 1 gigaflop 10 flops Assim um algoritmo que custa 1000000 flops seria executado em 00001 segundos Os computadores armazenam os ntimeros reais como aproximacgées numéricas denominadas niimeros ponto flutuantes Na base 10 um nimero pontoflutuante tem a forma 0 ddd X 10 em que m um inteiro denominado mantissa e n o nimero de digitos 4 direita da virgula decimal O valor de n varia com 0 com putador Em alguns livros o termo flop é utilizado como uma medida de velocidade do processador e significa operagoes pontoflutuantes por segundo Neste livro interpretamos flop como uma unidade de contagem 502 Algebra Linear com Aplicacdes Para ilustrar o calculo do custo em flops vamos calcular o nimero de flops neces sarios para resolver um sistema linear de n equacg6des em n incdgnitas por eliminagao de GaussJordan Para isso utilizamos as seguintes formulas para a soma dos n primeiros inteiros positivos e a soma dos quadrados dos n primeiros nimeros inteiros positivos como segue nn 1 1243n 7 1 nn 12n 1 2 2 2 2 1 2 3 2 6 Seja Ax b um sistema linear de n equagdes em n incégnitas a ser resolvido por eli minagao de GaussJordan ou equivalentemente eliminagd4o gaussiana com retrossubs tituigao Para simplificar vamos supor que A seja invertivel e que trocas de linhas nao sejam necessérias para reduzir a matriz aumentada A b 4 forma escalonada por linhas Os diagramas que acompanham a andlise a seguir fornecem uma maneira conveniente de contar as operagOes necess4rias para introduzir um piv6 na primeira linha e zeros abaixo do pivé Na nossa contagem de operagdes vamos agrupar produtos com divis6es como multiplicagdes e somas com subtragdes como adiées Passo 1 Sao necessarios n flops multiplicag6es para introduzir um piv6 na primeira linha 1 xk kK kK x x e e e tte e e e oo e 15 x denota uma quantidade que esta sendo calculada e denota uma quantidade que nao esta sendo calculada O tamanho da matriz aumentada én X n 1 e e e tte e e e e e e tte e e e Passo 2 Sao necessarias n multiplicag6es e n adig6es para introduzir um zero abaixo do piv6 e existem 1 linhas abaixo do pivé de modo que sao necessarios 2nn 1 flops para introduzir os zeros abaixo do pivé le e e efe O xX K xk KI xX O x K kK xK xX O xX Kk kK x Ix O xX K kK x x Coluna 1 Combinando os passos e 2 o nimero de flops necessarios para a co luna é 2 n 2nn12nn Coluna 2 O procedimento para a coluna 2 é 0 mesmo que para a coluna 1 exceto que agora estamos tratando com uma linha a menos e uma coluna a menos Assim o numero de flops necessarios para introduzir o pivé na linha 2 e os zeros abaixo do 94 Comparacao de procedimentos para resolver sistemas lineares 503 pivé pode ser obtido substituindo n por n 1 na contagem de flops da primeira colu na Assim o nimero de flops necessarios para a coluna 2 é 24n 1 n1 Coluna 3 Pelo argumento usado para a coluna 2 o numero de flops necessarios para a coluna 3 é 2n 2 n 2 Total para todas as colunas O padrao deveria estar claro agora O numero total de flops necessarios para criar 0s n pivds e os zeros associados é 2n n 2n 1 n 1 2 2 22 FQD que pode ser reescrito como Qin n 1 1 ntD t 1 ou aplicando as Férmulas 1 e 2 como nnt1Qn41 nl 2 1 21 2 an tan cn 6 2 3 2 6 Agora passamos a contar o nimero de operag6es necessarias para completar a fase inversa Colunan Sao necessarias n multiplicagdes en adicées para introduzir os zeros acima do piv6 da enésima coluna de modo o ntmero total de flops para essa coluna é 2n 1 1 e e e 0 x 0 le e 0 x 0 0 1 e 0 x 000 1 0 x 000 0 lje Coluna n 1 O procedimento é o mesmo que para o Passo 1 exceto que agora estamos tratando com uma linha a menos Assim o nimero de flops necessarios para acoluna n 1 é2n 2 le e 0 0 x O 1 e 0 0 x 0 0 1 0 0 x 000 1 Oje 000 0 lje Coluna 2 Pelo argumento para a coluna n 1 o numero de flops necessa rios para a coluna n 2 2n 3 Total O padrao deveria estar claro agora O ntimero total de flops necess4rios para completar a fase inversa é 2n 1 An 2 An 3 2nn 2W 1424n 504 Algebra Linear com Aplicacées que pode ser reescrito usando a Férmula 1 como 2 nnt 2 2n n n 2 Resumindo mostramos que o numero de flops necessdarios para a eliminagao de GaussJordan em suas duas fases é flops na fase direta in in in 3 flops na fase inversa nn 4 Assim 0 custo total para resolver um sistema linear pela eliminagdo de GaussJordan é 234327 flops nas duas fases n n gn 5 Estimativas do custo de Uma propriedade dos polindmios é que a maior contribuigaéo para o valor do polindmio resolucao de sistemas dada pelo termo de maior grau quando calculado em valores grandes da varidvel inde lineares grandes pendente Assim para sistemas lineares grandes podemos usar 3 e 4 para aproximar o numero de flops nas duas fases como flops na fase direta an 6 flops na fase inversa n 7 Isso mostra que para sistemas lineares grandes a fase direta custa mais do que a inversa De fato pode ser enorme a diferenga do custo entre as duas fases como mostra 0 pr6ximo exemplo Custo de resolver um sistema linear grande Aproxime o tempo necessario para executar cada fase da eliminagao de GaussJordan num sistema de 10000 10 equagdes em 10000 incégnitas usando um computador que consiga executar 10 gigaflops por segundo Solugao Temosn 10 no sistema dado de modo que usando 6 e 7 os nimeros de gigaflops necessarios para as duas fases sao dados por gigaflops na fase direta in x 10 210 x 10 x 10 gigaflops na fase inversa n X 10 10 X 10 10 Assim com 10 gigaflops por segundo os tempos de execucao de cada fase sao tempo da fase direta 4 x 10 x10 s 66675 tempo da fase inversa 10X 10 s00ls Deixamos como um exercicio confirmar os resultados na Tabela 1 Consideracées sobre a Os métodos da decomposigao LU e da eliminagao de GaussJordan diferem na contabili escolha do algoritmo para dade mas exceto por isso envolvem o mesmo ntimero de flops na resolugao de um tinico resolucao de sistemas lineares sistema linear Ax b de n equagdes em n incdgnitas Assim nenhum dos dois métodos 94 Comparagao de procedimentos para resolver sistemas lineares 505 tem uma vantagem sobre o outro quanto ao custo Contudo a decomposiao LU tem ou tras vantagens que o tornam o método preferido como segue e A eliminagao de GaussJordan e a eliminacdo gaussiana usam a matriz aumentada A b portanto precisamos conhecer b Por outro lado a decomposigao LU usa somente a matriz A de modo que uma vez conhecida essa decomposiao podemos utilizala com qualquer numero de lados direitos um de cada vez e A decomposicéo LU que é calculada para resolver Ax b pode ser utilizada para 1 ss os calcular A se for necessario com pouco trabalho adicional e Para sistemas lineares grandes nos quais a memoria do computador é muito solicita da podemos dispensar 0 armazenamento dos pivés e zeros que aparecem na diagonal principal de U e abaixo dela j4 que essas entradas so conhecidas a partir do formato de U O espaco que isso abre pode entao ser utilizado para armazenar as entradas de L e com isso reduzir a quantidade de memoria requerida para resolver 0 sistema e Se A for uma matriz grande consistindo em quase que s6 zeros e se as entradas nao nulas de A estiverem concentradas numa faixa ao longo da diagonal principal entao existem técnicas que podem ser usadas para reduzir o custo da decomposiao LU dando a decomposicgao LU uma vantagem sobre a eliminacgdo de GaussJordan Tabela 1 Custo aproximado para uma matriz A de tamanho n X ncom n grande Algoritmo Custo em flops Eliminacgao de GaussJordan fase direta x n Eliminag4o de GaussJordan fase inversa n O custo em flops da eliminagao Decomposigao LU de A 23 3 gaussiana é igual ao da fase di Substituicgao direta para resolver Ly b n reta da eliminago de Gauss Substituicdo inversa para resolver Ux y n Jordan A reduzindo A IJaZ A 2n CAlculo de A7b 2n Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Flop e Calcular o custo da resolucao de um sistema linear pela e Formula para a soma dos n primeiros inteiros positivos eliminagao de GaussJordan e Formula para a soma dos quadrados dos n primeiros e Aproximar 0 tempo necess4rio para executar as duas fases inteiros positivos da eliminacao de GaussJordan e Custo em flops da resolucao de sistemas lineares grandes e Aproximar o tempo necessario para encontrar uma por varios métodos decomposicao LU de uma matriz e Custo em flops para inverter uma matriz por reducao por e Aproximar 0 tempo necess4rio para encontrar a inversa de linhas uma matriz invertivel Quest6es para considerar na escolha de um algoritmo para resolver sistemas lineares grandes 506 Algebra Linear com Aplicacdes Conjunto de exercicios 94 1 Um certo computador consegue executar 10 gigaflops por estimativa do tempo necessario para executar a operagao dada segundo Em cada caso use a Formula 5 para encontrar o com uma matriz invertivel A de tamanho 100000 x 100000 tempo necessario para resolver o sistema usando eliminagao a Executar a fase direta da eliminacdo de GaussJordan de GaussJordan b Executar a fase inversa da eliminag4o de GaussJordan istema de 1 6 1000 incégnitas a Um sistema de 1000 equagdes em 1000 incdgnitas c Obter uma decomposicao LU de A b istema de 10 6 10000 incégnitas b Um Is ema de 10000 equagoes em 10000 incognt as 4 Encontrar A reduzindo A ay A 4 c Um sistema de 100000 equagdes em 100000 incognitas 5 a Obtenha uma aproximacao do tempo necessério para 2 Um certo computador consegue executar 100 gigaflops por executar a fase direta da eliminagio de GaussJordan segundo Em cada caso USE a Formula 5 para encontrar num sistema de 100000 equagdes em 100000 incég tempo necessario para resolver o sistema usando eliminacao nitas usando um computador que consiga executar 1 de GaussJordan gigaflop por segundo Faga o mesmo com a fase indireta a Um sistema de 10000 equagées em 10000 incdgnitas Ver Tabela 1 b Um sistema de 100000 equagdes em 100000 incdgnitas b Um computador deve ser capaz de executar quantos giga c Um sistema de 1000000 equacdes em 1000000 flops por segundo para encontrar a decomposigao LU de inc6gnitas uma matriz de tamanho 10000 10000 em menos de dos Ver Tabela 1 3 Os computadores pessoais de hoje conseguem executar 70 gi 05 segundos Ver Tabela 1 gaflops por segundo Em cada caso use a Tabela para obter 6 Um computador deve ser capaz de executar quantos teraflops uma estimativa do tempo necessério para executar a operacio por segundo para encontrar a inversa de uma matriz de tama dada com uma matriz invertivel A de tamanho 10000 X nho 100000 X 100000 em menos de 05 segundos 1 tera 10000 flop 10 flops a Executar a fase direta da eliminacgao de GaussJordan Nos Exercicios 710 A e B siio matrizes n X nec é um nt b Executar a fase inversa da eliminaca4o de GaussJordan mero real c Obter uma decomposigao LU de A 7 Quantos flops sao necessarios para calcular cA d Encontrar A reduzindo A Tjal A 8 Quantos flops s4o necessarios para calcular A B 4 Ocomputador Roadrunner da IBM consegue operar a ve 9 Quantos flops sao necessarios para calcular AB locidades superiores a um petaflops por segundo 1 petaflop 10 Supondo que A seja uma matriz diagonal e k um inteiro positi 10 flops Em cada caso use a Tabela 1 para obter uma vo quantos flops sao necessarios para calcular A 95 Decomposicao em valores singulares Nesta segao discutimos uma extenso da teoria de diagonalizagao de matrizes n X n simétricas para matrizes m X n arbitrarias Os resultados que desenvolvemos nesta secao tém aplicagdes 4 compressdo ao armazenamento e a transmissao de informagao digitalizada e formam a base de muitos dos melhores algoritmos computacionais que estao atualmente disponiveis para resolugao de sistemas lineares Decomposicées de matrizes Vimos na Formula 2 da Sego 72 que qualquer matriz simétrica A pode ser expressa quadradas como A PDP 1 em que P é uma matriz ortogonal n X n de autovetores de A e D é a matriz diagonal cujas entradas diagonais sao os autovalores associados aos vetores coluna de P Nesta secao vamos dizer que 1 é uma decomposicdao em autovalores de A abreviada pelas iniciais em inglés EVD de A Se uma matriz A de tamanho n X n nao for simétrica entao no existe uma decompo sigéo em autovalores mas existe uma decomposicdo de Hessenberg A PHP 95 Decomposicao em valores singulares 507 na qual P é uma matriz ortogonal e H é uma matriz de Hessenberg superior Teorema 724 Além disso se A tiver autovalores reais existe ainda uma decomposicao de Schur T A PSP em que P é uma matriz ortogonal e S é triangular superior Teorema 723 As decomposicdes em autovalores de Hessenberg e de Schur sao importantes em algoritmos numéricos nao sé porque as matrizes D H e S tém formatos mais simples do que A mas também porque as matrizes ortogonais que aparecem nessas fatoragdes nao aumentam os erros de arredondamento Para ver isso suponha que X seja um vetor coluna cujas entradas sao conhecidas exatamente e que xXe seja o vetor que resulta quando ocorrem erros de arredondamento nas entradas de X Se P for uma matriz ortogonal entao a propriedade de preservacao de comprimentos de vetores por transformag6es ortogonais implica Px Px x x lell 0 que nos diz que o erro em aproximar PX por Px tem a mesma magnitude que o erro de aproximar X por x Existem dois caminhos principais para percorrer na procura de outros tipos de fatora ao de uma matriz quadrada A arbitraria Poderfamos procurar fatoragdes da forma 1 A PJP em que P é invertivel mas nao necessariamente ortogonal ou poderfamos procurar fato ragdes da forma AU3V em que U e V sao ortogonais mas nao necessariamente iguais O primeiro caminho leva a fatoragdes em que J ou diagonal ou um certo tipo de matriz diagonal em blocos denominada forma canénica de Jordan em homenagem ao matematico francés Camil le Jordan ver pagina 510 As formas candnicas de Jordan que nao serao consideradas neste texto tém importancia na teoria e em certas aplicagdes mas s40 menos importantes numericamente por causa de dificuldades de arredondamento que decorrem da falta de ortogonalidade de P Nesta sec4o nos concentramos no segundo caminho Como os produtos de matrizes do tipo AA desempenham um papel importante no nosso Valores singulares trabalho comecamos com dois teoremas basicos relativos a essas matrizes TEOREMA 951 Se A for uma matrizm X n entdo a AeAA témo mesmo espago nulo T A b AeAA témo mesmo espago linha c A e AA tém o mesmo espaco coluna d Ae AA tém o mesmo posto Provamos a parte a e deixamos as demais provas como exercicios Prova a Devemos mostrar que cada solucdo de Ax 0 é uma solucio de AAx Oe viceversa Se x for uma solugao qualquer de Ax 0 entao x também é solucao de AAx 0 pois T T T A Ax A Ax A 00 Reciprocamente se x for uma solucao qualquer de AAx 0 entdo X esta no espaco nulo de AA e é portanto ortogonal a todos os vetores do espaco linha de AA pela parte q do 508 Algebra Linear com Aplicacdes Teorema 4810 No entanto AA é simétrica de modo que X ortogonal a cada vetor no espaco coluna de AA Em particular X deve ser ortogonal ao vetor AAX ou Sseja X AAx 0 Usando a primeira f6rmula da Tabela da Secao 32 e as propriedades do operador de transposiao podemos reescrever isso como XAAX AX AX9 AX AX IAXll 0 0 que implica Ax 0 provando que x uma solugdo deAx 0 4 TEOREMA 952 Se A for uma matrizm X n entdo a AA é ortogonalmente diagonalizdvel b Os autovalores de AA so nao negativos Prova a A matriz AA por ser simétrica é ortogonalmente diagonalizavel pelo Teo rema 721 Prova b Como AA é ortogonalmente diagonalizavel existe alguma base ortonormal de R consistindo em autovetores de AA digamos V VVSeAAA forem os autovalores correspondentes entéo dado qualquer 1 i n temos Av Av Av v ATA Férmula 26 da Secdo 32 v Ajv AV V A lly ll A Segue dessa relagéo queA0 4 Em toda esta sego vamos su DEFINICAO 1 Se A for uma matriz m X ne A A A 0s autovalores de AA por que os autovalores de AA entdo os ntimeros estéo nomeados de tal forma que A2A22A 0 oVA 02 Vr2 On VAn 17 2 n e portanto que sao denominados valores singulares de A 02022020 Valores singulares Encontre os valores singulares da matriz 1 1 0 1 1 0 Soluao O primeiro passo é encontrar os autovalores da matriz 1 0 1 tl 2 1 aaa i 0 1 i 1 0 O polinémio caracteristico de AA é A4A 3 A3A1 de modo que os autovalores de AA sio A 3e A 1 os valores singulares de A em ordem decrescente de tamanho sao o VA V3 OoVrA 1 95 Decomposigao em valores singulares 509 Antes de passar ao resultado principal desta segao convém estender a nogao de diagonal Decomposicao em valores principal para matrizes que nao sao quadradas Definimos a diagonal principal de uma singulares matriz m X n como a fileira de entradas mostrada na Figura 951 que comega no canto x xX X X XK X superior esquerdo e se estende diagonalmente até onde for possivel Dizemos que as en Nene tradas nessa diagonal principal sdo as entradas diagonais da matriz xxx XXX X Agora estamos prontos para considerar o resultado principal desta segao que diz res xxx x x x peito a uma maneira especifica de fatorar uma matriz A arbitraria de tamanho m X n Essa x KX fatoragdo denominada decomposigao em valores singulares de A que abreviamos com as xx xX X iniciais em inglés SVD de A sera dada em duas vers6es uma curta que captura a ideia prin xx x cipal e uma expandida que fornece todos os detalhes A prova sera dada ao final desta segao x X X x xX X X x xX X X TEOREMA 953 Decomposicao em valores singulares x x xX xX Se A for uma matrizm X n entdo A pode ser expressa como Diagonal principal AUXV Figura 951 em que U e V sao matrizes ortogonais e é uma matrizm X n cujas entradas diago nais sao os valores singulares de A e cujas demais entradas sao nulas ae e TEOREMA 954 Decomposicao em valores singulares versao expandida Se A for uma matrizm X n de posto k entado A pode ser fatorada como 3 v e vi Oo 0 Per 0 7 Sg Vv Looe kxnb T i i i 7 yN AUV u u ore u Ups see u 0 0 o Vi Harry Bateman ie T Veet 18821946 Oonwxk Oon9xn Nota historica O termo valor sin aa gular é aparentemente devido ao matematico Harry Bateman nascido na Inglaterra que o utilizou num arti em que U e Vtém tamanhosm XmmXnen Xn respectivamente e satisfazem as go cientifico publicado em 1908 Em condigées seguintes 1910 Bateman emigrou para os Es T tados Unidos lecionando na Escola a Vlv V v diagonaliza ortogonalmente AA Bryn Mawr na Universidade Johns b As entradas diagonais ndéo nulas de X sGo oVJX 0Vd ropkins inelmente me Instituto Tee T nologico da WUailltornia interessante o VA sendo XA os autovalores ndo nulos de A A associados aos observar que ele recebeu seu dou vetores coluna de V torado em Johns Hopkins em 1913 c Os vetores coluna de V sao ordenados de tal modo que ZA 22A 0 quando ja era um matematico eminen te com 60 publicagées cientificas AV 1 Imagem Cortesia dos Arquivos do d u Ay i 12k California Insti 7 titute of Technol Av 0 alitoria institute oF lecnno ogy e uUU é uma base ortonormal de coA f u UW U U U uma extensdo de U U U a uma base Os vetores U U U S40 de nominados vetores singulares a esquerda de A V V Vis os vetores singulares a direita de A 510 Algebra Linear com Aplicacées EXEMPLO 2 Decomposigao em valores singulares se A nao for quadrada Encontre uma decomposi4o em valores singulares da matriz 1 1 A0 1 1 0 Solugdo Mostramos no Exemplo que os autovalores de AA sao A 3eA leque os valores singulares de A sio 0 V3 e a 1 Deixamos para o leitor verificar que v2 v2 2 2 v e Wy v2 v2 2 2 sao autovetores associados a A A respectivamente e que V v v diagonaliza AA ortogonalmente Pela parte d do Teorema 954 os vetores v6 1 1 J2 3 1 J3 u Av 0 1 1 tr of Le 2 v6 6 0 1 1 1 V2 2 2 u Av 10 1 2 O v2 1 0 2 v2 2 e Nota historica A teoria da decomposiao em valores singulares pode ser tra F cada até o trabalho de cinco pessoas o matematico italiano Eugenio Beltra aa eae mi 0 matematico francés Camille Jordan o matematico inglés James Sylvester yr ss ver pagina 34 e os matematicos alemaes Erhard Schmidt ver pagina 360 e 2 a Herman Weyl Mais recentemente os esforcos pioneiros do matematico norte BN americano Gene Golub produziram um algoritmo estavel e eficaz para calcula 4 ey b la Beltrami e Jordan foram os pais da decomposigao sendo que em 1873 Ps A 2 Sto j Beltrami deu uma prova para o caso de matrizes reais invertiveis com valores VA 2 exe 5 singulares distintos Subsequentemente Jordan refinou a teoria e eliminou as N f b S fs a restrigdes desnecessarias impostas por Beltrami Sylvester aparentemente des Ea AE 4 conhecendo o trabalho de Beltrami e Jordan redescobriu o resultado em 1889 i ae e indicou sua importancia Schmidt foi a primeira pessoa a mostrar que a de composicao em valores singulares poderia ser usada para aproximar uma matriz Eugenio Beltrami Camille Jordan por outra de posto menor e ao fazer isso ele transformoua de uma curiosidade 18351900 18381922 matematica numa importante ferramenta pratica Weyl mostrou como encontrar a aproximagao de posto menor na presenga de erro pee Imagens Wikipedia Beltrami The Granger Collection New York Jordan Lf 4 F Cortesia de Electronic Publishing Services Inc New York Weyl f rs Wikipedia Golub j eS BS OR ae Ws x 5 Be fh b A s F Zs Bi a 3 2 Herman Klaus Weyl Gene H Golub 18851955 1932 95 Decomposicao em valores singulares 511 sao dois dos trés vetores coluna de U Observe que u e u sao ortonormais como esperdvamos Poderfamos estender 0 conjunto u u a uma base ortonormal de R Contudo os calculos simplificam se primeiro removermos as incémodas raizes mul tiplicando u e u por escalares apropriados Assim procuramos um vetor unitario u ortogonal a 2 0 vou1 e V2u1 1 1 Para satisfazer essas duas condigoes de ortogonalidade o vetor u deve ser uma solugao do sistema linear homogéneo x 2 1 1 0 Xx 01 1 0 x3 Deixamos para o leitor mostrar que uma solucao geral desse sistema é x l xXt 1 X 1 Normalizando o vetor do lado direito obtemos V3 1 u W aa V3 Assim a decomposigao em valores singulares de A é v6 go t 11 3 BIT ofwa ww o 1f 2 0 1 7 6 2 V3 v2 V2 1 0 Vb 2 1 0 0 2 2 6 2 V3 A U x v O leitor pode querer confirmar a validade dessa equacgd4o multiplicando as matrizes do lado direito 4 Concluimos esta segéo com uma prova opcional do Teorema 954 OPCIONAL Prova do Teorema 954 Para simplificar a notag4o vamos provar o teorema no caso em que A é uma matriz n X n Para estender 0 argumento para uma matriz m X n basta ajustar a notacdo usada para levar em conta as possibilidades m n oun m A matriz AA é simétrica portanto possui uma decomposiio em autovalores AA VDV em que os vetores coluna de V yy voles TY s4o autovetores unitdrios de AA e D é a matriz diagonal cujas entradas diagonais suces sivas AAA 40 os autovalores de AA que correspondem em sucesso aos vetores coluna de V Como A tem posto k por hipdtese segue do Teorema 951 que AA também 512 Algebra Linear com Aplicacées tem posto k Segue disso que também D tem posto k por ser semelhante a AA e 0 posto ser um invariante de semelhanga Assim podemos escrever D como d 0 dr D hy 2 0 0 0 em que A 2A 2A 0 Agora considere 0 conjunto de imagens Av AvAv 3 Esse conjunto ortogonal pois se i j entao a ortogonalidade de v e v implica Tay Av Av vAAvVvAjv A VV 0 Além disso os k primeiros vetores em 3 sao nao nulos pois mostramos na prova do Teorema 952b que Av A comi 1 2 e estamos supondo que as k primeiras entradas diagonais em 2 sao positivas Assim S Av AvAv é um conjunto ortogonal de vetores nado nulos no espaco coluna de A Mas 0 espago colu na de A tem dimensAo k pois posA posAA k e portanto sendo um conjunto linearmente independente de k vetores S necessariamente é uma base ortogonal de colA Normalizando esses vetores em S obtemos uma base ortonormal u U u de colA em que AV lA ik AV is Avi VA ou equivalentemente Av VA ou AV VAM oW AV VAU o 4 Segue do Teorema 636 que podemos estender isso a uma base ortonormal UUUU4U de R Sejam agora U a matriz ortogonal Uu wie Y Uy os Ul e a matriz diagonal o 0 Oo O 0 0 0 95 Decomposicao em valores singulares 513 Segue de 4 e do fato de que Av 0 comi k que UXou ou ou O JO Av Av Av Av Av AV que usando a ortogonalidade de V pode ser reescrito como A USV 4 Revisao de conceitos e Valores singulares e Decomposicao em autovalores e Entradas diagonais de uma matriz que nao é quadrada e Decomposicao de Hessenberg e Decomposicao em valores singulares e Decomposicao de Schur sm Posig Aptidées desenvolvidas e Magnitude do erro de arredondamento r e Encontrar os valores singulares de uma matriz m X n e Propriedades comuns aA eAA x e Encontrar uma decomposic4o em valores singulares de e AA ortogonalmente diagonalizavel uma matriz m X n e Os autovalores de AA sao nao negativos Conjunto de exercicios 95 Nos Exercicios 14 encontre os valores singulares distintos 16 Sejam T R R uma transformacao linear cuja matriz de A 3 0 can6nica A tem uma decomposicéo em valores singulares 1Al 2 0 2 AUSVeBvVVeB uuu 0 4 os vetores coluna de Ve U respectivamente Mostre que 1 2 v2 0 Tyo 3 A 2 I 4 A 1 v2 17 Mostre que os valores singulares de AA sao os quadrados dos valores singulares de A Nos Exercfcios 512 encontre uma decomposicao em valores 18 Mostre que se A UV for uma decomposiao em valores singulares de A singulares de A entio U diagonaliza AA ortogonalmente 1 1 vo 5 A 1 6 A Exercicios verdadeirofalso Nas partes ag determine se a afirmacao é verdadeira ou falsa 4 6 3 3 justi A 8 A justificando sua resposta 0 4 33 a Se A for uma matriz m X n entao A A é uma matriz m X n 2 2 b Se A for uma matriz m X n entio AA é uma matriz simétri 2 l 2 9 A1 1 10 a ca 2 2 2 I 2 c Se A for uma matriz m X n ent3o os autovalores de AA sdo nuimeros reais positivos 1 0 6 4 d Se A for uma matriz n X n entao A é ortogonalmente 11 A 1 1 12A0 0 diagonalizavel 1 1 4 0 e Se A for uma matriz m X n entio AA é ortogonalmente 13 Prove se A for uma matriz m X n entao AAe AA temo diagonalizavel mesmo posto f Os autovalores de AA sao valores singulares de A 14 Prove a parte d do Teorema 951 usando a parte a desse g Qualquer matriz m X n tem uma decomposico em valores teorema e 0 fato de que A e AA tém n colunas singulares 15 a Prove a parte b do Teorema 951 mostrando primeiro que linAA um subespaco de linA b Prove a parte c do Teorema 951 usando a parte b 514 Algebra Linear com Aplicagdes 96 Compressao de dados usando decomposicao em valores singulares A transmissao e 0 armazenamento eficientes de grandes quantidades de dados digitalizados tém se tornado um dos maiores problemas de nosso mundo tecnolégico Nesta segao discutimos o papel desempenhado pela decomposicao em valores singulares na compressao de dados digitalizados de modo que possam ser transmitidos mais rapidamente e que ocupem menos espaco de armazenamento Nesta segdo vamos supor que 0 leitor tenha lido a Seco 95 Decomposicao em valores Algebricamente as linhas e as colunas nulas da matriz no Teorema 954 sao supérfluas singulares reduzida podem ser eliminadas multiplicandose por extenso a expressao U V r por meio de multiplicagaéo em blocos e subdividindose as matrizes conforme indicado naquela f6r mula Os produtos que envolvem blocos nulos como fatores desaparecem restando ve o 0 O 0 o Of v Au u ul a 1 0 0 oO vi que é denominada uma decomposicdo em valores singulares reduzida de A Neste livro denotamos as matrizes do lado direito de 1 por U 2 e V s respectivamente e escreve mos essa equacgao como T AU2V 2 Observe que os tamanhos de U e vi stom Xkk X kek X n respectivamente e que a matriz é invertivel j4 que suas entradas diagonais sAo positivas Multiplicando o lado direito de 1 por colunas e linhas obtemos Aouy ouv ouV 3 que é denominada expansdo em valores singulares reduzida de A Esse resultado é apli cavel a qualquer matriz ao passo que a decomposicao espectral Férmula 7 da Secao 72 aplicdvel somente a matrizes simétricas Observacaéo Pode ser provado que uma matriz M de tamanho m X n tem posto se e s6 se pode ser fatorada como M uv em que u um vetor coluna em R e V é um vetor coluna em R Assim uma decomposigéo em valores singulares reduzida expressa uma matriz A de posto k como uma combinagao linear de k matrizes de posto 1 EXEMPLO 1 Decomposigao em valores singulares reduzida Encontre uma decomposiao em valores singulares reduzida e uma expansao em valores singulares reduzida da matriz 1 1 A0 1 1 0 96 Compressao de dados usando decomposiao em valores singulares 515 Solucao No Exemplo 2 da Secao 95 encontramos a decomposiao em valores singu lares v6 go t 11 BI V3 0 fv v2 2 2 0 1f 2 a 0 1 1 0 6 a NB 2 fi 4 ve 2 aL 0 CPL 6 2 V3 A U x v Como A tem posto 2 verifique segue de 1 com k 2 que a decomposicao em valores singulares reduzida de A correspondente a 4 é vo 0 11 J3 0 v2 v2 0 1jv x2 1 0 6 2 O 1 v2 v2 ve v2 6 2 Isso fornece a expansao em valores singulares reduzida v6 11 3 0 T T v2 j sou tomy V382 BJ a e 2 1 ve 6 B VB 33 0 0 1 1 vV38 B ay7 3 1 1 YB v3 7 73 Z Z 2 2 Observe que as matrizes na expansdo tém posto 1 como é de se esperar 4 As decomposig6es em valores singulares podem ser utilizadas para comprimir informa Compressao de dados e ao visual com o objetivo de reduzir seu espago de armazenamento e acelerar sua trans processamento de imagens missao eletrénica O primeiro passo na compressdo de uma imagem visual é representala como uma matriz numérica a partir da qual a imagem possa ser recuperada quando for necessario Por exemplo uma fotografia em preto e branco pode ser escaneada como um arranjo retangular de pixels pontos e armazenada como uma matriz A associando a cada pixel um valor numérico de acordo com seu tom de cinza Se utilizarmos 256 niveis de cinza sendo 0 branco e 255 preto entao as entradas na matriz seraéo nimeros inteiros entre 0 e 255 A imagem pode ser recuperada a partir da matriz A imprimindo ou exibindo os pixels com seus niveis de cinza associados We i EN ib WY Nota historica Em 1924 o FBI norteamericano comecou a colecionar ae f EN Be Ge impress6es digitais e de maos tendo atualmente mais de 30 milhées de Soe Aa Ae m tais impressées arquivadas Para reduzir 0 custo de armazenagem em FO aaa PS 1993 o FBI comecou a trabalhar com o Laboratorio Nacional de Los Ala STUN SSA ANE CPM OaNcegay 1 rb BCT JT mos o Instituto Nacional de Padrées dos Estados Unidos e outros grupos Ey IE para conseguir métodos de compressao para arquivar as impressdes em Ss SZ formato digital A figura dada mostra uma impressao digital original e uma Original Reconstrucaio reconstrugao a partir de informaao digital comprimida na taxa de 261 516 Algebra Linear com Aplicacées Se a matriz A tiver tamanho m X n entéo poderiamos armazenar cada uma de suas mn entradas individualmente Um procedimento alternativo é calcular a decomposigéo em valores singulares reduzida T A oy touuv Ouy 3 na qual o 0 o e armazenar os niimeros o e os vetores ue v Quando for pre ciso a matriz A e portanto a imagem que representa pode ser reconstruida a partir de 5 Como cada vetor u tem m entradas e cada vetor v tem n entradas esse método requer espaco de armazenamento para kmknkkmn1 numeros Suponha entretanto que os valores singulares o 0 sejam suficien temente pequenos a ponto de poderem ser ignorados em 5 e produzam assim uma aproximacao aceitavel A T T T 6 y OV UV OMY 6 de A e da imagem que A representa Dizemos que 6 é a aproximagdao de posto r de A Essa matriz requer espaco de armazenamento para apenas rm mtrrmnet 1 numeros ao contrario dos mn nimeros requeridos para um armazenamento entrada a entrada de A Por exemplo uma aproximagao de posto 100 de uma matriz A de tamanho 1000 x 1000 requer espacgo de armazenamento para apenas 1001000 1000 1 200100 numeros ao contrario do milhaio de nimeros requeridos no armazenamento entrada a entrada dando uma compressao de quase 80 A Figura 961 mostra algumas aproximagoes de uma imagem digitalizada de um babuino gigante obtida usando 6 Rees ssa r BRS es YC ee a a a Bs ar 2 ar Fes ae Fo ae 4 Bye is Bm 4 a ra FS ee 4 FS Gy E Fs its Li ie Ne ke ia ll Foy cw Posto 4 Posto 10 Posto 20 Posto 50 Posto 128 Figura 961 Revisao de conceitos Aptid6es desenvolvidas e Decomposigao em valores singulares reduzida e Encontrar a decomposic4o em valores singulares reduzida e Expansao em valores singulares reduzida de uma matriz m X n e Posto de uma aproximagao e Encontrar a expansao em valores singulares reduzida de uma matriz m X n 96 Compresso de dados usando decomposicao em valores singulares 517 p p g Conjunto de exercicios 96 Nos Exercicios 14 encontre uma decomposicao em valores 7 A matriz A do Exercicio 3 singulares reduzida de A Observagao cada matriz aparece no 8 A matriz A do Exercicio 4 Conjunto de ONTOS 7s onde fot pedida a decomposicao em 9 Suponha que A seja uma matriz 200 X 500 Quantos nimeros valores singulares nao reduzida devem ser armazenados na aproximagao de posto 100 de A 2 2 Compare isso com o numero de entradas de A 2 l 2 1 A1 1 2 A vo 2 1 5 Exercicios verdadeirofalso Nas partes ac determine se a afirmacdo é verdadeira ou falsa 1 0 6 4 justificando sua resposta Suponha que UV r seja uma decom 3 A 11 4A0 0 posic4o em valores singulares reduzida de uma matriz A de tama 14 4 0 nho m X ne posto k a U tem tamanho m X k Nos Exercicios 58 encontre uma expansao em valores singu b tem tamanho k x k lares reduzida de A c V tem tamanho k X n 5 A matriz A do Exercicio 1 6 A matriz A do Exercicio 2 Capitulo 9 Exercicios suplementares 6 2 ae ar 1 Encontre uma decomposigaéo LU de A 6 of 7 Suponha que uma matriz simétrica A tenha autovalores distin tosA 8A 14A 23 eA 81 O que vocé pode 2 Encontre uma decomposicao LDU da matriz A do Exercicio 1 dizer sobre a convergéncia dos quocientes de Rayleigh 24 6 8 Encontre uma decomposicao em valores singulares de 3 Encontre uma decomposicao LUdeA1 4 71 A I 1 13 7 rou 4 Encontre uma decomposiao LDU da matriz A do Exercicio 3 9 Encontre uma decomposicao em valores singulares de 1 1 2 1 1 5 Sejam A ex A0 0 1 2 0 1 1 a Identifique o autovalor dominante de A e encontre o auto vetor unitério dominante v associado de entradas positi 10 Encontre uma decomposic4o em valores singulares reduzida e vas uma expansdo em valores singulares reduzida da matriz A do i Exercicio 9 b Aplique 0 método das poténcias com mudanga de escala euclidiana a A e x parando em x Compare o valor de x 11 Encontre uma decomposic4o em valores singulares reduzida obtido com o autovetor vencon trado na parte a 3 da matriz cuja decomposi4o em valores singulares é dada por c Aplique o método das poténcias com mudanga de escala i 1 i i de entrada maxima a A e Xy parando em x Compare o f24 0 0 2 2 1 1 1 1 1 2 72 72 2 0 12 O resultado obtido com o autovetor A 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 3 3 3 2 2 2 2 1 2 2 6 Considere a matriz simétrica 1 1 1 1 0 0 Of 3 3 3 2 2 2 2 0 1 A 1 0 12 Matrizes ortogonalmente semelhantes tém os mesmos valores singulares Justifique sua resposta Discuta 0 comportamento da sequéncia de potencias 13 O que vocé pode dizer sobre os valores singulares da ma Xp Xpeees Xyeee triz can6nica P de uma projecao ortogonal de R sobre um subespaco W com mudanga de escala euclidiana com um vetor x arbitrario ndo nulo O que tem essa matriz para causar 0 comportamento observado Esta página foi deixada em branco intencionalmente CAPÍTULO 10 Aplicações da Álgebra Linear CONTEÚDO DO CAPÍTULO 101 Construindo curvas e superfícies por pontos especificados 520 102 Programação linear geométrica 525 103 As mais antigas aplicações da Álgebra Linear 536 104 Interpolação spline cúbica 543 105 Cadeias de Markov 553 106 Teoria de grafos 563 107 Jogos de estratégia 572 108 Modelos econômicos de Leontief 581 109 Administração florestal 590 1010 Computação gráfica 597 1011 Distribuições de temperatura de equilíbrio 605 1012 Tomografia computadorizada 615 1013 Fractais 626 1014 Caos 641 1015 Criptografia 654 1016 Genética 665 1017 Crescimento populacional por faixa etária 676 1018 Colheita de populações animais 686 1019 Um modelo de mínimos quadrados para a audição humana 693 1020 Deformações e morfismos 700 INTRODUÇÃO Este capítulo consiste em 20 aplicações da Álgebra Linear Com uma única exceção claramente identificada cada aplicação é uma seção independente de modo que as seções podem ser ignoradas ou permutadas à vontade Cada tópico começa com uma lista de prérequisitos de Álgebra Linear Como o nosso objetivo primordial neste capítulo é apresentar aplicações da Álgebra Linear as provas são muitas vezes omitidas Sempre que necessitamos de resultados de outras áreas eles são enunciados precisamente com motivação sempre que possível mas geralmente sem prova 520 Algebra Linear com Aplicagdes 101 Construindo curvas e superficies por pontos especificados Nesta secgao descrevemos uma técnica que utiliza determinantes para construir retas circulos e secdes cOnicas gerais por pontos especificados no plano O procedimento também é utilizado para construir planos e esferas no espago tridimensional que passem por pontos fixados PREREQUISITOS Sistemas lineares Determinantes Geometria Analitica O teorema a seguir segue do Teorema 238 TEOREMA 1011 Um sistema linear homogéneo com o mesmo numero de equagées e de incégnitas tem uma solucao nao trivial se e s6 se o determinante da matriz de coeficientes é zero Mostremos como esse resultado pode ser usado para determinar as equagOes de varias curvas e superficies por pontos especificados Uma reta por dois pontos Suponha que x y e 5 y sejam dois pontos distintos no plano Existe uma unica reta qxtoayte0 1 que passa por esses dois pontos Figura 1011 Observe que c c c nado sao todos y nulos e que esses coeficientes sao tinicos a menos de uma constante multiplicativa Como x y x y estao na reta substituindoos em 1 obtemos as duas equagdes Xy V2 x y cx cy c 0 2 x Cx cy c 0 3 Figura 1011 As trés equagoes 1 2 e 3 podem ser agrupadas e reescritas como xc ye 0 0 XC YC e 0 XC oC 0 que é um sistema linear homogéneo de trés equagdes em c Cc c Como c c c NO sao todos nulos o sistema tem uma soluc4o nao trivial de modo que o determinante do sistema deve ser zero Ou seja x y dl x y 1 0 4 Xx y Consequentemente cada ponto x y da reta satisfaz 4 reciprocamente pode ser mos trado que cada ponto x y que satisfaz 4 esta na reta 101 Construindo curvas e superficies por pontos especificados 521 A equacao de uma reta Encontre a equacdo da reta que passa pelos dois pontos 2 1 e 3 7 Solucao Substituindo as coordenadas dos dois pontos na Equacao 4 obtemos x y 1 2 1 10 3 7 1 A expansao em cofatores desse determinante ao longo da primeira linha da 6oxy110 4 Suponha que x y A Y 3 3 sejam trés pontos distintos nao colineares do plano Um circulo por trés pontos Da Geometria Analitica sabemos que existe um Unico circulo digamos Cx y Fox 0y c 0 5 que passa por esses trés pontos Figura 1012 A substituigao das coordenadas dos trés y pontos nessa equacio fornece Or Y2 cy tyex te 0 6 catys tex teyc0 7 cOgty x 90 8 x3 3 Como antes as Equagées 5 a 8 formam um sistema linear homogéneo com uma solu ss S do nao trivial em c c c c Assim 0 determinante da matriz de coeficientes zero Figura 1012 x y x y dl ty xm yd 2 2 0 9 xy yy I xty Ys I Essa a equacao do circulo em forma de determinante A equacao de um circulo Encontre a equagao do circulo que passa pelos trés pontos 1 7 6 2 e 4 6 Solucao Substituindo as coordenadas dos trés pontos na Equagao 9 obtemos e y x y i 50 17 1 0 40 6 2 1 52 4 6 1 que se reduz a 10x y 20x 40y 200 0 A forma padrao dessa equacao é x 1 y 2 5 Assim 0 circulo tem centro 12eraio5 522 Algebra Linear com Aplicacées Uma cénica arbitréria por Em seu trabalho monumental Principia Mathematica Isaac Newton propés e resolveu cinco pontos oO problema seguinte Livro I Proposigao 22 Problema 14 Descrever uma c6nica que deve passar por cinco pontos dados Newton resolveu esse problema geometricamente conforme Figura 1013 em que tragou uma elipse pelos pontos A B D P e C Entretan to também podem ser aplicados os métodos desta segao C Pos S SEQ T 3 Figura 1013 A Q B A equacao geral de uma cénica arbitraria no plano uma parabola hipérbole ou elip se ou formas degeneradas dessas é dada por cx cxy cy oxteye0 Essa equagao contém seis coeficientes mas podemos reduzir o nimero para cinco se dividirmos tudo por qualquer um que nao seja zero Assim basta determinar cinco co eficientes e portanto cinco pontos distintos do plano sao suficientes para determinar a y equacado da conica Figura 1014 Como antes a equacgdo pode ser posta na forma de 9 determinante ver Exercicio 7 x3 Y2 2 2 1 x3 y3 Xs Ys x MY yy xX yy 1 Ca x x Xy Yo yp xX yz x Xx 5 Xx 1 0 10 Figura 1014 3 393 3 Ys Xy X4Yy Vg Xe Vy 2 2 Xs XsVs Ms Xs Ms 1 A equacao de uma Orbita Um astrénomo que deseja determinar a 6rbita de um asteroide em torno do Sol monta um sistema de coordenadas cartesianas no plano da 6rbita com o Sol na origem Ao logo dos eixos sao usadas unidades astrondmicas 1 UA unidade astronémica distancia média da Terra ao Sol 1495 milhdes de quilémetros Pela primeira lei de Kepler a Orbita deve ser uma elipse de modo que o astr6nomo faz cinco observagées do asteroide em cinco tempos distintos e encontra cinco pontos ao logo da érbita a saber 8025 8310 10170 6355 11202 3212 10736 0375 9092 2267 Encontre a equacao da orbita Solugado Substituindo as coordenadas dos cinco pontos dados em 10 e arredondando até a terceira casa decimal obtemos 2 2 x xy y x y 1 64401 66688 69056 8025 8310 1 103429 64630 40386 10170 6355 1 0 125485 35981 10317 11202 3212 1 115262 4026 0141 10736 0375 1 82664 20612 5139 9092 2267 1 101 Construindo curvas e superficies por pontos especificados 523 A expansao desse determinante em cofatores ao longo da primeira linha fornece 386802x 102895xy 446029y 2476443x 1427998y 17109375 0 A Figura 1015 é um diagrama exato da 6rbita junto com os cinco pontos dados 4 10 8025 8310 8 10170 6355 6 4 11202 3212 10736 0375 4 9092 2267 Figura 1015 642 0 2 4 6 8 1012 14 16 18 20 2 No Exercicio 8 pedimos para o leitor mostrar o seguinte o plano no espaco tridimensio Um plano por trés pontos nal de equacao cx oytozc0 que passa por trés pontos nao colineares x y Z X5 Yas Zp 3 Y3 23 dado pela equacao em forma de determinante x y z 1 x yy 1 0 xy 1 3 4 11 EXEMPLO 4 A equagao de um plano A equacao do plano que passa pelos trés pontos nao colineares 1 1 0 2 0 le 29 2é x y Zz 1 1 1 0 1 0 2 0 l 1 2 9 2 1 que se reduz a 2xy3z10 No Exercicio 9 pedimos para 0 leitor mostrar 0 seguinte a esfera no espaco tridimensio Uma esfera por quatro pontos nal de equacgao Cx y z tox c3y c4z0 que passa por quatro pontos nao coplanares x y Z X55 Vos Zs 3 Y3s Z3 dada pela equacao em forma de determinante xt y 2 x y zg atytg ot yy 4 1 stytg hb I0 12 xtyst Y3 Xt yt ay My My Gl 524 Algebra Linear com Aplicacées A equacao de uma esfera A equacao da esfera que passa pelos quatro pontos nao coplanares 0 3 2 1 1 1 2 10 e 5 1 3 xtyte x y Zz 1 13 0 3 2 1 3 1 l 1 10 5 2 1 0 1 35 5 1 3 1 Isso se reduz a vr tyt74x2y6250 que em forma padrao é x 2 1y39 Conjunto de exercicios 101 1 Em cada caso encontre a equacao da reta que passa pelos 6 Em cada caso encontre a equacao da esfera do espaco tridi pontos mensional que passa pelos pontos a Cl 1 3 a CL 2 312 D 00 1 CL 2 1 b 0 1 d 1 b 0 1 2 CZ 3 1 2 1 0 3 1 D 2 Em cada caso encontre a equagao do circulo que passa pelos 7 Mostre que a Equacao 10 é a equacao da cénica que passa pontos por cinco pontos distintos dados do plano a 2 6 2 0 5 3 8 Mostre que a Equacao 11 é a equacgao do plano no espacgo b 2 2 35 4 6 tridimensional que passa por trés pontos nfo colineares dados 3 Encontre a equacao da cénica que passa pelos pontos 0 0 9 Mostre que a Equagao 12 é a equacao da esfera no espago tri 0 1 2 0 2 5e 4 1 dimensional que passa por quatro pontos nao coplanares dados 4 Em cada caso encontre a equacao do plano do espaco tridi 10 Encontre uma equacao em forma de determinante para a para mensional que passa pelos pontos bola da forma a 1 1 3 1 1 D 1 2 cy tox toxtc0 b 23 1 2 1 D C 2 I que passa por trés pontos nao colineares dados no plano 5 a Altere a Equagao 11 de tal modo que ela determine o 11 No que se transforma a Equacio 9 se os trés pontos distintos plano que passa pela origem e seja paralelo ao plano que forem colineares passa por trés pontos nao colineares especiticados 12 No que se transforma a Equagao 11 se os trés pontos distin b Encontre os dois planos descritos na parte a correspon tos forem colineares dent t d tos dos Exercicios 4 4b entes aos ternos de pontos dos Exercicios 4a 4b 13 No que se transforma a Equagao 12 se os quatro pontos fo rem coplanares S ay Secgao 101 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos recurso particular que estiver utilizando O objetivo destes exer utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é cicios é fornecer uma competéncia basica na utilizacao do seu MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também recurso computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma exercicios vocé estara capacitado a usar seu recurso computacio calculadora cientifica com funcionalidades de Algebra Linear nal para resolver muitos dos problemas nos conjuntos de exerci Em cada exercicio vocé devera ler a documentacAo pertinente do cios regulares 102 Programacao linear geométrica 525 T1 A equacao geral de uma superficie quadrica é dada por onde a comi 1 23n 1 sao constantes nao todas 5 5 5 nulas excomi 1 23n sdo varidveis tais que AX tay aZ a XyTaxz tayztaxtaytazta 0 X45 Xp X3 5 X R Dados nove pontos nessa superficie pode ser possivel deter Um ponto minar sua equacao X49 Xaq2 X39 Xyo ER a Mostre que se os nove pontos x y comi 1 239 esta nesse hiperplano se estiverem nessa superficie e se eles determinarem de modo unico a equacao dessa superficie ento sua equagao pode ser AX AX Aly 49 a0 escrita em forma de determinante como Sabendo que os n pontos X X35comi 1 roy go xy XZ ye x y z i 23n esto nesse hiperplano e que eles determinam de x oy go oxy XZ yz x x Zz 1 modo tinico a equagao desse hiperplano mostre que a equa 2 ao do hiperplano pode ser escrita em forma de determinante x5 V3 z x Vy aon Vo x V2 Ly no P P x Y3 zB 433 X3h5 3 3 x 3 43 1 OYE Oe He MH OMT Ho BI x Xy Xx ne 1 Xi XS MY XZ Ys X Ys 2 uo Xa X31 nl Xy XxX nee X X YG z XN XK No 6 Xe Ne 6 l e 0 2 2 2 l X30 3 HR Kg XZ V7 Vp YY HK MS XM OY OY Ky Ys Mee Tee Male Mee SI Co In 2n 3n ue mn x x Xho Xgo y 9 Xy Xo y 9 X9 l b Determine a equacio do hiperplano em R que passa pe b Useo resultado da parte a para determinar a equagao da los nove pontos superficie quadrica que passa pelos pontos 1 2 3 2 1 7 0 4 6 3 1 4 3 0 11 1 5 8 9 8 3 4 5 3 1 23456789 2345 67 89 1 e 2 6 10 34 56 78912 45 67 89 1 2 3 T2 a Um hiperplano no espaco euclidiano R de dimensao n 56 7891234 6789 1 23 45 tem uma equagao da forma 7 89 123456 89 12 34 5 6 7 AX ax ax 4x 4 90 9 12 34 5 6 7 8 102 Programagao linear geométrica Nesta secao descrevemos uma técnica geométrica para maximizar ou minimizar uma expressao linear em duas variaveis sujeita a um conjunto de restrig6es lineares PREREQUISITOS Sistemas lineares Desigualdades lineares O estudo da teoria de programagao linear foi muito ampliado desde o trabalho pioneiro Programacao linear de George Dantzig no final da década de 1940 Hoje a programagao linear é aplicada a uma grande variedade de problemas na industria e na ciéncia Nesta seco apresentamos uma abordagem geométrica para a solugao de problemas simples de programagao linear Comegamos com alguns exemplos 526 Algebra Linear com Aplicacées Maximizando a receita de vendas Um fabricante de bombons tem bombons de chocolate em estoque sendo 130 kg com recheio de cerejas e 170 kg com recheio de menta Ele decide vender 0 estoque na forma de dois pacotes sortidos diferentes Um pacote contém uma mistura com metade do peso em bombons de cereja e metade em menta e vende por 2000 0 quilo O outro pacote contém uma mistura de um tergo de bombons de cereja e dois tergos de menta e vende por 1250 0 quilo O vendedor deveria preparar quantos quilogramas de cada mistura a fim de maximizar sua receita Formulagao matematica Digamos que A seja a mistura com metade cereja e metade menta e que x seja o nimero de quilogramas dessa mistura que devera ser preparada Digamos que B seja a mistura com um tero cereja e dois tergos menta e que x seja 0 numero de quilogramas dessa mistura que devera ser preparada Como o quilograma da mistura A vende por 2000 e o da mistura B vende por 1250 o total z de vendas em délares sera z 2000 x 1250 x Como cada quilograma da mistura A contém meio quilograma de bombons de cereja e cada quilograma da mistura B contém um terco de quilograma de bombons de cereja 0 numero total de quilogramas de bombons de cereja usados em ambas misturas é ty thx a1 32 Analogamente como cada quilograma da mistura A contém meio quilograma de menta e cada quilograma da mistura B contém dois tergos de quilograma de menta o nimero total de quilogramas de bombons de menta usados em ambas misturas é 1 2 7 3 Como o fabricante pode usar no maximo 130 quilogramas de bombons de cereja e 170 quilogramas de bombons de menta devemos ter 1 1 3 3x 130 1 2 aX 3 170 Além disso como x e x néo podem ser numeros negativos devemos ter x20 e x20 Logo o problema pode ser formulado matematicamente como segue encontrar os valores de x ex que maximizam z 2000 x 1250 x sujeitos as restrigdes 1 1 7X 3 130 1 2 x 4x 170 x 20 x 20 Adiante nesta segaéo veremos como esse tipo de problema matemiatico pode ser resolvido geometricamente Maximizando o rendimento anual Uma mulher tem até 10000 para investir e seu corretor sugere investir em dois titulos Ae B O titulo A é bastante arriscado com rendimento anual de 10 e 0 titulo B é rela tivamente seguro com rendimento anual de 7 Depois de algumas considerag6es ela resolve investir no m4ximo 6000 no titulo A no minimo 2000 no titulo B e investir no 102 Programacao linear geométrica 527 minimo tanto no titulo A quanto no titulo B Como ela deveria investir seus 10000 a fim de maximizar o rendimento anual Formulagao matematica Sejam x a quantia investida no titulo A e x a quantia inves tida no titulo B Como cada dolar investido no titulo A rende 010 por ano e cada dolar investido no titulo B rende 007 por ano o total do rendimento anual z em dolares de ambos titulos é dado por z010x 007 x As restrigdes impostas podem ser formuladas matematicamente como segue Investir no maximo 10000 x x 10000 Investir no maximo 6000 no titulo A x 6000 Investir no minimo 2000 no titulo B x 2 2000 Investir no minimo tanto no titulo A quanto no titulo B xX 2X Além disso estamos supondo implicitamente que ambos x e x sao nimeros nao negativos x20 e x20 Assim a formulagao matematica completa do problema é a seguinte encontrar os valores de x e x que maximizam z 010 x 007 x sujeitos as restrigdes xx 10000 x 6000 x 2000 xx 0 x2 0 x 0 Minimizando o custo Um estudante quer projetar um desjejum com flocos de milho e leite que seja 0 mais eco nodmico possivel Levando em conta 0 que ele consegue comer nas suas outras refeig6es ele decide que seu café da manha deveria suprilo com pelo menos 9 gramas de proteinas pelo menos um terco da necessidade didria recomendada VDR de vitamina D e pelo menos um quarto da VDR de cAlcio Ele encontra as seguintes informagées nutricionais nas embalagens do leite e dos flocos de milho Leite Flocos de milho 5 xicara 1 xicara Custo 75 centavos 50 centavos Proteina 4 gramas 2 gramas VitaminaD dos VDR in dos VDR Calcio i dos VDR Nada A fim de nao ter uma mistura muito empapada ou muito seca o estudante decide limitar se a misturas que contenham n4o menos do que e nao mais do que 3 xicaras de flocos de milho por xicara de leite Quais quantidades de leite e de flocos de milho ele deve utilizar para minimizar o custo do seu desjeyum 528 Algebra Linear com Aplicacées Formulagao matematica Sejam x a quantidade de leite utilizada medida em metade de xicaras e x a quantidade de flocos de milho utilizada medida em xicaras Entao sendo z o custo do desjejum em centavos podemos escrever as restrigdes seguintes Custo do desjejum z 75x 50x Pelo menos 9 g de proteina 4x 2x 29 Pelo menos VDR de vitamina D aX He 5 Pelo menos VDR de calcio ix 5 Pelo menos xfcara de flocos de milho X5 1 4 Loe ou x 2x 0 por xicara duas xicaras de leite X 2 No maximo 3 xicaras de flocos de milho x 3 2 i ou 3x 2x 0 por xicara duas xicaras de leite x 2 Como antes também estamos supondo implicitamente que x 0 e x 0 Assim a formulagdéo matematica completa do problema é a seguinte encontrar os valores de x x que minimizam z 75x 50x sujeitos as restrigdes 4x 2x 9 1 1 1 sti 9 3 1 1 ot 4 x 2x 0 3x 2x0 x 20 x20 Uma solucao geométrica para Cada um dos trés problemas precedentes é um caso especial do problema a seguir problemas de programacgao linear Problema Encontrar os valores de x e x que ou maximizam ou minimizam Z Cx 65x 1 sujeitos as restrigdes 4 X ax SSE P aX dx S by 2 An Xt AnoX S B e x20 x20 3 Pode ser usado qualquer um dos simbolos ou em cada uma das m condigoes de 2 Esse problema é denominado problema geral de programagao linear em duas va riaveis A fungao linear z em 1 é denominada fundo objetivo As equagées 2 e 3 sao as restrigdes ou vinculos em particular as equagdes em 3 sao as restrigées de nado negatividade das variaveis x x Vejamos agora como resolver graficamente um problema de programacao linear em duas variaveis Dizemos que um par de valores x x que satisfaz todas as restricgdes é 102 Programago linear geométrica 529 uma solugdo vidvel O conjunto de todas as solucées vidveis determina um subconjunto do plano xx que a regido vidvel Nosso objetivo é encontrar uma solugao vidvel que maximize a fungdo objetivo Uma tal solugaéo é denominada solugcao 6tima Para examinar a regiao vidvel de um problema de programagao linear observamos que cada restricao do tipo AX AX b define uma reta no plano xx enquanto cada restrigao da forma AX GyX Sb OU yx px D define um semiplano que inclui a reta de fronteira AX AnX b Assim a regiao vidvel é sempre uma intersegao de um ntimero finito de retas e semipla nos Por exemplo as quatro restrigdes 1 1 aX 3X2 130 1 2 3X 3X 170 x 20 x0 no Exemplo definem os semiplanos indicados nas partes a b c e d da Figura 1021 Assim a regiao vidvel desse problema a intersecao desses quatro semiplanos que é a regiao indicada na Figura 102 le xy 390 X5 X 5x ix 130 255 1 2 5X t 5 170 x0 260 340 x x a b c xy xy 0 255 x 20 180 120 x x 0 0 260 0 d e Figura 1021 Pode ser mostrado que a regiao vidvel de um problema de programacao linear tem uma fronteira que consiste num nimero finito de segmentos de retas Uma regiao vidvel é dita limitada Figura 1021e se puder ser englobada num circulo suficientemente gran de caso contrario ela é ilimitada Figura 1025 Se a regiao viavel for vazia ou seja nao contiver pontos ento as restrigdes serao inconsistentes e 0 problema de programa cao linear nao possuira solucao ver Figura 1026 530 Algebra Linear com Aplicacdes Os pontos de fronteira de uma regiao vidvel que sao intersegdes de dois segmentos de retas de fronteira s4o denominados pontos extremos Também podem ser chamados de pontos de esquina ou de vértice Por exemplo na Figura 102le vemos que a regiao viavel do Exemplo 1 tem quatro pontos extremos 00 0255 180 120 260 0 4 A importancia dos pontos extremos de uma regiao viavel é mostrada pelo teorema seguinte TEOREMA 1021 Valores maximos e minimos Se a regido vidvel de um problema de programacdo linear for nado vazia e limitada entdo a funcdo objetivo atinge tanto um valor maximo quanto um valor minimo e esses ocorrem em pontos extremos da regido vidvel Se a regido vidvel for ilimitada entado a funcdo objetivo pode ou ndo atingir valores maximo ou minimo contudo se atingir um mdximo ou um minimo este ocorrerd num ponto extremo A Figura 1022 sugere a ideia subjacente a prova do teorema Como a fungao objetivo T CX CX de um problema de programagao linear é uma funcao linear de x e x suas curvas de nivel as curvas ao longo das quais z tem valor constante sao retas A medida que nos deslocamos perpendicularmente a essas retas a fungao objetivo ou cresce ou decresce monotonamente Dentro de uma regiao viavel limitada os valores maximos e minimos de z devem ocorrer portanto nos pontos extremos como indica a Figura 1022 2 T minimizado Ty Curvas de nivel Zz crescente x1 Figura 1022 Nos exemplos seguintes usamos 0 Teorema 1021 para resolver varios problemas de programacao linear e ilustrar as variagdes que podem ocorrer na natureza das solugées De novo o Exemplo 1 A Figura 102le mostra que a regido vidvel do Exemplo 1é limitada Consequentemente pelo Teorema 1021 a fungao objetivo z 2000 x 1250 x atinge tanto um valor minimo quanto um valor maximo em pontos extremos Os quatro pontos extremos e os correspondentes valores de z estao dados na tabela seguinte 102 Programacao linear geométrica 531 Ponto extremo xx Valor de z 2000x 1250x 0 0 000 0 255 318750 180 120 510000 260 0 520000 Vemos que o maior valor de z 520000 e a correspondente solugao 6tima é 260 0 Assim o fabricante de balas atinge um maximo de 520000 de vendas quando produzir 260 quilogramas da mistura A e nada da mistura B EXEMPLO 5 Usando o Teorema 1021 Encontre valores de x e x que maximizam Zx 3x sujeitos as restrigdes 2x 3x 24 XxX 7 xX 6 x 0 y 0 Solucao Na Figura 1023 esbogamos a regido vidvel desse problema Por ser limitada o valor maximo de z é alcangado num dos cinco pontos extremos Os valores da fungao objetivo nos cinco pontos extremos estao dados na tabela seguinte Xx 2x 3x 24 aN 3 6 6 Ponto extremo Valor de a x X zx 3x HoH a7 0 6 18 3 6 21 9 2 9 2 15 x 0 0 7 0 0 0 0 Figura 1023 A partir dessa tabela o valor maximo de z é 21 que é alcangado em x 3e x 6 EXEMPLO G Usandoo Teorema 1021 Encontre valores de x e x que maximizam z 4x 6x sujeitos as restrigdes 2x 3x 24 XxX 7 x 6 x 0 x 0 532 Algebra Linear com Aplicacées Solucao As restrigdes nesse problema sao idnticas as restrigdes do Exemplo 5 portan to a regiao vidvel deste problema também é dada pela Figura 1023 Os valores da funcao objetivo nos pontos extremos estado dados na tabela seguinte Ponto extremo xx Valor de z 4x 6x 0 6 36 3 6 48 9 2 48 7 0 28 0 0 0 Vemos que a funcao objetivo atinge um valor maximo de 48 em dois pontos extremos ad jacentes 3 6 e 9 2 Isso mostra que uma solugao 6tima num problema de programagao linear nao precisa ser tinica Como pedimos ao leitor mostrar no Exercicio 10 se a funcao objetivo atinge o mesmo valor em dois pontos extremos adjacentes ela tem 0 mesmo valor em todos os pontos do segmento de reta da fronteira que liga esses dois pontos ex tremos Assim nesse exemplo o valor maximo de z é alcangado em todos os pontos do segmento de reta que liga os pontos extremos 3 6 e 9 2 A regiao viavel um segmento de reta Encontre os valores de x e x que minimizam z 2x x sujeitos a 2x 3x 12 2x 3x 0 x 0 x 0 Solugao A regiao vidvel desse problema aparece na Figura 1024 Como uma das res trigdes uma restrigdao de igualdade a regiao vidvel um segmento de reta com dois pontos extremos Os valores de z nos dois pontos extremos estao dados na tabela seguinte xy 2x 3x 12 2x 3x 0 3 2 SSS Ponto extremo xx Valor de z 2x x 60 3 2 4 6 0 12 Figura 1024 i Assim 0 valor maximo de z 4 que é atingido em x 3e x 2 102 Programago linear geométrica 533 Usando o Teorema 1021 Encontre os valores de x e x que maximizam Z 2x 5x sujeitos a 2x x 8 4x x 2 2x 3x 0 x 0 x 0 Solugao A regiao vidvel desse problema de programagao linear é indicada na Figura 1025 Por ser ilimitada o Teorema 1021 nao nos garante que a funcao objetivo atinge algum valor maximo De fato é facil verificar que como a regiao vidvel contém pontos nos quais ambos x e x sao arbitrariamente grandes e positivos a fun4o objetivo Z 2x 5x alcanga valores arbitrariamente grandes e positivos Esse problema nao tem solucgao 6ti ma Em vez disso dizemos que o problema tem uma solugdo ilimitada xy 1 6 2x 3x 0 3 2 4x x2 2x x8 x Figura 1025 Usando o Teorema 1021 Encontre os valores de x e x que maximizam z 5x x sujeitos a 2x x2 8 4x x 2 2x1 3x2 0 x 0 0 Solugdo As restrigdes dadas sao as mesmas que as do Exemplo 8 portanto a regiao vidvel desse problema também é dada pela Figura 1025 No Exercicio 11 pedimos para o leitor mostrar que a fungao objetivo desse problema atinge um valor maximo na regiao 534 Algebra Linear com Aplicacées viavel Pelo Teorema 1021 esse maximo deve ser atingido num ponto extremo Os valo res de z nos dois pontos extremos da regiao viavel estao dados na tabela seguinte Ponto extremo xx Valor de z 5x x 1 6 1 32 13 Assim o valor maximo de z é 1 que é atingido no ponto extremo x 1 x 6 EXEMPLO 10 Restrigdes inconsistentes Encontre os valores de x e x que minimizam z 3x 8x sujeitos a 2x 4S 4 3x 11x 33 3x 4x 24 x 0 x 0 Solugao Como pode ser visto na Figura 1026 a intersegao dos cinco semiplanos de finidos pelas cinco restrigdes é vazio Esse problema de programagao linear nao possui solucées vidveis pois as restrigdes sdo inconsistentes xy 3x 4x 24 2xx4 Figura 1026 Nao ha pontos 3x 11x 33 comuns a todos os cinco semipla i nos destacados Conjunto de exercicios 102 1 Encontre os valores de x e x que maximizam 2 Encontre os valores de x e x que minimizam z 3x 2x Z 3x 5x sujeitos a sujeitos a 2x 3x 6 2x xX 2 2x x 0 4x x 0 x 2 xX Ss 3 xX 1 x 0 x 20 x 2 0 x 20 102 Programacao linear geométrica 535 3 Encontre os valores de x e x que minimizam do que um caminhf4o da empresa nao pode carregar mais do que 37000 quilogramas e nao comporta mais do que 54000 Z 3x 2x deci aps ae ecimetros cuibicos quantos contéineres das companhias A e sujeitos a Bo caminhao deveria transportar para maximizar o valor do 3x 4 5 frete y4in 1 8 Repita o Exercicio 7 se a empresa de transporte de carga au re mentar o preco do frete de um contéiner da companhia A para 2x 4x 2 12 250 0 9 Um fabricante produz sacos de ragao para galinhas a partir de 0 dois ingredientes A e B Cada saco deve conter pelo menos 4 Resolva 0 problema de programagdo linear proposto no 625 g do nutriente N pelo menos 500 g do nutriente Ny pelo Exemplo 2 menos 750 g do nutriente N Cada quilograma do ingrediente A contém 125 g do nutriente N 125 g do nutriente N e 375 5 Resolva o problema de programacao linear proposto no g do nutriente N Cada quilograma do ingrediente B contém Exemplo 3 3125 g do nutriente N 1875 g do nutriente N e 250 g do 6 Dizemos que a restrigao x x 7 do Exemplo 5 ndo com nutriente N Se o ingrediente A custar 8 centavos 0 quilogra promete porque pode ser removida do problema sem afetar ma e 0 ingrediente B custar 9 centavos o quilograma quanto sua solucao Da mesma forma a restricao x 6 compromete de cada ingrediente o fabricante deveria usar em cada saco de porque sua remocAo altera a solugao racg4o para minimizar seus custos a Quais das demais restrigdes nao comprometem e quais 10 Sea funcao objetivo de um problema de programagao linear comprometem tem o mesmo valor em dois pontos extremos adjacentes mos b Com quais valores do lado direito da restrigdo x x 7 tre que também tem o mesmo valor em todos os pontos do essa restricdo passa a comprometer Para quais valores 0 segmento de reta que liga os dois pontos extremos Sugestdo conjunto vidvel resultante sera vazio se x1 X5 x7 X so dois pontos quaisquer do plano um c Com quais valores do lado direito da restrigao x 6 essa Ponto x x esta no segmento de reta que os liga se restrigdéo passa a nao comprometer Para quais valores o x ox t Ox conjunto vidvel resultante sera vazio 7 Uma empresa de transporte de carga transporta os contéineres de duas companhias A e B Cada contéiner da companhia A y tx 1 Oxy pesa 40 quilogramas e tem um volume de 54 decimetros cti onde t é um ntimero no intervalo 0 1 bicos Cada contéiner da companhia B pesa 50 quilogramas e tem um volume de 81 decimetros ctibicos A cada contéiner i Mostre que a fungao objetivo do Exemplo 9 atinge um valor maximo na regiao vidvel Sugestdo examine as curvas de transportado a empresa de transporte de carga cobra 220 de L frete da companhia A e 300 de frete da companhia B Saben nivel da fungao objetivo S y Segao 102 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos comk 0 12n 1 Maximize a fungao objetivo utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é 3y44 MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também y pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma supondo que a n 1 b n 2 cn 3 dn 4 en calculadora cientffica com funcionalidades de Algebra Linear Em 5 fn 6 gn 7 hn 8 i n 9 Gn 10 e k cada exercicio vocé devera ler a documentagao pertinente do re n11 curso particular que estiver utilizando O objetivo destes exercicios 1 Em seguida maximize essa fungao objetivo usando a re é fornecer uma competéncia basica na utilizagao do seu recurso giao viavel nao linear dada por0 xOye computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes exercicios 2 2 vocé estaré capacitado a usar seu recurso computacional para re rty sl solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercicios regulares m Considere os resultados das partes a até k como o T1 Considere a regiao vidvel que consiste em 0 x 0 y junto comego de uma sequéncia de valores de z Esses valores com 0 conjunto de desigualdades tendem ao valor determinado na parte 1 Explique é 4 Wn 2 be 7 T2 Repita o Exercicio T1 usando a fungao objetivo z x y x cos ysen cos 4n 4n 4n 536 Algebra Linear com Aplicacdes 103 As mais antigas aplicagées da Algebra Linear Os sistemas lineares podem ser encontrados nos escritos mais antigos de muitas civilizagdes da Antiguidade Nesta segao damos alguns exemplos dos tipos de problemas que esses povos costumavam resolver PREREQUISITO Sistemas lineares Os problemas praticos das civilizagdes antigas incluiam a medicAo de terras a distribui ao de bens o acompanhamento de recursos como 0 trigo e 0 gado 0 calculo de impos tos e a divisao de herangas Em muitos casos esses problemas levavam a sistemas de equacoes lineares j4 que a linearidade é a relagao mais simples que pode existir entre varidveis Nesta segao apresentamos exemplos de cinco culturas antigas distintas que ilustram como os sistemas lineares eram usados e resolvidos Restringimonos a exem plos anteriores ao ano 500 de nossa era Consequentemente nossos exemplos precedem o desenvolvimento da Algebra pelos matematicos islamicos 0 que acabou levando no século XIX ao ramo da Matematica que agora chamamos de Algebra Linear EXEMPLO 1 Egito cerca de 1650 aC Se aa pee eRe Le 4 Ty Ay 4 ae Pen ee a aa f mee siboen Nie Fee Foes a HH Aas e Gi RNR Ge ea eg ee eens cocoa Ema He tt Problema 40 do Papiro de Ahmes O Papiro de Ahmes ou Rhind é a fonte da maioria de nossas informagées sobre os ma tematicos egipcios da Antiguidade Esse papiro que se calcula ser de aproximadamente 1650 aC tem cinco metros de comprimento e contém 84 problemas mateméaticos curtos assim como suas solucées O Problema 40 desse papiro 0 seguinte Divida 100 sacos de cevada entre cinco homens em progressao aritmética de tal modo que a soma dos dois menores é um sétimo da soma dos trés maiores Sejam a a menor quantidade obtida por algum dos homens e d a diferenga comum entre os termos da progressao aritmética Entao os outros quatro homens recebem a d a 2d a 3dea 4d sacos As duas condigées do problema exigem que a ada2d a3da4d 100 ta 2d a 3d a 4d a a d Essas equag6es se reduzem ao sistema linear de duas equag6es em duas incégnitas seguinte 5a 10d 100 1 lla 2d 0 A técnica de resolugao descrita no papiro é conhecida como 0 método da posica4o falsa ou hipotese falsa Comega tomando algum valor conveniente de a no nosso caso a le substitui esse valor na segunda equacao obtendo d 112 Substituindo a led 112 103 As mais antigas aplicacdes da Algebra Linear 537 no lado esquerdo da primeira equacgao obtemos 60 ao passo que o lado direito da 100 Ajustando o valor inicial de a pela multiplicagao por 10060 chegamos ao valor correto de a 53 Substituindo isso na segunda equacgao obtemos d 556 portanto as quanti dades de cevada recebidas pelos cinco homens sao 106 656 1206 1756 e 2306 sacos Essa técnica de adivinhar o valor de uma incégnita e depois ajustala tem sido usada em muitas culturas ao longo dos tempos Babilénia 19001600 aC O antigo império da Babilénia floresceu na Mesopotamia entre 1900 e 1600 aC Daquele periodo sobreviveram muitos tabletes de barro contendo tabelas e problemas matema ee ES OSE Scot ticos um dos quais denominado Ca MLA 1950 contém o seguinte problema O enun s ne SAE i ahaa ciado do problema esta um pouco confuso em virtude das condig6es do tablete mas o pre As yey per 2 RY WENT BP BOTY I ee diagrama e a solucao no tablete indicam que 0 problema como segue A ies GT SOT pa ae ADA TRS ae ETE Ty Uy EYE LPF ley ae i Faken Tre th NEAT pee y 4 BOCPET PEL UR Meng Te an BEG 30 Tablete de barro babilénico Ca MLA 1950 y 20 Area 320 Um trapézio com uma area de 320 unidades quadradas é cortado de um tridngulo re tangulo