Slide - Integrais de Linha 1 - 2023-2

Integrais de linha - 1 Joana Mohr IME-UFRGS Joana Mohr (IME-UFRGS) 1 / 8 Queremos: calcular integrais ao longo de curvas em R2 ou R3 . Como motiva¸c˜ao vamos estudar o trabalho W realizado sobre um objeto por um campo de for¸cas (vetores) de um ponto P a um ponto Q ao longo de uma curva. Defini¸c˜ao: Se um objeto se mover em linha reta por uma distˆancia d e agir sobre ele uma for¸ca constante de magnitude ∥F∥, na dire¸c˜ao e no sentido do movimento, ent˜ao o trabalho W ´e definido por W = ∥F∥d Joana Mohr (IME-UFRGS) 2 / 8 Suponha inicialmente que o objeto se desloca em um caminho linear de P at´e Q e que age sobre ele uma for¸ca constante F que faz ˆangulo θ com o vetor deslocamento. Assim, lembrando que F · −−→ PQ = ∥F∥ ∥−−→ PQ∥ cos(θ) temos que W = ∥F∥ cos(θ) ∥−−→ PQ∥ = F · −−→ PQ Joana Mohr (IME-UFRGS) 3 / 8 Suponha agora que o objeto se mova ao longo de uma curva C e que F(x, y) = f(x, y)i + g(x, y)j varia ao longo da curva subdividimos a curva em n segmentos usando P = P0, P1, ...., Pn = Q, em cada segmento entre Pk−1 e Pk escolhemos P ∗ k = (x∗ k, y∗ k), neste segmento usamos F∗ k = F(x∗ k, y∗ k) para aproximar o trabalho. Joana Mohr (IME-UFRGS) 4 / 8 Por exemplo, o trabalho no segmento de P1 at´e P2 pode ser aproximado por (andar sobre −−−→ P1P2 usando F∗ 2 em todos os pontos deste segmento) W2 ≈ F∗ 2 · −−−→ P1P2 = f(x∗ 2, y∗ 2)∆x2 + g(x∗ 2, y∗ 2)∆y2 Joana Mohr (IME-UFRGS) 5 / 8 Portanto o trabalho W pode ser aproximado por n n W= So Wax DO (Floisut) Ace + oxi. vi) Ave) k=1 k=1 Fy P, Q =P, PD) C P=P) Fazendo o limite em n — oo temos que n n 4: * Ok . * Pk W = lim ) (fi. vi) Ace) + lim 5) (s(vi, vi) Aun) k=1 k=1 Definicao: Seja C uma curva lisa no R?, chamamos de integral de linha de f em relagao a x ao longo de C o seguinte limite n _ i}; * Ok [ senee = fim P(axks yp) AE e de integral de linha de g em relagao a y ao longo de C' o seguinte limite n [ate-ady = em > ovis ved Obs: Jo f(x, y)dx nao é integragao iterada, pois y; nao esta fixado. Analogamente se C é uma curva lisa em R? e f(x,y, z) podemos definir n [ feen2ide = Jim D2 Flos uis 28) n [ f(x,y, z)dy = dim F (i, Yi AYR n [ tenets = Jim. Yo Sti uisab) Ban as integrais de linha de f com relacao a x, a y ce a z ao longo de C, respectivamente.