Atividade 14 - Espacovetorial_combinacaolinear

Departamentode Matemática EAU EC EENA EGI EMD e EMPL Algebra Linear 1º ano1º sem 202021 Atividade 14 Espaços vetoriais e combinações lineares Seja E um conjunto não vazio onde estão definidas duas operações soma ou adição a cada par u v com u v E associa um u v E multiplicação por escalar a cada par α u com α R e u E associa um um só elemento αu E Definição Dizse que E é um espaço vetorial sobre o corpo R ou simplesmente que E é um espaço vetorial real se forem verificados os seguintes axiomas 1 para a adição ou soma i fecho se u v E então u v E ii comutatividade u v v u iii associatividade u v w u v w iv existência de elemento neutro 0E E u 0E u 0E v existência de elemento simétrico u E u E u u u u 0E 2 para a multiplicação por um escalar i fecho se α R e u E então αu E ii distributividade em relação à adição de E αu v αu αv iii distributividade mista α βu αu βu iv associatividade αβu αβu v unidade de R 1u u Nota Na multiplicação por um escalar é usual omitirse o símbolo Definições Os elementos do espaço vetorial E designamse por vetores e os elementos de R designamse por escalares Exemplos São espaços vetoriais reais com as operações de adição e multiplicação por um escalar usuais os conjuntos Rn n N e o conjunto Mm nR Proposições Sejam E um espaço vetorial sobre R u E e α R 1 O elemento neutro 0E é único 2 O elemento simétrico u é único 3 αu 0E α 0 u 0E Definição Seja S um subconjunto não vazio do espaço vetorial E Dizse que S é um subespaço vetorial de E se S com as operações definidas em E é um espaço vetorial Proposição Se S é um subespaço vetorial de E então 0E S Observação Consequentemente se 0E S então S não é um subespaço vetorial de E Teorema S é um subespaço vetorial de E se e só se satisfaz cada uma das seguintes condições 1 S E 2 0 S 3 u v S u v S 4 α R u S αu S Observação Para mostrar que S não é um subespaço vetorial de E basta que uma das 4 condições ou requisitos do teorema anterior não se verifique Exemplo 1 Verifique se o conjunto S x y z R y 0 é um subespaço vetorial de R Resolução S não é um subespaço vetorial de R pois sendo constituído por vetores de R não está contido em R Existe falha no 1º requisito dos subespaços vetoriais Exemplo 2 O conjunto S x y z R z 1 não é um subespaço vetorial de R Justifique Resolução S não é um subespaço vetorial de R pois o vetor nulo 0R 0 0 0 S Existe falha no 2º requisito dos subespaços vetoriais Exemplo 3 Verifique se o conjunto S x y z R xy 0 é um subespaço vetorial de R Resolução S R por definição Escolhendo x y z 0 obtémse 0 0 0 S Tomando por exemplo u 2 1 0 v 1 2 0 S xy 0 No entanto u v 2 1 0 1 2 0 1 1 0 S pois xy 0 Existe falha no 3º requisito dos subespaços vetoriais logo o conjunto S não é um subespaço vetorial de R Nota Observe que o 4º requisito é verificado De facto tomando u x y z S xy 0 α R vem que αu αx y z αx αy αz S pois αxαy α²xy 0 Exemplo 4 Verifique se o conjunto S x y z R x 0 y 0 é um subespaço vetorial de R Resolução S R por definição Escolhendo x y z 0 obtémse 0 0 0 S Sejam u x y z v x y z S Logo x 0 y 0 e y 0 Temse que u v y y z y y y z y y y y y z y S pois x x 0 e y y 0 Tomando u 1 1 1 S e α 1 vem αu 11 1 1 1 1 1 S pois 1 0 1 0 não é uma proposição falsa Existe falha no 4º requisito dos