por uma reta paralela a um de seus lados O outro lado mede 50 unidades de comprimento e a altura do trapézio é de 20 unidades Quais sao as larguras superior e inferior do trapézio Sejam x a largura inferior e y a largura superior do trapézio A area do trapézio é sua altura vezes sua largura média ou seja 20 320 Usando semelhanga de triangulos tam bém obtemos 3 30 A solucao no tablete usa essas relag6es para gerar 0 sistema linear 1 3x y 16 2 3 x y4 Somando e subtraindo essas duas equagées obtemos a solucdo x 20 e y 12 China 263 dC O tratado mais importante da histéria da matematica chinesa é o Chiu Chang Suan Shu ou Os Nove Capitulos da Arte Matematica Esse tratado uma colecdo de 246 problemas e suas solucgoes foi organizado e colocado em sua forma final por Liu Hui em 263 dC a ope Seu contetido entretanto remonta a pelo menos o inicio da dinastia Han no segundo we i i sti século aC O oitavo de seus nove capitulos intitulado A Maneira de Calcular Usando Flechas contém 178 problemas de palavras que levam a sistemas lineares de trés a seis Chiy Chang Suan Shu em incdégnitas O procedimento para a solucao geral quase idéntico a técnica da eliminag40 caracteres chineses 538 Álgebra Linear com Aplicações gaussiana desenvolvida na Europa no século XIX por Carl Friedrich Gauss ver página 15 O primeiro problema do oitavo capítulo é o seguinte Há três classes de milho sendo que três sacos da primeira classe dois da segunda classe e um da terceira totalizam 39 medidas Dois da primeira três da segunda e um da terceira totalizam 34 medidas E um da primeira dois da segunda e três da terceira totalizam 26 medidas Quantas medidas do grão tem cada saco de cada classe Sejam x y e z as medidas das primeira segunda e terceira classes de milho Então as con dições do problema levam ao sistema linear de três equações em três incógnitas seguinte 3 A solução descrita no tratado representava os coeficientes de cada equação por um nú mero apropriado de varas colocadas dentro de quadrados numa tabela de contas Os co eficientes positivos eram representados por varas pretas os coeficientes negativos eram representados por varas vermelhas e os quadrados correspondentes a coeficientes nulos eram deixados vazios A tabela de contas ficava disposta de tal modo que os coeficientes de cada equação apareciam em colunas com a primeira equação na coluna mais à direita Em seguida o número de varas dentro dos quadrados eram ajustados com o objetivo de executar os dois passos seguintes 1 duas vezes os números da terceira coluna eram sub traídos de três vezes os números da segunda coluna e 2 os números da terceira coluna eram subtraídos de três vezes os números da primeira coluna O resultado era a tabela seguinte Nesta tabela quatro vezes os números da segunda coluna eram subtraídos de cinco vezes os números da primeira coluna fornecendo 103 As mais antigas aplicacées da Algebra Linear 539 Essa ultima tabela é equivalente ao sistema linear 3x 2yz 39 Sy z 24 36z 99 Esse sistema triangular era resolvido por um método equivalente a retrossubstituigao para obter x 374 y 174ez 114 Grécia terceiro século aC 1 x ae Talvez o mais famoso sistema de equacées lineares da Antiguidade seja 0 associado a fe CaN oe TSS TIS primeira parte do celebrado Problema da Manada devido a Arquimedes Alegase que Oy SSR Z SSRI fh SES ey esse problema foi proposto por Arquimedes como um desafio ao seu colega Erastéstenes fo ey x Z Z FEEW SV AVY Nenhuma solucao conseguiu atravessar 0 tempo até a nossa época de modo que nao se BN Wess y ee A A BANSAL SS Wee en sabe como nem mesmo se algum desses dois geOmetras 0 resolveu Ln SAV a Sy Sa BT Os SA Been a we Pas 7 Zh HAS Hk SS AR IE Se fores diligente e sabio 6 estranho calcula o numero de bovinos do deus Sol que eC Ce ha muito tempo pastavam nos campos da ilha triangular da Sicilia divididos em yc es AO LTRS ea Soo AK A quatro manadas de cores diferentes uma branca como o leite outra preta brilhante fo re pa a AERIS OR es ARSE AA uma terceira amarela e a quarta malhada Em cada manada havia touros em gran or be Wer ey Pe P BIRR REIL TS SS CRD de numero de acordo com estas proporées Entenda 6 estranho que o nimero ARS Se yy RRR MSS ae de touros brancos era igual a metade e um terco do numero de pretos somados a SiN WE RECS oS SX WS Wew OREANS todos os amarelos enquanto o numero de pretos era igual a um quarto e um quinto SA NN ve me YY dos malhados juntamente com todos os amarelos Saiba ainda que o nimero dos SS RS SAS LM demais touros os malhados era igual a um sexto e um sétimo dos brancos somados a todos os amarelos As proporcdes das vacas eram as seguintes o numero de vacas Arquimedes aproximadamente brancas era precisamente igual a um terco e um quarto de todas as pretas enquanto 287212 aC o numero de pretas era igual a um quarto e um quinto das malhadas quando todos inclusive os touros iam pastar juntos Agora o numero de malhadas dividido em quatro partes era igual a um quinto e um sexto do numero de vacas amarelas Finalmente o numero de amarelas era igual a um sexto e um sétimo do nimero de brancas Se ndo conseguires dizer com preciso 6 estranho o nimero de bovinos do deus Sol dando separadamente o numero dos bem alimentados touros e o de vacas de acordo com cada cor nao serds chamado de inapto ou de ignorante com numeros mas também nado serds ainda contado entre os sdbios A notagao convencional em inglés para as oito varidveis desse problema é W ntmero de touros brancos B ntimero de touros pretos Y numero de touros amarelos D ntmero de touros malhados w numero de vacas brancas b numero de vacas pretas y numero de vacas amarelas d numero de vacas malhadas 540 Algebra Linear com Aplicagdes O problema pode agora ser enunciado como as sete equagdes homogéneas em oito in cégnitas seguintes 1W 4 3 ByY Os touros brancos se igualavam a uma metade e um terco dos touros pretos junto com a totalidade dos touros amarelos 2 B GG i DY Os touros pretos se igualavam a uma quarta parte dos touros malhados e um quinto novamente junto com a to talidade dos touros amarelos 3 D Z WyY Os demais touros os malhados se igualavam a uma sexta parte dos touros brancos e um sétimo junto com a totali dade dos touros amarelos 4w 4 B As vacas brancas eram precisamente iguais a uma terca parte e um quarto da totalidade das pretas 5 b Gj t D 4d As vacas pretas se igualavam a uma quarta parte nova mente das malhadas e com elas uma quinta parte quando todos inclusive os touros iam pastar 6 d 3 i Y y As vacas malhadas em quatro partes ou seja em sua to talidade se igualavam em nimero a uma quinta parte e um sexto da manada amarela y 2 t Ww As vacas amarelas se igualavam em nimero a uma sexta parte e um sétimo da manada branca Como pedimos para o leitor verificar nos exercicios esse sistema tem uma infinidade de solugédes da forma W 10366482k B 7460514k Y 4149387k D 7358060k 4 w 7206360k b 4893246k y 5439213k d 3515820k em que k é um numero real qualquer Os valores k 1 2 dio uma infinidade de solu 6es inteiras positivas do problema sendo que k daa menor solugao EXEMPLO 5 india quarto século dC oe cere CCB HS a O Manuscrito Bakhshali é um trabalho antigo do século IV da Matematica hindu embora mee y meu ST So a RT a se ee parte desse material indubitavelmente ja fosse conhecido muitos séculos antes Consiste pen peensilegni avo ie aa em cerca de 70 folhas de casca de 4rvore contendo problemas matematicos e suas solu BA gait a Ee goes Muitos dos problemas sao do tipo de equiparacgao que levam a sistemas de equagdes eRe aoe a Sees s i ete es lineares Um desses problemas mostrado no fragmento ao lado é 0 seguinte Seating ake LONG METS Fragmento III53v do manuscrito Bakhshali Um mercador possui sete cavalos da raga asava um segundo possui nove cavalos da raca hoya e um terceiro tem dez camelos Eles se equiparam nos valores de seus ani mais se cada um ceder dois animais um para cada um dos outros Encontre o preco de cada animal e o valor total dos animais de cada mercador 103 As mais antigas aplicacdes da Algebra Linear 541 Sejam x o prego de um cavalo asava y o prego de um cavalo haya z 0 preco de um camelo e Ko valor total equiparado dos animais de cada mercador Entao as condiées do proble ma levam ao sistema de equagGes seguinte 5x yt zK x7y zK 5 x y8K O método de resolugao descrito no manuscrito comega subtraindo a quantidade x y z de ambos lados das trés equag6es para obter 4x 6y 7z K x y 2 Isso mos tra que se os precos x y e z forem inteiros entao a quantidade K x y z deve ser um inteiro que seja divisivel por 4 6 e 7 O manuscrito toma o produto desses nimeros ou seja 168 para o valor de K x y z que fornece x 42 y 28 ez 24 para os precos e K 262 para o valor equiparado Ver Exercicio 6 para mais solucdes desse problema 4 Conjunto de exercicios 103 1 Um precursor do Problema da Manada de Arquimedes é rela a Cinco bois e duas ovelhas valem 10 unidades e dois bois tado nas linhas seguintes do Livro 12 da Odisseia de Homero e cinco ovelhas valem 8 unidades Qual é 0 valor de cada boi e cada ovelha Deveras ascender a ilha triangular b Ha trés classes de milho Os graos contidos em dois trés Onde muitos bois do Sol pastam A ou quatro sacos respectivamente dessas trés classes E ovelhas engordadas De bois cinquenta cabegas de milho no sao suficientes para totalizar uma medida Em cada manada pastam e manadas ha sete inteira No entanto acrescentando a esses sacos um saco E de suas ovelhas gordas o ndmero é o mesmo da segunda terceira primeira classe respectivamente ent4o os graos totalizariam uma medida inteira em cada A ultima linha significa que ha o mesmo numero de ovelhas caso Quantas medidas do grao tem cada saco de cada em todos os rebanhos que o de bois em todas as manadas Qual classe é o nimero total de bois e ovelhas que pertencem ao deus Sol 5 O problema da parte a é conhecido como a Flor de Thyma Isso era um problema dificil nos tempos de Homero ridas que foi um pitagérico do quarto século aC 2 Resolva os problemas seguintes do Manuscrito Bakhshali a Dados os n ntimeros a a d resolva em a B possui o dobro de A C tem 0 triplo de A e B juntos D XXX O sistema linear tem quatro vezes mais do que A B e C juntos O total das babe bx posses deles é 300 Quais so as posses de A reser ess Tin Gy b B da duas vezes mais do que A C da trés vezes mais do Mt que B D da quatro vezes mais do que C O total de seus A 3 Gs presentes é 132 Quanto é 0 presente de A 3 Um problema num tablete babilénico requer que se encontre o X x comprimento e a largura de um retangulo sabendo que a soma do comprimento com a largura é de 10 enquanto 0 compri b Identifique um problema deste conjunto de exercicios mento e um quarto da largura somam 7 A solugao apresenta que encaixa no padrao da parte a e resolvao usando a da no tablete consiste nas quatro afirmagGes seguintes solucao geral Multiplique 7 por 4 para obter 28 6 Do Exemplo 5 do Manuscrito Bakhshali Tire 10 de 28 para obter 18 a Expresse as Equacées 5 como um sistema linear Tome um terco de 18 para obter 6 o comprimento homogéneo de trés equagdes em quatro incdégnitas Tire 6 de 10 para obter 4 a largura x yzeK e mostre que o conjunto solugaéo tem um pa rametro arbitrario Explique como esses passos levam a resposta b Encontre a menor solugao tal que todas as quatro varia 4 Os dois problemas seguintes so de Os Nove Capitulos da veis sejam inteiros positivos Arte Matematica Resolvaos usando a técnica das tabelas c Mostre que a solugéo dada no Exemplo 5 esta entre as descrita no Exemplo 3 solug6es encontradas 542 Algebra Linear com Aplicacées 7 Resolva os problemas propostos nos trés epigramas seguintes b Fagame uma coroa que pese sessenta unidades de peso que aparecem numa colec4o intitulada A Antologia Grega misturando ouro e bronze e juntando latao e ferro bem compilada em parte por um erudito chamado Metodorus em fundido O ouro e o bronze juntos devem constituir dois torno do ano 500 de nossa era Acreditase que alguns de seus tercos e o ouro e 0 lato juntos trés quartos e 0 ouro e 46 problemas matematicos remontam ao sexto século aC o ferro trés quintos Digame quanto ouro deves colocar Observacdao antes de resolver as partes a e c deve ser quanto bronze quanto latao e quanto ferro para fazer a formulada uma pergunta a ser respondida coroa toda pesar sessenta unidades a Desejo que meus dois filhos recebam as mil moedas que c Primeira pessoa eu tenho o que a segunda tem e um ter eu possuo mas quero que a quinta parte da cota de meu co do que a terceira tem Segunda pessoa eu tenho o que filho legitimo exceda em dez moedas a quarta parte do a terceira pessoa tem e um terco do que a primeira tem que cabe ao ilegitimo Terceira pessoa e eu tenho dez unidades e um terco do que a segunda tem S y Segao 103 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos e os malhados foram juntados numa s6 manada eles ficaram de utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é tal forma que seu nimero comecando em um lentamente crescia MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também até completar uma figura triangular Isso exige que a quantidade pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma Y D seja um nimero triangular isto é um numero da forma 1 calculadora cientifica com funcionalidades de Algebra Linear Em 1212312344 Essa parte final do problema cada exercicio vocé devera ler a documentagao pertinente do re nao foi completamente resolvida até 1965 quando foram encontra curso particular que estiver utilizando O objetivo destes exercicios dos com um computador todos os 206545 digitos do menor nime é fornecer uma competéncia basica na utilizagéo do seu recurso ro de touros que satisfaz essa condiao computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes exercicios vocé estara capacitado a usar seu recurso computacional para re T2 O problema seguinte é de Os Nove Capitulos da Arte Mate solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercicios regulares matica e determina um sistema linear homogéneo de cinco T1 a Resolva o Problema da Manada de Arquimedes usando equacées em seis incdgnitas Mostre que esse sistema tem um programa de Algebra simbdlica uma infinidade de solug6es e encontre aquela que da os meno b O Problema da Manada tem uma segunda parte em que res inteiros positivos para a profundidade do pogo e os com sao impostas duas condig6es adicionais A primeira delas primentos das cinco cordas afirma que Quando os touros brancos se misturam com Suponha que um poco seja compartilhado por cinco familias os pretos eles ficam parelhos iguais em profundidade Suponha também que lar ura Isso exige que W B seja um numero qua 2 das cordas de A deixam de alcangar 0 fundo do pogo por drado isto é 1 49 16 25e asm por diante Mostre uma das cordas de B ue isso exige que os valores de k na Equacao 4 sejam de 880 exige d quacao 4 sej 3 das cordas de B deixam de alcangar o fundo do poco por restringidos como segue uma das cordas de C 2 k 4456749r r 123 4 das cordas de C deixam de alcangar 0 fundo do pogo por Também encontre o menor ntimero total de touros que uma das cordas de D satisfaz essa segunda condigao 5 das cordas de D deixam de alcangar o fundo do pogo por uma das cordas de E Observacéo A segunda condico imposta na segunda parte 6 das cordas de E deixam de alcangar o fundo do pogo por do Problema da Manada afirma que Quando os touros amarelos uma das cordas de A 104 Interpolagao spline cubica 543 104 Interpolagao spline cubica Nesta seo utilizamos um utensilio de desenho artistico como um modelo fisico para 0 problema matematico de encontrar uma curva que passa por pontos especificados do plano Os parametros da curva sao determinados pela resolucao de um sistema linear de equagées PREREQUISITOS Sistemas lineares Algebra matricial Calculo diferencial Um problema comum encontrado na andlise de dados experimentais na determinagao das A juste de curvas relagGes entre varidveis e na elaboracao de projetos é o de ajustar uma curva por pontos especificados do plano Uma aplicacg4o muito generalizada é no projeto e na descrigao de fontes de computador e de impressora tais como as fontes PostScript e TrueType Fi gura 1041 Na Figura 1042 estéo exibidos sete pontos no plano xy e na Figura 1044 foi desenhada uma curva lisa que passa pelos pontos Dizemos que uma curva que passa por um conjunto de pontos no plano interpola esses pontos a curva é dita curva interpo ladora desses pontos A curva interpoladora da Figura 1044 foi desenhada com a ajuda de um spline de esbogo Figura 1043 Esse utensilio de desenho consiste numa tira fina e flexivel de madeira ou de outro material que é torcida para passar pelos pontos a serem interpolados Pesos deslizantes presos ao longo da tira a mantém em posiao enquanto o artista traga a curva interpoladora O spline de esbogo é 0 modelo fisico para uma teoria matematica de interpolag4o que discutimos nesta secao Figura 1041 IK y y e e e C ao M x x Figura 1042 Figura 1043 Figura 1044 544 Algebra Linear com Aplicacées Enunciado do problema Suponha que sejam dados n pontos x ys x Ys se X5 y no plano xy que desejamos interpolar com uma curva bem comportada Figura 1045 Por conveniéncia tomamos os pontos igualmente espacgados na diregaéo x embora nossos resultados possam ser facilmente estendidos ao caso de pontos nao igualmente espacados Denotando por a distancia comum entre as coordenadas x dos pontos temos Ny XH XX SH SHH A Denotemos por y Sx x S x Sx a curva interpoladora procurada Vamos supor que essa curva descreva 0 deslocamento de um spline de esbogo que interpola os n pontos quando os pesos que mantém o spline em posicdo forem colocados exatamente nos n pontos E sabido da teoria linear de vigas que para pequenos deslocamentos a quarta de rivada do deslocamento de uma viga é nula ao longo de qualquer intervalo no eixo x que nao contenha forcas externas atuando na viga Se tratarmos nosso spline como uma viga fina e observarmos que as unicas forgas externas atuantes provém dos pesos nos n pontos especificados entaéo segue que SO 0 para todos os valores de x nos n intervalos abertos x Xy X X cg x x entre os 7 pontos ss y Six x a Yo Gas Yea Cw ys Yn l lehoieh Khh 7 x Figura 1045 Também vamos precisar do resultado da teoria linear de vigas que afirma que para uma viga que sofre somente a acao de forgas externas o deslocamento deve ter derivadas segundas continuas No caso da curva interpoladora y Sx construida pelo spline de esboco isso significa que Sx Sx e Sx devem ser continuas com x x x A condicaio de que Sx seja continua é 0 que faz com que um spline de esbogo produza uma curva esteticamente satisfatéria pois ela tem curvatura continua O olho humano pode perceber mudangas stibitas de curvatura isto é descontinuidades de Sx mas mudangas subitas nas derivadas de ordem mais alta nao sao perceptiveis Assim a condigao de conti nuidade de Sx é 0 requisito minimo para que uma curva interpoladora seja percebida como uma tinica curva lisa em vez de uma sucessao de curvas distintas que foram emendadas Para determinar a forma matematica da funao Sx observamos que por ser Sx 0 nos intervalos entre os n pontos especificados decorre integrando essa equa do quatro vezes que Sx deve ser um polinémio cubico em x em cada um desses interva los Em geral no entanto Sx sera um polindmio cubico diferente em cada intervalo de modo que Sx deve ter a forma S x xX Sx Sx Sx xX Sx Sx Six 4 2 S X1 SX Sx 104 Interpolacao spline cubica 545 onde Sx Sx Sx so polinédmios ctibicos Por conveniéncia escrevemos esses polinémios na forma Sx ax x bx x cxxd xX Sx Sx Sx ax x bx xy cx xd xX Sx SX 3 Si x a1 x Xn1 y Dy1 x x Cn1 x X1 d Xn1 SxS Xn Para especificar Sx completamente devemos determinar as constantes a b ce d com subscritos num total de 4n 4 coeficientes Se escolhermos esses coeficientes de tal modo que Sx interpola os n pontos especificados no plano e Sx e Sx sao continuas dizemos que a curva interpoladora resultante é uma curva spline cibica Das Equacg6es 2 e 3 temos Deducao da férmula de uma spline cubica Sx Sx axx be teax4d x x x P Sx Sx axx bex exxd 4 x x 4 Sx S a x 2 b x Ch1 x Xn 1 d Xn1 Sx xX de modo que Sx Six 3ax x 2b x x e xX sx x Sx Six 3ax x 2bx x 6 XxX SX X 5 Sx Shy x 34 x X1 2b x x C 1 Xn1 SxS x e Sx Sx 6a x x 2b x Sx Sx Sx SYx 6a x x 2d X Sx x 6 Sx Sry X 64y1 Xp1 2Dn1 Xn SX SXn Agora usamos essas equacées e as quatro propriedades das splines ctibicas enunciadas adiante para expressar os coeficientes desconhecidos a b cdi 12n lem termos das coordenadas conhecidas y yy 1 Sx interpola os pontos x yi 12n Como Sx interpola os pontos x yi 12n temos Sx y SQ yp SO Yn 7 Das n 1 primeiras dessas equagoes e de 4 obtemos d yi dp y2 8 dn1 Yn1 546 Algebra Linear com Aplicacées Da Ultima equacgado em 7 da Ultima equagéo em 4 e lembrando que x x A obtemos a b h ch d 9 2 Sx é continua em x x Como Sx continua em x x x segue que em cada ponto x do conjunto XX3X devemos ter S Sx 223n1 10 Caso contrario os graficos de Sx e Sx nao se ligariam formando uma curva continua em x Quando usamos a propriedade de interpolagao Sx y segue de 10 que Sjx yi 23n 1 ou por 4 que ah by h ch d y2 anh byh coh dy y3 11 anh bn2h n2h dy2 Yn1 3 Sx é continua em x x Como Sx é continua em x x x segue que S xi Six i23n1 ou por 5 3ah2bhc c 3ah2bhc c 12 3a 2b htc 5 C4 4 Sx é continua em x x Como Sx é continua em x x x segue que Sy x S i23n1 ou por 6 6ah2b 2b mS 13 6ah 2b 2b As Equagoes 8 9 11 12 e 13 constituem um sistema de 4n 6 equacoes linea res nos 4n 4 coeficientes incdgnitos a b cdi 12n 1 Consequentemen te precisamos de mais duas equagGes para determinar esses coeficientes de maneira tnica Antes de obter essas equacgées adicionais contudo podemos simplificar nosso sistema atual expressando as incégnitas a b ce dem termos das novas quantidades incégnitas M Sx M Sx M Sx e as quantidades conhecidas Vir Yar e9Nn Por exemplo de 6 segue que M 2b M 2b M 2b 104 Interpolacdo spline cubica 547 de modo que b3M b3M b 3M Além disso j4 sabemos de 8 que d dyYy05 Gy n Deixamos como um exercicio deduzir as expressGes para os coeficientes a e c em termos dos Mey O resultado final o seguinte TEOREMA 1041 Interpolagao spline cubica Dados n pontos X Y Yo 5 X COM X xX hi12n la curva spline cubica axx b xx axd x x ax x5 b x x ox x d X x x Sx a1 7X1 y b x x Ch1 x X1 d1 Xn1 x x que interpola esses pontos tem os coeficientes dados por a M M6h bj M2 14 ce 41 A Mj 2Mh6 di y comi12n 1 sendo M Sxi12n A partir desse resultado vemos que as quantidades M M M determinam de modo tnico a curva spline ctibica Para encontrar essas quantidades substituimos em 12 as express6es para a be c dadas em 14 Depois de alguma simplificaca4o algébrica obtemos M 4M M 6y 2y yhr M 4M M 6y 2y y 15 M 4M M 6y2 21 yh ou em formato matricial M 1410 00 0 07 M 2y Ys 014 1 0 0 0 O M Yo 23 Ya 0014 00 0 0 M y3 24 Ys Dob Dob Dl a 000 0 4 1 0 0M Y4 23 FY2 00 0 0 1 4 1 0 M Yn3 2Vp2 Fn 0 0 0 0 ue 0 1 4 1 M Vn2 2y1 TY M Isso um sistema linear de n 2 equag6es nas n incdgnitas M MM Assim ainda precisamos de duas equac6es adicionais para determinar M M M univocamente 548 Algebra Linear com Aplicacées A razao disso é que ha uma infinidade de curvas spline ctibicas que interpolam os pontos dados de modo que simplesmente nao temos condig6es suficientes para determinar uma curva spline ctibica tinica passando pelos pontos A seguir discutimos trés possiveis ma neiras de especificar as duas condig6es adicionais requeridas para obter uma curva spline cubica tinica pelos pontos Os exercicios apresentam mais duas maneiras Na tabela a seguir resumimos essa discussao Tabela 1 ral A decivada segunda v i 41000 0f y 292 a spline e zero nas n vee extremidades I 4 0 0 M 6 Yr 293 Ya port foot i ie 00 0 1 4 1 Mrs Yuan n 000 0 1 4 Mri Spline parabolica A spline se reduz auma MM 510 00 0 M y 2y s emendada parabola no primeiro e MM 141000 M no ultimo intervalos to oo 3 6 Y2 2Y3Yq he oo P41 Mis Vn2 Vn Fn 000 01 54M Spline cubica A spline é uma tinica M 2M M emendada curva ctibica nos dois M 2MM 6 0 0 0 0 0 M 2Y2 Ys primeiros e nos dois I 4 I 0 0 0 M 6 y 2y3 Yy Ultimos intervalos an poof Rr 00 0 Tat M Yn2 21 t Nn 000 00 6lm A spline natural As duas condigdes matematicamente mais simples que podemos impor sao MM0 Essas condig6es junto com 15 resultam num sistema linear n X n para M MM que pode ser escrito em forma matricial como 100 0 0 0 0 M 0 14 10 0 0 O M Y 2y2 Ys 0141 0 0 0 M 6 VY 2y3 4 Dolo Dott PP 0 0 0 0 a 1 4 1 M Vn2 2Vn2 Vy 000 0 0 0 1 M 0 Para calculos numéricos é mais conveniente eliminar M e M desse sistema e escrever 4100 0 0 Of M 2Y2 3 1410 00 0 M Y 2934 Ys 0 1 4 1 0 0 0 M 6 y32yy oo J eff 8 fea 16 0 0 0 0 us 1 4 1 M Vn3 2Yn2 Yn1 0 0 0 0 a 0 1 4 M1 Yn2 2Yn1 Yh 104 Interpolacao spline cubica 549 junto com M0 17 M0 18 Assim 0 sistema linear 16 de tamanho n 2 X n 2 pode ser resolvido nos n 2 coeficientes M MM eM e M sao determinados por 17 e 18 Fisicamente a spline natural resulta quando os extremos do spline de esbogo se es tendem livremente além dos pontos interpolados sem restrigdes As porgOes livres nos extremos da spline fora dos pontos interpolados caem em caminhos retilineos fazendo com que Sx se anule nas extremidades x e xe resultando na condigéo matematica MM0 A spline natural tende a achatar a curva interpoladora nos extremos 0 que pode ser indesejavel E claro que se for exigido que Sx se anule nos extremos entdo a spline natural precisa ser usada As duas restrig6es adicionais impostas para esse tipo de spline sao A spline parabélica M M 19 emendada MM 20 Se usarmos essas duas equacoes para eliminar M e M em 15 obteremos 0 sistema linear de tamanho n 2 X n 2 5 100 0 0 Ol M y 2y Ys 1410 00 0 M yy 2y3 Vy OT 4 Li 0 0 OFF My 6 2 s 21 Dob bt Dott h 0 0 0 0 oT 1 4 1 M Vn3 2Y2 Yn1 0 0 0 0 ue 0 1 5 M1 Yn2 2Vpa1 y em M MM Uma vez determinados esses n 2 valores podemos obter M e M de 19 e 20 A partir de 14 vemos que M M implicaa 0e M M implicaa 0 Assim por 3 nao ha termos ctibicos na férmula para a spline nos intervalos extremos xx e xx Portanto como 0 nome sugere a spline parabolica emendada se reduz a uma parabola nesses intervalos extremos Para esse tipo de spline impomos as duas condig6es adicionais A spline cubica emendada M 2M M 22 M 2MM 23 Usando essas duas equagoes para eliminar M e M em 15 obtemos o sistema linear de tamanho n 2 X n 2 emM M M seguinte 600 0 0 0 0 f y 2y Ys 14 10 0 0 O M Y 2y3 V4 OP A Ti 00 OF Me LB PT Es 24 Dob bt Dolo h 0 0 0 0 1 4 1 M Yn3 2y2 Yn1 0 0 0 0 0 0 6 M Yn2 2V ya y 550 Algebra Linear com Aplicacées Uma vez resolvido esse sistema para M M M podemos usar 22 e 23 para determinar Me M Reescrevendo 22 como M M M M segue de 14 que a a Como Sx 6a em x x eS x 6a em x x vemos que Sx é constante no intervalo x x inteiro Consequentemente Sx consiste numa unica curva cubica no intervalo x x em vez de duas curvas ctibicas diferentes juntadas em x Para ver isso integre Sx trés vezes Uma andlise similar mostra que Sx con siste numa Unica curva ctibica nos dois tltimos intervalos Enquanto a spline natural tende a produzir uma curva interpoladora que é achatada nos extremos a spline clibica emendada tem a tendéncia oposta produz uma curva com acentuada curvatura nos extremos Se nenhum desses comportamentos for desejado a spline parabdlica emendada é uma opao razoavel Usando uma spline parabolica emendada E um fato bastante conhecido que a densidade da Agua atinge um maximo a uma tempera tura ligeiramente acima do ponto de congelamento A Tabela 2 obtida do livro Handbook of Chemistry and Physics editado em Cleveland Ohio EUA pela Chemical Rubber Pu blishing Company da a densidade da 4gua em gramas por centimetro cubico para cinco temperaturas igualmente espacadas no intervalo de 10C a 30C Interpolemos essas cin co medidas de temperatura e densidade com uma spline parabdélica emendada e tentemos descobrir a densidade maxima da 4gua nesse intervalo encontrando o valor maximo nessa curva spline ctibica Nos exercicios pedimos para o leitor executar contas semelhantes usando uma spline natural e uma spline cibica emendada para interpolar esses pontos Consideremos x 10 y 099815 x 0 y 099987 x 10 y 099973 x 20 y 099823 x 30 y 099567 Entao 6ly 2y y3h 00001116 6Ly 2y yh 00000816 6Ly 2y ysh 00000636 e o sistema linear 21 da spline parabdlica emendada é 5 1 0 My 00001116 1 4 1 M 00000816 0 1 5M 00000636 Resolvendo esse sistema obtemos M 000001973 M 000001293 M 000001013 Usando 19 e 20 resulta M M 000001973 M M 000001013 104 Interpolacao spline cubica 551 Tabela 2 Temperatura C Densidade gcm 10 099815 0 099987 10 099973 20 099823 30 099567 Resolvendo em termos dos coeficientes a b ce dem 14 obtemos a expressdo seguinte para a spline parabdlica emendada interpoladora 000000987x 10 00002707x 10 099815 10x 0 Six 0000000113 0 000000987x 0 00000733x 0 099987 O0x 10 x 0000000047 10 000000647x 10 00000900 10 099973 10 x 20 000000507x 20 00002053x 20 099823 20 x 30 Essa spline esta esbogada na Figura 1046 A partir dessa figura vemos que 0 maximo é atingido no intervalo 0 10 Para encontrar esse maximo colocamos S x igual a zero no intervalo 0 10 como segue Sx 0000000339x 00000197x 00000733 0 Com trés digitos significativos a raiz dessa equag4o quadratica no intervalo 0 10 é x 399 e com esse valor de x temos 399 100001 Assim de acordo com nossa estimativa interpoladora a densidade maxima da agua é 100001 gcm atingida a 399C Isso confere com a densidade maxima experimental de 100000 gcm aos 398C No sistema métrico original o grama era definido como a massa de um centimetro ctibico de Agua a densidade maxima 4 100000 099900 5 099800 3 3s 2 099700 A 099600 099500 10 0 10 20 30 Figura 1046 Temperatura C Além de produzir excelentes curvas interpoladoras as splines cubicas e suas generaliza Observacées finais goes so Uteis para derivacao e integracao numérica para a solugaéo numérica de equagdes diferenciais e integrais e na teoria de otimizagao 552 Algebra Linear com Aplicacées Conjunto de exercicios 104 1 Deduza as express6es para os coeficientes a e c nas Equagées 7 A spline periddica Se for conhecido ou desejado que os n 14 do Teorema 1041 pontos x y Xy2 y a serem interpolados este 2 Os seis pontos jam num sé ciclo de uma curva periddica de periodo x x entéo uma curva spline interpoladora Sx deve satisfazer 00 000000 02 019867 04 038942 Ds 5 S Ste 06 056464 08 071736 10 084147 Sx Sx Ss Ss estao no grafico de y sen x sendo x em radianos a Encontre a curva spline parabélica emendada que inter a Mostre que essas trés condig6es de periodicidade exigem pola esses seis pontos com 04 x S 06 Mantenha uma que precisao de cinco casas decimais em suas contas yy b Calcule S05 para a spline encontrada na parte a Qual MM a porcentagem de erro de S05 em relacdo ao valor 4M M M 60 2y yh 9 9 exato de sen05 047943 b Usando as trés equagées da parte a e as Equacgdes 3 Os cinco pontos seguintes 15 construa um sistema linear n 1 X n 1em 0 1 1 7 2 27 3 79 4 181 M M sees M no formato matricial a aye 8 A spline apertada Suponha que além dos n pontos para se estéo em uma tinica curva cubica 2 root rem interpolados sejam dados valores especificos y e y para a Qual dos trés tipos de ctibicas spline natural parabdlica as inclinagdes Sx e Sx da spline ctibica interpoladora emendada ou cubica emendada coincide exatamente com nas extremidades x e x a Unica curva ctibica na qual estio esses cinco pontos a Mostre que b Determine as equacées da spline cbica que vocé esco ae Theu na parte a e mostre que ela uma s6 curva ctibica 2M M 6y y hyh que interpola os cinco pontos 2MM 6yy Aye 4 Repita as contas do Exemplo 1 usando uma spline natural b Usando as equacdes da parte a e as Equacoes 15 para interpolar os cinco pontos de dados medidos construa um sistema linear n X nem M MMno 5 Repita as contas do Exemplo 1 usando uma spline ctibica formato matricial emendada para interpolar os cinco pontos de dados medidos 6 Considere os cinco pontos 0 0 05 1 1 0 15 De Observacao A spline apertada descrita nesse exercicio 0 tipo 2 0 no grafico de y sen7x mais preciso de spline para trabalhos de interpolacdo se forem co a Use uma spline natural para interpolar os pontos 0 0 nhecidas ou puderem ser estimadas as inclinagées nas duas extre 05 1 e C1 0 midades b Use uma spline natural para interpolar os pontos 05 1 1 0 e 15 1 c Explique a natureza pouco usual da resposta obtida na parte b SE y Segao 104 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos T1 Na resolucao do problema da spline ctibica natural é preciso utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é resolver um sistema de equag6es cuja matriz de coeficientes é MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também 4 1 0 0 0 0 pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma calculadora cientifica com funcionalidades de Algebra Linear 14 1 0 0 0 Em cada exercicio vocé devera ler a documentacAo pertinente do Ai 5 ft Ce bobo recurso particular que estiver utilizando O objetivo destes exer 00 0 1 4 1 cicios é fornecer uma competéncia basica na utilizagéo do seu 000 0 1 4 recurso computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes exercicios vocé estara capacitado a usar seu recurso computacio Se conseguirmos encontrar uma formula para a inversa dessa nal para resolver muitos dos problemas nos conjuntos de exercif matriz entao a solucao do problema da spline ctibica natural cios regulares poderd ser encontrada facilmente Neste exercicio e no préximo 105 Cadeias de Markov 553 vamos usar um computador para descobrir essa formula Para D 4 17 D 4 17 715 conseguir isso determinamos primeiro uma express4o para o de D I o D i terminante de A que denotamos pelo simbolo D Como c Use os métodos da Segao 52 e um computador para mostrar A 4 a que pGle A 4 vemos que 2V3 QVv3y Vv3y 2 v3 4 41 Lev3y v3 v5 et v3 D detA det4 4 i ol Wi e e portanto 4 1 D detA det 15 243 23 23 a Use a expansao de determinantes em cofatores para mostrar que comn 1 23 D4D D d Usando um computador confira esse resultado com n n1 n2 l n 10 com n 34 5 Isso significa por exemplo que T2 Neste exercicio determinamos uma formula para calcular A D 4D D 415 4 56 a partir de D com k 0 1 2 3 supondo que D seja definido como 1 D 4D D 456 15 209 a Use um computador para calcular A comk 0 1 2 3 e assim por diante Usando um computador confira esse re 4e5 sultado com 5 n 10 b Usando seu resultado na parte a descubra a conjectura b Escrevendo que D 4D Ds A a e a identidade D D em formato matricial ou seja n n onde a a D 4 1 24 a e PeiPin D n1 1 0 D n2 a D n mostre que comi Sj c Use o resultado da parte b para calcular A re compare com 0 resultado obtido usando o computador 105 Cadeias de Markov Nesta segao descrevemos um modelo geral de um sistema que muda de estado para estado Em seguida aplicamos 0 modelo a varios problemas concretos PREREQUISITOS Sistemas lineares Matrizes Compreenso intuitiva de limites Suponha que um sistema fisico ou matematico esteja sofrendo mudangas tais que acada Um processo de Markov momento ele possa ocupar algum entre um ntmero finito de estados Por exemplo o tempo numa certa cidade poderia estar em um dentre trés estados possiveis ensolarado nublado ou chuvoso ou entao um individuo poderia estar num dentre quatro estados emocionais possiveis feliz triste irritado ou apreensivo Suponha que um tal sistema mude com o tempo de um estado para outro e que em instantes predeterminados obser vemos 0 estado do sistema Se 0 estado do sistema em qualquer observacdo nao puder ser predito com certeza mas se a probabilidade de um certo estado ocorrer puder ser predita unicamente a partir do conhecimento do estado do sistema na observacao imediatamente anterior entéo o processo de mudanga de um estado para outro é denominado uma cadeia de Markov ou um processo de Markov 554 Algebra Linear com Aplicacées DEFINICAQO 1 Se uma cadeia de Markov tiver k estados possiveis que identificamos por 1 2k entao a probabilidade de o sistema estar no estado i em qualquer obser vacao se na observacao imediatamente precedente estava no estado j denotada por p e denominada probabilidade de transigdo do estado j ao estado i A matriz P p é denominada matriz de transido da cadeia de Markov Por exemplo numa cadeia de Markov de trés estados a matriz de transigéo tem o formato Estado precedente 1 2 3 Pu Pr Plt Po Px P23 2 Novoestado Px P32 P33 3 Nessa matriz p a probabilidade de que o sistema v4 mudar do estado 2 para o estado 3 P a probabilidade de que o sistema va continuar no estado imediatamente depois de ter sido observado no estado 1 e assim por diante Matriz de transigao da cadeia de Markov Uma locadora de automoveis tem trés lojas de atendimento denotadas por 1 2 e 3 Um cliente pode alugar um carro de qualquer uma das trés lojas e devolver o carro para qual quer uma das trés lojas O gerente nota que os clientes costumam devolver os carros de acordo com as probabilidades seguintes Alugado da loja 1 2 3 08 03 02 1 01 02 06 2 Devolvido re a loja 01 05 02 3 Essa matriz a matriz de transigao do sistema se ele for considerado uma cadeia de Markov A partir dessa matriz a probabilidade de que um carro alugado na loja 3 va ser devolvido na loja 2 06 a probabilidade de que um carro alugado na loja va ser devol vido na loja 08 e assim por diante Matriz de transigao da cadeia de Markov Conferindo os registros de doag6es recebidas a secretaria da associagao de exalunos de uma universidade norteamericana observa que 80 de seus exalunos que contribuem ao fundo da associagao num certo ano também contribuem no ano seguinte e que 30 dos que nao contribuem num certo ano contribuem no ano seguinte Isso pode ser visto como uma cadeia de Markov de dois estados 0 estado corresponde a um exaluno que contribui em um ano qualquer e o estado 2 corresponde a um exaluno que nao contribui naquele ano A matriz de transicgao é 08 03 P 02 07 Nos exemplos acima as matrizes de transigao das cadeias de Markov tém a proprie dade que as entradas em qualquer coluna somam 1 Isso nao acidental Se P p fora matriz de transigaéo de uma cadeia de Markov qualquer de k estados entao dado qualquer Jj devemos ter Py t Py too py l qd 105 Cadeias de Markov 555 porque se o sistema estiver no estado j numa observagao é certo que estara num dos k estados possiveis na proxima observacao Uma matriz com a propriedade 1 é denominada matriz estocdstica matriz de pro babilidade ou matriz de Markov Pelo discussao precedente segue que a matriz de transi ao de uma cadeia de Markov deve ser uma matriz estocastica Em geral nao pode ser determinado com certeza 0 estado de um sistema em uma cadeia de Markov numa observacio arbitraria O melhor que podemos fazer especifi car probabilidades de cada um dos estados possiveis Por exemplo podemos descrever o estado possivel do sistema numa certa observagéo em uma cadeia de Markov com trés estados por um vetor coluna x X x 3 no qual x a probabilidade de que o sistema esteja no estado 1 x a probabilidade de que ele esteja no estado 2 e x a probabilidade de que ele esteja no estado 3 Em geral temos a definicgao seguinte DEFINICAO 2 O vetor estado de uma observacao de uma cadeia de Markov com k estados um vetor coluna x cujo iésimo componente x a probabilidade de o sistema estar naquela observagao no iésimo estado Observe que as entradas em qualquer vetor estado de uma cadeia de Markov sao nao negativas e tem soma Por qué Um vetor coluna com essa propriedade é denominado vetor de probabilidade Suponha agora que saibamos o vetor estado x de uma cadeia de Markov em al guma observacio inicial O teorema seguinte nos permitira determinar os vetores estado x Xe nas observagOes subsequentes TEOREMA 1051 Se P for a matriz de transicao de uma cadeia de Markov e x 0 poe Ps a ntl n vetor estado na enésima observacdao entdo x Px A prova desse teorema envolve ideias da teoria de probabilidades e nao sera dada aqui Desse teorema segue que xO Px x PX Px xo Px Px x Px Px Dessa maneira 0 vetor estado inicial x e a matriz de transigao P determinam x com n12 De novo o Exemplo 2 A matriz de transigaéo no Exemplo 2 foi 08 03 P 02 07 556 Algebra Linear com Aplicacées Agora construimos um registro futuro provavel de doagdes de um novo graduado que nao tenha doado no primeiro ano apos a formatura Para tal graduado o sistema esta inicial mente com certeza no estado 2 de modo que o vetor estado inicial é ef 1 Pelo Teorema 1051 temos entao x px 08 03 0 03 02 07 1 07 x px 08 03 03 045 02 07 07 055 08 03 045 0525 3 2 P eee lo o7 Loss as Assim depois de trés anos podese esperar com probabilidade 0525 que o exaluno ira fazer uma doagao Depois de trés anos obtemos os seguintes vetores estado com até trés casas decimais Oa 0563 xO 0581 xo 0591 i 0595 0438 0419 0409 0405 0598 Oa 0599 x 0599 xe 0600 0402 0401 0401 0400 Com cada n depois de 11 temos a 0600 x 0400 até trés casas decimais Em outras palavras os vetores estado convergem a um vetor fixo a medida que cresce 0 numero de observacées Voltamos a discutir isso mais adiante De novo o Exemplo 1 A matriz de transigéo no Exemplo foi 08 03 02 01 02 06 01 05 02 Se um carro for inicialmente alugado da loja 2 entao o vetor estado inicial sera 0 x 1 0 Tabela 1 n x o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x 0 0300 0400 0477 0511 0533 0544 0550 0553 0555 0556 0557 x 1 0200 0370 0252 0261 0240 0238 0233 0232 0231 0230 0230 x 0 0500 0230 0271 0228 0227 0219 0217 0215 0214 0214 0213 105 Cadeias de Markov 557 Usando esse vetor e 0 Teorema 1051 obtemos os vetores estado posteriores listados na Tabela 1 Com qualquer valor de n maior do que 11 todos os vetores estado sao iguais a x até a terceira casa decimal Nesse exemplo deveriam ser observadas duas coisas Em primeiro lugar nao foi necess4rio saber por quanto tempo o cliente permaneceu com 0 carro Ou seja num pro cesso de Markov o tempo entre as observagGes nao precisa ser regular Em segundo lugar os vetores estado convergem a um vetor fixo 4 medida que n cresce exatamente como no exemplo anterior 4 Usando o Teorema 1051 Uma guarda de transito é designada para controlar o trafego nos oito cruzamentos indica dos na Figura 1051 Ela é instruida a permanecer em cada cruzamento por uma hora e L em seguida permanecer no mesmo cruzamento ou seguir para um cruzamento adjacente 1 2 Para evitar que ela estabeleca um padrao ela deve escolher 0 novo cruzamento de maneira im aleatoria com qualquer escolha igualmente provavel Por exemplo se ela estiver no cru zamento 5 seu pr6éximo cruzamento podera ser 2 4 5 ou 8 cada um com probabilidade i 3 4 5 Todo dia ela comega no cruzamento em que parou no dia anterior A matriz de transigao dessa cadeia de Markov é Cruzamento velho 6 7 8 123 4 5 6 7 8 1 od l Figura 1051 3 37 9 0 0 0 0 1 11 1 3 37 9 0 0 0 0 2 14 1 0 0 37 3 0 3 O OF 3 1 loi 4 1 3 9 3 5 g 9 g OF 4 Cruzamento 1 14 I novo 03 0 7 0 O 3 5 1 11 00 00 3 O 6 1 11 1 00053 O 3 G 37 1 11 000 0 4 0 3 8 Se a guarda inicialmente comega no cruzamento 5 suas provaveis localizag6es hora a hora sao dadas pelos vetores estado da Tabela 2 Com qualquer valor de n maior do que 22 todos os vetores estado sao iguais a x até a terceira casa decimal Assim como nos dois primeiros exemplos os vetores estado convergem a um vetor fixo 4 medida que n cresce 4 Tabela 2 n x 0 1 2 3 4 5 10 15 20 22 x 0 0000 0133 0116 0130 0123 0113 0109 0108 0107 xD 0 0250 0146 0163 0140 0138 0115 0109 0108 0107 x 0 0000 0050 0039 0067 0073 0100 1106 0107 0107 xp 0 0250 0113 0187 0162 0178 0178 0179 0179 0179 x 0 0250 0279 0190 0190 0168 0149 0144 0143 0143 x 1 0000 0000 0050 0056 0047 0099 0105 0107 0107 x 0 0000 0133 0104 0131 0125 0138 0142 0143 0143 x 0 0250 0146 0152 0124 0121 0108 0107 0107 0107 558 Algebra Linear com Aplicacées Comportamento limite de Nos nossos exemplos vimos que os vetores estado convergem a algum vetor fixo 4 me vetores estado dida que o nimero de observag6es cresce Agora nos perguntamos se os vetores estado sempre convergem a um vetor fixo numa cadeia de Markov Um exemplo simples mostra que isso nao ocorre O sistema oscila entre dois vetores estado Sejam 0 1 0 1 P e x k 0 0 Entao como PleP P temos KO aH xP HM Re l 0 e 0 x x x ed 1 ao I 0 Esse sistema oscila indefinidamente entre os dois vetores estado 0 e I e portanto nao converge a vetor fixadoalgum 4 No entanto impondo uma restrigAo fraca 4 matriz de transigéo podemos mostrar que 0 sistema de aproxima de um vetor estado fixo Essa condiao é descrita na proxima definicao DEFINICAO 3 Uma matriz de transicao é regular se uma poténcia positiva da matriz tem todas as entradas positivas Assim se P for uma matriz de transicdo regular existe algum inteiro positivo m tal que todas as entradas de P sao positivas Isso ocorre com as matrizes de transicdéo nos Exem plos 1 e 2 com m 1 No Exemplo 5 é 0 caso em que P tem todas as entradas positivas Consequentemente a matriz de transicao é regular em todos esses exemplos Uma cadeia de Markov que é governada por uma matriz de transiAo regular é deno minada cadeia de Markov regular Veremos que qualquer cadeia de Markov regular pos sui um vetor estado fixo q tal que com qualquer escolha x o vetor Px converge a q quando n aumenta Esse resultado é da maior importancia na teoria de cadeias de Markov e tem por base o teorema seguinte TEOREMA 1052 Comportamento de P quando n Se P for uma matriz de transido regular entado com n nn Wi Pp 2 a 2 Ge UW em que os q Sdo nimeros positivos tais que q q q 1 Nao provamos esse teorema aqui O leitor interessado pode consultar um texto mais especializado por exemplo o de J Kemeny e J Snell Finite Markov Chains New York Springer Verlag 1976 105 Cadeias de Markov 559 Definamos nao q o2 galt Ge Ue I Assim Q uma matriz de transigao com todas colunas iguais ao vetor de probabilidade q A propriedade de Q é que a cada vetor de probabilidade x temos 1 a ot x WX Wy Hi bm x4 aX F YXq HP GoXy Ox 7 f WM MYL GX F UXy Ho UX N QD 4 x Ma4q Nk Isso mostra que Q transforma qualquer vetor de probabilidade x no vetor de probabilidade q fixo Esse resultado leva ao teorema seguinte TEOREMA 1053 Comportamento de Px quando n Se P for uma matriz de transigdo regular e x um vetor de probabilidade qualquer en tdo comn qq Px 2 q Ik em que q é um vetor de probabilidade fixo independente de n cujas entradas sao todas positivas Esse resultado vale pois o Teorema 1052 implica que P Q com n de modo que Px Ox qcomn Assim para uma cadeia de Markov regular 0 sistema sempre acaba convergindo para um vetor estado q fixo O vetor q é denominado vetor de estado estaciondrio da cadeia de Markov regular Geralmente a técnica mais eficiente de calcular 0 vetor de estado estacionario q de sistemas com muitos estados é simplesmente calcular Px com algum n grande Nossos exemplos ilustram esse procedimento Cada um um processo de Markov regular de modo que é garantida a convergéncia a um vetor de estado estacionario Uma outra ma neira de calcular o vetor de estado estacionario é utilizar o teorema seguinte TEOREMA 1054 Vetor de estado estacionario O vetor de estado estaciondrio q de uma matriz de transido regular P é 0 unico vetor de probabilidade que satisfaz a equacdo Pq q Para ver isso considere a identidade matricial PP P Pelo Teorema 1052 ambas iteradas P e P convergem a Q comn Assim temos PQ Q Qualquer uma das colunas dessa equacao matricial da Pq q Para mostrar que q 0 unico vetor de proba 560 Algebra Linear com Aplicacdes bilidade que satisfaz essa equagao suponha que r seja um outro vetor de probabilidade tal que Pr r Entéo também Pr rcomn 1 2 Pelo Teorema 1053 quando n resulta q r O Teorema 1054 também pode ser expresso da maneira seguinte O sistema linear homogéneo U Pq0 tem um unico vetor solugdo q com entradas nao negativas que satisfazem a condiao g q q 1 Podemos aplicar essa técnica ao calculo do vetor de estado estaciona rio de nossos exemplos De novo o Exemplo 2 No Exemplo 2 a matriz de transigAo foi pe 08 03 02 07 de modo que o sistema linear J Pq 0 02 03 0 2 02 03 La 0 Isso leva a uma s6 equacao independente 02q 03q 0 ou q 154 Assim colocando g s qualquer solucdo de 2 é da forma hs qs onde s é uma constante arbitraria Para fazer do vetor q um vetor de probabilidade colo camos s 115 1 04 Consequentemente 06 1 Lo é o vetor de estado estacionario dessa cadeia de Markov regular Isso significa que a lon go termo 60 dos exalunos daraéo uma doa4o em algum ano e 40 nao Observe que isso confere com 0 resultado obtido numericamente no Exemplo 3 De novo o Exemplo 1 No Exemplo 1 a matriz de transigAo foi 08 03 02 P101 02 06 01 05 02 de modo que o sistema linear J Pq 0 02 03 02 4q 0 01 08 06q90 01 05 08 gs 0 105 Cadeias de Markov 561 A forma escalonada reduzida por linhas da matriz de coeficientes é verifique 34 1 0 F 14 0 1 F 0 0 0 de modo que o sistema linear original é equivalente ao sistema 34 a Sa Pondo g s qualquer solucdo do sistema linear é da forma 34 13 14 q5 5 1 Para fazer disso um vetor de probabilidade colocamos 1 13 S 34 14 a Btratl 6l Assim o vetor de estado estacionario desse sistema é at 05573 13 02131 61 Isso confere com o resultado obtido numericamente na Tabela 1 As entradas de q dao as probabilidades de que a longo termo um carro qualquer va ser devolvido 4 loja 1 2 ou 3 respectivamente Se a locadora de automéveis tiver 1000 carros deveria projetar suas instalagdes de modo a ter pelo menos 558 vagas na loja 1 pelo menos 230 vagas na loja 2 e pelo menos 214 vagas na loja 3 De novo o Exemplo 5 Nao veremos os detalhes das contas mas simplesmente afirmamos que 0 Unico vetor so lugao de probabilidade do sistema linear J Pq 0 3 38 01071 3 35 01071 3 7 01071 5 q is 01785 R 01428 3 R 01071 4 xR 01428 3 38 01071 As entradas desse vetor indicam a proporgao de tempo que a guarda de transito perma nece a longo termo em cada cruzamento Assim nao é adequada a estratégia de movi mentagao aleatéria com probabilidades iguais para cada cruzamento se 0 objetivo dela for passar a mesma proporcao de tempo em cada cruzamento Ver Exercicio 5 4 562 Algebra Linear com Aplicacdes Conjunto de exercicios 105 1 Considere a matriz de transicao a Mostre que P nao é regular 04 05 0 P b Mostre que quando n cresce Px converge a 06 05 1 wn w 1 qualquer que seja o vetor estado inicial x a Calcule x comn 1 2345 sex oe ays a 0 c Qual conclusao do Teorema 1053 nao é valida para o b Enuncie por que P é regular e encontre seu vetor de estado estaciondario dessa matriz de transig4o estado estacionario 5 Mostre que se P for uma matriz de transicdo regular k X k tal 2 Considere a matriz de transicaio que a soma das entradas de cada linha é 1 entio as entradas do vetor de estado estaciondario serao todas iguais a Ik 02 01 07 6 Mostre que a matriz de transicao P106 04 02 11 02 05 01 09 3 3 P3 4 0 M 2 A 12 2 a Calcule x x ex com trés casas decimais se 1 1 7 9 3 0 xo 0 é regular e use o Exercicio 5 para encontrar seu vetor de 1 estado estacionario 7 O Joao ou esta alegre ou esta triste Se ele estiver alegre num b Enuncie por que P é regular e encontre seu vetor de dia quatro em cinco vezes ele estara alegre no dia seguinte estado estacionéario Se ele estiver triste num dia uma em trés vezes ele estara 3 Em cada caso encontre o vetor de estado estacionario da ma triste no dia seguinte A longo termo quais sitio as chances do x Joao estar alegre num dado dia qualquer triz de transigao regular 1 1 g 8 Um pais é dividido em trés regides demograficas Observase 1 3 081 026 32 que a cada ano 5 dos moradores da regiaéo 1 mudam para a 34 b ci 0 a regiaéo 2 e 5 mudam para a regido 3 Dos moradores da 2 1 019 074 3 4 Ne 30 4 1 1 3 regiao 2 15 mudam para a regiao e 10 mudam para a 3 2 4 regiao 3 Finalmente dos moradores da regiao 3 10 mudam 4 Seja P a matriz de transicaéo para a regiao 1 e 5 mudam para a regiao 2 A longo termo 1 qual porcentagem da populacéo mora em cada uma das trés regides I 2 1 S gy Secao 105 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos com utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é 1 MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também 0 2 0 0 3 pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma Pi P0 5 calculadora cientifica com funcionalidades de Algebra Linear 1 til Em cada exercicio vocé devera ler a documentacAo pertinente do 2 3 recurso particular que estiver utilizando O objetivo destes exer 000 0 43 cicios é fornecer uma competéncia bdsica na utilizagao do seu 00 0 000 11 recurso computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes 002 1 45 cas A 4 exercicios vocé estara capacitado a usar seu recurso computacio P 0 i P0 O 3 nal para resolver muitos dos problemas nos conjuntos de exerci 2 3 4 oi 1 1 21 1 io 2 3 4 5 cios regulares 1 5 3 pbb T1 Considere a sequéncia de matrizes de transicg4o 2 3 4S P P3 Py e assim por diante 106 Teoria de grafos 563 a Use um computador para mostrar que cada uma dessas c Use um argumento de simetria para mostrar que esse matrizes é regular calculando seus quadrados problema pode ser resolvido usando somente uma matriz b Verifique o Teorema 1052 calculando a centésima 3 x 3 poténcia de P com k 2 3 4 5 Em seguida forneca uma conjectura sobre o valor limite de P quando n qualquer que sejak 234 1 2 3 c Verifique que a coluna comum q da matriz limite encon a trada na parte b satisfaz a equacdo Pq q conforme exige o Teorema 1054 T2 Um camundongo é colocado numa caixa com nove comparti mentos como mostra a figura dada Suponha que seja igual 4 5 ey 6 mente provavel que o camundongo passe por qualquer uma pF das portas do compartimento ou que permaneca parado num mesmo compartimento a Construa a matriz de transig4o 9 X 9 para esse problema e mostre que é regular 7 FF 8 9 b Determine o vetor de estado estaciondrio da matriz Figura ExT2 106 Teoria de grafos Nesta secao introduzimos representag6es matriciais das relagdes entre elementos de um conjunto e usamos aritmética matricial para analisar essas relagGes PREREQUISITO Adigao e multiplicagao de matrizes Existem inimeros exemplos de conjuntos com um numero finito de elementos nos quais Reacdes entre os elementos existe alguma relacdo entre os elementos do conjunto Por exemplo 0 conjunto poderia de um conjunto consistir numa colecao de pessoas animais paises companhias equipes esportivas ou ci dades e a relagdo entre dois elementos A e B de um tal conjunto poderia ser que a pessoa A domina a pessoa B 0 animal A alimentase do animal B 0 pais A apoia militarmente o pais B a companhia A vende seus produtos para a companhia B a equipe A sistematica mente derrota a equipe B ou a cidade A possui um voo sem escalas para a cidade B Veremos agora como a teoria de grafos dirigidos pode ser usada para modelar mate maticamente relagdes como as dos exemplos precedentes Um grafo dirigido é um conjunto finito de elementos P PPjuntamente com Grafos dirigidos uma colegao finita de pares ordenados P P de elementos distintos desse conjunto sem repeticao de pares ordenados Os elementos do conjunto séo denominados vértices e os pares ordenados arestas dirigidas do grafo dirigido Usamos a notago P P que le mos P esté conectado a P para indicar que a aresta dirigida P P pertence ao grafo dirigido Geometricamente podemos visualizar um grafo dirigido Figura 1061 repre P sentando os vértices como pontos no plano e representando a aresta dirigida P P por P um segmento de reta ou de arco do vértice P até o vértice P com uma seta apontando de P para P Se ambos P P e P P forem validos caso que denotamos por P P P P desenhamos somente um segmento entre P e P mas com setas apontando em ambos os P sentidos como entre Pe P na figura oPs wae P Como ocorre na Figura 1061 por exemplo um grafo dirigido pode ter compo nentes separados de vértices que sao conectados somente entre si bem como alguns Figura 1061 564 Algebra Linear com Aplicacées P P vértices tal como P que podem n4o estar conectados com nenhum outro vértice Além disso como P P nao é permitido num grafico dirigido um vértice nao pode estar conectado consigo mesmo por um Unico arco que nao passe por nenhum outro vértice A Figura 1062 mostra diagramas representando outros trés exemplos de grafos di P P rigidos Dado um grafo dirigido de n vértices podemos associar ao grafo dirigido uma a matriz M m de tamanho n X n denominada matriz de vértices do grafo dirigido como segue Os elementos da matriz sao definidos por P m 1 seP P u 0 caso contrdrio com ij 127 Para os trés grafos dirigidos da Figura 1062 as matrizes de vér P P tices correspondentes sao 0 1 0 0 A Figura 1062 m0 igura 1062a P 0101 b 000 0 0 1 00 1 Mr 00110 Figura 1062b M0 0 0 1 0 P 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 P 0 1 0 0 1 0 1 0 c Figura 1062c M 1001 Figura 1062 100 0 Por definigao as matrizes de vértices tém as propriedades seguintes i Todas as entradas sao 0 ou 1 ii Todas as entradas na diagonal principal sao 0 Reciprocamente qualquer matriz com essas propriedades determina um Unico grafo P dirigido cuja matriz de vértices é a matriz dada Por exemplo a matriz P 0 1 1 0 P Me 0 0 1 0 100 1 P 0 0 0 0 Figura 1063 La determina o grafo dirigido da Figura 1063 M FN Influéncias numa familia Uma certa familia consiste numa mae num pai numa filha e em dois filhos Os membros da familia exercem influéncia ou poder sobre cada outro membro da familia da seguinte maneira a mae pode influenciar a filha e o filho mais velho o pai pode influenciar os dois filhos a filha pode influenciar 0 pai o filho mais velho pode influenciar o filho mais novo 0 filho mais novo pode influenciar a mae Podemos modelar esse padrao de FA p influéncia familiar com um grafo dirigido cujos vértices s4o os cinco membros da familia Figura 1064 Se o membro da familia A influencia o membro B escrevemos A B A Figura 1064 é 106 Teoria de grafos 565 o grafo dirigido resultante sendo que usamos as letras M P FA FV e FN para denotar a mae o pai a filha o filho mais velho e o filho mais novo respectivamente A matriz de vértices desse grafo dirigido é M P FA FV FN M0O 0 1 1 0 P0 0 0 1 1 FAO 1 0 0 O FVO 0 0 0 1 FN1 0 0 0 O Matriz de vértices movimentos de xadrez fa laa No jogo de xadrez 0 cavalo se move pelo tabuleiro num padrao L No tabuleiro da Al lal Figura 1065 ele pode se mover horizontalmente duas casas e depois verticalmente uma Pitta casa ou entao ele pode se mover verticalmente duas casas e depois horizontalmente uma casa Assim a partir da casa central branca do tabuleiro 0 cavalo pode se mover para Ay lal qualquer uma das oito casas pretas marcadas com um cavalo na figura Suponha agora que o cavalo esteja restrito 4s nove casas numeradas da Figura 1066 Se i j significa 14 lal que 0 cavalo pode se mover da casa i para a casa j entao o grafo dirigido da Figura 1067 ilustra todos os possiveis movimentos que o cavalo pode fazer dentre essas nove casas Figura 1065 Na Figura 1068 desenrolamos a Figura 1067 para deixar mais claro 0 padrao de movimentos possiveis A matriz de vértices desse grafo dirigido é dada por 000001010 pas e 0000001 0 1 000 1 0 0 0 1 0 pa a 0901000001 Figura 1066 M0 00 000 0 0 0 100000 1 0 0 1 2 3 0 1000 1 0 0 0 101 00 0 0 0 0 0 1 01 00 0 0 0 4 6 No Exemplo I 0 pai nao pode influenciar diretamente a mae ou seja F M nao é ver dadeiro Mas o pai pode influenciar o filho mais novo que pode entao influenciar a mae Escrevemos isso como P FN M e dizemos que isso é uma conexdo de 2 passos de 7 3 9 P para M Analogamente dizemos que M FA é uma conexdao de I passo P FV FN M uma conexdao de 3 passos e assim por diante Consideremos agora uma técnica Figura 1067 para encontrar 0 ntiimero de todas as conex6es de r passos r 12 de um vértice P para um vértice Pde um grafo dirigido qualquer Isso inclui 0 caso em que P e P forem 8 0 mesmo vértice O numero de conexGes de 1 passo de P para P simplesmente m Ou 1 3 seja ha somente zero ou uma conexao de passo de P para P dependendo se m for zero ou um Para o nimero de conex6es de 2 passos consideramos o quadrado da matriz de vértices Se m for o i jésimo elemento de M temos 6 4 my m mn MyM MN 1 Agora se m m 1 existe uma conexao de 2 passos P P P de P para P 7 No entanto se m ou se m for zero uma tal conexao de 2 passos nao possivel Assim 2 P P P uma conexao de 2 passos se e somente se mm 1 Analogamente Figura 1068 566 Algebra Linear com Aplicacdes dado qualquer k 12n PP P é uma conex4o de 2 passos de P para P se e So se o termo MylNg a direita de 1 for igual a um caso contrario 0 termo é zero Assim 0 lado direito de 1 o numero total de conex6es de 2 passos de P para P Um argumento analogo funciona para encontrar o nimero de conexG6es de 3 47 passos de P para P Em geral temos 0 resultado seguinte TEOREMA 1061 Seja M a matriz de vértices de um grafo dirigido e seja my O i jésimo elemento de M Entdo my é igual ao numero de conexées de r passos de P para P Usando o Teorema 1061 P A Figura 1069 é 0 mapa das rotas de uma pequena companhia aérea que atende as quatro cidades P P Pe P Como grafo dirigido a matriz de vértices é 0 1 1 0 P P M 1 0 1 0 1 00 1 0 1 1 0 P Temos Figura 1069 201 1 13 3 1 2 1 11 1 3 22 3 1 M e M 0 2 2 0 402 2 201 1 13 3 1 Se estivermos interessados nas conex6es da cidade P para a cidade P podemos usar 0 Teorema 1061 para saber quantas existem Como m 1 existe uma conexao de um passo como m3 I existe uma conexdo de 2 passos e como m5 1 existem 3 cone x0es de 3 passos Para verificar isso da Figura 1069 obtemos conex6es de passo de P para P P P conex6es de 2 passos de P para P P P P conex6es de 3 passo de P para P P P P P P7PPP PPP7P 4 Panelas Na linguagem do dia a dia uma panela é um grupo coeso de pessoas em geral trés ou mais que tendem a se comunicar entre si e que nao tém lugar para pessoas fora do grupo Na teoria de grafos damos um sentido mais preciso a esse conceito DEFINICAQ 1 Um subconjunto de um grafo dirigido é denominado panela se satisfi zer as trés condig6es seguintes i O subconjunto contém pelo menos trés vértices ii Dado qualquer par de vértices P e P no subconjunto ambos P P e P P sao verdadeiros 111 O subconjunto é tao grande quanto possivel ou seja nao é possivel acrescentar mais um vértice ao subconjunto e ainda satisfazer a condicAo ii 106 Teoria de grafos 567 Essa definigao sugere que as panelas sao subconjuntos maximos de elementos que estao em comunicacao perfeita uns com os outros Por exemplo se os vértices representarem cidades e P P significar que existe um voo direto de P para P entao existirao voos diretos em ambos sentidos entre duas cidades quaisquer de uma panela Um grafo dirigido com duas panelas Ps O grafo dirigido ilustrado na Figura 10610 que poderia representar 0 mapa das rotas de uma companhia aérea tem duas panelas a saber PPPP e PPP Ps Po Esse exemplo mostra que um grafo dirigido pode conter varias panelas e que um vértice pode pertencer simultaneamente a mais de uma panela 4 P Nos grafos dirigidos simples as panelas podem ser encontradas por inspecao mas fr em grafos dirigidos maiores seria desejavel ter um procedimento sistematico de detectar panelas Para esse proposito conveniente definir uma matriz S s relacionada ao Pi P grafo dirigido como segue Figura 10610 1 seP Pj Sj ee J 0 caso contrario P Ps A matriz S determina um grafo dirigido idéntico ao grafo dirigido dado exceto que as arestas com somente uma seta foram suprimidas Por exemplo se o grafo dirigido original for o dado na Figura 1061 1a entao o grafo dirigido que tem S como matriz de vértices é dado na Figura 10611b A matriz S pode ser obtida da matriz de vértices P Py M do grafo dirigido original colocando s 1 sem m 1 es 0 caso contrario O teorema seguinte que utiliza a matriz S é util para identificar panelas P TEOREMA 1062 Identificando panelas a Seja 5 o i jésimo elemento de S Entao um vértice P pertence a uma panela se e SO Se ss 0 P oP Prova Se se 0 ento existe pelo menos uma conex4o de 3 passos de P para si mes P P cose o 2 4 mo no grafo dirigido modificado determinado por S digamos P P P P No grafo dirigido modificado todas as relag6es dirigidas so bilaterais de modo que também temos as conexoes P P P P No entanto isso significa que P P P ou uma panela ou um subconjunto de uma panela Em ambos casos P deve pertencer a al P guma panela A afirmacdo reciproca que se P pertencer a alguma panela entao s 0 b segue de maneira similar 4 Figura 10611 Usando o Teorema 1062 Suponha que um grafo dirigido tenha como matriz de vértices O01 1 1 1 0 1 0 M 0 10 1 1 00 0 568 Algebra Linear com Aplicacdes Entao 0 10 1 03 0 2 5 1 0 1 0 3 02 0 e 0 1 0 0 02 0 1 1 0 0 0 2 0 1 0 Como todas as entradas diagonais de S siio zero segue do Teorema 1062 que o grafo dirigido nao possui panelas Usando o Teorema 1062 Suponha que um grafo dirigido tenha como matriz de vértices 0101 1 100 1 0 M1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 100 1 0 Entao 0101 1 24 0 4 3 100 1 0 420 3 1 S0 000 0 e S0 00 0 0 1 10 0 0 43 02 1 100 0 0 3 101 0 As entradas diagonais de s sao s ss e si Consequentemente nesse grafo dirigido P P e P pertencem a panelas Como uma panela deve conter pelo menos trés vértices 0 grafo dirigido dado tem somente uma panela a saber P P P 4 Grafos dirigidos por Em muitos grupos de individuos ou animais existe uma ordem de dominagao bem direcio dominancia nada entre quaisquer dois de seus membros Ou seja dados dois individuos A e B quaisquer ou A domina B ou B domina A mas nao ambos Em termos de grafos dirigidos nos quais P P significa que P domina P isso significa que dados quaisquer pares de pontos dis tintos ou P P ou P P mas nao ambos Em geral temos a definicgao seguinte DEFINICAO 2 Um grafo dirigido por domindncia é um grafo dirigido tal que dado qualquer par de vértices distintos Pe P ou P P ou P P mas nao ambos Um exemplo de grafo dirigido satisfazendo essa definigdo é uma divisado de n equipes esportivas em que cada equipe joga exatamente uma vez com cada uma das outras e em que nao sao permitidos empates no estilo de rodadas eliminatérias de um torneio Se P P significa que P derrota P é facil ver que a definigao de grafo dirigido por domi nancia esta satisfeita Por causa desse aspecto os grafos dirigidos por dominancia sao as vezes denominados torneios A Figura 10612 da alguns grafos dirigidos por dominancia com trés quatro e cin co vértices respectivamente Nesses trés grafos os vértices circulados tém a seguinte propriedade interessante de cada um deles existe uma conex4o de ou de 2 passos para cada outro vértice do grafo Num torneio esportivo esses vértices correspondem as equi pes mais poderosas que ou derrotam uma outra equipe ou derrotam uma equipe que derrota essa outra equipe Agora podemos enunciar e provar um teorema que garante que qualquer grafo dirigido por dominancia tem pelo menos um vértice com essa propriedade 106 Teoria de grafos 569 P TEOREMA 1063 Conex6ées em grafos dirigidos por dominancia Em qualquer grafo dirigido por dominancia existe pelo menos um vértice do qual existem conexdes de I ou de 2 passos para qualquer outro vértice P Prova Considere um vértice pode haver varios com 0 maior numero total de conexées de 1 e de 2 passos para os outros vértices do grafo Renumerando se necessario os vérti a ces podemos supor que P seja um tal vértice Suponha que P seja um vértice tal que nao existam conex6es de ou de 2 passos de P para P Entaéo em particular P P nao é verdadeiro de modo que pela definigdo de grafo dirigido por dominancia P P ver dadeiro Suponha agora que P seja um vértice tal que P P verdadeiro Entao nao podemos ter P P pois nesse caso P P Pseria uma conexao de 2 passos de P para P Assim necessariamente P P é verdadeiro Ou seja P tem uma conexao de 1 passo para todos os vértices para os quais P tem uma conex4o de passo Esse vértice P também tem entao uma conexdo de 2 passos para todos os vértices para os quais P tem P uma conexdo de 2 passos No entanto temos adicionalmente que P P verdadeiro de modo que P tem mais conex6es de e de 2 passos a outros vértices do grafo do que P 0 Isso contradiz a maneira pela qual escolhemos P pelo que concluimos que nao existe o tal vértice P para o qual P nao possui conexées de 1 ede 2 passos 4 P Essa prova mostra que um vértice com 0 maior ntimero total de conex6es de e de 2 passos para os outros vértices do grafo tem a propriedade enunciada no teorema Existe uma maneira simples de encontrar tais vértices usando a matriz de vértices M e seu quadrado M A soma das entradas na iésima linha de M é 0 ntmero total de conexées de 1 passo de P para os outros vértices e a soma das entradas na iésima linha de M 60 numero total de conex6es de 2 passos de P para os outros vértices Consequentemente a soma das entradas Pa na iésima linha da matriz A M M 0 nimero total de conexoes de e de 2 passos de c P para os outros vértices Em outras palavras uma linha de A M M