Atividade 17 - Bases

4 Para encontrar a dimensão do subespaço vetorial S definido por S x y z w R x y z 0 y z 0 est e reescrito usando o vetor genérico S 0 z z w z w R Pode concluirse que dim S 2 pois existem 2 variáveis livres Por outro lado como 0 z z w z 0 1 1 0 w0 0 1 1 então S ger 0 1 1 0 0 0 1 1 Ora sendo os vetores geradores linearmente independentes não são múltiplos um do outro eles definem uma base de S ou seja B 0 1 1 0 0 0 1 1 é base de S e dim S B 2 Propriedades Sejam S um subespaço vetorial de E tal que dim S n e U um conjunto de r vetores de S Temse que Se r n então U é linearmente dependente Logo U não é base de S Se r n então U não gera S Logo U não é base de S Se r n e U é linearmente independente então U é base de S Se r n e U gera S então U é base de S Exemplos 1 Seja U 1 1 1 0 1 um conjunto de vetores de R Como U 3 2 dim R os vetores de U são linearmente dependentes pois o vetor 1 1 12 1 1 0 1 Nota Observese que por inspeção se tem 12 1 1 12 1 1 0 1 2 Seja U 1 1 0 1 1 0 um conjunto de vetores de R Como U 2 3 dim R os vetores de U não geram R pelo que U não é base de R Pode observarse que a combinação linear destes vetores fornece apenas o zero para a 3ª componente do vetor genérico x y z de R Nota Como se viu U não pode ser base de R mas como é linearmente independente o conjunto U U u como u ger U é também linearmente independente pelo que U é uma base de R Tomando por exemplo u 0 0 1 ger U então U 1 1 0 1 1 0 0 0 1 3 Seja U 1 0 0 1 1 0 1 1 1 um conjunto de vetores de R Estes vetores são linearmente independentes pois por inspeção os dois primeiros vetores são linearmente independentes não são múltiplos um do outro e o terceiro vetor não pertence ao espaço gerado pelos dois primeiros vetores a terceira componente não é nula O espaço gerado por U tem dimensão 3 logo será o próprio R Concluise então que U é base de R 4 Seja S o subespaço vetorial definido por S a b a b a b R Como o vetor genérico de S tem duas variáveis livres temse que dim S 2 Por outro lado S ger u v onde u 1 1 0 e v 0 1 1 Como dim S 2 e u e v geram S então B u v é base de S Teorema Se B u u un é uma base de um subespaço vetorial S de E então qualquer vetor u S escrevese de forma única como combinação linear de u u un ou seja existem escalares únicos α α αn tais que u α u α u αnun Definição Os escalares α α αn que satisfazem a equação são designados de coordenadas ou componentes de u na base B e escrevese que u α α αnB Exemplo Considere no espaço vetorial R a base canónica C e2 e1 com e1 1 0 e e2 0 1 e a base B e2 e3 com e2 2 1 e e3 1 3 Seja u um vetor de R que na base C se escreve uC 6e2 4e1 6 4C Fazendo a mudança de base C para B o vetor u escrevese uB αe2 βe3 onde α e β são a coordenadas a determinar Assim 6 4 α2 1 β1 3 2α β 6 α 3β 4 Este sistema é SPD pelo que pode ser resolvido pela regra de Cramer sendo a solução dada por α 4 3β 2 e β 1 4 2 1 2 A figura apresenta a representação geométrica os vetores das bases C e B e os eixos por eles induzidos o vetor u e as suas coordenadas nas bases C e B Sejam E um espaço vetorial real e u u ur E Definição Chamase base canónica de um espaço vetorial à base mais simples que se gera Exemplos Em R a base canónica é constituída pelos vetores u 1 0 e u 0 1 Em R a base canónica é constituída pelos vetores u 1 0 0 u 0 1 0 e u 0 0 1 Em Rn a base canónica é constituída pelos vetores u 1 0 0 u 0 1 0 un 0 0 1 Em Mm R a base canónica é constituída pelos vetores u 1 0 0 u 0 1 0 u 0 0 1 e u 0 0 0 1 Teorema Todo subespaço vetorail S de E admite uma base Definição Dizse que o subespaço vetorial S de E tem dimensão n quando admite uma base com n elementos