Gabarito da Prova P3 de Vetores Curvas e Superfícies

17 EFB110 Vetores Curvas e Superfícies Gabarito P3 Q1 15 a 10 Os planos 𝛼 𝑎𝑥 𝑦 𝑧 𝑑 0 e 𝛽 4𝑥 2𝑦 2𝑧 6 0 são paralelos e 𝑑𝑖𝑠𝑡𝛼 𝛽 6 Para tanto os valores de 𝑎 e 𝑑 devem ser a 𝑎 2 e 𝑑 9 b 𝑎 2 e 𝑑 3 c 𝑎 3 e 𝑑 2 d 𝑎 2 e 𝑑 3 e 𝑎 2 e 𝑑 3 b 05 Represente no sistema de coordenadas abaixo o plano 𝜋 de equação geral 𝜋 𝑥 1 2 𝑦 1 0 Solução 27 EFB110 Vetores Curvas e Superfícies Q2 50 Sejam a reta 𝑟 𝑥 2 𝑦 2 𝑡 𝑧 1 𝑡 𝑡 ℝ e o plano 𝜋 3𝑥 𝑦 𝑧 9 0 a 10 A reta r está contida no plano 𝜋 Justifique sua resposta Solução Para estudar a posição relativa entre uma reta r e um plano devese inicialmente verificar se o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano são ortogonais Sabese que T ru 1 1 0 e T n 1 1 3 0 0 1 1 u n portanto ru e n são ortogonais assim a reta é paralela ao plano ou está contida no plano Como um ponto da reta r por exemplo 1 2 2 R pertence a 3 9 0 x y z 0 1 9 2 3 2 r está contido em b 10 Determine uma equação cartesiana do plano 𝛼 de forma que 𝛼 seja perpendicular à 𝜋 e que a reta r seja a interseção de 𝛼 e 𝜋 𝑟 𝛼 𝜋 Solução Se é perpendicular a e a reta r é a intersecção entre os dois planos então todos os pontos de r pertencem a e um vetor normal de pode ser determinado a partir do produto vetorial entre um vetor normal a e um vetor diretor da reta r n u n r T k j i n 3 3 2 1 1 3 1 1 0 Seja n u n r 0 3 3 2 d z y x Como 1 2 2 R 5 0 3 1 3 2 2 2 d d Logo 0 5 3 3 2 z y x c 05 Determine 𝑎 tal que 𝐴 𝑎 0 0 pertença ao plano 𝜋 Solução 0 0 a A e 3 9 0 x y z Então 3 0 9 0 0 3 a a 37 EFB110 Vetores Curvas e Superfícies d 10 Escreva as equações paramétricas da reta s perpendicular à r e que passa por 𝐴 determinado no item anterior Solução Se s é perpendicular à r então us n Logo 3 3 2 3 z y x s e 15 Escreva as coordenadas do ponto 𝐵 𝑠 tal que o triângulo ABR seja isósceles de base AB para qualquer R que pertence à r sendo que R não é o ponto de interseção das retas r e s 𝑅 𝑟 𝑠 Solução Do enunciado podese inferir que B é simétrico de A em relação à r uma vez que a base do triângulo ABR é em AB então a distância entre A e R é igual a distância entre B e R Primeiramente será descoberto o ponto de intersecção entre r e s s r I 2 2 1 x r y z e 3 3 2 3 z y x s Igualando as equações para determinar as coordenadas do ponto I temse 2 3 2 1 1 2 0 3 2 2 1 0 3 Assim 2 3 2 3 2 I Uma outra maneira de determinar as coordenadas do ponto I é por meio da intersecção da reta s com o plano 2 1 0 5 33 33 2 23 0 5 3 3 2 z y x 2 3 2 3 2 I 47 EFB110 Vetores Curvas e Superfícies Para determinar as coordenadas do ponto B é possível pensar de algumas formas 1 B pertence à s e AI BI 2 I é ponto médio do segmento AB 3 Se A é o ponto âncora da equações paramétricas de s B sendo o simétrico de A em relação à r ou em relação ao plano e para determinar as coordenadas de I tem se 2 1 podese concluir que para