com a maior soma de entradas identifica um vértice com a propriedade enunciada no Teorema 1063 Figura 10612 Usando o Teorema 1063 Suponha que cinco tenistas joguem exatamente uma vez entre si e que os resultados sejam os indicados no grafo dirigido por dominancia da Figura 10613 A matriz de vértices do grafo é P 001 1 0 101 0 1 M0 00 1 0 P p 0 1 00 0 101 1 0 e entao 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 2 0 P P 1010 1 102 3 0 203 3 1 Figura 10613 AMM0 0 0 1 00 1 0 0 O0J0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 101 0 1 1 110 1 101 1 0 0 1 1 2 0 1 12 3 0 A soma das linhas de A soma das entradas da 1 linha 4 soma das entradas da 2 linha 9 soma das entradas da 3 linha 2 soma das entradas da 4 linha 4 soma das entradas da 5 linha 7 570 Algebra Linear com Aplicacées Como a segunda linha tem a maior soma de entradas 0 vértice P deve ter uma conexdo de 1 ou de 2 passos com cada um dos demais vértices Isso é facilmente confirmado na Figura 10613 4 Informalmente foi sugerido que um vértice com o maior nimero de conex6es de e de 2 passos para os outros vértices do grafo é um vértice poderoso Podemos formalizar esse conceito com a definiao seguinte DEFINICAO 3 O poder de um vértice num grafo dirigido por domindncia é 0 nimero total de suas conexGées de e de 2 passos para os outros vértices do grafo Alternati vamente 0 poder de um vértice P a soma das entradas da iésima linha da matriz AMMem que M é a matriz de vértices do grafo dirigido De novo o Exemplo 7 Vamos classificar os cinco tenistas do Exemplo 7 de acordo com seu poder Pelas contas de soma de entradas naquele exemplo temos Poder do tenista P 4 Poder do tenista P 9 Poder do tenista P 2 Poder do tenista P 4 Poder do tenista P 7 Isso mostra que uma classificagao dos tenistas de acordo com seu poder é Pprimeiro P segundo Pe Pempatados em terceiro P ultimo Conjunto de exercicios 106 1 Em cada parte construa a matriz de vértices do grafo dirigido 2 Em cada parte desenhe um diagrama do grafo dirigido corres dado na figura pondente a matriz de vértices dada 001 0 0 0 1 1 0 10001 P P 1 0 0 0 a bO 1 01 1 00 0 00000 1 0 1 0 P 1 1 1 0 0 P 0101 0 1 P P P cy 9 9 9 0 0 0 000 1 0 1 0100 1 0 Py Ps 3 Seja Ma matriz de vértices de um grafo dirigido seguinte I 0111 P 1 0 0 0 0 1 0 1 P 0 1 1 0 Ps o a Desenhe um diagrama do grafo dirigido b Use o Teorema 1061 para encontrar o nimero de cone Figura Ex1 xOes de 1 de 2 e de 3 passos do vértice P ao vértice P 106 Teoria de grafos 571 Confira sua resposta como no Exemplo 3 listando todas 6 Em cada parte use o Teorema 1062 para encontrar todas as as diversas conexGes panelas no grafo dirigido correspondente 4 matriz de vértices c Repita a parte b para as conex6es de 1 de 2 e de 3 pas dada sos do vértice P ao vértice P 01010 0 101 1 0 4 a Calcule a matriz produto MM coma matriz de vértices 104101 101 01 1 MdoE lo 1 0 1 01 0 1 emp a0 101 1 b b Verifique que a késima entrada diagonal de MM é 0 nt 10001 1oto0t 1 mero de membros da familia que influenciam 0 késimo 10110 0 10 21 0 0 membro da familia Por que vale isso 001 1 1 0 E ti int taca Aloga di ao dia neon ore MINETPICTAGAO ANANOBA dos valores NAO ae 7 Construa a matriz de vértices e encontre o poder de cada um gonais de MM os Lae wae dos vértices do grafo dirigido por domindncia ilustrado na 5 Em cada parte identifique visualmente todas as panelas do figura grafos dirigido dado na figura P P Loos bY P Py Figura Ex7 P P P a b 8 Cinco tenistas jogam entre si uma vez com os resultados se guintes P P P A derrota B Ce D BderrotaCe E C derrota De E P P D derrota B E derrota A e D Classifique os cinco tenistas de acordo com o poder dos vérti P P P ces que lhes correspondem no grafo dirigido por dominancia que representa o resultado das partidas c Figura Ex5 S jy Secac 106 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos T1 Um grafo com n vértices tais que cada vértice esteja conecta utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é do a cada outro vértice tem uma matriz de vértices dada por MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também 01114 1 pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma a calculadora cientifica com funcionalidades de Algebra Linear Em ne ee cada exercicio vocé devera ler a documentagao pertinente do re P10 1 1 1 curso particular que estiver utilizando O objetivo destes exercicios M1 1 1 021 1 é fornecer uma competéncia basica na utilizag4o do seu recurso 1 1121 0 1 computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes exercicios For vocé estar capacitado a usar seu recurso computacional para re i i i 0 solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercicios regulares 572 Algebra Linear com Aplicacées Nesse problema desenvolvemos uma férmula para M cuja com i ésima entrada iguala o nimero de conexGes de k passos a 0 de P para P A H a Use um computador para calcular as oito matrizes M comn 23ek 2345 d Usando a parte c mostre que b Use os resultados da parte a e argumentos de simetria a 0 n11 To k k para mostrar que M pode ser escrito como A h k O 1 tt tous d e Use os métodos da Seco 52 para calcular 1 0 1 1 To ee 1 ka Tr Pr Me1 1101 1 bon2 1 1 1 0 5 1 e com isso obter express6es para a e B e finalmente rr mostrar que 1 1 tf 1 1 0 k k n1ll M co yaeh U DI n a Be Be Be Be vo By B Bye Be Be oct By em que U é a matrizn X n com todas entradas 1 e éa B Be Be Be By matriz identidade n X n B B B BB B f Mostre que se n 2 todos os vértices desses grafos diri B B By Be By gidos pertencem a panelas Dott T2 Considere um torneio eliminatorio entre n jogadores denotados por a44a no qual a derrota a a derrota a a Lb Qa Poo Pe Bk BB derrota ad derrota a e a derrota a Calcule 0 poder c Usando o fato que Mt MM mostre que de cada jogador mostrando que eles tém todos o mesmo poder em seguida determine esse poder comum Sugestdo use um Al k ne computador para estudar os casos n 3 4 5 6 depois estabe By 1 n2B1 lega uma conjectura e prove que sua conjectura é verdadeira 107 Jogos de estratégia Nesta seao discutimos um jogo genérico no qual dois oponentes escolhem estratégias distintas para alcangar objetivos opostos Em alguns casos a estratégia 6tima de cada jogador é encontrada com 0 uso de técnicas matriciais PREREQUISITOS Multiplicagéo de matrizes Conceitos basicos de probabilidade Teoria de jogos Para introduzir os conceitos basicos da teoria de jogos consideramos um jogo que pode ser encontrado em parques de diversGes e em que duas pessoas concordam em jogar Di gamos que os participantes do jogo sejam 0 jogador Le jogador C Cada jogador tem uma roda estacionaria com um ponteiro mével fixado em seu centro como mostra a Figura 1071 Por raz6es que ficarao claras vamos denominar a roda do jogador L de roda das linhas e a roda do jogador C de roda das colunas A roda das linhas é dividida em trés se tores numerados 1 2 e 3 e aroda das colunas é dividida em quatro setores numerados 1 23 e4 As fracées de area ocupadas pelos diversos setores estao indicadas na figura Para 107 Jogos de estratégia 573 jogar 0 jogo cada jogador gira o ponteiro de sua roda pondoo em movimento até parar 13 aleatoriamente O nimero do setor no qual cada roda para é denominado 0 movimento 16 do jogador Assim o jogador L tem trés movimentos possiveis e 0 jogador C tem quatro SN movimentos possiveis Dependendo do movimento feito por cada jogador 0 jogador C faz 2 um pagamento em dinheiro ao jogador L de acordo com a Tabela 1 Sy 12 Roda das linhas Tabela 1 Pagamentos ao jogador L do jogador L Movimento do jogador C L Z S 14 14 Movimento Movimento 4 3 5 8281 2 Lo 2 2 4 3 4 oF D 16 Por exemplo se 0 ponteiro da roda das linhas parar no setor 0 jogador L fez 0 mo Roda das solunes jogador vimento 1 e 0 ponteiro da roda das colunas parar no setor 2 0 jogador C fez o movimento Figura 1071 2 entéo o jogador C deve pagar 5 ao jogador L Algumas das entradas nessa tabela s4o negativas indicando que o jogador C faz um pagamento negativo ao jogador L com 0 que queremos dizer que o jogador L faz um pagamento positivo ao jogador C Por exemplo se a roda das linhas mostrar 2 e a roda das colunas mostrar 4 entéo o jogador L paga ao jogador C a quantia de 4 pois a entrada correspondente na tabela é 4 Dessa maneira as entradas positivas na tabela sdo os ganhos do jogador L e as perdas do jogador C e as entradas negativas na tabela sao os ganhos do jogador C e as perdas do jogador L Nesse jogo os jogadores nao tém controle sobre seus movimentos pois cada movi mento é determinado pela sorte Contudo se cada jogador puder decidir se ele quer ou nao jogar entéo cada um querera saber quanto pode esperar ganhar ou perder a longo termo caso decida jogar Adiante nesta secdo discutimos essa questao e também consi deramos a situagéo mais complicada na qual os jogadores podem exercer algum controle sobre seus movimentos por meio de variagGes nos setores de suas rodas O jogo que acabamos de descrever um exemplo de um jogo de matriz de duas pessoas Jogos de matriz de duas com soma zero O termo soma zero significa que a cada vez que jogado o ganho po pessoas com soma zero sitivo de um jogador é igual ao ganho negativo perda do outro jogador Ou seja a soma dos dois ganhos zero O termo jogo de matriz é utilizado para descrever um jogo de duas pessoas no qual cada jogador tem somente um numero finito de movimentos de modo que todos os possiveis resultados de cada jogada e os correspondentes ganhos dos jogadores podem ser arranjados em formato tabular ou matricial como na Tabela 1 Em um jogo arbitrario desse tipo seja m o numero de movimentos possiveis do jo gador L e sejan o numero de possiveis movimentos do jogador C Num lance desse jogo cada jogador faz um de seus movimentos possiveis e entao é feita uma compensacdo do jogador C para o jogador L dependendo dos movimentos Sendo i 12mej 1 2N escrevemos a compensagao do jogador C para o jogador L se o jogador L fizer 0 movimento i e 0 jogador C 0 movimento j Essa compensacao nao precisa ser em dinheiro mas qualquer espécie de bem de con sumo ao qual possamos associar um valor numérico Como antes se uma entrada a for 574 Algebra Linear com Aplicacées negativa isso significa que o jogador C recebe do jogador L uma compensagao de a Arranjamos essas mn compensacoes possiveis no formato de uma matriz m n Gy Ayn tt Ay A a1 2 ue On Gin ane ue Ginn a qual nos referimos como matriz de compensagdao ou matriz de pagamento do jogo Cada jogador deve fazer seus movimentos numa base probabilistica Por exemplo para o jogo discutido na introdugao a raz4o da area de um setor para a 4rea da roda seria a probabilidade de que o jogador faga o movimento correspondente aquele setor Assim pela Figura 1071 vemos que o jogador L faz 0 movimento 2 com probabilidade eo jogador C faz o movimento 2 com probabilidade i Em geral usamos as definigGes se guintes D probabilidade de que o jogador L faga o movimento i i 1 2 m q probabilidade de que o jogador C faga o movimento j j 1 2 7 Segue dessas definicdes que Pit Pot p 1 e Atqtetqgal Com as probabilidades p e q formamos os dois vetores q q PP Pr Ppl Ge Qn Dizemos que o vetor linha p é a estratégia do jogador L e 0 vetor coluna q a estratégia do jogador C Por exemplo pela Figura 1071 temos 1 4 1 fi 11 4 pP5 3 x a 3 1 6 para o jogo de parque de divers6es descrito acima Pela Teoria de Probabilidades se p for a probabilidade do jogador L fazer 0 movi mento i e independentemente gq for a probabilidade do jogador C fazer 0 movimento j entao pq sera a probabilidade de num lance qualquer do jogo o jogador L fazer o movimento i e 0 jogador C fazer o movimento 7 A compensagao para 0 jogador L para um tal par de movimentos a Multiplicando cada possivel compensagao pela corres pondente probabilidade e somando sobre todas as compensacoes possiveis obtemos a expressao Ay Pid Ay Pigg FF Ay Py In F Fy P2 MF F Ain Pin In d A Equagao 1 é uma média ponderada das compensacoes para 0 jogador L cada com pensacao é ponderada de acordo com a probabilidade de sua ocorréncia Na Teoria de Probabilidades essa média ponderada é denominada compensagdao esperada para o jogador L Pode ser mostrado que se 0 jogo for jogado muitas vezes a compensacgao média por jogada para o jogador L a longo termo é dada por essa expressao Denota mos essa compensagao esperada por Ep q para enfatizar que depende das estratégias 107 Jogos de estratégia 575 de ambos os jogadores Pela definigéo da matriz de compensagao A e das estratégias p e q pode ser verificado que podemos expressar a compensaao esperada em notagao matricial como Gy Ag cts Ay Gy Ayn Ay I ERQMP Pr 7 Pmi J PAq 2 ny An uc Gin Dn Como Ep q a compensacao esperada para o jogador L segue que Ep q a com pensacdo esperada para 0 jogador C Compensacao esperada para o jogador L Para 0 jogo de parque de divers6es descrito no inicio desta seco temos 1 4 3 5 2 1 1 fl 11 4 B EpqpAqt 4 32 4 3 4 1 7 01805 6 5 0 3 6 Assim a longo termo o jogador L pode esperar receber uma média de 18 centavos do jogador C a cada jogada do jogo 4 Até aqui discutimos a situagao em que cada jogador tem uma estratégia predetermi nada Agora discutimos a situagao mais dificil em que ambos os jogadores podem mudar suas estratégias independentemente Por exemplo no jogo descrito na introdugao permi timos a ambos jogadores alterar as areas dos setores de suas rodas e assim controlar as probabilidades de seus respectivos movimentos Isso muda qualitativamente a natureza do problema e nos coloca firmemente na verdadeira teoria de jogos Fica entendido que nenhum dos dois jogadores conhece a estratégia que o outro ira escolher Também su pomos que cada jogador va fazer a melhor escolha possivel de estratégia e que o outro jogador sabe disso Assim o jogador L tenta escolher uma estratégia p tal que Ep q seja a maior possivel para a melhor estratégia q que o jogador C possa escolher e analoga mente 0 jogador C tenta escolher uma estratégia q tal que Ep q seja a menor possivel para a melhor estratégia p que o jogador L possa escolher Para ver que essas escolhas sao realmente possiveis precisamos do teorema seguinte denominado teorema fundamental dos jogos de duas pessoas com soma zero A prova geral que envolve ideias da teoria de programacaAo linear sera omitida No entanto mais adiante provamos esse teorema no caso de jogos estritamente determinados e jogos de matrizes 2 X 2 TEOREMA 1071 Teorema fundamental dos jogos com soma zero Existem estratégias p e q tais que Ep q Ep q Ep q 3 quaisquer que sejam as estratégias p e q As estratégias p e q desse teorema sao as melhores estratégias para os jogadores L e C respectivamente Para ver isso escrevemos v Ep q A desigualdade do lado esquerdo da Equagao 3 entao diz que Epq 2 v com qualquer estratégia q 576 Algebra Linear com Aplicacées Isso significa que se o jogador L escolher a estratégia p nao interessando qual estraté gia q 0 jogador C escolher a compensagao esperada para 0 jogador L nunca sera menor do que v Além disso nao é possivel para o jogador L alcancgar uma compensagao espera da maior do que v Para ver isso suponha que exista alguma estratégia p que o jogador L possa escolher de tal modo que Ep q v com qualquer estratégia q Entao em particular Ep q v contradizendo a desigualdade do lado direito da Equagao 3 que pede v Ep q Consequentemente o melhor que o jogador L pode fazer é impedir que a sua compensa cao esperada caia abaixo do valor v De maneira analoga o melhor que 0 jogador C pode fazer é garantir que a sua compensacao esperada tenha pelo menos o valor v 0 que pode ser alcangado com a estratégia q A partir dessa discussao chegamos as definigdes que seguem DEFINICAO 1 Se p e q forem estratégias tais que Ep q Ep q Ep q 4 quaisquer que sejam as estratégias p e q entao dizemos que i p uma estratégia otima para o jogador L 11 q é uma estratégia 6tima para o jogador C ili a compensacgao esperada v Ep q 0 valor do jogo O fraseado nessa definigdo sugere que as estratégias 6timas nao sao necessariamente tini cas Isso realmente ocorre e no Exercicio 2 pedimos uma prova ao leitor Contudo pode ser demonstrado que quaisquer dois pares de estratégias 6timas sempre resultam no mes mo valor uv do jogo Ou seja se p q e p q forem estratégias 6timas entao Ep q Ep q 5 O valor de um jogo é portanto a compensacao esperada para 0 jogador L quando ambos jogadores escolhem quaisquer estratégias Otimas possiveis Para encontrar estratégias 6timas devemos encontrar vetores p e q que satisfagam a Equacao 4 Geralmente isso é feito usando técnicas de Programagao Linear A seguir discutimos casos especiais nos quais as estratégias 6timas podem ser encontradas usando técnicas mais elementares Agora introduzimos a definiao seguinte DEFINICAO 2 Umaentrada a de uma matriz de compensacao A é denominada pon to de sela se i a for a menor entrada em sua linha e ii a for a maior entrada em sua coluna Dizemos que um jogo cuja matriz de compensacdo tem um ponto de sela estritamen te determinado Por exemplo o elemento sombreado em cada uma das matrizes de compensagao se guintes é um ponto de sela 0 3 5 9 3 1 30 30 5 15 8 2 10 4 07 oo 0 7 10 6 9 10 60 30 6 11 3 2 107 Jogos de estratégia 577 Se uma matriz tiver um ponto de sela a ocorre que estratégias 6timas para os dois jogadores sao as seguintes 0 0 10 0 sO x P 4 1 sésima entrada 7 résima entrada 0 Isso mostra que uma estratégia 6tima para o jogador L é fazer sempre 0 résimo movi mento e que uma estratégia 6tima para o jogador C é fazer sempre o sésimo movimento Essas estratégias em que um s6 movimento possivel sao denominadas estratégias puras As estratégias nas quais é possivel mais de um movimento sao denominadas estratégias mistas Para mostrar que as estratégias acima sao Otimas o leitor pode verificar as trés equacoes a seguir ver Exercicio 6 Ep q pAq a 6 Ep q pAq 2 a com qualquer estratégia q 7 Ep q pAq a com qualquer estratégia p 8 Juntas essas desigualdades implicam Ep q Ep q Ep q quaisquer que sejam as estratégias p e q Como isso coincide com a Equagao 4 segue que p e q sao estratégias Otimas Pela Equagao 6 o valor de um jogo estritamente determinado é simplesmente o valor numérico do ponto de sela a E possivel uma matriz de compensagao ter varios pontos de sela mas entao a unicidade do valor de um jogo garante que o valor numérico de todos os pontos de sela o mesmo Estratégias otimas para maximizar uma audiéncia Duas redes de televisio competidoras L e C estéo planejando levar ao ar programas de uma hora de duragao para o mesmo horario A rede L pode utilizar um entre trés progra mas possiveis e a rede C pode utilizar um entre quatro programas possiveis Nenhuma das redes sabe qual programa a outra vai levar ao ar Ambas as redes contratam o mesmo instituto de pesquisa de opiniao para lhes dar uma estimativa de como as diversas possi bilidades de transmitir os dois programas vao dividir a audiéncia O instituto da as redes a Tabela 2 cuja i ésima entrada é a porcentagem da audiéncia que assistira 4 rede L se 0 programa i da rede L competir em termos de audiéncia com 0 programa j da rede C Qual programa cada rede deveria levar ao ar para maximizar a audiéncia Tabela 2 Porcentagem de audiéncia para a rede L Programa da rede C 1 2 3 4 1 60 20 30 55 Programa da rede L 2 50 75 45 60 3 7 445 35 30 578 Algebra Linear com Aplicacées Solugao Subtraimos 50 de cada entrada da tabela e construimos a matriz 10 30 20 5 O 25 5 10 20 5 15 20 Essa é a matriz de compensagao do jogo de duas pessoas com soma zero no qual con sideramos que as duas redes de televisio comegcam com 50 da audiéncia e em que a i ésima entrada da matriz é a porcentagem da audiéncia que a rede C perde para a rede L se os programas i da rede L ej da rede C competirem entre si E facil ver que a entrada dy 5 é um ponto de sela da matriz de compensacAo Portanto a estratégia 6tima para a rede L é levar ao ar o programa 2 e a estratégia 6tima para a rede C é levar ao ar 0 programa 3 Isso vai resultar em 45 da audiéncia para a rede L e 55 da audiéncia paraaredeC 4 Jogos de matrizes 2 X 2 Um outro caso em que podemos encontrar estratégias 6timas por meios elementares ocor re quando cada jogador tem somente dois movimentos possiveis Nesse caso a matriz de compensacao é a matriz 2 x 2 A B Ay Any Se o jogo for estritamente determinado pelo menos uma das quatro estradas de A sera um ponto de sela e as técnicas discutidas acima poderao entao ser aplicadas para determinar as estratégias 6timas para os dois jogadores Se o jogo nao for estritamente determinado calculamos primeiro a compensagao esperada com estratégias p e q quaisquer obtendo a a qd Epq pAqp P21 4 An ILD Gy PY UF Ap Py yt Gy Pz Ut 42 P2 9 Como Ptpleqtnmt 10 podemos substituir p 1 p eg 1 q em 9 para obter EP q 4P14 4p gq a0 pq tay pd 4a U1 Rearranjando os termos da Equagao 11 podemos escrever Ep q ay ay yy AyP Gxy G19 GQy2 AyP a 12 Examinando os coeficientes do termo com qg em 12 vemos que colocando dy a PL P 13 Gy Ay Ay Ay esse coeficiente resulta ser zero e 12 reduzse a Ep q ou82 42 14 Ay Ay Ayn Ay A Equagao 14 é independente de q ou seja se 0 jogador L escolher a estratégia deter minada por 13 o jogador C nao podera modificar a compensacao esperada por uma variagao de sua estratégia Analogamente pode ser verificado que se 0 jogador C escolher a estratégia determi nada por Ay a qq 15 Ay Ay Ayy Ay 107 Jogos de estratégia 579 entaéo substituindo em 12 obtemos Ea Ay Ayn 42 Ad Ep q 16 Gy Ay Ay Ay As Equacgoes 14 e 16 mostram que Ep q Ep q Ep q 17 quaisquer que sejam as estratégias p e q Assim as estratégias determinadas por 13 15 e 10 sao estratégias 6timas para os jogadores L e C respectivamente e obtemos o resultado seguinte TEOREMA 1072 Estratégias otimas para jogos de matrizes 2 x 2 Num jogo 2 X 2 que ndo seja estritamente determinado p TT Ay Ay 42 Ay Ay Ay Ay Ay e me q Ay Ay Ayn Ay ay an Gy Ay Ay Any sdo estratégias 6timas para os jogadores L e C O valor do jogo é v TIN Ay Ay Ayn Ay Para sermos completos precisamos mostrar que as entradas nos vetores p e q sao nt meros estritamente entre 0 e 1 No Exercicio 8 pedimos ao leitor mostrar que esse 0 caso pelo menos sempre que o jogo nao for estritamente determinado A Equagao 17 é interessante pois implica que cada um dos jogadores escolhendo sua estratégia 6tima pode forcar o valor do jogo a ser a compensagao esperada indepen dentemente de qual estratégia for escolhida pelo outro jogador No entanto isso nao é valido nos jogos em que cada jogador tenha mais de dois movimentos Usando o Teorema 1072 O governo federal deseja vacinar seus cidadaos contra um certo virus de gripe O virus tem dois sorotipos mas é desconhecida a proporgao na qual os dois sorotipos ocorrem na populagao do virus Foram desenvolvidas duas vacinas A eficacia da vacina é de 85 contra 0 sorotipo e de 70 contra o sorotipo 2 A eficacia da vacina 2 de 60 contra 0 sorotipo e de 90 contra o sorotipo 2 Qual politica de vacinacao deveria ser adotada pelo governo Solugao Podemos considerar isso um jogo de duas pessoas no qual o jogador L o governo deseja fazer a maior compensagao a fragdo dos cidadaos resistentes ao virus possivel e 0 jogador C 0 virus deseja fazer a menor compensagao possivel A matriz de compensagao é Sorotipo 1 2 1085 070 Vacina 2 L060 090 580 Algebra Linear com Aplicacdes Essa matriz nao tem pontos de sela de modo que podemos aplicar o Teorema 1072 Consequentemente x Ay Ay 090 060 030 2 as Ay 4 a a 085090070060 045 3 2 1 Xe Plpalzaa e Ay Ay 090 070 020 4 4 a Fay a a 085 090 070 060 045 9 4 5 1 g 1 12 ra 9 9 1 A22 442421 085090 070 060 0345 07666 v FT NS er we ai ax a12 ar 085 090 070 060 045 Assim a estratégia 6tima para o governo é inocular dos cidadaos com a vacina e dos cidadaos com a vacina 2 Isso vai garantir que cerca do 767 dos cidadaos resistira a um ataque do virus independentemente da distribuigao dos dois sorotipos do virus Observe que uma distribuigao de 7 do sorotipo e de 3 do sorotipo 2 do virus resultara nos mesmos 767 de cidadaos resistentes independentemente da politica de vacinacg4o adotada pelo governo ver Exercicio 7 4 Conjunto de exercicios 107 1 Suponha que um jogo tenha uma matriz de compensagao 2 2 0 3 2 l 2 l 5 4 6 4 1 c 0 Ce 5 2 3 A 5 7 3 8 3 4 6 8 0 6 2 4 Em cada parte encontre estratégias 6timas para os dois joga a Se os jogadores L e C usarem as estratégias dores e 0 valor do jogo 2 X 2 com a matriz de compensacao dada I 4 6 3 40 20 37 1 a b c 1 1 4 1 4 10 30 5 4 p 0 3 a 4 35 7 3 d e k La x 5 O jogador L tem duas cartas de baralho um 4s preto e um respectivamente qual seré a compensacio esperada do jogo quatro vermelho O jogador C também tem duas cartas um a dois preto e um trés vermelho Cada jogador seleciona secre b Seo jogador C mantiver asua estr ategia fixada como na tamente uma de suas cartas Se ambas cartas selecionadas fo parte a qual deveria sera estrategia escolhida pelo jo rem de mesma cor 0 jogador C paga ao jogador L a soma dos gador L para maximizar sua compensagao esperada valores numéricos das cartas em dinheiro Se as cartas forem c Se o jogador L mantiver a sua estratégia fixada como na de cores diferentes o jogador L paga ao jogador C a soma dos parte a qual deveria ser a estratégia escolhida pelo jo valores numéricos das cartas Quais sao as estratégias 6timas gador C para minimizar a compensacao esperada para 0 para os dois jogadores e qual o valor do jogo Jogador L 6 Verifique as Equacoes 6 7 e 8 2 Construa um exemplo simples para mostrar que as estratégias 7 Verifique a afirmacio no Ultimo pardgrafo do Exemplo 3 6timas nao sao necessariamente tinicas Por exemplo encontre cee x soe os 8 Mostre que as entradas das estratégias 6timas p e q dadas uma matriz de compensacao com varios pontos de sela iguais S no Teorema 1072 séo nimeros estritamente entre 0 e 1 3 Em cada parte encontre estratégias 6timas para os dois joga dores e o valor do jogo estritamente determinado com a matriz de compensacio dada 3 2 a 3 2 4 7 3 4 108 Modelos econémicos de Leontief 581 Sa Secao 107 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos T2 Considere um jogo entre dois jogadores no qual cada jogador utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é pode fazer até n movimentos diferentes n 1 Se ambos os MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também jogadores fizerem 0 mesmo movimento entao C pagara4a La pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma quantia de n 1 No entanto se os dois jogadores fizerem calculadora cientifica com funcionalidades de Algebra Linear Em movimentos distintos entéo L pagara a C a quantia de 1 Su cada exercicio vocé devera ler a documentagao pertinente do re ponha que ambos jogadores tém a mesma estratégia ou seja curso particular que estiver utilizando O objetivo destes exercicios P Pilixn Gn PJ sendo p p p p 1 é fornecer uma competéncia basica na utilizagao do seu recurso Use um computador para mostrar que computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes exercicios 5 vocé estard capacitado a usar seu recurso computacional para re EBy Gs 3Pi Pr 3 Pi Px 3P2 Pi solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercicios regulares 4 4 pr po T1 Considere um jogo entre dois jogadores no qual cada jogador 2 4 2 4 2 pode fazer até n movimentos diferentes n 1 Se 0 iésimo EB3 43 3Pi Pi 3 Pi Pa 3Pi Ps movimento do jogador L e 0 jésimo movimento do jogador C 4P P 4P1 P Pr Ps forem tais que i j é par entéo C paga a L a quantia de 1 Se 1 2 4 2 4 2 i j for impar ento L paga a C a quantia de 1 Suponha que 3P3 Pi 7P3 Pa 3 Ps Ps ambos jogadores tém a mesma estratégia ou seja p Px Epy 44 3P Pp P DP 5D p eq Pix Sendo p p pp 1Use um 1 2 4 2 4 computador para mostrar que 3Pi Pa Pr Pi 3 Pr Pr 1 pytt 241 2 EpP Pp p 5P2 Ps 5Pp Ps 5P3 Pi 2 2 Ep 45 Pp P2 Ps 5Ps Pr 5P3 Ps 5P3 Pa EP 44 P Pr Ps Ps 3Pa Pi 4Pe Pr Ps Ps EPs Qs Py Po P3 Pa Ps ve es 3 Pa Pa Usando esses resultados como guia prove que em geral a compensagio esperada para o jogador L é Usando esses resultados como guia prove que em geral a compensagao esperada para 0 jogador L é 2 n 1 n n 1 Ep4 2c yy 0 EP 4 5 2 D0 P 0 jl il jl 0 que mostra que a longo termo 0 jogador L ndo vai perder que mostra que a longo termo 0 jogador L ndo vai perder esse jogo esse jogo 108 Modelos econémicos de Leontiet Nesta secao discutimos dois modelos lineares para sistemas econdmicos Alguns resultados sobre matrizes nao negativas sao aplicados para determinar as estruturas de pregos de equilibrio e a produgao necessaria para satisfazer a demanda PREREQUISITOS Sistemas lineares Matrizes A teoria das matrizes tem tido muito sucesso na descrig4o da interrelagao de pregos Sistemas econémicos producao e demanda em sistemas econémicos Nesta secdo discutimos alguns modelos simples baseados nas ideias do prémio Nobel Wassily Leontief Examinamos dois mode los diferentes mas relacionados o modelo fechado ou modelo inputoutput e 0 modelo aberto ou modelo de produgdo Em cada um sdo dados certos parametros que descrevem as interrelagdes entre as indtstrias do modelo econédmico sob consideragao Usando teoria de matrizes poderemos entao calcular alguns outros parametros tais como os pre os e niveis de producao para satisfazer um objetivo econdmico desejado Comecamos com 0 modelo fechado 582 Algebra Linear com Aplicacdes O modelo fechado Inicialmente apresentamos um exemplo simples e depois prosseguimos para a teoria de inputoutput de Leontief geral desse modelo Um modelo de inputoutput Trés proprietarios de casas um pedreiro um eletricista e um hidraulico pretendem fazer consertos em suas trés casas Eles concordam em trabalhar um total de 10 dias cada de acordo com a tabela seguinte Trabalho executado pelo Pedreiro Eletricista Hidraulico Dias de trabalho na casa do pedreiro 2 1 6 Dias de trabalho na casa do eletricista 4 5 1 Dias de trabalho na casa do hidraulico 4 4 3 Para efeitos de impostos eles devem declarar e pagar um ao outro um salario diario ra zoavel mesmo para o trabalho que cada um faz em sua prépria casa Seus salarios didrios normais sao de aproximadamente 100 mas eles concordam em ajustar seus respectivos salarios didrios de tal modo que saiam empatados ou seja de tal modo que o total que cada um paga seja igual ao total recebido Podemos colocar P salario diario do pedreiro P Salario diario do eletricista P salario diario do hidraulico Para satisfazer a condiao de equilibrio de que saiam empatados exigimos que total dos gastos total do recebido para cada um dos proprietarios pelo perfodo de dez dias Por exemplo o pedreiro paga um total de 2p p 6p pelos consertos em sua prépria casa e recebe um total de 10p pelos consertos que faz em todas as trés casas Igualando essas duas expressdes obtemos a primeira das trés equag6es seguintes 2p P2 6p 10p 4p 5p p 10p 4p 4p 3p 10p3 As duas outras equagées sao as equacoées de equilibrio do eletricista e do hidraulico Divi dindo essas equacgoes por 10 e reescrevendoas em formato matricial obtemos 02 01 06 p P 04 05 01 p pp 1 04 04 03 p D3 Subtraindo o lado esquerdo do direito podemos reescrever a Equacdo 1 como 08 01 06 p 0 04 05 01 p 90 04 04 07 p 0 108 Modelos econémicos de Leontief 583 A solugao desse sistema homogéneo é verifique Py 31 Py s 32 P3 36 onde s é uma constante arbitraria Essa constante é um fator de escala que os proprieta rios podem escolher de acordo com sua conveniéncia Por exemplo podem colocar s 3 de modo que os correspondentes salarios didrios a saber 93 96 e 108 sejam aproxi madamente 100 4 Esse exemplo ilustra as principais caracteristicas do modelo de inputoutput de Leontief Na Equaao 1 fundamental a soma de cada coluna da matriz de coeficientes é 1 correspondendo ao fato de que o produto 0 output do trabalho de cada um dos pro prietarios esta completamente distribuido entre esses mesmos proprietarios nas propor 6es dadas pelas entradas da coluna Nosso problema é determinar precos convenientes para esses trabalhos de modo a colocar esse sistema em equilibrio ou seja de tal modo que o gasto total de cada proprietario seja igual ao total recebido em salario No modelo geral temos um sistema econédmico consistindo num nimero finito de in dustrias que identificamos pelos nimeros 1 2 3 k Ao longo de algum periodo fixa do de tempo cada indtstria produz um produto que pode ser algum bem ou servigo que é completamente utilizado de uma maneira predeterminada pelas k industrias Um problema importante é encontrar precos convenientes que devem ser cobrados por esses k produtos de tal maneira que para cada industria 0 total dos gastos se iguale ao total recebido Uma tal estrutura de precos representa uma posicao de equilibrio para a economia Para 0 periodo fixado de tempo dado escrevemos P preco cobrado pela iésima indtstria pela sua producao total e fragao da produgao total da jésima industria que comprada pela iésima industria com ij 1 23k Por definigao temos G p 9 i12k iil e 29 ij 12k iil ej e t e 1 J12k Com essas quantidades formamos 0 vetor preo Py Po P Pr e a matriz de troca ou a matriz de inputoutput Cn 4p eg E 7 Ca On Ok A condigao iii expressa 0 fato de que todas as somas de colunas da matriz de troca sao iguais a Como no exemplo para que os gastos das industrias igualem seus rendimentos a equagao matricial seguinte deve ser satisfeita ver 1 Ep p 2 ou i Ep 0 3 584 Algebra Linear com Aplicacées A Equagao 3 é um sistema linear homogéneo para o vetor preco p Esse sistema tem uma solucao nao trivial se e s6 se o determinante da matriz de coeficientes J E for zero No Exercicio 7 pedimos ao leitor mostrar que isso ocorre com qualquer matriz de troca Assim 3 sempre tem solucGes n4o triviais para o vetor preo p Na realidade para 0 nosso sistema econdmico fazer sentido precisamos de mais do que simplesmente o fato de 3 possuir solugG6es n4o triviais para p Também precisamos que os precos p dos k produtos sejam numeros nao negativos Essa condicdo expressa por p 0 Em geral se A for qualquer vetor ou matriz a notagao A 0 significa que cada entrada de A é nao negativa e a notagao A 0 significa que cada entrada de A é positiva De maneira analoga A B significaA B20 eA B significa A B 0 Mostrar que 3 tem uma solucao nfo trivial com a qual p 0 um pouco mais dificil do que simplesmente mostrar que existem solug6es n4o triviais No entanto isso é valido e no pr6ximo teorema enunciamos esse fato sem dar a prova TEOREMA 1081 Se E for uma matriz de troca entdo Ep p sempre tem uma solu dao nao trivial p cujas entradas sdo ndo negativas Consideremos alguns exemplos elementares desse teorema Usando o Teorema 1081 Seja 1 5 0 1 2 Entao J Ep 06 1 O0LP 0 que tem a solugao geral 0 s Peet em que s é uma constante arbitraria Dado qualquer s 0 temos uma solucao nao trivial p0 Usando o Teorema 1081 Seja E 1 0 0 1 Entaio J Ep 0 tem a solugao geral 1 4t 0 s Peto La em que s e f S40 constantes arbitrarias independentes Dados quaisquer s 0 e t 0 nao ambos nulos temos solugGes nao triviaisp0 4 O Exemplo 2 indica que em algumas situagdes um dos pregos precisa ser zero para a condicao de equilibrio ser satisfeita O Exemplo 3 indica que pode haver varias estrutu ras disponiveis de preco linearmente independentes Nenhuma dessas situagdes descreve uma estrutura econdmica realmente interdependente O teorema a seguir da condi6es suficientes para excluir ambos os casos 108 Modelos econémicos de Leontief 585 TEOREMA 1082 Seja E uma matriz de troca tal que todas as entradas de E sejam positivas com algum inteiro positivo m Entdo existe exatamente uma solugdo linear mente independente de I Ep 0 e ela pode ser escolhida com todas suas entradas positivas Nao daremos uma prova desse teorema O leitor que leu a Secdo 105 sobre cadeias de Markov pode observar que esse teorema é essencialmente igual ao Teorema 1054 As matrizes de troca desta secdo sao matrizes estocasticas ou de Markov na Secao 105 Usando o Teorema 1082 A matriz de troca do Exemplo 1 foi 02 01 06 E104 05 01 04 04 03 Como E 0 a condigaéo E 0 do Teorema 1082 esta satisfeita com m 1 Por con sequéncia temos a garantia de que existe exatamente uma solucao linearmente indepen dente de J Ep 0 que pode ser escolhida tal que p 0 Naquele exemplo vimos que 31 p 32 36 éuma tal solugio 4 Ao contrario do modelo fechado no qual os produtos de k indUstrias sao somente distri modelo aberto buidos entre as proprias indtstrias o modelo aberto tenta satisfazer uma demanda externa de producao de Leontief para os produtos Uma porcao dessa producao ainda pode ser distribuida entre as prdprias indtstrias para mantélas operacionais mas deve haver algum excesso alguma produao liquida com a qual possa ser satisfeita a demanda externa No modelo fechado a pro ducao das industrias é fixada e nosso objetivo é determinar seu prego de modo que seja satisfeita a condiao de equilfbrio na qual gastos igualam ganhos No modelo aberto so Os precos que sao fixados e nosso objetivo é determinar os niveis de produgao das indtstrias necessarios para satisfazer a demanda externa Medimos os niveis de produgao em termos dos seus valores econdmicos usando os pregos fixos Mais precisamente dado algum periodo fixado de tempo escrevemos x valor monetario da producao total da iésima industria d valor monetario da produgao da iésima industria necessaria para satisfazer a demanda externa Cc valor monetario da produgao da iésima industria que necessdria para a jésima industria produzir uma unidade do valor monetario de seu proprio produto Com essas quantidades definimos 0 vetor producado x x x XK 586 Algebra Linear com Aplicacdes o vetor demanda d a d e a matriz de consumo Cn Cy Che C C eee C C al 2 k Ca Cn ek Pela sua propria natureza temos x20 d20 e C20 A partir da definigao de ce de x pode ser visto que a quantidade CXF CX FH Cyr é o valor da produgao da iésima industria que é necessaria para todas as k industrias produzirem um total especificado pelo vetor de produga4o x Como essa quantidade sim plesmente a iésima entrada do vetor coluna Cx podemos dizer além disso que a iésima entrada do vetor coluna x Cx é o valor do excesso de producao da iésima industria que esta disponivel para satisfazer a demanda externa O valor da demanda externa pelo produto da iésima industria a i ésima entrada do vetor demanda d Consequentemente somos levados 4 equaao xCxd ou ICxd 4 para a demanda ser satisfeita exatamente sem sobras nem faltas Assim dados C e d nos so objetivo é encontrar um vetor produgdo x 0 que satisfaga a Equacao 4 Vetor producdo de uma cidade Certa cidade tem trés indtistrias principais uma mina de carvao uma usina elétrica e uma rede ferrovidria local Para produzir 1 de carvao a mina precisa comprar 025 de ele tricidade para seu equipamento e 025 da ferrovia para suas necessidades de transporte Para produzir 1 de eletricidade a usina requer 065 de carvao para combustivel 005 de sua propria eletricidade para equipamento auxiliar e 005 da ferrovia para suas neces sidades de transporte Para fornecer 1 de transporte a rede ferrovidria precisa de 055 de carvao para combustivel e 010 de eletricidade para seu equipamento auxiliar Certa semana a mina recebe pedidos de 50000 de carvao de fora da cidade e a usina recebe pedidos de 25000 de eletricidade de fora da cidade Nao ha demanda externa para a ferrovia Quanto cada uma dessas trés industrias deve produzir nessa semana para atender exatamente suas préprias demandas e a demanda externa Solugao Para o periodo da semana em questao sejam x valor da producao total da mina x valor da producao total da usina x valor da producAo total da ferrovia 108 Modelos econémicos de Leontief 587 Pela informagao fornecida a matriz de consumo do sistema é 0 065 055 C 1025 005 010 025 005 0 O sistema linear J Cx dé entao 100 065 055 x 50000 025 095 010 x 25000 025 005 100 x 0 A matriz de coeficientes a esquerda é invertivel e a solucao é dada por 1 756 542 470 50000 102087 x1Cd 503 220 690 190 25000 56163 200 170 630 0 28330 Assim a producfo total da mina deveria ser 102087 a producao total da usina deveria ser 56163 e a produgao total da ferrovia deveria ser 28330 4 Reconsideremos a Equacao 4 dOxd Se a matriz quadrada J C for invertivel poderemos escrever x1Cd 5 Além disso se a matriz J Cc tiver somente entradas nao negativas entéo teremos certeza de que a Equacao 5 tera uma tinica solugao nao negativa x qualquer que seja d 0 Essa é uma situagao particularmente desejavel por significar que qualquer deman da externa pode ser satisfeita A terminologia utilizada para descrever esse caso é dada na definicao seguinte DEFINICAO 1 Dizemos que uma matriz de consumo C é produtiva se existir I C e valer C0 Consideremos alguns critérios simples que garantem que uma matriz de consumo seja produtiva O primeiro é dado no teorema seguinte TEOREMA 1083 Matriz de consumo produtiva Uma matriz de consumo C é produtiva se e sé se existe um vetor producdo x 0 tal que x CX A prova esta delineada no Exercicio 9 A condicao x Cx significa que existe alguma tabela de producao possivel tal que cada industria produza mais do que consome O Teorema 1083 tem dois corolarios interessantes Suponha que todas as somas das entradas de linhas de C sejam menores do que 1 Se 1 1 x 1 588 Algebra Linear com Aplicacdes entao Cx é um vetor coluna cujas entradas sao essas somas de linhas Isso significa que x Cx e portanto a condicao do teorema esta satisfeita Assim chegamos ao corolario a seguir COROLARIO 1084 Uma matriz de consumo C é produtiva se a soma das entradas de cada linha de C for menor do que No Exercicio 8 pedimos ao leitor mostrar que esse coroldrio leva ao seguinte COROLARIO 1085 Uma matriz de consumo C é produtiva se a soma das entradas de cada coluna de C for menor do que 1 Lembrando da definicao das entradas da matriz de consumo C vemos que a soma das entradas da jésima coluna de C 0 valor total da producao de todas as k industrias que é necess4ria para produzir uma unidade de valor do produto da jésima industria A jésima industria portanto é dita Jucrativa se essa soma da jésima coluna for menor do que 1 Em outras palavras o Corolario 1085 diz que uma matriz de consumo é produtiva se todas as k industrias do sistema econdmico forem lucrativas Usando o Corolario 1085 A matriz de consumo do Exemplo 5 foi 0 065 055 C 025 005 010 025 005 0 As somas das trés colunas dessa matriz s4o todas menores do que e portanto as trés industrias sao lucrativas Consequentemente pelo Coroldrio 1085 a matriz de consumo C é produtiva Isso também pode ser visto pelas contas no Exemplo 5 ja que I Cc é no negativa 4 Conjunto de exercicios 108 1 Em cada parte encontre vetores prego nao negativos que 3 Usando o Teorema 1082 mostre que existe somente um ve satisfagam a condicao de equilibrio 3 com a matriz de troca tor preco linearmente independente para o sistema econdmico dada fechado dado pela matriz de troca 5 0 0 02 05 1 1 a b 4 0 5 E1 02 05 1 2 3 1 1 0 0 06 O 035 050 030 4 Trés vizinhos tém hortas nos fundos de suas casas O vizinho 1025 020 030 A planta tomates o vizinho B planta milho e 0 vizinho C planta alface Eles concordam em dividir a colheita entre eles 040 030 040 como segue A recebe 5 dos tomates do milho e da alface 2 Em cada parte mostre que a matriz de consumo produtiva B recebe dos tomates do milho e da alface C recebe i usando o Teorema 1083 e seus corolarios dos tomates do milho e 5 da alface Que precos os vizinhos devem dar as suas respectivas colheitas para satisfazer a con 070 030 025 a as 08 01 b 1020 040 025 dic4o de equilfbrio de uma economia fechada se a colheita de a 03 06 b menor preco deve ter um preco de 100 005 015 025 5 Trés engenheiros um engenheiro civil EC um elétrico EE 07 03 02 e um mecdnico EM tém cada um uma firma de consultoria c 01 04 03 A consultoria que prestam é de natureza multidisciplinar de 02 04 01 modo que cada um compra uma parte do servio das outras 108 Modelos econémicos de Leontief 589 duas firmas Para cada 1 de consultoria feita pelo EC ele 9 Requer Calculo Prove o Teorema 1083 como segue compra 010 de servicgos do EE e 030 de servigos do EM a Prove a parte s6 se do teorema ou seja mostre que se Para cada 1 de consultoria feita pelo EE ele compra 020 C for uma matriz de consumo produtiva entfo existe um de servicgos do EC e 040 de servigos do EM Finalmente vetor x 0 tal que x Cx para cada 1 de consultoria feita pelo EM ele compra 030 b P arte se dot de servigos do EC e 040 de servigos do EE Certa semana b Prove a parte se do teorema como segue 0 EC recebe pedidos de consultoria externa de 500 o EE Passo I Mostre que se existir algum vetor x 0 tal que recebe pedidos de consultoria externa de 700 e o EM recebe Cx x entao x 0 pedidos de consultoria externa de 600 Qual é 0 valor da con Passo 2 Mostre que existe algum ntimero A tal que sultoria de cada engenheiro nessa semana OA 1leCx Ax 6 a Suponha que a demanda d para a producao da iésima Passo 3 Mostre que Cx Ax comn 1 2 industria cresga uma unidade Explique por que a iésima Passo 4 Mostre que C 0 sen coluna da matriz I C 0 acréscimo que deve ser dado ao vetor producao x para satisfazer a demanda adi Passo 5 Expandindo 0 produto mostre que cional IOUCCC1C b Voltando ao Exemplo 5 use o resultado da parte a para comn 12 determinar 0 acréscimo que deve ser dado ao valor da produco da mina de carvao para satisfazer a demanda Passo 6 Fazendo n 7 no Passo 5 mostre que existe a de uma unidade adicional no valor da produgao da usina soma infinita de matrizes elétrica S14CCH 7 Usando o fato que as somas das entradas de coluna de uma e que I CS 1 matriz de troca E sao todas 1 mostre que as somas de J E 1 sao 0 A partir disso mostre que E tem determinante zero Passo 7 Mostre queS QequeS C e que portanto J Ep 0 tem solucées nio triviais p Passo 8 Mostre que C é uma matriz de consumo produtiva 8 Mostre que o Corolario 1085 segue do Corolario 1084 Sugestdo lembre que A Ay qualquer que seja a matriz invertivel A S y Segao 108 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos e assim por diante Use um computador para mostrar que utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é E 0 E 0 E 0 E 0 e fazer a conjectura que MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também embora E 0 seja verdadeiro EX 0 nao é verdadeiro se pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma k 123n 1 Em seguida use um computador para calculadora cientffica com funcionalidades de Algebra Linear Em determinar os vetores p tais que Ep p comn 2 3 4 cada exercicio vocé devera ler a documentacao pertinente do re 5 6 e depois veja se vocé consegue descobrir um padrao curso particular que estiver utilizando O objetivo destes exercicios que lhe permita calcular p facilmente a partir de p Teste é fornecer uma competéncia basica na utilizag4o do seu recurso sua descoberta primeiro calculando p a partir de computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes exercicios vocé estaré capacitado a usar seu recurso computacional para re 2520 solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercicios regulares 3360 T1 Considere a sequéncia E EF E E E de matrizes de 1890 troca com p 672 0 1 0 1 1 175 E 2 E1 0 4 36 hs myo 0 3 3 9 i 14 1 e depois verificando se Ep px 0 5 5 T2 Considere um modelo de produgio aberto com n industrias e 10 2 41 POs a5 n 1 Para poder produzir 1 de seu préprio produto a jési E 0 E0 5 0 i ma indtstria precisa gastar 1n com o produto da iésima 2 4 002 0 28 industria qualquer i mas a jésima industria comj 1 0 0 0 0 0 1 23n nada gasta com a producio do seu préprio produ 4 5 to Construa a matriz de consumo C mostre que produtiva e 590 Algebra Linear com Aplicacées determine uma expressao para J Cc Ao determinar uma F nF expressao para I C oT use um computador para estudar P para J P P e depois expresse sua resposta para I C em termos de os casos n 2 34e5 e entao faga uma conjectura e prove nle F sua validade Sugestdo se F 1 ou seja a matriz n X n com todas as entradas iguais a 1 mostre primeiro que 109 Administragao florestal Nesta segao discutimos um modelo matricial para administrar uma floresta cujas arvores sao agrupadas em classes de acordo com sua altura Calculamos 0 rendimento sustentavel 6timo de um corte periddico quando as arvores de diferentes classes de altura podem ter diferentes valores econdémicos PREREQUISITO Operagdes com matrizes Rendimento sustentave Nosso objetivo é introduzir um modelo simplificado para o corte sustentavel de uma flo étimo resta cujas arvores sao classificadas por altura Supomos que a altura da arvore quando for cortada e vendida determina seu valor econdémico Inicialmente ha uma distribuigao de arvores de varias alturas Por um certo perfodo de tempo a floresta cresce livremente e entao algumas das arvores de tamanhos variados sao cortadas As 4rvores restantes que nao foram cortadas devem ter a mesma configuragao de tamanho que as arvores da floresta original de modo que o corte seja sustentavel Como veremos existem muitos desses procedimentos de corte sustentavel O que queremos é encontrar um para 0 qual o valor econémico total de todas as arvores removidas seja 0 maior possivel Isso determina o rendimento sustentdvel 6timo da floresta e é 0 maior rendimento que pode ser obtido continuamente sem dizimar a floresta O modelo Suponhamos que um plantador tenha uma floresta de pinheiros que sao vendidos ano apdés ano como arvores de Natal A cada dezembro o plantador corta alguns dos pinheiros para vender Para cada pinheiro cortado é plantada uma muda em seu lugar Desse modo o numero total de arvores na floresta é sempre o mesmo Nesse modelo simplificado des consideramos as arvores que morrem durante o ano Também vamos supor que cada muda plantada sobrevive e cresce até ser cortada Arvores de diferentes tamanhos tém valores econdmicos diferentes no mercado nata lino Suponha que existam n classes distintas de pregos correspondendo a certos interva los de altura conforme mostram a Tabela e a Figura 1091 A primeira classe consiste em mudas com altura no intervalo 0 e sem valor econdmico A enésima classe con siste em drvores com altura maior do que ou igualah os ET Classe Valor Intervalo de altura 5 hy I mmudasNenhum 0n Sj a s 3 2 Ps iy ha Bt 3 2 3 Ps h hs 4 p A A AN AP 0 Pr Ps Put Pn nl Pu ty 2 Py 1 Valor da arvore n bn h i ok Figura 1091 109 Administragao florestal 591 Seja x i 1 2 1 o nimero de drvores na iésima classe que sobrevivem aos cortes Formamos um vetor coluna com esses numeros que denominamos vetor de nado cortadas x x x Xn Para uma politica de corte sustentavel a floresta deve retornar a configuragao fixada do vetor de nao cortadas x Parte do nosso problema é encontrar aqueles vetores de nao cor tadas x com os quais é possivel um corte sustentavel Como o ntimero total de arvores da floresta permanece fixado podemos colocar X tx x 5 1 em que s fica predeterminado pelo tamanho da terra disponivel e pelo espago que cada arvore requer Olhando para a Figura 1092 temos a situagao seguinte Depois de cada corte a configuraao da floresta é dada pelo vetor x Entre dois cortes as arvores crescem e produzem uma nova configuraao antes de cada novo corte Um certo numero de arvo res é removido de cada classe quando ocorre 0 corte Finalmente uma muda é plantada no lugar de cada arvore removida para a floresta retornar 4 sua configuraao original dada por x Arvores removidas 2 3 5 c 5 Floresta apés crescimento Arvores nao removidas x 3 es 8 s Configurag6es o o g florestais Ss iguais a Floresta antes de crescer Floresta depois de cortar vetor de nao cortadas x vetor de nao cortadas x Figura 1092 Inicialmente consideramos o crescimento da floresta entre os cortes anuais Durante esse periodo uma 4rvore da iésima classe pode crescer e passar a uma classe de maior altura ou seu crescimento pode ser retardado por algum motivo e ela permanece em sua classe Consequentemente definimos 0 seguinte parametro de crescimento g com i12n1 g a fragdo das arvores da iésima classe que crescem para a i 1ésima classe durante um periodo de crescimento Por simplicidade supomos que durante um periodo de crescimento uma d4rvore muda no maximo uma classe para cima Com essa hipotese temos 1 g a fracao das Arvores da iésima classe que permanecem na iésima classe durante um periodo de crescimento 592 Algebra Linear com Aplicacées Com esses n parametros de crescimento formamos a matriz de crescimento n X n 18 0 0 vee 0 1 Ig 0 uo 0 0 g lg Lee 0 G oo 2 0 0 0 Ig 0 0 0 0 toe 81 1 Como as entradas do vetor x s4o os nimeros de Arvores nas n classes antes do perfodo de crescimento o leitor pode verificar que as entradas do vetor d 8x 8 Ul gx BX 1 gx Gx 202 373 3 Sn2n2 d Sn1 Xn Snn1 xX sao os numeros de arvores nas n classes depois do periodo de crescimento Suponha que durante o corte sejam removidas i 1 2 7 arvores da iésima classe Dizemos que o vetor coluna J Yo y Yn o vetor de cortadas Assim um total de Yptyy tere ty arvores sdo removidas a cada corte Esse nimero também 0 total de arvores adicionadas a primeira classe as novas mudas depois de cada corte Se definirmos a matriz de repo sigdo n X n por 11 1 00 0 R 4 00 0 entao o vetor coluna Vit yr yy 0 Ry 0 5 0 especificara a configuracao de arvores plantadas depois de cada corte Agora estamos prontos para escrever as equacg6es seguintes que caracterizam uma politica de corte sustentavel configuraao no Lon configuracao no reposigao Lo final do periodo corte inicio do periodo de mudas de crescimento de crescimento 109 Administracao florestal 593 ou matematicamente GxyRyx Essa equagao pode ser rescrita como dRyGDx 6 ou mais compreensivelmente como Oo 1 1l 1l I y 0 1 O 0 0 y 0 0 1 0 0 y3 0 0 0 1 O yi4 0 0 0 0 1 y g 0 0 0 0 x 8 O 0 0 xy 0 g 0 Of x 0 0 0 sae 8n1 0 Xn1 0 0 QO 21 0 x Dizemos que a Equacao 6 é a condicdo de corte sustentdvel Quaisquer vetores x e y com entradas nao negativas tais que x x x s que satisfazem essa equa ao matricial determinam uma politica de corte sustentavel para a floresta Note que se y 0 entao o cortador esta removendo mudas sem valor econdmico e substituindoas por mudas novas Como isso nao faz sentido supomos que y 0 7 Com essa hipotese pode ser verificado que 6 é 0 formato matricial do conjunto de equa goes seguinte J 3 tet y 8 Yo 81 82 3 82 833 8 Yn1 8n2 Xn2 7 Bn1 Xn1 Vn Sn1 Xn1 Observe que a primeira equacao em 8 é a soma das demais n equagoes Como devemos ter y 0 comi 2 3 as Equagoes 8 exigem que 8X BX 8 X 9 9 Reciprocamente se x for um vetor coluna com entradas nao negativas que satisfaz a Equagao 9 entao 7 e 8 definem um vetor coluna y com entradas nao negativas Além disso x e y satisfazem a condicao de corte sustentavel 6 Em outras palavras uma con dicdo necessaria e suficiente para que um vetor coluna x determine uma configuragao da floresta que permite um corte sustentavel que as entradas de x satisfagam 9 Como removemos y arvores da iésima classe i 2 3 e cada arvore na iésima Rendimento sustentavel classe tem valor econdmico p o rendimento total R T do corte dado por é6timo RT pyyo PsY3 Fo Pan 10 594 Algebra Linear com Aplicacées Usando 8 podemos substituir os y em 10 e obter RT py 8X D3 Pr 82 FF Pn PaV8n1 Xn 11 Combinando 11 1 e 9 podemos agora enunciar o problema de maximizar o rendimento da floresta sobre todas as possiveis politicas de corte sustentavel como segue Problema Encontre numeros nao negativos x XX que maximizem RT py 8X D3 P282 FF Pa A PrV8n1 Xn sujeito a X X t X S e 81 X 8 1 O Da maneira que foi formulado esse problema pertence a 4rea de Programagao Linear No entanto vamos ilustrar o proximo resultado exibindo explicitamente uma politica de corte sustentavel sem utilizar a teoria de Programagao Linear TEOREMA 1091 Rendimento sustentavel otimo O rendimento sustentdvel 6timo é obtido cortando todas as drvores de uma classe de altura especifica e nenhuma drvore de qualquer outra classe Inicialmente denotamos RT rendimento obtido cortando todas as arvores da késima classe e nenhuma 4rvore das outras classes O maior valor de RT com k 2 3n sera entao o rendimento sustentavel d6timo e 0 correspondente valor de k sera a classe que deveria ser completamente cortada para obter esse rendimento sustentavel 6timo Como nenhuma classe é cortada exceto a késima temos Vy V3 0 HN HN Y O 12 Além disso como todas as arvores da késima classe sdo cortadas nao restam arvores para cortar na késima classe e nunca ha 4rvores nas classes de altura acima da késima classe Assim a a 13 Substituindo 12 e 13 na condigao de corte sustentavel 8 obtemos Ve SX 0 8 8 0 85 833 14 O 8 Xe2 8x Xe Ve Se 1Xe1 As Equagoes 14 também podem ser escritas como Vie 8X SoXy FF p11 15 109 Administragao florestal 595 da qual segue que X 8x 8 x gx 3 1 83 16 X 81 8e1 Substituindo as Equacées 13 e 16 em Xp rx te X 8 que é a Equacao 1 podemos resolver em x e obter 17 x OO 148g yy SL 83 Sx1 Para o rendimento RT combinamos 10 12 15 e 17 para obter RT Pr2 P33 F0 Pan PrVe Pe Si 18 PiS 1 1 1 444 1 2 Sx1 A Equacao 18 determina RT em termos dos parametros econdmicos e de crescimento conhecidos com quaisquer k 2 3 Assim o rendimento sustentavel 6timo é ob tido como segue TEOREMA 1092 Encontrando o rendimento sustentavel otimo O rendimento sustentdvel 6timo é 0 maior valor de PS 1 1 1 4 44 1 2 Sx1 com k 2 3n O correspondente valor de k é o niimero da classe que é comple tamente cortada No Exercicio 4 pedimos para o leitor mostrar que o vetor de nao cortadas x para o rendi mento sustentavel 6timo é 18 18 s 1g x 741 i 0 19 1 8 Sk1 0 0 O Teorema 1092 implica que nao é necessariamente a classe de arvores de maior preco que deve ser totalmente cortada Os parametros de crescimento g também devem ser levados em conta para determinar 0 rendimento sustentavel 6timo 596 Algebra Linear com Aplicacées Usando o Teorema 1092 A matriz de crescimento seguinte referese a uma floresta de pinheiros escoceses na Es cécia com perfodo de crescimento de seis anos ver M B Usher A Matrix Approach to the Management of Renewable Resources with Special Reference to Selection Forests Journal of Applied Ecology Vol 3 1966 paginas 355367 072 0 0 0 0 0 028 069 0 0 0 0 G 0 031 075 0 0 0 0 0 025 077 0 0 0 0 0 023 063 0 0 0 0 0 037 100 Suponha que os precos das arvores nas cinco classes de maior altura sejam p 50 p100 p150 p 200 p 250 Qual classe deveria ser completamente cortada para obter o rendimento sustentavel 6timo e qual é o rendimento Solugao Da matriz G obtemos g 028 g031 g025 g023 g037 As Equagoes 18 fornecem entao RT 50s028 140s RT 100s028 031 1475 RT 150s028 031 0257 1398 RT 200s028 031 0257 023 132s RT 250s028 031 025 023 037 140s Vemos que RT é a maior dessas cinco quantidades de modo que pelo Teorema 1092 a terceira classe deveria ser completamente cortada a cada seis anos para maximizar 0 rendimento sustentavel O rendimento sustentavel 6timo correspondente é 147s em que s o ntimero total de arvores na floresta 4 Conjunto de exercicios 109 1 Uma certa floresta é dividida em trés classes de altura e a ma 3 4 5 6 sejam todos iguais Nesse caso qualquer politica triz de crescimento das arvores entre os cortes é dada por de corte sustentavel ira produzir o mesmo rendimento susten tavel 6timo x 0 0 2 4 Obtenha a Equagao 19 para o vetor de nao cortadas cor G 0 respondente 4 politica de corte sustentavel 6tima descrita no 0 3 1 Teorema 1092 5 Quantas arvores séo removidas da floresta em cada corte Se o prego das arvores da segunda classe for de 30 e as da na politica de corte sustentével 6tima descrita no Teorema terceira classe 50 qual classe deveria ser totalmente cortada 1092 para obter o rendimento sustentavel 6timo Qual é 0 rendi 6 Se todos os pardmetros g g 8 de crescimento da mento 6timo se houver 100 arvores na floresta so x matriz de crescimento G forem iguais qual deve ser a razio 2 No Exemplo lla que nivel deve subir o preco das arvores da Po P31p entre os precos para que qualquer politica de quinta classe para que esta seja a que deve ser totalmente cor corte sustentavel seja uma politica de corte 6tima Ver Exer tada para obter o rendimento sustentavel 6timo cicio 3 3 No Exemplo 1 qual deve ser a razao p p P Ps P entre os precos das arvores para que os rendimentos RT com k 2 1010 Computacgao grafica 597 Sa Secao 109 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos d Mostre que se p 2 entao o rendimento sustentavel 6ti utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é mo nunca pode ser maior do que 2as MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também e Compare os valores de k determinados nas partes b e pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma c com 12 p e use CAlculo para explicar por que calculadora cientifica com funcionalidades de Algebra Linear Em cada exercicio vocé devera ler a documentag4o pertinente do re k 1 curso particular que estiver utilizando O objetivo destes exercicios 2p é fornecer uma competéncia basica na utilizag4o do seu recurso fant oat T2 Uma certa floresta tem parametros de crescimento dados por computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes exercicios vocé estaré capacitado a usar seu recurso computacional para re 1 solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercicios regulares 8 oy T1 Uma certa floresta tem pardmetros de crescimento dados por P P comi 1 23n 1 onde n o numero total de classes 1 de altura pode ser escolhido tao grande quanto necessario i 7 Suponha que o valor de uma arvore no késimo intervalo de altura seja dado por comi 1 23n 1 onde n o nimero total de classes ak 1Y de altura pode ser escolhido como tao grande quanto neces Py a sario Suponha que o valor de uma 4rvore no késimo interva onde a é uma constante monetaria e p é um parametro satis lo de altura seja dado por fazendo 1 p D ak 19 a Mostre que 0 rendimento RT é dado por em que a é uma constante monetaria e p é um parémetro RT ak ls satisfazendo p 2 ne a Mostre que 0 rendimento RT é dado por b Nos casos 1 RT 2akWPs p 12345 6 7 8 9 10 k use um computador para determinar o ntimero da classe b Nos casos que deveria ser completamente cortada para obter um rendimento 6timo e determine o rendimento sustentavel p 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 oe 6timo em cada caso Lembre que em suas contas k pode use um computador para determinar o numero da classe tomar somente valores inteiros que deveria ser completamente cortada e determine o c Compare os valores de k determinados na parte b com rendimento sustentavel 6timo em cada caso Lembre que 1 pIn2 e use Calculo para explicar por que em suas contas k pode tomar somente valores inteiros p c Repita as contas da parte b usando kl in2 p 191 192 193 194 195 196 197 198 199 1010 Computacao grafica Nesta seco supomos que uma imagem de um objeto tridimensional seja exibida num monitor de video e mostramos como a algebra matricial pode ser usada para obter novas imagens do objeto por meio de rotagao translagéo e mudangas de escala PrEREQUISITOS Algebra matricial Geometria Analitica Queremos visualizar um objeto tridimensional mostrando num monitor de video varias Visualizacao de um objeto imagens desse objeto O objeto que pretendemos mostrar é determinado por um nimero tridimensional finito de segmentos de reta Por exemplo considere 0 tronco de piramide reta com base hexagonal ilustrado na Figura 10101 Primeiro introduzimos um sistema de coordenadas 598 Algebra Linear com Aplicacdes xyz no qual mergulhamos o objeto Como na Figura 10101 orientamos o sistema de coordenadas de modo que sua origem esteja no centro da tela do monitor e o plano xy coincida com o plano da tela Consequentemente um observador somente vera a projecao da imagem do objeto tridimensional no plano bidimensional xy y Pro Py ea Pi Z z 7 yi mn L P x 2 P P P Figura 10101 As extremidades P P P dos segmentos de reta que determinam a imagem do objeto tém certas coordenadas no sistema de coordenadas xyz digamos X15 91 2 X V5 Zas5 X15 Y n Zn Essas coordenadas sao armazenadas na memoria do sistema junto com uma especifica ao de quais pares sao conectados por segmentos de reta Por exemplo suponha que a tela tenha 4 unidades de largura e 3 de altura e que os 12 vértices da pirdmide truncada da Figura 10101 tenham as coordenadas seguintes P 1000 0800 0000 P 0500 0800 0866 P 0500 0800 0866 P 1000 0800 0000 P 0500 0800 0866 P 0500 0800 0866 P 0840 0400 0000 P 0315 0125 0546 P 0210 0650 0364 P 0360 0800 0000 P0210 0650 0364 Py 0315 0125 0546 Esses 12 vértices s4o conectados dois a dois por 18 segmentos de reta como segue em que P P significa que o ponto P esta conectado ao ponto P PoP PP PP Py P Ps oP Po oP P Py Pp Py Py Pi Pip Py Pye Pp Py Po PP PP PP Py Py Ps Py Po oP Na Imagem 1 esses 18 segmentos de reta estéo mostrados como apareceriam na tela Deve ser observado que somente as coordenadas x e y dos vértices sao usadas pelo siste ma para desenhar a imagem pois é mostrada somente a projecao do objeto no plano xy No entanto precisamos manter a informagao sobre as coordenadas z para efetuar certas transformaées que discutiremos adiante 2 l 0 1 2 ee Agora vamos mostrar como formar uma nova imagem do objeto mudando a esca 1 la rodando ou transladando a imagem original Para isso construimos uma matriz P de N L tamanho 3 X n denominada matriz de coordenadas da imagem cujas colunas sao as 0 VIN coordenadas dos n pontos de uma imagem ARN ce PY VY t Y Imagem 1 4 En 1010 Computagao grafica 599 Por exemplo a matriz de coordenadas P que corresponde a Imagem é a matriz 3 X 12 1000 0500 0500 1000 0500 0500 0840 0315 0210 0360 0210 0315 0800 0800 0800 0800 0800 0800 0400 0125 0650 0800 0650 0125 0000 0866 0866 0000 0866 0866 0000 0546 0364 0000 0364 0546 Vamos mostrar a seguir como transformar a matriz de coordenadas P de uma imagem na nova matriz de coordenadas P que corresponde a uma nova imagem do objeto Os segmentos de retas que conectam os varios pontos se movem junto com os pontos quando esses pontos sao transformados Dessa maneira cada imagem é determinada univocamen te pela sua matriz de coordenadas desde que tenham sido especificados quais pares de pontos sao conectados por segmentos de reta na imagem original O primeiro tipo de transformacgao que consideramos é a mudanga de escala que con Mudanca de escala siste em mudar as escalas da imagem ao longo das diregGes x y e z por fatores a Be y respectivamente Isso significa que um ponto P de coordenadas x y z na imagem original ser4 transformado no novo ponto P de coordenadas ax By yz na nova imagem Isso tem o efeito de transformar um cubo unitario da imagem original num y paralelepipedo de dimensdes a X B X y Figura 10102 Matematicamente essa mu danga de escala é efetuada pela multiplicagao matricial como segue Definimos uma ne matriz diagonal 3 x 3 Tt a 0 0 S0 B 0 7 0 0 y 1 z Kr Entao se um ponto P da imagem original for representado pelo vetor coluna a a x Ji y l i entao o ponto transformado P é representado pelo vetor coluna B x a 0 0 x x y 0 BB 0 Jj y z 0 0 vy Zz a Usando a matriz de coordenadas P que contém as coordenadas de todos os n pontos da b imagem original como colunas esses pontos podem ser transformados simultaneamente para produzir a matriz de coordenadas P da mudanga de escala como segue Figura 10102 a 0 OO x x x SP0 B OYy YoY 0 0 y Zt 2 il 0 1 2 ax ay ax ji Bs ty P Lee VE Vt Vn o A nova matriz de coordenadas pode entao ser fornecida ao sistema para produzir a nova e r ff imagem do objeto Exemplificando a Imagem 2 é 0 resultado da mudanga de escala dada por a 18 B 05 e y 30 aplicada a Imagem 1 Observe que a mudanga de escala Imagem 2 Almagem y 30 ao longo do eixo z nao é visivel na Imagem 2 pois vemos somente a projecdo do 1 com escala alterada por objeto no plano xy a 18 B 05 y 30 600 Algebra Linear com Aplicacdes Translacao Em seguida consideramos a transformagao de translagdo que desloca um objeto para uma nova posicao na tela Usando a Figura 10103 suponha que queiramos mudar uma imagem existente de tal modo que cada ponto P de coordenadas x y z seja movido para um novo ponto P de coordenadas x xX y Yo Z Z O vetor Xo Yo 0 é denominado vetor translacao da transformagao Definindo a matriz 3 X n Xo Xo eee Xo T Yo t Mo Xo Xo eee Xo podemos transladar todos os n pontos da imagem determinados pela matriz de coordena das P pela adico matricial por meio da equacao PPT 2 4 0 1 2 A matriz de coordenadas P especifica portanto as novas coordenadas dos n pontos Por Yr An exemplo se quisermos transladar a Imagem de acordo com o vetor de translagao 1 TIN 0 f Ti 04 J 17 1 entao o resultado é a Imagem 3 Observe novamente que a translagdo por z 17 ao Imagem 3 Almagem 1 longo do eixo nao aparece explicitamente na Imagem 3 7 oo transladada por x 12 Vy 04 No Exercicio 7 explicada uma técnica de efetuar translagdes por multiplicacgao 0 11 YO hy we oon oe Z 17 