Slide - Convergência de Séries de Taylor - 2023-2

Convergˆencia de S´eries de Taylor e T´ecnicas para o seu C´alculo Leonardo Prange Bonorino Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Matem´atica Pura e Aplicada - IME (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 1 Convergéncia de Séries de Taylor Lembremos que o polindmio de Taylor de grau n de uma fung¢ao infinitamente derivavel f em torno de xo é n f) (x9) k Pn(x) = » nr Ca — x0) k=0 o> «4 = = = Nac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 2 Convergéncia de Séries de Taylor Lembremos que 0 polindmio de Taylor de grau n de uma fun¢Ao infinitamente derivavel f em torno de xo é n f) (x9) k Pn(x) = » nr Ca — x0) k=0 Este polinémio é uma aproximacao para f para pontos préximos de xo. o @ = = = ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 2 Convergéncia de Séries de Taylor Lembremos que 0 polindmio de Taylor de grau n de uma fun¢Ao infinitamente derivavel f em torno de xo é n f) (x9) k Pn(x) = » nr Ca — x0) k=0 Este polinémio é uma aproximacao para f para pontos préximos de xo. Supostamente, tal aproxima¢do é tanto melhor quanto maior for o grau do polindmio. o @ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 2 Convergéncia de Séries de Taylor Lembremos que 0 polindmio de Taylor de grau n de uma fun¢Ao infinitamente derivavel f em torno de xo é n f) (x9) k Pn(x) = » nr Ca — x0) k=0 Este polinémio é uma aproximacao para f para pontos préximos de xo. Supostamente, tal aproxima¢do é tanto melhor quanto maior for o grau do polindmio. Assim, é natural perguntar se os polindmios convergem para f quando o grau deles vai para infinito: n fF) (x9) k li = li —— (x — = 5xi 22? tim Pn(x) vlim kl (x — xo)" = f(x) para x préximo de xo o a = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 2 Convergéncia de Séries de Taylor Lembremos que 0 polinémio de Taylor de grau n de uma func¢ao infinitamente derivavel f em torno de xo é n FD (x9) k Pn(x) = S> ar x — xo) k=0 Este polindmio é uma aproximac¢ao para f para pontos prdéximos de xo. Supostamente, tal aproxima¢do é tanto melhor quanto maior for o grau do polindmio. Assim, é natural perguntar se os polindmios convergem para f quando o grau deles vai para infinito: n FD (x9) k lim x)= lim ———(x — xo)" = F(x ara x proximode x ??? tim a(x) nim p(X ~ 0) = F(x) Pp P 0 Como o limite destes polindmios é a série de Taylor de f em torno de xo, isto equivale a perguntar se a série de Taylor de f é a propria f: co £4) (x . > Uo) (, — xo)" = f(x) para x préximode x9 ??? k=0 , Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 2 Convergˆencia de s´eries de Taylor Exemplo de convergˆencia: Seja f (x) = cos(x). Os polinˆomios de Taylor de f em torno de x0 = 0 (polinˆomios de Maclaurin) at´e grau 9 s˜ao: p1(x) = p0(x) = 1 p3(x) = p2(x) = 1 − x2 2 p5(x) = p4(x) = 1 − x2 2 + x4 24 p7(x) = p6(x) = 1 − x2 2 + x4 24 − x6 720 p9(x) = p8(x) = 1− x2 2 + x4 24 − x6 720 + x8 40320 A medida que o grau do polinˆomio aumenta, ele fica, aparentemente, mais pr´oximo de f . x y f (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 3 Convergˆencia de s´eries de Taylor Exemplo de convergˆencia: Seja f (x) = cos(x). Os polinˆomios de Taylor de f em torno de x0 = 0 (polinˆomios de Maclaurin) at´e grau 9 s˜ao: p1(x) = p0(x) = 1 p3(x) = p2(x) = 1 − x2 2 p5(x) = p4(x) = 1 − x2 2 + x4 24 p7(x) = p6(x) = 1 − x2 2 + x4 24 − x6 720 p9(x) = p8(x) = 1− x2 2 + x4 24 − x6 720 + x8 40320 A medida que o grau do polinˆomio aumenta, ele fica, aparentemente, mais pr´oximo de f . x y f p0 (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 3 Convergˆencia de s´eries de Taylor Exemplo de convergˆencia: Seja f (x) = cos(x). Os polinˆomios de Taylor de f em torno de x0 = 0 (polinˆomios de Maclaurin) at´e grau 9 s˜ao: p1(x) = p0(x) = 1 p3(x) = p2(x) = 1 − x2 2 p5(x) = p4(x) = 1 − x2 2 + x4 24 p7(x) = p6(x) = 1 − x2 2 + x4 24 − x6 720 p9(x) = p8(x) = 1− x2 2 + x4 24 − x6 720 + x8 40320 A medida que o grau do polinˆomio aumenta, ele fica, aparentemente, mais pr´oximo de f . x y f p0 p2 (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 3 Convergˆencia de s´eries de Taylor Exemplo de convergˆencia: Seja f (x) = cos(x). Os polinˆomios de Taylor de f em torno de x0 = 0 (polinˆomios de Maclaurin) at´e grau 9 s˜ao: p1(x) = p0(x) = 1 p3(x) = p2(x) = 1 − x2 2 p5(x) = p4(x) = 1 − x2 2 + x4 24 p7(x) = p6(x) = 1 − x2 2 + x4 24 − x6 720 p9(x) = p8(x) = 1− x2 2 + x4 24 − x6 720 + x8 40320 A medida que o grau do polinˆomio aumenta, ele fica, aparentemente, mais pr´oximo de f . x y f p0 p2 p4 (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 3 Convergˆencia de s´eries de Taylor Exemplo de convergˆencia: Seja f (x) = cos(x). Os polinˆomios de Taylor de f em torno de x0 = 0 (polinˆomios de Maclaurin) at´e grau 9 s˜ao: p1(x) = p0(x) = 1 p3(x) = p2(x) = 1 − x2 2 p5(x) = p4(x) = 1 − x2 2 + x4 24 p7(x) = p6(x) = 1 − x2 2 + x4 24 − x6 720 p9(x) = p8(x) = 1− x2 2 + x4 24 − x6 720 + x8 40320 A medida que o grau do polinˆomio aumenta, ele fica, aparentemente, mais pr´oximo de f . x y f p0 p2 p4 p6 (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 3 Convergˆencia de s´eries de Taylor Exemplo de convergˆencia: Seja f (x) = cos(x). Os polinˆomios de Taylor de f em torno de x0 = 0 (polinˆomios de Maclaurin) at´e grau 9 s˜ao: p1(x) = p0(x) = 1 p3(x) = p2(x) = 1 − x2 2 p5(x) = p4(x) = 1 − x2 2 + x4 24 p7(x) = p6(x) = 1 − x2 2 + x4 24 − x6 720 p9(x) = p8(x) = 1− x2 2 + x4 24 − x6 720 + x8 40320 A medida que o grau do polinˆomio aumenta, ele fica, aparentemente, mais pr´oximo de f . x y f p0 p2 p4 p6 p8 (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 3 Convergˆencia de s´eries de Taylor Quando uma fun¸c˜ao ´e igual a sua s´erie de Taylor? Como j´a comentamos, uma fun¸c˜ao f ´e igual a sua s´erie de Taylor quando ´e o limite dos polinˆomios de Taylor. Ou seja, quando lim n→+∞ f (x) − pn(x) = 0 para x pr´oximo de x0. Denotando esta diferen¸ca por rn (en´esimo resto), isto ´e, rn(x) = f (x) − pn(x), isto equivale a perguntar se lim n→+∞ rn(x) = 0 para x pr´oximo de x0. Para verificar se isto vale ou n˜ao, podemos usar o Teorema da Estimativa do Resto: Se existir M > 0 tal que M ≥ |f (n+1)(x)| para qualquer x de um intervalo [x0 − d, x0 + d], ent˜ao |rn(x)| ≤ M (n + 1)!|x − x0|(n+1) para x ∈ [x0 − d, x0 + d]. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 4 Convergˆencia de s´eries de Taylor Quando uma fun¸c˜ao ´e igual a sua s´erie de Taylor? Como j´a comentamos, uma fun¸c˜ao f ´e igual a sua s´erie de Taylor quando ´e o limite dos polinˆomios de Taylor. Ou seja, quando lim n→+∞ f (x) − pn(x) = 0 para x pr´oximo de x0. Denotando esta diferen¸ca por rn (en´esimo resto), isto ´e, rn(x) = f (x) − pn(x), isto equivale a perguntar se lim n→+∞ rn(x) = 0 para x pr´oximo de x0. Para verificar se isto vale ou n˜ao, podemos usar o Teorema da Estimativa do Resto: Se existir M > 0 tal que M ≥ |f (n+1)(x)| para qualquer x de um intervalo [x0 − d, x0 + d], ent˜ao |rn(x)| ≤ M (n + 1)!|x − x0|(n+1) para x ∈ [x0 − d, x0 + d]. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 4 Convergˆencia de s´eries de Taylor Quando uma fun¸c˜ao ´e igual a sua s´erie de Taylor? Como j´a comentamos, uma fun¸c˜ao f ´e igual a sua s´erie de Taylor quando ´e o limite dos polinˆomios de Taylor. Ou seja, quando lim n→+∞ f (x) − pn(x) = 0 para x pr´oximo de x0. Denotando esta diferen¸ca por rn (en´esimo resto), isto ´e, rn(x) = f (x) − pn(x), isto equivale a perguntar se lim n→+∞ rn(x) = 0 para x pr´oximo de x0. Para verificar se isto vale ou n˜ao, podemos usar o Teorema da Estimativa do Resto: Se existir M > 0 tal que M ≥ |f (n+1)(x)| para qualquer x de um intervalo [x0 − d, x0 + d], ent˜ao |rn(x)| ≤ M (n + 1)!|x − x0|(n+1) para x ∈ [x0 − d, x0 + d]. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 4 Convergˆencia de s´eries de Taylor Quando uma fun¸c˜ao ´e igual a sua s´erie de Taylor? Como j´a comentamos, uma fun¸c˜ao f ´e igual a sua s´erie de Taylor quando ´e o limite dos polinˆomios de Taylor. Ou seja, quando lim n→+∞ f (x) − pn(x) = 0 para x pr´oximo de x0. Denotando esta diferen¸ca por rn (en´esimo resto), isto ´e, rn(x) = f (x) − pn(x), isto equivale a perguntar se lim n→+∞ rn(x) = 0 para x pr´oximo de x0. Para verificar se isto vale ou n˜ao, podemos usar o Teorema da Estimativa do Resto: Se existir M > 0 tal que M ≥ |f (n+1)(x)| para qualquer x de um intervalo [x0 − d, x0 + d], ent˜ao |rn(x)| ≤ M (n + 1)!|x − x0|(n+1) para x ∈ [x0 − d, x0 + d]. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 4 Convergˆencia de s´eries de Taylor Quando uma fun¸c˜ao ´e igual a sua s´erie de Taylor? - continua¸c˜ao Exemplo: Seja f (x) = cos(x). Observe que qualquer que seja n, a derivada de ordem (n + 1) de f ´e uma entre estas 4 fun¸c˜oes: − sen(x), sen(x), cos(x) ou − cos(x) Isto ´e, f (n+1)(x) = ± sen(x) ou f (n+1)(x) = ± cos(x).Em qualquer caso, |f (n+1)(x)| ≤ 1 para x ∈ R. Assim, escolhendo M = 1 e x0 = 0, temos |f (n+1)(x)| ≤ M = 1 para x ∈ (−∞, +∞). Ent˜ao, aplicando o Teorema da Estimativa do Resto, 0 ≤ |rn(x)| ≤ M (n + 1)!|x − 0|n+1 = 1 (n + 1)!|x|n+1. Como lim n→+∞ 1 (n + 1)!|x|n+1 = 0, pelo Teorema do Confronto, lim n→+∞ |rn(x)| = 0 para todo x ∈ R. Logo f (x) − pn(x) = rn(x) → 0, mostrando que a s´erie de Taylor de cos(x) ´e igual a cos(x) para todo x ∈ R. Isto comprova o que sugeria a figura anterior. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 5 Convergˆencia de s´eries de Taylor Quando uma fun¸c˜ao ´e igual a sua s´erie de Taylor? - continua¸c˜ao Exemplo: Seja f (x) = cos(x). Observe que qualquer que seja n, a derivada de ordem (n + 1) de f ´e uma entre estas 4 fun¸c˜oes: − sen(x), sen(x), cos(x) ou − cos(x) Isto ´e, f (n+1)(x) = ± sen(x) ou f (n+1)(x) = ± cos(x).Em qualquer caso, |f (n+1)(x)| ≤ 1 para x ∈ R. Assim, escolhendo M = 1 e x0 = 0, temos |f (n+1)(x)| ≤ M = 1 para x ∈ (−∞, +∞). Ent˜ao, aplicando o Teorema da Estimativa do Resto, 0 ≤ |rn(x)| ≤ M (n + 1)!|x − 0|n+1 = 1 (n + 1)!|x|n+1. Como lim n→+∞ 1 (n + 1)!|x|n+1 = 0, pelo Teorema do Confronto, lim n→+∞ |rn(x)| = 0 para todo x ∈ R. Logo f (x) − pn(x) = rn(x) → 0, mostrando que a s´erie de Taylor de cos(x) ´e igual a cos(x) para todo x ∈ R. Isto comprova o que sugeria a figura anterior. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 5 Convergˆencia de s´eries de Taylor Quando uma fun¸c˜ao ´e igual a sua s´erie de Taylor? - continua¸c˜ao Exemplo: Seja f (x) = cos(x). Observe que qualquer que seja n, a derivada de ordem (n + 1) de f ´e uma entre estas 4 fun¸c˜oes: − sen(x), sen(x), cos(x) ou − cos(x) Isto ´e, f (n+1)(x) = ± sen(x) ou f (n+1)(x) = ± cos(x). Em qualquer caso, |f (n+1)(x)| ≤ 1 para x ∈ R. Assim, escolhendo M = 1 e x0 = 0, temos |f (n+1)(x)| ≤ M = 1 para x ∈ (−∞, +∞). Ent˜ao, aplicando o Teorema da Estimativa do Resto, 0 ≤ |rn(x)| ≤ M (n + 1)!