Gabarito da Prova de Geometria Analítica - EFB110

EFB110 Diurno Pág 3 de 4 Gabarito P4 VCS Q1 30 Considere o sólido limitado acima pela superfície 𝑆 e abaixo por 𝑆 Também são indicados os pontos 𝐴 𝐵 e 𝐶 e a curva 𝜙 𝑆 𝑆 a 10 Selecione dentre as opções a seguir as equações cartesianas das superfícies 𝑆 e 𝑆 Indique sua resposta no quadro 𝑆1 𝑧 1 2 𝑥2 𝑦2 𝑆2 6 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑆3 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑆4 𝑧 1 2 𝑥2 𝑦2 𝑆5 6 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑆6 𝑧 6 𝑥2 𝑦2 Solução O sólido representado na figura acima é composto por dois paraboloides sendo um com concavidade para cima e outro deslocado em 𝑧 e com concavidade para baixo Dessa forma a superfície cinza só pode ser descrita pela equação da superfície 𝑆3 e a superfície verde pela equação da superfície 𝑆5 𝑆 6 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑆 𝑧 𝑥2 𝑦2 b 10 Indique as coordenadas dos pontos 𝐴 𝐵 e 𝐶 Solução O ponto A pertencente à superfície 𝑆 e está no eixo O𝑧 Logo as coordenadas 𝑥 e 𝑦 são 0 e dessa forma temos 6 𝑧 02 02 𝑧 6 Portanto 𝐴 0 0 6 𝐴 𝐵 𝐶 𝜙 EFB110 Diurno Pág 3 de 4 Para o ponto 𝐵 temos 𝑥 0 e 𝑦 0 além disso 𝐵 tem mesmo 𝑧 que a interseção das duas superfícies logo 𝑆 𝑆 6 𝑧 𝑧 2𝑧 6 𝑧 3 Portanto 𝐵 0 0 3 Por fim o ponto 𝐶 encontrase no eixo 𝑂𝑥 𝑦 0 𝑥 0 e tem mesma cota do ponto B Logo 3 𝑥2 02 𝑥 3 Portanto 𝐶 3 0 3 𝐴 0 0 6 𝐵 0 0 3 𝐶 3 0 3 c 10 Escreva uma possível parametrização para a curva 𝜙 𝑆 𝑆 de forma que uma única parametrização descreva toda a curva Solução Isolando z nas duas equações e igualandoas temse 6 𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑦2 2𝑥2 2𝑦2 6 𝑥2 𝑦2 3 Sabendo a equação que descreve a interseção das duas superfícies quando 𝑧 3 pode se parametrizar a curva 𝜙 da seguinte forma 𝜙 𝑥 3 cos𝜃 𝑦 3sen𝜃 𝑧 3 0 𝜃 2𝜋 Q2 20 Considere a superfície 𝑆 𝑦 12 𝑧 22 5 e o plano 𝜋 𝑧 1 a 10 Esboce em 𝑂𝑥𝑦𝑧 a superfície 𝑆 b 10 Determine uma possível parametrização para as curvas de interseção da superfície 𝑆 com o plano 𝜋 no ℝ3 EFB110 Diurno Pág 3 de 4 Solução Como a superfície 𝑆 só depende das variáveis 𝑦 e 𝑧 e desejase a interseção de 𝑆 com o plano 𝑧 1 temos 𝑦 12 1 22 5 𝑦 12 5 1 𝑦 12 22 Com isso é possível concluir que a interseção de 𝑆 e 𝜋 resulta em duas retas 𝑦 1 2 𝑦 1 e 𝑦 1 2 𝑦 3 Portanto a intersecção de 