matricial em vez de adicao matricial y Pix XY Yoo 20 x z Figura 10103 PO Yi Rotacado Um tipo mais complicado de transformagao a rotagao de uma imagem em torno de um dos trés eixos coordenados Comegamos com uma rotacao em torno do eixo z 0 eixo y ut at oh erpendicular a tela por um Angulo 8 Dado um ponto P de coordenadas x y z da Px Ye zy p Pp p g p l L Jj 1 imagem original queremos calcular as novas coordenadas xj y z do ponto P girado p Usando um pouco de Trigonometria e a Figura 10104 o leitor deveria conseguir deduzir Plan yz as relagGes seguintes L x pcosh 0 pcos d cos 6 psen d sen 6 x cos 6 y send Zan y psenh 0 pcos fd sen 6 psen d cos 6 x sen 6 y cos 0 Figura 10104 Zo 1010 Computagao grafica 601 Essas equagGes podem ser escritas em formato matricial como X cos6 sen 0 x y sen cosO 0 y zi 0 0 1 fz Se denotarmos a matriz 3 X 3 dessa equacao por R entao todos os n pontos poderao ser girados pela multiplicagéo matricial P RP para fornecer a matriz de coordenadas P da imagem rodada Analogamente podemos obter rotagdes em torno dos eixos x e y e as matrizes de rotacdo resultantes sao dadas nas Imagens 4 5 e 6 a seguir Essas novas imagens da pira mide truncada correspondem as rotagdes da Imagem em torno dos eixos x y e z por um angulo de 90 respectivamente x 2 il 0 1 2 Rotagdo em torno do eixo x y i f x oan 0 a 6 0 AA VU 0 sen cos AA a Imagem 4 Almagem 1 girada 90 em torno do eixo x Rotac4o em torno do eixo y ae a 9 Z t ij x 0 1 40 0 a 4 sen 0 cosé EA z a Imagem5 Almagem 1 girada 90 em torno do eixo y Rotagdo em torno do eixo z 2 0 1 2 y ij ot YY cos sen 0 x sen cos 0 0 Z sO me LSS ca LTT Imagem6 Almagem 1 girada 90 em torno do eixo z 602 Algebra Linear com Aplicacées 2 l 0 1 2 As rotagdes em torno dos trés eixos coordenados podem ser combinadas para dar Yr ff imagens obliquas de um objeto Por exemplo a Imagem 7 é a Imagem 1 inicialmente girada em torno do eixo x por 30 em seguida girada em torno do eixo y por 70 e 0 All finalmente girada em torno do eixo z por 27 Matematicamente essas trés rotagdes Gyy sucessivas podem ser encorpadas numa Unica equacao de transformacgéo P RP em que a NZL R 0 produto das trés matrizes individuais de rotagado PT Imagem 7 Imagem obli R 0 cos30 sen30 qua da pirdmide truncada 0 sen30 cos30 cos70 0 sen70 R 0 1 0 sen70 0 cos70 cos27 sen27 0 R sen27 cos27 0 0 0 1 na ordem 0305 0025 0952 RRRR 0155 0985 0076 0940 0171 0296 Como uma ilustracao final apresentamos na Imagem 8 duas imagens separadas da piramide truncada que constituem um par estereoscdépico Essas imagens foram produ zidas rodando primeiro a Imagem 7 em torno do eixo y por um Angulo de 3 e transla dando para a direita e em seguida rodando a mesma Imagem 7 em torno do eixo y por um angulo de 3 e transladando para a esquerda As distancias de translagao foram escolhidas de tal modo que as imagens estereosc6picas estejam afastadas cerca de 65 centimetros a distancia aproximada entre um par de olhos Imagem 8 Uma figura estereoscdpica da piramide truncada A tridimensio nalidade do diagrama pode ser vista segurando 0 livro a cerca de 30 centimetros e focando os olhos a distancia Voltando a olhar para a Imagem 8 sem trocar o foco dos olhos as duas imagens do par estereoscopico podem ser combinadas para produzir o efeito desejado 1010 Computagao grafica 603 Conjunto de exercicios 1010 1 A Imagem 9 é uma imagem de um quadrado de vértices c A matriz 0 0 0 1 0 0 1 1 0 e 0 1 0 1 0 0 a Qual é a matriz de coordenadas da Imagem 9 06 1 0 b Qual é a matriz de coordenadas da Imagem 9 depois de 001 uma mudanga de escala por um fator de 1 5 na diregAo x e 5 na direcdo y Faca um esboco da imagem transformada determina um cisalhamento na direcdao y de fator 06 em c Qual é a matriz de coordenadas da Imagem 9 depois de relacdo a coordenada x um exemplo aparece na Ima transladada pelo vetor gem 11 Esboce uma imagem do quadrado da Imagem 9 depois de uma tal transformacao de cisalhamento e en 2 contre as novas coordenadas de seus quatro vértices 1 3 or 0 1 2 Facga um esboco da imagem transformada d Qual é a matriz de coordenadas da Imagem 9 depois de l girada por um Angulo de 30 em torno do eixo z Faca um esboco da imagem transformada 0 1 2 l 0 1 2 1 Imagem 11 Almagem 1 com 0 cisalhamento na diregao y de 06 em relagdo a coordenada x Exercicio 2 l 3 a Areflexdo no plano xz é definida como a transformacao ue associa a cada ponto x y z 0 ponto x y Z Imagem 9 O quadrado de q P i912 OP OY i a por exemplo ver Imagem 12 Se Pe P forem as matri vértices 0 0 0 1 0 0 1 1 0 i a a zes de coordenadas de uma imagem e de sua reflexao no e 0 1 0 Exercicios 1 e 2 plano xz respectivamente encontre uma matriz M tal que P MP 2 a Sea matriz de coordenadas da Imagem 9 for multiplicada pela matriz b Analogamente a parte a defina a reflexao no plano yz e construa a matriz correspondente a essa transformagao 1 5 0 Facga um esboco da Imagem refletida no plano yz 0 1 0 c Analogamente 4 parte a defina a reflexdo no plano xy 0 0 1 e construa a matriz correspondente a essa transformagao Facga um esboco da Imagem refletida no plano xy o resultado sera a matriz de coordenadas da Imagem 10 Uma tal transformagao é denominada cisalhamento na direcao x de fator 5 em relacao a coordenada y Mostre 2 1 0 1 2 que sob tal transformagao um ponto de coordenadas rf fl y Z passa a ter coordenadas x 5Yis Y 1 es b Quais séo as coordenadas dos quatro vértices do quadra NA do cisalhado da Imagem 10 W I 1 Imagem 12 Almagem 1 refle 0 tida no plano xz Exercicio 3 i 4 a A Imagem 13 é0 resultado da Imagem 1 submetida as cinco transformag6es seguintes Imagem 10 Almagem 9 com 1 Mudanga de escala de fator 5 na direcao x 2 na dire 1 cisalhamento na diregao x por 4 em cao y e 3 na direcao z relagdo a coordenada y Exercicio 2 2 Translagiio de unidade na direiio x 604 Algebra Linear com Aplicacdes 3 Rotagao de 20 em torno do eixo x 6 Suponha que P seja a matriz de coordenadas de uma imagem 4 Rotaco de 45 em torno do eixo y que é transformada pela rotagao de um Angulo 0 em torno de 5 um eixo pela origem que é especificado pelos dois angulos a 5 Rotagao de 90 em torne clo eixo z e B ver Figura Ex6 Se P for a matriz de coordenadas da Construa as cinco matrizes M M M M e M associa imagem girada encontre as matrizes de rotacgio R R R R das a essas cinco transformagées e R tais que b Se P for a matriz de coordenadas da Imagem lePada P RRRRRP Imagem 13 expresse P em termos das matrizes M M MMMe P Sugestdo a rotagdo procurada pode ser efetuada com os cin CO passos seguintes 1 Rotagéo de um Angulo B em torno do eixo y 2 l 0 1 2 A 71 Lo 2 Rotagdo de um 4ngulo a em torno do eixo z 1 AAT 3 Rotagao de um angulo 6 em torno do eixo y An 8 y J sez 4 Rotagaéo de um angulo a em torno do eixo z a Pv ft 5 Rotagao de um angulo B em torno do eixo y 1 Imagem 13 Almagem 1 0 transformada com mudanca de escala translagdo e rotagao Exercicio 4 x B z 5 a A Imagem 14 é0 resultado da Imagem 1 submetida as Figura Ex6 sete transformacGes seguintes 1 Mudanga de escala de fator 03 na direcio x e 05 na De oo direciio 7 Este exercicio ilustra uma técnica para transladar um ponto de y coordenadas x y z para um ponto de coordenadas x xy 2 Rotagao de 45 em torno do eixo x Y Yo Z 2 por meio de multiplicagéo matricial em vez 3 Translagao de unidade na direcao x de adicao 4 Rotagao de 35 em torno do eixo y a Associe 0 ponto x y Z com o vetor coluna 5 Rotagao de 45 em torno do eixo z x 6 Translagao de unidade na direcao z y L 7 Mudanga de escala de fator 2 na diregao x vi z Construa as matrizes M M M associadas a essas 1 sete transformagoes b Se P for a matriz de coordenadas da Imagem e P 0 ponto x Xp Yos Como vetor coluna a da Imagem 14 expresse P em termos das matrizes x X MMMeP 1 My 7 v Yi Yo Z 2 l 0 1 2 1 Encontre uma matriz M de tamanho 4 X 4 tal que 0 7 b Encontre a matriz 4 X 4 especifica do formato dado AZ acima que efetua a translagao do ponto 4 2 3 para o a ponto 1 7 0 KAT 8 Para as trés matrizes de rotacg4o dadas com as Imagens 4 5 e 6 mostre que Imagem 14 Almagem 1 4 7 transformada com mudanga de RUR escala translagao e rotagao Dizemos que uma matriz com essa propriedade é uma matriz Exercicio 5 ortogonal Ver Secio 71 1011 Distribuigdes de temperatura de equilibrio 605 Sa Secao 1010 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos e portanto correspondem aqueles vetores cujas diregdes utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é nao sao afetadas por uma reflex4o no plano Use um MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também computador para determinar os autovetores e autovalores pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma de M e entao dé um argumento fisico para corroborar sua calculadora cientifica com funcionalidades de Algebra Linear Em resposta cada exercicio vocé devera ler a documentagao pertinente do re T2 Um vetor v x y z rodado por um ngulo 6 em torno de curso particular que estiver utilizando O objetivo destes exercicios um eixo com vetor unitario a b c formando assim 0 vetor é fornecer uma competéncia basica na utilizag4o do seu recurso rodado V Xp Vps Zp Pode ser mostrado que computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes exercicios vocé estaré capacitado a usar seu recurso computacional para re Xp x solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercicios regulares Ye RO 1 y T1 Sejam a b c um vetor unitaério normal ao plano ax by Zp Zz cz Oer x y z um vetor Pode ser mostrado que a ima gem espelhada do vetor r no plano dado tem coordenadas r com XYZ em que or Yer Ze 4 1 0 0 a x x R cos0 1 0 cosba b cl yMly 0 0 1 c Z Zz 0 c b com sen 0 c 0 a b a 0 1 0 0 a MI12nn 0 1 O2ba b c a Use um computador para mostrar que RR 0 0 1 Cc R e dé uma razao fisica por que isso deve ser assim Dependendo da sofisticagao do computador que a Mostre que M Je dé uma razio fisica por que isso vocé estiver usando talvez vocé deva experimentar com deve ser assim Sugestdo use que o vetor a b c é uni valores diferentes de a be tario para mostrar que nn 1 3 b Use um computador para mostrar que detM 1 cvlab c Os autovetores de M satisfazem a equacgao b Mostre também que R9 R6 e dé uma razio fisi ca para isso Xe c Use um computador para mostrar que detR 1 yMyAaly 26 Zz Zz 1011 Distribuigées de temperatura de equilibrio Nesta seg4o mostramos como pode ser encontrada a distribuigaéo de temperatura de equilibrio numa placa trapezoidal se forem especificadas as temperaturas ao longo das arestas da placa O problema se resume a resolver um sistema de equac6es lineares Também sao descritas uma técnica iterativa para resolver o problema e uma abordagem do tipo caminho aleatério para o problema PREREQUISITOS Sistemas lineares Matrizes CompreensAo intuitiva de limites Suponha que as duas faces da placa trapezoidal fina mostrada na Figura 1011la s40 Dados de contorno isoladas do calor Suponha também que tenham sido dadas as temperaturas ao longo das quatro arestas da placa Por exemplo suponha que as temperaturas em cada aresta sejam 606 Algebra Linear com Aplicacdes constantes com valores de 0 0 1 e 2 como na figura Depois de um certo perfodo de tempo a temperatura no interior da placa acaba estabilizando Nosso objetivo nesta segao é determinar essa distribuigao de temperatura de equilfbrio dos pontos dentro da placa Como veremos a temperatura de equilibrio interior completamente determinada pelos dados de contorno ou seja pelas temperaturas ao longo das arestas da placa az ea Ye 2 000 ll 2 g Oo 5 20011 75 025 3 150 050 0 1 125 075 000 100 100 Temperatura 1 2 Figura 10111 a 2 A distribuigao de temperatura de equilfbrio pode ser visualizada pelo uso de curvas que conectam os pontos com mesma temperatura Essas curvas sao denominadas isotér micas da distribuicgdo de temperatura Na Figura 10111b esbogamos algumas isotérmi cas usando informag6es que deduzimos mais adiante neste capitulo Embora nossas contas aqui sejam para a placa trapezoidal ilustrada nossas técnicas generalizam facilmente para placas com qualquer formato pratico Essas técnicas também generalizam para o problema de encontrar a temperatura dentro de um corpo tridimen sional Na realidade nossa placa poderia ser o corte transversal de algum objeto sdlido se o fluxo de calor perpendicular ao corte for desprezivel Por exemplo a Figura 10111 poderia representar a secdo transversal de uma longa represa A represa esta exposta a trés temperaturas diferentes a temperatura do solo em sua base a temperatura da 4gua de um lado e a do ar do outro Para determinar as tenses termais as quais a represa esta sujeita é necessario conhecer a distribuigdo de temperatura dentro da represa Em seguida veremos um certo principio termodinamico que caracteriza a distribui cao de temperatura que estamos procurando A propriedade do valor médio Existem muitas maneiras diferentes de obter um modelo matematico para 0 nosso proble ma A abordagem utilizada aqui tem por base a propriedade da distribuigao de temperatu ra de equilibrio que segue TEOREMA 10111 A propriedade do valor médio Seja P um ponto do interior de uma placa em equilibrio térmico Se C for um circulo qualquer completamente contido na placa e centrado em P entdo a temperatura em P é o valor médio da temperatura no circulo Figura 10112 Essa propriedade uma consequéncia de certas leis basicas do movimento molecular que nao tentaremos deduzir Basicamente a propriedade afirma que a energia termal em c equilfbrio tem a tendéncia de distribuirse de modo tao uniforme quanto possivel consis tentemente com as condigdes de contorno Pode ser mostrado que a propriedade do valor Figura 10112 médio determina de maneira unica a distribuicao de temperatura de equilibrio de uma placa 1011 Distribuicdes de temperatura de equilibrio 607 Infelizmente nao é uma tarefa facil determinar a distribuigao de temperatura de equi librio a partir da propriedade do valor médio No entanto podemos reduzir o problema a resolugdo de um sistema linear se nos restringimos a encontrar a temperatura somente num conjunto finito de pontos do interior da placa E isso 0 que faremos a seguir Podemos cobrir nossa placa trapezoidal com uma sucesso de malhas de quadrados ou A formulacao discreta do redes cada vez mais finas Figura 10113 Em a temos uma malha bem grosseira em problema b temos uma malha com a metade do espacamento da de a e em c 0 espacamento pag pag novamente foi reduzido a metade Os pontos de intersecao das linhas da malha sao cha mados pontos de malha Esses pontos sao classificados em pontos de malha de contorno se estiverem no contorno da placa e pontos de malha interiores se estiverem no interior da placa Nas trés malhas escolhidas na figura existem 1 9 e 49 pontos de malha interio res respectivamente 2 2 2 2 ao TPN IN TET 2 0 2 0 2 eeex 0 Se IN TTT ob de TTT Ph IN lettres ob ede OTC i Tht 5 he jo bot MMMM Giecscssese Flu 1 1 1 1 1 1 1 1 lr1itiiidt a 1 ponto de malha interior b 9 pontos de malha interiores c 49 pontos de malha interiores Figura 10113 Na formulaao discreta do problema tentamos encontrar somente as temperaturas nos pontos de malha interiores de uma rede dada Para uma malha razoavelmente fina como em c isso j4 fornece uma excelente representagao da verdadeira distribuigao de temperatura na placa inteira A temperatura nos pontos de malha de contorno é fornecida pelos dados de contorno Na Figura 10113 rotulamos todos os pontos de malha de contorno com suas tempera turas correspondentes Nos pontos de malha interiores aplicamos a versao discreta da propriedade do valor médio que segue TEOREMA 10112 A propriedade discreta do valor médio Em cada ponto de malha interior a temperatura é aproximadamente a média das tem peraturas dos quatro pontos de malha vizinhos Essa versao discreta uma aproximagao razoavel da verdadeira propriedade do valor médio mas também fornece somente uma aproximacao das verdadeiras temperaturas nos pontos de malha interiores por ser apenas uma aproximagao No entanto a aproximacao melhora 4 medida que diminuir 0 espagamento da malha De fato se o espagamento da malha tender a zero as aproximagOes tendem a distribuicgéo de temperatura exata um fato que é provado em disciplinas avangadas de Andlise Numérica lustramos essa convergén cia calculando as temperaturas aproximadas nos pontos de malha dos trés espagamentos de malha da Figura 10113 608 Algebra Linear com Aplicacdes O caso da malha a da Figura 10113 é simples pois s6 ha um ponto de malha in terior Escrevendo f para a temperatura nesse ponto de malha a propriedade discreta do valor médio imediatamente fornece fy 2100 075 No caso b podemos denotar as temperaturas nos nove pontos de malha interiores por tt como na Figura 10113b A ordem escolhida para esses pontos nao importante Aplicando a propriedade do valor médio discreto sucessivamente a cada um desses nove pontos obtemos as nove equag6es seguintes t 424040 t 4 44442 t 4 1 040 t tht4t 42 ts t t t t 1 tg 4t t 00 t 4t 4 142 tp 4t5t441 1 ty Ft t 1 0 Isso um sistema de nove equacées lineares em nove incdgnitas que podemos reescrever em formato matricial como tMtb 2 em que 040000 0 0 0 1 t 1 1 4 t 7 9 7 7 0 0 0 0 0 1 1 1 t 0 7 0 0 7 0 0 0 0 0 1 1 1 1 t 0 7 0 0 7 0 0 0 5 t4 M0 0 4 0 4 0 Oj b0 I 0000 4000 5 0 3 4 000100010 4 1 1 000040 40 4 1 0000040 10 4 Para resolver a Equacao 2 reescrevemos essa equagao como Mtb A solucao em t é portanto t1Mb 3 sempre que a matriz I M for invertivel Isso realmente ocorre e calculando a solugao em t por 3 obtemos 1011 Distribuigdes de temperatura de equilibrio 609 07846 11383 04719 12967 t 07491 4 03265 12995 09014 05570 A Figura 10114 um diagrama da placa com os nove pontos de malha interiores mos trando sua temperatura de acordo com essa solugao 2 Nw 2 0 2 Poe 0 2 pe 0 2 12995 0901405570 0 Figura 10114 1 1 1 1 1 Repetimos esse mesmo procedimento no caso c da Figura 10113 Denotamos as temperaturas nos 49 pontos de malha interiores em qualquer ordem por ft 5 ty9 Por exemplo podemos comegar no topo da placa e continuar da esquerda para a direita ao longo de cada linha de pontos da malha Aplicando a propriedade discreta do valor médio a cada um dos pontos de malha obtemos um sistema de 49 equacoes lineares em 49 incégnitas como segue t 42040 F 44442 5 fg i ty ty ty 1 Ly Ft tg 01 Em formato matricial as Equac6es 5 sao tMtb em que te b sAo vetores coluna de 49 entradas e M é uma matriz 49 x 49 Como em 3 a solucado em t é tMb 6 610 Algebra Linear com Aplicacdes Na Figura 10115 exibimos as temperaturas encontradas com a Equagao 6 nos 49 pon tos de malha As nove temperaturas nao sombreadas nessa figura caem nos pontos de malha da Figura 10114 Na Tabela 1 comparamos as temperaturas nesses nove pontos de malha interiores que séo comuns para os trés espagamentos de rede diferentes usados 2 0 2 0 2 ee 0 2 0 2 r oa T T 10 0 2 P PT on 0 2 yd 0 2 PP yy i 14 y 7 S in 0 2 0 2 aa i SI i aa i 0 2 14508 12039 10605 09548 08556 07311 05135 0 Figura 10115 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tabela 1 Temperaturas nos pontos de malha comuns Caso a Caso b Caso c th 07846 08048 ty 11383 11533 ty 04719 04778 t 12967 13078 ie 07500 07491 07513 t 03265 03157 t 12995 13042 th 09014 09032 ty 05570 05554 1011 Distribuigdes de temperatura de equilfbrio 611 Sabendo que as temperaturas do problema discreto tendem as temperaturas exatas a medida que 0 espagamento da malha diminui podemos concluir que as nove temperaturas obtidas no caso c estao mais préximas dos valores exatos que as do caso b Para obter as 49 temperaturas no caso c da Figura 10113 foi necessario resolver um Uma técnica numérica sistema linear em 49 incégnitas Uma rede mais fina pode envolver um sistema linear com centenas ou até milhares de incégnitas Algoritmos exatos para a solugao de sistemas tao grandes sao impraticaveis e por essa razao discutiremos agora uma técnica numérica para a solugao pratica desses sistemas Para descrever essa técnica voltamos a olhar para a Equagao 2 tMtb 7 O vetor t que estamos procurando aparece em ambos os lados dessa equagao Procuremos uma maneira de gerar aproximacées melhores cada vez do vetor t Com a aproximagao inicial t podemos tomar t 0 se nao tivermos uma escolha melhor Substituindo t no lado direito de 7 e identificando o lado esquerdo resultante como t temos tMtb 8 Substituindo t no lado direito de 7 geramos uma nova aproximaao que identificamos como t t Mtb 9 Continuando dessa maneira geramos a sequéncia de aproximacoes seguinte Mt b t Mt b t Mt b 10 t Mt b E de se esperar que essa sequéncia de aproximacoes t t t convirja a solu ao exata de 7 Nao poderemos tratar aqui das consideragGes teéricas necessarias para mostrar isso Basta dizer que para o problema sob consideracAo a sequéncia converge a solugao exata com qualquer tamanho de malha e para qualquer aproximacio inicial t A técnica de gerar aproximag6es sucessivas para a solugao de 7 é uma variagao de uma técnica denominada iteragdo de Jacobi cada aproximagao é uma iterada Como um exemplo numérico aplicamos a iteragdo de Jacobi ao calculo das nove temperaturas dos pontos da rede do caso b Tomando t0a Equagao 2 fornece 05000 05000 00000 05000 t Mt b M0bb 00000 00000 07500 02500 02500 612 Algebra Linear com Aplicacées t Mt b 040000 0 0 0 19119000 0 05000 05000 06250 4 4 4 05000 05000 07500 0 7 0 0 8 0 O 0 Jo0000 00000 01250 0 4 0 0 0 0 0 Jo5000 05000 08125 0 0 0 4 O 0 00000 00000 01875 000 0 i 00 0 i 00000 00000 00625 00 0 1 00 0 1 0 07500 07500 09375 000020101 02500 02500 05000 4 4 4 1 102500 02500 03125 00000 40 0 Algumas iteradas adicionais sao 06875 07791 07845 07846 08906 11230 11380 11383 02344 04573 04716 04719 09688 12770 12963 12967 t 03750 t 07236 t 07486 t 07491 01250 03131 03263 03265 10781 12848 12992 12995 06094 08827 09010 09014 03906 05446 05567 05570 Todas as iteradas a partir da trigésima sao iguais a t até quatro casas decimais Con sequentemente tr éa solucao exata até quatro casas decimais Isso confere com nosso resultado anterior dado na Equagao 4 O esquema de iteracgao de Jacobi aplicado ao sistema linear 5 em 49 incdgnitas produz iteradas que comegam a repetir as quatro primeiras casas decimais a partir de 119 iteragdes Assim t daria as 49 temperaturas corretas até quatro casas decimais do caso c Uma técnica de Monte Carlo Nesta secao descrevemos uma assim chamada técnica de Monte Carlo para calcular a temperatura num Unico ponto de malha interior do problema discreto que nao requer o calculo das temperaturas nos demais pontos de malha interiores Inicialmente definimos um passeio aleatorio discreto na rede Isso significa um caminho dirigido ao longo de linhas da rede Figura 10116 que liga uma sucessao de pontos de malha e que tal que a direcdo e o sentido de partida de cada ponto de malha sao escolhidos aleatoriamente Cada uma das quatro possiveis diregdes e sentidos de partida de cada ponto de malha ao 2 longo do caminho deve ser igualmente provavel IN Utilizando a propriedade enunciada a seguir podemos calcular a temperatura em um 2 TA ponto de malha interior especifico usando passeios aleatorios 2 0 2 TN 0 TEOREMA 10113 Propriedade do passeio aleatorio 2 P ot LX 0 Seja W W W uma sucessdo de passeios aleatorios todos comegando num Py 1 t mesmo ponto de malha interior especificado Sejam t t t as temperaturas 2 0 nos primeiros pontos de malha de contorno encontrados ao longo de cada um desses PT tf passeios aleatorios Entado o valor médio t t t dessas temperaturas 1 it 14 1 de contorno tende a temperatura no ponto de malha interior especificado quando o Figura 10116 numero n de passeios aleatérios cresce indefinidamente 1011 Distribuigdes de temperatura de equilibrio 613 Essa propriedade é uma consequéncia da propriedade discreta do valor médio satisfeita pelas temperaturas dos pontos de malha A prova da propriedade do passeio aleatério en volve conceitos elementares da Teoria de Probabilidade e nao sera dada aqui Na Tabela 2 exibimos os resultados de um grande ntmero de passeios aleatdérios gerados por computador para obter a temperatura t do caso b da Figura 10116 da ma lha de nove pontos A primeira coluna lista o nimero n do passeio aleatério A segunda coluna lista a temperatura tdo primeiro ponto de malha de contorno encontrado ao longo do passeio aleatério correspondente A Ultima coluna da a média acumulada das tem peraturas de contorno encontradas ao longo dos n passeios aleatérios Assim depois de 1000 passeios aleatérios temos a aproximagao t 07550 Isso equivale ao valor exato t 07491 que calculamos anteriormente Como pode ser visto a convergéncia ao valor exato nao é muito rapida Tabela 2 n ot tf tn n th ti tn 1 1 10000 20 1 09500 2 2 15000 30 0 08000 3 1 13333 40 O 08250 4 0 10000 50 2 08400 5 2 12000 100 O 08300 6 0 10000 150 1 08000 7 2 11429 200 0 08050 8 0 10000 250 1 08240 9 2 11111 500 1 07860 10 O 10000 1000 0 07550 Conjunto de exercicios 101 1 1 Uma placa no formato de um disco circular tem temperaturas 0 1 de contorno de 0 na metade esquerda de sua circunferéncia e de 1 na metade direita de sua circunferéncia Sobrepomos ao disco uma rede com quatro pontos de malha interiores ver 0 h 1 Figura Ex1 a Usando a propriedade discreta do valor médio escreva 0 sistema linear t Mt b de tamanho 4 X 4 que deter 0 by h 1 mina as temperaturas aproximadas nos quatro pontos de malha interiores b Resolva o sistema linear da parte a Figura Ex1 c Use 0 esquema de iteragdo de Jacobi com t 0 para gure erar as iteradas te t t te t do sistema linear da 8 a 5 2 Use o Teorema 10111 para encontrar a temperatura de equi parte a Qual é 0 vetor erro t t em que t é a solu a x lfbrio exata no centro do disco do Exercicio 1 cao encontrada na parte b Lo 3 Calcule as duas primeiras iteradas t et no caso b da Fi d Usando certos métodos avangados pode ser mostrado Lo gura 10113 com nove pontos de malha interiores Equacao que as temperaturas exatas nos quatro pontos de malha 2 escolhendo a iterada inicial sao t t 02871 et t 07129 Quais sao os er ros percentuais nos valores encontrados na parte b ef1 1111212121 17 614 Algebra Linear com Aplicacées 4 O passeio aleatério ilustrado na Figura Ex4a pode ser descri 4 Retorne ao ponto de malha interior rotulado t e comece to por seis flechas onde vocé parou no agrupamento de flechas gere seu pr6 ximo passeio aleatério Repita esse processo até completar Hoot a 10 passeios aleat6rios e registrar 10 temperaturas de con que especificam as diregGes e sentidos de partida dos suces torno sivos pontos de malha ao longo do passeio A Figura Ex4b 5 Calcule a média das 10 temperaturas de contorno registra um agrupamento 10 X 10 de 100 flechas orientadas alea das O valor exato é t 07491 toriamente geradas por computador Use essas flechas para determinar passeios aleatérios para aproximar a temperatura t como aparece na Tabela 2 Proceda da seguinte maneira 2 0123456789 1 Tome os dois ultimos digitos do nimero do seu telefone Ooyyyyyt Use 0 ultimo digito para especificar a linha e 0 outro para 2 1445y especificar a coluna 3 NN 0 24fy 2 V4aflecha do agrupamento que tem esse nimero de linha Pt IN 344t7 t e coluna 2 0 4th heyy pred 3 Usando essa flecha como um ponto de partida siga pelo PT LIA Syryrme tet agrupamento de flechas como vocé faria para ler um livro y t O ofthe yt toete da esquerda para a direita e de cima para baixo Come 2 0 7 4tr4h bh H ando no ponto rotulado na Figura Ex4a e usando a Pt tf 8tyeryeye sequéncia de flechas obtida para especificar uma sucessfo Dh Aer RY Em de direcgdes e sentidos movase de ponto de malha para 1 1 1 1 1 ponto de malha até alcangar um ponto de malha de contor a b no Isso completa seu primeiro passeio aleatério Registre Figura Ex4 a temperatura do ponto de malha de contorno Se vocé chegou ao fim do agrupamento de flechas continue com a flecha do canto superior esquerdo Sa Secao 1011 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos mostre que utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é 4 ue7uuutu MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também bp ASL mh ipl yet pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma comi 123nlej123n 1 Para tra calculadora cientffica com funcionalidades de Algebra Linear Em tar dos pontos de contorno defina cada exercicio vocé deverda ler a documentagao pertinente do re an as uyTuTuTeu T curso particular que estiver utilizando O objetivo destes exercicios oJ bond Rei Bohn r é fornecer uma competéncia basica na utilizagéo do seu recurso comi 123nlej123n 1 Agora computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes exercicios defina vocé estaré capacitado a usar seu recurso computacional para re solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercicios regulares F 0 Tf T1 Suponha dada a regiao quadrada descrita por mt 1 0 RyOSx10sy1 como a matriz n 1 X n 1 que tem a matriz identidade e suponha que a distribuicao de temperatura de equilibrio n X nno canto superior direito um 1 no canto inferior esquer ux y ao longo do contorno seja dada por ux 0 Ty do e zeros nas demais entradas Por exemplo ux 1 T uO y T eu1 y T Suponha tam 0 1 0 bém que essa regiao tenha sido particionada numa malha 0 1 n 1 X n 1 usando r of Fy f 0 1 0 0 i J sons croq pines comi012nej012n Seas temperaturas F F0 0 0 1 0 nos pontos de malha interiores forem denotadas por 1000 000 0 1 u ux y uCiln jn ro 0 0 0 1012 Tomogratia computadorizada 615 e assim por diante Definindo a matriz n 1 X n 1 em que M a matriz definida no Exercicio T1 Agora r ajuste U ue substituindo todas as entradas de esquina M F F 0 iL 0 iL pelas entradas de esquina iniciais em u LObservacdao mt Pn tne 1 O 1 O as entradas de esquina de uma matriz sao as entradas nas primeira e Ultima linhas e primeira e ultima colunas mostre que se Ui for a matriz n 1 x n 1 com entra 3 Continue esse processo até que ut u seja aproxi das Uj entao o conjunto de equacgoes madamente a matriz zero Isso sugere que 5 r7k ui pUj1j Fu FU ja Mi Gi lim rst comi 1232 lej 1231 1 pode ser Use um computador e esse algoritmo para resolver em ux y escrito como a equacaéo matricial sabendo que Uns Mpa Uns Uni Mnr ux00 ux 10 u0y 0 ul y 2 em que apenas consideramos aqueles elementos de U com Escolha n 6 e calcule até chegar a ue A solucao exata i123nlej123n21 pode ser expressa como T2 Os resultados do exercicio precedente e a discusso no texto 8 2 senh2m lrxsen2m lry sugerem 0 algoritmo seguinte para resolver a temperatura de ux y oO equilfbrio na regiao quadrada T n 2m 1 senh 2m lpr Rwy0Sx510sysl Use um computador para calcular ui6 j6 com i j 0 1 2 3 4 5 6 e ento compare seus resultados com os valores de dadas as condicgées de contorno a 30 ui6 j6 em U ux0 Tz ur 1 T T3 Usando a solugao exata ux y da distribuigo de temperatura u0yT ul y Te descrita no Exercicio T2 use um recurso grafico para fazer o 1 Escolha um valor de n e um palpite inicial digamos seguinte a Faga um esbogo da superficie z ux y no espaco tridi 0 T T 0 mensional xyz em que z é a temperatura no ponto x y da T O 0 T regiao quadrada Ue b Esboce varias isotérmicas da distribuigao de temperatura T 0 0 T que sao as curvas do plano xy em que a temperatura é B T 0 Ty s Ty 0 constante c Esboce varias curvas da temperatura como fungao de x 2 Dado qualquer k 0 12 3 calcule uw usando com y mantido constante ue wo wo d Esboce varias curvas da temperatura como fungfo de y Ui 7M U4 Oh Miwd com x mantido constante 1012 Tomografia computadorizada Nesta seg4o mostramos como a construgaéo da imagem de um corte transversal de um corpo humano a partir da andlise do escaneamento por raios X leva a um sistema linear inconsistente Apresentamos uma técnica iterativa que fornece uma soludo aproximada do sistema linear PREREQUISITOS Sistemas lineares Logaritmos naturais Espaco euclidiano R O problema basico da tomografia computadorizada é construir a imagem de uma secao transversal do corpo humano usando dados coletados por uma grande quantidade de fei xes individuais de raios X que sao emitidos ao longo da seco transversal Esses dados sao processados por um computador e a secAo transversal computada é exibida num monitor de video A Figura 10121 um diagrama do sistema de tomografia computadorizada da 616 Algebra Linear com Aplicacdes General Electric mostrando um paciente preparado para ter uma secao transversal de sua cabega escaneada por um feixe de raios X pou y L P Ml LS j Figura 10121 Ps i Pu ee re Um sistema desses também é conhecido pelas inicias em inglés CAT de Tomografia oe b mas Auxiliada por Computador A Figura 10122 mostra uma secao transversal tipica de uma vey a cabeca humana produzida por esse método aes rt O primeiro sistema comercial de tomografia computadorizada para uso médico foi x s ri Z dh i desenvolvido em 1971 por G N Hounsfield da firma EMI Ltd na Inglaterra Em 1979 Rd whee Hounsfield e A M Cormack receberam 0 prémio Nobel por seu trabalho pioneiro nessa ee area Como veremos nesta seco a construgao de uma secao transversal ou uma tomogra Figura 10122 fia requer a resoluga4o de um sistema muito grande de equacées lineares Certos algorit mos da classe de técnicas de reconstrugao algébrica podem ser usados para resolver es ses sistemas lineares cujas solugdes produzem as secées transversais em formato digital Modos de escanear Ao contrario de imagens de raios X convencionais que sao obtidas projetando os raios X perpendicularmente ao plano da imagem os tomégrafos so construidos a partir de mi lhares de feixes finissimos de raios X que ficam no plano da secao transversal Depois de passar pela secAo transversal as intensidades desses feixes séo medidas por um detector de raios X e as mensuragOes sdo transmitidas a um computador para serem processadas As Figuras 10123 e 10124 ilustram dois modos possiveis de escanear a secao transver sal 0 modo paralelo e 0 modo de leque No modo paralelo um unico par de fonte e de detector de raios X é transladado através do campo de visao que contém a secAo trans versal e é registrada uma grande quantidade de feixes paralelos Em seguida o par fonte e detector é girado por um pequeno Angulo e é feito 0 registro de um novo conjunto de medidas Esse processo é repetido até alcangar o nimero de medidas desejado Na maqui na original de 1971 por exemplo eram tomadas 160 medidas paralelas ao longo de 180 Detector Conjunto de raios X OQ de detectores de raios X f Ny f Q LA o Rotagao f Rotagao Z4 LL acieute aD oe Fonte de ey g raios X Fonte de raios X Figura 10123 Modo paralelo A Figura 10124 Modo de leque 1012 Tomografia computadorizada 617 Angulos espacados de 1 num total de 160 180 28800 medidas de intensidade de feixe Cada escaneamento desses levava cerca de cinco minutos e meio No modo de leque de escanear uma tnica fonte de raios X gera um leque de raios colimados cujas intensidades sao medidas simultaneamente por uma coleao de detecto res do outro lado do campo de visao A fonte e 0 conjunto de detectores sao girados por muitos angulos e um conjunto de medidas é tomado em cada angulo até completar o escaneamento No sistema de tomografia computadorizada da General Electric que usa 0 modo de leque cada escaneamento leva um segundo Para ver como a seco transversal é reconstruida a partir das muitas medidas de feixes Deducao das equacdes considere a Figura 10125 Aqui 0 campo de visao no qual esta situada a seco transversal foi dividido em muitos pixels quadrados um pixel é um elemento pictografico da figura Detector digitalizada numerados de a N como indicado O que queremos é determinar a densi de raios X dade dos raios X de cada pixel No sistema da EMI foram usados 6400 pixels dispostos num arranjo de 80 X 80 O sistema da General Electric usa 262144 pixels dispostos num D iésimo feixe arranjo de 512 X 512 cada pixel medindo cerca de 1 mm da lado Depois de determinar poe V7 as densidades dos pixels pelo método que descrevemos a seguir elas séo reproduzidas 7 7 num monitor de video cada pixel sendo sombreado com um nivel de cinza proporcional LV a sua densidade de raios X Como os diversos tecidos humanos tém densidades de raios X diferentes a imagem no video distingue claramente os diversos tecidos e 6rgaos na segao transversal A Figura 10126 mostra um tnico pixel sendo atravessado num sentido paralelo aos lados por um feixe de raios X de aproximadamente a mesma largura do pixel Os fotons r Vi que constituem o feixe de raios X sao absorvidos pelo tecido dentro do pixel numa taxa 7 7 proporcional a densidade de raios X do tecido Quantitativamente a densidade de raios X do jésimo pixel é denotada por x e é definida por Enésimo J pixel me de fotons entrando no jésimo pixel Fonte de Jésimo OO raios X pixel numero de fotons saindo do jésimo pixel Figura 10125 onde o In denota a funcao logaritmo natural Usando a propriedade logaritmica Inab Inba também temos fracdo de fotons que passa pelo y ee pixel sem ser pone Se o feixe de raios X passa por uma fileira inteira de pixels Figura 10127 entao o nt mero de fétons saindo de um pixel é igual ao nimero de fotons entrando no préximo pixel pixel Os fétons entrando Os fotons saindo Figura 10126 no jésimo pixel do jésimo pixel feeleL LL pixel pixel pixel pixel Os fotons entrando Os fétons saindo no primeiro pixel do enésimo pixel Figura 10127 618 Algebra Linear com Aplicacdes na fileira Se esses pixels s4o numerados 1 2 entao pela propriedade aditiva da funcao logaritmica temos numero de fotons entrando no jésimo pixel XX e x In Fa So numero de fotons saindo do enésimo pixel fracdo de fotons que passa In pela fileira de pixels sem 1 ser absorvida Assim para determinar a densidade de raios X total de uma fileira de pixels simplesmen te somamos as densidades dos pixels individuais Em seguida considere o feixe de raios X da Figura 10125 A densidade de feixe do iésimo feixe de um escaneamento é denotada por b e dada por numero de fotons do iésimo feixe entrando no detector b sem ter a secdo transversal no campo de visGo in Ss numero de fotons do iésimo feixe entrando no detector com a secdo transversal no campo de visdo fracdo de fotons do iésimo feixe In que passa pela segdao transversal 2 sem ser absorvida O numerador da primeira expressdo de b obtido executando um escaneamento de cali bragao sem ter a secdo transversal no campo de visao As medidas que resultam no detec tor sdo armazenadas na memoria do computador Depois é executado um escaneamento clinico com a segao transversal no campo de visdo sendo calculadas todas as densidades b e os valores armazenados para processamento adicional Para cada feixe que passa paralelo por dentro de uma fileira de pixels devemos ter fracdo de fotons do fracdo de fotons do feixe que passa pela feixe que passa pela fileira de pixels sem secdo transversal ser absorvida sem ser detectada Assim se o iésimo feixe passa paralelo por dentro de uma fileira de pixels entao das Equagoes 1 e 2 segue que xX tx x 5b Nessa equacao a densidade b conhecida pelas medidas de calibracao e clinicas que sao feitas exx x 840 densidades desconhecidas de pixel que devem ser determinadas Mais geralmente se o iésimo feixe passa paralelo por dentro de cada pixel de uma linha ou coluna de pixels numerados jjj entao temos Xy FX Fer xy D Definindo a 1 sejH Jyh Jj a 0 caso contrario podemos escrever essa equagaéo como AX GyXy H dinky 3 Vamos dizer que a Equacao 3 é a iésima equacao de feixe 1012 Tomografia computadorizada 619 Olhando para a Figura 10125 vemos entretanto que os feixes de um escaneamento nao necessariamente passam paralelos por dentro de cada pixel de uma linha ou coluna de pixels Em vez disso um feixe tipico passa diagonalmente por cada pixel em seu cami nho Ha muitas maneiras de lidar com isso Na Figura 10128 delineamos trés métodos para definir as quantidades a que aparecem na Equacao 3 cada um dos quais reduz a quantidade a a definigao dada acima quando o feixe passa paralelamente por uma linha ou coluna de pixels Lendo de cima para baixo cada método é mais exato que o anterior mas apresenta maior dificuldade computacional O método do centro do pixel O iésimo feixe 1 se o iésimo feixe passa pelo centro a do jésimo pixel 0 caso contrario J O jésimo pixel O método da reta central Comprimento da reta central comprimento da reta s7 a central do iésimo feixe Zs a que fica no jésimo pixel E L largura do jésimo pixel 1 Largura do pixel O método da area A area no A area no numerador denominador ae area do iésimo feixe que fica no jésimo pixel dea de a i rea do iésimo feixe que ficaria no jésimo pixel se o iésimo feixe atravessasse o jésimo pixel paralelamente aos lados i Figura 10128 Usando qualquer um dos trés métodos para definir os ana iésima equagao de feixe podemos escrever 0 conjunto de M equacoes de feixe de um escaneamento completo como AX HF AyX Hee AyXy D Ay X AgX AyXy b 4 Ay Ayr Gynty by Desse modo temos um sistema linear de M equacées as M equagoes de feixe em N in cégnitas as N densidades de pixel Dependendo do numero de feixes e de pixels usados podemos ter M N M N ou M N Consideremos 0 assim chamado caso sobredeterminado em que M N no qual ha mais feixes no escaneamento do que pixels no campo de visdo Devido aos erros experimentais e de modelagem inerentes ao problema nao deveriamos esperar que 0 nos so sistema linear tivesse uma solugao matematica exata para a densidade dos pixels Na proxima seao tentamos encontrar uma solucdo aproximada para esse sistema linear 620 Algebra Linear com Aplicacées Técnicas de reconstrucao Muitos foram os algoritmos desenvolvidos para tratar 0 sistema sobredeterminado 4 O algébrica que iremos descrever pertence a uma assim chamada classe de Técnicas de Reconstru cao Algébrica TRA Esse método que pode ser visto como derivado de uma técnica iterativa introduzida originalmente por S Kaczmarz em 1937 foi o método utilizado na primeira maquina comercializada Para introduzir essa técnica considere 0 sistema de trés equagdes em duas incdégnitas seguinte Ly x x 2 Ly x 2x 2 5 L 3x x 3 Xx 3x x3 A x As retas L L L determinadas por essas trés equacdes estao esbogadas no plano xx Ly Como indicamos na Figura 10129a as trés retas ndo tem uma intersecdéo comum de x 4 2 modo que as trés equag6es nao tém um solucao exata Contudo os pontos x x do tri xX 2x 2 A 7 A a Angulo sombreado delimitado por essas trés retas estao todos situados perto dessas trés retas e podem ser considerados como sendo solug6es aproximadas de nosso sistema O procedimento iterativo seguinte descreve uma construgao geométrica para gerar pontos na fronteira dessa regido triangular Figura 101295 al Algoritmo 1 L L Passo 0 Escolhemos algum ponto inicial x arbitrario a Passo 1 Projetamos x ortogonalmente sobre a primeira reta L e denotamos essa proje 1 ao por x oO expoente 1 indica que essa é a primeira de uma sucessao de rodadas X X do algoritmo 1 Passo 2 Projetamos x ortogonalmente sobre a segunda reta L e denotamos essa pro L 1 2 ow 1 jecaio por x Re a 1 x x Passo 3 Projetamos x ortogonalmente sobre a terceira reta L e denotamos essa pro 2 Sock x jecao por x SNF r VY Passo 4 Tomamos x como 0 novo valor de x e repetimos a rodada de passos de 1 a 2 2 2 3 Na segunda rodada denotamos os pontos projetados por x x x na terceira 3 3 3 x rodada por x x x e assim por diante L Esse algoritmo gera trés sequéncias de pontos 3 1 ey YQ Le b Ly X 5X Xo eee xy YQ Le Ly XXX yee 5 22 LG Ly X3X X34 L A que estao nas trés retas L L e L respectivamente Pode ser mostrado que sempre que as trés retas nado forem paralelas a primeira sequéncia converge a um ponto x de L a x A Ciclo limite segunda converge a um ponto x de L e a terceira a um ponto x de L Figura 10129c QF x Esses trés pontos limite formam o que se denomina um ciclo limite do processo iterativo C Pode ser mostrado que 0 ciclo limite independe do ponto inicial x A seguir estudamos as formulas especificas necessarias para aplicar a projecao orto x gonal do Algoritmo Primeiro expressamos a equacdo ax ax b L L 1 22 c da reta no espaco xx em forma vetorial por TL b Figura 10129 ax 1012 Tomografiacomputadorizada 621 onde a x a e x a X5 O teorema a seguir da a f6rmula necessaria da projecao Exercicio 5 TEOREMA 10121 Formula da projegao ortogonal x x Sejam L uma reta em R de equacao a x b e x um ponto qualquer de R Figura 101210 Entado a projegao ortogonal x de x sobre L é dada por ba x x X ves aa x L Usando o Algoritmo 1 Figura 101210 Podemos utilizar o Algoritmo para obter uma solugao aproximada do sistema linear dado em 5 e ilustrado na Figura 10129 Escrevendo as equac6es das trés retas como Ly axb T L axb L axb em que xX 1 1 3 x a a a xX 1 2 1 b 2 b 2 b 3 entao usando o Teorema 10121 podemos expressar 0 esquema iterativo do Algoritmo 1 como T Tabela 1 P P by X1 k123 x XH aa a 49 ao Xx Xp Kk AK Xo 100000 300000 onde p 1 para a primeira rodada de iteragao p2 para a segunda rodada de iteracao e x 000000 200000 assim por diante Ao fim de cada ciclo de iterag6es ou seja depois de calcular x inicia x 040000 120000 mos 0 ciclo seguinte com x tomado como x xs 130000 090000 A Tabela 1 da o resultado numérico de seis rodadas de iteragdes comegando com o x 120000 080000 ponto inicial x 1 3 x 088000 144000 Usando certas técnicas que sdo impraticaveis para sistemas lineares muito grandes Ka 142000 126000 podemos mostrar que os valores exatos dos pontos do ciclo limite desse exemplo sao x 108000 092000 x 083200 141600 x 2 1 109090 090909 xs 140800122400 4 46 78 x 109200 090800 x 2 B 083636 141818 x 083680 141840 4 x 3 2 140909 122727 Xs 140920122760 x 109080 090920 Pode ser observado que na sexta rodada do algoritmo obtemos uma excelente aproxima x 083632 141816 ao do ciclo limite Qualquer uma das trés iteradas xi x ou x pode ser usada como 2 140908 122724 uma solugdo aproximada do sistema linear A grande discrepancia nos valores de x x x 109092 090908 A 6 e x decorre da natureza artificial desse exemplo ilustrativo Essas discrepancias seriam yosog Poe muito menores em problemas praticos 4 ae 622 Algebra Linear com Aplicacées Para generalizar o Algoritmo de tal modo que possa ser aplicado a sistemas sobre determinados AyX ApyXy Hert AyXy D Ay X AyX Hest AyXy db 6 AyiX AypX Fee AyyXy Dy de M equacoes em N incégnitas introduzimos os vetores coluna x e a como segue x Gi x qd x 7 a i12M Xv in Com esses vetores as M equacgOes que constituem o sistema linear 6 podem ser escritas em formato vetorial como T axb i12M Cada uma dessas M equacées define 0 que é chamado um hiperplano no espaco euclidia N A no R de dimensao N Em geral esses hiperplanos nao tém intersegao comum e portanto procuramos um ponto que esteja razoavelmente préximo de todos Um tal ponto sera uma solucao aproximada do sistema linear e suas N entradas determinarao densidades de pixel aproximadas com as quais formamos a secAo transversal procurada Como no caso bidimensional introduzimos um processo iterativo que gera ciclos de sucessivas projecdes ortogonais sobre os M hiperplanos a partir de um ponto inicial arbi ss NV trario em R Denotamos essas sucessivas iteradas por a iterada pertencente ao késimo hiperplano x oe k gerada durante o pésimo ciclo de iteragées O algoritmo é 0 seguinte Algoritmo 2 Passo 0 Escolhemos algum ponto x arbitrario em R Passo 1 Paraa primeira rodada tomamos p 1 Passo2 Comk12M calculamos a b aXx p k k k1 x X T ay a a 1 Passo 3 Denotamos x x Passo 4 Aumentamos o numero da rodada p por e retornamos ao Passo 2 A iterada x no Passo 2 denominada projecao ortogonal de x sobre o hiperplano T k k1 a b Consequentemente como no caso bidimensional esse algoritmo determina uma sequéncia de projegdes ortogonais de um hiperplano sobre 0 seguinte até chegar ao ultimo hiperplano quando ao final de cada rodada retornamos ao primeiro hiperplano Pode ser mostrado que se os vetores a a a gerarem 0 R entao as iteradas 1 2 3 Zoe xi x xi no Mésimo hiperplano convergem a um ponto x naquele hiperplano que nao depende da escolha do ponto inicial x Na tomografia computadorizada esco lIhida uma das iteradas xi com p suficientemente grande como uma solugao aproximada do sistema linear para as densidades de pixel 1012 Tomografia computadorizada 623 Observe que para 0 método do centro de pixel a quantidade escalar a a que aparece na equacao do Passo 2 do algoritmo é simplesmente o nimero de pixels nos quais o k ésimo feixe passa pelo centro Analogamente note que a quantidade escalar T 0 b AX naquela mesma equacao pode ser interpretada como 0 excesso de densidade do késimo feixe que resulta se as densidades de pixel forem tomadas como sendo iguais as entradas de x Isso fornece a seguinte interpretagao do nosso esquema de iteragd4o do tipo TRA para o método do centro de pixel geramos a densidade de pixel de cada iterada distri buindo o excesso de densidade de feixe de sucessivos feixes do escaneamento de maneira uniforme entre aqueles pixels nos quais o feixe passa pelo centro Quando for alcangado o ultimo feixe do escaneamento retornamos ao primeiro feixe e continuamos Usando o Algoritmo 2 Podemos usar 0 Algoritmo 2 para obter as densidades de pixel desconhecidas dos 9 pixels que estado dispostas na Figura 101211 Esses 9 pixels sao escaneados usando 0 modo paralelo com 12 feixes cujas densidades de feixe sio medidas e indicadas na figura Es colhemos 0 método do centro de pixel para montar as 12 equagoes Nos Exercicios 7 e 8 pedimos para o leitor montar as equag6es de feixe usando 0 método da reta central e o da area Como pode ser conferido as equagdes de feixe sao X X x 1300 X X x 1800 X x x 1500 xX x x 1200 x x x 800 xX x x 600 Xe X X 1479 xX x x 1051 xX x x 1431 X x x 1613 xX 2 x 381 X x x 704 A Tabela 2 ilustra os resultados do esquema iterativo comecando com uma iterada inicial X 0A tabela da os valores de cada uma das iteradas da primeira rodada x até x mas depois disso da as iteradas somente de x com varios valores de p As iteradas x comecam a se repetir até duas casas decimais com p 45 de modo que tomamos as en tradas de x como um valor aproximado das 9 densidades de pixel 4 b 1200 b381 b600 b 1800 Dy 1051 b 1431 Diy 1613 IX Ze b 1479 Dy 704 rs PEPE PT 1800 ey IP IP ae CRED n Bava EEE ES yf P a I By r1300 CA PIP ENS Y LIL D Figura 101211 Concluimos esta segdo observando que a area de tomografia computadorizada atualmente uma area de pesquisa bastante ativa Na verdade 0 esquema de TRA discu tido aqui ja foi substituido nos sistemas comerciais por técnicas mais sofisticadas que sao mais rapidas e fornecem uma visdo mais acurada da sec4o transversal Contudo todas as novas técnicas remontam ao mesmo problema mateméatico basico encontrar uma boa solugao aproximada de um sistema sobredeterminado e inconsistente constituido de uma grande quantidade de equacoes lineares 624 Algebra Linear com Aplicagdes Tabela 2 Densidades de pixel X Xy X3 X Xs X xX X Xy Xo 000 000 000 000 000 000 000 000 000 x 000 000 000 000 000 000 433 433 433 x 000 000 000 500 500 500 433 433 433 x 267 267 267 500 500 500 433 433 433 g x 267 267 267 500 500 537 433 471 471 Sx 267 267 344 500 577 537 510 471 471 3 x 049 049 344 283 577 537 510 471 471 z x 049 049 493 283 577 687 510 471 620 xy 049 084 493 283 611 687 510 505 620 x 031 084 493 202 611 687 430 505 620 x 031 013 422 202 611 616 430 505 620 x 106 013 422 202 749 616 430 505 758 x 106 013 422 058 749 616 285 361 758 x 203 069 442 134 749 539 265 304 661 x 178 051 452 126 749 548 256 322 686 x 182 052 462 137 749 537 245 322 682 xo 179 049 471 143 es 531 237 325 685 x 168 044 503 170 749 503 204 329 696 x 149 048 529 200 749 473 179 325 715 x 138 055 534 211 749 462 174 319 726 x 133 059 533 214 749 459 175 315 731 xe 132 060 532 215 749 459 176 314 732 Conjunto de exercicios 1012 1 a Escrevendo x x x mostre que as trés equacdes b Mostre que os trés pares de equag6es na parte a podem de projecao ser combinados para produzir x xi CMe aise a k123 BP 9B bY ae p12 a a xp 2 2443x0 3x0 das trés retas da Equagao 5 podem ser escritas como em que x0 x x0 x x Observacao usando xP F2 4x40 xG2 esse par de equacdes podemos efetuar um ciclo comple k1 to de trés projegdes ortogonais num tnico passo x 312 7 xr xo c Como x tende ao ponto limite x quando p as 3 Pp 3 4 P ba xP 2 Axi 42x J equacoes na parte b ficam xy 4 2p 22 xf 28 4424 cag T WOH 3H xh a9l24 3x4 3x xy t 3 3x3 9x5 quando p Resolva esse sistema linear em ott tD x x4 x4 Observacdo as simplificagdes das foér em que Xo 4X2 O15 X32 Comp 12 mulas da TRA descritas neste exercicio séo impraticaveis 1012 Tomografia computadorizada 625 para os sistemas lineares grandes que aparecem em do plano xx néo tém uma intersegaéo comum Facga um dese problemas reais de tomografia computadorizada nho preciso das trés retas e graficamente efetue varias roda 2 Use o resultado do Exercicio 1b para encontrar os vetores das da projegao ortogonal descrita no Algoritmo I comegan xs x Lee x do Exemplo 1 com até cinco casas decimais do com 0 ponto inicial x 0 0 Usando o desenho obtido usando os pontos iniciais seguintes determine os trés pontos do ciclo limite a x 0 0 b x 1 1 5 Prove o Teorema 10121 mostrando que c X 148 15 a 0 ponto x definido no teorema um ponto da reta a x b ou seja a x be 3 a Mostre diretamente que os pontos p r b o vetor x x é ortogonal 4 reta a x b ou seja x 12 10 2 46 78 3127 f xp i tT xP 3 3 x a x x paralelo a a ta 6 Como foi afirmado no texto as iteradas x x xo defi do ciclo limite do Exemplo 1 formam um triangulo cujos MOM eM eas nidas no Algoritmo 2 convergem a um Unico ponto limite xj vértices estao nas retas L L e L e cujos lados sao per se Os vetores aa a gerarem o R Mostre que se isso pendiculares a essas retas Figura 10 129c acontecer e se for utilizado 0 método do centro do pixel entao b Usando as equagoes obtidas no Exercicio a mostre 0 centro de cada um dos N pixels do campo de visao atraves xt 24 4f 5 que se X x 55 55 entio sado pelo menos por um dos M feixes do escaneamento x D x ee 7 7 Construa as 12 equagées de feixe do Exemplo 2 usando o W 46 TB método da reta central e supondo que a distancia entre as retas yas 3 5 centrais de feixes adjacentes seja igual 4 largura de um tinico a 31 27 x xt 22 piel oe 8 Construa as 12 equagées de feixe do Exemplo 2 usando o Observacdao cada parte deste exercicio mostra que as oo método da area e supondo que tanto a largura de cada feixe projegdes ortogonais de qualquer ponto do ciclo limite ree quanto a distancia entre as retas centrais de feixes adjacentes ficam girando indefinidamente pelo ciclo limite woe os sejam iguais 4 largura de um Unico pixel 4 As retas L x 1 Ly x x 2 Ly x 0 Sa Secao 1012 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos emij 123neij para obter solugGes tinicas utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é Isso leva a MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também 1 pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma gnn 1 calculadora cientifica com funcionalidades de Algebra Linear solucdes que denotamos por Em cada exercicio vocé devera ler a documentacAo pertinente do recurso particular que estiver utilizando O objetivo destes exer Xj Yi cicios é fornecer uma competéncia basica na utilizagéo do seu comij 123neij recurso computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes 2 Construa o centro geométrico desses pontos dado por exercicios vocé estara capacitado a usar seu recurso computacio 1 1 nal para resolver muitos dos problemas nos conjuntos de exerci 2 2 cios regulares Oe e nn 1 Xij nn 1 dij i1 jil il jitl T1 Dado o conjunto de equacg6es e useo como a solucdo aproximada do sistema original ax by a Utilize esse algoritmo para aproximar a solugdao do sistema comk 1 23n en 2 considere o algoritmo se xt y 2 guinte para obter uma solucdo aproximada do sistema 5 5 x 4y 1 Resolva todos os possiveis pares de equacgdes 3x y 3 axtbyc e axtbyc x iy J iG e compare o resultado com o obtido nesta secao 626 Algebra Linear com Aplicacées T2 Requer calculo Dado 0 conjunto de equagées retas no sentido de soma de minimos quadrados Mostre que x e y so solugées do sistema ax t by c com k 123nen 2 considere o algoritmo de a xe 4 ab y ac minimos quadrados seguinte para obter uma solugao apro iI a b i a b iI a b ximada x y do sistema Dados um ponto a 8 e a reta ax by c a distancia desse ponto a reta é dada por e aa bp c 2 C oP il ap Jord yey be la b ay G my G 5 mG 5 Definindo uma funciio fx y por Aplique esse algoritmo ao sistema ax biy ci rt y 2 fay a x2y2 3x y 3 e determinando o ponto x y que minimiza essa fung4o obtemos 0 ponto que esta mais préximo de cada uma dessas e compare o resultado com 0 obtido nesta seco 1013 Fractais Nesta seao utilizamos certas classes de transformag6es lineares para descrever e gerar conjuntos intrincados no plano euclidiano Esses conjuntos denominados fractais sao atualmente o foco de muita pesquisa matemiatica e cientifica PREREQUISITOS Geometria de operadores lineares de R Secao 411 Espaco euclidiano R Logaritmos naturais CompreensaAo intuitiva de limites Fractais no plano euclidiano Na Matematica do final do século XIX e do inicio do século XX comegaram a aparecer varios conjuntos de pontos do plano euclidiano que eram bizarros e estranhos Embora tenham sido considerados curiosidades matematicas esses conjuntos denominados frac tais estéo crescendo rapidamente em importancia Hoje reconhecemos que eles revelam uma regularidade em fenémenos fisicos e biol6gicos que anteriormente eram descartados como aleatérios com ruido ou caédticos Por exemplo os fractais estéo ao nosso redor nos formatos de nuvens montanhas litorais 4rvores e samambaias Nesta segao descrevemos brevemente certos tipos de fractais no plano euclidiano R Muito dessa descrigao devido a dois matematicos Benoit B Mandelbrot e Michael Barnsley ambos pesquisadores ativos nessa area Conjuntos autossimilares Para comegar nosso estudo de fractais precisamos introduzir alguma terminologia relati va a conjuntos em R Dizemos que um conjunto em R é limitado se puder ser englobado num circulo suficientemente grande Figura 10131 e dizemos que um conjunto é fe chado se contiver todos os seus pontos de fronteira Figura 10132 Dois conjuntos em R sao ditos congruentes se pudermos fazélos coincidir exatamente usando translacées e rotag6es apropriadas do plano Figura 10133 Também vamos contar com a percepcao intuitiva do leitor para distinguir entre conjuntos sobrepostos e nado sobrepostos confor me ilustrado na Figura 10134 SeTR R foro operador linear que modifica a escala pelo fator s ver Tabela 7 da Secdo 49 e Q for um conjunto em R entio o conjunto 7Q ou seja o conjunto forma do pelas imagens dos pontos de Q por T é denominado uma dilatagado do conjunto Q se s 1eumacontracao de Q se 0 s Figura 10135 Em ambos os casos dizemos que 7Q é uma homotetia de Q de fator s 1013 Fractais 627 y Circulo que y engloba Conjunto limitado Conjunto ilimitado x x a Um conjunto englobado b Esse conjunto nao pode ser Figura 10131 por um circulo englobado por circulos y y y Conjunto x fechado a Conjuntos sobrepostos x Conjuntos Figura 10132 Os congruentes Y pontos de fronteira linha x mais forte fazem parte do conjunto Figura 10133 y y b Conjuntos nao sobrepostos r36 wl Figura 10134 Figura 10135 x x Uma contragaéo de Q Os tipos de fractais que consideramos inicialmente so autossimilares Em geral defini mos um conjunto autossimilar em R como segue DEFINICAO 1 Um subconjunto fechado e limitado do plano euclidiano R é dito au tossimilar se puder ser descrito da forma SSUSUSUUS 1 em que S S S S 840 conjuntos nao sobrepostos cada um dos quais é con gruente a contragaéo de S de mesmo fator s 0 s 1 Se S for um conjunto autossimilar entéao dizemos que 1 é uma decomposicao de S em conjuntos congruentes nao sobrepostos EXEMPLO i Segmento de reta EE Um segmento de reta em R Figura 10136a pode ser expresso como a uniao de dois segmentos de reta congruentes e nao sobrepostos Figura 10136b Na Figura 10136b separamos ligeiramente os dois segmentos de reta para facilitar sua visualizagao Cada um desses dois segmentos menores é congruente a contracao do segmento original pelo d fator 5 Desse modo um segmento de reta é um conjunto autossimilar com k 2 e 5 Figura 10136 628 Algebra Linear com Aplicacées EXEMPLO 2 Quadrado Um quadrado Figura 10137a pode ser expresso como a uniao de quatro quadrados con gruentes e nao sobrepostos Figura 10137b onde de novo separamos ligeiramente os quatro quadrados Cada um dos quatro quadrados é congruente 4 contragéo do quadrado original pelo fator 5 Desse modo um quadrado é um conjunto autossimilar com k 4 e 5 a EXEMPLO 3 Tapete de Sierpinski O conjunto sugerido na Figura 10138a foi descrito primeiro pelo matematico polonés Waclaw Sierpinski 18821969 Esse conjunto pode ser expresso como a uniao de oito subconjuntos congruentes e nao sobrepostos Figura 10138b cada um dos quais é con gruente 4 contragaéo do conjunto original pelo fator i Desse modo esse conjunto é um conjunto autossimilar com k 8e i Note que o padrao intrincado de quadrados dentro de quadrados continua para sempre em escala cada vez menor embora isso somente possa a ser sugerido por uma figura como a dada a Sm a Sa a a So lo oe oe soe Bobet b ae Ee ws es oe eee other Sok tio Rot cok ote Hob acter A Figura 10137 ce ae a ras te ai he te Se Se Sooo a oi orth So lo oe oe soe Bobet cy ee ee Oe ml feee fees fe oh io oe ot oho Sok tio Boll cok Hote Hob eottior a b A Figura 10138 EXEMPLO 4 Triangulo de Sierpinski A Figura 10139a ilustra um outro conjunto devido a Sierpinski Esse conjunto é um conjunto autossimilar com k 3 e 5 Figura 10139b Como ocorre com o tapete de Sierpinski o padrao intrincado de triangulos dentro de triangulos continua para sempre em escala cada vez menor 4 a b A Figura 10139 O tapete e o triangulo de Sierpinski tem uma estrutura mais complexa que 0 segmento de reta e o quadrado pois exibem um padrao repetido indefinidamente Essa diferencga sera explorada mais adiante Dimensao topolégica de um Na Segao 45 definimos a dimensfo de um subespaco de um espaco vetorial como o conjunto numero de vetores de uma base e descobrimos que essa definigéo coincide com nossa 1013 Fractais 629 ideia intuitiva de dimensao Por exemplo a origem em R tem dimensio zero as retas pela origem sao unidimensionais e 0 espaco R todo é bidimensional Essa definigao de dimensao é um caso especial de um conceito mais geral denominado dimensdo topo légica que é aplicével a subconjuntos de R que nao necessariamente sAo subespacos Uma definicdo precisa desse conceito é estudada numa area da Matematica denominada Topologia Embora essa definigao fuja do escopo deste texto podemos enunciar infor malmente que um ponto em R tem dimensio topolégica zero e uma curvaem R tem dimensio topol6gica um e uma regiao em R tem dimensao topoldgica dois Pode ser provado que a dimensao topoldégica de um conjunto em R é um nimero inteiro entre 0 en inclusive Neste texto denotamos a dimensfo topolégica de um conjunto S Tabela 1 por dS Conjunto S dS Segmento de reta 1 Quadrado 2 2 Dimensao topologica de conjuntos Tapete de Sierpinski 1 1 A Tabela da a dimensdo topolégica de cada um dos conjuntos estudados nos exemplos Triangulo de Sierpinski 1 1 anteriores Os primeiros dois resultados dessa tabela sdo intuitivamente evidentes mas nao os dois ultimos Enunciado informalmente ambos 0 tapete e o tridngulo de Sierpinski tém tantos buracos que mais parecem estruturas de redes de segmentos de retas do que regides do plano e portanto tém dimens4o topoldgica igual a um A prova disso nao é nada facil Em 1919 0 matematico alemao Felix Hausdorff 18681942 deu uma definigdo alterna Dimensado de Hausdorff de tiva para a dimensdo de conjuntos arbitrarios de R Sua definido é bastante complicada um conjunto autossimilar mas para conjuntos autossimilares reduzse a algo bem simples DEFINICAO 2 A dimensdo de Hausdorff de um conjunto autossimilar S do formato 1 denotada por dS e definida por d8 2 In1s Nesta definigao In denota a funcao logaritmo natural A Equagao 2 também pode ser escrita como gH I 3 k na qual a dimensao de Hausdorff dS aparece como um expoente A Formula 3 é mais util para interpretar o conceito de dimens4o de Hausdorff essa formula diz por exemplo que se contrairmos um conjunto autossimilar pelo fator s s entaéo sua area ou mais corretamente sua medida decresce por um fator Gy Assim contraindo um segmento de reta pelo fator 5 sua medida comprimento diminuira por um fator 3 i e con traindo uma regiao quadrada pelo fator 5 sua medida area diminuira pelo fator 3 i Antes de passar aos exemplos devemos apresentar alguns fatos sobre a dimensao de Hausdorff de um conjunto como segue e As dimensdes topoldégica e de Hausdorff de um conjunto nao precisam coincidir e A dimensao de Hausdorff de um conjunto nao precisa ser um numero inteiro e A dimensao topolégica de um conjunto é menor do que ou igual a sua dimensao de Hausdorff ou seja dS d S 630 Algebra Linear com Aplicacées Dimensao de Hausdorff de conjuntos A Tabela 2 da a dimensao de Hausdorff de cada um dos conjuntos estudados nos exem plos anteriores Tabela 2 Conjunto S k ds onjunre nw In As Segmento de reta 5 2 In2Mn21 Quadrado 5 4 In4In22 Tapete de Sierpinski 5 8 In 8n3 1892 Triangulo de Sierpinski 5 3 In3In2 1584 SS Fractais Comparando as Tabelas e 2 vemos que as dimensOdes de Hausdorff e topolégica coin cidem no segmento de reta e no quadrado mas sao desiguais no tapete e no triangulo de Sierpinski Em 1977 Benoit B Mandelbrot indicou que conjuntos nos quais a dimensao topoldgica e a de Hausdorff diferem devem ser bem complicados como Hausdorff ja havia sugerido antes em 1919 Mandelbrot propés denominar tais conjuntos de fractais e ofereceu a definigéo seguinte DEFINICAO 3 Um fractal é um subconjunto de um espaco euclidiano cujas dimen sdes de Hausdorff e topolégica nao sao iguais De acordo com essa definicAo 0 tapete e o tridngulo de Sierpinski sao fractais enquanto o segmento de reta e o quadrado nao sAo fractais Segue da definigao precedente que um conjunto cuja dimensao de Hausdorff nao for um numero inteiro deve ser um fractal por qué Contudo veremos adiante que a reci proca nao é verdadeira ou seja é possivel um fractal ter dimensao de Hausdorff inteira Semelhancas Vejamos agora como algumas técnicas de Algebra Linear podem ser usadas para gerar fractais Essa abordagem também conduz a algoritmos que podem ser explorados para desenhar fractais com computadores Comecamos com uma definicao DEFINICAO 4 Uma semelhanca de fator de escala s é uma aplicacao de Rem R da forma r cos sené x e s y send cosé y f em que s 0 e e f sao escalares Geometricamente uma semelhanca é composta de trés aplicagdes mais simples uma mudanga de escala de fator s uma rotagao em torno da origem pelo Angulo 6 e uma trans lagdo com e unidades na direcdo x e funidades na direcao y A Figura 101310 ilustra o efeito de uma semelhanga sobre 0 quadrado unitario U Nas nossas aplicagées a fractais somente utilizamos semelhangas contrativas com 0 que queremos dizer que o fator s da mudana de escala esta restrita ao intervalo0 s 1 Consequentemente quando nos referirmos a semelhancas sempre estaremos pensando em semelhangas sujeitas a essa restricao 1013 Fractais 631 y y 01 D A Mudanga de escala Ss mu U I y Rotagao ef L x Translagao x 0 0 1 0 a O quadrado unitdrio b A imagem do quadrado Figura 101310 unitario por semelhanga As semelhangas sao importantes no estudo de fractais por causa do seguinte fato SeTR OR for uma semelhanca de fator s e se S for um conjunto fechado e limitado em R entao a imagem TS do conjunto S por T é congruente a contracao de de fator s Pela definigéo de conjuntos autossimilares em R sabemos que um conjunto fechado e limitado S em R é autossimilar se puder ser dado da forma SSUSUSUUS em que SS5 5 80 conjuntos nao sobrepostos cada um dos quais congruente a contracgao de S de mesmo fator s 0 s 1 ver 1 Nos exemplos seguintes vamos obter as semelhangas que produzem os conjuntos S S S S a partir de S para o segmento de reta o quadrado o tapete e o tridngulo de Sierpinski y 0 1 a 1 Segmento de reta O nosso segmento de reta em R sero segmento de reta S ligando os pontos 0 0 e 1 0 do plano xy Figura 101311a Considere as duas semelhancas U n3 0 x 20 1 x 11 Ox 5 T y 210 ILy 0 a ambas com s 5 e 6 0 Na Figura 101311b mostramos 0 efeito dessas duas seme lhangas sobre o quadrado unitdério U A semelhanga 7 transforma U no quadrado menor TU e a semelhanga T transforma U no quadrado menor TU Simultaneamente 7 transforma o segmento de reta S no segmento menor 7S e T transforma 0 segmento de reta S no segmento menor e nao sobreposto TS A uniao desses dois segmentos de reta menores e nao sobrepostos precisamente o segmento de reta original S ou seja 04 95 STSU TS 5 5 U TS TU TAU x Quadrado 0 Ts f TS Consideremos 0 quadrado unitdrio U do plano xy