Slide - Campos Vetoriais - 2023-2

Campos vetoriais Joana Mohr IME-UFRGS Joana Mohr (IME-UFRGS) 1 / 11 Defini¸c˜ao: Um campo vetorial no plano ´e uma fun¸c˜ao que associa a cada ponto P do plano um vetor F(P) no plano. Analogamente um campo vetorial no espa¸co ´e uma fun¸c˜ao que associa a cada ponto P do espa¸co um ´unico vetor F(P) do espa¸co. Joana Mohr (IME-UFRGS) 2 / 11 Se P = (x, y) ∈ R2, escrevemos F(P) = F(x, y) = f(x, y)i + g(x, y)j = ⟨f(x, y), g(x, y)⟩ onde f(x, y) e g(x, y) s˜ao fun¸c˜oes reais de duas vari´aveis. Joana Mohr (IME-UFRGS) 3 / 11 Analogamente se P = (x, y, z) ∈ R3, escrevemos F(P) = F(x, y, z) = f(x, y, z)i + g(x, y, z)j + h(x, y, z)k onde f(x, y, z), g(x, y, z) e h(x, y, z) s˜ao fun¸c˜oes reais de trˆes vari´aveis. Joana Mohr (IME-UFRGS) 4 / 11 Exemplo: A lei de Coulomb afirma que a for¸ca eletrost´atica exercida por uma part´ıcula carregada, de carga Q, sobre outra, de carga q, ´e diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distˆancia r entre elas. ∥F∥ = c|qQ| r2 , onde c ´e uma constante positiva. Joana Mohr (IME-UFRGS) 5 / 11 Se uma part´ıcula de carga Q(+) estiver na origem de um sistema de coordenadas e se r for o vetor posi¸c˜ao de uma part´ıcula de carga q (+), ent˜ao a for¸ca F(r) que a part´ıcula de carga Q exerce sobre a outra tem dire¸c˜ao e sentido do vetor unit´ario r ∥r∥, assim F(r) = ∥F∥ r ∥r∥ = c|qQ| r2 r ∥r∥ F(r) = cqQ ∥r∥3 r Joana Mohr (IME-UFRGS) 6 / 11 Se r for um vetor posicao e c uma constante entao um campo vetorial da forma F(r) = 4%; é chamado campo de quadrado inverso. Il 4 Ser = zi+ yj, ||r|| = Vv? + y?, temos que xi+ yj F(r) = c-—~——.> (r) “(a + y2)3/2 Ser =zi+yj+ zk, vi+yj+ zk F(r) = c-————> ( ) (x? + y? + 22)3/2 Campos gradiente e conservativos Se @ for uma funcao das varidveis x e y, entao o gradiente de ¢ é Od, Od, Od O Ox Oy Ox’ Oy Analogamente para funcoes de 3 ou mais varidveis. Assim para cada ponto do dominio de ¢, V@ fornece um vetor. Dizemos que V@ é 0 campo gradiente de ¢, que podemos chamar, digamos, de F, F=V¢ (x) Pergunta: Sera que todo campo é da forma (**)? Ou seja, dado um campo G no plano, qualquer, sera que existe uma funcao 6 tal que VG = G 277222 Exemplo. Se φ(x, y) = xy ent˜ao ∇φ =< y, x >= F(x, y). Veremos mais adiante que para G(x, y) = ⟨−y, x⟩ n˜ao existe fun¸c˜ao β tal que ∇β = G. Joana Mohr (IME-UFRGS) 9 / 11 Defini¸c˜ao. Se para um campo F : R2 → R2 existe φ : R2 → R tal que F = ∇φ em um certo dom´ınio R ⊂ R2, ent˜ao dizemos que F ´e um campo conservativo em R. Analogamente para fun¸c˜oes do Rn, n ≥ 3. A fun¸c˜ao φ ´e dita potencial para F na regi˜ao R. Joana Mohr (IME-UFRGS) 10 / 11 Exemplo: Um campo de quadrado inverso rit yj F = c——_ (x,y) “(a2 + y2)3/2 é conservativo? Para isto, devemos exibir ¢ : R? > R tal que V¢ = F. Seja o(z,y) = Gye? calculando V¢ obtemos _ Cx cy _ VO(x,y) = (Gap ein) = F(z, y), para qualquer regiao que nao contenha a origem. Nem todo campo é conservativo, mas quando isso for valido, teremos teoremas muito uteis a nossa disposicao.