𝑆 e 𝜋 resulta em duas curvas com as seguintes parametrizações 𝑟1 𝑡 1 1 𝑡 ℝ e 𝑟2 𝑡 3 1 𝑡 ℝ Q3 25 Considere a parábola indicada na figura ao lado de vértice 𝑉 01 e que passa pelos pontos 𝐴 1 1 e 𝐵 1 3 a 10 Escreva a equação reduzida da parábola isto é a equação deve ser escrita em um desses formatos 𝑥 𝑥02 2𝑝𝑦 𝑦0 𝑥 𝑥02 2𝑝𝑦 𝑦0 𝑦 𝑦02 2𝑝𝑥 𝑥0 𝑦 𝑦02 2𝑝𝑥 𝑥0 Solução Como podese notar na figura acima a parábola possui simetria em relação ao eixo Ox e concavidade negativa Logo a equação é no formato 𝑦 𝑦02 2𝑝𝑥 𝑥0 EFB110 Diurno Pág 3 de 4 Além disso da figura é possível obter o vértice da parábola 𝑉 0 1 Portanto a equação que descreve a parábola é 𝑦 12 2𝑝𝑥 0 Para determinar o valor de 𝑝 basta substituir um dos pontos 𝐴 ou 𝐵 na equação acima Assim temos 1 12 2𝑝1 0 4 2𝑝1 𝑝 4 2 𝑝 2 Assim a equação reduzida é 𝑦 12 4𝑥 0 b 15 Escreva uma possível parametrização para o trecho da parábola que vai do ponto 𝐵 para o ponto 𝐴 Solução 𝑦 12 4𝑥 0 Uma possível parametrização pode ser feita adotando 𝑦 1 𝑡 𝑦 𝑡 1 dessa forma 4𝑥 𝑡 1 12 𝑥 𝑡2 4 assim a parametrização do trecho da parábola que vai do ponto 𝐵 ao ponto 𝐴 é dada por 𝑥 𝑡2 4 𝑦 𝑡 1 2 𝑡 2 Q4 25 Seja a superfície esférica 𝑆1 𝑥 52 𝑦2 𝑧 22 24 e o plano 𝜋 2𝑥 𝑦 𝑧 0 tangente à superfície esférica 𝑆1 a 10 Determine as coordenadas do ponto de tangência 𝑇 𝑆1 𝜋 Solução Da superfície esférica temos 𝐶1 5 0 2 e 𝑟 24 Do plano o vetor normal 𝑛 2 1 1𝑇 Como a esfera é tangente ao plano o vetor 𝐶1𝑇 é paralelo ao 𝑛 logo 𝐶1𝑇 𝜆 2 1 1𝑇 𝑇 2𝜆 5 𝜆 𝜆 2 Substituindo 𝑇 na equação da superfície 𝑆1 2𝜆 5 52 𝜆2 𝜆 2 22 24 4𝜆2 𝜆2 𝜆2 24 6𝜆2 24 𝜆 2 Para 𝜆 2 𝑇1 9 2 4 não pertence ao plano Para 𝜆 2 𝑇2 1 2 0 𝑇 EFB110 Diurno Pág 3 de 4 b 15 Sabese que o plano 𝜋 também é tangente a uma superfície esférica 𝑆2 e que A equação da reta que passa pelos pontos de tangência 𝑇 e 𝑃 𝑆2 𝜋 é 𝑟 𝑥 1 2𝑡 𝑦 2 5𝑡 𝑧 𝑡 𝑡 ℝ O raio da superfície esférica 𝑆2 é 6 𝑑𝑖𝑠𝑡𝐶 𝑇 6 sendo 𝐶 o centro de 𝑆2 Diante dessas condições determine as coordenadas do ponto P cuja abscissa é negativa Solução Da superfície esférica temos 𝐶1 5 0 2 e 𝑟 24 Dados 𝑟 6 e distância do centro 𝐶 a 𝑇 podese calcular a distância entre os pontos 𝑃 e 𝑇 pelo triângulo retângulo abaixo Com isso 𝑇𝑃 𝛼2 5 1𝑇 e 𝑇𝑃 𝛼 2 5 1𝑇 30 𝛼 2 5 1𝑇 30 𝛼 4 25 1 30 𝛼 1 𝑇𝑃 12 5 1𝑇 𝑃 1 2 0 2 5 1𝑇 𝑃1 3 7 1 e 𝑃2 1 3 1 Do enunciado temos 𝑥 0 logo 𝑃 1 3 1 6 6 𝑑 36 6 𝑑 30 𝑟 T 𝑆1 𝑆2 P