Figura 101312a e as quatro seme 0 0 Ihangas a seguir todas com s Ze 0 0 b x TL O1Tx x TL O1Tx 1 Figura 101311 T T on y 20 ILy y 210 ILy 0 7 raif Vela ryatl MWe lay yJ 210 1fLy 5 y 20 IfLy i 632 Algebra Linear com Aplicacées y As imagens do quadrado unitario U por essas quatro semelhangas sao os quatro quadrados mostrados na Figura 101312b Assim On oP U TU U TU U TYU U TU 7 é uma decomposi4o de U em quatro quadrados nao sobrepostos que sAo congruentes a contracao de U pelo mesmo fator s 5 x 0 0 1 0 EXEMPLO 9 Tapete de Sierpinski a Consideremos um tapete de Sierpinski S sobre o quadrado unitario U do plano xy Figura 101313a e as oito semelhangas a seguir todas com 5 fe 60 bNeab bli ite i F 1145 y 310 IJLy f 8 0 1 d 1D e TU TAU em que 0s oito valores de f sao 02 I 2 2 1 2 1 é o 2 2 2 0 0 0 3 3 3 3 3 0 0 0 40 b As imagens de S por essas oito semelhangas s4o os oito conjuntos mostrados na Figura 101313b Assim A Figura 101312 S TS U TS U TS U U TS 9 é uma decomposicao de em oito conjuntos nao sobrepostos que sAo congruentes 4 con tracao de S pelo mesmo fator s 4 y y TS 4 0 1 bspeepespesperpesgesgesges 1 1 eas ICS CC De 7s Ae ae 70 Ee 19 EE ER no oe eo 1 E Be eee 0 0 S 1 0 4 TS Figura 101313 a b EXEMPLO 10 Triangulo de Sierpinski Consideremos o triangulo de Sierpinski S encaixado no quadrado unitario U do plano xy conforme Figura 101314a e as trés semelhangas a seguir todas com s 5 e60 r x 1fl Ox li y 210 1 Ly 1fl 0 5 T Yl 4 10 y 210 ILy 0 T x 11l Ojx 0 iyl 210 Ly 5 1013 Fractais 633 As imagens de S por essas trés semelhangas sao os trés conjuntos na Figura 101314b Assim S TS U TS U TS 11 é uma decomposiao de S em trés conjuntos nao sobrepostos que s40 congruentes a con tracao de S pelo mesmo fator s 5 y y OD 1 1 0 1 By 0 0 1 0 0 0 50 40 a b Figura 101314 Nesses exemplos comecamos com um conjunto especifico S e mostramos sua autos similaridade encontrando semelhangas T T T T de mesmo fator e tais que TS TS TS TS sao conjuntos nao sobrepostos com STS U TS U TS U U TS 12 O teorema seguinte ataca o problema reciproco de determinar um conjunto autossimilar a partir de uma colecao de semelhangas TEOREMA 10131 SeT77Tforem semelhangas contrativas de mesmo fator entdo existe um unico conjunto ndo vazio fechado e limitado S do plano eucli diano tal que STS U TS U TS U U TS Além disso se os conjuntos TS TS TS TS forem ndo sobrepostos entdo S é autossimilar Em geral nao existe uma maneira simples de obter diretamente 0 conjunto S do teorema Algoritmos para gerar fractais precedente Descrevemos agora um procedimento iterativo que determina S a partir das semelhangas que o definem Primeiro damos um exemplo do procedimento e depois da mos 0 algoritmo para o caso geral Tapete de Sierpinski A Figura 101315 mostra o quadrado unitario S do plano xy que serve de conjunto ini cial de um procedimento iterativo para a construcao do tapete de Sierpinski O conjunto S na figura o resultado de aplicar a S as oito semelhangas T i 1 2 8 de 8 que determinam um tapete de Sierpinski Esse conjunto S consiste nas oito regides qua dradas cada uma de lado com comprimento 5 circundando um quadrado central vazio Em seguida aplicamos as oito semelhangas a S e obtemos 0 conjunto S Analogamente aplicando as oito semelhangas a S temos o conjunto S Continuando esse processo inde finidamente a sequéncia de conjuntos S SS convergira a um conjunto S que é um tapete de Sierpinski 634 Algebra Linear com Aplicacées y a 1D 0 1 x fe 0 0 1 0 So 5 S see eeeeee sped Pees pc pe pa aoe ok oe cao oe or EH fo ee Ae A ae se la SAL ee ok oe oe heh oe oer ons oon dpe pee dpe pat ee ee H Oo tH AE tH AE ce ie ce ie o8 oo8 aL AL She oe seeeeeeee See Pde ae Be Pe doe ok oe hc HE BH to ee fe A cH A ee oe A ala ll SAE A eee Boh loko ohio aoe too Figura 101315 Ss Sa s Observacao Embora devéssemos dar uma definigéo formal do que significa uma sequéncia de conjuntos convergir a um conjunto uma interpretagdo intuitiva é suficiente para o nosso trata mento introdutorio Embora na Figura 101315 tenhamos comecado com o quadrado unitario para chegar aum tapete de Sierpinski poderiamos ter comegado com qualquer conjunto nao vazio S A unica restri4o sobre 0 conjunto S que ele seja fechado e limitado Por exemplo co mecando com o conjunto S especifico mostrado na Figura 101316 entao o conjunto S na figura é 0 conjunto obtido aplicando cada uma das oito semelhangas de 8 Aplicando as oito semelhangas a S obtemos 0 conjunto S Como antes a aplicagao indefinida das oito semelhangas produz um tapete de Sierpinski como conjunto limite y 0 1 VCCUCREREEE we e ee CCEEEEEEE eee eee e e eee eee CURR REEEE we e Be x CECE EEEEE 0 0 1 0 So S 5 PACEREE REE RET REE REE RT ARE REY Sp Peeps pa Be doe ok oe cao oe or SES SS S BB ee 6 Ue eS es SUSCURUURSERCCURCREReCCEEEN SEP TEE epee oma sace acon sor ee es ied Hit HLS e See re fe he aE oH AE tae ce ie ce ie Fettattat Eiht Ce Ce es ae SSSSSESSE STRSTR CRS eee eR Res 2 ee ee ee eee ee ee bene eee eee eee aoe PEELE SOAR AR A A A ee Boh loko ohio aoe too Figura 101316 5s Ss 5 1013 Fractais 635 O algoritmo geral ilustrado no exemplo precedente é 0 seguinte Dadas semelhangas contrativas T T T 7 de mesmo fator e dado um conjunto Q qualquer em R definimos 0 conjunto JQ por JQ TQ U TQ U TQ U U TQ O algoritmo a seguir gera uma sequéncia de conjuntos S S5 que converge ao conjunto S do Teorema 10131 Algoritmo 1 Passo 0 Escolha um conjunto nao vazio fechado e limitado S qualquer em R Passo 1 Calcule S JS Passo 2 Calcule S JS Passo 3 Calcule S 3S Passon Calcule S S EXEMPLO 12 Triangulo de Sierpinski Vamos construir o triangulo de Sierpinski determinado pelas trés semelhangas dadas em 10 A aplicagado de conjuntos correspondente é 3Q TQ U TQ U TQ A Figura 101317 mostra um conjunto arbitrario S nao vazio fechado e limitado as quatro primei ras iteradas S S S Se 0 conjunto limite So triangulo de Sierpinski y 0 0 1 0 So S S s isis BaBy ss as By 334 Ssisisds BRPaBn Py s 6 isis sks BoB BABA SoSS8 30 BRR SB Bb Bk SSESSEE5 sisdsisisdsisds BaP Ba BP Ph Ph Ba S S Ss A Figura 101317 636 Algebra Linear com Aplicacées Usando o Algoritmo 1 Consideremos as duas semelhangas seguintes x 11 0 T y 210 1 x 1 cos sené x 03 T y 2 sené coséy 03 A acao dessas duas semelhangas no quadrado unitario U esta ilustrada na Figura 101318 Aqui 0 angulo de rotacgao 6 um parametro que variamos para gerar diferentes conjuntos autossimilares Os conjuntos autossimilares gerados por essas duas semelhangas apare cem na Figura 101319 com varios valores de 0 Por simplicidade deixamos de desenhar OS eixOs x e y Mas a Origem é sempre 0 ponto mais abaixo e a esquerda do conjunto Esses conjuntos foram gerados em computador usando o Algoritmo para os valores de 0 indi cados Como k 2es5 5 segue de 2 que a dimensao de Hausdorff desses conjuntos é 1 qualquer que seja o valor de 0 Pode ser mostrado que a dimensdo topoldégica desses conjuntos é 1 no caso 6 0 e 0 em todos os demais valores de 0 Seguese que 0 con junto autossimilar com 0 nao é um fractal é o segmento de reta de 0 0 a 06 06 enquanto os conjuntos autossimilares com todos os demais valores de so fractais Em particular so exemplos de fractais com dimensfo de Hausdorff inteira y y 0 1 d 1 A 1 TU u 04 e189 03 03 x TU x 0 0 1 0 0 0 5 0 Figura 101318 a b wm 06 06 ie a C hen oe Vv ee 3 a SF fee Se S 2 ee a 3 7 os 4 a3 a A A i Zo Figura 101319 0 60 0 50 0 40 0 30 020 610 60 Uma abordagem Monte Carlo A abordagem descrita no Algoritmo para construir conjuntos autossimilares usando fungdes de conjuntos consome muito tempo de computador pois as semelhangas envolvidas devem ser aplicadas a cada um dos muitos pixels de uma tela de monitor em cada iteragdo Em 1985 Michael Barnsley descreveu um método alternativo e mais pratico para gerar um conjunto autossimilar por meio de suas semelhangas E um assim chamado método de Monte Carlo que utiliza probabilidades e Barnsley se refere a ele como 0 Algoritmo da Iteragao Aleatoria Sejam 7 T T 7 semelhangas contrativas de mesmo fator O préximo algo ritmo gera uma sequéncia de pontos y 0 y 1 y n que converge coletivamente ao conjunto S do Teorema 10131 1013 Fractais 637 Algoritmo 2 x wpe 0 Passo 0 Escolha um ponto arbitrario em S Yo Passo 1 Escolha aleatoriamente uma das k semelhangas digamos T e calcule x x m is J Yo Passo 2 Escolha aleatoriamente uma das k semelhangas digamos T e calcule x x Elem L Yo J Passon Escolha aleatoriamente uma das k semelhangas digamos T e calcule n x x Elem ie y n y n1 Os pixels correspondentes aos pontos gerados por esse algoritmo preenchem os pixels que representam 0 conjunto limite S numa tela de monitor A Figura 101320 mostra quatro estagios do algoritmo de iterag4o aleatéria que gera oo 9 o tapete de Sierpinski comegando com o ponto inicial of NIRS ME SESS PERSE BRECON 6 Be en 6 RRA en a eae ea ee ee eo ie ee bee ae eRe ace Pee ae ee Sianeli Ep poe ee eae sii RB torres tunes ea ipsrerratie Dyn ee DREAD eich Rbeig toilette tr es EGS eae ec aa ee Sheep BANS weet ng Rigas cele pte Rarelias ail Beco eee ae ee ee Ss fs we ho one oe a ee RES cere Bee ae ee ee eee Bene Seeger ors So es PESO copemnon cho Me SSF oars tees rere eee BES sep ile oc aii Si Sate ont Reliaiiiee aieitclteetigeicttch abit aot cpa itil ee ee ee cer fe oe PD foe oe eS oie ESS EES Eee a ree eee Met Ray eae eerie ec eer cer ROR Cee eee ARES CEOS oe EEUU Gee Gt Eat Memtctsttiee Eottnhltchti sip tcntns toil 5000 itreragdes 15000 iteragdes 45000 iteragdes 100000 iteragdes Figura 101320 Observacao Embora o Passo 0 requeira a escolha de um ponto do conjunto que pode até nem ser conhecido antes isso nao é um problema sério Na pratica podemos geralmente comegar com qualquer ponto em R e depois de algumas poucas iteragdes digamos umas 10 iteragdes 0 ponto gerado estara tao proximo de S que 0 algoritmo funcionara corretamente dai em diante Até aqui discutimos fractais que s4o conjuntos autossimilares de acordo com a definigféo Fractais mais gerais dada No entanto o Teorema 10131 permanece valido se as semelhangas 7 T T forem substituidas por transformag6es mais gerais denominadas transformacées afins contrativas definidas como segue x 2 2 2 DEFINICAO 5 Uma transformacao afim é uma aplicacao de R em R da forma y ce dly f em que a b c d e ef sao escalares 638 Algebra Linear com Aplicacées y A Figura 101321 mostra como uma transformagao afim transforma o quadrado uni tario U num paralelogramo 7U Uma transformagao afim é dita contrativa se a distancia 0 1 e 11 euclidiana entre a imagem de dois pontos quaisquer do plano pela transformagao estrita mente menor do que a distancia euclidiana original entre esses pontos Pode ser mostrado que quaisquer k transformacoes afins contrativas T T TJ determinam um tnico U conjunto fechado e limitado S satisfazendo a equagao S TS U TS U TS U U TS 13 x 0 0 10 A Equagao 13 tem o mesmo formato da Equacao 12 que utilizamos para definir con a O quadrado unitério juntos autossimilares Embora a Equacao 13 que usa transformagoes afins contrativas nao determine um conjunto autossimilar o conjunto S formado tem muitas das caracteris ticas de conjuntos autossimilares Por exemplo a Figura 101322 mostra como um con y b 1 junto do plano que parece uma samambaia um exemplo tornado famoso por Barnsley ae s Totectasp pode ser gerado por quatro transformacoes afins contrativas Observe como a samambaia ed tw s 7 central é a uniao das quatro samambaias menores que a cercam que sao imagens afins ligeiramente sobrepostas Também note como T por ter determinante da parte matricial nulo transforma a samambaia inteira no pequeno segmento de reta que liga os pontos 050 0 e 050 016 A Figura 101322 contém muita riqueza de informagao e deveria atectf ser estudada cuidadosamente ef x Lee 0115 1030 0965 0990 b O quadrado unitario depois da transformacao afim Figura 101321 0340 0495 eg Pa 0140 0265 0600 0275 ae 0075 0180 p Zo00 0045 LA 928 0140 7 os 36 ea r 085 oe ee 1 2 y 023 022 Ly 0045 y 004 085 Ly 0180 0 1 11 a Mee ae wie 0 0 1 0 GDU oll 8Gsa 98 64138 y 0 016 Ly 0 y 026 024 Ly 0086 0705 0414 050 016 0425 0174 0855 0154 050 0 Figura 101322 0575 0086 Michael Barnsley aplicou essa teoria 4 4rea de compresso e transmissao de dados A samambaia por exemplo fica completamente determinada pelas quatro transformagdes afins T T T T Essas quatro transformag6es por sua vez ficam completamente de 1013 Fractais 639 terminadas pelos 24 nuimeros dados na Figura 101322 que definem seus valores de a b c d ee f Dito de outra maneira esses 24 nimeros codificam completamente a imagem da samambaia Armazenar esses 24 nimeros num computador requer consideravelmente menos espaco de memoria que armazenar uma descricdo pixel por pixel da samambaia Em principio qualquer imagem digitalizada numa tela de monitor pode ser descrita por um numero finito de transformag6es afins embora n4o seja facil determinar quais trans formacgées devemos usar Mesmo assim uma vez codificadas as transformag6es afins em geral requerem varias ordens de grandeza menos memoria de computador que uma descrigao pixel por pixel da imagem digitalizada Leitura recomendada Os leitores interessados em aprender mais sobre fractais podem consultar os livros seguintes 0 primeiro dos quais elabora a abordagem por transformag6es lineares apresentada nesta sec4o 1 MICHAEL BARNSLEY Fractals Everywhere Nova York Academic Press 1993 2 BENOIT B MANDELBROT The Fractal Geometry of Nature Nova York W H Freeman 1982 3 HEINZOTTO PEITGEN e P H RICHTER The Beauty of Fractals Nova York Springer Verlag 1986 4 HEINZOTTO PEITGEN e DIETMAR SAUPE The Science of Fractal Images Nova York SpringerVerlag 1988 Conjunto de exercicios 1013 1 O conjunto autossimilar da Figura Ex1 tem os tamanhos indi 3 Cada um dos 12 conjuntos autossimilares da Figura Ex3 re cados Sabendo que o canto inferior esquerdo esta situado na sulta de trés semelhangas de fator de escala bs de modo que to origem do plano xy encontre as semelhangas que determinam dos tém dimensao de Hausdorff igual a In 3 In 2 1584 esse conjunto Qual é sua dimensdo de Hausdorff Esse con Os angulos de rotagao de todas as trés semelhangas sao multi junto é um fractal plos de 90 Encontre os angulos de rotacao de cada conjunto 1 e expresseos como ternos ordenados n n n de inteiros 1 em que n o multiplo inteiro de 90 correspondente usando a wl 3s ordem superior direita inferior esquerda e inferior direita P SEE SSE Be p querda e inferior direita Por ERE REED BEE imei j id ierpi i ene exemplo o primeiro conjunto o triangulo de Sierpinski gera SSS S808 SO08 0 terno 0 0 0 BEER BREE Be ERE REED BEE SSSR S808 SSSR SEE are EEE REEE BE 1 i a ES BO00 SO88 Se 4a Oe ERE REED BEE Mads fee BEER EERE BERR 4 4 ey ab SESS BOGS SSO 25 Pe EERE CEE 64 dG 64 AG ERELERES BEER BREE Be SERS ESES SE08 See Figura Ex1 2 Encontre a dimensao de Hausdorff do conjunto autossimilar Bee g da Figura Ex2 Use uma régua para medir a figura e determi Esse Ese Ory ne um valor aproximado do fator de escala s desse conjunto Be Ee Ee Ey é ey oe A Rate hetatate hated S Quais sao os angulos de rotagao das semelhancgas que deter minam esse conjunto he he Figura Ex2 A Figura Ex3 640 Algebra Linear com Aplicacdes 4 Em cada parte da Figura Ex4 encontre i 0 fator de escala s expressam o quadrado unitario como a uniao de quatro qua das semelhangas que descrevem o conjunto autossimilar dado drados sobrepostos Calcule 0 lado direito da Equagao 2 ii os 4ngulos de rotag4o 6 de todas as semelhangas que des para os valores de k e s determinados por essas semelhangas e crevem 0 conjunto todos os angulos de rotac4o sao multiplos mostre que o resultado no é 0 valor correto da dimensfo de de 90 e iii a dimensdo de Hausdorff do conjunto Quais Hausdorff do quadrado ObservacGo este exercicio mostra a desses conjuntos sAo fractais e por qué necessidade da exigir que os conjuntos sejam nao sobrepostos na definicgao de conjuntos autossimilares e suas dimens6es de Hausdorff HH HE HH HH 9 Todos os resultados desta seco podem ser estendidos ao R HH ELE HH ALE Calcule a dimensdo de Hausdorff do cubo unitario em R ver A HH HA A AH HA Figura Ex9 Sabendo que a dimenso topolégica do cubo HH HE HH HE é 3 decida se esse cubo é um fractal Sugestdo expresse 0 nH OE HH AE cubo unitério como a unio de 8 cubos menores congruentes e 1 ALL A nao sobrepostos eee AL EEL HEL A BB A HHH z a b 1 y Ry ee y an we 1 Rial LZ v yw Figura Ex9 y c d 10 O conjunto em R da Figura Ex10 é um conjunto autossimilar denominado esponja de Menger obtido pela remogao de cer Figura Ex4 tos buracos cubicos do cubo unitario Observe que cada face da esponja de Menger é um tapete de Sierpinski e que os bu 5 Mostre que das quatro transformac6es afins mostradas na racos do tapete de Sierpinski agora atravessam toda a esponja z de Menger Determine os valores de k e s para a esponja de Figura 101322 somente a transformagao T é uma semelhan A Menger e obtenha sua dimensao de Hausdorff A esponja de ca Encontre seu fator de escala s e o Angulo de rotacao 0 Menger é um fractal 6 Encontre as coordenadas da pontinha da samambaia da Figura 101322 Sugestdo a transformagao T aplica a ponta da sa mambaia nela mesma Zz 7 O quadrado na Figura 10137a foi expresso como a uniao de quatro quadrados nao sobrepostos indicados na Figura 10137b Suponha agora que o quadrado seja expresso como a a ta Min fin fin a uniao de 16 quadrados nao sobrepostos Verifique se sua di SE Lg s 5 ff mensao de Hausdorff continua sendo 2 conforme determina a ae AAO Oe fl Equaciio 2 ae Mee wh a 8 Mostre que as quatro semelhancgas FRRRe eee Me Pu npiin npn ofr bey ry ro3 ee monoee oe ve hy 40 Iy eno ee ot on n v alg n ay ds x 31 Ox i ye WA mg y T mn ngreein ne 7 y 410 1ly 0 nay rrr e nnn 5 fe lf Pir eidr Bir U shy 410 1 y 1 FAA ee x 31 Ox 5 x T y 40 Iy 1 4 Figura Ex10 1014 Caos 641 11 As duas semelhangas determinam um fractal conhecido como conjunto de Cantor Comegando com o quadrado unitario U como conjunto ini T I A cial esboce os quatro primeiros conjuntos determinados pelo y 30 Ily Algoritmo 1 Em seguida obtenha a dimensao de Hausdorff do conjunto de Cantor Esse conjunto famoso foi o primeiro e exemplo que Hausdorff forneceu em seu artigo de 1919 de 3 um conjunto cuja dimensao de Hausdorff nao coincide com T I Hl Hl 4 sua dimenso topoldgica y 39 I Ly 0 12 Calcule as areas dos conjuntos S SS 5 eS da Figura 101315 Sa Secao 1013 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos T2 Generalize ao R as ideias envolvidas no conjunto de Cantor utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é em R no tapete de Sierpinski em R e na esponja de Men MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também ger em R considerando o conjunto S dado por pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma nin calculadora cientifica com funcionalidades de Algebra Linear Em S UJ TS cada exercicio vocé devera ler a documentacao pertinente do re il curso particular que estiver utilizando O objetivo destes exercicios é fornecer uma competéncia basica na utilizag4o do seu recurso com computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes exercicios x 1 0 0 O1Tx a vocé estaré capacitado a usar seu recurso computacional para re os xX 0 10 Of x solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercicios regulares l 2 2i T1 Use semelhangas da forma T i 3 0 0 0 fs pt 9 Offa ai x 00 0 1 x a TJ Jy Jso 1 Olly f fe Zz 0 0 1 Zz C e cada constante a igual a 0 ou mas nunca duas delas a iguais a i ao mesmo tempo Use um computador para cons para mostrar que a esponja de Menger Exercicio 10 é 0 con truir 0 conjunto junto S dado por 20 Qi SJT5 A isl 43 comi 123m com semelhangas T ei 1 23 20 convenientemente escolhidas Determine essas semelhangas determinando a co a leco de matrizes 3 X 1 m a e com isso determinar o valor de m com n 2 3 4 Em se b com i 12320 guida obtenha uma expressdo para m C 1014 Caos Nesta segao usamos uma transformagao do quadrado unitario do plano xy sobre si mesmo para descrever 0 conceito de aplicagao cadtica PREREQUISITO Geometria de operadores lineares em R Seciio 411 Autovetores e autovalores Compreensao intuitiva de limites e continuidade A palavra caos apareceu pela primeira vez na literatura matematica em 1975 num artigoem Caos inglés de TienYien Li e James Yorke intitulado Periodo Trés Implica Caos Hoje o termo é utilizado para descrever certas transformagdes na Matematica e certos fendmenos fisicos 642 Algebra Linear com Aplicacdes que a primeira vista parecem ter um comportamento aleatério e desordenado mas que na verdade tém um elemento subjacente de ordem bem determinado como por exemplo gera ao aleatéria de numeros embaralhar as cartas de um baralho arritmia cardiaca vibragao das asas de um aviao em voo mudangas na mancha vermelha de Jupiter e aberragoes da 6rbita de Plutao Nesta segao estudamos uma transformacao cadtica especifica conhecida como a transformacao do gato de Arnold em referéncia ao matematico russo Vladimir I Arnold que foi o primeiro a usar 0 esbogo de um gato para a sua descriao A transformacao do gato de Para descrever a transformagao do gato de Arnold precisamos de algumas técnicas da Arnold aritmética modular Se x for um numero real entéo a notacao x mod denota o tinico numero no intervalo 0 1 que difere de x por um ntimero inteiro Por exemplo 23 mod 1 03 09mod109 37mod1 03 20mod10 Observe que se x for um numero real nao negativo entao x mod é simplesmente a parte fracionaria de x Se x y for um par ordenado de ntimeros reais entéo a notacdo x y mod denota o par x mod 1 y mod 1 Por exemplo 23 79 mod 03 01 Observe que 0 ponto x mod é um ponto do intervalo 0 1 qualquer que seja o nimero real x e que 0 ponto x y mod 1 é um ponto do quadrado unitario SyOsx10sy1 qualquer que seja o par ordenado x y Note que as arestas superior e da direita do qua drado nao esto incluidas em S A transformaciio do gato de Arnold é a aplicacaio I R R definida pela formula Ty y x 2y mod 1 ou em notagao matricial por x 1 Ifx r mod 1 y 1 2Ly Para entender a geometria da transformagao do gato de Arnold é conveniente escrever 1 na forma fatorada 1 Of1 1 r mod 1 y 1 10 I Ly que expressa a transformagao do gato de Arnold como a composiao de um cisalhamento na direcdo x de fator 1 seguido de um cisalhamento na diregao y de fator 1 Como as contas sao feitas mod 1 a aplicagdo I transforma cada ponto de R num ponto do quadrado unitario S Tlustramos o efeito da transformagao do gato de Arnold no quadrado unitario S que na Figura 10141la aparece sombreado e contendo a imagem de um gato Pode ser mos trado que nao importa quando é feita a conta mod 1 se depois de cada cisalhamento ou somente no final das contas Vejamos ambos os métodos comecgando com a conta mod 1 somente no fim Os passos sao os seguintes Passo 1 Cisalhamento na diregao x de fator 1 Figura 101415 xy yy ou em notagao matricial 1 ljx xy 0 fly y Passo 2 Cisalhamento na diregao y de fator 1 Figura 10141c x y x x y ou em notagao matricial 1 Ojfx x 1 ifty Lty 1014 Caos 643 3 3 Passo 1 3 Passo 2 3 3 Passo 3 y y y y x J x y y mod 1 2 2 2 2 2 Ww o pf ff Y 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 4 2 a b c d Figura 10141 Passo 3 Reagrupar no quadrado S Figura 10141d x y x y mod O efeito geométrico da aritmética mod é o de quebrar o paralelogramo da Figura 10141c e reagrupar os pedacos de S conforme indicado na Figura 10141d Para implementacgao em computador é mais conveniente efetuar a aritmética mod 1 em cada passo em vez de somente no final Dessa maneira obtemos um reagrupamento em cada passo mas 0 efeito final o mesmo Os passos sao os seguintes Passo 1 Cisalhamento na direcao x de fator 1 seguido de um reagrupamento em S Figura 101425 x y x y y mod 1 Passo 2 Cisalhamento na direcao y de fator 1 seguido de um reagrupamento em S Figura 10142c x y x x y mod 1 Passo 1 Passo 2 2 2 2 2 2 xy ty y x y y mod 1 fj x y x y mod 1 1 1 7 1 rs 1 if 1 Y Ww BP BP y xy 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 a b c Figura 10142 Aplicag6es cadticas como a transformagao do gato de Arnold em geral surgem em mo Aplicacgées repetidas delos fisicos em que uma certa operacao é executada repetidamente Por exemplo as cartas de um baralho séo misturadas por embaralhamento repetido uma tinta é misturada por movimentos rotatérios repetidos de por exemplo uma colher a 4gua numa baia é misturada por mudangas repetidas da maré e assim por diante Desse modo estamos interessados em examinar 0 efeito de aplicagGes repetidas ou iteragdes da transformagao do gato de Arnold A Figura 10143 que foi gerada em computador mostra 0 efeito de 25 iteragdes da transformacao do gato de Arnold sobre 0 quadrado unitario S Ocorrem dois fendmenos interessantes como segue e O gato retorna a sua posicao original na 25 iteracao e Em algumas das iteragdes intermedidrias 0 gato esta decomposto em faixas que pa recem ter uma direcdo especifica Muito do restante desta segdo é dedicado a explicar esses fendmenos 644 Algebra Linear com Aplicagées 101 pixels 6 SE AGE RSD HOE Seo os get Y Of GME GE REIS 3 Sie J j CLE AS BHP 6 CIS LETTS o Tee oe De ht ab APF cd GPa EE ag Hl Fo OP Af ELS aitad dag Maret igi Ey A j Oe PLD PLP Eph eer eee ee a i LF hb LALA ILS TE Iteracao 1 Iteragao 2 Iteragdo 3 Iteragao 4 PSE Og eee BORER ee Bea eee peace es Lt TS aid Soest eee ERROR TR Marcie Vike Rene Te tac cies ANS ERASERS GMA eA Son eee Reng Coe SESE ROBES e Dg RCS AMOR SR AMA Ot oe acai GABOR Ecce s Rare PERC Ob I 2 CAEN ONE Get na Camahy GAR Pe MLA URAASY Lot dad esis yc lorpael A ey eee Pee acs ite GONE Conca et ceres Se ehep ele Mie anton hegiag cite PORtateae eens Laer Foadle wear een fet Gate amin gay IO e SERGE VOGT 2 SE ASS ee OBR Iteragao 5 Iteragao 6 Iteragao 7 Iteragao 8 Iteragao 9 EE COS Fan SESS 2 SR SES GA ns Ne ee uel AAE a eA Ree eee Rear Na CR eg Deeg GARE ISDE Pion Tee cee aes EERSTE ARAL RUS CAM Gia ate Ne Baar Pate et ESS ReaD SEER ab ira 7 DUES SSS CAME a A ee eo alin GN EN SSG Gs TES UU Rn UA ee HERE A EGR ARS Aare nr Guat cabiel aed Gabo i i aes Guehre ars Aap ates Hae E raat SAR SERRA inne MAN a Manga Corb pen merken eye et A A SST ets Re eRe SS SRA ae ENG MAN EN OMA TEE ica RSE aU Geese er ahte ss Ain atti bs ie comments Gedinste ork i NSD CU OHEET PTERSATIREUE SL USIURNRIUN J PUORIC OI CG MIRE art Iteragao 10 Iteragao 11 Iteragao 12 Iteragdo 13 Iteragao 14 ASV MARR te anna paces mia co nna Ost Datieaalee Reid Tine Sin fi Boe tC irae mums ert OE ke BES SMAI SANS Some neeeincret Wistar in enti tlipn HSN ge eee ee TASTE Sa eh ETe bei tet Meyrin Pe pcet ec ntueareri tre HL ieee 2 tr eee ERROR Er See by SHURA RHEE Can aah ROMER eee natn Ai Reari tenga eainted SN eenu anh ss iaerineeed 2 EEE RE Ee ESE SE EPL te ties 0 Seance eetintiata stains RAM citi aete cra ee SR ag EUR EER Ga SS Tent hem agn ann Aaa ibe ener sity eee EERE BT tf Suni ee ibers ta fa SS Bain SS Sets SS SSE SOs CURE ERI Reon Eee CEE BEDE GSU ahs Oe REUSE NU REAIDG SU aren Biter tnt ibe 0 EERO ES Bes Iteragao 15 Iteragado 16 Iteragao 17 Iteragdo 18 Iteragdo 19 saiithgate Agia Meehamokg NE AMEN Bog RS 8 aR ECTS ESS SAUNAS aC sy Mylan Bee Se ee SES ae SSS ie FS bs SENSES ON OS Iteragao 20 Iteragao 21 Iteragao 22 Iteragao 23 Iteragao 24 b a Iteragao 25 Figura 10143 Pontos periddicos Nosso primeiro objetivo é explicar por que o gato na Figura 10143 retorna a sua confi guracao original na 25 iterada Para isso convém pensar numa imagem no plano xy como sendo uma associagao de cores aos pontos do plano Para a geragao de imagens numa tela de monitor ou em qualquer outra digitalizagdo as limitagdes impostas pelo hardware exigem que a imagem seja repartida em quadrados discretos denominados pixels Por exemplo nas imagens geradas por computador da Figura 10143 o quadrado unitario foi dividido num reticulado de 101 pixels por lado num total de 10201 pixels cada um dos quais é preto ou branco Figura 10144 Uma aplicagdo de pixels é uma associagao de cores a pixels para criar uma imagem Ty 7 SEREEEEEEe L C a oo Visao ampliada da cara do gato Cet I i ECEC Ee a mostrando os pixels individuais CYT yyy CYT CYT yyy TT yy LTT TT Pied City CoCr I ann La Cert a Se Corre Tdd CEP yyy VI Core io 8 4 CT it it H Corey a Corr Coe ee Li Coe oe Lee eee Leyes EERE EEE Figura 10144 Goo OTA C03 648 Como mostra a Figura 10145 a cada pixel em S podemos associar um Unico par de coordenadas da forma m101 n101 que identifica o canto inferior 4 esquerda e em que men sao nimeros inteiros do intervalo 0 1 2 100 Dizemos que esses pontos s4o os pontos de pixel pois cada um identifica exatamente um unico pixel Em vez de restringir 0 estudo ao caso em que S foi subdividido num reticulado de 101 pixels em cada lado vamos considerar 0 caso mais geral de p pixels em cada lado Assim cada aplicagao de pixels de S consiste em p pixels uniformemente espagados a cada 1p unidades em ambas diregdes x e y Os pontos de pixel em S tém coordenadas da forma mp np em que me n sao ntiimeros inteiros de 0 ap 1 ol aa 6hhre o I Y ty 0 LL Ce aera a oa 8 hl ee ga LETT mt tT a Figura 10145 Tor 101 101 101 Tor Tor Sob a acao da transformagao do gato de Arnold cada ponto de pixel de S é transfor mado num outro ponto de pixel de S Para ver por que isso acontece observe que a ima gem por mp np do ponto de pixel T é dada em formato matricial por m m mn P 1 1 Pp P r mod mod 2 n I n m 2n P P Pp O par ordenado m np m 2np é da forma mp np em que m en estao no intervalo 0 12p 1 Mais especificamente m en sao o resto da diviséo de m n em 2n por p respectivamente Consequentemente cada ponto de S da forma mp np é transformado num outro ponto dessa forma Como a transformagao do gato de Arnold transforma cada ponto de pixel de S num outro ponto de pixel de S e como existem somente p pontos de pixel distintos em S segue que um ponto de pixel arbitrario deve retornar a sua posiao original depois de no maximo Dp iteragdes da transformagao do gato de Arnold Usando a Formula 2 Se p 76 entao 2 é dada por m mn r 76 76 mod n m2n 76 76 27 58 cx Nesse caso as iteragdes sucessivas do ponto 2 3 sao 0 1 2 3 4 5 6 7 8 27 a fo 67 49 4 39 37 R 76 716 76 76 76 76 76 76 76 76 716 76 76 716 76 76 716 76 646 Algebra Linear com Aplicacdes 5 1 6 verifique Como o ponto retorna a sua posiao inicial na nona aplicagao da transfor L macao do gato de Arnold mas nao antes dizemos que 0 ponto tem periodo 9 e que o 4 3 conjunto de nove iteradas distintas é um ciclo de periodo 9 A Figura 10146 mostra a localizagao desse ciclo com o ponto inicial denotado por 0 e as sucessivas iteradas nume radas de acordo 4 4 8 Em geral se um ponto retornar a sua posiao inicial depois de n aplicagoes da trans formagao do gato de Arnold mas nao retornar com menos de n aplicagées dizemos que 0 ponto tem periodo n e que o conjunto de n iteradas distintas é um ciclo de periodo n Figura 10146 A transformagao do gato de Arnold transforma 0 0 em 0 0 de modo que esse ponto tem periodo 1 Pontos com periodo também sao denominados pontos fixos da transfor macao Deixamos para o leitor mostrar Exercicio 11 que 0 0 0 tinico ponto fixo da transformacao do gato de Arnold Periodo versus largura de Se P e P forem pontos de perfodos q e g respectivamente entao P retorna a sua pixel posigo inicial em q iteragdes mas no antes e P retorna a sua posiao inicial em q iteragdes mas nao antes assim ambos os pontos retornam as suas posicgOes iniciais em qualquer numero de iteragdes que seja um miultiplo tanto de g quanto de qg Em geral para uma aplicacao de pixels de p pontos de pixel da forma mp np denotamos por IIp o menor ntimero inteiro que for um miltiplo comum de todos os perfodos de todos os pontos de pixel da aplicagado ou seja I1p é o menor inteiro divisivel por todos os periodos Segue que a aplicagao de pixels retorna a sua posi4o inicial em IIp iteragdes da transformacao do gato de Arnold mas nao antes Por esse motivo dizemos que IIp é o periodo da aplicagao de pixels No Exercicio 4 pedimos para o leitor mostrar que se p 101 entao todos os pontos de pixel tém perfodos 1 5 ou 25 de modo que II101 25 Isso explica por que o gato na Figura 10143 voltou a sua configuracao inicial em 25 iteragOes A Figura 10147 mostra como o perfodo de uma aplicagao de pixels varia com p Enquanto a tendéncia geral do periodo é crescer com p crescente ha uma quantidade sur preendente de irregularidades nesse grafico De fato nao ha nenhuma fungao elementar que especifica esse relacionamento de p com o periodo ver Exercicio 1 1000 900 800 700 S 3 600 500 S 400 300 200 100 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Figura 10147 p Comprimento em pixels do lado do quadrado unitario Embora uma aplicacgao de pixels com p pixels por lado nao retorne a sua configuracado inicial até que tenham ocorrido IIp iteragGes varias coisas inesperadas podem ocorrer em iteragdes intermediarias Por exemplo a Figura 10148 mostra o famoso matematico hungaronorteamericano John von Neumann digitalizado numa aplicagao de pixels com 1014 Caos 647 p 250 Pode ser mostrado que II250 750 de modo a aplicagao desses pixels retorna a sua configura4o inicial depois de 750 iteragées da transformacgao do gato de Arnold mas nao antes Contudo depois de 375 iteragdes a aplicag4o de pixels aparece de ca beca para baixo e depois de outras 375 iteragdes para um total de 750 a aplicagao de pixels retorna 4 sua configuracao inicial Além disso ha tantos pontos de pixel com perio dos que dividem 750 que multiplas imagens fantasmas do original ocorrem em iteragdes intermedidrias com 195 iteragdes por exemplo aparecem varias miniaturas do original em filas diagonais x 250 pixels Re Ea Ryreeinee ere RRR ane ee ark emegin se oncllhres MuMrC RT yada Peeaecca Sci ae ee URE hemes 4 8 ee ope oo eS Re NS SRM cor BREE aoe Ee Sade OT IOUS Rae GmOR RES a oe OEY RUN go ee ze SS Be as eae Pave AS Ras See Fhe EUG Sey Ge scat pce 3 PRBS eS NA ae oa BGS Ne eer eRe seen aed Ree AG or ee SSC eee Een BR OE age ce eee eo ose OLN BCT Ma Cease eae cee reeid IME MES ARGENT ab BN NOE ey Roe ae estes tent Bx RA Bria ere Le etek Ue Ged Fe AY REN SEC RR 2 SY 2 ogee oe ie 2 es eo a Pe et ee oe em S oF a Be ee es oa See oS SE ON aa ft eek oe BAe OE Dect e eae coe aa fariaet ee CRN cael St ey ane Re sks Ve eee 6 Nae ASN Lake ee BERS E SY POUR NO OU RTEES NSRROO 2 See RRR aN Poe dee em ens pee ss el eS Una Vern A Caet TRE Utd Poe ERY SAS ERS NONE 2 VO i al ous i CREE jeer Mee PUR yas ar pees SE PERS nen Cnetaccc eat wwe he Me CN 8 CSc ee We VaR NGI eS Bone Cae os 3 Be ot eae Na RG Na oe be Sta eae ws re MANES RO WS SSISENG CNET ake Oe bee eee a4 pe NORA Seah Cre ae basa 5 eee Rae a oo meal re Ce ee PAS ite eGR Me OE ke a aoe Se NE ANGE RON Pi Cee eer he PRECIO PSEA ee ioe CSS BRA SAID SARS COR GG CNS pita Enea tia Seem R ner naiet Wi cee Seta toa ma amy Nk Segue geomicee Pabegeies NSS GRR aie ict RO Se a A a ee 8 es di AR 5 iteragdes 10 iteragdes 75 iteragdes Ss eee ed le Ne Fe aE eee Sok ik a ba eee I ees Be RN NES Sh eee ee cr ae Bera a RSC tk Cae st ar oe ue Ly i RS Se EN Cc Ce es ee gS eee ee Seon SR BR SA fe ane ee 2 at ahem ge sei eae Ea gee aE sae SO ae ee Satie aeie eo SBR PS CSS oR Exes Bee hin Sai cra as Re Se Cee eee eS ee eS NN es es aera eee cermee cede ee ee eta eR Ream ca eS coe aoe ee Ie br eg e LR HES ls ROS Pea ce eee eh re ead bo ee aS SRR IIS age ING a ree gr CR Ree ad Ee ee EAs Ee a ES ei cae 2 eM UE SECC Ss Ei ee ie Go kee siege ie ee cpm eet RG Oe ODS SS Gee Se a Ie IRE acd Be a ee bets eee ae Ce Ww 2g ee ee ee Po 125 iteragdes 195 iteracgdes 250 iteracdes 375 iteragdes Figura 10148 Nosso pr6ximo objetivo é explicar a causa das faixas retas que aparecem na Figura O plano adrilhado 10143 Para isso convém ver a transformacgio do gato de Arnold de uma maneira dife rente Da maneira como foi definida a transformagao do gato de Arnold nao é uma trans formagao linear por causa da aritmética mod 1 Contudo existe uma maneira alternativa de definir a transformacao do gato de Arnold que evita a aritmética mod 1 e que resulta numa transformacdo linear Para ver isso imagine que o quadrado unitario com sua ima gem de gato é um ladrilho e suponha que o plano inteiro esteja coberto com tais ladrilhos como na Figura 10149 Dizemos que o plano foi ladrilhado com o quadrado unitario Se aplicarmos a transformagao matricial de 1 ao plano inteiro ladrilhado sem efetuar a aritmética mod 1 entéo pode ser mostrado que a porcdo da imagem em S é idéntica 4 obtida usando a aritmética mod 1 Figura 10149 Resumindo o ladrilhamento fornece a mesma aplicagao de pixels de S que a aritmética mod 1 mas no caso de ladrilhamento a transformagao do gato de Arnold é uma transformagao linear E importante entender contudo que o ladrilhamento e a aritmética mod 1 veem a periodicidade de maneira diferente Se uma aplicacao de pixels de S tem periodo n entao no caso de aritmética mod 1 cada ponto retorna a sua posicAo original no fim das n iteragdes No caso de ladrilhamento os pontos nao precisam retornar 4 sua posicao original em vez disso cada ponto é substituido por um ponto da mesma cor ao final de n iteragoes 648 Algebra Linear com Aplicacdes Passo 1 Passo 2 Passo 3 xy yy x y xy x y y mod 1 Yh fh ff LSPh ww 2 iy NY 2 2 2 lj 2 Ul nn wea iy IY nw we UN Figura10149 9 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 Propriedades da Para entender a causa das faixas na Figura 10143 pense na transformagao do gato de transformacao do gato de Arnold como uma transformagao linear do plano ladrilhado Observe que a matriz Arnold CH 1 1 Ll 2 que define a transformagao do gato de Arnold é simétrica e tem determinante Por ser esse determinante a multiplicaga4o por essa matriz preserva areas ou seja a area de qual quer figura no plano e a area de sua imagem sdo iguais Isso também vale para figuras em S no caso da aritmética mod 1 pois o efeito da aritmética mod a de recortar a figura e reagrupar os pedagos sem sobreposiao como mostra a Figura 10141d Assim na Figura 10143 a area do gato seja 14 o que for a mesma que a Area total das manchas que sao sua imagem em cada iteracao A simetria da matriz significa que seus autovalores sao reais e que os autovetores correspondentes sao perpendiculares Deixamos para o leitor conferir que os autovalores e autovetores correspondentes de C sao 3 5 35 A 3 v5 26180 A 35 03819 2 2 1 xlv5 16180 J1V5lioisof AP 2 FF 1 2 Em cada aplicacgao da transformacao do gato de Arnold 0 autovalor A causa uma dilata cao na direcao do autovetor v de fator 26180 e o autovalor A causa uma contracao na direcdo do autovetor v de fator 03819 A Figura 101410 mostra um quadrado centrado na origem e de lados paralelos as direcdes dadas pelos autovetores Sob a acao da transformacao dada 0 quadrado é deformado no retangulo de lados ainda paralelos as diregdes dos autovetores As areas do quadrado e do retangulo sao iguais Para explicar a causa das faixas na Figura 10143 considere S como uma parte do plano ladrilhado e seja p um ponto de S de periodo n Por estarmos considerando um ladrilhamento existe um ponto q com a mesma cor de p e que com sucessivas iteragdes dirigese 4 posig4o inicialmente ocupada por p alcangando essa posicgao exatamente na enésima iterada Esse ponto éq CpC p pois CqCC pp Assim com iteragdes sucessivas os pontos de S fluem para longe de suas posic6es ini ciais enquanto ao mesmo tempo outros pontos do plano com cores correspondentes fluem em direcdo daquelas posig6es iniciais completando sua viagem na iteracAo final do ciclo A Figura 101411 ilustra isso no caso den 4 q 8 ep ct q 4 Observe que p mod q mod 4 2 de modo que ambos os pontos ocupam a mes 1014 Caos 649 3 1V5 V2 2 2 1 1 1 avs 2 9 1 2 Figura 101410 3 2 l 0 1 2 3 ma posido em seus respectivos ladrilhos O ponto que se afasta flui na diregao aproxi mada do autovetor v como indicado pelas flechas na Figura 101411 e 0 ponto que se aproxima flui na diregao aproximada do autovetor v Sao essas linhas de fluxo nas diregdes aproximadas dos autovetores que formam as faixas na Figura 10143 4 q 2 0 pCq 4 Figura 101411 4 2 0 2 4 Até aqui somente consideramos a agao da transformagao do gato de Arnold em pixels Pontos nao periddicos da forma mp np com um numero inteiro positivo p arbitrario Sabemos que todos esses pontos sao periddicos Agora vamos considerar o efeito da transformagao do gato de Arnold num ponto arbitrario a b de S Classificamos esses pontos como racionais se as coordenadas a e b forem ambas nimeros racionais e irracionais se pelo menos uma das coordenadas for irracional Cada ponto racional periddico pois um ponto de pixel com p convenientemente escolhido Por exemplo 0 ponto racional rs 7s pode ser escrito como 7555 75 5S portanto é um ponto de pixel com p s5 Pode ser mostrado Exercicio 13 que a reciproca também vale ou seja todos os pontos periddicos sao pontos racionais Segue dessa discussdo que os pontos irracionais de S sao nao periddicos de modo que iterando sucessivamente um ponto irracional x yy em S devemos sempre obter pontos distintos em S A Figura 101412 que foi gerada em computador mostra um pon to irracional e algumas iteradas selecionadas até 100000 Para 0 ponto irracional particu lar que selecionamos as iteradas nao parecem se acumular em nenhuma regiao especifica de S em vez disso parece que elas se espalham por todo S tornandose cada vez mais densas com sucessivas iterag6es O comportamento das iteradas na Figura 101412 é suficientemente importante para ter sua propria terminologia Dizemos que um conjunto D de pontos de S é denso em S se cada disco centrado em qualquer ponto de S contiver pontos de D por menor que seja 650 Algebra Linear com Aplicagées o raio do disco Figura 101413 Pode ser mostrado que os pontos racionais séo densos em S e que 0 conjunto das iteradas da maioria dos mas nao de todos pontos irracionais é denso em S Ponto inicial a f 7 von oe 3 vs oO fs wee mene vagal a Ly feos Wee Se See shee es Je Le eon Sa Thea RS TI lps See DBA BS Sen US EL es wel ek 1000 iteragdes 2000 iteragdes 5000 iteragdes Ri RE CE Se ee TE 20 eee SSE Rie eg Gg Rnre aire taal ee aan Cen eects it Riecsecs MAN aR Ran Ne Oe ie pe ARES EUR ed he aL ge a Cn ah ileal O27 MAES rad aera ree OR cee tey nn SUN Get aaa RRs nae Reeds SaTE seat a eee ee fii eee ORS Re pe Soe es Ue eM Rae oe Say reiting ad Reha Aten Nica Ate ices aie Sareea GH ED ECL EUS a Perea Rane PERE et Ne ea ca eer tune Senta Baie oe et erin nana Sern nea MISES SL EE So er a ERO SI ca 0G a Cn Reece eet parte ee NR a A GIS RENE Seed roe cera BS Te Rear O Susy ce rete PARDO tr ease thee Rieu E nt Loe mis es EERE eS goo Ee DI Re YE SR a4 Cae as ai RR een oR ia See tees emote Pee agi e deel eet eee a en oe Caan Beg eee cats Pema ates mene ee Seed FSET Ge ieee ed pg es ee aide ae ett ey Rah Cee eR oy CEM Ses nen ee pees CD BE SE Mie Cae Ot Re eee ca ie PAS forum te pelted Chores CER AE sea ture nae ON eaee rat bodies eet Rk ase ace ce Rep gie kIT ARS peel og See NOs fiwagtsy Wa RATER OME Ae a eh poe ee SRS Eat Lynd NURS ne eee reer Geet ea near cd Ue Ree eee eee eC pes sei NePE PES rae Ehe e Sas ROP dee eae eee esate byte Se ey tiger aa WiSteeee ane th ar ee aeatis aes tot Da ea ea eee Se See Te ea SAS te Pe Es ee Sa ea Lea ie peices re ate Nate ere Seay ee aad ts Bi anan ot SiON Reel Sec geet PRS Se he A ee EE ORES ee 3 oe BRR SS ee Cer EG cea Crs Perret cane on var con y ee ES Es Rae eae nee 10000 iteracdes 25000 iteracdes 50000 iteragdes 100000 iteragdes Figura 101412 a oe pce Disco arbitrario em S ete tle lye Pontos do conjunto D Figura 101413 Li co Definicado de caos Sabemos que para a transformacao do gato de Arnold os pontos racionais de S sao perid dicos e densos em S e que muitos mas nao todos pontos irracionais tém iteradas densas em S Esses sao os ingredientes basicos do caos Existem varias definig6es de caos atual mente em uso mas a seguinte que deriva de uma definigao introduzida por Robert L De vaney em seu livro An Introduction to Chaotic Dynamical Systems BenjaminCummings Publishing Co Inc de 1986 é a mais relacionada com nosso trabalho DEFINICAO 1 Uma aplicacgao T de um conjunto S sobre si mesmo é dita caética se i S contiver algum conjunto denso de pontos periddicos de T 11 e existir algum ponto em S cujas iteradas por T so densas em S OTA Cas 6 T Assim a transformagao do gato de Arnold satisfaz a definigao de aplicacao cadtica O que notavel sobre essa definicgao é que uma aplicacao cadtica exibe um elemento de ordem e um elemento de desordem pois os pontos periddicos se movem regularmente em ciclos mas Os pontos com iteradas densas se movem irregularmente muitas vezes obscurecendo a regularidade dos pontos periddicos Essa fusao de ordem e desordem caracteriza as aplicagGes cadticas Aplicagées caéticas surgem no estudo de sistemas dinamicos Dito informalmente um Sistemas dindmicos sistema dindmico pode ser visto como um sistema que tem uma configuragao ou estado especifico em cada instante de tempo mas que muda seu estado com o tempo Dessa maneira podem ser entendidos sistemas quimicos ecoldgicos elétricos biolégicos eco nodmicos etc Num sistema dindmico discreto 0 estado muda em pontos discretos do tempo em vez de mudar a cada instante Num sistema dindmico discreto cadtico cada es tado resulta de uma aplicacao caética do estado precedente Por exemplo considerando a transformagao do gato de Arnold aplicada em instantes discretos do tempo as aplicagdes de pixels da Figura 10143 podem ser vistas como a evolucdo de um sistema dindmico discreto cadtico a partir de um conjunto de estados iniciais cada ponto do gato é um esta do inicial isolado para conjuntos de estados sucessivos Um dos problemas fundamentais no estudo de sistemas dinamicos prever estados futuros do sistema a partir de um estado inicial conhecido Na pratica contudo o esta do inicial exato é raramente conhecido por causa de erros nos instrumentos utilizados na mediao do estado inicial Acreditavase ha algum tempo que se os instrumentos de medigao fossem suficientemente precisos e os computadores usados para efetuar as iteragdes fossem suficientemente poderosos entao o estado futuro de um sistema po deria ser predito com qualquer grau de precisao No entanto a descoberta de sistemas cadticos estracgalhou essa crenga pois foi mostrado que com tais sistemas por menor que seja o erro de medigao no estado inicial ou no calculo das iteradas esse erro inicial é ampliado exponencialmente impedindo com isso uma predicg4o precisa de estados futuros Vamos demonstrar essa sensitividade a condicg6es iniciais com a transformagao do gato de Arnold Suponha que P seja um ponto do plano xy cujas coordenadas exatas sao 077837 070904 Fazemos um erro de medig4o de 000001 na coordenada y de modo que pen samos que 0 ponto esta localizado em 077837 070905 que denotamos por Q Pe Qy sao pontos de pixel com p 100000 por qué e portanto ambos retornam 4 sua posi do inicial depois de 75000 iteradas ja que IT 100000 75000 Na Figura 101414 indicamos as primeiras 50 iteragdes de P pela transformagao do gato de Arnold por cruzes e as de Q por circulos Mesmo estando tao proximos inicialmente que seus sim bolos se sobreponham os pontos P e Q somente tém simbolos sobrepostos até a oitava iterada a partir da nona iterada suas iteradas seguem caminhos divergentes E possivel quantificar o crescimento do erro a partir dos autovalores e autovetores da transformagao do gato de Arnold Para isso pensamos na transformaao do gato de Arnold como uma transformacao linear do plano ladrilhado Lembre da Figura 101410 e da discussao pertinente em que vimos que a distancia entre dois pontos de S proje tada na direcao do autovetor v cresce pelo fator 26180 A com cada iteragao Figura 101415 Depois de nove iteradas essa distancia projetada aumenta pelo fator 26180 577799 e com um erro inicial de aproximadamente 100000 na diregdo de v essa distancia é 00577 ou seja aproximadamente 4 da largura do quadrado unitario S Depois de doze iteragdes esse pequeno erro cresce a 26180 100000 10368 que é maior que a largura de S Assim devido ao crescimento exponencial do erro inicial depois de 12 iteragdes perdemos completamente o controle sobre as verdadeiras posigoes das iteradas dentro de S Embora a sensitividade a condiées iniciais limite a possibilidade de predizer a evo lugdo futura de sistemas dinamicos novas técnicas estao atualmente sendo investigadas para descrever a evolugao futura de maneiras alternativas 652 Algebra Linear com Aplicacdes P Ot oO 5 7 i2 O 2 10 Oo a F 9 O 2 e 0 P i dis ea 2 oo N XS 0 8 N D4 Q 3g N d N Oo O Oo N Ne P i o 9 So 6 1 5 OQ 2 Vv O O a Figura 101414 Figura 101415 Conjunto de exercicios 1014 1 Os resultados seguintes sobre a natureza da fungao I1p Observacao Tomando p e escolhendo x e x no interva foram estabelecidos num artigo de uma revista periddica ma lo 0 1 esse gerador de nimeros aleatérios produz nimeros temAatica norteamericana F J Dyson e H Falk Period of a pseudoaleatérios no intervalo 0 1 O esquema resultante é Discrete Cat Mapping The American Mathematical Monthly precisamente o da transformacao do gato de Amold Além dis Vol 99 agostosetembro de 1992 paginas 603614 so Se esquecermos a aritmética modular do algoritmo e tomar i TIp 3p se e 86 se p 2 5comk12 mos x 1 entao a sequéncia de inteiros resultante é a famosa k sequéncia 1 1 2 35 8 13 21 34 55 89 de Fibonacci ii Ip 2p se e s6 se p 5 comk 12 ou or F k em que cada numero depois dos dois primeiros é a soma dos p65 comk012 LG dois ntimeros precedentes iii I1p 12p7 qualquer que seja a escolha de p 4 Encontre I1250 125 111125 110 11110 T150 4 TomandoC k pode ser verificado que TI3750 I16 e II5 2 Encontre todos os ciclos de periodo n que sejam subconjuntos C 7778742049 12586269025 dos 36 pontos de S da forma m6 n6 com m e n no intervalo 12586269025 20365011074 0 1 2 3 4 5 Em seguida encontre I16 Também pode ser verificado que 12586269025 é divisi 3 Gerador de Fibonacci de niimeros aleatérios Um método vel por 101 e que o resto da divisdo de 7778742049 e de bem conhecido de gerar nimeros inteiros pseudoaleatérios 20365011074 por 101 1 o X17 a 3 DO intervalo de 0 ap I tem por base o a Mostre que cada ponto em S da forma m101 n101 algoritmo seguinte renee retorna 4 sua posicao inicial depois de 25 iteracgdes da i Escolha quaisquer dois nimeros inteiros x e x no inter transformacio do gato de Arnold valo 0 12p 1 b Mostre que cada ponto em S da forma m101 n101 ii Tome x x mod p comn 1 2 tem periodo 1 5 ou 25 Aqui x mod p denota o numero no intervalo de 0 ap 1 que c Mostre que o ponto Gi 0 tem periodo maior do que 5 difere de x por um miultiplo de p Por exemplo 35 mod 9 8 iterandoo cinco vezes pois 8 35 3 9 36 mod 9 0 pois 0 36 4 9e d Mostre que II101 25 3 mod 9 6 pois 6 3 19 oo ne a 5 Mostre que cada ponto de S é um ponto periddico da aplica a Gere a sequéncia de nimeros pseudoaleatérios que resul mp 5 nN cio T S 4 S definida por T x y x y Por que isso ta das escolhas p 15 x 3 ex 7 até a sequéncia we mostra que essa aplicacao nao é cadtica comegar a repetir 5 b M férmul it é equival 6 Um automorfismo de Anosov em R é uma aplicacao do qua b Mostre que a férmula a seguir é equivalente ao passo 11 drado unitdrio S sobre S da forma do algoritmo Plo Ee a Lyre 1 1 mo d moa p com n 123 y e djly Xx x me em que 1 a b ce d s4o nuimeros inteiros ii o determinante c Use a formula da parte b para gerar a sequéncia de ve da matriz é le iii os autovalores da matriz naéo tém mag tores para a escolha p 21 x 5e x 5 até a sequén nitude 1 Pode ser mostrado que todos os automorfismos de cia comegar a repetir Anosov sao ca6ticos 1014 Caos 653 a Mostre que a transformagao do gato de Arnold é um au 11 Mostre que 0 0 é 0 tnico ponto fixo da transformacao do tomorfismo de Anosov gato de Arnold mostrando que a unica solugao da equacgao b Quais das seguintes s4o matrizes de automorfismos de x 1 1i1Tx 0 0 Anosov mod Yo 1 2 Ly 0 1 32 1 0 1 of toa 041 com0xleOSy1éx yy 0 Sugestdo com inteiros nado negativos re s convenientes essa equac4o pode ser escrita como c Mostre que a aplicacgao de S sobre S dada a seguir nao é Yo 1 211 s um automorfismo de Anosov 12 Encontre todos os ciclos de periodo 2 da transformagao do x 0 llx gato de Arnold encontrando todas as solugdes da equacao mod 1 y l OJLy 2 x fl i Xo mod 1 Qual 0 efeito geométrico dessa transformagao sobre S yl Ll 2 Ly Use sua resposta para mostrar que essa aplicacg4o nao é ca 6tica mostrando que todos os pontos de S so periddicos com 0 x le 0y 1 Sugestdao com inteiros nao ne ativos re s convenientes essa equacao pode ser escrita como 7 Mostre que a transformacio do gato de Arnold é injetora no 8 qnagae Pp quadrado unitario S e que sua imagem é S s 8 Mostre que a inversa da transformacao do gato de Arnold é yl L3 5 Ly s dada por 4 13 Mostre que cada ponto periddico da transformacao do gato de PG y 2x y x y mod Arnold deve ser um ponto racional mostrando que em todas as 9 Mostre que 0 quadrado unitario S pode ser particionado em solugdes da equagao quatro regi6es triangulares tais que em cada uma delas a x 1 17 Tx transformacao do gato de Arnold é uma aplicacgao da forma I mod 0 0 x 1 Ilx a y 7 lio y b os ntimeros X yy S40 quocientes de ntimeros inteiros 14 Seja T a aplicagao do gato de Arnold aplicada cinco vezes onde ae b nao sao necessariamente os mesmos para cada consecutivas ou seja T T A Figura Ex14 representa regiao Sugestdo encontre as regides de S que sao aplicadas quatro aplicacGes sucessivas de T na primeira imagem cada nas quatro regides sombreadas do paralelogramo da Figura imagem tendo uma resolugao de 101 X 101 pixels A quinta 10141d aplicacao retorna a primeira imagem porque essa aplicacao 10 Se x yo for um ponto em Se x y sua enésima iterada de gato tem periodo 25 Explique como pode ser gerada essa pela transformacio do gato de Arnold mostre que sequéncia particular de imagens Xx 1 1 x eee wea vecad Piece te eg eid epee mi ciuied Camerata ed ENasees Cy ray Pe p a moat ee eae Yn 1 2 Ly ES oie ee ie ere eset psa am eset ted ete Os lll eS Meck Sere ld eam ime rid Pe OM ee a SPE Or ONE esgic sy ES Ree ey Esse resultado implica que a aritmética modular nao precisa Savane oe 2 sense Loo ee ee en ser efetuada apés cada iteracdo bastando aplicéla uma vez aq BBEEESEEAESS Re paces Be SS OSE EN final da iteragao Figura Ex14 S y Segao 1014 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos recurso particular que estiver utilizando O objetivo destes exer utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é cicios é fornecer uma competéncia basica na utilizagéo do seu MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também recurso computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma exercicios vocé estard capacitado a usar seu recurso computacio calculadora cientifica com funcionalidades de Algebra Linear nal para resolver muitos dos problemas nos conjuntos de exerci Em cada exercicio vocé devera ler a documentacAo pertinente do cios regulares 654 Algebra Linear com Aplicacées T1 Os métodos do Exercicio 4 mostram que para a transfor Usando esses autovalores e autovetores podemos definir magio do gato de Arnold o nimero IIp é o menor ntimero inteiro satisfazendo a equacgao 345 0 1 1 2 1 wm 1 0 D 3 V5 e P 145 15 mod p Vs Za OTD 12 Plo 1 0 5 2 2 Isso sugere que uma maneira de determinar I1p é calcular e escrever C PDP e portanto C PDP Use um 1 oi computador para mostrar que d I moeP C Cy Ci comecando com n e parando quando esse procedimento cs der a matriz identidade Use essa ideia para calcular IIp com p 23 10 Compare seus resultados com as formulas onde dadas no Exercicio 1 se aplicavel O que vocé pode conjetu rar sobre ol 1475 375 1J5 3 V5 25 2 25 2 1p k mod p 2S825 35 2 7 e y J ye y 25 2 25 2 quando IIp for um ntimero par T2 Os autovalores e autovetores da matriz e c om 1 34v5 3v5 Cp O Ze rs a 1 2 l J5 2 2 da transformacao do gato de Arnold sao De que maneira vocé pode usar esses resultados e suas con 345 3J5 clusdes no Exercicio T1 para simplificar 0 método de calcular MEQ Tey 1 1 VHl14V5 w 1V5 2 2 1015 Criptografia Nesta seao apresentamos um método para codificar e decodificar mensagens Também examinamos a aritmética modular e mostramos como a eliminagao gaussiana pode ser utilizada as vezes para quebrar 0 codigo de um oponente PREREQUISITOS Matrizes Eliminacao gaussiana Operag6es matriciais Independéncia linear Transformac6es matriciais Se4o 49 Cifras O estudo da codificacgao e decodificagéo de mensagens secretas é denominado criptogra fia Embora os cédigos secretos remontem aos primordios da comunicag4o escrita tem havido um aumento recente de interesse no assunto devido a necessidade de manter a privacidade da informagao transmitida ao longo de linhas ptiblicas de comunicagao Na linguagem da criptografia os cédigos s4o denominados cifras as mensagens nao codifica das sao textos comuns e as mensagens codificadas sao textos cifrados ou criptogramas O processo de converter um texto comum num cifrado é denominado cifrar ou criptografar e O processo inverso de converter um texto cifrado num comum é denominado decifrar httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 1015 Criptografia 655 As cifras mais simples denominadas cifras de substituigado sio as que substituem cada letra do alfabeto por alguma outra letra Por exemplo na cifra de substituigao Comum ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ Cifra DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC a letra de texto comum A é substituida por D a letra de texto comum B por E e assim por diante Com essa cifra a mensagem de texto comum ROMA NAO FOI CONSTRUIDA EM UM DIA fica URPD QDR IRL FRQVWUXLGD HP XP GLD Uma desvantagem de cifras de substituigéo é que elas preservam as frequéncias de letras Cifras de Hill individuais tornando relativamente facil quebrar 0 cédigo por métodos estatisticos Uma maneira de superar esse problema é dividir 0 texto em grupos de letras e criptografar o texto comum grupo a grupo em vez de uma letra de cada vez Um sistema poligrafico é um sistema de criptografia no qual 0 texto comum é dividido em conjuntos de n letras cada um dos quais é substituido por um conjunto de n letras cifradas Nesta secao estu damos uma classe de sistemas poligraficos conhecidos como cifras de Hill que tém por base transformagées matriciais O nome é em referéncia a Lester S Hill que introduziu esses sistemas em dois trabalhos Cryptography in an Algebraic Alphabet American Mathematical Monthly Vol 36 junhojulho de 1929 paginas 306312 e Concerning Certain Linear Transformation Apparatus of Cryptography American Mathematical Monthly Vol 38 marco de 1931 paginas 135154 Daqui em diante vamos supor que cada letra de texto comum e de texto cifrado excetuando o Z tem um valor numérico que especifica sua posiao no alfabeto padrao Tabela 1 Por motivos que ficarao claros adiante damos a Z 0 valor de 0 Tabela 1 A BCDEF GHIJIkKLMNOPQRS TUVWXK Y Z 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0 Nos casos mais simples de cifras de Hill transformamos pares sucessivos de texto comum em texto cifrado segundo o procedimento seguinte Passo 1 Escolha uma matriz 2 X 2 com entradas inteiras A Ay Ay para efetuar a codificagao Condicgées adicionais sobre A serao impostas adiante Passo2 Agrupe letras sucessivas de texto comum em pares adicionando uma letra adi cional ficticia para completar o ultimo par se 0 texto comum tiver um nimero impar de letras e substitua cada letra de texto comum por seu valor numérico Passo 3 Converta cada par p p de letras de texto comum sucessivamente num vetor coluna A p P2 e forme o produto Ap Dizemos que p 0 vetor comum e Ap o correspondente vetor cifrado Passo 4 Converta cada vetor cifrado em seu equivalente alfabético 656 Algebra Linear com Aplicacdes Cifra de Hill de uma mensagem Use a matriz 1 2 0 3 para obter a cifra de Hill da mensagem de texto comum em inglés IAM HIDING Solugao Agrupando o texto comum em pares de letras e adicionando a letra ficticia G para completar o ultimo par obtemos IA MH ID IN GG ou equivalentemente usando a Tabela 1 91 138 94 9 14 77 Para codificar o par JA efetuamos o produto matricial 1 29 ll 0 31 3 que fornece o texto cifrado KC pela Tabela 1 Para codificar o par MH efetuamos o produto matricial 1 213 29 1 0 3 8 24 No entanto aqui temos um problema pois 0 numero 29 nao possui equivalente alfabético Tabela 1 Para resolver esse problema fazemos 0 seguinte acordo Sempre que ocorrer um inteiro maior do que 25 ele sera substituido pelo resto da divisdo desse inteiro por 26 Como 0 resto da divisao por 26 um dos inteiros 0 1 2 25 esse procedimento sem pre fornece um inteiro com equivalente alfabético Assim substitufmos 29 por 3 em 1 pois 3 0 resto da divisao de 29 por 26 Segue da Tabela que o texto cifrado do par MH CX As contas para os demais vetores cifrados sao 1 29 17 0 34 12 1 2 9 37 11 0 3li4 42 L16 1 27 21 0 37 21 Esses vetores correspondem aos pares de texto cifrado QL KP e UU respectivamente Coletando os pares obtemos a mensagem cifrada completa KC CX QL KP UU que normalmente seria transmitida como uma Unica cadeia sem espacos KCCXQLKPUU 4 Como o texto comum foi agrupado em pares e criptografado por uma matriz 2 X 2 dizemos que a cifra de Hill do Exemplo é uma cifra de Hill de ordem 2 Evidentemente 1015 Criptografia 657 também é possivel agrupar o texto comum em ternos e criptografar com uma matriz 3 X 3 de entradas inteiras obtendo uma cifra de Hill de ordem 3 Em geral para uma cifra de Hill de ordem n agrupamos o texto comum em conjuntos de n letras e codificamos com uma matriz codificadora n X n de entradas inteiras No Exemplo 1 substituimos os inteiros maiores do que 25 pelo seu resto pela divisio por Aritmética modular 25 Essa técnica de trabalhar com os restos é a base de uma parte da Matematica denomi nada aritmética modular Tendo em vista sua importancia em criptografia vamos digredir por um momento para elaborar algumas das principais ideias dessa area Na aritmética modular supomos dado um inteiro positivo m denominado médulo e consideramos iguais ou equivalentes em relagéo ao médulo quaisquer dois inteiros cuja diferenga seja um multiplo inteiro do médulo Mais precisamente temos a definigao seguinte DEFINICAO 1 Dados um ntimero inteiro positivo m e dois inteiros a e b quaisquer dizemos que a é equivalente a b modulo m e escrevemos ab modm se a b for um miultiplo inteiro de m Varias equivaléncias 72 mod5 193 mod 2 125 mod 26 120 mod4 Dado um modulo m arbitrario pode ser provado que qualquer inteiro a é equivalente modulo m a exatamente um dos inteiros 012m1 Esse inteiro é denominado residuo de a médulo m e escrevemos Z 012m 1 para denotar o conjunto dos residuos médulo m Se a for um inteiro ndo negativo entao seu residuo médulo m é simplesmente 0 resto da divisao de a por m Para um inteiro a arbitrario o residuo pode ser encontrado usando o teorema seguinte TEOREMA 10151 Dados um inteiro a e um modulo m quaisquer seja la R resto de m Entdo o residuo r de a médulo m é dado por R sea0 r jmR sea0 e R0 0 sea0 e R0 658 Algebra Linear com Aplicacdes Residuos mod 26 Encontre os residuos médulo 26 de a 87 b 38 e c 26 Solugdo a Dividindo 87 87 por 26 temos um resto de R 9 ou seja r 9 Assim 87 9 mod 26 Soludo b Dividindo 38 38 por 26 dé um resto de R 12 ou seja r 26 12 14 Assim 38 14 mod 26 Solugdo ce Dividindo 26 26 por 26 temos um resto de R 0 Assim 260mod26 4 Na aritmética usual cada nimero nao nulo a tem um reciproco ou inverso multipli cativo denotado por a tal que 1 1 aa a a1 Na aritmética modular temos 0 conceito correspondente definido a seguir DEFINIGAO 2 Dado um ntimero a em Z dizemos que um ntimero a em Z um reciproco ou inverso multiplicativo de a médulo m se aaaa1modm Pode ser provado que se a e m nao tém fatores primos comuns entao a tem um tinico reciproco mdédulo m reciprocamente se a e m tém um fator primo comum entao a nao tem reciproco mddulo m Reciproco de 3 mod 26 O nimero 3 tem um reciproco médulo 26 pois 3 e 26 nao tém fatores primos em comum Esse reciproco pode ser obtido encontrado o nimero x em Z que satisfaz a equagao modular 3x 1 mod 26 Embora existam métodos gerais para resolver tais equagdes modulares isso nao sera abordado pois nos levaria para muito longe do nosso objetivo Contudo como 26 é rela tivamente pequeno essa equacao pode ser resolvida experimentando uma por uma cada solucdo possivel de 0 a 25 Dessa maneira encontramos que x 9 a solugao pois 39271 mod 26 Assim 39 mod 26 Um numero sem reciproco mod 26 O ntimero 4 nao possui reciproco mod 26 pois 4 e 26 tém 2 como fator primo comum ver Exercicio 8 4 Para referéncia futura a Tabela 2 que segue da os reciprocos mdédulo 26 Tabela2 Reciprocos modulo 26 a f135 7 9 11 15 17 19 21 23 25 a 1 9 72115 3 19 7 23 11 5 17 25 1015 Criptografia 659 Cada cifra util deve possuir um procedimento para decifrar Para decifrar as cifras de Hill Decifrando usamos a inversa mod 26 da matriz codificadora Para ser preciso se m for um inteiro positivo dizemos que uma matriz A com entradas em Z é invertivel modulo m se existir uma matriz B com entradas em Z tal que AB BAI modm Suponha agora que A fn a5 Ay seja invertivel médulo 26 e que essa matriz seja usada numa cifra de Hill de ordem 2 Se p Py é um vetor comum entao cAp mod 26 é 0 correspondente vetor cifrado e pAc mod 26 Assim cada vetor comum pode ser recuperado do correspondente vetor cifrado pela mul tiplicagdo a esquerda por A mod 26 Na criptografia é importante saber quais matrizes sao invertiveis médulo 26 e como obter suas inversas Passamos a investigar essas quest6es Na aritmética comum uma matriz quadrada A é invertivel se e s6 se detA 0 ou equivalentemente detA tem um reciproco O teorema seguinte é 0 andlogo desse resul tado em aritmética modular TEOREMA 10152 Uma matriz quadrada A com entradas em Z é invertivel médulo m Se e SO se o residuo de detA médulo m tem um reciproco médulo m Como 0 residuo de detA médulo m tem um reciproco mddulo m se e sé se esse residuo e m nao tém fator primo comum obtemos 0 coroldrio seguinte COROLARIO 10153 Uma matriz quadrada A com entradas em Z é invertivel mé dulo m se e s6 se me o residuo de detA médulo m ndo tém fatores primos comuns Como os tnicos fatores primos de m 26 sao 2 e 13 obtemos 0 corolario seguinte que é Util em criptografia COROLARIO 10154 Uma matriz quadrada A com entradas em Z é invertivel mé dulo 26 se e sé se o residuo de detA médulo 26 nao é divisivel por 2 ou 13 Deixamos para 0 leitor verificar que se a b c d tiver entradas em Z e se o residuo de detA ad bc médulo 26 nao for divisivel por 2 ou 13 entao a inversa de A mod 26 é dada por d b A7 ad bc7 mod 26 2 c a onde ad be é o reciproco do residuo de ad bc mod 26 660 Algebra Linear com Aplicacdes Inversa de uma matriz mod 26 Encontre a inversa de Be A 2 3 modulo 26 Solugdo detA ad be 53623 de modo que pela Tabela 2 ad be 3 9 mod 26 Assim por 2 A 9 36 27 54 1 24 mod 26 2 5s 1s 4s 8 19 Conferindo aa 8 ft 24 93 234 ft mod 26 2 38 19 26 105 o 1f Analogamente A AImod26 4 Decifrando uma cifra de Hill de ordem 2 Decifre a cifra de Hill de ordem 2 dada que foi criptografada pela matriz do Exemplo 6 GTNKGKDUSK Solugao Pela Tabela 1 0 equivalente numérico do texto cifrado é 7 20 14 11 7 11 4 21 19 11 Para obter os pares de texto comum multiplicamos cada vetor cifrado pela inversa de A obtida no Exemplo 6 como segue 1 24 7 487 19 mod 26 m s 1920 436 20 1 2414 278 18 d 26 n 321 4 mod 26 1 24 7 271 11 d 26 05 5 mod 26 1 24 4 508 14 mod 26 s 1921 L431 fas 1 24 19 283 23 d 26 i A 5 mod 26 Pela Tabela 1 os equivalentes alfabéticos desses vetores sao ST RI KE NO WW que fornecem a mensagem STRIKE NOW 4 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 1015 Criptografia 661 Como o objetivo de criptografar mensagens e informagées é impedir que oponentes Decifrando uma cifra de Hill descubram seu contetido os criptografos ttm uma preocupacgao com a seguranca de suas cifras ou seja quao facilmente podem ser decifradas pelos oponentes ou quebradas Concluimos esta secdo discutindo uma técnica para quebrar cifras de Hill Suponha que consigamos algum texto comum e o cifrado correspondente de uma men sagem de nosso oponente Por exemplo digamos que examinando algum texto cifrado in terceptado fomos capazes de deduzir que a mensagem é uma carta que comega com DEAR SIR Mostremos que com alguns poucos desses dados pode ser possivel determinar a matriz decodificadora de um cifra de Hill e consequentemente ter acesso ao resto da mensagem E um resultado basico em Algebra Linear que uma transformagao fica completamente determinada por seus valores numa base Esse principio sugere que se tivermos uma cifra de Hill de ordem ne se P P2P forem vetores comuns linearmente independentes cujos correspondentes vetores cifrados ApAp Ap sejam conhecidos