|x − 0|n+1 = 1 (n + 1)!|x|n+1. Como lim n→+∞ 1 (n + 1)!|x|n+1 = 0, pelo Teorema do Confronto, lim n→+∞ |rn(x)| = 0 para todo x ∈ R. Logo f (x) − pn(x) = rn(x) → 0, mostrando que a s´erie de Taylor de cos(x) ´e igual a cos(x) para todo x ∈ R. Isto comprova o que sugeria a figura anterior. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 5 Convergˆencia de s´eries de Taylor Quando uma fun¸c˜ao ´e igual a sua s´erie de Taylor? - continua¸c˜ao Exemplo: Seja f (x) = cos(x). Observe que qualquer que seja n, a derivada de ordem (n + 1) de f ´e uma entre estas 4 fun¸c˜oes: − sen(x), sen(x), cos(x) ou − cos(x) Isto ´e, f (n+1)(x) = ± sen(x) ou f (n+1)(x) = ± cos(x).Em qualquer caso, |f (n+1)(x)| ≤ 1 para x ∈ R. Assim, escolhendo M = 1 e x0 = 0, temos |f (n+1)(x)| ≤ M = 1 para x ∈ (−∞, +∞). Ent˜ao, aplicando o Teorema da Estimativa do Resto, 0 ≤ |rn(x)| ≤ M (n + 1)!|x − 0|n+1 = 1 (n + 1)!|x|n+1. Como lim n→+∞ 1 (n + 1)!|x|n+1 = 0, pelo Teorema do Confronto, lim n→+∞ |rn(x)| = 0 para todo x ∈ R. Logo f (x) − pn(x) = rn(x) → 0, mostrando que a s´erie de Taylor de cos(x) ´e igual a cos(x) para todo x ∈ R. Isto comprova o que sugeria a figura anterior. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 5 Convergˆencia de s´eries de Taylor Quando uma fun¸c˜ao ´e igual a sua s´erie de Taylor? - continua¸c˜ao Exemplo: Seja f (x) = cos(x). Observe que qualquer que seja n, a derivada de ordem (n + 1) de f ´e uma entre estas 4 fun¸c˜oes: − sen(x), sen(x), cos(x) ou − cos(x) Isto ´e, f (n+1)(x) = ± sen(x) ou f (n+1)(x) = ± cos(x).Em qualquer caso, |f (n+1)(x)| ≤ 1 para x ∈ R. Assim, escolhendo M = 1 e x0 = 0, temos |f (n+1)(x)| ≤ M = 1 para x ∈ (−∞, +∞). Ent˜ao, aplicando o Teorema da Estimativa do Resto, 0 ≤ |rn(x)| ≤ M (n + 1)!|x − 0|n+1 = 1 (n + 1)!|x|n+1. Como lim n→+∞ 1 (n + 1)!|x|n+1 = 0, pelo Teorema do Confronto, lim n→+∞ |rn(x)| = 0 para todo x ∈ R. Logo f (x) − pn(x) = rn(x) → 0, mostrando que a s´erie de Taylor de cos(x) ´e igual a cos(x) para todo x ∈ R. Isto comprova o que sugeria a figura anterior. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 5 Convergˆencia de s´eries de Taylor Quando uma fun¸c˜ao ´e igual a sua s´erie de Taylor? - continua¸c˜ao Exemplo: Seja f (x) = cos(x). Observe que qualquer que seja n, a derivada de ordem (n + 1) de f ´e uma entre estas 4 fun¸c˜oes: − sen(x), sen(x), cos(x) ou − cos(x) Isto ´e, f (n+1)(x) = ± sen(x) ou f (n+1)(x) = ± cos(x).Em qualquer caso, |f (n+1)(x)| ≤ 1 para x ∈ R. Assim, escolhendo M = 1 e x0 = 0, temos |f (n+1)(x)| ≤ M = 1 para x ∈ (−∞, +∞). Ent˜ao, aplicando o Teorema da Estimativa do Resto, 0 ≤ |rn(x)| ≤ M (n + 1)!|x − 0|n+1 = 1 (n + 1)!|x|n+1. Como lim n→+∞ 1 (n + 1)!|x|n+1 = 0, pelo Teorema do Confronto, lim n→+∞ |rn(x)| = 0 para todo x ∈ R. Logo f (x) − pn(x) = rn(x) → 0, mostrando que a s´erie de Taylor de cos(x) ´e igual a cos(x) para todo x ∈ R. Isto comprova o que sugeria a figura anterior. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 5 Convergˆencia de s´eries de Taylor Quando uma fun¸c˜ao ´e igual a sua s´erie de Taylor? - continua¸c˜ao Exemplo: Seja f (x) = cos(x). Observe que qualquer que seja n, a derivada de ordem (n + 1) de f ´e uma entre estas 4 fun¸c˜oes: − sen(x), sen(x), cos(x) ou − cos(x) Isto ´e, f (n+1)(x) = ± sen(x) ou f (n+1)(x) = ± cos(x).Em qualquer caso, |f (n+1)(x)| ≤ 1 para x ∈ R. Assim, escolhendo M = 1 e x0 = 0, temos |f (n+1)(x)| ≤ M = 1 para x ∈ (−∞, +∞). Ent˜ao, aplicando o Teorema da Estimativa do Resto, 0 ≤ |rn(x)| ≤ M (n + 1)!|x − 0|n+1 = 1 (n + 1)!|x|n+1. Como lim n→+∞ 1 (n + 1)!|x|n+1 = 0, pelo Teorema do Confronto, lim n→+∞ |rn(x)| = 0 para todo x ∈ R. Logo f (x) − pn(x) = rn(x) → 0, mostrando que a s´erie de Taylor de cos(x) ´e igual a cos(x) para todo x ∈ R. Isto comprova o que sugeria a figura anterior. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 5 Convergˆencia de s´eries de Taylor Quando uma fun¸c˜ao ´e igual a sua s´erie de Taylor? - continua¸c˜ao Exemplo: Seja f (x) = cos(x). Observe que qualquer que seja n, a derivada de ordem (n + 1) de f ´e uma entre estas 4 fun¸c˜oes: − sen(x), sen(x), cos(x) ou − cos(x) Isto ´e, f (n+1)(x) = ± sen(x) ou f (n+1)(x) = ± cos(x).Em qualquer caso, |f (n+1)(x)| ≤ 1 para x ∈ R. Assim, escolhendo M = 1 e x0 = 0, temos |f (n+1)(x)| ≤ M = 1 para x ∈ (−∞, +∞). Ent˜ao, aplicando o Teorema da Estimativa do Resto, 0 ≤ |rn(x)| ≤ M (n + 1)!|x − 0|n+1 = 1 (n + 1)!|x|n+1. Como lim n→+∞ 1 (n + 1)!|x|n+1 = 0, pelo Teorema do Confronto, lim n→+∞ |rn(x)| = 0 para todo x ∈ R. Logo f (x) − pn(x) = rn(x) → 0, mostrando que a s´erie de Taylor de cos(x) ´e igual a cos(x) para todo x ∈ R. Isto comprova o que sugeria a figura anterior. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 5 Exemplos de fun¢Gdes que sao iguais as suas séries de Taylor em xo = 0 (ou Maclaurin) Usando o Teorema da Estimativa do Resto, como no exemplo anterior, podemos provar que: _ oe (—1)‘ Ok x? x4 x? x8 * cost) = > AT” =l-7+a-a@taf para x € (—oo, +00) _ co (—1)‘ okt. x3 x? x! x? seen) = > Oe =X-a te 7to7w para x € (—o0, +00) x <r x x2 x3 x4 ee = aX =lta+atatagte para x € (-00, too) k=0 1 co Py eM a1 txt ter txt... para x € (—1,1) k=0 _ oe (—1)**? k x? x3 x4 x? sin +x) = DE Hx Zt y7 gt ec Para x € (-1,1] - o> <a f+ <B> BE HQ0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 6 Convergˆencia de s´eries de Taylor Observa¸c˜oes As fun¸c˜oes cl´assicas, como as trigonom´etricas, exponenciais e logar´ıtmicas, s˜ao iguais as suas s´eries de Taylor, nos intervalos em que estas s´eries s˜ao convergentes. Al´em disso, as fun¸c˜oes obtidas a partir destas por meio de opera¸c˜oes alg´ebricas (soma, diferen¸ca, produto, quociente e composi¸c˜ao) tamb´em s˜ao iguais as suas s´eries de Taylor, dentro do intervalo de convergˆencia da s´erie de Taylor. Exemplo: f (x) = ex2 cos(2x) ´e igual a sua s´erie de Taylor dentro do intervalo de convergˆencia da s´erie. (N˜ao calcularemos aqui nem a s´erie nem o intervalo.) A s´erie de Taylor de uma fun¸c˜ao ´e uma s´erie de potˆencias. Sempre que uma fun¸c˜ao f for igual a uma s´erie de potˆencias em torno de um ponto x0, esta ser´a exatamente a s´erie de Taylor de f em torno de x0. Neste caso, tamb´em dizemos que f ´e representada pela sua s´erie de Taylor. A s´erie de Taylor de f em torno de x0 = 0 tamb´em ´e chamada de s´erie de Maclaurin de f . Se uma s´erie de potˆencias converge num intervalo I, ent˜ao esta s´erie define uma fun¸c˜ao f em I e dizemos que f ´e representada por esta s´erie de potˆencias em I. Nem sempre esta fun¸c˜ao ´e conhecida (como as trigonom´etricas, exponenciais,...). Assim, existem fun¸c˜oes que s˜ao definidas t˜ao somente pela sua s´erie de potˆencias. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 7 Convergˆencia de s´eries de Taylor Observa¸c˜oes As fun¸c˜oes cl´assicas, como as trigonom´etricas, exponenciais e logar´ıtmicas, s˜ao iguais as suas s´eries de Taylor, nos intervalos em que estas s´eries s˜ao convergentes. Al´em disso, as fun¸c˜oes obtidas a partir destas por meio de opera¸c˜oes alg´ebricas (soma, diferen¸ca, produto, quociente e composi¸c˜ao) tamb´em s˜ao iguais as suas s´eries de Taylor, dentro do intervalo de convergˆencia da s´erie de Taylor. Exemplo: f (x) = ex2 cos(2x) ´e igual a sua s´erie de Taylor dentro do intervalo de convergˆencia da s´erie. (N˜ao calcularemos aqui nem a s´erie nem o intervalo.) A s´erie de Taylor de uma fun¸c˜ao ´e uma s´erie de potˆencias. Sempre que uma fun¸c˜ao f for igual a uma s´erie de potˆencias em torno de um ponto x0, esta ser´a exatamente a s´erie de Taylor de f em torno de x0. Neste caso, tamb´em dizemos que f ´e representada pela sua s´erie de Taylor. A s´erie de Taylor de f em torno de x0 = 0 tamb´em ´e chamada de s´erie de Maclaurin de f . Se uma s´erie de potˆencias converge num intervalo I, ent˜ao esta s´erie define uma fun¸c˜ao f em I e dizemos que f ´e representada por esta s´erie de potˆencias em I. Nem sempre esta fun¸c˜ao ´e conhecida (como as trigonom´etricas, exponenciais,...). Assim, existem fun¸c˜oes que s˜ao definidas t˜ao somente pela sua s´erie de potˆencias. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 7 Convergˆencia de s´eries de Taylor Observa¸c˜oes As fun¸c˜oes cl´assicas, como as trigonom´etricas, exponenciais e logar´ıtmicas, s˜ao iguais as suas s´eries de Taylor, nos intervalos em que estas s´eries s˜ao convergentes. Al´em disso, as fun¸c˜oes obtidas a partir destas por meio de opera¸c˜oes alg´ebricas (soma, diferen¸ca, produto, quociente e composi¸c˜ao) tamb´em s˜ao iguais as suas s´eries de Taylor, dentro do intervalo de convergˆencia da s´erie de Taylor. Exemplo: f (x) = ex2 cos(2x) ´e igual a sua s´erie de Taylor dentro do intervalo de convergˆencia da s´erie. (N˜ao calcularemos aqui nem a s´erie nem o intervalo.) A s´erie de Taylor de uma fun¸c˜ao ´e uma s´erie de potˆencias. Sempre que uma fun¸c˜ao f for igual a uma s´erie de potˆencias em torno de um ponto x0, esta ser´a exatamente a s´erie de Taylor de f em torno de x0. Neste caso, tamb´em dizemos que f ´e representada pela sua s´erie de Taylor. A s´erie de Taylor de f em torno de x0 = 0 tamb´em ´e chamada de s´erie de Maclaurin de f . Se uma s´erie de potˆencias converge num intervalo I, ent˜ao esta s´erie define uma fun¸c˜ao f em I e dizemos que f ´e representada por esta s´erie de potˆencias em I. Nem sempre esta fun¸c˜ao ´e conhecida (como as trigonom´etricas, exponenciais,...). Assim, existem fun¸c˜oes que s˜ao definidas t˜ao somente pela sua s´erie de potˆencias. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 7 Convergˆencia de s´eries de Taylor Observa¸c˜oes As fun¸c˜oes cl´assicas, como as trigonom´etricas, exponenciais e logar´ıtmicas, s˜ao iguais as suas s´eries de Taylor, nos intervalos em que estas s´eries s˜ao convergentes. Al´em disso, as fun¸c˜oes obtidas a partir destas por meio de opera¸c˜oes alg´ebricas (soma, diferen¸ca, produto, quociente e composi¸c˜ao) tamb´em s˜ao iguais as suas s´eries de Taylor, dentro do intervalo de convergˆencia da s´erie de Taylor. Exemplo: f (x) = ex2 cos(2x) ´e igual a sua s´erie de Taylor dentro do intervalo de convergˆencia da s´erie. (N˜ao calcularemos aqui nem a s´erie nem o intervalo.) A s´erie de Taylor de uma fun¸c˜ao ´e uma s´erie de potˆencias. Sempre que uma fun¸c˜ao f for igual a uma s´erie de potˆencias em torno de um ponto x0, esta ser´a exatamente a s´erie de Taylor de f em torno de x0. Neste caso, tamb´em dizemos que f ´e representada pela sua s´erie de Taylor. A s´erie de Taylor de f em torno de x0 = 0 tamb´em ´e chamada de s´erie de Maclaurin de f . Se uma s´erie de potˆencias converge num intervalo I, ent˜ao esta s´erie define uma fun¸c˜ao f em I e dizemos que f ´e representada por esta s´erie de potˆencias em I. Nem sempre esta fun¸c˜ao ´e conhecida (como as trigonom´etricas, exponenciais,...). Assim, existem fun¸c˜oes que s˜ao definidas t˜ao somente pela sua s´erie de potˆencias. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 7 Convergˆencia de s´eries de Taylor Observa¸c˜oes As fun¸c˜oes cl´assicas, como as trigonom´etricas, exponenciais e logar´ıtmicas, s˜ao iguais as suas s´eries de Taylor, nos intervalos em que estas s´eries s˜ao convergentes. Al´em disso, as fun¸c˜oes obtidas a partir destas por meio de opera¸c˜oes alg´ebricas (soma, diferen¸ca, produto, quociente e composi¸c˜ao) tamb´em s˜ao iguais as suas s´eries de Taylor, dentro do intervalo de convergˆencia da s´erie de Taylor. Exemplo: f (x) = ex2 cos(2x) ´e igual a sua s´erie de Taylor dentro do intervalo de convergˆencia da s´erie. (N˜ao calcularemos aqui nem a s´erie nem o intervalo.) A s´erie de Taylor de uma fun¸c˜ao ´e uma s´erie de potˆencias. Sempre que uma fun¸c˜ao f for igual a uma s´erie de potˆencias em torno de um ponto x0, esta ser´a exatamente a s´erie de Taylor de f em torno de x0. Neste caso, tamb´em dizemos que f ´e representada pela sua s´erie de Taylor. A s´erie de Taylor de f em torno de x0 = 0 tamb´em ´e chamada de s´erie de Maclaurin de f . Se uma s´erie de potˆencias converge num intervalo I, ent˜ao esta s´erie define uma fun¸c˜ao f em I e dizemos que f ´e representada por esta s´erie de potˆencias em I. Nem sempre esta fun¸c˜ao ´e conhecida (como as trigonom´etricas, exponenciais,...). Assim, existem fun¸c˜oes que s˜ao definidas t˜ao somente pela sua s´erie de potˆencias. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 7 Convergˆencia de s´eries de Taylor Observa¸c˜oes As fun¸c˜oes cl´assicas, como as trigonom´etricas, exponenciais e logar´ıtmicas, s˜ao iguais as suas s´eries de Taylor, nos intervalos em que estas s´eries s˜ao convergentes. Al´em disso, as fun¸c˜oes obtidas a partir destas por meio de opera¸c˜oes alg´ebricas (soma, diferen¸ca, produto, quociente e composi¸c˜ao) tamb´em s˜ao iguais as suas s´eries de Taylor, dentro do intervalo de convergˆencia da s´erie de Taylor. Exemplo: f (x) = ex2 cos(2x) ´e igual a sua s´erie de Taylor dentro do intervalo de convergˆencia da s´erie. (N˜ao calcularemos aqui nem a s´erie nem o intervalo.) A s´erie de Taylor de uma fun¸c˜ao ´e uma s´erie de potˆencias. Sempre que uma fun¸c˜ao f for igual a uma s´erie de potˆencias em torno de um ponto x0, esta ser´a exatamente a s´erie de Taylor de f em torno de x0. Neste caso, tamb´em dizemos que f ´e representada pela sua s´erie de Taylor. A s´erie de Taylor de f em torno de x0 = 0 tamb´em ´e chamada de s´erie de Maclaurin de f . Se uma s´erie de potˆencias converge num intervalo I, ent˜ao esta s´erie define uma fun¸c˜ao f em I e dizemos que f ´e representada por esta s´erie de potˆencias em I. Nem sempre esta fun¸c˜ao ´e conhecida (como as trigonom´etricas, exponenciais,...). Assim, existem fun¸c˜oes que s˜ao definidas t˜ao somente pela sua s´erie de potˆencias. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 7 T´ecnicas para calcular s´eries de Taylor T´ecnicas para calcular s´eries de Taylor Em muitos casos, pode ser complicado obter a s´erie de Taylor (ou Maclaurin) de uma fun¸c˜ao f pela forma tradicional, j´a que para isso ´e necess´ario calcular as derivadas de ordem n de f . Imagine, por exemplo, calcular as derivadas de ordem n de f (x) = x2ex2 para se obter a sua s´erie de Maclaurin. Felizmente, existem t´ecnicas que possibilitam achar a s´erie de Taylor de uma forma mais simples: • substitui¸c˜ao em s´eries • deriva¸c˜ao de s´eries • integra¸c˜ao de s´eries • opera¸c˜oes alg´ebricas com s´eries (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 8 T´ecnicas para calcular s´eries de Taylor T´ecnicas para calcular s´eries de Taylor Em muitos casos, pode ser complicado obter a s´erie de Taylor (ou Maclaurin) de uma fun¸c˜ao f pela forma tradicional, j´a que para isso ´e necess´ario calcular as derivadas de ordem n de f . Imagine, por exemplo, calcular as derivadas de ordem n de f (x) = x2ex2 para se obter a sua s´erie de Maclaurin. Felizmente, existem t´ecnicas que possibilitam achar a s´erie de Taylor de uma forma mais simples: • substitui¸c˜ao em s´eries • deriva¸c˜ao de s´eries • integra¸c˜ao de s´eries • opera¸c˜oes alg´ebricas com s´eries (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 8 T´ecnicas para calcular s´eries de Taylor T´ecnicas para calcular s´eries de Taylor Em muitos casos, pode ser complicado obter a s´erie de Taylor (ou Maclaurin) de uma fun¸c˜ao f pela forma tradicional, j´a que para isso ´e necess´ario calcular as derivadas de ordem n de f . Imagine, por exemplo, calcular as derivadas de ordem n de f (x) = x2ex2 para se obter a sua s´erie de Maclaurin. Felizmente, existem t´ecnicas que possibilitam achar a s´erie de Taylor de uma forma mais simples: • substitui¸c˜ao em s´eries • deriva¸c˜ao de s´eries • integra¸c˜ao de s´eries • opera¸c˜oes alg´ebricas com s´eries (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 8 T´ecnicas para calcular s´eries de Taylor T´ecnicas para calcular s´eries de Taylor Em muitos casos, pode ser complicado obter a s´erie de Taylor (ou Maclaurin) de uma fun¸c˜ao f pela forma tradicional, j´a que para isso ´e necess´ario calcular as derivadas de ordem n de f . Imagine, por exemplo, calcular as derivadas de ordem n de f (x) = x2ex2 para se obter a sua s´erie de Maclaurin. Felizmente, existem t´ecnicas que possibilitam achar a s´erie de Taylor de uma forma mais simples: • substitui¸c˜ao em s´eries • deriva¸c˜ao de s´eries • integra¸c˜ao de s´eries • opera¸c˜oes alg´ebricas com s´eries (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 8 T´ecnicas para calcular s´eries de Taylor T´ecnicas para calcular s´eries de Taylor Em muitos casos, pode ser complicado obter a s´erie de Taylor (ou Maclaurin) de uma fun¸c˜ao f pela forma tradicional, j´a que para isso ´e necess´ario calcular as derivadas de ordem n de f . Imagine, por exemplo, calcular as derivadas de ordem n de f (x) = x2ex2 para se obter a sua s´erie de Maclaurin. Felizmente, existem t´ecnicas que possibilitam achar a s´erie de Taylor de uma forma mais simples: • substitui¸c˜ao em s´eries • deriva¸c˜ao de s´eries • integra¸c˜ao de s´eries • opera¸c˜oes alg´ebricas com s´eries (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 8 T´ecnicas para calcular s´eries de Taylor T´ecnicas para calcular s´eries de Taylor Em muitos casos, pode ser complicado obter a s´erie de Taylor (ou Maclaurin) de uma fun¸c˜ao f pela forma tradicional, j´a que para isso ´e necess´ario calcular as derivadas de ordem n de f . Imagine, por exemplo, calcular as derivadas de ordem n de f (x) = x2ex2 para se obter a sua s´erie de Maclaurin. Felizmente, existem t´ecnicas que possibilitam achar a s´erie de Taylor de uma forma mais simples: • substitui¸c˜ao em s´eries • deriva¸c˜ao de s´eries • integra¸c˜ao de s´eries • opera¸c˜oes alg´ebricas com s´eries (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 8 T´ecnicas para calcular s´eries de Taylor T´ecnicas para calcular s´eries de Taylor Em muitos casos, pode ser complicado obter a s´erie de Taylor (ou Maclaurin) de uma fun¸c˜ao f pela forma tradicional, j´a que para isso ´e necess´ario calcular as derivadas de ordem n de f . Imagine, por exemplo, calcular as derivadas de ordem n de f (x) = x2ex2 para se obter a sua s´erie de Maclaurin. Felizmente, existem t´ecnicas que possibilitam achar a s´erie de Taylor de uma forma mais simples: • substitui¸c˜ao em s´eries • deriva¸c˜ao de s´eries • integra¸c˜ao de s´eries • opera¸c˜oes alg´ebricas com s´eries (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 8 Substituicdo em séries . ye . 2 . A . Exemplo 1: Determine a série de Maclaurin de f(x) = e-~ eo seu intervalo de convergéncia. o> «a E> <B> EB OAC (UFRGS) Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 9 Substituicdo em séries . ye . 2 . na . Exemplo 1: Determine a série de Maclaurin de f(x) = e-~ eo seu intervalo de convergéncia. Solu¢do: Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da funcdo e” é co y lk v= y py para ye (—oo, +00). k=0 (Note que usamos a letra y ao invés de x. Isto é possivel, pois o nome da variavel é irrelevante, importando apenas a maneira como a formula é expressa em termos da variavel.) o @ = = =z ac (UFRGS) Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 9 Substituicdo em séries . sot . — 2 . n . Exemplo 1: Determine a série de Maclaurin de f(x) =e *~ eo seu intervalo de convergéncia. Solu¢do: Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da funcdo e” é co y lk v= y ZY para ye (—oco, +00). k=0 (Note que usamos a letra y ao invés de x. Isto é possivel, pois o nome da variavel é irrelevante, importando apenas a maneira como a férmula é expressa em termos da variavel.) Fazendo y = —x? e substituindo nos 2 lados da igualdade, temos co —x? 1 2y)k 2 e* = > pt ) para — x° € (—oo, +00). k=0 (UFRGS) Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 9 Substituicdo em séries . ye . — 2 . n . Exemplo 1: Determine a série de Maclaurin de f(x) =e *~ eo seu intervalo de convergéncia. Solu¢do: Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da funcdo e” é co y lk v= y ZY para ye (—oco, +00). k=0 (Note que usamos a letra y ao invés de x. Isto é possivel, pois o nome da variavel é irrelevante, importando apenas a maneira como a férmula é expressa em termos da variavel.) Fazendo y = —x? e substituindo nos 2 lados da igualdade, temos co co x2 1 1 e* = > mtx)" = » prey para — x? € (—00, +00). k=0 k=0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 9 Substituicdo em séries . ye . — 2 . n . Exemplo 1: Determine a série de Maclaurin de f(x) =e *~ eo seu intervalo de convergéncia. Solu¢do: Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da funcdo e” é <1 y_ k e = a para y € (—oo, +00). k=0 (Note que usamos a letra y ao invés de x. Isto é possivel, pois o nome da variavel é irrelevante, importando apenas a maneira como a férmula é expressa em termos da variavel.) Fazendo y = —x? e substituindo nos 2 lados da igualdade, temos 2 wl 1 1 —x' 2\k 2)\k k 2k 2 e = gl ) = gli ) = val) x“ para —x* € (—o0, +00). k=0 k=0 k=0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 9 Substituicdo em séries . ye . — 2 . n . Exemplo 1: Determine a série de Maclaurin de f(x) =e *~ eo seu intervalo de convergéncia. Solu¢do: Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da funcdo e” é <1 y_ k e = a para y € (—oo, +00). k=0 (Note que usamos a letra y ao invés de x. Isto é possivel, pois o nome da variavel é irrelevante, importando apenas a maneira como a férmula é expressa em termos da variavel.) Fazendo y = —x? e substituindo nos 2 lados da igualdade, temos 2 wl 1 1 =x 2\k 2k k 2k 2 e = gl ) = gli ) = val) x“ para —x* € (—o0, +00). k=0 k=0 k=0 . soe . _— 