subespaços vetoriais logo o conjunto S não é um subespaço vetorial de R Observação A definição de subconjuntos de um espaço vetorial E pode ser muitas vezes reescrita apresentando o seu vetor genérico facilitando a verificação dos requisitos dos subespaços vetoriais Exemplo 1 Mostre que S x y z w R x y 0 y w 0 é um subespaço vetorial de R Resolução Como x y 0 x y w w 0 então o conjunto S fica definido pelo seu vetor genérico S y y z y y z R Agora a verificação dos requisitos S R por definição Escolhendo y z 0 obtémse 0 0 0 S Sejam u y y z y v y y y y S Temse que u v y y z y y y y y y y y y z y S Tomando u y y z y S e α R vem que αu αy y z y αy αy αz αy S Logo S é um subespaço vetorial de R Exemplo 2 Mostre que S A M R A é uma matriz simétrica é um subespaço vetorial de M R Resolução Como AT A então o conjunto S fica definido pelo seu vetor genérico deste modo S a c c b a b c R Verificação dos requisitos S M R por definição Escolhendo a b c 0 obtémse 0 0 0 0 M R Sejam u a c c b S Temse que u v a c c b a c c b a a c c c c b b a c c b S Tomando u a c c b S e α R vem que cu a c α c b αa αc αc αb a c c b S Logo S é um subespaço vetorial de M R Exemplo 3 Mostre que S A Mn n R A é uma matriz simétrica é um subespaço vetorial de Mn n R Resolução Relembrese que A S se e só se AT A Verificação dos requisitos S Mn n R por definição On S pois OT n O n a matriz nula é simétrica Sejam A B S Então AT A e BT B A matriz M A B é S numa vez que MT A BT AT BT A B M ou seja A B é uma matriz simétrica Logo S é um subespaço vetorial de Mn R Observação Seja E um espaço vetorial real Como E é fechado para a soma a soma de vetores de E é um vetor de E e é fechado para a multiplicação por escalar o produto de um vetor de E por um escalar é um vetor de E faz sentido reunir estas propriedades como se segue Proposição Sejam u1 u2 un E e α1 α2 αn R Então u α1 u1 αn un E Exemplo 1 Mostre que v 457 é combinação linear de u 123 e u 211 e escrevea Resolução v é combinação linear dos vetores u e u e se só existem escalares reais α e β tais que αu βu v Assim α 123 β 211 457 α 2β 2α β 45 α 2β 4 2α β 5 sistema S A resolução do sistema S pode ser feita por inspeção Somando as duas últimas equações vêm α 2 ou seja α 2 Como S α 2β 4 α 2 2α β 5 β 1 então v é combinação linear dos vetores u e u pois v 2u u A resolução do sistema S também pode ser feita recorrendo ao método de eliminação de Gauss AB 1 2 4 1 2 4 2 1 5 L L 2L 3 1 7 L L 3L 0 0 0 0 O sistema S é SPD pois carA carAB 2 nº de incógnitas Donde se conclui que S tem uma única solução pelo que v é combinação linear dos vetores u e u Para encontrar essa combinação linear observase que o sistema S é equivalente ao sistema S α 2β 4 α 2 3β 3 β 1 Exemplo 2 Mostre que v 4 1 2 2 5 5 não é combinação linear de u 2 1 0 0 1 1 Resolução Para v ser uma combinação linear dos vetores u e u deverá verificar αu βu v para alguns escalares reais α e β ou seja α 1 2 1 1 β 2 0 0 1 4 1 2 2 5 5 α 2β β α α α β α β 4 1 2 2 5 5 Por inspeção substituindo α 2 na 5ª equação resulta β 3 e substituindo α 2 na 6ª equação resulta β 7 o que é uma contradição Logo não existem escalares reais α e β tais que αu βu v o que implica que v não é combinação linear de u e u Exemplo 3 Determine os valores de k para o qual quais o vetor v 132kk é combinação