entao disporemos de informacao suficiente para determinar a matriz A e portanto sua inversa A mod m O préximo teorema cuja prova é discutida nos exercicios fornece uma maneira de fazer isso TEOREMA 10155 Determinando a matriz decodificadora Sejam pP5P vetores comuns linearmente independentes e sejamcCC os correspondentes vetores cifrados de uma cifra de Hill de ordem n Se T P T P P T P T T T for a matrizn X nde vetores coluna p p5 P Se T C T c C T for amatrizn X n de vetores linha ci CG Lee c entdo a sequéncia de operacées ele mentares com as linhas que reduz C a I transforma P em A Esse teorema nos diz que para encontrar a transposta da matriz decodificadora Al devemos encontrar uma sequéncia de operag6es elementares com as linhas que reduza C a Je entdo aplicar essas mesmas operacées com as linhas de P O proximo exemplo ilustra um algoritmo simples para fazer isso Usando o Teorema 10155 Foi interceptada a cifra de Hill de ordem 2 IOSBTGXESPXHOPDE Decifre essa mensagem sabendo que ela comega com a palavra DEAR 662 Algebra Linear com Aplicacdes Solugao Pela Tabela 1 0 equivalente numérico do texto comum conhecido é DE AR 45 1 18 e o equivalente numérico do texto cifrado correspondente é IO SB 9 15 192 de modo que os vetores comuns e correspondentes vetores cifrados sfo 4 9 C Pie ts Las 1 19 og P 1 8 2 2 Queremos reduzir cuf 8 c 119 2 al por operag6es elementares com as linhas e simultaneamente aplicar essas operagOes a pal e 5 pP 1 18 para obter A a transposta da matriz decodificadora Isso pode ser obtido adjuntando P adireita de C e aplicando as operag6es com as linhas a matriz resultante C P até que o lado esquerdo esteja reduzido a J A matriz final ento ter4 o formato J A y As contas podem ser feitas como segue 9 15 4 5 Formamos a matriz C P 19 2 1 18 1 45 12 15 oo 1 Multiplicamos a primeira linha por 9 3 19 2 1 18 1 19 12 15 Substituimos 45 pelo seu residuo médulo 26 19 2 1 18 1 19 12 15 Co Somamos 19 vezes a primeira linha 4 segunda 0 359 227 267 1 19 120 15 Substituimos as entradas da segunda linha pelos 0 5 7 19 seus residuos médulo 26 1 19 12 15 1 Multiplicamos a segunda linha por 5 21 0 1 147 399 1 19 12 15 Substituimos as entradas da segunda linha pelos 0 1 17 9 seus residuos médulo 26 1 0 311 156 re Somamos 19 vezes a segunda linha a primeira 0 1 17 9 1 0 1 0 a Co Substituimos as entradas da primeira linha pelos 0 1 17 9 seus residuos médulo 26 1015 Criptografia 663 Assim 1 0 A T a 7 e portanto a matriz decodificadora é Ate 1 17 10 9 Para decifrar a mensagem agrupamos primeiro 0 texto cifrado em pares e encontramos os equivalentes numéricos de cada letra como segue IO SB TG XE SP XH OP DE 9 15 19 2 20 7 24 5 19 16 24 8 15 16 45 Em seguida multiplicamos os vetores cifrados sucessivamente pela esquerda por Ae encontramos os equivalentes alfabéticos dos pares de texto comum resultantes 1 17 9 4 D 0 9LI5 5 E 1 17 19 1 A 0 9 2 18 R 1 1720 9 I 0 9fL 7 i K 1 17 24 5 E 0 9 5 19 S mod 26 1 17f19 5 E 0 916 14 N 1 1724 4 D 0 9 8 20 T 1 17fis 1 A 0 916 14 N 1 I7f 4 fil K 0 9L 5 19 S Finalmente construimos a mensagem a partir dos pares de texto comum DE AR IK ES EN DT AN KS DEAR IKE SEND TANKS Leitura recomendada Os leitores interessados em aprender mais sobre criptografia podem consultar os livros listados a seguir O primeiro é elementar e 0 segundo é mais avangado 1 ABRAHAM SINKOV Elementary Cryptanalysis a Mathematical Approach Mathematical Association of America 2009 2 ALAN G KONHEIM Cryptography a Primer New York WileyInterscience 1981 664 Algebra Linear com Aplicacdes Conjunto de exercicios 1015 1 Em cada parte obtenha a cifra de Hill da mensagem gem 110101111 Comegamos separando a mensagem em ter DARK NIGHT Vy yty yt nos para formar os trés vetores 1 0 1 e tomamos com matriz codificadora dada 1 10 0 1 1 1 3 4 3 a 2 4 b 1 2 0 1 1 como a matriz codificadora 1 1 1 2 Em cada uma das partes determine se a matriz é invertivel modulo 26 Se for encontre uma inversa médulo 26 e confira a Encontre a mensagem codificada seu resultado verificando que AA AA I mod 26 b Encontre a inversa médulo 2 da matriz codificadora e 9 1 341 8 1 verifique que ela decodifica a mensagem codificada en A b A A a b 5 c i 9 contrada na parte a 8 Se além do alfabeto padrao fossem permitidos 0 ponto a vir d A k e A f A I 1 gula e o ponto de interrogacao teriamos 29 letras disponiveis 1 7 6 2 1 3 para texto comum e cifrado e toda a aritmética matricial seria 3 Decodifique a mensagem feita médulo 29 Sob que condig6es uma matriz cujas entradas sao de Z seria invertivel médulo 29 SAKNOXAOIX 9 Substituindo sucessivamente os valores x 01225 na sabendo que é uma cifra de Hill com matriz codificadora equago modular 4x 1 mod 26 conclua que essa equagao 41 nao possui soluc4o em Z 10 a Sejam P e Cas matrizes do Teorema 10155 Mostre que PCAT 4 E interceptada uma cifra de Hill de ordem 2 que comeca com b Para provar o Teorema 10155 sejam E E Eas Os pares matrizes elementares que correspondem as operacées SL HK elementares com as linhas que reduzem C a ou seja Encontre as matrizes codificadora e decodificadora sabendo E EXEC 1 que a verséo comum da mensagem comega com a palavra Mostre que ARMY EEEP AT 5 Decodifique a cifra de Hill de ordem 2 do que segue que a mesma sequéncia de operagGées de LNGIHGYBVRENJYQO linha que reduz C a converte P a A sabendo que as quatro ultimas letras do texto comum sao 11 a SeA for a matriz codificadora de uma cifra de Hill de ATOM ordem n mostre que 6 Decodifique a cifra de Hill de ordem 3 Al Cc P mod 26 HPAFQGGDUGDDHPGODYNOR onde C e P sao as matrizes definidas no Teorema 10155 sabendo que as nove primeiras letras do texto comum sao b Em vez de usar 0 Teorema 10155 como no texto en IHAVECOME contre a matriz decodificadora A do Exemplo 8 usando 7 Todos os resultados desta seco podem se generalizados para oO resultado na parte a e a Equagao 2 para calcular 0 caso em que 0 texto comum for uma mensagem bindria ou c Obser vado embora esse método seja pratico com seja uma sequéncia de 0 e 1 Nesse caso usamos a aritmética cifras de Hill de ordem 2 o Teorema 10155 mais efi modulo 2 em vez da médulo 26 Assim por exemplo 1 1 ciente com cifras de Hill de ordem n se n 2 0 mod 2 Suponha que queiramos criptografar a mensa Sa Secao 1015 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos Em cada exercicio vocé devera ler a documentacAo pertinente do utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é recurso particular que estiver utilizando O objetivo destes exer MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também cicios é fornecer uma competéncia basica na utilizagéo do seu pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma recurso computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes calculadora cientifica com funcionalidades de Algebra Linear exercicios vocé estara capacitado a usar seu recurso computacio 1016 Genética 665 nal para resolver muitos dos problemas nos conjuntos de exerci Use um computador para calcular detP e detPmod cios regulares ncomn 23 15 eem seguida use esses resultados T1 Dizemos que um inteiro positivo é relativamente primo com para construir uma conjectura um outro inteiro positivo se os dois inteiros nao tiverem fator c Use os resultados da parte a para provar a validade de comum a nao ser 1 Dado um inteiro positivo n seja S sua conjectura Sugestdo some as primeiras m 1 linhas adaacoma a aa0con de P com a Ultima linha e use 0 Teorema 223 O que junto de todos os inteiros positivos menores do que n que séo esses resultados implicam sobre a inversa de P mod n relativamente primos com n Por exemplo se n 9 entao T2 Dado um inteiro positivo n o nimero de inteiros positivos Sy a44 ag 12 45 7 8 menores do que ne relativamente primos com n é denomi nado a fundo Phi de Euler de n e é denotada por gn Por a Construa uma tabela consistindo emneS com exemplo 6 2 ja que somente dois inteiros positivos a n 23 15 e depois calcule saber 1 e 5 séo menores do que 6 e nao tém fator comum m m com 6 a a mod n a Usando um computador calcule e imprima a lista de Pp p kl kl todos os inteiros positivos que sao menores do que ne re lativamente primos com n com n 2 3 25 Entao em cada caso Faga uma conjectura para n 15 e prove oan use esses inteiros para determinar os valores de gn com a validade de sua conjectura Sugestdo use o fato de que x Z n 23 25 Vocé consegue descobrir algum padrao se a for relativamente primo com n entio n a também P nos resultados é relativamente primo com n we b Pode ser mostrado que se p PD P3P forem to b Dado um inteiro positivo n e 0 conjunto S seja P a ma Lo hm dos os fatores primos distintos de n entao trizm Xm 1 I 1 1 a a a a ay gin n1111 P P P P a a a oc an a 2 3 m Pp a a as a a Por exemplo como 2 3 sao os fatores primos distintos my Dobos de 12 temos Am Am Ay 0 Ans An9 1 1 m m m m g12 12 l l1 4 an ay a us Gn2 Gy1 2 3 de modo que por exemplo o que confere com o fato de 1 5 7 11 serem os tnicos 124578 inteiros positivos menores do que 12 relativamente pri mos com 12 Usando um computador imprima todos os 245 7 8 1 fatores primos den com n 2 3 25 Em seguida Py 45 7 8 1 2 calcule gm usando a férmula dada e compare a lista 5 7 8 1 2 4 com seus resultados na parte a 7 8 12 4 5 8 12 4 5 7 1016 Genética Nesta secao investigamos a propagacao de uma caracteristica herdada em sucessivas gerac6es calculando poténcias de uma matriz PREREQUISITOS Autovetores e autovalores Diagonalizagao de uma matriz CompreensAo intuitiva de limites Nesta secao examinamos a hereditariedade de caracteristicas de animais ou plantas Va Caracteristicas hereditarias mos supor que a caracteristica hereditaria sob consideragao seja governada por um con junto de dois genes que denotamos por A e a Por hereditariedade autossémica cada in 666 Algebra Linear com Aplicacdes dividuo de cada sexo possui dois desses genes e os possiveis pares sao AA Aa e aa Esse par de genes é denominado gendtipo do individuo e determina como 0 carater controlado por esses genes se manifesta no individuo Por exemplo nas bocasdeleao um conjunto de dois genes controla a cor da flor O gendtipo AA produz flores vermelhas o gendtipo Aa produz flores roxas e 0 genotipo aa produz flores brancas Nos humanos a cor dos olhos é controlada por hereditariedade autoss6mica Os genotipos AA e Aa tém olhos cas tanhos e 0 genotipo aa tem olhos azuis Nesse caso dizemos que 0 gene A domina o gene a ou entao que o gene a é recessivo em relacao ao gene A pois 0 genotipo Aa apresenta a mesma caracteristica externa que 0 genotipo AA Além da hereditariedade autoss6mica também discutiremos a hereditariedade liga da ao sexo Nesse tipo de hereditariedade 0 macho da espécie possui somente um dos dois possiveis genes A ou a e a fémea possui um par de dois genes AA Aa ou aa Nos humanos o daltonismo a calvicie hereditaria a hemofilia e a distrofia muscular para citar somente alguns sao caracterfsticas controladas por hereditariedade ligada ao sexo A seguir explicamos a maneira pela qual os genes dos pais sao passados para seus descendentes nos dois tipos de hereditariedade Construimos modelos matriciais que dao OS provaveis gendtipos dos descendentes em termos dos genotipos dos pais e usamos esses modelos matriciais para acompanhar a distribuigao genotipica de uma populaao através de sucessivas gerac6es Hereditariedade autossé6mica Nahereditariedade autoss6mica um individuo herda um dos genes de cada par de genes dos seus pais para formar seu proprio par Pelo que sabemos é uma questao de probabi lidade qual dos dois genes os pais passam aos filhos Assim se um dos pais é do geno tipo Aa é igualmente provavel que o descendente herde o gene A ou 0 gene a daquele genitor Se um dos pais do genotipo aa e 0 outro do genotipo Aa o descendente sem pre recebera um gene a do genitor aa e recebera com igual probabilidade ou um gene A ou um gene a do genitor Aa Consequentemente cada descendente tera chances iguais de ser do gendtipo Aa ou aa Na Tabela 1 listamos as probabilidades dos possiveis genotipos dos descendentes para todas as possiveis combinacées de gendtipos dos pais Tabela 1 Genotipo do Genotipo dos pais descendente AAAA AAAa AAaa AaAa Aaaa aaaa AA 1 5 0 i 0 0 Aa 0 5 1 5 5 0 aa 0 0 0 i 5 I Distribuigao dos gendtipos numa populacgao Suponha que um agricultor tenha uma grande populagao de plantas consistindo em algu ma distribuigdo de todos os trés possiveis genétipos AA Aa e aa O agricultor deseja im plementar um programa de criaga4o no qual cada planta da populacao é sempre fertilizada por uma planta do gendtipo AA Queremos deduzir uma expresso para a distribuigao dos trés gen6dtipos na populaao depois de um nimero qualquer de geracées Comn 0 1 2 escrevemos a fragao de plantas do genotipo AA na enésima geracao b fragao de plantas do genétipo Aa na enésima geracao c fragao de plantas do genotipo aa na enésima geragao 1016 Genética 667 ASSimM dy Dp Cy eSpecificam a distribuiao inicial dos gendétipos Também temos que abc1 comn012 Pela Tabela 1 podemos determinar a distribuig4o de genotipos em cada geragao a partir da distribuigao na geracao precedente pelas equacdes a ay1 tb 1 b 5b1 n12 1 c 0 Por exemplo a primeira dessas trés equag6es afirma que nesse programa de criacao todos os descendentes de uma planta do genotipo AA serao do genétipo AA e metade dos descendentes de uma planta do gen6tipo Aa sera do genotipo AA As Equacgoes 1 podem ser escritas em notagao matricial como x Mx n12 2 onde a a l 3 0 x b x b e MJ0 1 Ch Cn 1 0 0 0 Observe que as trés colunas da matriz M sao iguais as trés primeiras colunas da Tabela 1 Da Equagao 2 segue que x Mx Mx Mx 3 Consequentemente se conseguirmos encontrar uma expressao explicita de M podere mos usar 3 para encontrar uma expressao explicita de x Para encontrar uma expressao explicita de M primeiro diagonalizamos M ou seja procuramos uma matriz invertivel P e uma matriz diagonal D tais que M PDP 4 Com essa diagonalizacao teremos entao ver Exercicio 1 MPDP comn12 onde A 0 0 OF M0 0 0 0 A 0 O 0 ASO 60 D 0 0 0 nr 0 0 0 AN A diagonalizacao de M é obtida encontrando os autovalores e correspondentes autoveto res Eles sao verifique Autovalores A 1 A 5 A 0 1 1 1 Autovetores associados v 0 vl v2 0 0 1 Assim na Equagao 4 temos A 0 0 1 0 0 1 D0 A O10 5 0 0 0 A 00 0 668 Algebra Linear com Aplicacdes e 1 1 1 Pvvv0 l 2 0 0 1 Portanto 1 1 1 1 0 OF1 1 1 a x PDPx 0 1 20 G Oo 0 1 2d 0 0 l1i0 oO o0 O 1 ce ou entao a 1 1G 1G fa n b 1 1yr x 0 3 Py C 0 0 0 Co n n1 dy by e G bo GY eo n n1 5 by G 0 Lembrando que a b c 1 obtemos n n1 a 15by G Ot mah 9 Cc 9 Essas sao formulas explicitas para a fracgao dos trés genétipos na enésima geracao de plan tas em termos das fragdes de genotipos iniciais Como 3 tende a zero quando n tende ao infinito segue dessas equacgdes que a 1 b 90 c 0 quando n tende ao infinito Isso mostra que no limite todas as plantas da populacao serao do genotipo AA Modificando o Exemplo 1 Podemos modificar o Exemplo supondo que cada planta da populacgdo é sempre ferti lizada por uma planta do seu préprio genotipo em vez de sempre ser fertilizada por uma planta do gendétipo AA Usando a mesma notaa4o do Exemplo 1 teremos entao que x MO com 1 1 7 0 1 Mj0 5 0 1 0 1 As colunas dessa nova matriz M sao iguais as colunas correspondentes a pais dos genoti pos AAAA AaAa e aaaa na Tabela 1 1016 Genética 669 Os autovalores de M sao verifique 1 A 1 A 1 AB 35 O autovalor A tem multiplicidade dois e seu autoespago correspondente bidimen sional Escolhendo dois autovetores linearmente independentes v e v nesse autoespaco e um Unico vetor v associado ao autovalor simples A S obtemos verifique 1 0 1 v 0 v0 v2 0 1 1 As contas com x sao x Mx Pp Px 1 1 0 ifft 0 Oo ffl x OF Fag 0 0 20 1 0 o 1 bo 12 0 1 10 0 5 0 5 0 Co 1 1 tl 137 5 9 ao n 0 Gy of m 1 1 tl Co 0 3G 1 Assim 1 1rl a Ay E 5 bo b 4b n12 6 1 1rl Cn o 3 o No limite quando n tende ao infinito 3 0e Gy 0 de modo que a a 5b b 90 C Cy iby Assim fertilizando cada planta com uma de seu proprio genétipo temos uma populacao que no limite contém somente os genotipos AAeaa 4 Existem muitas doengas genéticas governadas por hereditariedade autossOmica nas quais Doencas recessivas um gene normal A domina um gene anormal a O genotipo AA é um individuo normal autossémicas 0 gendtipo Aa é um portador da doenga mas nao é por ela afetado e 0 gendtipo aa é afetado pela doenga Nos humanos muitas vezes essas doengas genéticas sao associadas aum grupo racial especifico por exemplo fibrose cistica predominante entre brancos anemia falciforme predominante entre negros talassemia predominante entre pessoas de origem da regiao do Mar Mediterraneo e doenga de TaySachs predominante entre judeus europeus ocidentais Suponha que um criador de animais tenha uma populacdo animal portadora de uma doenga recessiva autossOmica Suponha também que os animais afligidos pela doenga nao sobrevivam até a maturidade Uma maneira possivel para 0 criador controlar tal doena é sempre cruzar qualquer fémea independentemente de seu gendtipo com um macho normal Dessa maneira todos os futuros descendentes terao os dois pais normais um cruzamento AAAA ou um pai normal e uma mae portadora um cruzamento AAAa Nao pode haver cruzamentos AAaa pois animais do gendtipo aa nao chegam a maturi 670 Algebra Linear com Aplicacdes dade Nesse tipo de programa de cruzamentos nao havera descendentes futuros doentes embora ainda haja portadores em geracoes futuras Determinemos agora a fragao de portadores nas gerac6es futuras Escrevemos a x n12 b onde a fragdo da populacao de gendtipo AA na enésima geracao b fragao da populacdo de gendtipo Aa portadores na enésima geracao Como cada descendente tem pelo menos um dos pais normais podemos considerar esse programa de cruzamentos controlados como um de cruzamento constante com 0 genétipo AA como no Exemplo 1 Assim a transiao de distribuigao de gendtipo de uma geracao para a seguinte é governada pela equacao x Mx n12 em que 1 i 0 3 Conhecendo a distribuicao inicial xa distribuigdo de genétipos na enésima geracao é portanto dada por x Mx n12 A diagonalizagao de M é feita com facilidade ver Exercicio 4 e leva a 1 11 0 1 1 a n np 1L0 0 x PDP x 172 0 10 5 0 1 bo 12 12 1 5 by 5 a 1 7 Ly O ay Jb 3 by Como a b 1 obtemos a 14by n12 7 b 3 bo Assim quando n tende ao infinito resulta a 1 b 0 de modo que no limite nao havera mais portadores na populacgao A partir de 7 vemos que 1 b 351 n12 8 ou seja a fragéo de portadores em cada geracao é a metade da fracgdo de portadores na geracao precedente Seria interessante também investigar a propagacao de portadores com cruzamentos aleatorios quando dois animais cruzam independentemente de genotipo In felizmente esses cruzamentos aleatdérios levam a equacg6es nao lineares e as técnicas desta secdo nao sao aplicaveis Contudo com outras técnicas pode ser mostrado que com cruzamento aleatorio a Equacao 8 é substituida por b b n12 9 1 35b 1016 Genética 671 Como um exemplo numérico suponha que um criador comece com uma populacao na qual 10 dos animais sejam portadores Com o programa de cruzamento controlado go vernado pela Equacao 8 a porcentagem de portadores pode ser reduzida a 5 em uma geracdo mas com cruzamento aleatério a Equacao 9 prevé que 95 da populagao é portadora depois de uma geracao ou seja b 0095 se b 010 Além disso com cruzamento controlado jamais havera descendente doente mas com cruzamento alea tério pode ser mostrado que em cada 400 descendentes vai nascer doente se 10 da populacao for portadora Como mencionamos na introdugao na hereditariedade ligada ao sexo o macho possui He rrediitariedade ligada ao um gene A ou a e a fémea possui dois genes AA Aa ou aa O termo ligada ao sexo sexo é usado porque esses genes sao encontrados no cromossomo X dos quais o macho tem um e a fémea tem dois A hereditariedade desses genes como segue um descendente macho recebe um dos dois genes de sua mae com igual probabilidade e um descendente fémea recebe 0 Unico gene de seu pai além de um dos dois genes de sua mae com igual probabilidade Os leitores familiares com probabilidade basica podem verificar que esse tipo de hereditariedade leva as probabilidades de gen6tipos da Tabela 2 Tabela 2 Genotipo dos pais pai mae AAA AAa Aaa aAA aAa a aa A 1 i 0 1 1 0 2 2 x o a 0 5 1 0 5 1 OS ay 5 AA 1 1 0 0 0 0 8 2 a o QO Aa 0 1 1 1 1 0 oO 2 2 1s aa 0 0 0 0 5 1 Vamos discutir um programa de procriagao consanguinea relacionada com heredita riedade ligada ao sexo Iniciando com um macho e uma fémea selecionamos dois de seus descendentes aleatoriamente um de cada sexo e os cruzamos em seguida selecionamos dois dos descendentes resultantes e os cruzamos e assim por diante Tal procriagao con sanguinea normalmente utilizada com animais Entre humanos esses casamentos entre irmaos foram usados pelos mandatarios do Egito antigo para manter pura a linhagem real O par original de machofémea pode ser de um de seis tipos correspondentes as seis colunas da Tabela 2 a saber A AA AAa Aaa aAA aAa a aa Os pares de irm4os cruzados em geracOes sucessivas tém certas probabilidades de ser um desses seis tipos Para calcular essas probabilidades escrevemos comn 12 a probabilidade de o par de irmaos na enésima geracao ser do tipo A AA b probabilidade de o par de irmos na enésima geracao ser do tipo A Aa c probabilidade de o par de irmdos na enésima geracao ser do tipo A aa d probabilidade de o par de irm4os na enésima geracao ser do tipo a AA é probabilidade de o par de irmdos na enésima geracao ser do tipo a Aa J probabilidade de o par de irmaos na enésima geracao ser do tipo a aa 672 Algebra Linear com Aplicacdes Com essas probabilidades formamos o vetor coluna a b x 1 n012 en tn Pela Tabela 2 segue que x Mx n12 10 onde A AA A Aa Aaa aAA aAa aaa 1 4 0 0 0 0 A AA 0 4 0 I i 0 A Aa uM 0 0 0 0 0 A aa 0 i 0 0 0 0 a AA 1 1 0 4 1 0 q 0 a Aa 0 0 0 0 i 1 a aa Por exemplo suponha que o par de irmaos na n 1ésima geragao seja do tipo A Aa Entaéo o descendente macho sera do genotipo A ou a com igual probabilidade e a des cendente fémea sera do genétipo AA ou Aa com igual probabilidade Como um dos des cendentes machos e uma das descendentes fémeas sera escolhido ao acaso para cruzar 0 préximo par de irm4os sera de um dos tipos A AA A Aa a AA ou a Aa com probabilidades iguais Assim a segunda coluna de M contém ee em cada uma das quatro linhas correspondentes a esses quatro pares de irmaos Ver Exercicio 9 para as demais colunas Como no nosso exemplo anterior segue de 10 que x Mx n12 11 Com uma conta demorada podemos obter os autovalores e autovetores de M que sao vy 1 AN 1 h4 hy 3 4s 04 V5 he 40 V5 1 0 1 1 0 0 2 6 0 0 l 3 Vv 0 V 0 V3 1 V4 3 0 0 2 6 0 1 1 1 3 V5 y3 V5 1 1 y1 V5 y1 V5 v VvY 1 i145 415 1 1 y3 V5 3 V5 1016 Genética 673 A diagonalizagao de M leva a x PDPx n12 12 onde 1 0 1 1 43V5 4345 0 O 2 6 1 1 p 71 3 i1V5 31V5 10 0 1 3 GelVv5 415 0 O 2 6 1 1 0 1 1 435 43V5 1 0 0O 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 D 12 0 0 O 3 0 0 00 0 0 av5 0 00 0 0 0 4a V5 2 1 2 1 3 3 3 3 0 1 2 1 2 0 3 3 3 3 0 1 a L 1 0 reap 24 72 12 24 0 S4V5 EV5 gV5 HS 4V5 0 1 1 1 1 0 wSV5 3V5 3V5 ySV5 0 Nao escrevemos o produto matricial de 12 por ser um pouco desajeitado Contudo se for dado um vetor especifico x os cdlculos para x nao sao muito incémodos ver Exercicio 6 Como os valores absolutos das tiltimas quatro entradas na diagonal de D sao menores do que 1 vemos que quando n tende ao infinito 100 0 0 0 0 100 0 0 h 000 0 0 0 D 000 0 0 0 000 0 0 0 000 0 0 0 Segue da Equagao 12 que 100 0 0 0 0 100 0 0 x Pp 000 0 0 0 px 000 0 0 0 000 0 0 0 000 0 0 0 674 Algebra Linear com Aplicacées Efetuando a multiplicagao matricial do lado direito obtemos verifique ay by icy dy Fey 0 n 0 1 3 x 0 13 0 fot 3d C 34 Feo Isso mostra que no limite todos os pares de irm4os serao do tipo A AA ou do tipo a aa Por exemplo se os pais iniciais forem do tipo A Aa ou seja bp 1e dy cy dy fo 0 entéo quando n tende ao infinito 2 3 0 0 x 0 0 1 3 Assim no limite ha uma probabilidade de que os pares de irm4os serao A AA e uma probabilidade t que serao a aa Conjunto de exercicios 1016 1 Mostre que se M PDP entao M PDP com 6 Na secao sobre hereditariedade ligada ao sexo suponha que n12 Os pais iniciais sejam de um dos seis pares genotipicos possi 2 Suponha no contexto do Exemplo 1 que as plantas sejam veis com igual probabilidade ou seja suponha que sempre fertilizadas por uma planta do genétipo AA Deduza 1 férmulas para as fragdes de plantas dos genotipos AA Aa e aa na enésima geracao Também encontre o limite da distribuigao 6 genotipica quando n tende ao infinito o i 3 Suponha no contexto do Exemplo 1 que as plantas iniciais x to sejam fertilizadas pelo genotipo AA as plantas da primeira gerac4o sejam fertilizadas pelo genotipo Aa as plantas da se 6 gunda geracao sejam fertilizadas pelo genétipo AA e que seja mantida essa alternancia Deduza formulas para as fragdes de wo wo plantas dos genotipos AA Aa e aa na enésima geragao Usando a Equagao 12 calcule x e também 0 limite de x 4 Encontre os autovalores e autovetores da matriz M na sec4o quando n tende a0 infinito em que discutimos doengas recessivas autoss6micas e verifi 7 Mostre a partir da Equacao 13 que para a hereditariedade que a Equaciio 7 ligada ao sexo com procriag4o consanguinea a probabilidade 5 Suponha que um criador tenha uma populacao animal na qual de ae le limite 4 par de ae S see AA igual a pro 25 seja portadora de uma doenga recessiva autossOmica Se Porgao genes ma Populagao mnicia o criador permitir aos animais cruzar sem levar em conta 0 seu 8 Na hereditariedade ligada ao sexo suponha que nenhuma das genotipo use a Equacio 9 para calcular o ntimero de gera fémeas do gendétipo Aa chegue a maturidade Para a procria des que sera necessario para a porcentagem dos portadores gao consanguinea os pares de irmaos possiveis sao entao cair de 25 para 10 Se o criador implementar em vez dis AAA Aaa aAA e aaa sO 0 programa de cruzamentos controlados determinado pela Equaciio 8 qual sera a porcentagem de portadores depois do Encontre a matriz de transigéo que descreve como a distribui mesmo ntimero de geracdes cao genotipica muda em uma geragao 9 Deduza a matriz M da Equacao 10 a partir da Tabela 2 1016 Genética 675 Sa Secao 1016 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos T2 a Dados a matriz utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também 1 0 l 1 4 3 V5 4 3 V5 pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma 0 0 2 6 1 1 calculadora cientifica com funcionalidades de Algebra Linear Em 0 0 1 3 1 1 J5 1 1 J5 cada exercicio vocé devera ler a documentagao pertinente do re P 1 1 curso particular que estiver utilizando O objetivo destes exercicios 0 0 l 3 gl V5 g1 V5 é fornecer uma competéncia basica na utilizag4o do seu recurso 0 0 2 6 1 1 computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes exercicios 0 1 1 l 1 3 J5 1 3 J5 vocé estaré capacitado a usar seu recurso computacional para re solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercicios regulares da Equaciio 12 e o limite T1 a Use um computador para verificar que esto corretos os autovalores e autovetores de 10 0 0 0 0 0 100 0 0 1 7 00 0 0 10 00 0 0 0 1 1 lim D 04 014 0 n 000 0 0 0 0000 1 0 0 00 0 0 0 M 000000 0 00 00 0 I 1 O 1 0 use um computador para mostrar que 0000 4 1 2 1 2 1 4 13 3 3 3 0 dados no texto 9 0 0 0 0 0 b Comecando com x Mx e a hipdtese de que lim M 00000 90 n 00 0 0 0 0 lim x x 000000 o i 2 1 2 4 exista devemos ter 303 3 3 limx Mlimx ow x Mx b Use um computador para calcular M com n 10 20 nee noe 30 40 50 60 e 70 e em seguida compare seus resulta Isso sugere que x possa ser resolvido diretamente usando dos com o limite da parte a a equacao M Ix 0 Use um computador para resol ver a equacéo x Mx sendo a b c x d e f eatbctdef 1 compare seu resultado com a Equacao 13 Explique por que a solugao de M Dx Ojuntocomatbctdetf1 nao é suficientemente especifica para determinar 0 lim x 676 Algebra Linear com Aplicacdes 1017 Crescimento populacional por faixa etaria Nesta seao utilizamos o modelo matricial Leslie para investigar 0 crescimento ao longo do tempo de uma populagao feminina que esta dividida em faixas etarias Em seguida determinamos o limite da distribuigdo etaria e da taxa de crescimento populacional PREREQUISITOS Autovetores e autovalores Diagonalizacgéo de uma matriz CompreensaAo intuitiva de limites Um dos modelos de crescimento populacional mais comumente usado pelos demodgrafos é o assim chamado modelo Leslie desenvolvido na década de 1940 Esse modelo descre ve 0 crescimento da parte fémea de uma populagao animal ou humana Nesse modelo as fémeas sao divididas em faixas etarias de igual duracgao Para sermos especificos suponha que a idade maxima atingida por qualquer fémea da populagao seja L anos ou alguma outra unidade de tempo Se dividirmos a populacgao em n faixas etarias entao cada faixa tera Ln anos de duragaéo Numeramos as faixas etarias de acordo com a Tabela 1 Tabela 1 Faixa etaria Intervalo de idade 1 0 Ln 2 Ln 2L n 3 2Lib n 3L n n1l 1 2L n n 1Ln n 1Ln L Vamos supor que seja conhecido o nimero de fémeas em cada uma das n faixas no ins tante t 0 Em particular vamos supor que ha x fémeas na primeira faixa x fémeas na segunda faixa e assim por diante Com esses n nimeros formamos um vetor coluna x 0 x4 x x que denominamos vetor de distribuigao etdria inicial A medida que 0 tempo avanga o nimero de fémeas dentro de cada uma das n faixas muda em virtude de trés processos biol6gicos nascimento morte e envelhecimento Des crevendo esses trés processos quantitativamente veremos como projetar o futuro do vetor de distribuiao etaria inicial A maneira mais facil de estudar 0 processo de envelhecimento é observar a populacgao a intervalos discretos de tempo digamos f14O modelo Leslie requer que 1017 Crescimento populacional por faixa etaria 677 a duracgao entre dois tempos de observacao sucessivos seja igual a duragao da faixa etaria Portanto colocamos tl 90 t Ln t 2Ln t kLn Com essa hipotese todas as fémeas na faixa etaria i 1 no instante f estavam na faixa i no instante f Os processos de nascimento e morte entre dois tempos de observagGes sucessivas podem ser descritos por meio dos parametros demograficos seguintes O numero médio de filhas nascidas a s Gi1 2 por fémea durante o tempo em que i Le 2 aan poe ela esta na faixa etaria i b A fragao de fémeas da faixa etaria i 12 i 1 i que se espera que va sobreviver e i Lee Na pers nee passar para a faixa etaria i 1 Pelas definigdes temos que i a 90 comi12n GO0b 1 comi12n1 Note que nao permitimos que qualquer b seja nulo pois nesse caso nenhuma fémea so breviveria a faixa etdria i Também vamos supor que pelo menos um dos a seja positivo de modo que ha algum nascimento Qualquer faixa etaria em que o valor correspondente de a for positivo é denominada faixa etdria fértil k ow sie Em seguida definimos o vetor x de distribuicao etdria no instante t por k xe x k 2 x Xn k z 2 An eos em que x é o numero de fémeas na faixa etdria i no instante t Agora no instante t as fémeas na primeira faixa etaria sao exatamente as filhas nascidas entre os instantes f t Assim podemos escrever o nimero de o numero de o numero de filhas nascidas filhas nascidas filhas nascidas o numero de s de fémeas na de fémeas na de fémeas na fémeas na 2s zs a ss faixaetéria 4 faixaetdaria 4 faixaetaria faixa etaria 1 1 entre os 2 entre os n entre os no instante instantes instantes instantes t et et et 678 Algebra Linear com Aplicacdes ou matematicamente k1 1 1 X aX ax be ax As fémeas na faixa etaria i 1 i 12 1 no instante sio aquelas fémeas que estavam na faixa etdaria i no instante t e que ainda vivem no instante t Assim a fragao de o nimero de fémeas da faixa o numero de fémeas na faixa etaria i que fémeas na etériai 1nof sobrevive e passa faixa etaria i instante t para a faixa no instante etdriai ou matematicamente xO bx 12n1 2 Usando notacao matricial podemos escrever as Equacées 1 e 2 como 1 x a a a a a w 1 Xy b 0 O O 0 xX 10 b 0 0 Of fx Pu 0 0 0 Bb 0 x ou mais compactamente como xk Lx k12 3 onde L a matriz de Leslie G4 4 Gz ott A Gy b 0 0 0 0 L0 b 0 O 0 4 0 0 0 b 90 Pela Equagao 3 obtemos xO Lx xO LX Px x Lx Lx 5 xO Lx TO Assim se conhecermos a distribuigdo etaria inicial x ea matriz de Leslie L poderemos determinar a distribui4o etaria das fémeas em qualquer tempo posterior Distribuigao etaria de fémeas em animais Suponha que a idade maxima atingida pelas fémeas de uma certa populacao animal seja de 15 anos e que a populacao seja dividida em trés faixas etarias de mesma duracao de cinco anos Suponha que a matriz de Leslie dessa populacao seja 0 4 3 L 5 0 0 1 0 7 0 1017 Crescimento populacional por faixa etaria 679 Se inicialmente havia 1000 fémeas em cada uma das trés faixas etarias entao pela Equa ao 3 temos 1000 x 1000 1000 0 4 3 1000 7000 x Lx 4 0 0 1000 500 0 i 0 1000 250 0 4 3 7000 2750 x LxX 4 0 0 500 3500 0 i 0 250 125 0 4 3 2750 14375 x Lx 3 0 0 3500 1375 0 i 0 125 875 Assim depois de 15 anos ha 14375 fémeas entre 0 e 5 anos 1375 fémeas entre 5 e 10 anos e 875 fémeas entre 10e 15 anos 4 Embora a Equagao 5 dé a distribuicdo etaria da populagao em qualquer instante ela nao Comportamento limite da automaticamente uma ideia geral da dindmica do processo de crescimento Para ter isso precisamos investigar os autovalores e autovetores da matriz de Leslie Os autovalo res de L sao as raizes do polinémio caracteristico No Exercicio 2 pedimos para o leitor verificar que esse polindmio caracteristico é pd L a ab abb abby bn Para analisar as rafzes desse polindmio conveniente introduzir a fungao a ab abb aDb b N 271 3 12 cae n 172 n1 6 qr rb oe tot baa 6 Usando essa fungao a equacao caracteristica pA 0 pode ser escrita verifique como qA1 coma 0 7 Como todos os a e b sao nao negativos vemos que gA monotonamente decrescente qa com A maior do que zero Além disso gA tem uma assintota vertical em A 0 e tende a zero quando A Consequentemente como indicamos na Figura 10171 existe um unico A digamos A A tal que gA 1 Ou seja a matriz L tem um Unico autovalor positivo Também pode ser mostrado Exercicio 3 que A tem multiplicidade 1 ou seja Po A nao uma raiz repetida da equacao caracteristica Nao daremos os detalhes computa d cionais mas 0 leitor pode verificar que um autovetor associado aX é 0 A 1 Figura 10171 byX 2 bb r 8 3 bDabs bb oT Di 1 Mv 680 Algebra Linear com Aplicacdes Como A tem multiplicidade 1 0 autoespaco correspondente tem dimensao Exercicio 3 e portanto qualquer autovetor associado a x é algum multiplo de x Podemos resumir esses resultados no teorema seguinte TEOREMA 10171 Existéncia de autovalores positivos Uma matriz de Leslie L tem um unico autovalor positivo Esse autovalor tem multi plicidade e um autovetor associado x cujas entradas sao todas positivas Agora mostramos que 0 comportamento a longo termo da distribuiao etaria da populacao determinado pelo autovalor positivo A e seu autovetor x No Exercicio 9 pedimos para o leitor provar o resultado seguinte TEOREMA 10172 Autovalores de uma matriz de Leslie Se X for o unico autovalor positivo de uma matriz de Leslie L e X for qualquer outro autovalor real ou complexo de L entdo A A Para os nossos propésitos a conclusdo do Teorema 10172 nao suficientemente forte gostarfamos que valesse A A Nesse caso dirfamos que A um autovalor dominan te de L Contudo como mostramos no préximo exemplo nem todas as matrizes de Leslie satisfazem essa condicao Uma matriz de Leslie sem autovalor dominante Seja 0 0 6 L4 0 0 1 0 3 0 Entao o polindmio caracteristico de L é pA AIL A 1 Os autovalores de L sao portanto as solugdes de v 1 a saber 1 v3 1 v3 A1 i asi 2 2 2 2 Os trés autovalores tém valor absoluto 1 de modo que o Unico autovalor positivo A nao é dominante Observe que essa matriz de Leslie tem a propriedade L I Isso signi fica que dada qualquer escolha da distribuido etaria inicial x temos xO HP a x9 a SM Isso significa que o vetor de distribui4o etaria oscila com um periodo de trés unidades de tempo Tais oscilagdes denominadas ondas populacionais nao podem ocorrer se for um autovalor dominante como veremos Esta além do objetivo deste livro discutir condigdes necessarias e suficientes para A ser um autovalor dominante No entanto enunciamos a condicao suficiente que segue sem demonstracao 1017 Crescimento populacional por faixa etaria 681 TEOREMA 10173 Autovalor dominante Se duas entradas sucessivas a e a da primeira linha de uma matriz de Leslie L forem ndo nulas entdo o autovalor positivo de L é dominante Assim se a populagao de fémeas tem duas faixas etarias férteis sucessivas entao a matriz de Leslie tem um autovalor dominante Isso sempre ocorre com populag6es de verdade se a faixa etaria for tomada suficientemente pequena Note que no Exemplo 2 s6 ha uma faixa etaria fértil a terceira e portanto nao vale a hipdétese do Teorema 10173 No que segue vamos supor sempre que a condido do Teorema 10173 seja valida Vamos supor que L seja diagonalizavel Isso nao é realmente necessario para 0 que queremos mostrar mas simplifica a argumentagao Nesse caso L tem n autovalores AAA nao necessariamente distintos e n autovetores associados linearmente independentes x x x Nessa listagem o autovalor dominante A aparece em primeiro lugar Agora construimos uma matriz P cujas colunas sao os autovetores de L Px x x x A diagonalizagao de L é entao dada pela equacao A O 0 O O vr O O LP P 0 0 0 A Daqui segue que wy 0 0 0 0 MO 0 k 1 bP P 0 0 0 com k 1 2 Dado qualquer vetor de distribuig4o etaria inicial x temos entao Nv 0 0 0 k x P 0 A O 0 py 0 0 0 com k 1 2 Dividindo ambos os lados dessa equagao por dv e lembrando que x Lx obtemos 1 0 O 0 d 0 x O 0 w 1 1 500 Fx P Px 9 1 d 0 0 0 aA Como A 0 autovalor dominante temos AA 1 com i 2 3n Segue que AA Oquandok comi 23n 682 Algebra Linear com Aplicacées Usando esse fato podemos tomar o limite de ambos os lados de 9 para obter 100 0 1 0 0 0 OF limxlP Plx 10 keQ Doro 000 0 Denotamos a primeira entrada do vetor coluna Px pela constante c No Exercicio 4 pedimos para 0 leitor mostrar que o lado direito de 10 pode ser reescrito como cx onde c uma constante positiva que depende somente do vetor de distribuicio etaria inicial x Assim 10 fica lim 1 cx 11 ko nN A Equagao 11 da a aproximagao x cx 12 com valores grandes de k Por 12 também temos x cht x 13 Comparando as Equacées 12 e 13 vemos que x0 x 14 com valores grandes de k Isso significa que com valores grandes do tempo cada vetor de distribuicAo etaria é um multiplo escalar do vetor de distribuigao etdria anterior 0 es calar sendo o autovalor positivo da matriz de Leslie Consequentemente a propordo de fémeas em cada faixa etaria tornase constante Como vemos no préximo exemplo essas proporcées no limite podem ser determinadas a partir do autovetor x De novo o Exemplo 1 A matriz de Leslie do Exemplo 1 era 0 4 3 1 1 0 7 0 O polinémio caracteristico pA N 2A 7 e o leitor pode verificar que o autovalor positivo A 3 Por 8 0 autovetor correspondente x 1 1 1 2 1 3 1 xX bd 2 3 2 Ly1 bby 5z 3 2 3 Por 14 temos 3yk1 x 5x com valores grandes de k Logo a cada cinco anos o nimero de fémeas em cada uma das trés faixas cresce cerca de 50 assim como o numero total de fémeas da populacao 1017 Crescimento populacional por faixaetaria 683 Por 12 temos 1 x e3 1 18 Consequentemente a longo termo as fémeas estardo distribuidas entre as trés faixas etarias na proporao Lise Isso corresponde a uma distribuicdo de 72 das fémeas na primeira faixa etaria 24 das fémeas na segunda faixa etaria e 4 das fémeas na terceira faixa etaria Distribuigao etaria de femeas humanas Neste exemplo utilizamos os parametros de nascimento e morte do ano de 1965 das mu lheres canadenses Como poucas mulheres com mais de 50 anos geram filhos vamos nos restringir 4 porcao da populacdo de mulheres entre os 0 e os 50 anos de idade Os dados sao para faixas de cinco anos de modo que ha 10 faixas etarias Em vez de escrever a ma triz 10 X 10 de Leslie completa vamos enumerar os paraémetros como segue Intervalo de idade a b 0 5 000000 099651 5 10 000024 099820 10 15 005861 099802 15 20 028608 099729 20 25 044791 099694 25 30 036399 099621 30 35 022259 099460 35 40 010457 099184 40 45 002826 098700 45 50 000240 Usando técnicas numéricas podemos aproximar o autovalor positivo e 0 autovetor asso ciado por 100000 092594 085881 079641 073800 A 107622 e x 068364 063281 058482 053897 049429 Assim se as mulheres canadenses continuarem a se reproduzir e morrer como o fizeram em 1965 a longo termo seu nimero ira aumentar 7622 a cada cinco anos No autovetor x podemos observar que a longo termo para cada 100000 mulheres entre 0 e 5 anos de idade havera 92594 mulheres entre os 5 e os 10 anos 85881 mulheres entre os 10 e os 15 anos e assim por diante 4 684 Algebra Linear com Aplicacdes Voltamos 4 Equagao 12 que da o vetor de distribuicgdo etaria da populacao para tempos grandes ou seja x enix 15 De acordo com 0 valor do autovalor positivo A temos trés casos 1 a populagado acaba aumentando se A 1 ii a populagdo acaba diminuindo se A 1 iii a populacao acaba estabilizando se A 1 O caso A particularmente interessante pois determina uma populaao com cres cimento populacional nulo Dada qualquer distribuiao etaria inicial a populacao tende a uma distribuido etaria limite que é algum miultiplo do autovetor x A partir das Equa Oes 6 e 7 vemos que A 1 um autovalor se e sé se aababb4bbb 1 16 A expressao Raababb4abbb 17 é denominada taxa liquida de reproducdo da populagao Ver o Exercicio 5 para uma interpretagao demografica de R Assim podemos dizer que uma populagao tem cresci mento populacional nulo se e s6 se sua taxa liquida de reprodugcao é 1 Conjunto de exercicios 1017 1 Suponha que uma certa populacao animal seja dividida em b Mostre que 0 autoespaco correspondente a A tem duas faixas etarias e tenha uma matriz de Leslie dimensfo 1 1 3 4 Mostre que o lado direito de 10 é cx onde c é a primeira L entrada do vetor coluna P x 2 0 5 Mostre que a taxa liquida de reproducao R definida por 17 a Calcule 0 autovalor positivo A de L e 0 correspondente pode ser interpretada como o nimero médio de filhas nascidas de uma tinica fémea durante o seu periodo de vida autovetor X b Comegando com 0 vetor de distribuigao etaria inicial 6 Mostre que ap opulacao acaba diminuindo se 6 se a taxa liquida de reproducdo é menor do que 1 Analogamente o 100 mostre que a populagdo acaba aumentando se e s6 se a taxa x 0 liquida de reprodugao é maior do que 1 7 Calcule a taxa liquida de reproducao da populagao animal do calcule x x x xe x arredondando ao inteiro Exemplo 1 mais proximo quando necessario 8 Requer calculadora Calcule a taxa liquida de reproducao c Calcule x usando a formula exata x Lx e a formu das mulheres canadenses do Exemplo 4 la aproximada x Ax 9 Requer as Seées 101103 Prove o Teorema 10172 2 Encontre o polinémio caracteristico de uma matriz de Leslie Sugestdo escreva A re substitua em 7 tome a parte arbitraria dada pela Equacio 4 real de ambos os lados e mostre que r A 3 a Mostre que o autovalor positivo A de uma matriz de Leslie é sempre simples Lembre que uma raiz 4 de um polinémio qA é dita simples se e s6 se gAy 0 1017 Crescimento populacional por faixa etaria 685 Sa Secao 1017 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos a ap ap ap ap utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é b 0 0 0 0 MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também L0 b 0 0 0 pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma 0 0 b 0 0 calculadora cientifica com funcionalidades de Algebra Linear Em 0 0 0 b 0 cada exercicio vocé devera ler a documentagao pertinente do re curso particular que estiver utilizando O objetivo destes exercicios 2 n2 nol Z A as see aq ap ap ap ap é fornecer uma competéncia basica na utilizagao do seu recurso b 0 0 0 0 computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes exercicios vocé estaré capacitado a usar seu recurso computacional para re L 0 6 Oo 0 0 solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercicios regulares 0 0 boo 0 0 T1 Considere a sequéncia de matrizes de Leslie 7 os my 0 0 QO b 0 0 0 0 a a of Lb 0 0 com0p10blela 1 0 db 0 a Escolha um valor de n digamos n 8 Tomando varios 0 0 0 0a valores de a b e p use um computador para determinar 0 0 04 b 0 0 0 0 o autovalor dominante de L e em seguida compare seus L bh 0 0 0 L0 b 0 0 0 resultados com o valor de a bp 4 5 9 pee 0 bm 0 90 0 0 b 0 0 b Mostre que 0 0 b 0 0 0 0 0 n X ep Pp A AI L a bp a Use um computador para mostrar que oP Ll Bl DI 0 que significa que os autovalores de L devem satisfazer 2 45 3 43 4 44 5 15 Anat a t bpa abpy 0 com uma escolha conveniente de a em termos de bb5b4 c Vocé consegue dar um esboco de uma prova que explique b A partir de suas respostas na parte a conjecture uma re por que A a bp laco entreae bb b que garanta L I onde T3 Suponha que uma populacaéo de camundongos tenha uma matriz de Leslie L num periodo de 1 més e com um vetor de 0 0 0 0 a distribuicdo etdria x dados por b 0 0 O 0 1 4 3 0 b 0 0 0 0 0 3 3 w 9 50 L0 0 b 0 0 3 9 0 0 0 0 40 9 FO rpa w 8 8 9 OF yo 30 9 50 0 0 0 by 0 0 0 7 9 0 0 0 0 0 0 0 10 c Determine uma expressao para pA AL L e usea 0 0 0 0 3 0 5 para mostrar que todos os autovalores de L satisfazem A 1 seaebbb forem relacionados pela a Calcule a taxa liquida de reprodugao da populagao equaao determinada na parte b b Calcule o vetor de distribuicdo etaria depois de 100 e T2 Considere a sequéncia de matrizes de Leslie 101 meses e mostre que o vetor depois de 101 meses é 5 aproximadamente um miultiplo escalar do vetor depois a ap ap de 100 meses a ap L E 0 Lb 0 0 c Calcule o autovalor dominante de L e seu autovetor asso 0 b 0 ciado Como esses valores se relacionam com os valores 5 3 encontrados na parte b d Suponha que queiramos controlar a populacg4o de camun L dongos administrando uma substancia que reduza por 0 b 0 0 uma fracgdo constante as taxas de nascimentos por faixa 0 0 b 0 etaria as entradas na primeira linha de L Qual é o inter valo dessas fragGes que acaba causando um decrescimen to da populacao 686 Algebra Linear com Aplicacées 1018 Colheita de populagées animais Nesta seao utilizamos o modelo matricial Leslie de crescimento populacional para modelar a colheita sustentavel de populagées animais Também examinamos 0 efeito de colher fragdes diferentes de grupos etarios diferentes PREREQUISITO Crescimento populacional por faixa etaria Secao 1017 Colheita Na Secao 1017 utilizamos 0 modelo matricial Leslie para examinar 0 crescimento de uma populacao de fémeas divididas por faixas etarias discretas Nesta secdo investigamos os efeitos de colher animais numa populagaéo que cresce de acordo com um tal modelo Por colher queremos dizer remover animais da populacao O verbo colher nao é neces sariamente um eufemismo para abater os animais podem ser removidos da populacao para outros propositos Nesta secao nos restringimos a politicas de colheita sustentdveis 0 que significa o seguinte DEFINICAO 1 Uma politica de colheita pela qual uma populacao animal é periodi camente colhida é dita sustentdvel se o rendimento de cada colheita for o mesmo e a distribuicdo etaria da populacdo remanescente depois de cada colheita for a mesma Assim a populaga4o animal nao é dizimada por uma politica de colheita sustentavel so mente é removido 0 excesso Como na Secao 1017 tratamos somente das fémeas da populagao Se o nimero de ma chos em cada faixa etaria for igual ao nimero de fémeas uma hipdtese razodvel com muitas populag6es entao nossas politicas de colheita também aplicam a populacao de machos O modelo de colheita A Figura 10181 ilustra a ideia basica do modelo Comegamos com uma populagao de uma certa distribuiao etaria Essa populagdo passa por um periodo de crescimento des crito por uma matriz de Leslie Ao final do perfodo de crescimento uma certa fragaéo da populacao de cada faixa etaria é colhida de tal modo que a populacao nao colhida tem a mesma distribuigdo etaria que a populacao original Esse ciclo é repetido depois de cada colheita de modo que o rendimento é sustentavel Supomos que a duragao da colheita seja curta em comparacéo com o periodo de crescimento de modo que qualquer cresci mento ou mudanga na populacao durante o periodo de colheita pode ser ignorado A populagao antes do A populagao depois do periodo de crescimento periodo de crescimento we Sa Sd we Sa wt we Se PTTL RT RE Crescimens Pot pot Pot of pot A populacao nao colhida A populacgao colhida et Colheita Figura 10181 f f f f f f 1018 Colheita de populacgdes animais 687 Para descrever esse modelo de colheita matematicamente seja x x x Xn o vetor de distribuigao etaria da populagao antes de comegar o perfodo de crescimento Assim x o nimero das fémeas na faixa etdaria i que nao foram colhidas Como na Secao 1017 exigimos que a duragao de cada faixa etdria seja idéntica a duracao do perfodo de crescimento Por exemplo se a populacao for colhida uma vez ao ano entao a populacao dividida em faixas etdrias de um ano Se L for a matriz de Leslie que descreve 0 crescimento da populacado entao o vetor Lx o vetor de distribuigdo etaria da populagao ao final do periodo de crescimento ime diatamente antes da colheita periddica Seja h comi 1 2n a fragdo das fémeas da faixa i que colhida Usamos esses n nimeros para formar uma matriz diagonal n X n h 0 O O 0 h O O H90 0 A O 0 0 O 4h que denominamos matriz de colheita Por definigao temos Osh 1 12n ou seja podemos colher nada h 0 tudo h 1 ou alguma fragdo 0 h 1 de cada uma das n faixas etarias Como o nimero de fémeas na faixa i imediatamente antes de cada colheita a iésima entrada Lx do vetor Lx a iésima entrada do vetor coluna h Lx h Lx ALx h EX é o numero de fémeas colhidas da faixa i Pela definigao de politica de colheita sustentavel temos distribuigdo etaria distribuigdo etaria ao final do periodo colheita ao inicio do perfodo de crescimento de crescimento ou matematicamente Lx HLx x 1 Escrevendo a Equacao 1 na forma Ud ALx x 2 vemos que x deve ser um autovetor da matriz I HL associado ao autovalor 1 Como mostramos em seguida isso coloca certas restrigdes nos valores de h e de x Suponha que a matriz de Leslie da populacao seja a a a uc a a b 0 O 0 0 L0 b 0 0 0 3 0 0 0 by 9 688 Algebra Linear com Aplicacdes Entao a matriz 7 AL é dada por verifique 1hAa ha Uhja Aa 1ha Ab 0 0 vee 0 0 Ud HL 0 1hb 0 vee 0 0 0 0 0 s 1Ab 0 Assim vemos que a matriz J HL é uma matriz do mesmo formato que uma matriz de Leslie Na Secao 1017 mostramos que uma condicao necessaria e suficiente para uma matriz de Leslie ter 1 como um autovalor é que a taxa liquida de reprodugao também seja 1 ver Equacao 16 da Secao 1017 Calculando a taxa liquida de reprodugao de CU HLe igualandoa a 1 obtemos verifique 1 h la ab 1 h ab bb hh hy ab bbdhd hdA J 1 4 Essa equacao coloca uma restricao nas fragdes de colheita admissiveis Somente aqueles valores de h h h que satisfazem 4 e que pertencem ao intervalo 0 1 podem produzir um rendimento sustentavel Sehhh satisfizerem 4 entao a matriz 7 HL tem o autovalor desejado A le além disso esse autovalor tem multiplicidade 1 pois 0 autovalor positivo de uma matriz de Leslie sempre tem multiplicidade 1 Teorema 10171 Isso significa que existe somente um vetor linearmente independente x satisfazendo a Equaao 2 Ver Exercicio 3b da Secao 1017 Uma possivel escolha de x 0 autovetor normalizado seguinte 1 b1h bb hy hy 5 xX bbb1 hC hs hy bbbyb Ihd h dA h Qualquer outra solucdo x de 2 um miultiplo de x Assim 0 vetor x determina a pro porao de fémeas dentro de cada uma das n classes depois de uma colheita numa politica de colheita sustentavel No entanto ha uma ambiguidade no nimero total de fémeas da populagao depois de cada colheita Isso pode ser determinado por alguma condiao au xiliar como uma restrigao ecologica ou econdmica Por exemplo para uma populaao economicamente sustentada pelo colhedor a maior populagdo que ele puder criar entre as safras determinaria a constante particular pela qual devemos multiplicar x para obter o vetor apropriado x na Equagao 2 Para uma populacgao selvagem o habitat da populacao determinaria quao grande ela poderia ficar entre as colheitas Resumindo os resultados obtidos até aqui vemos que ha uma ampla escolha dos valores de h h h que produzirao um rendimento sustentavel No entanto uma vez selecionados esses valores a distribuigao etaria proporcional da populacao depois de cada colheita é determinada de modo tnico pelo autovetor normalizado x definido pela Equagao 5 Agora consideramos algumas poucas estratégias especificas de colheita desse tipo Colheita uniforme Com muitas populacées é dificil distinguir ou apanhar animais de uma idade especifica Se os animais sao colhidos aleatoriamente podemos supor que a fragdo colhida de cada faixa etaria seja a mesma Por isso colocamos hhhh 1018 Colheita de populagdes animais 689 A Equagao 2 reduzse a verifique 1 Lx x 1h Portanto 11 h deve ser 0 tinico autovalor positivo A da matriz de Leslie de cresci mento L ou seja Ae 1 1h Resolvendo para a fragao de colheita h obtemos h1dA 6 Nesse caso o vetor x 0 autovetor de L associado ao autovalor A Pela Equagao 8 da Secdo 1017 esse vetor é 1 bA bib d x1 bbybyd M by by By dM Por 6 podemos ver que quanto maior for A maior sera a fragdo de animais que pode mos colher sem dizimar a populagao Observe que precisamos ter A para ter a fragao de colheita h no intervalo 0 1 Isso era de se esperar pois A 1 a condigdo para ter uma populagao crescente Colhendo ovelhas Para uma certa espécie de ovelhas na Nova Zelandia com perfodo de crescimento de um ano foi obtida a matriz de Leslie seguinte ver G Caughley Parameters for Seasonally Breeding Populations Ecology vol 48 1967 paginas 834839 0000 0045 0391 0472 0484 0546 0543 0502 0468 0459 0433 0421 0845 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0975 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0965 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0950 0 0 0 0 0 0 0 0 L 0 0 0 0 0926 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0895 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0850 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0786 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0691 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0561 O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0370 0 As ovelhas tém uma expectativa de vida de 12 anos portanto sao divididas em 12 faixas etarias de duragao de ano cada Usando técnicas numéricas podemos mostrar que A 1176 o nico autovalor positivo de L Pela Equacao 6 a fracao de colheita h é h1A 1 11176 0150 690 Algebra Linear com Aplicacdes Assim a politica de colheita uniforme nesse caso significa colher 15 das ovelhas de cada uma das 12 faixas etarias a cada ano Por 7 0 vetor de distribuigdo etaria das ove lhas depois de cada colheita é proporcional a 1000 0719 0596 0489 0395 0311 g xX 0237 8 0171 0114 0067 0032 0010 A partir de 8 vemos que para cada 1000 ovelhas entre 0 e 1 ano que nao sao colhidas ha 719 ovelhas entre 1 e 2 anos 596 ovelhas entre 2 e 3 anos e assim por diante 4 Colhendo somente da faixa Em algumas populag6es somente as fémeas mais jovens tém algum valor econdmico de etaria mais jovem modo que o colhedor procura colher somente as fémeas da faixa etaria mais jovem Por isso colocamos hh hhh 0 A Equagao 4 reduzse a 1 hja ab ab by ab bb 1 ou dAR1 onde R é a taxa liquida de reprodugao da populacao Ver Equacao 17 da Secao 1017 Resolvendo para h obtemos h1R 9 Observe que essa equacaéo afirma que uma politica de colheita sustentavel s6 é possivel se R 1 Isso é razoavel pois a populacgdo sé aumenta se R 1 Pela Equagao 5 o vetor de distribuigao etaria é proporcional ao vetor 1 b ibs 10 x b bob bbyb b 1018 Colheita de populagdes animais 691 Politica de colheita sustentavel Vamos aplicar esse tipo de politica de colheita sustentavel 4 populacgao de ovelhas do Exemplo 1 Para a taxa liquida de reprodugao da populaao encontramos Ra ab ab b ab by b 0000 0045 0845 04210845 0975 0370 2514 Pela Equacgao 9 a fragado colhida da primeira faixa etaria é h11R 1 12514 0602 Pela Equacao 10 a distribuigdo etaria da populado depois da colheita é proporcional ao vetor 1000 1000 0845 0845 08450975 0824 0845 0975 0965 0795 0755 0699 x 11 0626 a 0532 0418 0289 0162 08450975 0370 0060 Um cAlculo direto da 0 seguinte também ver Exercicio 3 2514 0845 0824 0795 0755 0699 Lx 12 0626 0532 0418 0289 0162 0060 O vetor Lx 0 vetor de distribuicdo etaria imediatamente antes da colheita O total de to das as entradas de Lx 8520 de modo que a primeira entrada de 2514 perfaz 295 do total Isso significa que imediatamente antes de cada colheita 295 da populacao estao na faixa mais jovem Como sao colhidos 602 dessa faixa segue que 178 602 de 295 de toda a populacao de ovelhas sao colhidos anualmente Isso pode ser compa rado com a politica de colheita uniforme do Exemplo 1 na qual 150 da populaao de ovelhas s4o colhidos anualmente 4 692 Algebra Linear com Aplicacées Rendimento sustentavel é6timo Vimos no Exemplo que uma politica de colheita sustentavel na qual colhemos a mesma fragdo de cada faixa etaria produz um rendimento de 150 da populacgao de ovelhas No Exemplo 2 vimos que se colhemos somente na faixa mais jovem o rendimento resul tante é 178 da populacao Existem muitas outras polfticas de colheita sustentaveis e cada uma em geral produz um rendimento diferente Seria interessante encontrar uma politica de colheita sustentavel que produzisse o maior rendimento possivel Uma tal po litica denominada politica de colheita sustentavel 6tima e 0 rendimento resultante é denominado rendimento sustentdvel 6timo No entanto para determinar o rendimento sustentavel Otimo necessitamos da teoria de Programagao Linear que nao sera discutida aqui Referimos o leitor ao seguinte resultado que aparece no artigo de J R Beddington e D B Taylor Optimum Age Specific Harvesting of a Population Biometrics vol 29 1973 paginas 801809 TEOREMA 101811 Rendimento sustentavel otimo Uma politica de colheita sustentavel 6tima é aquela na qual sao colhidas uma ou duas faixas etdrias Se duas faixas etarias forem colhidas entdo a faixa mais velha é total mente colhida Como uma ilustragdo pode ser mostrado que o rendimento sustentavel 6timo da popula ao de ovelhas é alcangado quando h 0522 h 1000 13 e todos os demais valores de h forem zero Assim 522 das ovelhas entre 0 e anoe todas as ovelhas entre 8 e 9 anos sao colhidas Conforme pedimos para o leitor mostrar no Exercicio 2 o rendimento sustentavel 6timo resultante é 199 da populacao Conjunto de exercicios 1018 1 Suponha que uma certa populacao animal seja dividida em 3 Se for colhida somente a primeira faixa etaria de uma popula trés faixas etarias de um ano de durac4o e que sua matriz de cao animal use a Equacao 10 para mostrar que Leslie seja R1 0 4 3 0 1 L 7 0 O Lx x 0 1 0 O 0 a Encontre o rendimento e o vetor de distribuicgdo etaria de pois de cada colheita se anualmente for colhida a mesma em que R a taxa liquida de reprodugao da populacao fragao de cada faixa etaria 4 Se for colhida periodicamente apenas a faixa etaria de uma b Encontre o rendimento e 0 vetor de distribuicdo etaria populagao animal com 1 2 7 encontre a fracao depois de cada colheita se a cada ano for colhida somente correspondente de colheita h a faixa etaria mais jovem Também obtenha a fragao da 5 Suponha que toda a faixa J e uma certa fragao h da faixa J de faixa etdria mais jovem que é colhida uma populacao animal seja periodicamente colhida 2 Encontre o vetor x que especifica a distribuicdo etaria depois sJsn Calcule h de cada colheita no caso da politica de colheita sustentavel 6tima descrita pela Equacées 13 Também calcule o vetor Lx e mostre que 0 rendimento sustentavel 6timo é 199 da populacao 1019 Um modelo de minimos quadrados para a audigao humana 6 93 Sa Secao 1018 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos Se usarmos esse algoritmo para 0 exemplo das ovelhas dado utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é no texto haverd no maximo 41212 1 78 contas a MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também considerar Use um computador para fazer as contas para a pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma colheita de duas faixas etarias com h h h leh 0 calculadora cientifica com funcionalidades de Algebra Linear Em comk 1 oujcom 23 12 Construa uma tabela de cada exercicio vocé devera ler a documentagao pertinente do re dados consistindo nos valores de h e os rendimentos percen curso particular que estiver utilizando O objetivo destes exercicios tuais usando j 23 12 Essa tabela deve mostrar que 0 é fornecer uma competéncia basica na utilizag4o do seu recurso maior desses rendimentos ocorre com j 9 computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes exercicios T2 Usando 0 algoritmo do Exercicio T1 faca as contas para a vocé estara capaci i Ari pacitado a usar seu TeCurso computacional para re colheita de uma faixa etdria com h heh O comk ie solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercicios regulares i1212 Construa uma tabela de dados consistindo T1 Os resultados do Teorema 10181 sugerem o algoritmo se nos valores de h e os rendimentos percentuais usando i 1 guinte para determinar 0 rendimento sustentavel 6timo 2 12 Essa tabela deve mostrar que o maior desses rendi i Dado qualquer valor de i 12n tome h he mentos ocorre com i 9 h 0 com k ie calcule os respectivos rendimentos T3 Voltando 4 populacgdo de camundongos do Exercicio T3 da Essas n contas dao os resultados para a colheita de uma Segao 1017 suponha que n4o seja vidvel reduzir as taxas de faixa etaria E claro que é rejeitada qualquer conta que nascimentos e que em vez disso queiramos controlar a po resulte num valor de h que nao esteja entre Oe 1 pulago com uma colheita uniforme mensal de todas as faixas ii Dado qualquer valor dei 12n lejit1 etarias i 2ntomehhh leh 0comk i j a Qual é a fracao da populacao que deve ser colhida men e calcule os respectivos rendimentos Essas 5 nn 1 salmente para levar a populacéo de camundongos a uma contas dio os resultados para a colheita de duas faixas situagao de equilibrio etarias E claro que é rejeitada qualquer conta que resul b Qual é 0 vetor de distribuicgdo etaria de equilfbrio nessa te num valor de h que no esteja entre Oe 1 politica de colheita uniforme iii Dentre os rendimentos calculados nas partes 1 e 11 0 c O ntimero total de camundongos na populacao original maior deles é 0 rendimento sustentavel 6timo Observe era de 155 Com a politica de colheita uniforme qual que havera no maximo sera o numero total da populacado de camundongos depois n 4nn1 4nn 1 de 5 10 e 200 meses contas no total Novamente algumas dessas contas po dem resultar num valor de h que no esteja entre 0 e 1 que deve portanto ser rejeitado 1019 Um modelo de minimos quadrados para a audicaéo humana Nesta seco aplicamos 0 método da aproximagao de minimos quadrados a um modelo para a audiao humana O uso desse método motivado por consideragGes de energia PREREQUISITOS Espagos de produto interno Projecéo ortogonal Séries de Fourier Secao 66 Comecgamos com uma breve discussao da natureza do som e da audiao humana A Figura A anatomia do ouvido 10191 um diagrama esquematico do ouvido mostrando seus trés componentes princi pais o ouvido externo 0 médio e o interno As ondas sonoras entram no ouvido externo onde sao canalizadas para o timpano e causam sua vibragao Trés ossos minusculos no ou vido médio fazem uma ligagao mecanica do timpano com a coclea que 0 caracol do ou vido interno Esses ossos passam a vibragao do timpano para um fluido dentro da céclea A céclea contém milhares de células ciliadas que sio como cabelos mintsculos e oscilam com 0 fluido Os cilios perto da entrada da céclea sao estimulados por frequéncias altas 694 Algebra Linear com Aplicacdes e os cilios perto da ponta sao estimulados por frequéncias baixas Os movimentos desses cilios ativam as células nervosas que mandam os sinais ao longo de varios caminhos neu rais ao cérebro onde esses sinais sao interpretados como som 4 ple Céclea PA Timpano Ner vo i 7 MA auditivo oa DA es er Onda M p ees Se sonora iS Poe Cigaig hs qy es i r Setg sai BS Para o ena REN cérebro or aS i a ce ns om pet Soe p sf iN Z oS BNA Vas oe IT fo Ouvido Ouvido y IFA interno médio am Ouvido WU externo Figura 10191 Por sua vez as ondas sonoras sao variagOes no tempo da pressao do ar Para o sistema auditivo o tipo mais elementar de onda sonora é uma variacao senoidal da pressao do ar Esse tipo de onda sonora estimula os cilios da céclea de tal maneira que produz um im pulso nervoso ao longo de um tinico caminho neural Figura 10192 Uma onda sonora senoidal pode ser descrita por uma funcéo do tempo qt A A senat 8 1 onde qt mede a pressao atmosférica no timpano A a presséo atmosférica normal A é a variacgao maxima da pressao em relagao a pressao atmosférica normal w27 é a frequén cia da onda em ciclos por segundo e 6 é 0 angulo de fase da onda Para ser percebida como um som uma onda senoidal precisa ter frequéncias num certo intervalo Para os humanos esse intervalo é aproximadamente de 20 a 20000 ciclos por segundo cps As frequéncias fora desse intervalo nao estimulam suficientemente os cilios dentro da céclea a ponto de produzir sinais nervosos qt Qn x 7 pe A Ay t Caminho neural é Ouvido ao cérebro Figura 10192 Podemos afirmar com um grau razodvel de exatidao que 0 ouvido é um sistema li near Isso significa que se uma onda sonora complexa é uma soma finita de componentes senoidais de diferentes amplitudes frequéncias e 4ngulos de fase digamos qt Ay A senwt 6 A senwt 6 A senwf6 2 entado a resposta do ouvido consiste em impulsos nervosos ao longo dos mesmos cami nhos neurais que seriam estimulados pelos componentes individuais Figura 10193 1019 Um modelo de minimos quadrados para a audicao humana 695 Nm y NY nk SF Figura 10193 Consideremos agora alguma onda sonora periddica pt de periodo T ou seja pt pt T que nao seja uma soma finita de ondas senoidais Se examinarmos a resposta do ouvido a uma tal onda periddica veremos que ela coincide com a resposta do ouvido a alguma onda que a soma de ondas senoidais Ou seja existe alguma onda sonora qt como a dada pela Equagao 2 que produz a mesma resposta de pt mesmo que pt e gt sejam fungées diferentes do tempo Agora queremos determinar as frequéncias amplitudes e angulos de fase dos com ponentes senoidais de qt Como gt produz a mesma resposta da onda periddica pt é razoavel esperar que qt tenha o mesmo periodo T de pt Isso requer que cada termo senoidal em qt tenha periodo T Consequentemente as frequéncias dos componentes se noidais devem ser um miultiplo inteiro das frequéncias basicas 1T da funcao pt Assim os pt na Equacao 2 devem ser da forma w 2knT k12 Como o ouvido nao percebe ondas senoidais com frequéncias acima de 20000 cps po demos omitir os valores de k com os quais qt seja maior do que 20000 Assim gf da forma 27t 2ntt qt A Asen 7 7h Asen Tn 3 onde n 0 maior inteiro tal que nT nao é maior do que 20000 Agora voltamos nossa atenao aos valores das amplitudes A A A dos an gulos de fase 656 que aparecem na Equagao 3 Existe um critério pelo qual o sistema auditivo escolhe esses valores para fazer com que qt tenha a mesma resposta de pt Para examinar esse critério denotamos et pt qd Considerando gt como uma aproximagao de pf et denota o erro dessa aproximacao um erro que 0 ouvido nao consegue perceber Em termos de e 0 critério para determi nar as amplitudes e os angulos de fase é que a quantidade T T teora wm aorar 4 0 0 seja a menor possivel Aqui nao podemos investigar as razGes fisiol6gicas para isso mas podemos observar que essa expressdo é proporcional a energia acustica da onda de erro et ao longo de um periodo Em outras palavras a energia da diferenga entre as duas ondas sonoras pt e gt que determina se um ouvido percebe alguma diferenga entre elas Se essa energia for tao pequena quanto possivel entao as duas ondas produzem a mesma 696 Algebra Linear com Aplicacdes S sensagao de som Matematicamente a funao gt em 4 a aproximacao de minimos deformagao longitudinal quadrados de pt no espacgo vetorial CO T das fung6es continuas no intervalo 0 T Ver Secao 66 As aproximagées de minimos quadrados por fungdes continuas surgem numa va riedade de problemas de aproximacao na Engenharia e na Ciéncia Além do problema aclistico que acabamos de discutir alguns outros s4o os seguintes k x 1 Seja Sx a distribuigéo de deformagao longitudinal de uma barra uniforme ao longo an 0 i do eixo x desde x 0 até x Figura 10194 A energia de deformagao na barra proporcional a integral Figura 10194 SxP dx 0 A qualidade de uma