2 Z (Note que —x? € (—oo, +00) vale para todo x € (—00, +00).) Assim, a série de Maclaurin de f(x) =e"* é oo k —1 Ss; (ya para x € (—oo, +00). k=0 , Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 9 Substituicao em séries - continuacao x4 Exemplo 2: Determine a série de Maclaurin de f(x) = Tome &° seu intervalo de convergéncia. ==“ — 4x o> «a = = = ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 10 Substituicao em séries - continuacao x4 Exemplo 2: Determine a série de Maclaurin de f(x) = Tome &° seu intervalo de convergéncia. aap) « — 4x ~ . ye . Le . ~ 1 . Solugdo: Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da fun¢cdo T-y é 1 sk Toy =S\y para ly| <1. XY 40 o @ = = = ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 10 Substituicao em séries - continuacao x4 Exemplo 2: Determine a série de Maclaurin de f(x) = Tome &° seu intervalo de convergéncia. aap) « — 4x ~ . ye . Le . ~ 1 , Solugdo: Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da fun¢cdo T-y é 1 sk Toy =S\y para ly| <1. XY 40 Substituindo y por 4x’, temos a S7(4x)! para |4x7| <1 1 — 4x? , k=0 o @ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 10 Substituicao em séries - continuacao x4 Exemplo 2: Determine a série de Maclaurin de f(x) = Tome &° seu intervalo de convergéncia. aap) « — 4x ~ . ye . Le . ~ 1 , Solugdo: Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da fun¢cdo T-y é a =S>y! para |y|<1 l-y , k=0 Substituindo y por 4x’, temos a S7(4x)! = 574k)! para |4x7| <1 1 — 4x? , k=0 k=0 o @ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 10 Substituicao em séries - continuacao x4 Exemplo 2: Determine a série de Maclaurin de f(x) = Tome &° seu intervalo de convergéncia. aap) « — 4x ~ . ye . Le . ~ 1 , Solugdo: Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da fun¢cdo T-y é += Sty para |y|<1 l-y , k=0 Substituindo y por 4x’, temos to S7(4x)! = 574k)! = Sr abet para |4x?| <1 1 — 4x? , k=0 k=0 k=0 o @ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 10 Substituicao em séries - continuacao x4 Exemplo 2: Determine a série de Maclaurin de f(x) = Tome &° seu intervalo de convergéncia. aap) « — 4x ~ . ye . Le . ~ 1 , Solugdo: Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da fun¢cdo T-y é 1 sk I-y =S\y para ly| <1. k=0 Substituindo y por 4x’, temos a S7(4x)! = 574k)! = Sr abet para |4x7| <1 1 — 4x? , k=0 k=0 k=0 Note que Je] < Lei] < bel <fi=he-$<x< 5. o @ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 10 Substituicao em séries - continuacao x4 Exemplo 2: Determine a série de Maclaurin de f(x) = Tome &° seu intervalo de convergéncia. —— — 4x ~ . ye . Le . ~ 1 , Solugdo: Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da fun¢cdo T-y é a =S>y! para |y|<1 l-y , k=0 Substituindo y por 4x’, temos to S7(4x)! = 574k)! = Sr abet para |4x?| <1 1 — 4x? , k=0 k=0 k=0 Note que |4x?| < 1 |x?| < | © |x| < Vizte-} < x < . Assim 1 gk 2k 1 1 ——_ = 4°x ara — >< x< oc. 1— 4x2 » P 2 2 o @ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 10 Substituicao em séries - continuacao Multiplicando esta igualdade por x*, temos 1 - 1 1 4 4 k 2k x —— =x 4°x ara — 7 SX <5. 1 — 4x2 » P 2 2 k=0 o> «a = = = ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 11 Substituicao em séries - continuacao Multiplicando esta igualdade por x*, temos 4 4 k 2k 4 yk 2k hk 2k+4 x ——> =x ax = x 4x = 4°x ara — 7 SX <5. pope =D ye » P 5 5 k=0 k=0 k=0 oO @ = = = ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 11 Substituicao em séries - continuacao Multiplicando esta igualdade por x*, temos 4 4 k 2k 4 yk 2k k 2k+4 x —— =x 4x7 = x 4x = 4°x ara — 7 << xX< oz. oe =D » » P : 5 k=0 k=0 k=0 (O produto de uma série com uma poténcia ndo altera o seu intervalo de convergéncia.) x4 Logo, a série de Maclaurin de f(x) = ———~ é 6 () = Ta co k 2k+4 1 1 4°x ara —- 7 <xX< oc. » P 5 5 k=0 o @ = = = ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 11 Substituicao em séries - continuacao Multiplicando esta igualdade por x*, temos 4 4 k 2k 4 yk 2k k 2k+4 x —— =x 4x7 = x 4x = 4°x ara — 7 << xX< oz. oe =D » » P ; 5 k=0 k=0 k=0 (O produto de uma série com uma poténcia ndo altera o seu intervalo de convergéncia.) x4 Logo, a série de Maclaurin de f(x) = ———~ é 6 () = Ta co k 2k+4 1 1 4°x ara —-~<x< cz. » P 5 5 k=0 Ou seja, 4 co x k 2k+4 1 1 —_ = 4°x ara —7<xX< oc. [nae 7 P 2 2 k=0 o @ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 11 Observac6es sobre a substituicao em séries O método da subsituic¢do é bom de ser usado quando f é uma fungées da forma f(x) = bx g(ax"), onde a,b ER, n,m€ {0,1,2,3,...} e g(y) tem uma série de Maclaurin que converge num intervalo /: co k gly) => cy para yel. k=0 oy «gi = = = ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 12 Observac6es sobre a substituicao em séries O método da subsituic¢do é bom de ser usado quando f é uma fungées da forma f(x) = bx g(ax"), onde a,b ER, n,m€ {0,1,2,3,...} e g(y) tem uma série de Maclaurin que converge num intervalo /: co k gs(y)= Soc para yel. k=0 Neste caso, basta substituir y por ax” na série de Maclaurin de y e multiplicar esta série por bx™: co co f(x) = bx™g(ax") = bx” S> cx(ax")k = S> beak x™*™ para ax” E. k=0 k=0 (N&o tente decorar esta formula. O importante é saber usar o método.) Oo «@ = = = Hac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 12 Derivacao de uma série de poténcias termo a termo Teorema 1 Seja f uma funcdo que é igual a uma série de poténcias em torno de xo num intervalo (xo — R, xo + R), R > 0: co f(x) = So cx(x —xo) para x € (xo — R,x0 + R). k=0 Entdo f é derivdvel neste intervalo e a sua derivada pode ser calculada derivando a série termo a termo: co d co 1 _ aoa _ ko _ k-1 _ f(x) = SS cy k(x xo)" = Sok a(x xo) para x € (xo — R,x0 + R). k=0 k=0 Além disso, os raios de convergéncia das séries de poténcias de f e f’ em torno de xo sao iguais. Oo «@ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 13 Derivacao de uma série de poténcias termo a termo Teorema 1 Seja f uma funcdo que é igual a uma série de poténcias em torno de xo num intervalo (xo — R, xo + R), R > 0: co k f(x) = So cx(x — xo)" para x € (xo — R, xo + R). k=0 Entdo f é derivdvel neste intervalo e a sua derivada pode ser calculada derivando a série termo a termo: co d co 1 _ aoa _ ko _ k-1 _ f(x) = SS cy k(x xo)" = Sok a(x xo) para x € (xo — R,x0 + R). k=0 k=0 Além disso, os raios de convergéncia das séries de poténcias de f e f’ em torno de xo sao iguais. Observacao: Se a série de poténcias de f convergir num dos extremos xo — R ou xo + R, a série de poténcias de f’ poderd convergir ou NAO neste extremo. O teorema no garante convergéncia da série de f’ nos extremos do intervalo de convergéncia. Isto vai depender de f. o> «a = = = ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 13 Exemplo de derivacao de uma série de poténcias termo a termo Exemplo 3: A funcgdo de Bessel Jo aparece em importantes aplicacdes fisicas, resolvendo certas equacdes diferenciais. Sabendo-se que a série de Maclaurin de Jo é > _(=1)' _ — 2k Jo(x) = S> DE(KIPE para x € (—oo, +00), k=0 ache a série de Maclaurin da derivada de Jp e o seu intervalo de convergéncia. a @ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 14 Exemplo de derivacao de uma série de poténcias termo a termo Exemplo 3: A fun¢ao de Bessel Jo aparece em importantes aplica¢des fisicas, resolvendo certas equa¢des diferenciais. Sabendo-se que a série de Maclaurin de Jo é > _(=1)' _ = 2k Jo(x) = S> Bk KI para x € (—oo, +00), k=0 ache a série de Maclaurin da derivada de Jp e 0 seu intervalo de convergéncia. Solug4o: Pelo Teorema 1, Jo é derivavel em (—oo, +00) e a série de Maclaurin de Jg converge em (—0o, +00). Além disso, a série de Jo pode ser obtida derivando a série de Jo termo a termo (“podemos passar a derivada para dentro do somatério” ): Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 14 Exemplo de derivacao de uma série de poténcias termo a termo Exemplo 3: A fun¢ao de Bessel Jo aparece em importantes aplica¢des fisicas, resolvendo certas equa¢des diferenciais. Sabendo-se que a série de Maclaurin de Jo é > _(=1)' = 2k Jo(x) = S> Dok Re para x € (—oo, +00), k=0 ache a série de Maclaurin da derivada de Jp e 0 seu intervalo de convergéncia. Solug4o: Pelo Teorema 1, Jo é derivavel em (—oo, +00) e a série de Maclaurin de Jg converge em (—0o, +00). Além disso, a série de Jo pode ser obtida derivando a série de Jo termo a termo (“podemos passar a derivada para dentro do somatério” ): dS (-1)8 oe (DS d J(x) = — soo xX = = — x (x) = Gy » 22k (k!)? » 22k(k!)? dx Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 14 Exemplo de derivacao de uma série de poténcias termo a termo Exemplo 3: A fun¢ao de Bessel Jo aparece em importantes aplica¢des fisicas, resolvendo certas equa¢des diferenciais. Sabendo-se que a série de Maclaurin de Jo é Jolx) = > LD € (—00, +00) o(x) = DOR KI pe para x co, +00), k=0 ache a série de Maclaurin da derivada de Jp e 0 seu intervalo de convergéncia. Solug4o: Pelo Teorema 1, Jo é derivavel em (—oo, +00) e a série de Maclaurin de Jg converge em (—0o, +00). Além disso, a série de Jo pode ser obtida derivando a série de Jo termo a termo (“podemos passar a derivada para dentro do somatério” ): d ws (-1)) oe QR ED doe SR _(- 0)" aka (1 rey — 9 _ OG 2k _ Jo(x) = dx » 22k(k!)2 * = » 22k (k!)2 a » 22k (k!)2 (2k)x = » 22k-1(k1)2* k=0 k=0 k=0 k=0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 14 Exemplo de derivacao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Lembremos que k! = k(k —1)(k — 2)-....1=(k—1)!k. o> «a Sr «Er Nae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 15 Exemplo de derivacao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Lembremos que k! = k(k — 1)(k — 2)-....1=(k—1)!k. Logo - —1)‘k k-1 (—1)‘k 2k-1 J(x) = 30 ae =) ae ee” — 2 (k!)(k!) — 2 (k — 1)! k(k!) o> «a E> <B> EB OAC Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 15 Exemplo de derivacao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Lembremos que k! = k(k — 1)(k — 2)-....1=(k—1)!k. Logo — —1'k ox (—1)*k 2k-1 (-1)' 2k-1 Jo(x) = »~ _ x= »~ 2k—1 x= » 2k—1 x 22k 1(kI)(K!) 22k Tk — 1)Ek(k!) 2k Tk — 1)1(k!) o> <« => «er EB Nae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 15 Exemplo de derivacao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Lembremos que k! = k(k — 1)(k — 2)-....1=(k—1)!k. Logo — -1)'k xa (—1)‘k 2k-1 (-1)* 2k—1 Jo(x) = »— a x = »— 2k-1 x = »— 2k-1 x — 2 (k!)(k!) — 2 (k — 1)! k(k!) — 2 (k — 1)!(k!) Portanto, como ja tinhamos observado que a série de Jj converge em (—oo, +00), temos Jo(x) = > — (=I) ans para x € (—oo, +00). = 22k-1(k — 1)!