Representase por dim S n Propriedades Todas as bases de um subespaço vetorial S têm o mesmo número de elementos Se um subespaço vetorial S está definido através do seu vetor genérico então a dimensão de S é dada pelo número de variáveis livres do vetor genérico Temse que dim 0E 0 pois a base do subespaço vetorial 0E é o conjunto vazio Exemplos 1 A dimensão do espaço vetorial real Rn é dim Rn n pois a base canónica tem n elementos 2 A dimensão do espaço vetorial Mm n R é dim Mm n R m n pois a base canónica tem tantas matrizes quanto o número de elementos das matrizes de Mm n R pois é constituída por todas as matrizes Mij definidas da forma o elemento que está na linha i e coluna j é 1 e os restantes são 0 3 Para encontrar a dimensão do subespaço vetorial S definido por S x y R 2x y 0 é necessário encontrar uma base Ora o vetor genérico pode ser escrito assim x 2x x1 2 onde S ger 1 2 Sendo o 1 2 um único vetor gerador ele é linearmente independente logo a base de S é o conjunto B 1 1 e dim S B 1 Observe que o vetor genérico tem uma variável livre onde se pode concluir também que dim S 1 1 Determine a dimensão dos seguintes espaços vetoriais a S x y z t u v R x y 2z t u b S ger 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 c S ger 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 0 d S X M R AX X onde A 2 1 0 0 1 0 2 Justifique por que as seguintes sequências de vetores não formam uma base do espaço vetorial indicado a u 1 1 u 2 2 em R b u 1 2 u 1 1 e u 3 0 em R c u 1 1 0 e u 2 1 1 em R d u 1 1 0 u 1 1 0 e u 2 1 0 em R e u 1 1 1 u 1 2 1 1 u 0 1 0 2 e u 0 1 3 3 em R f u 1 0 0 0 1 0 u 1 1 0 2 1 0 e u 0 1 0 em M R 3 Considere o subespaço vetorial S ger 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 2 2 2 de R a Determine S e a sua dimensão b Determine uma base de S c Indique se existir uma base de S que contenha o vetor 1 2 3 1 d Determine k de modo que o vetor u 1 k 2 0 S 1 a S x y z t u R x y 2z t u S 2z 2z 2z 2z v z v R dimS 2 b α1 0 0 1 β0 1 0 1 γ0 1 0 1 λ1 1 0 0 x y z t u x y z t w S x y z t w M 12 x 32 y z 0 12 x 12 y w 0 x y 0 0 x y R dimS 2 c S x y 0 x y R dimS 2 d S x y x x y R dimS 2 2 a u u e u são LD pois u é múltiplo de u u 2u b Como dim R 2 então qualquer conjunto de com mais de dois vetores de R é LD Logo u u e u são LD Observação o sistema de equações ualpha u beta u gamma u 0 tem 2 equações e 3 incógnitas Sendo um sistema homogêneo é sempre possível Como tem mais incógnitas do que equações é possível e indeterminado Logo a solução alpha beta gamma 0 não é única c O espaço vetorial R tem dimensão igual a 3 logo qualquer base de R é constituída obrigatoriamente por 3 vetores d Todos os vetores têm a terceira componente igual a zero logo estão no plano Oxy que tem dimensão 2 Onde u u e u são LD Ou pode verificarse que u u u Ou pode verificarse que o sistema de equações ualpha u beta u gamma u 0 de 3 equações e 3 incógnitas alpha beta e gamma tem matriz ampliada AB 1 2 0 1 2 0 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 e carA car AB 2 3 Onde o sistema é SPI g 1 e a solução não é única e O sistema de equações ualpha u beta u gamma u delta u 0 de 4 equações e 4 incógnitas alpha beta gamma e delta tem matriz ampliada AB 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 2 1 1 2 0 0 1 1 1 0 0 0 0 e carA car AB 2 4 Onde o sistema é SPI g 2 e a solução não é única Observação como g 2 dois vetores podem ser escritos em termos dos outros dois Por exemplo u u u e u u 2u f Os vetores são LD Todas as matrizes vetores têm a 2a linha nula As matrizes u e u geram a 1a linha das matrizes de M R Temse ainda u u u e u 2u u 6 a i u 1 1 B ii v 1 1 B