Provas Discursivas de Geometria Analítica Nota 100

Calcule o valor do cateto "b", do triângulo retângulo indicado na figura a seguir: 15 9 b Teorema de Pitágoras b^2 = 15^2 - 9^2 b^2 = 225 - 49 b^2 = 176 b = √176 b = 4√11 a ≈ 13,27 O vetor \vec{u} representado na figura a seguir tem seus catetos: oposto e adjacente com valores de 6 e 8 respectivamente, com base nesses dados calcule o módulo desse vetor. 6 8 |\vec{u}| = √(6^2 + 8^2) |\vec{u}| = √(36 + 64) |\vec{u}| = √100 |\vec{u}| = 10 Os vetores \vec{u} e \vec{v} representados na figura a seguir e \vec{r} tal que \vec{r} = 9\vec{i} + 3\vec{j}. \vec{r} = 9(1,0) + 3(0,1) \vec{r} = (9,0) + (0,3) \vec{r} = (9,3) tan \theta = 3/9 tan \theta = 1/3 |\vec{r}| = √(9^2 + 3^2) |\vec{r}| = √(81 + 9) |\vec{r}| = √90 ou |\vec{r}| = 3√10 ou |\vec{r}| ≈ 9,49 Determine as equações paramétricas de um plano que passe pelo ponto (1, 1, 1) e seja paralelo aos vetores u → = (1, 2, 3) e v → = (0, 5, 1). Equação vetorial do plano α(t₁, t₂) = (x₀, y₀, z₀) + t₁ u → + t₂ v → α (t₁, t₂) = (x, y, z) = (1, 1, 1) + t₁ (1, 2, 3) + t₂ (0, 5, 1) Equação paramétrica α (t₁, t₂) = { x = 1 + t₁ { y = 1 + 2t₁ + 5t₂ { z = 1 + 3t₁ + t₂ Dada a reta “r” de equação r: y = px + q e que passa por A (3, 6) e possui 60º, calcule “p + q”. p = coef. angular da reta q = coef. linear da reta p = tg 60º = √3 → p = √3 passa o ponto A = (3, 6) → 6 = p.3 + q 6 = √3.3 + q q = 6 - 3√3 p + q = √3 + 6 - 3√3 = 6 - 2√3 Calcule a equação geral de um plano que passa por P = (3, 3, 5) e tem n → = (-2, 2, 1) como um vetor normal. Eq. geral → α: ax + by + cz + d = 0 a, b e c são coef. de n → α: -2x + 2y + z + d = 0 Sendo P(3, 3, 5), substi. em α e encontra d α: -2(3) + 2(3) + (5) + d = 0 → -6 + 6 + 5 + d = 0 → d = -5 Resp.: α: -2x + 2y + z - 5 = 0 Dada a reta de equação y = ax + b e que passa pelos pontos A (2, 8) e B (4, 0), calcule a soma das variáveis a + b /º o ponto A:(2,8) => 8 = 2.a + b p/ o ponto B:(4.0) => 0 = 4.a + b Resolver o sistema: 0 = 4.a + b 0 = 4.a + b 8 = 2.a + b b = 8 - 2a 0 = 4a + (8 - 2a) 2a = -8 Resolve o sistema A = b: a + b = 12 Como => 0 = 4a + b b = -4a => b = 16 Calcule a intersecção entre os planos α: x - y + z - 4 = 0 e β: x + y + 2z - 4 = 0, considerando t ∈ ℝ α: x - y + z - 4 = 0 => z = x - y + 4 (1) substituir em β β: x + y + 2z + 4 = 0 => x + y + 2(x-y+4) + 4 = 0 => -x + 3y + 12 = 0 dita equação porque o determinante não pode ser 0 encontrar y = 2x/3 - 4 (2) Substituir (2) em (1) z = -x + (2/3)x - 4 + 4 => z = -2/3 x Portanto, r: (x, y, z) = (x, 2/3 x - 4, -2/3 x); substituindo α pelo parâmetro t r: (x,y,z) = (t, t/3 - 4, -2/3 t) Calcule o vetor AB de ponto inicial em A = (7, 4) e final em B = (2, 6) como uma combinação linear dos vetores i = (1,0) e j = (0,1) Nota: 0.0 →AB = B - A = (2,6) - (7,4) →AB = a⟨i⟩ + b⟨j⟩ (-5,2) = a⟨1,0⟩ + b⟨0,1⟩ (-5,2) = (a,0) + (0,b) (-5,2) = (a,b) →AB = (-5,2) →AB = -5 (1,0) + 2 (0,1) ou →AB = -5⟨i⟩ + 2⟨j⟩ Seja P = (a, b, c) o ponto de interseção entre α: 2x - 2y + 3z + 2 = 0 e \begin{cases} x = 1 - 2t y = 5 + 3t, z = 3 + t \text{ com } t ∈ ℝ \end{cases} Então a + b + c é igual a Substituindo o ponto P no plano e na reta α: 2a - 2b + 3c + 2 = 0 x = 1 - 2t y = 5 + 3t z = 3 + t resolver o sist. de equações subst. a, b e c na eq. do plano 2(1 - 2t) - 2(5 + 3t) + 3(3 + t) + 2 = 0 -2 - 4t - 10 - 6t + 9 + 3t + 2 = 0 -7t = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{7} substituindo t na equação da reta x = 1 - 2 \left( \frac{1}{7} \right) = 1 y = 5 + 3 \left( \frac{1}{7} \right) = 8 z = 3 + \left( \frac{1}{7} \right) = 4 \text{O valor de a + b + c é} 1 + 8 + 4 = 13