Slide - Campos Vetoriais Conservativos - 2023-2

Campos vetoriais conservativos, independˆencia do caminho Joana Mohr IME-UFRGS Joana Mohr (IME-UFRGS) 1 / 10 Seja F um campo de vetores e C uma curva parametrizada, vimos que o trabalho realizado pelo campo em uma particula que se move ao longo de C de um ponto inicia P até um ponto final Q é dado pela integral de linha [ea | tou)ae + oleu)ay Cc Cc ou | F-dr= | f (2, UY; z)dx + g(a, Y; z)dy + h(x, Y; z)dz, Cc Cc onde f,g,h sao as fungoes componentes de F. Pergunta: Como o caminho de integra¸c˜ao afeta o trabalho realizado por um campo vetorial, numa part´ıcula que se move de um ponto P a um ponto Q? Joana Mohr (IME-UFRGS) 3 / 10 Exemplo: Seja F(x, y) = $i+ 4j, calcule a integral de trabalho ao longo dos seguintes caminhos ligando os pontos P(4,1) e Q(0, 1): a) O segmento de reta de P até Q. b) O semi-circulo unindo P e Q no sentido anti-hordario. a) O segmento de reta pode ser parametrizado por r;(t) = (4 — 4t, 1), 0<t <1, como rj(t) = (—4,0) e F(ri(t)) = (2 — 2t, $), temos que 1 1 1 | F-dr= | F(r1(t)) «rf (t)dt = | (—8+80)a¢ — —8t + 40?| —-4 C 0 0 0 b) O semi-circulo pode ser parametrizado por ro(t) = (2cos(t) + 2,2 sen(t) +1) 0<t <7, como r5(t) = (—2 sen(t), 2cos(t)) e F(re(t)) = (cos(t) + 1, 3 sen(t) + 3) temos que | F-dr = | F(ro(t)) -r4(t)dt = Cc 0 n 2 2 | ( — 2 sen(t) — 3 sen(t) cos(t) + 3 cos(t)) dt = 0 2eos(t) — = sen?(t) +5 sen(t))" = —4 = — = sen = sen = —4, cos 3 8° 3 8 0 Lembre que F é conservativo, se existe ¢: D > R tal que F(x,y) =Vo(a,y), (ay) € D. Note que F(x, y) = 5i+ $j é conservativo , jd que 1, 145 Le. Y, o(2, y) = 7Xn + ay = Vo(z,y) = 51+ 3 F(z, y). 4 6 2 3 Note também que 1 1 (0, 1) ~~ (4, 1) = 6 ~~ (4+ 6) = —4, veremos no proximo teorema que nao é por acaso que o valor é o mesmo. Ou seja, independente da curva C que liga P a Q, [Pa = 600.1) - (4,1) Cc Teorema Fundamental das Integrais de Linha (TFIL) Suponha que F(z, y) = f(x, y)i+ g(2, y)j seja um campo vetorial conservativo em alguma regido aberta D C R? contendo os pontos (xo, Yo) € (41, yi) e que f(x,y) e g(x,y) sejam continuas nessa regiao. Como F é conservativo, existe ¢: D > R tal que F(z,y) =V¢(z,y), (ay) €D e se C' for uma curva paramétrica lisa por partes qualquer, comegando em (29, yo), terminando em (21, y1), e que esta totalmente contida em D entao [Fen -dr = 6(x1, 91) — $(0, yo): Com as hipdéteses do TFIL, podemos usar a seguinte notacao: (v1,y1) [Plevear= [Fleur = C (xo,yo) (1,41) = [© Vola.) «de = oer.) ~ (00,10) (x0,Yo) Obs: Repare na semelhanga com o Teorema Fundamental do Calculo, se G’(x) = g(x) vale que b b | g(x)dx = | G!(x)dx = G(b) — Gla). Pergunta: O que acontece com uma integral de linha de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada, ou seja, uma curva parametrizada r(t) tal que r(a) = r(b)? | / ve F(x,y) = ait yj a y? | Mena tant | r(t) =< 2cos(t) + 2,2sen(t) +1> \ O0<t<27 \ 41) (0) = r(2m) = (4,1) [ Flew-ae= oler.n) ~ oo.) = 0 Cc Exemplo: Seja F(z, y) = —yi+ajeC acurva parametrizada por r(t) = 2cos(t)i+ 2 sen(t)j, 0<t< 2m. Calcule [., F(x, y) - dr. fA : } r(t) =< 2cos(t),2sen(t) > F(x,y) = —yi+ aj 20 | F(z,y)-dr = | (—2sen(t), 2 cos(t)) - (—2sen(t), 2 cos(t))dt = 87, C 0 logo F nao é conservativo.