aproximagao qx de S x pode ser julgada de acordo com a energia de deformacao da diferena das duas distribuigdes de deformacao Essa ener gia proporcional a I tse acorn ax 0 que é um critério de minimos quadrados EO 2 Seja Et uma voltagem periddica através de um resistor num circuito elétrico Fi voltagem a Z gura 10195 A energia elétrica transferida ao resistor durante um periodo T é pro porcional a 0 T r 5 Eo dt Figura 10195 0 Se qt tiver o mesmo perfodo de Ef e se quisermos que qf seja uma aproximagao de Et entao o critério de proximidade pode ser tomado como sendo a energia da diferenga de voltagem Isso é proporcional a T eaora 0 que é novamente um critério de minimos quadrados yx 3 Seja yt o deslocamento vertical de uma corda elastica uniforme flexivel cuja posicao deslocamento de equilfbrio seja ao longo do eixo x desde x 0 até x Figura 10196 A energia potencial elastica da corda proporcional a I vera x 0 x0 xl Se quisermos que gt seja uma aproximacao do deslocamento entéo como antes a Figura 10196 integral de energia I ve awras 0 determina um critério de minimos quadrados para a proximidade da aproximagao A aproximagao por minimos quadrados também é usada mesmo quando no ha al guma justificativa a priori para 0 seu uso como para aproximar ciclos comerciais curvas 1019 Um modelo de minimos quadrados para a audicao humana 697 de crescimento populacional curvas de vendas e assim por diante Nesses casos ela é usada por causa de sua simplicidade matematica Em geral se nao houver algum critério de erro imediatamente aparente para um problema de aproximagao o critério de minimos quadrados 0 critério mais escolhido O proximo resultado foi obtido na Secao 66 TEOREMA 10191 Minimizando o erro quadrado médio em 0 277 Se fit for continua em 0 271 entdo a fungdo trigonomeétrica gt dada por gt 5a acostacosnt bsent bsennt que minimiza o erro da média quadratica Qa f t gP dt 0 tem coeficientes 1 27 a2 ft cos kt dt k012n 0 1 20 ft sen kt dt k12n T Jo Se a fungao original ft estiver definida no intervalo 0 T em vez de 0 277 obte mos 0 resultado seguinte com uma mudanga de escala ver Exercicio 8 TEOREMA 10192 Minimizando o erro quadrado médio em 0 T Se fit for continua em 0 T entdo a funcdao trigonométrica gt dada por 6 day a 008 et toe OO by sem et hoe By sen et a a cos t a cos sent sen 7 1 T n T 1 T n T que minimiza o erro da média quadratica T ttserar 0 tem coeficientes 2 7 2kut a5f f t cos dt k012n T Jo T 27 2kat n 5 Ff t sen dt k12n T Jo T Aproximagao de minimos quadrados de uma onda sonora po Seja pt uma onda sonora do tipo serra com uma frequéncia basica de 5000 cps Figura 4 10197 Suponha que as unidades sejam escolhidas de tal modo que a pressao atmosféri ca normal ocorra ao nivel zero e a amplitude maxima da onda seja A O perfodo basico da onda é T 15000 00002 segundo Desde t 0 até t T a funcao pt tem a equacgao 0 0002 or wy 24 é PW a T 2 Figura 10197 698 Algebra Linear com Aplicacdes O Teorema 10192 fornece o seguinte verifique f t dt f r tdt0 a oF I P TJ T2 2 7 2kat 2 2A T 2k t aQas pt cos dt t cos dt0 k12 T Jo T TJ T 2 T 2 7 2kit 2 7 2A T 2ktrt 2A bhs pt sen dt t sendt k12 T Jo T TJo T 2 T ka Agora podemos investigar como a onda sonora pt percebida pelo ouvido humano Ob servamos que 4T 20000 cps de modo que basta avangar até k 4 nas formulas acima A aproximacao de minimos quadrados de pt entao 2A a7 47 67 87 senf sent sent sen 4 x TD TT ae eT Os quatro termos senoidais tém frequéncias de 5000 10000 15000 e 20000 cps res pectivamente Na Figura 10198 esbogamos os graficos de pt e gt ao longo de um periodo Mesmo se gt nao for uma boa aproximagao ponto a ponto de pf ambas as ondas produzem o mesmo estimulo sonoro para o ouvido 4 y A qt 1 Pt 5A T 00002 0 5A Figura 10198 A Como discutimos na Se4o 66 a aproximagao por minimos quadrados melhora a medida que aumentamos o ntimero de termos do polindmio trigonométrico que aproxima Mais precisamente Qa 1 n 2 fr 5 S a cos kt b dt 8 k1 tende a zero quando n tende ao infinito Denotamos isso escrevendo ao ft a a coskt b senkt 2 k1 onde o lado direito da equacao a série de Fourier de ft Uma outra questao e uma mais dificil saber se a série de Fourier de ft converge para ft em cada Para a maioria das fung6es continuas encontradas nas aplicagoes isso efetivamente ocorre ou seja a série de Fourier realmente converge a funga4o correspondente em cada valor de f 1019 Um modelo de minimos quadrados para a audigao humana 699 Conjunto de exercicios 1019 1 Encontre o polinémio trigonométrico de ordem 3 que é a 6 Usando o produto interno aproximacao de minimos quadrados da fungao f t 7 om no intervalo 0 27 uv utvt dt 2 Encontre o polinémio trigonométrico de ordem 4 que é a o aproximagao de minimos quadrados da funciio ft f no mostre que intervalo 0 7 3 E t lindmio tri Strico de ordem 4 s I en Encontre o polin6mio trigonométrico de ordem 4 que a b coskt YF comk12 aproximacao de minimos quadrados da fungao ft no interva lo 0 277 sendo c senkt 7 comk 12 7 Mostre que as 2n 1 fungdes fsent Ort ro 5 Tt20 1 cos t cos 2t cos nt sen ft sen 2f sen nt 4 Encontre o polinémio trigonométrico de ordem arbitraria sdo ortogonais no intervalo 0 277 em relaao ao produto in n que é a aproximagao de minimos quadrados da funcao terno u v dado no Exercicio 6 f sen it no intervalo 0 277 8 Se f estiver definida e for continua no intervalo 0 7 mos 5 Encontre o polinémio trigonométrico de ordem arbitraria n tre que fT 7277 esta definida e continua em 7 no intervalo que é a aproximaciio de minimos quadrados da funcio ft no 0 277 Use isso para mostrar que 0 Teorema 10192 decorre intervalo 0 T sendo do Teorema 10191 ro t OiT t Tt 37 tT SX gy Secgaoc 1019 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos T2 Seja g a fungao utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é cossen 1 sen 1 MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também 8 e cosisen sentsen pode ser algum outro tipo de software de Algebra Linear ou uma com 0 t S 277 Use um computador para determinar os coe calculadora cientffica com funcionalidades de Algebra Linear Em ficientes de Fourier cada exercicio vocé devera ler a documentagao pertinente do re curso particular que estiver utilizando O objetivo destes exercicios a I gt cos kt dt é fornecer uma competéncia basica na utilizagao do seu recurso b T Jo sen kt computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes exercicios vocé estara capacitado a usar seu recurso computacional para re com k 0 1 2 3 4 5 A partir de seus resultados faga uma solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercicios regulares conjectura sobre a expressdo geral de a e b Teste sua con T1 Seja ga funcao jectura calculando 3 4sen t 1 j a a coskt b sen kt sw 5 4cost 2 X com 0 t 27 Use um computador para determinar os coe no computador e verificando se essa série converge para gt ficientes de Fourier a 1 34sent cos kt dt b a7 Jo 54cost sen kt com k 0 1 2 3 4 5 A partir de seus resultados faga uma conjectura sobre a expressao geral de a e b Teste sua con jectura calculando 1 2 5 CF cos kt b sen kt kI no computador e verificando se essa série converge para gt 700 Algebra Linear com Aplicacées 1020 Deformacées e morfismos As deformagées e os morfismos esto entre as mais interessantes técnicas de manipulacao de imagens disponiveis para a computacao grafica Nesta sec4o mostramos como as transformac6es lineares podem ser usadas para distorcer uma Unica imagem para produzir uma deformagao ou como distorcer e amalgamar duas imagens para produzir um morfismo PREREQUISITOS Geometria de operadores lineares de R Secao 411 Independéncia linear Bases de R A maioria dos aplicativos de computacado grafica permitem a manipulagaéo de uma ima gem de varias maneiras como a mudanga de suas proporcées rotagdes ou cisalhamentos Uma outra técnica basica de manipulacao de imagens é a distorgao de uma imagem pelo movimento dos vértices de um retangulo que a contém Um procedimento mais complica do denominado deformacdo consiste em distorcer varias partes da imagem de maneiras diferentes Além disso a deformacao de duas imagens por procedimentos complementa res com a fusao das deformagées obtidas resulta num morfismo das duas imagens Um exemplo é dado na Figura 10201 em que quatro fotografias de uma mulher tiradas ao longo de 50 anos as quatro na diagonal principal do topo 4 esquerda até a base 4 direita foram deformadas duas a duas num morfismo que sugere o envelhecimento gradual dessa mulher i Py D J j pa i é é 7 Pp 4 id F AP SP a a a J a yy j A la i y i j i ee i e 4 2 a 4 XS F hy t a 4 a Bes SS n Figura 10201 2 ta dl 1020 Deformacdes e morfismos 701 A principal aplicagao de deformagées e morfismos tem sido a produgao de efeitos especiais no cinema e na televisao No entanto também surgiram muitas aplicagGes cien tificas e tecnolégicas para essas técnicas por exemplo o estudo da evolugao das formas e a andlise do crescimento e desenvolvimento de organismos vivos a assisténcia a cirurgia plastica e de reconstrucaAo a investigacgdo de variag6es no projeto de um produto e o en velhecimento de fotografias de pessoas desaparecidas ou de suspeitos da policia Comegamos pela descrigao de uma deformagao simples de uma regiao triangular do pla Deformacdes no cujos vértices sao dados pelos trés pontos nao colineares v v e v Figura 10202a Vamos identificar esse triangulo como 0 tridngulo inicial Se v for um ponto qualquer no y v triangulo inicial existem constantes Unicas c e c tais que Vv Vv cV V3 5V V3 1 A Equacao 1 da 0 vetor v v como uma nica combinagao linear dos dois vetores 1 linearmente independentes v ve v v em relagdo a uma origem em y Se colocar v x mos c 1 c c podemos reescrever 1 como V CV CxVy C393 VCV V CV 2 a onde c ce1 3 y pela definigdo de c Se 2 e 3 forem validas e se além disso os coeficientes v V V a Ww forem nao negativos diremos que v é uma combinagdo convexa dos vetores C C C3 Pode ser mostrado Exercicio 6 que v é um ponto do triangulo determinado por v v e v se e S6 se V uma combinacao convexa desses vetores W3 Em seguida dados trés pontos nado colineares w w e w dos vértices de um tridn gulo final Figura 10202b existe uma Unica transformacdao afim que transforma v em W cW OW C5W3 w V em w e vem w Ou seja existem uma tinica matriz 2 X 2 invertivel Me um tinico b vetor b tais que Figura 10202 w Mvb comi123 4 Ver Exercicio 5 para a obtencd4o de M e de b Além disso pode ser mostrado Exercicio 3 que por essa transformagao afim a imagem w do vetor v de 2 y W CW CW C3W3 5 2 Essa é uma propriedade basica de transformagoes afins transformar uma combinagao convexa de vetores na mesma combinaao convexa das imagens dos vetores Agora suponha que o triangulo inicial contenha uma imagem dentro dele Figura Be 10203a Ou seja a cada ponto do triangulo inicial esté associado um nivel de cinza 4 digamos 0 para branco e 100 para preto com todos os niveis de cinza entre 0 e 100 Ve x Em outras palavras definimos uma funcao escalar p denominada densidade de imagem v Gy Ov ONY do triangulo inicial de tal modo que pv seja o nivel de cinza associado ao ponto v do tridngulo inicial Agora podemos definir uma imagem no triangulo final denominada deformagdao da imagem original definindo a densidade de imagem p do triangulo final associando a um ponto w dentro do triangulo final o nivel de cinza do ponto v do trian y gulo inicial que transformado em w Em forma de equagao a densidade de imagem p woo pws é determinada por WP pw pcv 6V 65V3 6 ia Desse modo a medida que c c e c variam sobre todos os valores nado negativos vy Pale pale cuja soma 1 a expressdo 5 gera todos os pontos w do triangulo final e 6 gera os wit x correspondentes niveis de cinza pw desses pontos da imagem deformada Figura woow Low hew 102035 hess A Equacio 6 determina uma deformacgao muito simples de uma imagem dentro b de um Unico triangulo Mais geralmente podemos repartir uma imagem em varias re Figura 10203 702 Algebra Linear com Aplicacées v V gides triangulares e deformar cada regido de uma maneira diferente Isso d4 uma grande e e ey liberdade para projetar deformagoes pela escolha das regiGes triangulares e da manei 3 ra de alteralas Para ver isso suponha que tenhamos uma imagem contida nalguma regiado retangular do plano Escolhemos n pontos v V V dentro do retangulo v yioge evs que denominamos pontos de vértice e que representam elementos chave da imagem que queremos deformar Figura 10204a Uma vez escolhidos os pontos de vértice completamos uma triangulagao da regiao retangular ou seja tragamos segmentos de e e 24 sow Vo v reta entre os pontos de vértice de tal modo que as condiG6es seguintes sejam satisfeitas a Figura 10204b 1 Os segmentos de reta formam os lados de uma colecao de triangulos vi 2 Os segmentos de reta nao se cruzam 3 Cada ponto de vértice é 0 vértice de pelo menos um triangulo 4 A uniao dos triangulos é 0 retangulo V 5 A colecao de triangulos é maxima ou seja nao restam vértices para conectar J Observe que a condigao 4 requer que cada esquina do retangulo que contém a imagem seja um ponto de vértice Vv Vv Zogt Sempre podemos formar uma triangulaao a partir de quaisquer n pontos de vérti 0 ce mas a triangulagdo nao necessariamente tinica Por exemplo as Figuras 10204b e 10204c sao duas triangulacées diferentes do mesmo conjunto de vértices da Figura v V5 10204a Como existem varios algoritmos computacionais que efetuam triangulacdes Se com rapidez nao é necessario fazer esse trabalho tedioso 4 m4o s6 precisamos especifi car os pontos de vértice que desejamos e deixamos o computador gerar uma triangulacao y com esses pontos Se escolhermos n pontos de vértice pode ser mostrado que 0 nimero m de triangulos de qualquer triangulacao usando esses pontos é dado por m2n2k 7 Ve v em que k é o ntimero de pontos de vértice que estao na fronteira do retangulo incluindo os c quatro situados nas esquinas do retangulo Figura 10204 A deformagao especificada pelo movimento dos n pontos v V V de vértice g para novas posigdes W W W de acordo com as mudangas que queremos efetuar na imagem Figuras 102054 e 102055 No entanto impomos duas restrigdes aos mo vimentos dos pontos de vértice como segue 1 Os quatro pontos de vértice nas esquinas do retangulo devem permanecer fixos e todos os pontos de vértice situados nos lados do retangulo devem permanecer fixos ou entao se mover para outro ponto no mesmo lado do retangulo Todos os demais pontos de vértice devem permanecer no interior do retangulo 2 Os triangulos determinados pela triangulagao nao podem ficar sobrepostos depois de efetuado 0 movimento de seus vértices Vv vy Ww WwW Ww WwW Y Vo Vv We Ww We Ww Figura 10205 a 2 c A primeira restrigao garante a preservacdo da forma retangular da imagem inicial A segunda restrigéo garante que os pontos de vértice movimentados ainda formam uma 1020 Deformacdes e morfismos 703 triangulagao do retangulo e que a triangulacao nova é similar a original Por exemplo a Figura 10205c nao é um movimento permitido aos pontos de vértice mostrados na Fi gura 10205a Embora uma violagao dessa condicfo possa ser tratada matematicamente sem muito esforgo adicional as deformacées resultantes em geral produzem resultados artificiais que nao serao tratados aqui A Figura 10206 é uma deformagao de uma fotografia de uma mulher usando uma triangulacado de 94 pontos de vértice e 179 triangulos Observe como os pontos de vértice da triangulagao inicial foram escolhidos ao longo de caracteristicas essenciais da imagem contorno dos cabelos olhos labios etc Esses pontos de vértice foram movidos para as posicoes finais correspondentes as mesmas caracteristicas numa fotografia da mulher tirada 20 anos depois da imagem inicial Assim a imagem deformada representa a mulher forcada para seu formato mais idoso mas usando os niveis de cinza de quando era mais jovem Imagem inicial Imagem deformada Mo EN VIN ARN sf WN Lr Pi VS NS a We 4 x i S MEN Pica EN V at Triangulagao inicial Triangulacgao deformada WaM MRa7 VK ARS SAWS KSA BUNS RRS Nea Vr b SHA Tr e LN YS LER MO M Figura 10206 Triangulacao inicial Triangulagdo deformada Uma deformagdao dependente do tempo um conjunto de deformagées geradas quando Deformacées dependentes os pontos de vértice da imagem inicial so movidos continuamente ao longo do tempo do tempo desde suas posicGes originais até posigées finais especificadas Isso nos da uma animac4o na qual a imagem inicial é deformada continuamente até uma deformagao final Escolhe mos unidades de tempo tais que t 0 corresponda a imagem inicial e t 1 4 deformac4o 704 Algebra Linear com Aplicacées final A maneira mais simples de mover os pontos de vértice do instante de tempo 0 ao instante de tempo é com velocidade constante ao longo de caminhos retos ligando as posicGes iniciais as posig6es finais Para descrever um tal movimento seja u f a posicao do iésimo ponto de vértice num instante de tempo entre 0 e 1 Assim u0 v sua posigo na imagem inicial e u1 w sua posicao na imagem final Entre um e outro ponto determinamos sua posi4o por u f 1 dv tw 8 Observe que 8 expressa u t como uma combinac4o convexa de v e w em cada t de 0 1 A Figura 10207 ilustra uma triangulagéo dependente do tempo de uma regiao retangular plana com seis pontos de vértice As linhas conectando os pontos de vértice em instantes diferentes sao os caminhos no espacgo tempo desses pontos de vértice nesse diagrama espacotemporal ea s ISS ut thi i pp A Instante 0 Figura 10207 v1 Vs Uma vez calculadas as posicgées dos pontos de vértice em instantes de tempo f efetu amos uma deformacgao entre a imagem inicial e a triangulacdo no instante t determinada pelos pontos de vértice movidos até aquele instante t A Figura 10208 mostra uma defor mac4o dependente do tempo em cinco valores de t gerados a partir da deformagao entre t Oet mostrada na Figura 10206 Figura 10208 t 000 1025 t050 1075 t 100 Mortismos Um morfismo dependente do tempo pode ser descrito como uma combinagao de duas deformacées dependentes do tempo de duas imagens distintas usando duas triangulacées que associam caracteristicas correspondentes das duas imagens Uma das duas imagens é escolhida como a imagem inicial e a outra como a imagem final Primeiro geramos uma deformacao dependendo do tempo de tf 0 at 1 na qual a imagem inicial é deforma 1020 Deformagées e morfismos 705 da para a forma da imagem final Em seguida geramos uma deformag4o dependendo do tempo de t 0 at 1 na qual a imagem final é deformada para a forma da imagem inicial Finalmente para cada instante ft entre 0 e 1 criamos um morfismo das duas defor macgo6es no instante f usando uma média ponderada dos dois niveis de cinza A Figura 10209 mostra duas fotografias de uma mulher tomadas num intervalo de 20 anos Abaixo das fotografias estao duas triangulagdes correspondentes nas quais asso ciamos as caracteristicas correspondentes das duas fotografias A Figura 102010 mostra o morfismo dependendo do tempo entre essas duas imagens em cinco instantes de tempo tentre Oe 1 Imagem inicial Imagem deformada Lae Na UIT SUZ VISE eve y q Wiese 4 h EN KOS Figura 10209 Triangulacao inicial Triangulagdo deformada t 000 t 025 1 050 t075 t 100 Figura 102010 O procedimento para produzir um tal morfismo é delineado nos nove passos seguin tes Figura 102011 Passo 1 Dadas uma imagem inicial com densidade de imagem p e uma imagem final com densidade de imagem p posicionamos n pontos de vértice v V V na imagem inicial em caracteristicas essenciais da imagem Passo 2 Posicionamos n pontos de vértice w W W correspondentes na imagem final nas caracteristicas essenciais correspondentes da imagem Passo 3 Triangulamos as imagens inicial e final de maneiras similares desenhando seg mentos de retas entre os pontos de vértice correspondentes de cada imagem Passo 4 Emcada instante de tempo entre 0 e 1 encontramos os pontos de vértice u u4 u no morfismo da imagem daquele instante usando a formula uadvttw i12n 9 Passo 5 Triangulamos o morfismo da imagem do instante de tempo de maneira simi lar as triangulacGes das imagens inicial e final 706 Algebra Linear com Aplicacées Instante 1 Pw Imagem final Densidade dada pw ie Instante Morfismo da imagem Densidade calculada eX piu 1 Dpv 1w fp Instante 0 2 Imagem inicial Zs Densidade dada pv Figura 102011 VK Passo 6 Dado qualquer ponto u do morfismo da imagem do instante de tempo en contramos 0 triangulo da triangulagdo ao qual ele pertence e os vértices u f U f e ut desse tridngulo Ver Exercicio 1 para decidir se um ponto dado esta num triangulo Passo 7 Expressamos u como uma combinagao convexa de u u f e ut encon trando as constantes c c Cx tais que ucmt cu cpat 10 e c tc tc 1 11 Passo 8 Determinamos a localizacao do ponto u nas imagens inicial e final usando vcVcVCyVx na imagem inicial 12 e wcwcwtcyWy naimagem final 13 Passo 9 Finalmente determinamos a densidade de imagem p u no ponto u do mor fismo da imagem usando p a 1 Dpov tpw 14 O Passo 9 a chave para distinguir um morfismo da uma deformagao A Equacao 14 toma médias ponderadas dos niveis de cinza das imagens inicial e final para produzir o nivel de cinza do morfismo da imagem Os pesos dependem da fracao das distancias que os pontos de vértice j4 moveram de suas posigGes iniciais para as suas posioes finais Por exemplo se os pontos de vértice moveram um quarto do caminho até seu destino ou seja se t 025 usamos um quarto dos niveis de cinza da imagem final e trés quartos dos niveis de cinza da imagem inicial Assim 4 medida que 0 tempo avanga nao sé a forma da imagem inicial vai mudando gradualmente para a forma da imagem final como numa deformacio mas também os niveis de cinza da imagem inicial vao mudando gradual mente para os niveis de cinza da imagem final O procedimento que acabamos de descrever para gerar um morfismo é muito incé modo para ser feito 4 mao mas é 0 tipo de atividade repetitiva e enfadonha na qual se sobressaem os computadores Um morfismo bem feito exige um bom preparo e requer mais habilidade artistica que matematica A habilidade matematica exigida de quem projeta o software As duas fotografias que queremos submeter ao morfismo devem ser escolhidas cuidadosamente para ter caracteristicas correspondentes e os pontos de vér 1020 Deformacées e morfismos 707 tice também devem ser escolhidos cuidadosamente de modo que os triangulos das duas triangulag6es resultantes contenham caracteristicas similares das duas imagens Quando executado corretamente cada quadro de um morfismo deveria parecer tao real quanto as imagens inicial e final As técnicas que discutimos nesta segao podem ser generalizadas de varias maneiras para produzir deformag6es e morfismos muito mais elaborados como a seguinte 1 Se as imagens so coloridas os trés componentes da cor vermelho verde e azul podem ser transformados separadamente para produzir morfismos coloridos 2 Em vez de seguir caminhos retilineos aos seus destinos podemos direcionar os vérti ces de uma triangulagao separadamente ao longo de caminhos mais complicados para produzir uma variedade de resultados 3 Em vez de viajar com velocidade constante ao longo de seus caminhos podemos obrigar os vértices de uma triangulacao a ter velocidades diferentes em instantes de tempos diferentes Por exemplo num morfismo entre duas faces podemos mudar primeiro 0 contorno dos cabelos depois o nariz e assim por diante 4 Analogamente podemos fazer variar os niveis de cinza das imagens inicial e final em instantes diferente e em vértices diferentes de maneiras mais complicadas que a da Equagao 14 5 Usando as técnicas desta secdo e triangulando superficies podemos construir mor fismos entre duas superficies do espaco tridimensional por exemplo duas cabegas completas 6 Podemos construir morfismos entre dois sdlidos do espaco tridimensional por exem plo duas tomografias tridimensionais em tempos distintos de um coragéo humano pulsante dividindoos em tetraedros sdlidos correspondentes 7 Podemos construir morfismos quadro a quadro entre as imagens de duas sequéncias de animagoes usando morfismos distintos em cada par de imagens por exemplo fazendo um ator caminhando num esttidio gradualmente transformarse num macaco caminhando no estudio 8 Em vez de utilizar segmentos de reta podemos usar curvas mais complicadas como curvas interpoladoras para triangular duas imagens 9 Generalizando as férmulas dadas nesta seco podemos construir morfismos de trés ou mais imagens Essas e outras generalizacgées fizeram de deformacées e morfismos duas das areas mais ativas da computagao grafica Conjunto de exercicios 1020 1 Em cada parte determine se 0 vetor v é uma combinagao con 2 Verifique a Equacao 7 para as duas triangulacdes dadas na vexa dos vetores V V V Faca isso resolvendo as Equagées Figura 10204 1 e 3 para c c ec e verificando se esses coeficientes so 3 E dada uma transformaciio afim com uma matriz M de tama nao negativos nho 2 X 2 e um vetor bidimensional b Sejam v cv cv 3 1 3 4 cVvondec c c 1wMvybecomi 12 a v 3 Y YW BI y 3 3 w Mv b Mostre que w cw cw cW Isso mostra que uma transformagao afim transforma uma combi 2 1 3 4 nacao convexa de vetores na mesma combinagaéo convexa das b v I v Y BI v3 3 imagens dos vetores 4 a Exiba uma triangulagado dos pontos da Figura 10204 na c v Bt v I v lsh v qual Os pontos V V V formam os vértices de um sé 0 3 2 0 triangulo 1 3 9 3 b Exiba uma triangulagao dos pontos da Figura 10204 na d v Br v BI vy I v qual os pontos y v e Vv ndo formam os vértices de um s6 triangulo 708 Algebra Linear com Aplicacées 5 Em cada parte encontre a matriz M de tamanho 2 X 2 0 vetor Sugestdo examine primeiro o vetor ca cb multipli bidimensional b que definem a transformagao afim que trans cado pelo fator de escala 1c c forma Os tes vetores V V V3 Nos tres vetores W W W3 c Sejam v Vv e Vv pontos nao colineares do plano Mostre Faga isso montando um sistema de seis equagoes lineares para que se c C c forem ntimeros nao negativos tais que c as quatro entradas da matriz M e as duas entradas do vetor b c c 1 entdo o vetor cv cV CV estard no 1 2 2 triangulo que conecta as pontas dos trés vetores Suges y if a 3 a Ja tdo considere a v ve b v v e use a Equacado 4 9 5 1 e as partes a e b deste exercicio w 3 Ww 5 Ws 3 7 a O que vocé pode dizer sobre os coeficientes c c eC 5 0 9 que determinam uma combinac4o convexa v cv b CV 3V se V estiver num dos trés vértices do triangulo b v I Wo V3 22 33 2 0 l determinado pelos trés vetores v v V w ih w Ww b O que vocé pode dizer sobre os coeficientes c c e c que l l 4 determinam uma combinagao convexa Vv cVv cv 2 3 1 c3V se Vv estiver num dos trés lados do triangulo determi OR i i Y v Br nado pelos trés vetores v V V3 0 5 3 c O que vocé pode dizer sobre os coeficientes c c e c que WiJ5 Wa5 Ws 3 determinam uma combinagao convexa v cv V 3V se V estiver no interior do triangulo determinado 0 2 4 pelos trés vetores v Vv e V3 MMF wWlop Wy 3 8 a Ocentroide de um triangulo esta no segmento de reta w 2 ne w 2 que conecta qualquer um dos trés vértices do triangulo 1 3 9 ao ponto médio do lado oposto Sua localizagio nesse 6 a Sejam ae b vetores linearmente independentes do plano segmento de reta fo ots torsos distancia do vértice Mostre que se c e c forem nimeros nao negativos tais Se os tres i ovtroid orem dacos pe ny vetores Vir Vo V5 que c c 1 entio o vetor ca cb estard no seg escreva 0 centroide como uma combinacao convexa des ses trés vetores mento de reta que liga as pontas dos vetores a e b b Sejam ae b vetores linearmente independentes do plano b Use o resultado da parte a para encontrar vetor que an P x define o centroide do triangulo determinado pelos trés Mostre que se c e c forem ntimeros nao negativos tais que c c 1 entao o vetor ca cb estara no trian vértices 3 e gulo que conecta a origem e as pontas dos vetores ae b 3 12 LI SQ Secao 1020 Exercicios com tecnologia Os exercicios seguintes foram elaborados para serem resolvidos Vv utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é nao colineares na superficie Entéo um vetor v v MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também U pode ser algum ihe Upo sof ware Algebra nei On uma esta no triangulo formado por esses trés vetores se e sé calculadora cienti tea com uncionalidades de Alge ra vinek Em se v uma combinacdo convexa dos trés vetores ou seja cada RETO VOCE devera ler a Sone pertinente do re VcV V cV com coeficientes nao negativos c Cc curso particular que estiver utilizan O Oo jetivo destes exercicios ec cuja soma 1 é fornecer uma competncia basica na utilizagao do seu recurso Kani aa a Mostre que nesse caso c c C S40 solugées do siste computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes exercicios A ma linear seguinte vocé estar capacitado a usar seu recurso computacional para re solver muitos dos problemas nos conjuntos de exercicios regulares a v c T1 Para construir uma deformac4o ou um morfismo de uma su Uy Uy Up I v perficie em R precisamos conseguir triangular a superficie Cy Uj3 Ua3 U3 c v3 vy Uy U3 1 1 1 3 1 Sejam v UV V VU e Vv Uy trés vetores U15 Vo U33 1020 Deformacdes e morfismos 709 Em cada parte b c e d determine se 0 vetor v uma combina quatro vetores ou seja V cV cV V cvcom 2 3 2 coeficientes nado negativos cc C eC cuja soma 1 ao convexa dos trés vetoresv 7v Oev 2 a Mostre que nesse caso c C C C S40 solugdes do 5 9 4 sistema linear seguinte 9 10 13 Uj Yay 34 Var v b v 9 c V 9 d v 7 Vip Unn U3 Vag or Vv 9 9 50 Ui3 Uy3 U33 Ugg C3 v3 1 1 1 1 C4 1 T2 Para construir uma deformagéo ou um morfismo de um objeto s6lido em R primeiro particionamos o objeto em tetraedros Em cada parte b c e d determine se o vetor v 2 Un V9 v3 oo disjuntos Sejam v v v 0 v vp fe uma combinac4o convexa dos trés vetores v 6 12 P 3 3 7 1 1 V4 Vi3 053 U33 x Y 4v2ev 3 Vv UV quatro vetores nao coplanares Entao um vetor 5 3 5 U3 v 5 1 1 Vv v esta no tetraedro sdlido formado por esses qua bo v 0 c v 1 d v2 U 7 2 2 tro vetores se e s6 se V uma combinacfo convexa dos Esta página foi deixada em branco intencionalmente APENDICE A Como ler teoremas Como muitos dos conceitos importantes de Algebra Linear sdo apresentados como teo remas é importante estar familiarizado com as diversas maneiras pelas quais podemos estruturar um teorema Neste apéndice ajudamos a entender isso Os teoremas mais simples sao da forma Forma contrapositiva Se H for verdadeiro entao C sera verdadeiro 1 de um teorema onde H é uma afirmagao denominada hipétese e C é uma afirmagao denominada tese ou conclusdo O teorema é verdadeiro se a conclusdo for verdadeira sempre que a hipotese for verdadeira o teorema é falso se existir algum caso em que a hipotese for verdadeira e a conclusdao for falsa E costume denotar um teorema da forma 1 por HC 2 que se 1é H implica C Como um exemplo 0 teorema Se ambos a e b forem nimeros positivos entdo ab é um numero positivo 3 é do tipo 2 onde H ambos ae b sao ntimeros positivos 4 C ab é um numero positivo 5 As vezes é desejavel reescrever um teorema de maneira negativa Por exemplo 0 teorema em 3 pode ser reescrito equivalentemente como Se ab nao for um nimero positivo entdo a e b nao serdo ambos nimeros positivos6 Assim escrevendo H para dizer que 4 é falso e C para dizer que 5 é falso a estru tura do teorema 6 é C H 7 Em geral qualquer teorema da forma 2 pode ser reescrito na forma 7 que é denomi nada a contraposidao de 2 Se um teorema for verdadeiro entéo sua contraposiao sera verdadeira e viceversa A reciproca de um teorema é a afirmagao que resulta permutando a hipdétese com a tese Reciproca de um teorema Assim a reciproca do teorema H C é a afirmacao C H Enquanto a contraposiao de um teorema verdadeiro é sempre verdadeira a reciproca de um teorema verdadeiro pode ser verdadeira ou nao Por exemplo a reciproca de 3 é a afirmacao falsa Se ab for um numero positivo entdo a e b serdo ambos niimeros positivos No entanto a reciproca do teorema verdadeiro Se a b entdo 2a 2b 8 o teorema verdadeiro Se 2a 2b entdo a b 9 Se um teorema H Ce suareciprocaC H forem ambos verdadeiros diremos que H Afirmacées equivalentes e C sao afirmagoes equivalentes o que denotamos por HscC 10 e que se lé H e C sao equivalentes ou H se e s6 se C Existem varias maneiras de formular afirmag6es equivalentes de um mesmo teorema Aqui temos trés maneiras de combinar 8 e 9 num tnico teorema 712 APENDICEA Como ler teoremas FORMA1 Seab entdo 2a 2b e reciprocamente se 2a 2b entdo a b FORMA2 abDse e586 se 2a 2b FORMA3 As afirmagées seguintes sao equivalentes ab ii 2a 2b Teoremas envolvendo duas As vezes dois teoremas verdadeiros fornecem um terceiro teorema verdadeiro Especi ou mais afirmacées ficamente se H C for um teorema verdadeiro e C D for um teorema verdadeiro entéo H D também devera ser um teorema verdadeiro Por exemplo os teoremas Se os lados opostos de um quadrildtero forem paralelos entdo o quadrildtero serd um paralelogramo e Lados opostos de um paralelogramo tém comprimentos iguais implicam o terceiro teorema Se os lados opostos de um quadrildtero forem paralelos entdo esses lados tém comprimentos iguais As vezes trés teoremas fornecem afirmacées equivalentes de graca Por exemplo se HC CSD DH 11 entao temos 0 circuito de implicagées da Figura A1 pela qual podemos concluir que H CH DSC HSD 12 Combinando isso com 11 obtemos HSC CSD DSH 13 pe ec Resumindo se quisermos provar as trés equivaléncias em 13 basta provar as trés impli Figura A1 cag6es em 11 APENDICEB Numeros complexos Os nimeros complexos surgem naturalmente na resolucdo de equacées polinomiais Por exemplo as solugées da equacdo quadrdatica ax bxc0 que sdo dadas pela for mula b Jb 4ac x SS 2a sao nimeros complexos se a expressdo dentro do radical for negativa Neste apéndice iremos apresentar algumas das ideias bdsicas relativas a nimeros complexos que sao utilizadas neste livro Para tratar do problema da falta de solugGes reais da equagao ea los matematicosdo Numeros complexos século XVII inventaram o nimero imaginario ivl que se sup6e ter a propriedade i J1 1 mas que fora isso tem as propriedades algébricas de um ntimero real Uma expressao da forma atbi ou atib em que ae b sao nimeros reais é denominada niimero complexo As vezes é conveniente usar uma tinica letra em geral z para denotar um nimero complexo quando escrevemos zatbi ou zartib O numero a é denominado parte real de z e denotado por Rez e o nimero b é a parte imaginaria de z denotada por Imz Assim Re3 27 3 Im3 27 2 Re1 51 1 Im 1 57 Im1 5i 5 Re7i Re07i 0 Im7i 7 Re4 4 Im4 Im4 07 0 Dois nimeros complexos sao considerados iguais se e s6 se suas partes reais sAo iguais e suas partes imaginarias sao iguais ou seja atbictdi se e SO se acebd Um ntimero complexo z bi cuja parte real é nula é denominado nimero imagindario Um ntimero complexo com parte imagindria nula é um numero real de modo que os nu meros reais podem ser vistos como um subconjunto dos nimeros complexos Os nimeros complexos sao somados subtrafdos e multiplicados de acordo com as regras basicas da Algebra s6 que i 1 a bi cdi acbdi 1 a bi cdi acbdi 2 a bic di ac bd ad bei 3 A formula de multiplicagao é obtida expandindo o lado esquerdo e usando o fato de que i 1 Observe também que se b 0 entao a formula de multiplicacdo simplifica para 714 APENDICE B Numeros complexos acdiacadi 4 O conjunto dos nimeros complexos dotado dessas operagGes é costumeiramente denota do pelo simbolo C e denominado sistema dos nimeros complexos Multiplicagao de numeros complexos Na pratica costuma ser mais conveniente calcular produtos de nimeros complexos dire tamente por expansdao em vez de substituigao em 3 Por exemplo 3 2i45i 124 15i 81 1017 12 10 7i22471 O plano complexo Um ntmero complexo z a bi pode ser associado ao par ordenado a b de numeros reais e representado geometricamente por um ponto ou um vetor no plano xy Figura B1 Dizemos que esse é 0 plano complexo Os pontos do eixo x tém uma parte imaginaria igual a zero e portanto correspondem a nimeros reais enquanto pontos no eixo y tém parte real igual a zero e correspondem a ntmeros imaginarios Em vista disso dizemos que 0 eixo x 0 eixo real ec 0 eixo y 0 eixo imagindrio Figura B2 Eixo imaginario y y Parte imaginati zatbi atbi arte imaginaria b b 55 de z Eixo real x x a a a Parte real de z Figura B1 Figura B2 Os ntiimeros complexos podem ser geometricamente somados subtraidos ou multipli cados por ntimeros reais efetuando essas operagdes com os vetores associados ver Figura B3 por exemplo Nesse sentido 0 sistema dos nimeros complexos C estreitamente relacionado a R mas a principal diferenga é que os nimeros complexos podem ser mul tiplicados para produzir outros nimeros complexos ao passo que nao existe operagdo de multiplicagao alguma em R que produza outros vetores em R o produto escalar produz um escalar e néo um vetor em R y y 7 zy 2 2 Zz 1 2 x2 24 y x x a b zartbi A soma de dois A diferenga de dois Figura B3 numeros complexos numeros complexos Se z a bi for um nimero complexo entéo 0 conjugado complexo de z ou sim plesmente 0 conjugado de z denotado por Z que lemos z barra e definido por Zabi ab Zabi Figura B4 5 Numericamente Z é obtido de z trocando o sinal da parte imagindria e geometricamente é obtido refletindo 0 vetor de z no eixo real Figura B4 APENDICE B Nutmeros complexos 715 Alguns conjugados complexos z344i z34i z 2Si Z245i zi Zi z7 z74 Observacao A iiltima conta neste exemplo ilustra o fato de que um ntiimero real é igual ao seu conjugado complexo Mais geralmente z Z se e s6 se z um numero real A proxima conta mostra que o produto de qualquer nimero complexo z a bicom seu conjugado z a bi é um ntmero real nao negativo pois zZabiabi a abibai Viva b 6 O leitor deve reconhecer que Veava b at bi 0 comprimento do vetor correspondente a z Figura B5 dizemos que esse comprimen ewan to o médulo ou valor absoluto de z que denotamos por z Assim Iz jJVezVa h 7 Observe que se b 0 entao z a um ntimero real ez Va al o que nos diz que KI Ne o médulo de um ntimero real é 0 mesmo que seu valor absoluto Figura B5 Algumas contas de modulo z344i Iz V37 44 5 c4Si el V4 5 VAI zi zyJ V0P1 4 Se z 0 entao 0 reciproco ou inverso multiplicativo de z é denotado por 1z ou ze Reciprocos e divisao é definido pela propriedade 1 z1 Zz Essa equagao tem uma unica solucao para 1z que pode ser obtida multiplicando ambos os lados por Ze usando o fato de que zZ z ver 7 Assim obtemos 1 Zz z z 8 Se Z2 0 entéo o quociente z1Z2 definido como o produto de z1 com 1z2 Assim obtemos a formula 4 24 2 a lal lal Observe que a expressao 4 direita de 9 resulta da multiplicagaéo do numerador e do de nominador de zZ2 por Z2 Em termos praticos muitas vezes essa é a melhor maneira de efetuar divisdes de nimeros complexos 716 APENDICE B Numeros complexos Divisao de numeros complexos Sejam z 3 47e z2 2i Expresse zz2 na formaa bi Solugéo Miultiplicamos o numerador e 0 denominador de 21Z2 por Z2 Assim obtemos a 212 34H Lee Z2 2222 12i 142i 346i 4i 8 7 1 42 5 10i S 12i Os proximos teoremas listam algumas propriedades tteis do médulo e da conjugagao TEOREMA B1 Os resultados a seguir valem com quaisquer nimeros complexos Zy Z1 ez a gy Z en Z b 4 C 75 4 4 e 72z TEOREMA B2 Os resultados a seguir valem com quaisquer nimeros complexos Z Zl eZ a zl IzI d 121 Z 12 122 ce 12 21 lz MZ 2 Z 21 5 la1 Z Forma polar de Se z a bi for um ntmero complexo nao nulo e se for um angulo desde 0 eixo real um numero complexo até o vetor z entao como sugere a Figura B6 as partes real e imaginaria de z podem ser expressas por azcosé e bzsengd 10 Assim 0 nimero complexo z a bi pode ser escrito como a b AH bIqsen o Icose rsend mm od i que é a forma polar de z O angulo nessa formula é denominado um argumento de z O a Rl eos argumento de z nao é tinico porque podemos somar ou subtrair qualquer multiplo de 27 Figura B6 para obter um outro argumento de z Contudo existe somente um argumento cuja medida em radianos satisfaz a7 12 Esse argumento é denominado argumento principal de z APENDICE B Numeros complexos 717 Forma polar de um numero complexo Expresse z 1 3i em forma polar usando o argumento principal Solugdao O médulo de z é klylv3y Vv42 Assim decorre de 10 coma leb VJ3 que 12cos e J3 2seng a 0 que implica v3 ve 1 3 cos 5 e send 1V3 O tinico Angulo que satisfaz essas equacgGes e cuja medida em radianos esta no intervalo Figura B7 12 23 Figura B7 Assim a forma polar de z é 2 cos 5 isen5 2 cosy isen5 2cos isen 2cos isen 3 3 3 3 Vejamos como as formas polares de nimeros complexos fornecem uma interpretagao ge Interpretagaéo geométrica da ométrica da multiplicacao e divisao Sejam multiplicagao e divisao de 1 IZ cosd isend e 22 z2cos iseng PUMeros complexos as formas polares dos nimeros complexos nao nulos Z e Z2 Multiplicando obtemos 22 Iz Izcos cos sendsend isend cos cosh send Agora aplicamos as identidades trigonométricas ZZ y cosh d cosd cos sen di send e 2 send d send cosd cos dsend IJ z e obtemos lela y Iz x 2 z1zcosb isend 4 13 db que é a forma polar do nimero complexo de médulo z1z2e argumento 2 Assim Figura B8 mostramos que multiplicar dois nimeros complexos tem o efeito geométrico de multipli car seus médulos e somar seus argumentos Figura B8 Uma conta muito parecida mostra que ZI IZ cosf b isenh 14 Z Z 0 que nos diz que dividir dois nimeros complexos tem o efeito geométrico de dividir seus médulos e subtrair seus argumentos ambos na ordem apropriada Multiplicando e dividindo em forma polar Utilize as formas polares dos nimeros complexos z 1 Vie B JV3i para cal cular ZZ2 eZ Z2 Solucao As formas polares desses nimeros complexos sao 5 ua 4i a 4i a 2cos isen 2cos isen 1 3 3 6 6 718 APENDICE B Numeros complexos verifique Assim segue de 13 que 4 eos 5 sem 5 G 4oos5 isen5 4 4cos isen 4cos isen4i 1 3 6 3 6 2 2 e de 14 que 2 iosF isen F m Z senZ 34 1cos isen cos isen 1 Zy 3 6 3 6 6 6 2 2 Para conferir vamos calcular zz2 e Z1Z2 diretamente y 2 U4 V3iIV3 i V3 414314 V3 4i ip eo oops z l4v3i 1473 V3i V3i431iV37 273 42i v3 1 a N FF OOD OF ee eee FE OS l em V3ati V3ti vV3i 37 4 2 2 Zz 0 que confere com o resultado obtido usando formas polares 4 90 x Observacdo O nimero complexo i tem mddulo igual a e argumento principal 72 Assim se z for um nimero complexo entao iz tem o mesmo médulo de z mas seu argu Figura B9 mento aumentou por 22 90 ou seja a multiplicagdo por i tem o efeito geométrico g de girar o vetor z no sentido antihorario por 90 Figura B9 Formula de De Moivre Sen for um inteiro positivo e z for um nimero complexo nao nulo de forma polar z zcosh isend entao elevar z a enésima poténcia fornece Zs zezee 2 2cosooifseno9 n fatores n parcelas n parcelas que pode ser escrito mais sucintamente como z zcosnd isennd 15 No caso especial em que z 1 essa formula simplifica para z cosnd isennd a qual usando a forma polar de z resulta em cos isend cosnd isennd 16 Esse resultado é conhecido como formula de De Moivre Formula de Euler Se forum numero real digamos a medida em radianos de algum Angulo entao a funao exponencial complexa e é definida por e cosé isend 17 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr APENDICE B Nutmeros complexos 719 que muitas vezes é denominada formula de Euler Uma motivacao para essa formula vem das séries de Maclaurin estudadas no Calculo Os leitores que j4 estudaram séries infini tas no Calculo podem deduzir 17 substituindo formalmente 76 no lugar de x na série de Maclaurin de e e escrevendo 0 1 cg OY Gy iy iyY iy e 1i0 a toes e 8 8 8 Q Q Q Q cos isen onde o Ultimo passo acima segue das séries de Maclaurin de cos 0 e sen 0 Se z a bi for algum nimero complexo qualquer definimos a exponencial com plexa e por ee cosh isend 18 Pode ser provado que as exponenciais complexas satisfazem as propriedades padrao de expoentes Assim por exemplo e 1 ele et er ze z e e httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr RESPOSTAS DOS EXERCICIOS Conjunto de exercicios 11 pagina 9 1 a c e f sio equacées lineares b d e e nao séio equacées lineares 3 a e d sdo sistemas lineares b e c nao sao sistemas lineares 5 Ambos a e d sao consistentes 7 a d e e s4o0 solugées b e c nao so solugGes 9 a x 31 3 b x ir as t yt xX r x s Xt 11 a 2x 0 b 3x 2x 5S ec 7x 2x x 3x 5 3x 4x 0 Tx X 4 3 xX 2x 4x 1 x 1 2x x T d x 7 xX 2 Xx 3 x 4 2 6 0 2 0 3 1 0 13 3 8 4 1 ii 31 1 0 01 9 3 9 5 1 1 6 2 1 2 3 6 d 100017 Verdadeirofalso 11 a Verdadeira b Falsa c Verdadeira d Verdadeira e Falsa f Falsa g Verdadeira h Falsa Conjunto de exercicios 12 pagina 22 1 a Ambas b Ambas c Ambas d Ambas e Ambas f Ambas g Forma escalonada 3 a x 37x 8x5 b x 13t 10 x 1354 t2x c x 7s 2t 11 x sx 3t4x 3t9x1t d Inconsistente 5x 3x412 7xtly2szswt 9 x 3x1x2 ll xt1y2szswt 13 Tem solucées nao triviais 15 Tem solug6es nao triviais 17 x 0x 0x 0 19 x sx tsx45xt 21wtxthyt20 2317101L2 25 Sea 4 ha uma infinidade de solugGes se a 4 nao ha solug6es se a 4 existe exatamente uma solugao 27 Sea 3 ha uma infinidade de solugGes se a 3 nao ha solugées se a 3 existe exatamente uma solugaéo 29 x 24 8 yt 2B 31 e st auas possibitidades 35 x 1 y V73 z42 37 a1b6c2d10 39 Osistema nao homogéneo tera exatamente uma tinica solugao Verdadeirofalso 12 a Verdadeira b Falsa c Falsa d Verdadeira e Verdadeira f Falsa g Verdadeira h Falsa i Falsa Conjunto de exercicios 13 Pagina 35 1 a Nao esta definida b 4X2 c Naoestadefinida d Naoestadefinida e 5X5 f 5X2 g Nao esta definida h 5X2 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr Respostas dos Exercicios 721 7 6 5 5 4 l 15 0 3 a 2 1 3 oO 1 1 5 10 7 28 14 e Nao definida 737 l 11 5 5 217 35 22 6 8 39 21 24 0 0 f 2 4 6 g 9 6 15 h 0 0 Gi 5 G 225 k 168 1 Nao definida 10 0 4 33 12 30 0 0 12 3 42 108 75 3 45 9 3 45 9 5 a 4 5 b Nao definida c 12 3 21 d 11 11 17 e 11 11 17 4 1 367863 7 17 13 7 17 13 4 6 76 7 a 67 41 41 b 63 67 57 ce 21 d 6 e 24 56 97 f 98 67 63 97 3 3 2 12 3 2 7 9 a 48 3 6 6 5 29 2 6 45 5 44 4 24 0 4 56 0 4 9 76 3 2 7 98 7 6 4 5 9 4 97 0 4 9 64 6 4 14 6 2 4 b 21 6 0 7 3 4 22 2 0 1 47 3 77 7 5 28 7 7 5 38 6 2 4 is 4 0 3 1 45 3 74 7 7 5 Psyray pry ff 23 4S u a 9 1 1 x 1 2 os all 0 25 9 1 x 0 3 0 3 1 74I x 2 13 a 5x 6x 7x 2 b xy x 2 x 2x 3x 0 2x 3x 2 4x4 x 3 5x 3x 6x 9 1S 1 17a4b6cIl1d1 a 0 0 0 0 0 A A 43 G4 U5 6 0 a 0 OO O 9 0 dy 3 Ay ys Ag 0 O a 0 O OD 0 0 a5 Ay Gs Ax 3M 9 9 o a 0 0 0 0 0 a an ax 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 age ag 0 0 0 0 0 ag 0 0 0 0 0 ag a 0 0 0 0 0 a aq 0 0 0 0 a dy O 0 0 0 a Gy a 0 0 0 a 4 ad O ODO 0 0 dy 4 ay OO 0 d 4 Ay Ay ay O 0 a 0 0 ay ay as 9 As As 33 sy sy 0 0 0 as A555 G1 A263 on 55 665 0 0 0 DO a5 A665 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 722 Respostas dos Exercicios xX XTX a 7 y 1 2 2 2 4 7 2 0 iG 4o6 GG 144 y y yo 3 ih x 0 it y 7 2 x f x x 1 1 2 1 2 4 8 x f 1 1 0 27 Uma a saber A 1 1 0 0 0 0 11 l l V5 0 5 0 J5 0 5 0 29 i fe a Quatro 0 S 0 o 0 S 0 3 Verdadeirofalso 13 a Verdadeira b Falsa c Falsa d Falsa e Verdadeira f Falsa g Falsa h Verdadeira i Verdadeira j Verdadeira Kk Verdadeira I Falsa m Verdadeira n Verdadeira 0 Falsa Conjunto de exercicios 14 pagina 49 spa a pral P of 2 ted 26 44 05 He e He Fe 2 4 9 4 7 1B 13 waeit nf A 7 7 13 13 19 a 41 15 b 11 15 c 6 2 d 1 1 e 20 7 39 13 11 30 41 4 2 2 l1 14 6 o 26 13 27 0 0 4 0 0 1 0 0 21 a 0 26 18 c 0 5 12 d 0 3 3 0 18 26 0 12 5 0 3 3 16 0 0 25 0 0 e 0 14 15 f 0 32 24 0 15 14 0 24 32 a QO 0 1 14 0 sou 0 Ip1 42 T142 1 1 27 ws 31 DCABABCBA 33 B 35 A 5 5 5 Sk a 1 oil 1 2 2 2 vaca 5 391 H H 4m f mat 1 0 0 Verdadeirofalso 14 a Falsa b Falsa c Falsa d Falsa e Falsa f Verdadeira g Verdadeira h Verdadeira i Falsa j Verdadeira k Falsa httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr Respostas dos Exercicios 723 Conjunto de exercicios 15 pagina 58 1 a Eelementar b Naoéelementar c Nioéelementar d Nao é elementar 1 3 7 0 0 3 a Somar 3 vezes a linha 2 com a linha 0 1 b Multiplicar a linha 1 por 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 c Somar 5 vezes alinha 1 comalinha3 0 1 0 d Trocar entre si as linhas e 3 0 1 0 0 5 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 5 a Trocar entre si as linhas 1 e 2 EA 7 2 l 0 4 4 b Somar 3 vezes a linha 2 com a linha 3 EA 1 3 l 5 3 l 9 4 12 10 13 28 c Somar 4 vezes a linha 3 coma linha 1 EA 2 5 3 6 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 7 a 0 1 0 b 0 1 O c 0 1 0 d 0 1 O 1 0 0 1 0 0 2 0 1 2 0 1 3 Uu 6 1 d1 1 4 4 2 3 2 10 5 2 2 2 4 I 13 l1 1 1 15 Nao existe inversa 17 5 5 5 7 7 tl I 2 1 1 tl 2 10 5 2 2 2 2 yo 3 ff 3 0 73 l 1 3 9 5S oS 1 1 19 1 1 0 21 8 4 2 23 6 12 4 2 0 1 1 0 0 t 0 Ss 32 1 1 1 1 i 1 1 L 420 10 5 12 4 8 4 I I i 0 0 O i 0 0 0 rc 0 0 0 1 0 0 25 a 0 0 1 0 b 0 0 1 27 c01 0 0 0 0 0 0 1 3 1 1 0 1 1 4 0 1 0 21 9 2110 20 1 o 1 ffi 1 0 2 1 0 2 1 0 0 1 0 0 31 0 4 3 0 1 0 0 1 3 0 4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 t 1 oo yf 9 p 1 1 0 33 1 3 7 1 1 0 1 0 3 4 8 01 1 0 2 1 0 0 1 0 0 102 3 35 0 i 0 i 0 0 1 3 0 1 0 00 1 001 00 1 001 37 Somar 1 vez a linha 1 com a linha 2 Somar 1 vez a linha com a linha 3 Somar 1 vez a linha 2 com a linha 1 Somar a linha 2 com a linha 3 724 Respostas dos Exercicios Verdadeirofalso 15 a Falsa b Verdadeira c Verdadeira d Verdadeira e Verdadeira f Verdadeira g Falsa Conjunto de exercicios 16 pagina 65 1 x 3x1 3 x1Lx427 5 x Ly521 7 x 2b 5bx b 3d 9 x H5 i x 4 F 1 x y4 Wx 8 y idx 2 2 x t 4 13 Consistente com quaisquer b 15 bbb 17 b b by b 2b b 11 12 3 27 26 19 X 6 8 1 18 17 15 21 9 38 35 Verdadeirofalso 16 a Verdadeira b Falsa c Verdadeira d Verdadeira e Verdadeira f Verdadeira g Verdadeira Conjunto de exercicios 17 pagina 71 1 9 1 0 0 6 3 15 10 0 20 20 i 3 0 3 0 5 4 1 7 2 10 6 O 6 0 0 0 3 4 10 18 6 6 6 6 1 0 1 0 fl 0 xa i e 1 A 0 172 1 4 9 0 40 0 x 0 0 A 0 4 0 A7 09 Of A 0 3 0 0 0 16 0 0 4 0 0 x 13 Naioésimétrica 15 Esimétrica 17 Nao ésimétrica 19 Nao ésimétrica 21 Nao é invertivel 23 a 8 1 0 0 25 x124 27 0 1 0 35 a Esimétrica b Nao é simétrica exceto sen 1 ce E simétrica 0 0 1 d Nao é simétrica exceto sen 1 0 0 8 39 0 0 4 434 4 8 4 0 Verdadeirofalso 17 a Verdadeira b Falsa c Falsa d Verdadeira e Verdadeira f Falsa g Falsa h Verdadeira i Verdadeira j Falsa k Falsa 1 Falsa m Verdadeira httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr Respostas dos Exercicios 725 Conjunto de exercicios 18 pagina 84 1 50 3 a x x 500 x x 100 x x 300 x x 100 b x 100 tx 400 tx S00 4xf 40 10 c Para que todas as taxas sejam negativas necessitamos de t 500 carros por hora portanto x 400 x 100 x 0 x 500 30 60 10 50 40 13 51 A 1 2A LF 2A 715111 5A 1 10A 9 x 1x 5x 3 ex 4 a equacdo equilibrada CH SO 3CO 4H0 ll x x x x a equagao equilibrada é CHCOF HO CHCOOH HF 13 p x2x2 15 px 1 Bx ix 17 a Usando a k como parametro px 1 kx 1 kxcom k b Mostramos o grafico com k 0 12 e3 y 4 k0 3 k1 2 x 2 Al 1 k3k2 Verdadeirofalso 18 a Verdadeira b Falsa c Verdadeira d Falsa e Falsa Conjunto de exercicios 19 pagina 90 01 06 04 31500 1 a 99 925 Gy 25290 7 3 ay 03 02 03 b 26500 5 12308 Verdadeirofalso 19 a Falsa b Verdadeira c Falsa d Verdadeira e Verdadeira Capitulo 1 Exercicios suplementares pagina 91 1 3x x x 1 3 2x 4x 4 6 2x 3x 3x l 4x 3x l x 3s 311 x 2s148 xy 5 x 1 3 nn 2 27 42 3 2 27 03 8s Ag xy 3 OF x x x 8 5 x 2x ty y txiy 7x4y2z3 9 a a0b42 b a0D2 Cc a0b2 d a0b2 13 160 0 2 l1 3 1 1 2 737 73r un Kk 4 1 x 6 0 i mx 3 p ox 2 37 37 15 a1b2c3 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 726 Respostas dos Exercicios Conjunto de exercicios 21 pagina 98 a os od 1 M 29C 29 3 a M0C0 5 2 8 7 ss 7 M 21C 21 b M 96 C 96 1 22 5959 M 27 C3 27 c M 48 C 48 M 11C 11 d M 72 C 72 M 13 C 13 M 5C 5 M 19 C 19 M 19 C 19 M 19 Cy 19 9 a S5a21 11 65 13 123 154 lou3 17 lou1 19 123 todas as partes 21 40 23 0 25 240 27 1 290 31 6 33 Odeterminante é sen cos1 35 ddA Verdadeirofalso 21 a Falsa b Falsa c Verdadeira d Verdadeira e Verdadeira f Falsa g Falsa h Falsa i Verdadeira Conjunto de exercicios 22 pagina 105 5 5 7 1 9 1 115 13 33 156 17 2 19 Exercicio 14 39 Exercicio 15 6 Exercicio 16 5 Exercicio 17 2 21 6 23 72 25 6 27 18 Verdadeirofalso 22 a Verdadeira b Verdadeira c Falsa d Falsa e Verdadeira f Verdadeira Conjunto de exercicios 23 pagina 115 7 Einvertivel 9 Einvertivel 11 Nao éinvertivel 13 Einvertivel 15 k 4 sv 172k1 1 3 35 5 2 2 5 4 i 19 At 3 4 5 22 AT 0 1 3 23 A 2 2 3 2 7 0 l 8 0 0 5 6 0 1 7 25 x a y 2 z t 27 x 2 xX x3 29 A regra de Cramer nao é aplicavel 31 y 0 35 a 189 b5 ce e7 37 a 189 b4 ME Verdadeirofalso 23 a Falsa b Falsa c Verdadeira d Falsa e Verdadeira f Verdadeira g Verdadeira h Verdadeira i Verdadeira j Verdadeira Kk Verdadeira I Falsa Capitulo 2 Exercicios suplementares pagina 117 1 18 324 5 10 7 329 9 Exercicio 3 24 Exercicio 4 0 Exercicio 5 10 Exercicio 6 48 11 As matrizes nos Exercicios a3 so invertiveis e a matriz no Exercicio 4 nao é 1 l 3 L 2 1 1 1 8 8 8 5 5 10 13 b5b21 15 120 1 a og 2 2 6 9 Pot La 2 6 3 4 12 12 5 5 10 Respostas dos Exercicios 727 j0 2 32 27 329 329 329 329 55 ji 43 16 2 2 2 2 2 2 23 329 329 329 329 25 x ix ty ytxiy 29 b cosp 42 cosy 42 3 10 25 6 47 47 47 47 3b 329 329 329 329 Conjunto de exercicios 31 pagina 128 1 a z b 42345 z d z y 34542 WO yA 9 ZA y by 1 27 AF ft PE 3 45 e 3445 rik WE F3 45 Fatty iy OTNPAE LEH cp LY fo a Bt 5 x x 3 a gy b a yy ge ye 4 s7 WA y y y V7 7 x 7 a x x 42 7p ye O ph ay x x I fo 7 a PP 1 3 b PP 3 6 1 9 a O ponto final é B23 b O ponto inicial é A2 2 1 11 a Uma resposta possivel é 1 2 4 b Uma resposta possivel é P7 2 6 13 2 uw14 b v3u128 c 2Cu 5w 8 28 d 3v 2u 2w 4 29 e 3w 2u v 33 12 ff 2u vy 5v 3w 37 17 15 a 19111 b 2253 19 14 ce 13 13 36 2 d 90 114 60 36 e 9 5 5 3 f 27 29 27 9 17 a wu9 3 3 85 b 2v 3u 13 5 1413 9 w 3v uw 14 2 24 27 d 5v 4u w 125 25 20 75 70 e 23w v Qu w 32 10 1 27 16 f 4w5v42uv 3 3 12 3 2 19 a vw21 427 b 6u 2v 10 6 4 2628 c Qu 7w 8v u 77 8 94 25 23 21 x 3 3 5 2 23 a Nao sao paralelos b Sao paralelos c Sao paralelos 25 a3b1 27 2c1c5 29 1c1clc1 33 a 3 b 4 3 Verdadeirofalso 31 a Falsa b Falsa c Falsa d Verdadeira e Verdadeira f Falsa g Falsa h Verdadeira i Falsa j Verdadeira k Falsa Conjunto de exercicios 32 pagina 141 4 3 4 3 1 1 1 1 I 1 L Ivl5 pp 3 a CE 3 ll 2V3 ee 1 4 Iv V15 FP 7eG O 213 APerzR 0 2 1 3 3 a ju vil 83 b lull lvl V17 26 2u 2v 2V3 d 3u Sv wl V466 5 a 3u5vwi 2570 b 3ull 5 vil llwl 3V46 1021 42 lull vl 2V966 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 728 Respostas dos Exercicios 7k3k3 9 a uv8uu26vv24 b uv0uu54vv21 11 a jJuvlV14 b luvilV59 ce luvl V677 13 a cos6 sao agudo b cos x75 0 obtuso c cosé sae 9 obtuso 15 ab 453 17 a uvw nao faz sentido porque v wé umescalar b u Vv w faz sentido c lu v nao faz sentido porque a quantidade dentro da norma é um escalar d uv lul faz sentido pois ambas parcelas sAo escalares 1 1 301 WB a 2 3 4A 19 a 3 3 5 ss 2 2 a VS JB Vs a 23 a cos Te b cos Ti c cos80 d cos 0 25 a juv 10 lull lvl V13V17 14866 b u vj 70lul lv V 1014 11832 c uv 5S full lvl 32 6 27 Eaesfera de raio centradaem x yy Verdadeirofalso 32 a Verdadeira b Verdadeira c Falsa d Verdadeira e Verdadeira f Falsa g Falsa h Falsa i Verdadeira j Verdadeira Conjunto de exercicios 33 pagina 150 1 a Sao ortogonais b No sao ortogonais c No séo ortogonais d Nao s4o ortogonais 3 a Oconjunto nao é ortogonal b Oconjunto é ortogonal c O conjunto é ortogonal d O conjunto nao é ortogonal 5 4 7 Formam 9 2 1 y320 1 2z0 13 Nao sio paralelos 15 Sao paralelos 17 Nao séo perpendiculares 19 a 2 b a 21 00 62 23 0 73 1 4 2 1 3 6 1 1 1 5 1 25 a 0 35 I 27G 3 i i we H 2 1 3h ze 335 35 37 7 39 0 Os planos coincidem 41 cosB We cosy Tl Verdadeirofalso 33 a Verdadeira b Verdadeira c Verdadeira d Verdadeira e Verdadeira f Falsa g Falsa Conjunto de exercicios 34 pagina 159 1 Equacio vetorial x y 4 1 0 8 Equac6ées paramétricas x 4 y 1 8f 3 Equacao vetorial x y z t 3 0 1 Equacoes paramétricas x 3ty 0z f 5 Ponto 3 6 Vetor paralelo 5 1 7 Ponto 4 6 Vetor paralelo 6 6 9 Equagao vetorial x y z 3 1 0 40 3 6 4S 1 2 Equagoes paramétricas x 3 54 y 1 3t 42 60 28 11 Equacao vetorial x y z 1 14 46 1 0 41 3 1 Equag6es paramétricas x 1 6f4y134h246 13 Uma resposta possivel é a equagao vetorial x y t 3 2 Equacoes paramétricas x 3 y 2t Respostas dos Exercicios 729 15 Uma resposta possivel é a equacao vetorial x y z 0 1 0 165 0 4 Equag6es paramétricas x 5t y z 412 17 x stx5x 19 x 3r Bs 81 Xy iris it xX X S xXt 21 a 1 00 s1 10 101 b Um plano em R passando por P1 0 0 e paralelo a 1 1 0 e 1 0 1 23 a x y z O b Uma reta pela origem em R c x it y 3t zt 2x 3y 0 25 a x stt xX Sxt x 1is4t XxX S8 X141 27 x s ht xX S x f xX 1asolugao geral do sistema homogéneo associado x 4s it Uma solugao parti cular do sistema dado é x i x 0 x 0 x4 1 Verdadeirofalso 34 a Verdadeira b Falsa c Verdadeira d Verdadeira e Falsa f Verdadeira Conjunto de exercicios 35 pagina 168 1 a 3264 b 14 20 82 ce 2740 42 3 1836 18 5 393 7 59 9 V101 113 137 15 ir 17 16 19 Os vetores nao séo coplanares 21 92 23 abc 25 a 3 b 3 c 3 27 a 6 b x26 29 2v Xu 37 a Z b 5 Verdadeirofalso 35 a Verdadeira b Verdadeira c Falsa d Verdadeira e Falsa f Falsa Capitulo 3 Exercicios suplementares pagina 170 1 a 3v 2u 13 3 10 b luttvwl J70 ce V774 d projwu 2 5 5 e uv X w 122 f Sv W X u vw 3150 2430 1170 3 a 3v 2u 5 12202 b uvwiV106 c V2810 d proju 2 1 6 6 5 Nao é ortogonal 7 a Uma reta pela origem perpendicular ao vetor dado b Um plano pela origem perpendicular ao vetor dado c 0 a origem d Uma reta pela origem perpendicular ao plano contendo os dois vetores nao colineares i 14 ul 9 Verdadeira 11 S115 13 15 4h 17 Equacao vetorial x y z 2 13 41 2 2 45 1 5 Equac6es paramétricas x 2 t 5ty 12ttz232t 54 19 Equacgao vetorial x y 0 3 t 8 1 Equacées paramétricas x 8fy 3f 21 Uma resposta possivel é a equacao vetorial x y 0 5 1 3 Equacgées paramétricas x t y 5 3 23 34 1 6 5 260 25 18 9 Sly 24z 4 0 29 Um plano Conjunto de exercicios 41 pagina 178 1 a u v26 3u 06 ce Axiomasla5 3 Eum espaco vetorial com as operacées dadas 5 Nao é um espago vetorial falham os Axiomas 5e 6 7 Nao é um espago vetorial falha o Axioma 8 730 Respostas dos Exercicios 9 Eum espaco vetorial com as operacées dadas 11 E um espaco vetorial com as operacées dadas Verdadeirofalso 41 a Falsa b Falsa c Verdadeira d Falsa e Falsa Conjunto de exercicios 42 pagina 188 1 a e 3 a 6 d 5 a d 7 a b 9 a 0 11 a Os vetores geram b Os vetores nio geram c Os vetores niéio geram d Os vetores geram 13 Os polindmios nao geram 15 a Reta x 3t y 3t zt b Retax2tytz0 ec Origem d Origem e Retax 3ty 2tzr f Plano x 3yz0 Verdadeirofalso 42 a Verdadeira b Verdadeira c Falsa d Falsa e Falsa f Verdadeira g Verdadeira h Falsa i Falsa j Verdadeira k Falsa Conjunto de exercicios 43 pagina 199 1 a uéum miltiplo escalar de u b Os vetores sao linearmente dependentes pelo Teorema 433 c p éum miltiplo escalar de p d Béum miltiplo escalar de A 3 Nenhum é 5 a Nao sao coplanares b Sao coplanares 7 b v ev 2y v fy 3y v ty eV 9 A5A1 19 a Os vetores sao linearmente independentes pois v v e V nao sdo coplanares quando colocados com seus pontos iniciais na origem b Os vetores so linearmente dependentes pois v v e V sao coplanares quando colocados com seus pontos iniciais na origem 21 Wx xsenxcosxOemalgumx 23 a Wax e 0 b Wx 2 0 25 Wx 2senx 0 em algum x Verdadeirofalso 43 a Falsa b Verdadeira c Falsa d Verdadeira e Verdadeira f Falsa g Verdadeira h Falsa Conjunto de exercicios 44 pagina 207 1 a Uma base de R tem dois vetores linearmente independentes b Uma base de R tem trés vetores linearmente independentes c Uma base de P tem trés vetores linearmente independentes d Uma base de M tem quatro vetores linearmente independentes 3 ab 7 WsG7 b Ws 4 A wys a 54 9 a vy 3 21 db Vv 20 1 11 A 1113 13 AAAA A 2 1 a 15 p 7p 8p 3p 17 20 F Jz 01 Sa 64 Verdadeirofalso 44 a Falsa b Falsa c Verdadeira d Verdadeira e Falsa Respostas dos Exercicios 731 Conjunto de exercicios 45 pagina 216 1 Base 1 0 1 dimensio 1 3 Base 4 1 0 0 3 0 1 0 1 0 0 1 dimensféo 3 5 Nenhuma base dimensdo 0 7 a 3 1 0 3 0 1 0b C4 10 00 1 214 1 10 0 1 1 9 a n bd mney c nae 13 Podem ser usados quaisquer dois dentre 0 1 0 0 0 0 1 0 e 0 0 0 1 15 v a bc com 9a 3b 5c 0 Verdadeirofalso 45 a Verdadeira b Verdadeira c Falsa d Verdadeira e Verdadeira f Verdadeira g Verdadeira h Verdadeira i Verdadeira j Falsa Conjunto de exercicios 46 pagina 222 3 1 a wls 2 b w c wls bea 4 2 4 0 3 a Ps 4 3 1 Pls 3 b ps 0 2 1 Pls 2 1 1 2 15 l 5 a w161012 b q3 4x 6 y Bt 5 1 eff ofs gon Sfmt 302 3 9 3 9 a 2 3 1 b w 9 Jon 2 5 1 6 5 6 I 2 0 7 0 2 1 11 b a ca th 4 nly 2 6 3 1 2 3 40 16 9 239 5 13 a 2 5 3 b 13 5 3 d Ww 77 wy 3 1 0 8 5 2 l 30 1 3 200 e wl 5 w 64 0 25 2 1 3 4 sof 2 Ss m 3 sJmmne Fpime 4 om fin 32 3 9 3 17 a 2 3 b w 9 wl 33 19 a 0826 sen 20 5 sen 20 cos20 5 1 6 6 23 a B 1 10 10202D b B 3 3 3 GF 3 3 CB SI Verdadeirofalso 46 a Verdadeira b Verdadeira c Verdadeira d Verdadeira e Falsa f Falsa 732 Respostas dos Exercicios Conjunto de exercicios 47 pagina 235 1 r 2 10 1 r 35 7 1 r 1 4 2 7 2 1 0 1 3 qQ 5 ceq 7 e l 1 4 2 7 1 l 1 5 3 a 2 Ly 3 b b nao esta no espaco colunade A c 9 3 3 1 f 1 10 4 6 1 l 1 py ray PP ES d 0 1 1 1 4r l e 5 26 1 13 7 1 4 3 0 l l 1 7 0 1 2 2 2 l 1 5 opel a ffi b 7 4r 1 3 t l 0 1 1 1 2 1 2 2 1 2 c r 5 t 77 5 t 0 0 0 1 0 0 1 6 7 1 7 1 5 5 5 5 5 7 4 3 4 3 d Js 5 t 5 J s t 5 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 2 7 a r1 02 r001 0 1 0 0 1 3 0 1 b r 1 3 0 0 r01 0 0 0 G 0 0 0 c r 1 245 r01 3 0 r001 3 r000 1 1 2 4 5 0 1 3 0 c 0 q 0 q 1 ceq 3 0 0 0 1 0 0 0 0 a r1 2 1 5 r0 1 4 3 r001 7 r000 1 1 2 l 5 0 1 4 3 S 9 fe S 0 fo Ff yf 4a 7 0 0 0 1 1 2 9 a r1 0 2n0 0 1 0 e 1 0 0 1 3 0 1 b r1 3 0 0rn0 1 0 0 q 9 oF 0 0 0 Respostas dos Exercicios 733 r1 2 4 5r0 1 3 0r0 0 1 3 1 2 4 5 0 1 3 0 r0 0 0 1 0 q 0 1 e 3 0 0 0 1 0 0 0 0 dr1 2 1 5rn0 1 4 3 r0 0 1 7 1 2 1 5 0 1 4 3 r0 00 1q of e9 bos 1 i 5 0 0 0 1 11 a 11 4 3 0 1 52 00 15 b 1 1 2 0 1 0 0 0 0 1 2 c C1 1 00 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 15 b 0 1 O 0 0 1 3a Sa 17 a 3b 5b com quaisquer numeros reais a e b nao ambos nulos b Como A e B sao invertiveis seus espacgos nulos sao a origem O espaco nulo de C é a reta 3x y 0 O espaco nulo de D é todo o plano xy Verdadeirofalso 47 a Verdadeira b Falsa c Falsa d Falsa e Falsa f Verdadeira g Verdadeira h Falsa i Verdadeira j Falsa Conjunto de exercicios 48 pagina 246 1 PosA PosA2 3 a 21 b 12 22 d 233 e 32 5 a Posto 4 nulidade 0 b Posto 3 nulidade 2 c Posto 3 nulidade 0 7 a Econsistente0 b Nao éconsistente c Econsistente2 d Econsistente7 e Nao é consistente f Econsistente 4 g E consistente 0 9 b 17 b 5s b 4s 3rb 2r5b 8s 7r 11 Nao podem 13 O posto é2ser2es 1 0 posto nunca é 1 0 1 1 2 17 a 3 b 5S 3 dd 3 a 5 f3 Verdadeirofalso 48 a Falsa b Verdadeira c Falsa d Falsa e Verdadeira f Falsa g Falsa h Falsa i Verdadeira j Falsa Conjunto de exercicios 49 pagina 260 1 a Dominio R contradominio R b Dominio R contradominio R c Dominio R contradominio R d Dominio R contradominio R 3 R R 1 2 3 5 a E linear ROR b Nao é linear ROR c Linear ROR d Nao é linear ROR 7 a e c sao transformagées matriciais b d e e nao sAo transformagées matriciais 3 5 l 9 4 1 1 71 24 G 2 3 3 2 l 734 Respostas dos Exercicios 0 0 0 0 0 0 1 09 1 72 1 1 00 0 10 0 0 u 8 m o1 10 000 mi0o0 1 0 1 3 1 0 00 0 0 0 01 0 0 1 l 0 0 0 1 0 1 0 13 a T1464 b TQ 1 3 0 20 15 a 2 5 3 b 25 3 2 5 3 17 a 210 b 203 13 19 2 48 434 0 1 22 1 22 21 a 2 32 H by 2v2 1 0 122 l 8 4 9 9 9 25 3 29 a Duas vezes a projecao ortogonal no eixo x b Duas vezes a reflexdo no eixo x 4 4 7 9 9 9 31 A rotacao pelo angulo 20 33 A rotacdo pelo Angulo e translacdo por x nao uma transformacao matricial porque x nao nulo 35 Uma reta em R Verdadeirofalso 49 a Falsa b Falsa c Falsa d Verdadeira e Falsa f Verdadeira g Falsa h Falsa i Verdadeira Conjunto de exercicios 410 pagina 271 5 1 21 8 3 1 1 T oT 10 8 4 ToT 5 15 8 45 3 25 44 11 45 1 1 3 0 3 3 5 4 3 a n l 1 b ro 6 2 nen 1 4 ce TT x Gx 3x 6x 2x TT X Sx 4x x 4x 1 0 0 0 3 0 so a Pelo 3 1 0 0 1 0 1 1 0 0 7 a 0 0 0 0 V2 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 9 a ToT T0oT b ToT T0T ToT ToT 11 a Nao éinjetor b E injetor c E injetor d E injetor e E injetor f E injetor g E injetor 1 2 13 a Hl i T w wy 4w 3ur tw 4w 3 3 im pte A 0 1 1 b Nao éinjetor c E injetor 1 9 T w W w W d Nao é injetor 15 a A reflexdo no eixox b A rotagdo pelo angulo4 ce A contragdo de fator 4 d A reflexao no plano yz e A dilatacao de fator 5 17 a Eum operador matricial b No éum operador matricial c Eum operador matricial d Nao é um operador matricial 1 0 0 1 0 0 19 a Eumatransformacao matricial b E uma transformacao matricial 21 a 0 0 b 1 0 c 3 0 23 a Te 1 2 4 Te G 15 Te 0 2 3 b Te e 2 5 6 c T7e 0 14 21 Respostas dos Exercicios 735 25 a Einjetora b Pode ser injetora 27 Txx 4 5 29 a A imagem de T é um subespaco préprio de R b Necessariamente T aplica uma infinidade de vetores em 0 Verdadeirofalso 410 a Falsa b Verdadeira c Verdadeira d Falsa e Falsa f Falsa Conjunto de exercicios 411 pagina 280 0 l 1 0 1 0 0 0 o of 0 fot 1 0 0 1 0 0 1 0 0 3 a 0 1 0 b 0 1 O c 0 1 0 0 0 l 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 5 a 1 0 0 b 0 0 1 c 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 A cas 1 0 1 2 7 Oretangulo de vértices em 0 0 3 0 0 1 3 1 9 a 4 b 0 1 11 a Expansiao de fator 3 na diregao x b Expansao de fator 5 na diregao y e reflexdo no eixo x c Cisalhamento de fator 4 na direcAo x 7 0 1 0 0 1 2 woofs 2 ofs 2 oft 4 17 a y 2x b yx S y ix d y 2x e y 394 x 19 b Nao contradiz 1 Ok 23 a O 1 k 0 0 1 1 k O b Cisalhamento de fator k na diregao xz aplica x y zem x kyyzky 0 1 0 O k 1 1 0 0 Cisalhamento de fator k na diregao yz aplica x y zem x y kxzkx k 1 0 k 0 1 Verdadeirofalso 411 a Falsa b Verdadeira c Verdadeira d Verdadeira e Falsa f Falsa g Verdadeira Conjunto de exercicios 412 pagina 290 054545 1 a Eestocdstica b Nao éestocdstica c Eestocdstica d Nao éestocdstica 3 0 45455 4 8 TI 5 a E regular b Nao é regular c E regular 7 5 9 4 7 ii 11 a A probabilidade de algo que esteja no estado 1 permanecer no estado 1 b A probabilidade de algo que esteja no estado 2 passar ao estado 1 c 08 d 085 736 Respostas dos Exercicios 095 055 13 a 005 045 b 093 c 0142 d 063 15 Ano 1 3 4 3 TXT 95750 91840 88243 84933 81889 78125 29250 33160 36757 40067 43111 46 J 1 1 L 159 i0 10 5 3 17 3 3 c 3550 35 vo 3 1 1 AT Jt 3 3 1 159 10 5 10 3 21 Pq q com qualquer inteiro positivo k Verdadeirofalso 412 a Verdadeira b Verdadeira c Verdadeira d Falsa e Verdadeira Capitulo 4 Exercicios suplementares pagina 292 1 a ut v 4 3 2 u 300 c Axiomas 1 a5 3 Ses 1 2 0 espaco solucao é a origem Se s 1 0 espago solugao é um plano pela origem Se s 2 0 espaco solugao é uma reta pela origem 7 A deve ser invertivel 9 a Posto 2 nulidade 1 b Posto 2 nulidade 2 c Posto 2 nulidade n 2 11 a 1xx2 sendo 2m nsen for pare2mn1senforimpar b xxxx 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 a 0007 10 07 00 04 0 1 04 0 0 1 J 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 b 1 0 04 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 15 Os postos possiveis sao 2 1 e 0 Conjunto de exercicios 51 pagina 303 15 3 a XX 2A30 b A8AF160 A120 A30 OA 0 AX 2At10 3 0 5 a Base do autoespaco associado aA x base do autoespaco associado aA 1 1 3 b Base do autoespaco associado aA 4 3 3 c Base do autoespaco associado aA V 12 I base do autoespaco associado aA 12 we 1 0 d Nao ha autoespagos e Base do autoespaco associado aA o 0 I 1 f Base do autoespaco associado aA 7 a 123 b v2 0 V2 8 2 2 43 9 a A A3AA20 b A BA 19 24A 48 0 Respostas dos Exercicios 737 2 0 1 2 5 11 a A1 base 5 AX 2 base A1 base b A 4 base 0 1 0 0 0 13 ty aoe 2 512 15 a yxey2x b Nao haretas invariantes c y 0 Verdadeirofalso 51 a Falsa b Falsa c Verdadeira d Falsa e Verdadeira f Falsa g Falsa Conjunto de exercicios 52 pagina 313 1 Um motivo possivel os determinantes sao diferentes 3 Um motivo possivel os postos sao diferentes 5 AX 01lou2A 11A 2120u3 7 Nao édiagonalizavel 9 Nao é diagonalizavel 11 Nao é diagonalizavel 1 9 1 0 2 0 1 3 0 0 13 P Pf etars 4 J se 0 1 0 PAP 0 3 0 1 0 0 0 0 2 1 2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 17P 1 3 3 PAP 0 2 0 19 P 0 10 PAP 0 0 0 1 3 4 0 0 3 3 0 1 0 0 1 boo O38 1 10237 2047 21P 9 9 1 09 PAP 0 030 23 0 1 0 10245 204 0 0 0 1 0 0 0 3 0 10245 048 L L 1 1 1 1 1 0 0 6 3 6 25 AX PDP 2 0 1 0 3 0 5 0 3 1 l 1 0 0 4 1 1 1 3 3 3 nog b b os 27 Uma resposta possivel é P ar ar oom A eA dados no Exercicio 20 da Segao 51 ty 9 33 a A 1 dimensio 1 A 3 dimensaéo 2A 4 dimenséo 1 b As dimensGes serao exatamente 1 2 e 3 c A4 Verdadeirofalso 52 a Verdadeira b Verdadeira c Verdadeira d Falsa e Verdadeira f Verdadeira g Verdadeira h Verdadeira Conjunto de exercicios 53 pagina 326 1 w 24i 4i 11 Rew 2 0 1 Im 1 4 1 lul 23 5 x 7 6i 4 876 121 Si 4 0 4 5 0 7 i 24 1Si ReA ima 165 detA 17 i trA 1 ll uv1liuw187ivw126i 13 11 14 15 4 2i x vt iF A 2i x or li 1i t 7 17 4 4i x F A 44i x 19 A V2 6 21 Al 2 67 21 32 23 P 3 ee a of c3 27 a k 8i b Nao existem 738 Respostas dos Exercicios Verdadeirofalso 53 a Falsa b Verdadeira c Falsa d Verdadeira e Falsa f Falsa Conjunto de exercicios 54 pagina 332 1 a y ce2ce b y 0 3 a y ce ce b y e 2e y ce ce y 0 y ce 2ce