linear de u 1100 e u 2111 e escrevea Resolução v é combinação linear dos vetores u u e u se só existem escalares reais α β e γ tais que αu βu γu v ou seja α 1100 β 2111 γ 0111 132kk α 2β γ α β γ β γ β γ 132kk α 2β 1 α β γ 3 β γ 2k β γ k sistema S Pelo método de eliminação de Gauss temse que 1 2 0 1 α β γ 1 0 0 0 1 1 1 3 0 0 0 0 0 1 1 2k 0 1 1 k Daqui decorre que se k 2 então carA 3 carAB 4 resultando que S é SI e v não é combinação linear dos vetores u u e u se k 2 então carA carAB 3 nº de incógnitas e S é SPD Logo v é combinação linear dos vetores u u e u Para escrever essa combinação linear resolvese o sistema para k 2 Da matriz ampliada resulta que α 2β 1 α 1 β γ 2 β 1 concluindose que v u u 3u γ 3 1 Considere o conjunto V xyz R x 0 em R a 0R 000 V b Se u v V então u v está em V Justifique c Encontre um vetor específico u V e um escalar específico α R tal que α V Nota Isto é suficiente para mostrar que V não é subespaço vetorial de R 2 Justifique que os seguintes conjuntos não são subespaços do espaço vetorial indicado a S xy R y x em R b S xyz R yz 0 em R c S xyz R x 2y 3z 1 0 em R d S xyzw R y 2x v x 2w 0 em R e S a b c M R b c 1 em M R 3 Justifique que os seguintes conjuntos são subespaços do espaço vetorial indicado a S xy R x y em R b S xyz R x y 0 em R c S xyz R x 2y 0 x y 2z em R d S a b c d M R b c d 2a em M R 4 Por inspeção averigúe se o vetor a u 1230 é combinação linear de u 1110 e u 0120 b u 01010 é combinação linear de u 1010 e u 1111 c u 2 1 2 4 é combinação linear de u 1 1 1 e u 0 1 0 2 d u 1 2 0 3 é combinação linear de u 0 0 0 0 e u 0 1 0 1 5 Averigúe se os seguintes vetores de R são combinação linear de u 111 e u 122 a u 340 b u 323 6 Averigúe se os seguintes vetores de R são combinação linear de v 101 v 110 e v 011 a v 533 b v 110 7 Escreva se possível a matriz A como combinação linear das matrizes B C e D sabendo que A 1 0 3 B 1 0 C 1 1 0 e D 2 1 2 8 Considere os seguintes vetores u k 1 1 u 1 1 1 e u 0 1 2 de R a Determine k sabendo que u é combinação linear de u e u b Escreva u como combinação linear de u e u Soluções dos exercícios 1 a 0R 000 V pois 000 R e tem a primeira coordenada não positiva b Sim pois a soma de dois vetores de R com primeira coordenada não positiva resulta num vetor com primeira coordenada não positiva c Por exemplo considerando u 210 V e α 1 temse αu u 210 V porquê 2 a S não é subespaço vetorial de R pois 0R 000 S porquê b S não é subespaço vetorial de R pois por exemplo u 010 S e v 001 S mas u v 011 S porquê c S não é subespaço vetorial de R pois 0R 000 S porquê d S não é subespaço vetorial de R por exemplo u 1200 S e v 201 S mas u v 3201 S porquê e S não é subespaço vetorial de M R pois 0M 0 0 0 S porquê 4 a Sim pois u u u b Sim pois u u u c Sim pois u 2u 3u d Não porque o elemento da 2a linha e 2a coluna não pode ser obtido por uma expressão linear envolvendo os elementos das matrizes colocados na mesma posição pois são nulos 5 a É cl porque u 2u u b Não é cl pois αβ R u αu βu 6 a Não é cl pois αβγ R v αv βv γv b É cl pois v γv 1γv γv γ R Por exemplo v 0v v 0v 7 A 2B C D 8 a α k 0 1 0 k α β 1 1 1 1 1 0 1 k 1 α 2β 1 1 2 1 0 0 k 3 SP carA car A B k 3 0 k 3 Sendo o sistema SPD carA car A B 2 nº de vetores a combinação linear é única para k 3 b Para k 3 então u 3u 2u