Todas as Provas Discursivas de Geometria Analítica Nota 100

Calcule a interseccao entre os planos α: x - y + z - 4 = 0 e β: x + y + 2z + 4 = 0, considerando t ∈ ℝ α: x - y + z - 4 = 0 ⇒ z = x - y + 4 (1) substitui em β β: x + y + 2z + 4 = 0 ⇒ x + y + 2(x - y + 4) + 4 = 0 3x + 3y + 12 = 0 desta equacao pode-se encontrar y = \frac{-x}{3} - 4 (2) substitui (2) em (1) z = x - ( \frac{-x}{3} - 4) + 4 ⇒ z = - \frac{2}{3} x Portanto, r: (x, y, z) = (x, \frac{x}{3} - 4, \frac{-2}{3} x) substiuindo x pelo parametro t r: (x, y, z) = (t, \frac{t}{3} - 4, - \frac{2}{3} t) Calcule o vetor \overrightarrow{AB} de ponto inicial em A = (7, 4) e final em B = (2, 6) como uma combinacao linear dos vetores \overrightarrow{i} = (1,0) e \overrightarrow{j} = (0,1). Nota: 0.0 \overrightarrow{AB} = B - A = (2,6) - (7,4) \overrightarrow{AB} = a\overrightarrow{i} + b\overrightarrow{j} (-5,2) = a(1,0) + b(0,1) (-5,2) = (a, 0) + (0, b) (-5,2) = (a, b) \overrightarrow{AB} = (-5,2) \overrightarrow{AB} = -5 (1,0) + 2 (0,1) ou \overrightarrow{AB} = -5 \overrightarrow{i} + 2 \overrightarrow{j} Dada a reta de equacao y = ax + b e que passa pelos pontos A (2, 8) e B (4, 0), calcule a soma das variaveis a + b p/ o ponto A(2,8) ⇒ 8 = 2a + b p/ o ponto B(4,0) ⇒ 0 = 4a + b Resolva o sistema de equacoes 8 = 2a + b 0 = 4a + b (-1) subtrai 8 - 0 = 2a - 4a (b - b) 0 = 4a + b b = -4a - 4a + b a = \frac{-4}{1} Como b = -4a ⇒ b = 16 a + b = -4 + 16 a + b = 12 Determine as equações paramétricas de um plano que passe pelo ponto (1, 1, 1) e seja paralelo aos vetores u = (1,2,3) e v = (0,5,1). Equacao vetorial do plano: a(t1,t2) = (x,y,z) = (x0,y0,z0) + t1u + t2v a(t1,t2) = (x,y,z) = (1,1,1) + t1(1,2,3) + t2(0,5,1) Equacao paramétrica a(t1,t2) = { x = 1 + t1, y = 1 + 2t1 + 5t2, z = 1 + 3t1 + t2 } Dada a reta "r" de equação r: y = px + q e que passa por A (3, 6) e possui 60°. calcule "p + q". p = coef. angular da reta q = coef. linear da reta para o ponto A = (3,6) => 6 = p.3 + q 6 = p.3 + q 6 = [tangente] 15,q q = 6 - 3√3 p + q = √3 + 6 - 3√3 = 6 - 2√3 Calcule a equação geral de um plano que passa por P = (3, 3, 5) e tem n = (-2,2,1) como um vetor normal. Eq. geral do a: ax + by + cz + d = 0, a, b e c são coef. de n -2x + 2y + z + d = 0 Sendo P(3,3,5), subt. em x e encontrar d -2(3) + 2(3) + (5) + d = 0 -6 + 6 + 5 + d = 0 => d = -5 Resp.: -2x + 2y + z - 5 = 0 Seja P = (a, b, c) o ponto de interseção entre α: 2x - 2y + 3z + 2 = 0 e ⎧ x = –1 + 2t r: ⎨ y = 5 – 3t com t ∈ ℝ ⎩ z = 3 + t Então a + b + c é igual a * Substituindo o ponto P no plano e na reta α: 2. a – 2b + 3c + 2 = 0 ⎧ a = –1 + 2t r: ⎨ b = 5 – 3t ⎩ c = 3 + t Resolvar o sist. de equações subst a, b e c, na eq. do plano 2*(-1 + 2t) – 2(5 – 3t) + 3(3 + t) + 2 = 0 –2 + 4t – 10 + 6t + 9 + 3t + 2 = 0 13t = 1 => t = 1 substituindo t na equação da reta a : –1 + 2(1) = 1 b: = 5 + 3(1) = 8 c: = 3 + (1) = 4 o valor de a + b + c é: 1 + 8 + 4 = 13