(k!) , Oo «@ = = = Hac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 15 Integracao de uma série de poténcias termo a termo Teorema 2 Seja f uma fun¢&o que é igual a uma série de poténcias em torno de xo num intervalo (xo — R,xo + R), R > 0: f(x) = So cx(x —xo)* para x € (x —R,x0 +R). k=0 (a) Entdo a primitiva ou antiderivada de f pode ser calculada integrando a série termo a termo: oo oo k+1 Ce (xX — X [fe= C4 [ cxlx 20) a = c+ se para x €(x% —R,x0 +R), k=0 k=0 onde C ER. Além disso, os raios de convergéncia das séries de poténcias de f e / f(x)dx em xo sao iguais. (b) Se a, b € (x) — R,xX0 + R) ea < b, entdo f é integrdvel em [a, b] e b pb / f(x) dx = ~/ cx(x — xo)* dx. a k=0 a Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 16 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo Exemplo 4: Use a integracdo de série de poténcias para achar a série de Maclaurin de f(x) = arctan(x). o> «a E> <B> EB OAC Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 17 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo Exemplo 4: Use a integracdo de série de poténcias para achar a série de Maclaurin de f(x) = arctan(x). Solu¢ao: Lembremos que 1 —.~ dx =arctanx+D, onde D é uma constante. 1+ x2 o> «a E> <B> EB OAC Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 17 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo Exemplo 4: Use a integracdo de série de poténcias para achar a série de Maclaurin de f(x) = arctan(x). Solugdo: Lembremos que / = dx = arctanx+D, onde D é uma constante. Logo, para achar a série de Maclaurin de arctan(x), basta calcular a série de Maclaurin de fra + x?) dx. o> <« = => = a0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 17 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo Exemplo 4: Use a integracdo de série de poténcias para achar a série de Maclaurin de f(x) = arctan(x). Solugdo: Lembremos que / = dx = arctanx+D, onde D é uma constante. Logo, para achar a série de Maclaurin de arctan(x), basta calcular a série de Maclaurin de fra + x?) dx. Calcular a série de Maclaurin de 1/(1 + x”). (Faremos uma substituicdo.) o> <« => «er EB Nae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 17 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo Exemplo 4: Use a integracdo de série de poténcias para achar a série de Maclaurin de f(x) = arctan(x). Solugdo: Lembremos que 1 —, dx = arctanx+D, onde Dé uma constante. 1+ x2 Logo, para achar a série de Maclaurin de arctan(x), basta calcular a série de Maclaurin de fra + x?) dx. Calcular a série de Maclaurin de 1/(1 + x”). (Faremos uma substituicdo.) Lembremos que ——_ sty para |y| <1 l-y ‘ k=0 o> <« = => = a0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 17 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo Exemplo 4: Use a integracdo de série de poténcias para achar a série de Maclaurin de f(x) = arctan(x). Solugdo: Lembremos que 1 —, dx =arctanx+D, onde D é uma constante. 1+ x2 Logo, para achar a série de Maclaurin de arctan(x), basta calcular a série de Maclaurin de fra + x?) dx. Calcular a série de Maclaurin de 1/(1 + x”). (Faremos uma substituicdo.) Lembremos que 1 SS, ——_ = ara <1. iy Soy* para |y| k=0 Substituindo y por —x*, temos 1 << 2\k 2 ——— = —x ara |—x | <1. 1 (—x?) s-( ) Pp | | k=0 o> <« = => = a0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 17 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo Exemplo 4: Use a integracao de série de poténcias para achar a série de Maclaurin de f(x) = arctan(x). Solu¢ao: Lembremos que 1 —~ dx =arctanx + D, onde Dé uma constante. 1+ x? Logo, para achar a série de Maclaurin de arctan(x), basta calcular a série de Maclaurin de [ua + x*) dx. Calcular a série de Maclaurin de 1/(1 +x”). (Faremos uma substituicdo.) Lembremos que 1 co —_ = Soy para |y| <1. t-y Substituindo y por —x?, temos — + s(-2) = 7-1 para |—x| <1. 1 — (—x?) k=0 k=0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 17 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Note que | — x*| <1 |x?| <1 |x|? <1 |x| <1. Isto 6, a série converge apenas para |x| <1, ou seja, para x € (—1,1). o> «a => «=> BE Nae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 18 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Note que | — x*| <1 |x?| <1 |x|? <1 |x| <1. Isto 6, a série converge apenas para |x| <1, ou seja, para x € (—1,1). Portanto, 1 << 1)kx2k 11 Toe = x para x € (—1,1). k=0 o> «a => «=> BE Nae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 18 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Note que | — x*| <1 |x?| <1 |x|? <1 |x| <1. Isto 6, a série converge apenas para |x| <1, ou seja, para x € (—1,1). Portanto, 1 co k 2k Tae So(-1) x“ para x € (—1,1). k=0 Calcular a série de fra +x’) dx e de arctan(x). o> «a => «=> BE Nae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 18 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Note que | — x*| <1 |x?| <1 |x|? <1 |x| <1. Isto 6, a série converge apenas para |x| <1, ou seja, para x € (—1,1). Portanto, 1 co k 2k Tae So(-1) x“ para x € (—1,1). k=0 Calcular a série de fra + x*) dx e de arctan(x). Pelo teorema anterior, basta integrar a série de 1/(1 + x”) termo a termo: 1 co — dx =C —1)'x**dx = ara x € (—1,1). [apenacrL [on para. x € (—1,1) o> «8 => «Er B Nae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 18 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Note que | — x*| <1 |x?| <1 |x|? <1 |x| <1. Isto 6, a série converge apenas para |x| <1, ou seja, para x € (—1,1). Portanto, 1 oo k 2k Tae So(-1) x“ para x € (—1,1). k=0 Calcular a série de fra +x’) dx e de arctan(x). Pelo teorema anterior, basta integrar a série de 1/(1 + x”) termo a termo: 1 oo kk eo (—1)kx?k*# —, dx=C —1)*x"dx = C+ ~———— _ para x e€ (—1,1). [peered fom GR (-1,1) k=0 k=0 o> «8 => «Er B Nae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 18 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Note que | — x*| <1 |x?| <1 |x|? <1 |x| <1. Isto 6, a série converge apenas para |x| <1, ou seja, para x € (—1,1). Portanto, 1 — k 2k Tae So(-1) x“ para x € (—1,1). k=0 Calcular a série de fra + x*) dx e de arctan(x). Pelo teorema anterior, basta integrar a série de 1/(1 + x”) termo a termo: 1 _ — kok (= 1)h x28 Perr [Oo k= C+ a para x € (-1,1). k=0 k=0 Assim, arctan(x) + D = — dx = C+ SS (o1)" ake para x € (-1,1). 14+ x? — 2k +1 , o> «8 => «=> BE Nae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 18 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Logo, SS (=1)" oka arctan(x) = K ———— x ara x €(-1,1 (x) +h oka p (-1,1), onde K = C — D é uma constante. o a = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 19 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Logo, arctan(x) = K + S (1 xl para x € (-—1,1) — 2k +1 au onde K = C — D é uma constante. Para achar o valor de K, vamos fazer x = 0 nesta igualdade, obtendo: (= 1) poet (-12 1, (<1) ,3 =K ~ =K++—— A 0? +... arctan(0) eT +S oO + 3 + Oo «@ = = = Hac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 19 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Logo, arctan(x) = K + S (1) an para x €(-1,1), ‘ae 2k+1 onde K = C — D é uma constante. Para achar o valor de K, vamos fazer x = 0 nesta igualdade, obtendo: (= 1) poet (-12 1, (<1) ,3 tan(0) = K CY pen i CVG CUE arctan(0) +) KT + ASE 0! + G0" + Como arctan(0) = 0 e as parcelas do somatério sao todas nulas, entao concluimos que 0 = arctan(0) = K+) °0= K +0. k=0 Oo «@ = = = Hac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 19 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Logo, arctan(x) = K + S (A ake para x €(-1,1), ‘ae 2k+1 onde K = C — D é uma constante. Para achar o valor de K, vamos fazer x = 0 nesta igualdade, obtendo: (= 1) poet (-12 1, (<1) ,3 =K CoV)" pet =K++—— —— Lees arctan(0) eT +S oO + 3 Ov + Como arctan(0) = 0 e as parcelas do somatério sao todas nulas, entao concluimos que 0 = arctan(0) = K+) °0= K +0. k=0 Assim, K = 0 e, portanto, << (—1)* ceed XX xe xe x! t =\°i = --fy2_-2 4... € (—1,1). arctan(x) 2 K+" 173 + 5 7 + para x €( ) continua ... a @ = = = Nac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 19 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Observacao: Mesmo que a série de poténcias de f em torno de xo nao seja convergente em algum dos extremos do intervalo de convergéncia (xo — R e\ou xo +R), a série de poténcias da sua primitiva PODERA ser convergente em algum destes extremos. Isto vai depender da série e deve ser checado para sabermos se o intervalo de convergéncia contém ou nao algum extremo. o> «4 = = = Hac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 20 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Observacao: Mesmo que a série de poténcias de f em torno de xo nao seja convergente em algum dos extremos do intervalo de convergéncia (xo — R e\ou xo +R), a série de poténcias da sua primitiva PODERA ser convergente em algum destes extremos. Isto vai depender da série e deve ser checado para sabermos se o intervalo de convergéncia contém ou nao algum extremo. Neste exemplo, os extremos do intervalo (—1,1) sto x = le x= -—1. o> «8 = = = a0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 20 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Observagao: Mesmo que a série de poténcias de f em torno de xo nao seja convergente em algum dos extremos do intervalo de convergéncia (xo — R e\ou xo +R), a série de poténcias da sua primitiva PODERA ser convergente em algum destes extremos. Isto vai depender da série e deve ser checado para sabermos se o intervalo de convergéncia contém ou nao algum extremo. Neste exemplo, os extremos do intervalo (—1,1) sto x = le x= -—1. Usando o teste da série alternada, mostraremos que a série de Maclaurin de arctan(x) converge nestes pontos. Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 20 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Observagao: Mesmo que a série de poténcias de f em torno de xo nao seja convergente em algum dos extremos do intervalo de convergéncia (xo — R e\ou xo +R), a série de poténcias da sua primitiva PODERA ser convergente em algum destes extremos. Isto vai depender da série e deve ser checado para sabermos se o intervalo de convergéncia contém ou nao algum extremo. Neste exemplo, os extremos do intervalo (—1,1) sto x = le x= -—1. Usando o teste da série alternada, mostraremos que a série de Maclaurin de arctan(x) converge nestes pontos. Para x = 1, a série fica oe k oe k oe k > (1) en => (=1)" 2k > (—1) = 2k+1 a1 2k+1 Ss 2k+1 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 20 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Observagao: Mesmo que a série de poténcias de f em torno de xo nao seja convergente em algum dos extremos do intervalo de convergéncia (xo — R e\ou xo +R), a série de poténcias da sua primitiva PODERA ser convergente em algum destes extremos. Isto vai depender da série e deve ser checado para sabermos se o intervalo de convergéncia contém ou nao algum extremo. Neste exemplo, os extremos do intervalo (—1,1) sto x = le x= -—1. Usando o teste da série alternada, mostraremos que a série de Maclaurin de arctan(x) converge nestes pontos. Para x = 1, a série fica oe k oo k oe k > (1) en => (=1)" 2k > (—1) = 2k+1 a1 2k+1 — 2k+1 Esta série é alternada, a, = sei é decrescente e vai para 0. Logo, pelo teste da série alternada, a série converge. Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 20 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Observagao: Mesmo que a série de poténcias de f em torno de xo nao seja convergente em algum dos extremos do intervalo de convergéncia (xo — R e\ou xo +R), a série de poténcias da sua primitiva PODERA ser convergente em algum destes extremos. Isto vai depender da série e deve ser checado para sabermos se o intervalo de convergéncia contém ou nao algum extremo. Neste exemplo, os extremos do intervalo (—1,1) sto x = le x= -—1. Usando o teste da série alternada, mostraremos que a série de Maclaurin de arctan(x) converge nestes pontos. Para x = 1, a série fica oe k oo k oe k > (1) en => (=1)" 2k > (—1) = 2k+1 a1 2k+1 — 2k+1 Esta série é alternada, a, = sei é decrescente e vai para 0. Logo, pelo teste da série alternada, a série converge. Analogamente, a série converge para x = —1. Portanto, o intervalo de convergéncia da série é [—1, 1]. Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 20 Exemplo de integracao de uma série de poténcias termo a termo - continuacao Observagao: Mesmo que a série de poténcias de f em torno de xo nao seja convergente em algum dos extremos do intervalo de convergéncia (xo — R e\ou xo +R), a série de poténcias da sua primitiva PODERA ser convergente em algum destes extremos. Isto vai depender da série e deve ser checado para sabermos se o intervalo de convergéncia contém ou nao algum extremo. Neste exemplo, os extremos do intervalo (—1,1) sto x = le x= -—1. Usando o teste da série alternada, mostraremos que a série de Maclaurin de arctan(x) converge nestes pontos. Para x = 1, a série fica oe k oo k oe k > (1) en => (=1)" 2k > (—1) = 2k+1 a1 2k+1 — 2k+1 Esta série é alternada, a, = sei é decrescente e vai para 0. Logo, pelo teste da série alternada, a série converge. Analogamente, a série converge para x = —1. Portanto, o intervalo de convergéncia da série é [—1, 1]. Além disso, como a série converge nos extremos e a fun¢ao arctan(x) é continua neste intervalo, vale o° k 3 5 7 (-1)" on =X = =x x x arctan(x) = ——— x = >-s>+ >-s+... ara x € [—1,1]. ~~) G1 1 3'°5 7 P oe Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 20 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias Lue . —x? t —x? sos soe Exemplo 5: (a) Ache a série de Maclaurin de | e ~ dx e expresse e “~ dx como uma série numérica. 0 (b) Obtenha a soma parcial desta série, com o menor nimero de parcelas, que aproxima esta integral definida com um erro absoluto menor do que 0,005. o @ = = = ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 21 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias Lue . —x? t —x? sos soe Exemplo 5: (a) Ache a série de Maclaurin de | e ~ dx e expresse e “~ dx como uma série numérica. 0 (b) Obtenha a soma parcial desta série, com o menor nimero de parcelas, que aproxima esta integral definida com um erro absoluto menor do que 0,005. ~ a . x2 , Solucdo: (a) No Exemplo 1, mostramos que a série de Maclaurin de e * é —x? ~ (—1)‘ 2k ex — SS “qx para: x € (—0o, +00). k=0 o @ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 21 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias Lue . —x? t —x? sos soe Exemplo 5: (a) Ache a série de Maclaurin de | e ~ dx e expresse e “~ dx como uma série numérica. 0 (b) Obtenha a soma parcial desta série, com o menor nimero de parcelas, que aproxima esta integral definida com um erro absoluto menor do que 0,005. ~ oe . x2 , Solucdo: (a) No Exemplo 1, mostramos que a série de Maclaurin de e * é 2 ee —1 k e* = S (oy para x € (—oo, +00). k=0 , Logo, integrando a série termo a termo, temos 2 = [ (=1) fer dx = cry / yx dx para x € (—oo, +00). k=0 , o a = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 21 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias so . —x? 1 —x2 soe se Exemplo 5: (a) Ache a série de Maclaurin de | e ~ dx e expresse e ~ dx como uma série numérica. 0 tenha a soma parcial desta série, com o menor numero de parcelas, que aproxima esta integral definida b) Obtenh ial d éri rl d | i integral definid com um erro absoluto menor do que 0,005. Solugdo: (a) No Exemplo 1, mostramos que a série de Maclaurin de e* é 2 ee —1 k e* = > (oy para x € (—oo, +00). k=0 , Logo, integrando a série termo a termo, temos 0 k °° k _x2 —1 —1 Je “dx = cry / (OY dx =C+ > aoe para x € (—oo, +00). k=0 , k=0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 21 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias so . —x? 1 —x2 soe se Exemplo 5: (a) Ache a série de Maclaurin de Je dx e expresse / e ~ dx como uma série numérica. 0 (b) Obtenha a soma parcial desta série, com o menor ntiimero de parcelas, que aproxima esta integral definida com um erro absoluto menor do que 0,005. Solugdo: (a) No Exemplo 1, mostramos que a série de Maclaurin de e* é —x? — (-1)' 2k e* = > “qx para xX € (—oo, +00). k=0 Logo, integrando a série termo a termo, temos e*dx=C+ > AY" 2h be =C+ > (= 1)" aki para x € (—oo, +00) k! k\(2k +1) ; . k=0 k=0 Isto é, ic =C+ S (1)! aki para x € (—oo, +00). = k\(2k + 1) , Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 21 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias - continuacao 1 2 Para calcular e ~ dx, podemos usar a primitiva que acabamos de achar: 0 o> «a = = = Hac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 22 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias - continuacao 1 2 Para calcular e ~ dx, podemos usar a primitiva que acabamos de achar: 0 2 | SS (=)! _ (=1)! —x —x’ —x’ 2Qk+1 2Qk+1 Je d= fe dx -fe dx =o a5cm* -Sa x k\(2k +1 kK\(2k +1 0 x=1 x=0 k=0 ( + ) x=1 k=0 ( + ) x=0 o> «a = = = ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 22 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias - continuacao 1 2 Para calcular e ~ dx, podemos usar a primitiva que acabamos de achar: 0 + 2 2 | 2 | (= 1) okt (=D att [evaa [er ax ~ fer ax =\oa5mm*" Sane | | 0 et 0 k\(2k +1) 1 k\(2k + 1) ao = 50 pet gp yn | | = k\(2k +1) = k\(2k +1) a a = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 22 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias - continuacao 1 2 Para calcular e ~ dx, podemos usar a primitiva que acabamos de achar: 0 — 2 2 SS (=1)K okt SS (=1)K okt oP ae= [es - feres =o a5cm* + -Sa x + I x=1 x=0 k=0 k\(2k + 1) x=1 k=0 k\(2k + 1) x=0 = 50 pet gp yn | | = k\(2k +1) = k\(2k +1) Logo 1 2 co (—1)* dx = — se [ ee S k\(2k + 1) o a = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 22 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias - continuacao 1 2 Para calcular e ~ dx, podemos usar a primitiva que acabamos de achar: 0 — 2 2 SS (=1)K okt SS (=1)K okt oP ae= [es - feres =o a5cm* + -Sa x + [ et 0 k\(2k +1) 1 k\(2k + 1) ao = 50 pet gp yn | | = k\(2k +1) = k\(2k +1) Logo 1 2 co (—1)* dx = — se [ ee » ki(2k +1) Ou podemos calcular a integral definida da série termo a termo: 1 2 co 1 (—1)* ok / e &= >> | 7% dx = 0 kao J 0 o @ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 22 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias - continuacao 1 2 Para calcular e ~ dx, podemos usar a primitiva que acabamos de achar: 0 , 2 2 2 - (—1)‘ 2k+1 - (—1)‘ 2k+1 oP ae= [es - feres =o a5cm* + -Sa x + I x=1 x=0 k=0 k\(2k + 1) x=1 k=0 k\(2k + 1) x=0 oo _4)k oo _4)k => tae pi -o= S ak 1 k=0 (2k +1) k=0 (2k +1) Logo 1 2 co (—1)* dx = —~_ [ ee » ki(2k +1) Ou podemos calcular a integral definida da série termo a termo: x=1 1 _2 co 1 (—1)* ok co (—1)* x2ktl [ered | Gta SSP aaa] = k=0 k=0 x=0 o @ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 22 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias - continuacao 1 2 Para calcular e ~ dx, podemos usar a primitiva que acabamos de achar: 0 , 2 2 2 - (—1)‘ 2k+1 - (—1)‘ 2k+1 oP ae= [es - feres =o a5cm* + -Sa x + I x=1 x=0 k=0 k\(2k + 1) x=1 k=0 k\(2k + 1) x=0 (-1)k — (-1)k => Hk : pi ~0=)) ak y 1) k=0 —~ k=0 ~ Logo 1 2 co (—1)* dx = —~_ [ ee » k\(2k +1) Ou podemos calcular a integral definida da série termo a termo: x=1 1 2 co 1 (—1)* ok co (—1)* x2ktl co (—1)* 1 ~* d = —— d: = . = . [fe k= > | aX = a RT Fe kaa k=0 k=0 x=0 k=0 oO @ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 22 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias - continuacao (b) Para resolver o item (b), podemos usar a estimativa do erro para séries alternadas: lerro| = |S — s,| < anit, o> <« => «er EB Nae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 23 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias - continuacao (b) Para resolver o item (b), podemos usar a estimativa do erro para séries alternadas: lerro| = |S — s,| < anit, n k 1 oo k (-1)"_, 2 (-1) onde sn = )) —-—~" __ é a soma parcial, S = e dx => e | | mar k|(2k + 1) 0 = k\(2k +1) 3 _ (-1)""1 _ 1 "Tn tDI2(n+1)41)] (n+ 1)!(2n +3) o> «8 = = = a0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 23 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias - continuacao (b) Para resolver o item (b), podemos usar a estimativa do erro para séries alternadas: lerro| = |S — s,| < any, n k 1 oo k (-1)"_, 2 (-1) onde s, = ———____ 6a soma parcial, S = e-dx= ——_~___ e » k|(2k + 1) 0 » k\(2k +1) 3 _ (-1)""1 _ 1 "Tn tDI2(n+1)41)] (n+ 1)!(2n +3) Logo, basta achar n tal que an41 = TaFIIona3) < a: para se ter | erro| < a: o> «4 = = = a0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 23 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias - continuacao (b) Para resolver o item (b), podemos usar a estimativa do erro para séries alternadas: lerro| = |S — s,| < anit, n k 1 oo k (-1)"_, 2 (=1) onde s, = ———____ 6a soma parcial, S = e-dx= ——_~___ e » k|(2k + 1) 0 » k\(2k +1) 3 _ (-1)""1 _ 1 "Tn tDI2(n+1)41)] (n+ 1)!(2n +3) Logo, basta achar n tal que an41 = —ayasssy < Tey» Para se ter |erro| < 72,. Acharemos n por tentativa: (n¥1)i(2n+3) S 1000 1000 o> «a = = = Hac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 23 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias - continuacao (b) Para resolver o item (b), podemos usar a estimativa do erro para séries alternadas: lerro| = |S — s,| < anit, n k 1 oo k (-1)"_, 2 (=1) onde sn = )) —-—~" __ é a soma parcial, S = e dx => e | | mar k|(2k + 1) 0 = k\(2k +1) 3 _ (-1)""1 _ 1 "Tn tDI2(n+1)41)] (n+ 1)!(2n +3) Logo, basta achar n tal que an41 = —ayasssy < Tey» Para se ter |erro| < 72,. Acharemos n por tentativa: (n¥1)i(2n+3) S 1000 1000 n=1: a= it > ° ~ 7 82°" 315 ~ 10 ~ 1000’ Oo «@ = = = Hac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 23 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias - continuacao (b) Para resolver o item (b), podemos usar a estimativa do erro para séries alternadas: lerro| = |S — s,| < anit, n (—1)* , . 