apresentar as coordenadas do ponto B basta fazer 1 Então 3 3 1 B Um esboço da situação do exercício pode ser visto na figura acima Q3 35 Sejam 𝛼 4𝑥 𝑦 𝑧 5 0 e 𝛽 𝑥 2𝑦 2𝑧 8 0 a 10 Justifique a afirmação os planos 𝛼 e 𝛽 são perpendiculares Solução Para estudar a posição relativa entre os planos primeiramente devese verificar se os vetores normais à e à são paralelos No caso T n 1 1 4 não é paralelo ao vetor T n 2 2 1 logo os planos e são concorrentes Calculando o produto escalar desses vetores normais temse 4 2 2 0 n n Dessa forma os planos 𝛼 e 𝛽 são perpendiculares b 10 Escreva as equações paramétricas da reta 𝒑 que é a interseção de 𝛼 e 𝛽 𝑝 𝛼 𝛽 sabendo que um ponto dessa reta 𝒑 é 𝑇 2 3 0 Solução 1º modo 57 EFB110 Vetores Curvas e Superfícies Para descobrir o vetor diretor da reta r basta fazer o produto vetorial entre o vetor normal ao plano de e o vetor normal ao plano de n ur n T r k j i u 9 9 0 2 2 1 1 1 4 Logo 3 2 z y x r 2º modo Resolvendo o sistema de equações lineares 8 2 2 5 4 II z y x I z y x Multiplicando a I por 2 8 2 2 10 2 2 8 z y x z y x Substituindo a segunda pela soma as duas equações 2 8 9 10 2 2 8 x x z y x Substituindo em II temse z y x 3 2 ou 3 2 z y x que são as equações paramétricas da reta r c 15 Escreva as equações paramétricas das retas 𝑠𝑖 contidas em 𝛼 paralelas à 𝒑 e de forma que a distância de 𝑠𝑖 à 𝒑 seja 3 Solução Nesta solução será utilizada uma reta perpendicular comum entre as retas s1 s2 e r 1º modo Se fizermos 0 2 2 4 n n descobrese que e são perpendiculares Então podese utilizar o vetor normal ao plano como vetor diretor da reta perpendicular p e o ponto R 2 0 2 3 2 z y x p Os pontos de intersecção entre a perpendicular p e as retas s1 s2 podem ser escritos como 2 2 3 2 Ii já que eles pertencem à p Como a distância entre a reta r e as retas s1 s2 é igual a 3 podese escrever RI 3 67 EFB110 Vetores Curvas e Superfícies Então T R I RI 2 2 92 R I RI 1 9 9 3 9 2 2 2 5 3 I1 2 1 1 2 I Com os pontos I1 e I2 e o vetor diretor das retas s1 e s2 iguais a da reta r já que são paralelas chegase a 2 5 3 1 z y x s e 2 1 1 2 z y x s 2 modo Primeiramente necessitase de um ponto qualquer que pertença à e um ponto genérico que pertença à r 0 5 0 A r R 3 2 1 Fazse o vetor T AR 8 2 1 Para a reta p ser perpendicular à r 0 1 ru AR 4 0 8 0 0 1 ru AR Logo T AR 4 4 1 2 e AR up 1 Então 2 0 2 5 0 z y x p Os pontos de intersecção entre a perpendicular p e as retas s1 s2 podem ser escritos como 2 2 5 Ii já que eles pertencem à p Como a distância entre a reta r e as retas s1 s2 é igual a 3 podese escrever 3 1 R I 77 EFB110 Vetores Curvas e Superfícies T R I R I 4 2 2 4 2 1 1 1 3 1 2 9 2 9 2 4 2 4 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ou R I I R 6 1 3 I1 2 3 1 2 I Com os pontos I1 e I2 e o vetor diretor das retas s1 e s2 iguais a da reta r já que são paralelas chegase a 6 1 3 1 z y x s e 2 3 1 2 z y x s