ce yo e 2e 2e y 2ce ce y3 2e 2e TZ ycoe toe 9 yceé oe ce Verdadeirofalso 54 a Falsa b Falsa c Verdadeira d Verdadeira e Falsa Capitulo 5 Exercicios suplementares pagina 333 1 b A transformagado gira os vetores pelo Angulo 6 portanto se 0 7 entéo nenhum vetor nao nulo sera transformado num ve tor de mesma direcAo 1 1 0 2 IS 30 3 75 150 4 375 750 5s 1875 3750 3 0 2 1 aA 5 io A 33 50 4 125 geo fs A 625 30 0 0 3 1 0 0 11 0 trA 13 Os autovalores sio todos nulos 15 1 17 Os autovalores sao todos 0 1 ou 1 1 Conjunto de exercicios 61 pagina 343 1 a 5 b 6 3 V3 V5 f V89 3 a 2 b 11 13 8 e 0 5 a 5 b 1 71 1 ff 1 7 a 3 b 56 9 b 29 u 3 wml 3 V4 0 15 Vis VA 0 V5 0 v6 17 p q 50 Ipll 6V3 19 a 3V2 b 3V5 3V13 21 a y b y 4 1 x x 2 2 L t V2 V2 4 1 27 Tomando V temos V V 2 0 de modo que falhao Axioma 4 29 a b 0 Verdadeirofalso 61 a Verdadeira b Falsa c Verdadeira d Verdadeira e Falsa f Verdadeira g Falsa Respostas dos Exercicios 739 Conjunto de exercicios 62 pagina 350 Lyz b OO wy Oz Hv 3 a FF b 0 7 Naoexistem 9 a K3 b K23 13 Naoéortogonal 15 a xty 2t23t b 2xS5y4z0 xz0 31 a Aretayx b Oplanoxz ce Oeixox Verdadeirofalso 62 a Falsa b Verdadeira c Verdadeira d Verdadeira e Falsa f Falsa Conjunto de exercicios 63 pagina 364 1 a b d 3 bd 5 a tL 2 1 1 1 1 1 7 se 2 504 404 1 0 Loa Lod Lo 2 c 444 5 49 9 a iv tv 2v b Zv 2v4v 3v fv 3v 11 b u Fv Py Ov Sv 13 a w Fu fuju b w Su eu 15 a 7 377 9 9 5 17 a RG ae Tie D 3 333 19 a w 33 1 1 w 34 1 1 b w 2 333 w 3333 1 3 3 1 21 vAyFe wGoge WC 0 v O 1 y y 1 1 Vo x vi x l y 1 1 v 1 1 l 21 35 1 2 23 v 044 0 v 4H 0 y hbk WARR 3 vio Vio Y10 V0 J 4 A VIS V5 VIS VIS 2 13 31 40 l 32 28 v Sede ga Ge deve 8 Gea 9 2 HH Ge HH 1 1 L 8 I 2 BTR 3 Yaa I wale SY lol o s V2 3V2 wf 2 3h IO aS 0 5 1 oY 0 v3 0 4 v2 NB 3 234 1 v2 3 3 58 Tv v2 v2 Bo ms w lv w vv 1 2 2 Lv 3 VI9 3v2 0 9 Bz Ol a eH 0 Ye to LL 3v2 1 a v2 V3 V6 0 0 vo 0 Vi9 Te 0 0 7 f As colunas nao sao linearmente independentes 33 v 1 v V32x 1 v3 V56x 6x 1 740 Respostas dos Exercicios Verdadeirofalso 63 a Falsa b Falsa c Verdadeira d Verdadeira e Falsa f Verdadeira Conjunto de exercicios 64 pagina 374 15 1 5 x 1 1 3 fe a 1 22 30 x 9 2 5 30 45 Xx 13 3 3 5 3 3 a x 5 x db x 12x 3x9 5 a e 3 b e 0 3 3 7 a Solucao x 35 8 erro de minimos quadrados 5 b Solugao x 3 0 r3 1 tum numero real erro de minimos quadrados 142 c Solugao x 2 i 0 11 1 1um nimero real erro de minimos quadrados 5294 9 a 7295 b 3 2 11 a detA A 0 A nao tem vetores coluna linearmente independentes b detA A 0 A nao tem vetores coluna linearmente independentes 1 0 0 0 0 0 13 a P 0 0 0 bP 0 1 0 0 0 1 0 0 1 10 1s 5 2x 3 15x 26y3 5xy 3y434 J35 ig 3Y 92 ISxy 26Yo3zZq Sxy 3yot34E 15 a 105013 b PIX 15 2 3 SS ee ee eS 5 3 34 17 st1 21 PAAAA Verdadeirofalso 64 a Verdadeira b Falsa c Verdadeira d Verdadeira e Falsa f Verdadeira g Falsa h Verdadeira Conjunto de exercicios 65 pagina 381 le yjix 3 y245x3x I y38 y 10 10 Verdadeirofalso 65 a Falsa b Verdadeira c Falsa d Verdadeira Conjunto de exercicios 66 pagina 387 1 a 1 7 2senxsen2x b 1 7 2senx 3 St 4 4 3 a 3 He b B575 5 2x 14 9 2 Yl 1senkx Verdadeirofalso 66 a Falsa b Verdadeira c Verdadeira d Falsa e Verdadeira Respostas dos Exercicios 741 Capitulo 6 Exercicios suplementares pagina 387 1 Oaa0coma0 b 0 Je 0 3 a O subespaco de todas as matrizes em M com zero em cada entrada diagonal b O subespaco de todas as matrizes antissimétricas em M Tot 0 5 9 Naoexiste 11 b tendea5 17 Nao existe Conjunto de exercicios 71 pagina 395 4 9 2B 5 25 25 1 b 0 3 3 2k 16 5 2 25 1 I 1 1 1 go 2 2 2 2 1 0 5 v2 v2 1 5 21 1 2 2 1 2 1 2 6 6 6 oo vo ov ve MO i 1 a os v2 V2 1 1 2 6 6 6 v3 v3 v3 1 1 s 1 2 6 6 6 7 a 1 33 3 v3 b 3 V3 v3 1 9 a V3 2 43 b 3v3 6 v3 cos Q sené 1 0 0 ll a A 0 1 0 b A 0 cos send 134 b send 0 cosé 0 sen cosé bos pqs 2 il 2 1 17 As tnicas possibilidades sio a 0 b we C youa Ob Yer C 21 a As rotagdes em torno da origem as reflexGes em qualquer reta pela origem e quaisquer combinac6es destas b As rotagdes em torno da origem as dilatagdes contragées e reflexGes em retas pela origem e quaisquer combinag6es destas c Nao existem as dilatagdes e contragées Verdadeirofalso 71 a Falsa b Falsa c Falsa d Falsa e Verdadeira f Verdadeira g Verdadeira h Verdadeira Conjunto de exercicios 72 pagina 404 1 a 5A 0A 0 dimensio 1 A 5 dimensio 1 b d 27A 54 0A 6 dimensdo 1 A 3 dimensio 2 c A 3A 0A 3 dimensdo 1 A 0 dimensio 2 d A 12A 36A 32 0 A 2 dimensio 2 A 8 dimensao 1 e A 8A 0A 0 dimensdo 3 A 8 dimensio 1 f A 8A 22 244 9 0A 1 dimensio 2 A 3 dimensio 2 2 3 0 5 2 0 0 2 8 5 5 3P YY SPiap 4 10 5P 0 1 0 PAP 0 3 0 vi V7 3 4 0 0 50 3 9 5 LE tL bt v3 v2 vo 0 0 0 1 1 1 pl 7P 5 wm ye P AP 0 3 0 ae 0 2 0 0 3 V3 vo 742 Respostas dos Exercicios 4 3 B30 8 2 0 0 0 5 3 9 0 0 2 0 0 5 5 1 x 9 P 0 0 4 2 P AP 0 0 25 0 15 Nadoé 19 Sim 0 0 0 25 00 2 3 Verdadeirofalso 72 a Verdadeira b Verdadeira c Falsa d Verdadeira e Verdadeira f Verdadeira g Verdadeira Conjunto de exercicios 73 pagina 415 9 3 4 x 3 0 x 4 3 x 1 a x wll 7 Ee b x elf aie ce x x x3 3 7 5 too 4 32 4 3 2x 5y bxy 5 a v2 v2 lI OQ 3y y 2 A I y2 2 2 1 x 3 3 3 Ji Plo f 3 5 3 y Oy 4y7y3 x3 1 2 2 M3 3 3 3 9 a x y 3 eet si 20 b x if dfs Jee si s0 TT 1 0 y y Lo 4 y y 11 a Elipse b Hipérbole c Pardbola d Circulo 13 Hipérbole 2y 3x 8 6 266 15 Hipérbole 4x y 3 6 369 17 a Positiva b Negativa c Indefinida d Nao negativa e Nao positiva 19 Positiva 21 Naionegativa 23 Indefinida 27 k2 1 1 1 n nnl a nnl l L we HHL 31 a A no me b E positiva 33 A deve ter um autovalor positivo de multiplicidade 2 ee ee nn1 nn1 n Verdadeirofalso 73 a Verdadeira b Falsa c Verdadeira d Verdadeira e Falsa f Verdadeira g Verdadeira h Verdadeira i Falsa j Verdadeira k Falsa I Falsa Conjunto de exercicios 74 pagina 423 1 Maximo 5 em 1 0 e 1 0 minimo 1 em 0 1 e 0 1 3 Maximo 7 em 0 1 e 0 1 minimo 3 em 1 0 e 1 0 5 Maximo 9 em 1 0 0 e 1 0 0 minimo 3 em 0 0 1 e 0 0 1 7 Maximo z 42 em x y 2v2 2e2v2 2 minimo z 42 em xy 2v2 2e2v2 2 Respostas dos Exercicios 743 9 5 y5 13 Pontos criticos 1 1 maximo relativo 0 0 ponto de sela y 15 Pontos criticos 0 0 minimo relativo 2 1 e 2 1 pontos de sela 17 Vértice x wa y z 21 qx A 01 1 0 5x y 1 I 0 x4y l 0 F1 Verdadeirofalso 74 a Falsa b Verdadeira c Verdadeira d Falsa e Verdadeira Conjunto de exercicios 75 pagina 430 1 i 23i 2i 4 5i 1 a ls 3170 3A i 3 1 5 a a 4G b a y 243i 1 2 3 4 xity3 Ihiy3 si Li 9 eaas SS Warsata MM pal OY I p oe ae ae of av Ii Li 5 0 Qo 2 0 0 ve V3 sp fj o5 8 mee ve 9 D o 10 ve YS vw 9 0 i 23i 19 A i 0 1 21 a a4 A a b a AG 29 c Be Cdevem comutar 23i l 4i tL Lt 37 eo Y v2 2 39 A multiplicagao de x por P corresponde a lul vezes a projeciio ortogonal de x sobre W geru Se ul 1 entdo a multiplicagao de x por H I 2uu corresponde a reflex4o de x no hiperplano u Verdadeirofalso 75 a Falsa b Falsa c Verdadeira d Falsa e Falsa Capitulo 7 Exercicios suplementares pagina 432 4 3 47 3 4 7 34 5 0 5 a OR 9 4 12 La a 3 jo 3s 3 x3 0 3 5 5 5 5 2B 3 16 3 12 16 2 5 25 5 35 35 tL 1 9 v2 V2 0 0 0 5P 0 O 1 PAP 0 2 0 1 9 0 0 1 v2 v2 744 Respostas dos Exercicios 7 Positiva 9 a Pardbola b Parabola Conjunto de exercicios 81 pagina 442 1 Naoélinear 3 Elinear 5 Elinear 7 a Elinear b Nao é linear 9 T xx 4x 5xx 3x T5 3 35 14 Ll Tx x x3 x 4x x3 Sx 5x x3 x 3x T 24 L CS 9 1 13 T 2v 3v 4v 10 76 15 a 17 a 19 a 21 a 14 b 4 2 6 1 10 3 49 x78 Bed 23 a 5 6 b 19 c posT 2 nulT 1 d posA 2 nulA 2 7 4 11 1 4 25 a b a c posT nulT 2 d posA nulA 1 0 7 27 a Nuicleo eixo y imagem plano xz b Nuticleo eixo x imagem plano yz c Nucleo a reta pela origem perpendicular ao plano y x imagem 0 plano y x 29 a nul72 b nul74 ec nul7 3 dd nulT 1 31 a 3 b Nao éconsistente 33 Uma reta pela origem um plano pela origem s6 a origem ou todo 0 R 35 b Nao define 41 NucD consiste em todos os polindmios constantes 43 a Tfx f x b fx f a6 Verdadeirofalso 81 a Verdadeira b Falsa c Verdadeira d Falsa e Verdadeira f Verdadeira g Falsa h Falsa i Falsa Conjunto de exercicios 82 pagina 451 1 a nucT 0 Téinjetora b nuc7 k 3 1 T nao éinjetora c nuc7 0 Té injetora d nucT 0 Téinjetora e nuc7 k1 1 T nao é injetora f nucT kO 1 1 T nao é injetora 3 a Nao éinjetora b Nao éinjetora c E injetora 5 a NucT k1 1 b Tndo é injetora pois nucT 0 7 a E injetora b Nao éinjetora c Nao éinjetora d E injetora a aq be a b b a b i wr cforfs b2 r tyls e d d f 13 T nao é injetora pois por exemplo f x xx 1 esté em seu nticleo 15 Sim é injetora 17 T nao é injetora pois por exemplo a estaem seu nticleo 19 Sim é verdade Respostas dos Exercicios 745 Verdadeirofalso 82 a Falsa b Verdadeira c Falsa d Verdadeira e Falsa f Falsa Conjunto de exercicios 83 pagina 457 1 a T0T y 2x 3y 2x 3y b T0Tx y 4x 12y 3x 9y ce ToT y 2x 3yx 2y d T 07 y 0 2x 3 a ad b T0TA nao existe pois TA nao é uma matriz2 X 2 5 Tv iv Xx a1 aX 3 x 4x ix tx 11 a Tnao possui inversa b T X gx 3 G45 c T X x 5x 5 3 eX aX 53 3 a1 3 343 x 3x 3x x d T x 2x 2x X 4x 5x 2x 13 a a Ocomi 123n bd T X 5X55 Xqy 00 Xp ix aX ee ix 15 a T7pa 5 Ty p pP Ds ho Ti p tpV 17 U1 T2324 21 a T 0T ThoT b T 0 Ty 4T1T0T c T 0T ToT Verdadeirofalso 83 a Verdadeira b Falsa c Falsa d Verdadeira e Falsa f Verdadeira Conjunto de exercicios 84 pagina 466 1 l 1 0 0 1 1 1 1 a 3 a 0 1 2 5 a i 1 7a 0 2 4 b 3 10x 16x 0 0 0 0 1 4 0 0 4 001 5 9 ITWle 5 odle 2 Tov 2 J ray 32 VWIe Vlp 5 W 5 Y 99 x wo x 19 7 7 7 ore fe ee el 7 7 2 7 1 3 1 11 TWle 2 TWe 0 T3e 5 6 2 4 b Tv 16 Slx 19x Tv 6 5x 5x T v3 7 40x 15x c T ay 4axt ax 23944 161a 289 4 20a 1110 2470 xt Slay 3ha 1074 2 d TU x 22 56x 14x 6 0 300 2 0 13 a T O Ti lyn 0 9 Ty pr 5 0 3 0 Ti lyn p 0 3 b T 0 Ti p 5 Ty 5 5 Tiler g 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 19 a 0 O I b 0 1 0 c 0 2 2 0 1 0 0 0 2 0 0 2 2 1 0 4 14 d 14ex 8xe 20xe pois 0 2 2 6 8 0 0 2 10 20 21 a BB b B B 746 Respostas dos Exercicios Verdadeirofalso 84 a Falsa b Falsa c Verdadeira d Falsa e Verdadeira Conjunto de exercicios 85 pagina 473 12 3 56 tL 130 25 1 Tp 01 Tly DO 3 Ty YoY T ly nye 13 TT i v2 v2 liv2 Tiv2 1 0 0 1 0 0 2 2 io 5T 0 1 0 Tly 0 1 1 nin 4 Ty 4 0 0 0 0 0 0 2 3 1 1 3V21 34V21 11 a B b B 6 6 1 2 l l 13 a A 4A 3 b Base do autoespaco associado aA 4 2 Sx x base do autoespaco associado ad 35 2x x 21 A escolha de uma base apropriada pode fornecer um entendimento melhor do operador linear Verdadeirofalso 85 a Falsa b Verdadeira c Verdadeira d Verdadeira e Verdadeira f Falsa g Verdadeira h Falsa Capitulo 8 Exercicios suplementares pagina 475 1 Nao é Tx x Ax x B Ax B Ax B Tx Tx e sec 1 entio T cx cAx B cAx B cT x 5 a Te e quaisquer dois dentre T e e T e formam bases da imagem 1 1 0 1 uma base do nucleo b posto 3 nulidade 1 1 0 0 0 eee 0 0 1 0 7 a posto 2enulidade 2 b Naoéinjetor 11 posto 3enulidade 1 13 010 0 000 1 4 0 9 1 1 1 15 Ty 1 0 2 17 T 0 1 0 19 b fMxe01 fWege 0 1 1 1 0 l 0 0 0 O 1 0 0 O 0 4 0 0 21 d Os pontos esto no grafico da fungéo 25 00 1 0 3 00 0 A Conjunto de exercicios 91 pagina 485 1x 2x1 3 x3x1 5 x 1x1x0 7 xlx1x0 9 x3x1 x2 x 1 Respostas dos Exercicios 747 2 0 0 1 3 3 1 0 0 20 0 1 3 3 ll af ALU 2 1 0 0 0 1 b ALDU 1 1 0 0 1 0 0 0 1 2 0 1 0 O 1 1 01 0 0 1 0 O 1 1 0 0 2 1 i1 c ALU 1 1 0 0 0 1 1 01 0 0 1 1 0 0 3 0 0 1 4 2 13A 0 1 0 0 2 0 0 1 0 bxx4 2 2 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 3 0 0 13 0 17 A 0 0 1 0 2 0 0 1 5 X 4 x 3 0 1 0 3 0 1 0 01 abj 1 0 a b 19 b c Ud 1 0 adbe Verdadeirofalso 91 a Falsa b Falsa c Verdadeira d Verdadeira e Verdadeira Conjunto de exercicios 92 pagina 494 1 a 4édominante b Nao tem autovalor dominante 3 x 098058 098837 x 098679 x 098715 1 019612 015206 8 016201 015977 autovalor dominante A 2 10 516228 1 1 autovetor dominant 3 V10 x 016228 5 x 7 A 6 x aa rN 66 x 08840 A 660550 x Oeass v 660555 autovalor dominante A 3 V13 660555 3 V264V13 047186 autovetor dominante VB x 088167 J 26413 I l ay Q 8 7 a x 05 X 08 X 0929 b A 28 r 2976 2997 1 c Autovalor dominante A 3 autovetor dominate 1 d 01 099180 9 299993 100000 0 13 a Comegandocom 0 leva 8 iteragdes b Comecando com 0 leva 8 iteragdes 0 0 748 Respostas dos Exercicios Conjunto de exercicios 93 pagina 500 1 2 039057 060971 le hy 2 a 0 3 h 065094 a 0 2 3 065094 079262 5 Sites 1 e 2 empatados os sites 3 e 4 sAo irrelevantes 7 Site 2 site 3 site 4 os sites 1 e 5 sao irrelevantes Conjunto de exercicios 94 pagina 506 1 a 0067 segundos b 6668 segundos c 66668 segundos aproximadamente 185 horas 3 a 952 segundos b 00014 segundos c 952 segundos d 286 segundos 5 a 667 X 10 segundos para a fase direta 10 segundos para a fase indireta b 1334 7 n flops 9 2n n flops Conjunto de exercicios 95 pagina 513 a w IP v2 0 1 0 az If8 0 BOS Lov a8 sac 3 e jlfot eas 3 3 s v2 v2 V5 V5 V5 VS 20 V2 t 9 2 3 V2 6 32 0 4 4 V3 V6 V3 0 10 v2 2 2 tL tL tb 9 A 4 0 0 0 e wa ZB TM 0 v2 4 7 24 v2 0 0 v2 v2 LoL ook 0 oO 5 oR OTE v3 v2 v6 Verdadeirofalso 95 a Falsa b Verdadeira c Falsa d Falsa e Verdadeira f Falsa g Verdadeira Conjunto de exercicios 96 pagina 517 2 0 2 3 v3 3 1 I I too v3 0 1 0 1 Lo 3 eats 4 wow I 0 ral i 32 5 ls 2 73 AO 3 I 3 H 7 J3 Fi 1 O J2 vz 0 1 9 Devem ser armazenados 70100 nimeros A tem 100000 entradas 1 3 wa Verdadeirofalso 96 a Verdadeira b Verdadeira c Falsa Capitulo 9 Exercicios suplementares pagina 517 2 0 304 2 0 0 1 2 3 1 2 4 02 3 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 0 1 1 07100 07071 7 1 5 A3 b x 07041 v 07071 09918 Respostas dos Exercicios 749 l 9 v2 v2 2 0 1 L4 9 01 off 0 0 ve 82 L g Lb 0 0 72 v2 v2 v2 11 2 0 6 1 1 2 1 2 u 4 78 1 2 72 24 0 3 73 3 4 8 10 PU f ft JL oO 12 jf 2 2 8 12 0 6 1 1 2 2 Conjunto de exercicios 101 pagina 524 1 a y3x4 b y 2x41 2 a xy 4x6y4O0oue27 3Y 9 b xy 2x4y 20 O0oux 1 y 2 25 3 x 2xy yy 2x y O uma pardbola 4 a x 2yz0 b xty2z10 x y z O XY Ly 5 a yy od 0 b x2yz0xy2z0 Y3 6 a xy 2 2x4y2z22oux 19 27 19 4 b xy 22x2y30uQe 1 y 19 7 5 y x x 1 y x x 10 5 0 11 A equacio da reta pelos trés pontos colineares 12 0 0 yy XX 1 2 y3 3 x 1 13 A equagao do plano pelos trés pontos coplanares Conjunto de exercicios 102 pagina 534 1 x 2x valor maximo de z 2 2 Nenhuma solugao vidvel 3 A solugao é ilimitada 4 Invista 6000 no titulo A e 4000 no titulo B o rendimento anual é de 880 5 i copos de leite 3 xicaras de flocos de milho custo minimo a 8111 centavos 6 a x 0ex 0 nado comprometem 2x 3x 24 compromete b x x ucomv 3 compromete e com v 6 da 0 conjunto vazio c x uUcomuv 8 nado compromete e com v 0 da 0 conjunto vazio 7 550 contéineres da companhia A e 300 contéineres da companhia B frete maximo 211000 8 925 contéineres da companhia A e nenhum contéiner da companhia B frete maximo 231250 9 04 quilos do ingrediente A e 24 quilos do ingrediente B custo minimo 248 centavos Conjunto de exercicios 103 pagina 541 1 700 2 a 5 b 4 4 a Cada boi vale unidades e cada ovelha 0 unidades b Primeira classe x medidas segunda classe x medidas terceira classe 4 medidas 750 Respostas dos Exercicios 5 a x he Fa Fo FO a x ax 23n n2 b Exercicio 7b ouro 304 unidades bronze 95 unidades latao 145 unidades ferro 5 5 unidades 6 a SxyzK0 x7yzkK0 xy8zkK0 2 14t 12t oo x y 7 K temquet é um numero arbitrario 131 131 131 b Tomando t 131 obtemos x 21 y 14 z 12 K 131 c Tomando t 262 obtemos x 42 y 28 z 24 K 262 7 a O filho legitimo recebe 5772 moedas e 0 filho ilegitimo 4222 moedas b Ouro 304 unidades bronze 95 unidades latao 143 unidades ferro 5 unidades c A primeira pessoa tem 45 a segunda tem 375 e a terceira 22 5 Conjunto de exercicios 104 pagina 552 2 a Sx 012643x 04 020211x 04 092158x 04 038942 b S 05 047943 erro 0 3 a Aspline cibicaemendada b Sx 3x 2 45x41 000000042x 10 0000214x 10 099815 10 x 0 4 S 000000024x 00000126x 0000088x 099987 0x 10 SQ 19 00000004 10 00000054x 10 0000092x 10 099973 10 x 20 000000022x 20 00000066x 20 0000212x 20 099823 20x 30 Maximo em x S x 393 100004 000000009x 1000000121 x 10 0000282x 10 099815 l0 x 0 5 Sx 000000009x 00000093x 0000070x 099987 0x10 x 000000004x 10 00000066x10 0000087x10 099973 10x20 000000004 x 20 00000053x 20 0000207x20 099823 20 x 30 Maximo em x S x 400 100001 4 43x 0x 05 6 SQ i 12x49x1 05x1 22x 05x1 b S 23 lx15 c Os trés pontos de dados sfo colineares 4 10 05 0 0 0 1 M Yi17 2 14 1 0 0 0 0 0 M y 2y 0 1 4 1 0 0 0 0 M 6 Y 23 VY 7 b woe we LL Lea Dolo Dott h 00 0 0 0 1 4 1 M Yn3 22 Via 10 0 0 0 0 1 4 M Yn2 2M FON 210 0 0 0 0 1 M hy y y 1 4 1 0 0 0 0 0 M y 2y 93 0 1 4 1 0 0 0 O M 2y Bmp Pe SP Doro Doro h 0 00 0 0 0 4 1 M Yn2 2Yn1 Vy 0000 0 1 1 2 M Yet Vy Ay Respostas dos Exercícios 751 Conjunto de exercícios 105 página 562 1 a b P é regular pois todas as entradas de P são positivas 2 a b P é regular pois todas as entradas de P são positivas 3 a b c 4 a Assim nenhuma potência inteira de P tem todas as entradas positivas b com n crescente portanto qualquer que seja x 0 com n crescente c As entradas do vetor limite não são todas positivas 6 tem todas as entradas positivas 7 8 na região 1 na região 2 e na região 3 Conjunto de exercícios 106 página 570 1 a b c 2 a P3 P1 P4 P2 b P2 P5 P3 P4 P1 c P5 P4 P1 P6 P2 P3 752 Respostas dos Exercicios 3 a P b Del passo P P c Del passo P P De 2 passos P P P De 2 passos P P P P P P De 3 passos P P P P De 3 passos P P P P Pi Py P3 Py P P P P Py P P P P P 1 00 0 0 0 1 00 0 4 a 0 0 1 1 O 00 1 2 1 000 1 2 c A entrada i jésima entrada é o nimero de membros da familia que influenciam tanto o iésimo quanto o jésimo membro da familia 5 a PPP b PPPs ce PPP5PsePyPP 6 a Nenhuma b P P Po 0 0 1 1 Poténciade P 5 7 1 0 0 Of Poténcia de P 3 8 Primeiro A do BeE C qui D o 1 0 1 PoténciadeP4 rimeiro A segundo B e E empate quarto C quinto D 0 1 0 Of Poténcia de P 2 Conjunto de exercicios 107 pagina 580 4 1 a 58 b 0 1 O fl 0 0 OF 2 Pores ome 1 2 ok 0 2 1 3 a pp 0 1 qi iP v3 bp 0 1 O qr ol v2 0 1 c pp 0 0 1 g1 v2 p 0 1 0 01 q0 v2 0 0 1 1 8 6 4 p 3h v v Oo p 4h v v9 8 6 1 3 p 1 0 v v3 p2 3 v 5 1 13 ps w v 13 u 20 se8 ah a2 v 20 Conjunto de exercicios 108 pagina 588 6 78 1 b 5 54 3 6 79 2 a Use o Coroldrio 1084 todas as somas de linha s4o menores do que 1 b Use 0 Corolario 1085 todas as somas de coluna séo menores do que 1 Respostas dos Exercicios 753 2 19 c Use 0 Teorema 1083 comx 1 Cx109 1 09 3 E tem todas as entradas positivas 4 Prego dos tomates 12000 prego do milho 10000 prego da alface 10667 5 1256 para o EC 1448 para o EE 1556 parao EM 6 b 25 Conjunto de exercicios 109 pagina 596 1 A segunda classe 15000 2 223 3 1 190302 424 500 5 sg a 9 6 123n 1 Conjunto de exercicios 1010 pagina 603 0 1 1 0 0 5 5 0 2 1 1 2 1 a2 0 O 1 1 b0 O 5 5 c l 0 j 0000 000 0 3 3 3 3 0 0866 1366 0500 d 0 0500 0366 0866 0 0 0 0 2 b 0 0 0 1 0 0 14 10 e 1 0 c 0 0 0 CL 6 0 C1 16 0 0 1 0 1 0 0 1 0 of Jf 1 0 oO Jf ff 3 01 of mf o 1 of yl 0 1 of IAN a b c IN 0 0 1 0 0 1 AOU 0 0 l ELAN Py 3 0 0 Soe oe GE 1 0 0 4 a M0 2 O M0 0 Of M0 cos20 sen20 0 0 0 0 0 0 sen20 cos 20 cos45 0 sen 45 0 il 0 M 0 1 0 M1 0 0 sen45 0 cos 45 0 0 1 754 Respostas dos Exercicios b P MMMMP M 03 0 O 1 0 0 1 1 J 5 a M0 05 O M0 cos45 sen45 M0 0 O 0 0 1 0 sen45 cos 45 0 0 0 cos35 0 sen35 cos45 sen45 0 M 0 1 0 M sen45 cos45 0 sen35 0 cos35 0 0 1 0 0 0 2 0 0 M0 0 O M0 1 O 1 1 1 0 0 1 b P MM3MMMP M M 10 0 x 1 0 0 5 cosB 0 senB cosa sena 0 0 1 0 yw 0 1 0 9 6 R 0 1 0 Rsena cosa O 7 a M b 00 1 Zz 0 0 1 3 senB 0 cosB 0 0 1 0 0 0 41 0 0 0 1 cos 0 send cosa sena 0 R 0 1 O Rsena cosa O senO 0 cosé 0 0 1 cosB 0 senB R 0 1 0 senB 0 cos B Conjunto de exercicios 1011 pagina 613 t 0 i 07 ft 0 1 4 0 0 4 n Ja 3 L b t t 7 9 0 Gils 0 t nt Lo tt oflal Ls 0 1 i a 1s 4 8 16 32 64 64 1 5 U 23 47 1 c 2 8 16 32 64 t 64 Tol fae 3a Po pap fas fd 8 16 32 64 64 1 5 u 23 47 a 2 8 16 32 64 64 d Emtet 129 em f ty 52 2730 F 5 Ppt 5 rt a t 8 18 9 2 13 7 2 16 10 16 1 6 16 16 16 16 16 16 Respostas dos Exercicios 755 Conjunto de exercicios 1012 pagina 624 1 x 3 2 2 a x 140000 120000 b Os mesmos que na parte a e Xs 955000 2565000 2 x 141000 123000 x 059500 121500 x 140900 122700 Xj 149050 147150 140910 122730 x 140095 120285 1 122730 x 140991 122972 x 140909 122727 x 140901 122703 x 140909 122727 4 xt 1 Dx 20 x 1 1 7 xX x x 1300 8 X X x 1300 X x x 1500 xX x x 1500 X x x 800 xX x x 800 082843 x x 058579x 1479 004289x x x 075000x x 061396x 1479 141421 x x 1431 091421 x x 025000x x x6 x 1431 082843x x 058579x 381 004289x x x 075000x x 061396x 381 xX X6 x 1800 X3 X X 1800 X x x 1200 Xy xX x 1200 xX xx 600 xX x x 600 082843x x 058579x 1051 004289x x5 x5 075000x x 061396x 1051 141421x x x 1613 091421 x x5 025000 x 2 xg 1613 082843x x 058579x 704 004289x x x 075000x x 061396x7 704 Conjunto de exercicios 1013 pagina 639 url ya2t Ol a is1234 0nd tro valores d TAT a50 af ly f yt 2 3 4 onde os quatro valores de e fol 8fo a fol ohe He F dy S In4In 23 1888 25 Je L 25 J 2 s 047 d S In4 1n1047 18 Angulos de rotag4o 0 esquerdo superior 90 direito superior 180 esquerdo in ferior 180 direito inferior 3 0 00 1 0 0 2 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 2 CL 2 0 2 1 3 2 0 1 2 0 2 2 2 0 0 3 3 4 a is ii todos os angulos de rotagao sao de 0 iii d S In7 In3 1771 Esse conjunto é um fractal b is 3 ii todos os angulos de rotac4o sao de 180 iii d S In3 In2 1584 Esse conjunto é um fractal c Gs 5 i1 Angulos de rotagao 90 topo 180 esquerdo inferior 180 direito inferior iii d S In3 In2 1584 Esse conjunto é um fractal d js 5 11 Angulos de rotagAo 90 esquerdo superior 180 direito superior 180 direito inferior iii d S In3 In2 1584 Esse conjunto é um fractal 5 s 085090 269 6 0766 0996 arredondado até trés casas decimais 7 d S In16 In4 2 8 In4In 4818 9 d S In8 In2 3 0 cubo nao é um fractal 10 k 20 s 5 d S In20In3 2726 esse conjunto é um fractal 756 Respostas dos Exercicios 11 12 Area de S 1 area de S 0888 area de S 8 0790 rea de S 8 0702 area de S 8 0624 Conjunto inicial 7 L Primeira iterada Segunda iterada Co oe 8 Terceira iterada oo o oo oo Quarta iterada d S In2 In3 06309 Conjunto de exercicios 1014 pagina 652 1 1250 750 I25 50 111125 250 1130 60 10 30 I50 150 113750 7500 6 12 I15 10 2 Um ponto fixo 0 0 um ciclo de perfodo 3 2 0 2 2 0 2s dois ciclos de periodo 4 40 8 20 2 2 02 28 04 8 dois ciclos de periodo 120 4 8 2 28 88b 90918 908 5 5 3 8 E aE 069 8 8 5 8 G6 GB G9 5 8 5 8 6 8 5 6 Gg HO 12 3 a 37 102 12 14 11 10 6 1 7 80 8 8 19 10 4 14 3 2 57 124 15 6 11 2 130 13 13 119 5 144 37 c 55 10 15 4 19 2 0 2 2 4 6 10 16 5 0 5 5 4 c As cinco primeiras iteradas de 70 so 3h aiz Gr az Gt GG aX e ior ior 43 2 5 7 6 b As matrizes de automorfismos de Anosov sao i e 3I c A transformacao produz uma rotacéo de S pelo angulo de 90 no sentido horario 9 0 1 d 1 01 21 d1 ve x 1 ol x 4 a 0 12 1 12 y 1 aly b 0 0 1 0 00 120 0 fat 0 a 0 Na regiao I b 19 224 tegiae Il pl faa a 1 a l na regiao III pl 1 28 resiao IV p 2t Respostas dos Exercicios 757 12 Z 2 e 2 2 formam um ciclo de periodo 2 e 2 t e 3 a também formam um ciclo de periodo 2 14 Comegamos com uma tabela 101 101 de pixels brancos e nela colocamos a letra A Aplicando a transformagao do gato de Ar nold nessa imagem espalhamos os pixels pretos pela imagem Entaéio sobrepomos a letra B nessa imagem Aplicamos novamente a transformacao do gato de Arnold nessa imagem e sobrepomos a letra C na imagem resultante Repetimos esse procedimento com as letras D e E A préxima aplicagao da transformagao do gato de Arnold nos devolve a letra A com os pixels das letras B a RF espalhados ao fundo Conjunto de exercicios 1015 pagina 664 1 a GIYUOKEVBH b SFANEFZWJH 1 12 7 oo 1 19 oo oo 2 a AO b Nao é invertivel c Ao d Nao é invertivel e Nao é invertivel 23 15 23 24 At 15 12 4215 i 7 5 3 WELOVE MATH 4 Matriz decodificadora 6 5 matriz codificadora 2 15 0 1 1 5 THEY SPLIT THE ATOM 6 I HAVE COME TO BURY CAESAR 7 a 010110001 b1 1 1 1 0 1 8 A é invertivel médulo 29 se e sé se detA 0 mod 29 Conjunto de exercicios 1016 pagina 674 1 a j 3 dy Co a ij 2 b 4 n12 b 4 com n nl 1 6 4973 Go n 4 2 1 Any 3 ay 4 by 4cy 3 n012 Done 37 aay 2M by 4c Cone 0 5 1 a D ay by 4c b 12 m5 n12 1 1 Cy D aye 70 by 4cy 1 1 4 Autovalores A 1 4 autovetores e e 1 5 12 geracgdes 0006 758 Respostas dos Exercicios 1 1 1 5 tz qeTl3 V5 V5 3 V5 V5 1 1 zo ger i v5 4 V5 1 1 0 100 0 3 gel V5 V5 0 0000 6 x 4 5x op come ly 9 9 9 3 getldt v5 V5 0 0001 1 1 zo gerlat v5 VJ5y 5 1 1 1 5 tz gezl3 V5 V5 3 YS V5 Conjunto de exercicios 1017 pagina 684 pag l 100 175 250 382 570 1 3 b x x xO xs x waa b x so so gs fia fio 857 855 ec x Lx oss x A x So 7 2375 8 149611 Conjunto de exercicios 1018 pagina 692 1 1 a Rendimento 335 da populagao x 5 ig 1 b Rendimento 458 da populacao x 5 colhida 579 da faixa etaria mais jovem 1 3 1000 2090 0845 0845 0824 0824 0795 0795 0755 0755 0699 0699 1090 0418 2 oer EX g6o6 oa sag eT ON99 4 fy R Day yds Bp HF abby By 0532 0532 0 0418 0 0 0 0 0 0 5h a ayb Gb 1by bj2 1 a bb by 4 bby Byy Respostas dos Exercicios 759 Conjunto de exercicios 1019 pagina 699 2 7 4 1 z 4cost cos 2t 9 08 3 2 r Tr cos amy cos ay cos om cos or 300 T 2 T 3 T 4 T T ax an ox Bx sen sen sen sen 7 T 2 T 3 T 4 T 3 441 t 2 2t 2 a 44 1 cost 1 cos 2t cos3t I cos nt t cost cos2t cos3t cosn TQ Bn Sm 8 w2 13 35 57 Qn NQn T 8T1 27 1 ort 1 10at 1 2n7t GT OS TT OS TF TOS Tt Gaye OS Conjunto de exercicios 1020 pagina 707 1 a Ecombinagio v ty 2V 2V b Nao é combinagao v zy ty iv c Ecombinagao v zy 2v Ov d E combinagéo v ay tv ay 2 m numero de triangulos 7n nimero de pontos de vértice 7 k numero de pontos de vértice na fronteira 5 a Equacao 7 67 2 7 2 5 3 w MvbMcVv cv V c c b cMv b cMv b cMv b cw cw cw 4 a Vv v b vy vy Ve v Vo v 5 a M 1 2 b 1 b M 3 1 b 0 a 0 1 2 1 1 1 1 0 2 1 M b d M2 b 7 a Dois dos coeficientes sAo nulos b Pelo menos um dos coeficientes é nulo c Nenhum dos coeficientes é nulo 83 I 8 a iv 3v4 b 5 A Adição associatividade da 38 122 de números complexos 522 de objetos 172 de vetores em R 2 e R 3 120 122 de vetores em R n 126 Adjunta de uma matriz 110111 Administração florestal 590596 Aeronáutica guinada arfagem e rolagem 256 Afirmações equivalentes 519520 Ajuste de curvas interpolação spline cúbica 543 Ajuste de mínimos quadrados de curva quadrática a dados 380381 linear 376378 polinomial 379380 Alelos 292 Álgebra Linear 1 Ver também Equações linea res Sistemas lineares aplicações antigas da 536541 sistemas de coordenadas 200 Algoritmo da iteração aleatória 636 Algoritmo de inversão 55 Algoritmo PageRank 496 Algoritmos de computação decomposição LU e 478 LINPAK 478 programas de busca na Internet 496500 Algoritmos instáveis 22 Ampère 76 Análise de insumoproduto 85 Análise de redes com sistemas lineares 7378 Análise numérica 11 Ângulo em R n 137 143 entre vetores 134135 137 346 Ângulo de rotação 254 Anticomutatividade 326 Antihomogeneidade do produto interno eucli diano e escalar complexos 318 Antissimetria do produto interno euclidiano e escalar complexos 318 Aplicação 248 Aplicação de coordenadas 217 Aplicação de pixels 644647 Aplicação do gato de Arnold 642644 648650 Aproximação de mínimos quadrados 382385 no modelo de audição humana 693698 Área de paralelogramo 165 de triângulo 154 Arestas dirigidas 563 Arfagem avião 256 Argumento de um número complexo 315 525 Aritmética modular 642 657658 Armazenamento de impressões digitais 515 Arnold Vladimir I 642 Arquimedes 539 Associatividade da multiplicação matricial 3840 Astronáutica guinada arfagem e rolagem 256 Audição humana modelo de mínimos quadra dos da 693698 Autoespaços 299 308 318 bases de 299301 de matrizes simétricas reais 425426 Automorfismo de Anosov 652653 Autoridade 496 pesos de 497 vetores 497 Autovalor dominante 487489 de uma matriz de Leslie 680 Autovalores 295296 308 319 classificação de cônicas usando 487489 complexos 318319 322323 de matrizes 2 2 321 de matrizes 3 3 297 de matrizes de Leslie 680683 de matrizes hermitianas 425426 429 de matrizes quadradas 311 de matrizes simétricas 398 de matrizes triangulares 298299 de operadores lineares 472 invertibilidade e 301302 Autovalores distintos 487 Autovetores 295296 299 à direitaà esquerda 304 bases de autoespaços e 300301 complexos 318319 de matriz 2 2 296 de matrizes quadradas 311 de matrizes simétricas 398 de matrizes simétricas reais 425426 B Babilônia aplicações antigas 537 Barnsley Michael 626 636 638 Base s 209211 combinações lineares e 233234 como sistemas de coordenadas do espaço vetorial 201202 de autoespaços 299301 472 de espaço vetorial usando operações com as linhas 232 de transição 219 do complemento ortogonal 349350 do espaço linha de uma matriz 232233 dos espaços linha e coluna 229231 finitas 201 mudança de 217222 469470 número de vetores em uma 209 211 ordenada 205 ortogonal 354 356 361 por inspeção 212 por redução por linhas 230231 unicidade da representação por 204 vetores de 201 436437 Base canônica coordenadas de vetores em relação à 206 coordenadas em relação à de R n 205206 de Mnn 203 de polinômios 202 de R 3 202203 de R n 202 Bases ortonormais 354355 358 384 a partir de bases ortogonais 356 conjuntos ortonormais estendidos a 361362 mudança de 392 vetores coordenados em relação a 355 Bateman Harry 509 Bateria 76 Beltrami Eugenio 510 Bôcher Maxime 7 184 Brilho imagem gráfica 124 Brin Sergey 496 Bunyakovsky Viktor Yakovlevich 137 C C n 318321 Cadeias de Markov 285288 553561 comportamento limite de vetores estado 558 561 matriz de transição de 289290 554557 vetor de estado estacionário de 289 Cadeias de Markov regulares 288 558 Cálculo de variações 162 Caos 641652 aplicação do gato de Arnold 642644 648650 aplicações repetidas 643644 definição de 650 período e largura de pixel 646647 plano ladrilhado 647648 pontos não periódicos 649650 pontos periódicos 644646 sistemas dinâmicos 651652 Carroll Lewis 96 Cauchy Augustin 109 137 172 Cayley Arthur 29 34 43 Centro 496 pesos de 497 vetor 497 China aplicações antigas 537539 Chiu Chang Suan Shu 537538 Ciclo de período n 646 Ciclo limite 620 Cifras 654657 Ver também Criptografia Cifras de Hill 655657 660663 de ordem 2 656657 de ordem 3 657 de ordem n 657 Cifras de substituição 655 Circuito de implicações 520 Circuitos elétricos análise de redes com sistemas lineares 7678 ênuplas em 124 Círculo por três pontos 521 Círculo unitário 338 Coeficientes de combinações lineares de matrizes 31 de combinações lineares de vetores 127 183 literais 44 Coeficientes de Fourier 385 Coeficientes inteiros 297 Coeficientes numéricos 44 Cofator 94 Colheita de florestas 590596 Colheita de ovelhas 689690 Colheita de populações animais 686691 modelo de 686688 ÍNDICE Índice 761 rendimento sustentável ótimo 692 somente da faixa etária mais jovem 690691 uniforme 688690 Coluna do pivô 21 Colunas expansão em cofatores e escolha de 97 Combinação convexa 701 Combinações lineares bases e 233234 de matrizes 3133 de vetores 127 132133 183 185186 história da terminologia 184 Compensação jogos matriciais 573 Compensação esperada jogos de matriz 574575 Complemento ortogonal 243244 348350 Componentes de um vetor cálculo de produto escalar usando 35 em R 2 e R 3 122123 encontrando 123124 ênuplas complexas 316 operações algébricas usando 126127 vetorial de u ao longo de a 147148 Composição com operador identidade 453454 de reflexões 265 277 de rotações 264 275 de transformações lineares 452456 de transformações lineares injetoras 455456 de transformações matriciais 263267 de três transformações 265267 matrizes de 464465 natureza não comutativa da 264 Compressão de dados com decomposição em valores singulares 514516 Comprimento 130 336 346 Computação gráfica 597602 deformações 700704 morfismos 700 704707 mudança de escala 599 rotação 600602 translação 600 visualização de objetos tridimensionais 597 599 Comutatividade da adição 38 da multiplicação 40 46 Condensação 96 Condição de linearidade 270 Condição inicial 328 Conexão de dois passos grafos dirigidos 565 566 568569 Conexão de três passos grafos dirigidos 565 Conexão de um passo grafos dirigidos 565 568569 Cônica central 409 em posição canônica 409 Cônicas degeneradas 408 Conjugados complexos de números complexos 315 522523 de vetores 316 317318 Conjunto de Cantor 641 Conjunto linearmente dependente 191 Conjunto linearmente independente 191193 Conjunto vazio 209 Conjuntos autossimilares 626630 linearmente independentes 191194 relações entre seus elementos 563 Conjuntos autossimilares 626630 Conjuntos congruentes 626 Conjuntos densos na teoria do caos 649650 Conjuntos fechados 626627 Conjuntos limitados 626627 Conjuntos não sobrepostos 626627 Conjuntos ortogonais 143 353 Conjuntos ortonormais 143 354 construção de 353354 estendidos a bases ortonormais 361362 Conjuntos sobrepostos 626627 Conservação do fluxo em redes 74 Consistência determinação por eliminação 6465 Contração 256257 435 446 Contradomínio 247 Contraposição 519 forma de teorema 519 Convenção de laço fechado horário 76 Convergência de sequências de potências 487 taxa de 493 Coordenadas 205 de um ponto generalizado 124 em R 3 206207 em relação à base canônica de R n 205206 Cormack A M 616 Corrente elétrica 76 Cramer Gabriel 113 Crescimento de floresta de pinheiros 596 Crescimento populacional nulo 684 comportamento limite 679684 distribuição etária de fêmeas em animais 678679 distribuição etária de fêmeas humanas 683 684 matriz de Leslie 678 680683 Criptografia 654663 aritmética modular 657658 cifras 654657 cifras de Hill 655657 660663 decifrando 659660 decifrando uma cifra de Hill 661663 Criptograma 654 Critérios de parada 494 Cubo de cores RGB 127 Curva interpoladora 543 Curva quadrática de ajuste de mínimos quadra dos 380381 Curvas de nível 419 Custo minimização de 527528 D Dados de contorno distribuição de temperatura 605606 Dantzig George 525 De Moivre Abraham 526 Decomposição de Hessenberg superior 403 Decomposições de conjuntos autossimilares 627 de Hessenberg 506507 de matrizes quadradas 506507 de Shur 403 507 em autovalores 506507 em valores singulares 509511 514516 LDU 484485 Decomposições espectrais de A 400401 Decomposições LU 477484 504505 construção 483484 encontrando 480 exemplos de 480483 método de 478 Decomposições PLU 485 Decomposições QR 362364 371 Deformações 700704 dependentes do tempo 703704 Densidade de feixe tomografia computadori zada 618 Densidade de imagem do triângulo inicial 701 Dependência linear 184 193 Derivação por multiplicação matricial 450 Derivada contínua funções com 182 Desigualdade de CauchySchwarz 137 345346 Desigualdades triangulares para distâncias 138 346 para vetores 138 146 Desvio 382 Determinante s 43 93110 de matrizes 2 2 9798 de matrizes 3 3 9798 de matrizes elementares 102 de matrizes triangulares 97 de operador linear 472 de produto matricial 107108 definição 93 geral 95 interpretação geométrica de 166168 no teorema da equivalência 114 por expansão em cofatores 9398 por redução por linhas 100104 propriedades do 106112 somas de 107 Devaney Robert L 650 Diagonal principal 27 509 Diagonalizabilidade de matrizes triangulares 309310 não de matrizes n n 402 ortogonal 427428 Diagonalização de matrizes 305313 ortogonal 397 solução de sistemas lineares por 329331 Diagonalização unitária de matrizes hermitianas 427428 Dickson Leonard Eugene 111 Diferença de matrizes 27 de números complexos 522 de vetores 121 126 Dilatação 256257 435 446 Dimensão de espaço gerado 209210 de espaço vetorial 209 e transformações 447 Dimensão de Hausdorff 629630 Dimensão topológica 628629 Discriminante 321 Distância 336 desigualdade triangular da 138 em espaços com produto interno arbitrários 346347 em espaços com produto interno reais 336 762 Índice em R n 132133 entre planos paralelos 150 entre um ponto e um plano 149150 projeções ortogonais para 148149 Distribuição de temperatura de equilíbrio 605 613 dados de contorno 605606 formulação discreta do problema 607611 propriedade do valor médio 606607 técnica de Monte Carlo para a 612613 técnica numérica para a 611612 Distribuição de vacinas 579580 Distributividade do produto escalar 136 do produto interno euclidiano complexo 318 Distributividade à direita 38 Distributividade à esquerda 38 Divisão de números complexos 524526 Dodgson Charles Lutwidge 96 Doenças genéticas 669671 Doenças recessivas autossômicas 669671 Domínio 247 E Economia aberta produtiva 8889 Economias abertas análise de Leontief de 8689 Economias fechadas 86 Egito aplicações antigas 536537 Einstein Albert 123124 Eisenstein Gotthold 29 Eixo imaginário 522 Eixos de rotação 254 no espaço bidimensional 392394 no espaço tridimensional 394395 Eixos principais 410 Elevação e queda de voltagem 7677 Eliminação de GaussJordan da matriz aumentada 319 505 de sistemas homogêneos 18 descrição 15 erros de arredondamento na 2122 interpolação polinomial por 82 usando 44 504505 Eliminação gaussiana 1116 505 definição 16 erros de arredondamento na 2122 Elipse eixos principais da 410 Elipsoide central em posição canônica 416 Entrada máxima método das potências com mudança de escala de 490493 Entradas 26 Entradas diagonais 509 Ênupla complexa 316 Ênupla ordenada 124 Ênuplas em Economia 124 Equação característica 296 308 Equação de Leontief 87 Equações de dependência 234 Equações de rotação 254 393 Equações diferenciais 327331 440 Equações homogêneas 145 156 Equações lineares 23 156 Ver também Siste mas lineares Equações lineares homogêneas 2 Equações normais 368 377378 Equações paramétricas 6 de planos em R 3 153155 de retas e planos em R 4 155 de retas em R 2 e R 3 152154 Equações pontonormal 144145 Equações químicas equilibrando com sistemas lineares 7880 Equações vetoriais com dois pontos em R n 155 de planos em R 3 153155 de retas e planos em R 4 155 de retas em R 2 e R 3 152154 Equilíbrio de equações químicas 79 Equivalência por linhas 51 Erro s de arredondamento 2122 de mínimos quadrados 367 em problemas de aproximação 383 medição de 382383 percentual 493 percentual estimado 493 quadráticos médios 383 relativo 493 relativo estimado 493494 Escalares 26 119 121 de espaços vetoriais 172 de múltiplos de vetores 161 Escaneamento de tomografia computadorizada 616617 Escore PageRank 496 Esfera por quatro pontos 523524 Esfera unitária 338 Espaço bidimensional 119 Espaço coluna 225 226 228 243 base do 229231 dimensão igual à do espaço linha 237 Espaço com produto interno 435 círculo unitário em 338 complexo 344 esfera unitária em 338 Espaço com produto interno de dimensão finita 349 362 Espaço com produto interno real 335 345346 Espaço complexo de dimensão n 316 Espaço de Hilbert 360 Espaço de soluções de sistemas homogêneos 187188 Espaço euclidiano de dimensão n 336 Espaço linha 225 228229 243 bases de 229230 232233 bases por redução por linhas 230 dimensão igual à do espaço coluna 237 Espaço nulo 225 228229 Espaço RGB 127 Espaço tridimensional 119 produto misto 165166 produto vetorial 161163 Espaço vetorial 171 axiomas 171172 base para usar operações com linhas 232 complexo 172 315325 de dimensão finita 204 212213 de dimensão infinita 204 de dimensão n 123 124 212 de funções reais 175 de matrizes 2 2 174 de matrizes m n 174175 de sequências infinitas de números reais 173 dimensão de 209 exemplos de 173177 204 fundamental 242243 isomorfo 447 nulo 173 209 real 171172 335 subespaços de 179188 439 Espaçonave guinada arfagem e rolagem 256 Espaços de funções 182183 Espaços fundamentais 243244 Espaços gerados 184185 188 204 209210 em R 2 e R 3 184185 em R n 184 teste para 186 Espaços matriciais transformações de 435 Esponja de Menger 640 Estado de um sistema de partículas 125 Estado de um sistema dinâmico 125 Estado de uma variável 282 Estratégias em jogos de matriz 574 576578 Estratégias mistas em jogos de matrizes 577 Estratégias ótimas em jogos de duas pessoas com soma zero 576578 em jogos de matrizes 2 2 579580 Estratégias puras em jogos de matriz 577 Expansão em cofatores de matrizes 2 2 95 determinantes por 9394 operações elementares com linhas e 104 Expansão reduzida em valores singulares 514 Exponencial complexa de números complexos 527 Extremos condicionados 417418 F Faixa etária fértil 677 Fase direta 15 Fase para trás ou inversa 15 Fatoração 480 Fatorações LU 480 Fatorações PLU 485 Fechamento na adição 172 na multiplicação por escalar 172 Flops 501503 Fluxo de trânsito análise de redes com sistemas lineares 7475 Forma canônica de Jordan 407 Forma de Hessenberg superior 403 Forma escalonada por linhas 1112 1415 21 229 Forma linear 405 Forma matriz coluna de vetores 128 225 Forma matriz linha de vetores 128 225 Forma polar de números complexos 315 524525 Formas escalonadas 1112 21 Formas escalonadas reduzidas por linha 1112 21 319 Formas quadráticas 405409 aplicações de 406409 associadas a uma matriz 406 expressão em notação matricial 406 indefinidas 412 Índice 763 mudança de variáveis 406407 não negativas 412 não positivas 412 negativas 412 otimização usando 417422 positivas 412414 seções cônicas 408409 teorema dos eixos principais 407408 Formas vetoriais 154 Formato de vetores com parênteses e vírgulas 225 como ênuplas 128 Fórmula de De Moivre 526 Fórmula de Euler 527 Fórmulas químicas 78 Fotografias compressão de dados e processa mento de imagens 515 Fourier Jean Baptiste 386 Fractais 626639 abordagem Monte Carlo para 636637 algoritmos para gerar 633636 conjuntos autossimilares 626628 definição 630 dimensão de Hausdorff de conjuntos autossi milares 629630 dimensão topológica de conjuntos 628629 no plano euclidiano 626 semelhança 630633 Função exponencial complexa 526 Função objetivo 528 Função phi de Euler 665 Funções com derivadas contínuas 182 definição 247248 dependência linear de 196197 Funções reais espaço vetorial de 175 G Gauss Carl Friedrich 15 29 94 538 Gene dominante 666 General Electric sistema de tomografia compu tadorizada 616617 Genes dominantes e recessivos 666 Genes recessivos 666 Genética 665674 características herdadas 665 doenças recessivas autossômicas 669671 hereditariedade autossômica 666669 hereditariedade ligada ao sexo 671674 Genótipos 292 665666 definição 665 distribuição numa população 666668 Geometria de sistemas lineares 152159 em R n 138 formas quadráticas na 408409 Gerador de Fibonacci de números aleatórios 652 Gibbs Josiah Willard 134 161 Golub Gene H 510 Google algoritmos usados pelo 496 origem do termo 496 Googol 496 Grafos dirigidos 563568 panelas 566568 por dominância 568570 Gram Jorgen Pederson 360 Grassmann H G 172 Graus de liberdade 209 Grécia aplicações antigas 539540 Guinada avião 256 H Hausdorff Felix 629 Hereditariedade 665666 autossômica 665669 ligada ao sexo 666 671674 Hermite Charles 426 Hesse Ludwig Otto 420 Hilbert David 360 Hill George William 184 Hill Lester S 655 Hiperplano 622 Homogeneidade de transformações lineares 434 de transformações matriciais 249 269270 do produto escalar 136 do produto interno euclidiano complexo 318 Houndsfield G N 616 I Idempotência 50 Identidade do paralelogramo de vetores 138 Igualdade de matrizes 2728 39 de números complexos 521 de vetores 120 125 Imagem 247 438440 Imagem 644 Imagens 247 de um quadrado 279 de uma reta 279280 de vetores de base 436437 Imagens digitalizadas de retas por operadores matriciais 279280 ênuplas e 124 modelo de cores RGB 127 Incógnitas 2 Independência linear 184 190198 214 conjuntos com 191194 de duas funções 195 de polinômios 193 dos vetores unitários canônicos em R 3 191 192 dos vetores unitários canônicos em R 4 192 dos vetores unitários canônicos em R n 191 exemplos de 194 usando o wronskiano 197198 uso da terminologia 193 Índia aplicações antigas 540541 Indústria lucrativa no modelo de Leontief 588 Influências numa família 564565 Informação digital em formato matricial 245 Instabilidade 22 Insumos na economia 85 Integração aproximada 83 Inteligência artificial 479 Interpolação 543 Interpolação polinomial 8082 Interpolação spline cúbica 543551 ajuste de curvas 543 dedução da fórmula de spline cúbica 545548 enunciado do problema 544545 spline cúbica emendada 548551 spline natural 548549 spline parabólica emendada 548549 Invariante por semelhança 305 306 471472 Inversa de matrizes 2 2 44 de matrizes diagonais 67 de um produto 4546 matricial usando sua adjunta 111112 Inversão resolução de sistemas lineares por 4445 6062 Inverso multiplicativo 523 de um módulo m 658 Invertibilidade autovalores e 301302 de matrizes de transição 220 de matrizes elementares 53 de matrizes triangulares 68 no teorema de equivalência 5354 teste usando determinante 108110 transformação matricial e 266267 ISBN livros 141 Isomorfismo 447451 Isomorfismo de espaços com produto interno 450451 Isomorfismo natural 449 Isotérmica 606 Iteração da transformação do gato de Arnold 643 de Jacobi 611612 J Jacobi iteração de 611612 Jogos de duas pessoas com soma zero 573578 Jogos de estratégia de duas pessoas com soma zero 573578 jogos de matrizes 2 2 578580 teoria de jogos 572573 Jogos de matrizes de duas pessoas com soma zero 577578 definição 573 Jogos estritamente determinados 576 Jordan Camille 507 510 Jordan Wilhelm 15 K Kaczmarz S 620 Kalman Dan 400 Kasner Edward 496 késima submatriz principal 414 Kirchhoff Gustav 77 L Lagrange Joseph Louis 162 decomposições LDU 484485 fatorações LDU 485 Lei das correntes de Kirchhoff 76 Lei das tensões de Kirchhoff 76 Lei de cancelamento 41 Lei de Hooke 378 Lei de Ohm 76 Leontief Wassily 8586 581 Linhas expansão em cofatores e escolha de 97 764 Índice LINPAK 478 Liu Hui 537 M Magnitude norma 130 Mandelbrot Benoit B 626 630 Mantissa 501 Manuscrito Bakhshali 540541 Markov Andrei Andreyevich 285 Matiz imagem digitalizada 124 MATLAB 478 Matriz 4 6 posto e nulidade de 238 Matriz aumentada 67 11 12 18 25 33 Matriz de colheita de animais 687688 Matriz de compensação 574 576 Matriz de consumo 86 586 Matriz de consumo produtiva 587 Matriz de crescimento modelo de administração florestal 592 Matriz de inputoutput 583 Matriz de Leslie do crescimento populacional por faixa etária 678 680683 autovalores 680683 colheita de populações animais 687688 Matriz de Markov 555 Matriz de probabilidade Markov 555 Matriz de reposição no modelo de administração florestal 592 Matriz de troca 583 Matriz de vértice 564565 Matriz decodificadora 661 Matriz tecnológica 86 Matrizes adjunta 110 análise econômica de Leontief com 8589 antihermitianas 429 antissimétricas 428429 canônicas 248 251 268269 274 372 coluna 26 com linhas ou colunas proporcionais 102103 complexas 316 composição de 464465 coordenadas 205 604 de adjacência 496497 de coeficientes 33 308 477 de coeficientes diagonais 329 de operadores identidade 463464 de operadores lineares 462 468469 de permutação 485 de reflexão 390 de rotação 254 390 de transformações inversas 464 de transformações lineares 458462 de transição 219221 469 definição 1 6 26 determinantes de 93110 diagonais 6668 274275 diagonalização de 305313 elementares 51 53 57 102 277 em blocos 3031 entradas de 26 equivalentes por linhas 51 espaços fundamentais de 243244 estocásticas 288289 555 exemplos de 2627 fatoração de 323 hermitianas 425427 429 524529 hessianas 420421 identidade 4142 igualdade de 2728 39 inversão de 5557 inversas 4145 invertibilidade 5354 68 108110 220 invertíveis 4145 6265 659660 linha 26 múltiplos escalares de 28 normais 429 notação e terminologia 2527 33 operações aritméticas com 2732 ortogonais 389395 ortogonalmente diagonalizáveis 397 partes real e imaginária de 316317 positivas 414 posto de 239 potências de 4546 301302 310311 produto de como combinações lineares 3133 produtos internos gerados por 338339 propriedades algébricas de 3839 quadradas 27 34 35 42 66 68 100104 311 389 506507 reais 316 322 redundância em 245 semelhantes 305 simétricas 6970 299 322 398 420 singulares e não singulares 42 43 submatrizes de 30 414 tamanho de 26 39 teorema da dimensão para 239 traço de 35 transpostas 3334 triangulares 6869 97 298299 309310 unitárias 425427 zero 40 Matrizes 2 2 autovalores de 321322 autovetores 296 determinante de 97 espaços fundamentais de 174 expansão em cofatores de 95 inversa de 44 jogos 578580 Matrizes 3 3 adjuntas 111 autovalores de 297 decomposição QR de 363364 determinante de 97 ortogonais 389390 Matrizes de Dirac 326 Matrizes de Leontief 87 Matrizes de transição regulares 558 Matrizes m n espaços vetoriais reais 174175 Matrizes n n afirmações equivalentes 240241 não diagonalizabilidade de 402 teorema de Hessenberg 403 Maximização de audiência de televisão 577 578 Máximo relativo 420 421 Média aritmética 337 Melhor aproximação 367 Menor 94 Metano sistemas lineares para analisar equações de queima de 7879 Método das potências 487494 com mudança de escala de entrada máxima 490493 com mudança de escala euclidiana 489490 critérios de parada 494 para algoritmos de sistemas de busca 496500 Métodos de eliminação 1416 6465 Migração de animais como cadeia de Markov 286287 Mínimo relativo 420 421 Mínimos quadrados ajuste de curva de 376 Mmn Ver Matrizes m n Mnn bases canônicas de 203 produtos internos em 339340 subespaços de 181 Modelo aberto de Leontief 585588 Modelo de cores RGB 127 Modelo de inputoutput de Leontief 8589 Modelo de Leslie do crescimento populacional 676684 Modelo econômico de Leontief análise do 8589 581588 Modelo fechado de Leontief 582585 Modelos econômicos de Leontief 581588 aberto de produção 585588 fechado de inputoutput 582585 sistemas econômicos 581 Módulo 657 de números complexos 315 323 Molas constante de 378379 Morfismos 700 704707 Morfismos dependentes do tempo 704707 Movimento de xadrez 565566 Mudança de escala de entrada máxima 490493 euclidiana 489490 Mudança de variáveis 406407 Mudança de variáveis ortogonal 407 Multiplicação matrizes 2831 249250 Ver também Produto de matrizes associatividade 3840 derivação por 450 operações elementares com as linhas 52 ordem dos fatores 40 por colunas e linhas 3031 por matriz invertível 278 produto escalar como 139140 Multiplicação números complexos 521 522 525526 Multiplicação vetores Ver também Produto vetorial produto interno euclidiano produto interno Produto de vetores em R 2 e R 3 121 por escalares 172 Multiplicação matricial por linhas e colunas 3031 Multiplicação por A 248 Multiplicação por escalar 121 172 Multiplicidade algébrica 312 Multiplicidade geométrica 312 Múltiplos escalares 28 172 Índice 765 N n 384 Negativo de um vetor 121 Newton Isaac 522 Norma comprimento 130 148 336 calculando 131 de vetor em C a b 341 espaço com produto interno real e 336 euclidiana 317 produto interno euclidiano complexo e 317 318 Normal 144 Normalização 132 364 Nós redes 73 76 Notação matricial 2527 33 406 Núcleo 438440 445 Nulidade 441 de matrizes 4 6 238 soma de 239240 Números complexos 315316 521527 conjugados complexos 522523 definição de 521 divisão de 524526 forma polar de 315 524525 fórmula de De Moivre 526 multiplicação de 521522 525526 recíproco de 523 Números imaginários 521 Ver também Núme ros complexos Números pontoflutuantes 501 O Objetos tridimensionais visualização de 597 599 Ohm unidade 76 Ondas populacionais 680 Ondas sonoras audição humana 693698 Operações algébricas usando componentes vetoriais 126127 Operações aritméticas de matrizes 2734 3842 de números complexos 522525 de vetores em R 2 e R 3 120122 de vetores em R n 125 Operações com linhas inversas 5255 Operações elementares com as linhas 78 51 228 com multiplicação matricial 52 determinantes e 100104 e operações inversas 5255 e operações inversas com linhas 5255 expansão em cofatores e 104 para inversão de matrizes 5556 redução por linhas e determinantes 100104 Operações inversas 5255 Operações pontoflutuantes 501 Operador compressão 257 Operador contração 435 fractais 626627 630631 Operador de cisalhamento 258 277 Operador dilatação 435 626 Operador expansão 257 277 Operadores 248 435 446 Ver também Opera dores Lineares Operadores 251 253 267268 Operadores de reflexão 251252 259260 Operadores de rotação 253255 em R 3 255 propriedades de 267 Operadores de translação 446 Operadores identidade 251 434 composição com 453454 matrizes de 463464 núcleo e imagem de 439 Operadores inversos matrizes canônicas de 268269 Operadores lineares de P 2 463 determinantes de 472 matrizes de 462 468469 matrizes ortogonais como 391392 Operadores matriciais 248 446 efeito geométrico dos 278 em R 2 273280 imagens de retas por 279280 Operadores ortogonais 392 Operadores projeção ortogonal 251 Órbitas 522523 Ordem de uma equação diferencial 327 na multiplicação matricial 40 Ortogonalidade de vetores linha e solução 157158 definição 352353 produto interno e 347 Ortonormalidade 353 Otimização usando formas quadráticas 417422 Ouvido anatomia do 693694 modelo de mínimos quadrados da audição 693698 P P2 operadores lineares de 463 teorema de Pitágoras em 348 vetores ortogonais em 347348 Page Larry 496 Panelas grafos dirigidos 566568 Papiro de Ahmes 536 Papiro de Rhind 536 Par ordenado 3 Paralelogramo área de 164 Parâmetros 5 13 152 153 Parte imaginária de números complexos 315 521 de vetores e matrizes 316 Parte real de números complexos 315 521 de vetores e matrizes 316317 Passeio aleatório discreto 612 Período de uma aplicação de pixels 646 Peso 336 Piazzi Giuseppe 15 Pivô 11 Pixels compressão de dados e processamento de imagens 515 definição de 644 Plano s distância entre paralelos 150 distância entre um ponto e um 149150 equações pontonormal 144145 equações vetoriais e paramétricas em R 3 153 155 equações vetoriais e paramétricas em R 4 154 forma vetorial de 145 154 ladrilhados 647648 pela origem como subespaços 181 por três pontos 523 vetores ortogonais a 145 Plano complexo 522 Plano ladrilhado 647648 Planos paralelos distância entre 150 Pn Ver Polinômios Poder de um vértice num grafo dirigido por dominância 570 Polinômio característico 297 308 Polinômio interpolador 80 Polinômio trigonométrico 384 Polinômios Pn 4647 ajuste de mínimos quadrados de 379380 base canônica de 202 característicos 297 308 conjunto gerador de 185 conjunto linearmente independente de 192 193 cúbicos 544551 de Legendre 361 independência linear de 193 produto interno canônico de 340 subespaços de 182 transformação linear de 435 trigonométricos 384385 Polinômios de Legendre 361 Polinômios matriciais 4647 Política de colheita sustentável ótima 692 Polo negativo 76 Polo positivo 76 Polos bateria 76 Ponto amostrais 340 Ponto final 119 Ponto inicial 119 Ponto inicial comum 122 Pontos construindo curvas e superfícies por 520524 distância de um plano 149150 Pontos críticos 420 Pontos de esquina 530 Pontos de malha 607611 Pontos de malha de contorno 607 Pontos de malha interiores 607 Pontos de pixel 645 não periódicos 649650 Pontos de sela 420 421 576 Pontos de vértice deformações 702703 programação linear 530 Pontos extremos 530 Pontos fixos 646 Posição do pivô 21 Positividade do produto escalar 136 do produto interno euclidiano complexo 318 Posto 441 de matrizes 4 6 238 de uma aproximação 516 redundância de uma matriz e 245 766 Índice soma de 239240 teorema da dimensão para matrizes 239 valor máximo do 239 Posto coluna máximo 363 Potencial elétrico 76 Potências de matrizes 46 Potências de uma matriz 4546 67 301302 310311 Probabilidade 284 Probabilidade de transição cadeias de Markov 554 Problema da aproximação 382384 Problema da Manada 539540 Problema de mudança de base 217218 469 Problema de valores iniciais 328 Problema geral de programação linear 528530 Problemas de extremos condicionados 417419 Problemas de maximização de duas pessoas com soma zero 577578 programação linear 525534 Problemas de minimização programação linear 527530 Procedimento de três passos 461 Processamento de imagens compressão de dados e 515 Processo de GramSchmidt 356 358363 384 Processos estocásticos 284 Produto de matrizes 28 como combinação linear 31 de matrizes simétricas 70 de matrizes triangulares inferiores 68 determinantes do 107108 inversa do 4546 transposta do 47 Produto de vetores por escalar em R 2 e R 3 121 vetorial 161163 Produto em economia 85 Produto direto 134 Produto escalar 133136 antissimetria do 318 aplicação do 141 cálculo de 136137 como multiplicação matricial 139140 complexo 317 de sistemas lineares em formato de 156157 de vetores 139 produto vetorial e 162 propriedades algébricas do 135136 relações envolvendo 162 simetria do 136 318 Produto interno calculando o 342 canônico 336 340 de avaliação 340 em espaços vetoriais reais 338 em Mnn 339340 em R n 336339 euclidiano 133 317318 336339 exemplos de 336341 matricial 338 propriedades algébricas do 342 transformação linear usando 435 Produto interno complexo 344 Produto misto 165166 Produto torcido 161 Produto vetorial 161163 cálculo de 161 forma de determinante de 164 interpretação geométrica de 164165 notação 161 propriedades de 163 Produtos em reação química 78 Programação linear geométrica 525534 Projeções ortogonais 146147 357 com técnicas de reconstrução algébrica 620 622 de retas pela origem 258259 interpretação geométrica de 358 matriz canônica de 372 núcleo e imagem de 439 sobre subespaços de R m 371372 sobre um subespaço 369370 Propriedade da aditividade de transformações lineares 434 de transformações matriciais 249 269 270 Propriedade discreta do valor médio 607 Propriedade do valor médio 606607 Propriedades algébricas de matrizes 3848 Propriedades algébricas de vetores produto escalar 135136 Q Quadrado imagem do 279 Quádrica central em posição canônica 416 Queima de metano analisada por sistema linea res 7879 Quociente da divisão de números complexos 514 Quociente de Rayleigh 491 R R 2 adição vetorial em 120 122 automorfismo de Anosov em 652653 círculo unitário em 338 cisalhamentos em 258 conjuntos autossimilares em 626627 equações paramétricas de retas em 152154 espaço gerado em 184185 norma de um vetor 131 operadores matriciais básicos de 258 operadores matriciais de 273280 produto escalar de vetores em 133 retas pela origem são subespaços de 180181 segmento de reta entre dois pontos em 156 vetores em 119129 R 3 adição vetorial em 120 122 base canônica de 202203 conjunto ortogonal em 353 coordenadas em 206207 equações vetoriais e paramétricas de planos em 153155 equações vetoriais e paramétricas de retas em 152154 espaço gerado em 184185 independência linear dos vetores unitários canônicos 191192 norma de um vetor 131 produto escalar de vetores em 133 retas pela origem são subespaços de 180181 retas por dois pontos em 155156 rotações em 254256 transformações matriciais de R 4 em R 3 249 vetores em 119129 R 4 cosseno do ângulo entre dois vetores em 346 equações vetoriais e paramétricas de retas e planos em 155 independência linear dos vetores unitários canônicos 192 teorema de Pitágoras em 148 transformações matriciais de R 4 em R 3 249 Raios X tomografia computadorizada 615624 Ramos de rede 73 Rayleigh John William Strutt 492 Reação química completa 78 Reagentes em equações químicas 78 Receita de vendas maximizando 526 Recíproca 519 Recíproco de módulo m 658659 de números complexos 523 Redes definição 73 Redução por linhas bases por meio de 230 231 cálculo de determinantes por 100114 Redundância em matrizes 245 Reflexões composição de 265 277 Região viável 529534 Regra da mão direita 164 Regra de Cramer 112113 Regra do paralelogramo para a adição vetorial 120 Regra do triângulo para a adição vetorial 120 Rendimento anual maximizando o 526527 Rendimento sustentável ótimo de colheitas animais 692 de cortes de floresta 590 593596 Resíduo de módulo m 657658 Resistência elétrica 76 Resistor 76 Restrição 417 528 534 Restrições de não negatividade 528 Reta de regressão 377 Reta real 123 Retas equação pontonormal 144145 equações vetoriais e paramétricas de em R 2 e R 3 152154 equações vetoriais e paramétricas de em R 4 155 forma vetorial de 145 154 imagem de 279280 pela origem como subespaço 180181 por dois pontos 520521 por dois pontos em R 3 155156 projeção ortogonal sobre 147 projeção ortogonal sobre pela origem 258 259 segmentos de entre dois pontos em R 2 156 vetores ortogonais a 145 Retrossubstituição 1920 R n base canônica de 202 como espaço vetorial 173 Índice 767 coordenadas em relação à base canônica de 205206 distância em 132133 equações vetoriais com dois pontos em 155 espaço gerado em 184 forma vetorial de retas e planos em 154 geometria em 138 independência linear dos vetores unitários canônicos 191 matrizes de transição em 220222 norma de um vetor em 131 produto interno euclidiano de 336339 projeção ortogonal em subespaços de 371 372 teorema de Pitágoras em 148 vetores em 123125 vetores unitários canônicos em 132 Roda das colunas 572 Roda das linhas 572 Rolagem avião 256 Rotações composição de 264 275 em R 3 254256 núcleo e imagem de 439 S Saturação imagens digitalizadas 124 Schmidt Erhardt 360 510 Schur Issai 402 Schwarz Hermann Amandus 137 Seções cônicas 408412 por cinco pontos 522523 Segmento de reta entre dois pontos em R 2 156 Semelhanças 630633 Sensitividade a condições iniciais sistemas dinâmicos 651 Sequência de potências gerada por A 487 Séries de Fourier 384386 Séries de Maclaurin 527 Serviço de busca 496500 Serviço de busca na Internet 496500 Setores abertos 86 Setores de uma economia 85 Setores rentáveis 89 Sierpinski Waclaw 628 Simetria do produto escalar 136 318 Sistema dinâmico discreto 651 caótico 651 Sistema dos números complexos 522 Sistema linear de primeira ordem 328 Sistema poligráfico 655 Sistemas de coordenadas 200 unidades de medição 201 vetores de base de 201 Sistemas de coordenadas retangulares 200 Sistemas dinâmicos 282284 651652 Sistemas homogêneos espaços solução de 187188 Sistemas lineares 23 Ver também Sistemas lineares homogêneos análise de redes com 7378 aplicações 7383 com matriz de coeficientes em comum 61 com uma infinidade de soluções 57 comparação de procedimentos para resolver 501505 correspondentes 158 de primeira ordem 328 de três incógnitas 1213 estimativa do custo para resolver 501504 formato de produto escalar de 156157 geometria de 152159 interpolação polinomial 8082 matriz de coeficientes 33 matrizes aumentadas 67 1112 18 25 33 métodos de resolução 3 4 7 não homogêneos 19 número de soluções de 60 para equilibrar equações químicas 7880 resolução pela regra de Cramer 112113 resolução por eliminação operações com as linhas 78 resolução por eliminação gaussiana 1116 2122 505 resolução por inversão matricial 4445 6062 sem solução 5 sobre e subdeterminados 241 solução de mínimos quadrados de 366372 solução geral de 13 solução por computador 1 soluções de 3 11 Sistemas lineares consistentes 34 227 Sistemas lineares homogêneos 1719 227 dimensão do espaço solução 210 e matrizes elementares 57 soluções de 186187 teorema da variável livre de 19 Sistemas lineares inconsistentes 3 Sistemas mecânicos ênuplas e 125 Sistemas normais 368 Solução de mínimos quadrados 378 ajuste linear 376378 de sistemas lineares 366372 decomposição QR e 371 Solução ilimitada 533 Solução ótima 529 Solução viável 528 Soluções comparação de procedimentos para resolver sistemas lineares 501505 custo de 501504 de mínimos quadrados 366372 de sistemas lineares 3 11 de sistemas lineares com condições iniciais 328329 de sistemas lineares homogêneos 186187 de sistemas lineares por diagonalização 329 331 de sistemas lineares por fatoração 477 eliminação de GaussJordan 15 18 2122 44 82 319 504505 eliminação gaussiana 1116 2122 505 fatoração 477 flops e 501504 gerais 13 227 240 328 melhor aproximação 367 método das potências 487494 particulares 227 triviais e não triviais 17 191 Soma de matrizes 27 46 de números complexos 522 de posto e nulidade 239240 de vetores em R n 126 Soma de vetores em R 2 e R 3 120 122 jogos de matriz 576 regra do paralelogramo para 120 regra do triângulo para a 120 Soma zero jogos de duas pessoas com 573578 Spline apertada 552 Spline cúbica 545548 Spline de esboço 543 Spline natural 548549 Spline parabólica emendada 548549 Splines emendadas 548551 Splines periódicos 552 Subdiagonal 403 Subespaços 179188 439 criação de 183 de Mnn 181 de polinômios Pn 182 de R 2 e R 3 180181 definição de 179 exemplos de 180188 nulos 180 projeção ortogonal sobre 369370 projeção ortogonal sobre de R m 371372 Submatrizes 30 414 Submatrizes principais 414 Substituição direta 479 Subtração de números complexos 522 de vetores em R 2 e R 3 121 de vetores em R n 126 Sylvester James 34 94 510 T Tapete de Siekpinski 628 630 632635 637 640 TausskyTodd Olga 320 Taxa de convergência 493 Taxa líquida de reprodução 684 Técnica de Monte Carlo na determinação da distribuição de tempera tura 612613 na geração de fractais 636637 Técnicas de reconstrução algébrica 616 620 624 Televisão audiência como um sistema dinâmi co 282283 Temperatura de equilíbrio Ver Distribuição de temperatura de equilíbrio Tempo como quarta dimensão 123 Teorema forma contrapositiva de um 519 recíproca de um 519 Teorema da dimensão para transformações lineares 441442 Teorema da equivalência 373 determinantes 114 invertibilidade 5354 302 matrizes n n 240241 Teorema da melhor aproximação 367 Teorema da projeção 146147 356357 Teorema das variáveis livres de sistemas homo gêneos 19 Teorema de Hessenberg 403 768 Índice Teorema de Pitágoras em R 4 148 em R n 148 generalizado 348 Teorema de Shur 402 Teorema do maismenos 211 Teorema dos eixos principais 407408 410 Teorema dos extremos condicionados 417 Teorema fundamental dos jogos de duas pessoas com soma zero 575576 Teoria de cordas 123124 Teoria de grafos 563570 grafos dirigidos 563568 grafos dirigidos com dominância 568570 panelas 566568 relações entre os elementos de conjuntos 563 Teoria de jogos 572573 Teoria do campo unificado 124 Teoria linear de vigas 544 Termos mistos 405 411 Terno ordenado 3 Teste da derivada segunda 420 421 Texto cifrado 654 Texto comum 654 TienYien Li 641 Tomografia computadorizada 615624 dedução de equações 617619 modos de escanear 616617 técnicas de reconstrução algébrica 620624 Topologia 628629 Torneios 568 Traço de matrizes quadradas 35 Transformação de cisalhamento computação gráfica 603 Transformação de mudança de escala computação gráfica 599 conjuntos autossimilares 626 630631 Transformação de reflexão computação gráfica 603 Transformação de semelhança 305 Transformação linear inversa 454455 Transformação linear sobrejetora 445 Transformação nula 250 434 439 Transformações 248 Ver também Transforma ções lineares Transformações matriciais de avaliação 436437 de derivação 439 de espaços de matrizes 435 dimensão e 447 injetoras 447 integrais 438 464 inversas 464 Transformações afins 637639 contrativas 638 de deformação 701 Transformações de rotação de conjuntos autossimilares 630 em computação gráfica 600602 Transformações lineares 270 composição de 452453 455456 de Pn em Pn1 435 definição de 433 exemplos de 435 438 injetoras 445 inversa 454455 matrizes de 458462 posto e nulidade de 441 sobrejetoras 445 teorema da dimensão para 441442 usando produto interno 435 Transformações matriciais 248 434 composição de 263267 de R 4 em R 3 249 definição 433 matriz canônica de 251 notação de 249 núcleo e imagem de 438439 nulas 250 434 439 propriedades de 249250 Translação 120 436 em computação gráfica 600 Transposta de matriz triangular inferior 68 determinante da 101 espaços fundamentais da 242 invertibilidade da 48 propriedades da 4748 Transposta conjugada 424 Triangulação 702703 Triângulo área do 165 de Sierpinski 628 630 632633 635636 Triângulo final deformações 701 Triângulo inicial deformações 701 Turing Alan Mathison 479 U Unidades de medição 201 V Valor 247 Valor absoluto 523 de determinante 166 de um número complexo 315 Valores singulares 507508 Variáveis líderes 13 239 Variáveis livres 13 239 Vértices rede 73 76 Vértices grafos 563564 Vetor autoridade inicial 497 Vetor centro inicial 497 Vetor cifrado 655 Vetor coluna 26 27 39 Vetor comum 655 Vetor de cortadas de florestas 592 Vetor de distribuição etária inicial 676 Vetor de estado estacionário cadeias de Markov 289 559560 Vetor de não cortadas florestas 591 Vetor de produção 87 88 585 Vetor demanda 586 Vetor demanda externa 8788 Vetor demanda intermediária 87 Vetor erro 369 Vetor erro de mínimos quadrados 367 Vetor preço 583 Vetor zero 120 125 Vetores 119 ângulo entre 134135 137 346 colineares 121122 combinação linear de 127 132133 183 185186 componentes de 122123 de coordenadas 205 206 de estado 287 de probabilidade 555 de base 201 desigualdade triangular para 138 em forma de matriz linha 128 225 em formato de ênuplas 128 225 em formato de matriz coluna 128 225 em R 2 e R 3 119129 em R n 123125 em sistemas de coordenadas 122123 equivalência de 120 125 geométricos 119 identidade do paralelogramo de vetores 138 igualdade de 120 125 independência linear de 184 190198 linha 26 27 39 157 225 não nulos 188 norma de 148 normalização de 132 notação de 119 128 nulos 120 125 operações aritméticas 120122 125 ortogonais 143145 317 347348 paralelos 121122 125 partes real e imaginária de 316317 perpendiculares 143 produto escalar de 133137 139140 solução 157 unitários 131132 317 336 unitários canônicos 132 163 184 191192 Vetores de consumo 8788 Vetores de coordenadas 205 cálculo de 220 em relação a bases canônicas 206 em relação a bases ortonormais 355 Visualização de objetos tridimensionais 597599 Volts unidade 76 von Neumann John 646 W Weyl Herman Klaus 510 Wilson Edwin 161 Wronski Jozef Hoene de 194 Wronskiano 197198 Y Yorke James 641 httpslivrospdfcienciasexatasblogspotcombr