1 2 co (—1)* onde s, = ———____ 6a soma parcial, S = e-dx= ——_~___ e » k|(2k + 1) 0 » k\(2k +1) 3 _ (-1)""1 _ 1 "Tn tDI2(n+1)41)] (n+ 1)!(2n +3) Logo, basta achar n tal que an41 = TaFIIona3) < a: para se ter | erro| < a: Acharemos n por tentativa: n=1:H=-2=-15 n=2:a-+=-15 ~ "915 107 1000. SS BIZ 42 ~~ -«:1000” o @ = 7 = Hac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 23 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias - continuacao p grac p (b) Para resolver o item (b), podemos usar a estimativa do erro para séries alternadas: lerro| = |S — s,| < anit, n (—1)* , . 1 2 co (—1)* onde sn = )) —-—~" __ é a soma parcial, S = e dx => e | | mar k|(2k + 1) 0 = k\(2k +1) 3 _ (-1)""1 _ 1 "Tn tDI2(n+1)41)] (n+ 1)!(2n +3) Logo, basta achar n tal que an41 = TaFIIona3) < a: para se ter | erro| < a: Acharemos n por tentativa: n=1:H=-+-=15 ° n=2: 4-22-15 2. n=3:a4=----t<— ~~" 2°" 915 10~ 10007 ~*~ 3I7,—« 42. «21000 =i C9216 «1000 a a = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 23 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias - continuacao p grac p (b) Para resolver o item (b), podemos usar a estimativa do erro para séries alternadas: lerro| = |S — s,| < anit, —_y_&i, ac fae yr (Dk onde ss = > ak +4) é a soma parcial, S = ; e oe Qk +1) e 3 _ (-1)"*? _ 1 mr \(n+ Di2(n+1)+1)] (n+ 112043)’ Logo, basta achar n tal que an41 = TaFIIona3) < a: para se ter | erro| < a: Acharemos n por tentativa: n=1:H=-+-=15 ° n=2: 4-22-15 2. n=3: 4-221 <2 ~~" 2°" 915 10~ 10007 ~*~ 3I7,—« 42. «21000 =i C9216 «1000 Portanto, com n = 3, a soma parcial correspondente s3 tera um erro menor que 0,005 em valor absoluto: a a = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 23 Outro exemplo de integracao de uma série de poténcias - continuacao p grac p (b) Para resolver o item (b), podemos usar a estimativa do erro para séries alternadas: lerro| = |S — s,| < anit, —_y_&i, ac fae yr (Dk onde ss = > ak +4) é a soma parcial, S = ; e oe Qk +1) e 3 _ (-1)"*? _ 1 mr \(n+ Di2(n+1)+1)] (n+ 112043)’ Logo, basta achar n tal que an41 = TaFIIona3) < a: para se ter | erro| < a: Acharemos n por tentativa: n=1:H=-+-=15 ° n=2: 4-22-15 2. n=3: 4-221 <2 ~~" 2°" 915 10~ 10007 ~*~ 3I7,—« 42. «21000 =i C9216 «1000 Portanto, com n = 3, a soma parcial correspondente s3 tera um erro menor que 0,005 em valor absoluto: 3 k (—1) 1 1. oa = ad ee * » Qk Fi) 37 10 42 a a = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 23 Aplica¸c˜ao Aplica¸c˜ao de s´eries de Taylor no c´alculo de derivadas e de s´eries num´ericas Al´em da sua importˆancia para expressar fun¸c˜oes, as s´erie de Taylor tamb´em podem ser usadas para: 1) calcular derivadas de uma fun¸c˜ao, de uma forma mais simple, em certos pontos; 2) calcular ou achar uma express˜ao num´erica para certas s´eries num´ericas. (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 24 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas Exemplo 6: Calcule as derivadas f')(0) e f'7)(0) da fungdo f(x) = x° sen(3x*). o> <« Sr <Er = NQe Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 25 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas Exemplo 6: Calcule as derivadas f')(0) e f'7)(0) da fungdo f(x) = x° sen(3x*). Solu¢ao: Calcular a série de Taylor de f(x) em x = 0, ja que se deseja calcular derivadas em x = 0. Oo «@ = = = Hac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 25 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas Exemplo 6: Calcule as derivadas f‘’9)(0) e (790) da fungdo f(x) = x° sen(3x*). Solu¢ao: Calcular a série de Taylor de f(x) em x = 0, ja que se deseja calcular derivadas em x = 0. Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da funcdo sen(y) é (1) ots sen(y) => go yaten, = (2k +1)! o> <« = => = 9a0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 25 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas Exemplo 6: Calcule as derivadas f')(0) e f'7)(0) da fungdo f(x) = x° sen(3x*). Solu¢ao: Calcular a série de Taylor de f(x) em x = 0, ja que se deseja calcular derivadas em x = 0. Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da funcdo sen(y) é (=1)K oes sen(y) = > Uy. (2k +1)! Subsituindo y por 3x* nos 2 lados da igualdade, temos — (=1)* 4y2k+1 sen(3x*) = S> L(Y" (3, ) | ms (2k + 1)! Oo «@ = = = Hac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 25 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas Exemplo 6: Calcule as derivadas f‘’9)(0) e (790) da fungdo f(x) = x° sen(3x*). Solu¢ao: Calcular a série de Taylor de f(x) em x = 0, ja que se deseja calcular derivadas em x = 0. Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da funcdo sen(y) é (1) ots sen(y) => go yaten, = (2k +1)! Subsituindo y por 3x* nos 2 lados da igualdade, temos — _(=1)* ay2ktt — WO (= 1) gamer, ay ake sen(3x*) = S> L(Y" (3, ) = SS a B(x") | | S (2k + 1)! S (2k + 1)! o> <« = => = 9a0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 25 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas Exemplo 6: Calcule as derivadas f')(0) e f'7)(0) da fungdo f(x) = x° sen(3x*). Solu¢ao: Calcular a série de Taylor de f(x) em x = 0, ja que se deseja calcular derivadas em x = 0. Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da funcdo sen(y) é (= 1) ok sen(y) = > Uy. (2k +1)! Subsituindo y por 3x* nos 2 lados da igualdade, temos > (=) ayrket — SO (= 1K gata, ayantr — YO (= 143" sea sen(3x*) = S> OU (a xty2t = > CV gama (ayant ys (CUS ahs | | | S (2k + 1)! S (2k + 1)! S (2k + 1)! Oo «@ = = = Hac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 25 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas Exemplo 6: Calcule as derivadas f‘)(0) e f'7°)(0) da fungdo f(x) = x° sen(3x‘). Solucao: Calcular a série de Taylor de f(x) em x = 0, jd que se deseja calcular derivadas em x = 0. Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da fun¢do sen(y) é _ (= 1) okt sen(y) = » (Qk+1I% ° Subsituindo y por 3x* nos 2 lados da igualdade, temos ay SDS g ayn SR (ED got ayanta So (EUS oes sen(3x") =) ep Or) = Lea OV = Lae k=0 k=0 k=0 CO 7 4) k g2k-+1 Ou seja, sen(3x*) = > Grape k=0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 25 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas Exemplo 6: Calcule as derivadas f‘)(0) e f'7°)(0) da fungdo f(x) = x° sen(3x‘). Solucao: Calcular a série de Taylor de f(x) em x = 0, jd que se deseja calcular derivadas em x = 0. Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da fun¢do sen(y) é _ (= 1) okt sen(y) = » (Qk+1I% ° Subsituindo y por 3x* nos 2 lados da igualdade, temos ay SDS g ayn SR (ED got ayanta So (EUS oes sen(3x') = og i OX = Loe age = Le aegayr k=0 k=0 k=0 Ou seja, sen(3x*) = > (ait ake Multiplicando esta igualdade por x°, temos ‘ = (2k + 1)! ‘ ‘ Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 25 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas Exemplo 6: Calcule as derivadas f‘)(0) e f'7°)(0) da fungdo f(x) = x° sen(3x‘). Solucao: Calcular a série de Taylor de f(x) em x = 0, jd que se deseja calcular derivadas em x = 0. Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que a série de Maclaurin da fun¢do sen(y) é _ (= 1) okt sen(y) = » (Qk+1I% ° Subsituindo y por 3x* nos 2 lados da igualdade, temos ay SDS g ayn SR (ED got ayanta So (EUS oes sen(3x") =) ep Or) = Lea OV = Lae k=0 k=0 k=0 Ou seja, sen(3x*) = > (ait ake Multiplicando esta igualdade por x°, temos ‘ = (2k + 1)! ‘ ‘ 5 4 8 co (—1)'32k+1 Bk+a oo (—1)*3?4*# 5 Bkia x? sen(3x") = x DS GDI = Gap” * . k=0 k=0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 25 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - continua¢gao i 5 4 — (=1)'3* 8k+9 . . Assim, f(x) = x? sen(3x") = » ‘Qkeb* . (Série de Maclaurin para f(x).) o> «a Sr «Er Nae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 26 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - continua¢gao i 5 4 — (=1)'3* 8k+9 . . Assim, f(x) = x? sen(3x") = » ‘Qkeb* . (Série de Maclaurin para f(x).) Calcular f‘9)(0). o> <« E> <B> EB OAC Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 26 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - continua¢gao 5 4 — (—1)'37" 8k+9 . . Assim, f(x) = x° sen(3x") = SS ‘Qkeb* . (Série de Maclaurin para f(x).) k=0 , Calcular f‘9)(0). . £0), ~ Como a série de Maclaurin de f(x) é da forma S> a entado n=0 . co f")(0) co (—1)*32+1 Bk+9 So PO) on = Fy = 9 CUS oe8 | | << ol = (2k + 1)! o> <« => «er EB Nae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 26 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - continua¢gao i 5 4 — (—1)*3°*# 8k+9 ce . Assim, f(x) = x° sen(3x") = SS ‘Qkeb* . (Série de Maclaurin para f(x).) k=0 , Calcular f‘9)(0). £0 ~ Como a série de Maclaurin de f(x) é da forma S> PO, entado n=0 . co f")(0) ; co (—1)*32+1 ekx9 SO) 5 = Foxy = SS st, | | << ol = (2k + 1)! Para que as séries de poténcias sejam iguais, os coeficientes de uma mesma poténcia devem ser iguais: F‘”)(0) (=1)'3°* ax ” = = k . nl x (2k + 1)! x quando n=8k+9 o> <g = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 26 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - continua¢gao 5 4 — (—1)*3°A*1 8k+9 . . Assim, f(x) = x° sen(3x") = » ‘Qkeb* . (Série de Maclaurin para f(x).) Calcular f‘9)(0). £0 Como a série de Maclaurin de f(x) é da forma S> PO, entdo n=0 . oe f")(0) a (—1)*3**! aay —* x" = F(x) = A >=X yi > ksi) Para que as séries de poténcias sejam iguais, os coeficientes de uma mesma poténcia devem ser iguais: FO) on _ (=1)k3** su Ta = “(2k +1)! * quando n= 8k + 9. Em particular, para n = 73, FOO) 73 (1) xo = 73 = 8k +9. 731 x (2k +1) x quando + Oo «@ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 26 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - continua¢gao Resolvendo 73 = 8k + 9, temos k = 3=2 =8. oy «gi - = = ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 27 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - continua¢gao Resolvendo 73 = 8k + 9, temos k = B-8 = 8. Logo f(0) 73 _ (—1)*3?k+1 ake9 _ 73! ~ (2k+1)! — k=8 o> «a = = = ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 27 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - continua¢gao Resolvendo 73 = 8k + 9, temos k = B-8 = 8. Logo FQ) 73 _ (=1)13% gu 40 _ (=1)°3°*" sag _ 317 es 73! (2k +1)! i, (28+)! (17) o> «8 => <B> = OAC Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 27 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - continua¢gao Resolvendo 73 = 8k + 9, temos k = B-8 = 8. Logo F)(0) 73 _ (=1)'9"™ seis _ (=1)°3°"* 5.840 _ 317 a 73! (2k + 1)! hoe (2.8 + 1)! (17) Entao, f(73)(Q) 317 73! (17)! o> «8 = = = a0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 27 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - continua¢gao Resolvendo 73 = 8k + 9, temos k = B-8 = 8. Logo F)(0) 73 _ (=1)'9"™ seis _ (=1)°3°"* 5.840 _ 317 a 73! (2k + 1)! a (2.8 + 1)! (17) Entao, f(73)(Q) _ 317 . #(79)(9) _ (73)!3"" 73! (17)! (17)! Calcular f‘7°)(0). o> «8 = = = a0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 27 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - continua¢gao Resolvendo 73 = 8k + 9, temos k = B-8 = 8. Logo f(0) 73 _ (—1)*37*44 akt9 _ (=1)°3°8"" sats _ 3i7 2 73! ~ (2k+1)! a (2.841)! (17) Entao, (73) WwW 1317 f)(0) _ 3 - F(73)(Q) _ (73)!3 73! (17)! (17)! Calcular f°) (0). Pelo mesmo argumento usado anteriormente, basta resolver F%)(0) 75 (—1)*37** gyro a 76 = 8k 4+ 9. 