Anotações - Centro de Gravidade e Centroide - 2023-2

A partir desta igualdade (soma dos momentos é nula), podemos concluir como antes que \[ \bar{x} = \frac{\sum\limits_{j=1}^{k} m_j x_j}{\sum\limits_{j=1}^{k} m_j} \quad \text{e} \quad \bar{y} = \frac{\sum\limits_{j=1}^{k} m_j y_j}{\sum\limits_{j=1}^{k} m_j} \] Para problemas com regiões sólidas, estas fórmulas também valem para as 2 primeiras coordenadas do centro. A 3ª coordenada da \( \bar{z} \) pode ser obtida substituindo \( x_j \) por \( z_j \) na fórmula de \( \bar{x} \). Para 3 dimensões Digamos que um corpo ocupe uma região sólida G e que a densidade em cada ponto do corpo seja \( \delta = \delta(x,y,z) \). Qual é o centro de gravidade do corpo? Idéia: Dividir G em pequenos pedaços com massa \( m_j \), volume \( V_j \) e com densidade "quase" constante \( \delta_j \). \[ \delta_j \approx \frac{m_j}{V_j} \Rightarrow m_j \approx \delta_j V_j \] \[ \bar{x} = \frac{\sum\limits_{j=1}^{k} m_j x_j}{\sum\limits_{j=1}^{k} m_j} \neq \frac{\sum\limits_{j=1}^{k} \delta_j V_j x_j}{\sum\limits_{j=1}^{k} \delta_j V_j} \] Quando o tamanho dos pedaços vai para 0: \[ \frac{\iiint_G x \delta \, dv}{\iiint_G \delta \, dv} \] Resumo de Centro de Gravidade Em 3 dimensões: Corpo ocupa G com densidade \( \delta \) \[ \bar{x} = \frac{\iiint_G x \delta(x,y,z) \, dv}{M}, \quad \bar{y} = \frac{\iiint_G y \delta(x,y,z) \, dv}{M}, \quad \bar{z} = \frac{\iiint_G z \delta(x,y,z) \, dv}{M} \] onde \( M = \text{massa} = \iiint_G \delta(x,y,z) \, dv \) Centro de gravidade = \( (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) \) Em 2 dimensões: Corpo ocupa D com "densidade" \( \delta \) \[ \bar{x} = \frac{\iint_D x \delta(x,y) \, dA}{M}, \quad \bar{y} = \frac{\iint_D y \delta(x,y) \, dA}{M} \] Centro de gravidade = \( (\bar{x}, \bar{y}) \) onde \( M = "\text{massa}" = \iint_D \delta(x,y) \, dA \) Centro de Gravidade Problema: Considere uma barra horizontal com massa desprezível sobre a qual estão apoiados vários corpos como mostra a figura: m1 m2 m3 mi mi+1 mK x1 x2 x3 ... xi xi+1 ... xK C Lembremos que a intensidade do momento de força gerado pela massa mj em relação ao fulcro é |Peso| = (gmj) * |xj - c| -> Distância da massa mj até o fulcro em c Esta fórmula vale, pois o peso é ortogonal à barra m1 m2 m3 mi mi+1 mK x1 x2 x3 ... xi xi+1 ... xK C Como os momentos gerados pelos corpos à direita do fulcro têm o sentido contrário aos gerados pelos corpos à esquerda, a (gm1)|x1-c| + ... + (gmi)|xi-c| - (gmi+1)|xi+1-c| -... - (gmK)|xK-c| = 0 Dividindo esta equação por -g, temos - m1|x1-c| -...- mi|xi-c| + mi+1|xi+1-c| +...+ mK|xK-c| = 0 Observe que {-|x1-c| = -(c-x1) = x1-c ... -|xi-c| = -(c-xi) = xi-c já que x1<c, ..., xi<c e {|xi+1-c| = xi+1-c ... |xK-c| = xK-c Visto que xi+1≥c, ..., xK≥c. Logo m_1(x_1-c)+...+m_i(x_i-c)+m_{i+1}(x_{i+1}-c)+...+m_k(x_k-c)=0 ⇒ \sum_{j=1}^{k} m_j(x_j-c) = 0 ⇒ \sum_{j=1}^{k} m_j x_j - \sum_{j=1}^{k} m_j c = 0 ⇒ c \sum_{j=1}^{k} m_j = \sum_{j=1}^{k} m_j x_j ⇒ c = \frac {\sum_{j=1}^{k} m_j x_j}{\sum_{j=1}^{k} m_j} Obs: Podemos fazer o mesmo para 2 e 3 dimensões. Para 2 dimensões Suponhamos que uma superfície plana retangular tenha massa desprezível e sobre ela sejam colocados objetos com massas m_1,...,m_k como mostra a figura. Em qual ponto da placa devemos apoiá-la de modo que ela fique em equilíbrio? A fórmula para acharmos C é praticamente a mesma que para uma dimensão: \sum_{j=1}^{k} m_j(P_j-C) = 0 onde P_j = (x_j,y_j) é o ponto na placa onde a massa m_j está situada e C = (\bar{x},\bar{y}) é o ponto de equilíbrio. Soma dos momentos é nula Centroide Uma situação especial é quando a densidade num corpo é constante, isto é, δ(x,y,z) ≡ δ₀ (ou δ(x,y)≡δ₀ em R²). Neste caso, dizemos que o centro de gravidade é o centroide. Observe que x̄ = ∭_G x δ(x,y,z) dv / ∭_G δ(x,y,z) dv = δ₀ ∭_G x dv / δ₀ ∭_G 1 dv = ∭_G x dv / V , onde V = volume de G = ∭_G 1 dv. Podemos fazer o mesmo com as outras coordenadas. Resumo do Centroide Em 3 dimensões: Corpo ocupa G x̄ = ∭_G x dv / V , ȳ = ∭_G y dv / V , z̄ = ∭_G z dv / V onde V = Volume de G = ∭_G 1 dv centroide = (x̄, ȳ, z̄) Em 2 dimensões: Corpo ocupa D x̄ = ∬_D x dA / A , ȳ = ∬_D y dA / A , onde A = Área de D = ∬_D 1 dA centroide = (x̄, ȳ) Exemplo ("Casquinha de sorvete") Seja G o sólido situado abaixo da esfera x²+y²+z²=4 e acima do cone z=1/√3 √(x²+y²). Ache o centroide de G. Solução: No material de apoio (Integral tripla em coordenadas esféricas) e no vídeo sobre integrais em esféricas, vimos esta região no Exemplo 3: G: { 0 ≤ Θ < 2π 0 ≤ ϕ ≤ π/3 0 ≤ ρ ≤ 2 Agora para achar o centroide (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) é só usar as fórmulas do resumo. Observe que a região é uma região de rotação ou de revolução, gerada pelo setor circular em torno do eixo z. Portanto, o centroide deve estar no eixo z, já que o sólido é simétrico em relação ao eixo z. Assim, \bar{x} = \bar{y} = 0. Logo, só precisamos calcular \bar{z}: \bar{z} = \frac{\iiint_G z \, dv}{V}, onde V é o volume de G. No exemplo 3, vimos que o volume de G é \frac{8\pi}{3} unidades de volume Portanto, só precisamos calcular \iiint_G z \, dv: \iiint_G z \, dv = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/3} \int_0^2 (\rho \cos \phi) (\rho^2 \sin \phi) \, d\rho \, d\phi \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/3} \left[ \frac{\rho^4 \cos \phi \sin \phi}{4} \right]_0^2 \, d\phi \, d\theta = 4 \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/3} \cos \phi \sin \phi \, d\phi \, d\theta = 4 \left( \int_0^{\pi/3} \cos \phi \sin \phi \, d\phi \right) \int_0^{2\pi} \, d\theta = Podemos tirar esta integral da integral em \theta, pois não depende de \theta. = 4 \left[ \theta \right]_0^{2\pi} \int_0^{\pi/3} \sin \phi \cos \phi \, d\phi = 2\pi = \left[ u \right] = 8\pi \int_0^{\pi/3} \frac{1}{2} \sin(2\phi) \, d\phi = 8\pi \frac{1}{2} \left[ \frac{-1}{2} \cos(2\phi) \right]_0^{\pi/3} = \frac{8\pi}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 0^2 \right) = 4\pi \cdot \frac{3}{4} = 3\pi Logo \iiint_G z \, dv = 3\pi. Daí \bar{z} = \frac{3\pi}{V} = \frac{3\pi}{\left(\frac{8\pi}{3}\right)} = \frac{9}{8} Assim, o centroide de G é (0,0,\frac{9}{8})