6 x (2k +1)! x quando 76 + (Alias, esta é a forma padrao para resolver este tipo de problema.) o> «a = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 27 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - continua¢gao Resolvendo 76 = 8k + 9, temos k = e=8 = g. a a = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 28 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - continua¢gao Resolvendo 76 = 8k + 9, temos k = e=8 = g. 67 ee eee ye (=1)'3"* aka 76 : Como } nao é um inteiro, isto significa que na série » “Qk+ 1h * nado aparece a poténcia x", pois cada parcela esta associada a um numero k inteiro. a @ = = = Nac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 28 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - continua¢gao Resolvendo 76 = 8k + 9, temos k = e=8 = g. oe (—1)'32k+1 Como st nao é um inteiro, isto significa que na série Ss; ‘@kipr* n3o aparece a poténcia x”, pois k=0 , cada parcela esta associada a um numero k inteiro. Isto € 0 mesmo que dizer que o coeficiente de x” nesta série é zero: F790 ( ) 76 —~9. 76 76! oO @ = = = ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 28 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - continua¢gao Resolvendo 76 = 8k + 9, temos k = e=8 = g. co (—1)'32k+1 Bki9 Como st nao é um inteiro, isto significa que na série Ss; A ~ __ ®*+9 30 aparece a poténcia x”, pois = (2k + 1)! cada parcela esta associada a um numero k inteiro. Isto € 0 mesmo que dizer que o coeficiente de x” nesta série é zero: F790 Pr (0) ) 7 <9. x => | Fo) =0 76! oO @ = = = ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 28 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - continua¢gao Resolvendo 76 = 8k + 9, temos k = e=8 = g. co (—1)'32k+1 Bki9 Como st nao é um inteiro, isto significa que na série Ss; A ~ __ ®*+9 30 aparece a poténcia x”, pois = (2k + 1)! cada parcela esta associada a um numero k inteiro. Isto 6 o mesmo que dizer que o coeficiente de x”° nesta série é zero: F)(0) 76 76 76 76! (9) Observacao: Generalizando, o procedimento padrao para calcular f(")(a) de uma série de poténcias co mk+é So cmk+e(x — a) , onde m,é€ {0,1,2,3,...} k=0 . Fa) dn mise _ - consiste em usar a — a)" = Cme+e(x — a) , achando, primeiro, o k que resolve n = mk + £. Se nao existir um k inteiro que satisfaca igualdade, entao f‘")(a) = 0. - - =15a0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 28 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - outro exemplo —— (=1)*2* Bk+7 (43) (48) Exemplo 7: Seja f(x) = SS rx —5)y""". Calcule f)(5) e FY(5). k=0 : o> <« Sr <Er = NQe Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 29 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - outro exemplo . <> (=1)2* 3k+7 (43) (48) Exemplo 7: Seja f(x) = SS rx —5)y""". Calcule f)(5) e FY(5). k=0 , Solugao: | Cdlculo de f““9)(5): o> <« => «er EB Nae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 29 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - outro exemplo . Sei ye ye" 3k47 (43) (48) Exemplo 7: Seja f(x) = SS rx — 5)". Calcule f°?(5) e F°7(5). k=0 , Solucao: | Calculo de f*)(5): Assim como no exemplo anterior, basta fazer (43) _4)k9k ps) x—5)% = (yi x — 5)? quando 43=3k+7. 43! k! Oo «@ = = = Hac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 29 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - outro exemplo > (=1)k2" 3k+7 (43) (48) Exemplo 7: Seja f(x) = SS rx — 5)". Calcule f°?(5) e F°7(5). k=0 , Solucao: | Calculo de f*)(5): Assim como no exemplo anterior, basta fazer (43) _4)k9k ps) x—5)% = (yi x — 5)? quando 43=3k+7. 43! k| Resolvendo, 43 = 3k +7, temos k = S=7 = 12. o> <g = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 29 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - outro exemplo > (=1)k2" 3k+7 (43) (48) Exemplo 7: Seja f(x) = SS rx — 5)". Calcule f°?(5) e F°7(5). k=0 , Solucao: | Calculo de f*)(5): Assim como no exemplo anterior, basta fazer (43) 4) kok FPe —5)% = ay (x —5)**" quando 43 =3k+7. Resolvendo, 43 = 3k + 7, temos k = Bet = 12. Logo (9)(5) 43 __ (—1)*2* 3k+7 Tag BY = 9) = ; k=12 o> «8 = = = a0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 29 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - outro exemplo > (=1)k2" 3k+7 (43) (48) Exemplo 7: Seja f(x) = SS rx — 5)". Calcule f°?(5) e F°7(5). k=0 , Solucao: | Calculo de f*)(5): Assim como no exemplo anterior, basta fazer (43) 4) kok FPe —5)% = ay (x —5)**" quando 43 =3k+7. Resolvendo, 43 = 3k + 7, temos k = Bet = 12. Logo (9)(5) a3 __ (—1)*2* 3k+7 (-1)?2” 3.1247 _ 2”? 43 Tag BY = 9) = gap = BY = gap = 8)" k=12 o> «8 = => = 9a0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 29 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - outro exemplo > (=1)k2" 3k+7 (43) (48) Exemplo 7: Seja f(x) = SS rx — 5)". Calcule f°?(5) e F°7(5). k=0 , Solucao: | Calculo de f*)(5): Assim como no exemplo anterior, basta fazer (43) 4) kok FPe —5)% = ay (x —5)**" quando 43 =3k+7. Resolvendo, 43 = 3k + 7, temos k = Bet = 12. Logo (9)(5) a3 __ (—1)*2* 3k+7 (-1)?2” 3.1247 _ 2”? 43 Tag BY = 9) = gap = BY = gap = 8)" k=12 Entao £(43)(5) gi2 43! (12)! o> «8 = = = a0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 29 1) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de derivadas - outro exemplo > (=1)k2" 3k+7 (43) (48) Exemplo 7: Seja f(x) = SS rx — 5)". Calcule f°?(5) e F°7(5). k=0 , Solucao: | Calculo de f*)(5): Assim como no exemplo anterior, basta fazer (43) 4) kok FPe —5)% = ay (x —5)**" quando 43 =3k+7. Resolvendo, 43 = 3k + 7, temos k = Bet = 12. Logo (9)(5) a3 __ (—1)*2* 3k+7 (-1)”2 3.1247 _ 2”? 43 ag, (<8) = 9) = gap BY = gai 8)" k=12 Entao (43) 12 1512 F)(5) _ 2 s (43)(5) _ (43)! 2 43! (12)! (12)! o> «8 = = = Hac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 29 Aplica¸c˜ao 1) Aplica¸c˜ao de s´eries de Taylor no c´alculo de derivadas - outro exemplo - continua¸c˜ao C´alculo de f (48)(5): Assim como no exemplo anterior, basta fazer f (48)(5) 48! (x − 5)48 = (−1)k2k k! (x − 5)3k+7 quando 48 = 3k + 7. Resolvendo, 48 = 3k + 7, temos k = 48−7 3 = 41 3 . Como k = 41/3 n˜ao ´e um inteiro, isto significa que a s´erie que representa f n˜ao tem a potˆencia (x − 5)48. Logo f (48)(5) = 0 (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 30 Aplica¸c˜ao 1) Aplica¸c˜ao de s´eries de Taylor no c´alculo de derivadas - outro exemplo - continua¸c˜ao C´alculo de f (48)(5): Assim como no exemplo anterior, basta fazer f (48)(5) 48! (x − 5)48 = (−1)k2k k! (x − 5)3k+7 quando 48 = 3k + 7. Resolvendo, 48 = 3k + 7, temos k = 48−7 3 = 41 3 . Como k = 41/3 n˜ao ´e um inteiro, isto significa que a s´erie que representa f n˜ao tem a potˆencia (x − 5)48. Logo f (48)(5) = 0 (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 30 Aplica¸c˜ao 1) Aplica¸c˜ao de s´eries de Taylor no c´alculo de derivadas - outro exemplo - continua¸c˜ao C´alculo de f (48)(5): Assim como no exemplo anterior, basta fazer f (48)(5) 48! (x − 5)48 = (−1)k2k k! (x − 5)3k+7 quando 48 = 3k + 7. Resolvendo, 48 = 3k + 7, temos k = 48−7 3 = 41 3 . Como k = 41/3 n˜ao ´e um inteiro, isto significa que a s´erie que representa f n˜ao tem a potˆencia (x − 5)48. Logo f (48)(5) = 0 (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 30 Aplica¸c˜ao 1) Aplica¸c˜ao de s´eries de Taylor no c´alculo de derivadas - outro exemplo - continua¸c˜ao C´alculo de f (48)(5): Assim como no exemplo anterior, basta fazer f (48)(5) 48! (x − 5)48 = (−1)k2k k! (x − 5)3k+7 quando 48 = 3k + 7. Resolvendo, 48 = 3k + 7, temos k = 48−7 3 = 41 3 . Como k = 41/3 n˜ao ´e um inteiro, isto significa que a s´erie que representa f n˜ao tem a potˆencia (x − 5)48. Logo f (48)(5) = 0 (UFRGS) S´eries de Taylor: convergˆencia e t´ecnicas 30 2) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de séries numéricas ee (-1)4 k Exemplo 8: Sabendo-se que In(1 + x) = SS x para -1<x <1, calcule k=1 ,-2,2 1,1 1, ~eo" | 2 3 4 5 6 k o> «8 => «Er = DQG Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 31 2) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de séries numéricas ee (-1)4 k Exemplo 8: Sabendo-se que In(1 + x) = SS x para —1 <x <1, calcule k=l ,-2,2 1,1 1, ~oo 2 3 4 5 6 k “ Solucdo: A ideia é substituir na série de Maclaurin de In(1 + x) algum x adequado, que esteja em (—1, 1]. o> «8 = = = ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 31 2) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de séries numéricas (1)? Exemplo 8: Sabendo-se que In(1 + x) = SS x para —1 <x <1, calcule k=1 ,-2,2 1,1 1, ~oo 2 3 4 5 6 k “ Solucdo: A ideia é substituir na série de Maclaurin de In(1 + x) algum x adequado, que esteja em (—1, 1]. Por exemplo, subsituindo x = 1, que estad no intervalo de convergéncia, temos een In(l+1)=$)->—1 ; k=1 o> <g = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 31 2) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de séries numéricas oo (-1)4 k Exemplo 8: Sabendo-se que In(1 + x) = SS x para —1 <x <1, calcule k=1 ,-2,2 1,1 1, ~oo 2 3 4 5 6 k “ Solucdo: A ideia é substituir na série de Maclaurin de In(1 + x) algum x adequado, que esteja em (—1, 1]. Por exemplo, subsituindo x = 1, que estad no intervalo de convergéncia, temos een In(l+1)=$)->—1 ; k=1 Logo, como 1‘ = 1, co -1 k+1 1 1 1 -1 k41 In@) = =1-5 43-544 OP 4... que é a série procurada. Oo «@ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 31 2) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de séries numéricas oo (-1)4 k Exemplo 8: Sabendo-se que In(1 + x) = SS x para —1 <x <1, calcule k=1 1 1 + —_ + — tere cy + 2 3 4 5 6 k “ Solucdo: A ideia é substituir na série de Maclaurin de In(1 + x) algum x adequado, que esteja em (—1, 1]. Por exemplo, subsituindo x = 1, que estad no intervalo de convergéncia, temos een In(l+1)=$)->—1 ; k=1 Logo, como 1* = 1, SS (—1)'*4 1 1 1 —1)*tt In@) = =1-5 43-544 OP 4... que é a série procurada. Assim, 1 1211 «41 (—1)**? Joi 42-242 24... 4 Le... = In(2), 5 + 3. 4 + 5 6 + + k + n(2) Oo «@ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 31 2) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de séries numéricas - outro exemplo Exemplo 9: Sabendo-se que arctan(x) = S (oI) aia para —1 <x <1, calcule —_—_— ‘ae 2k+1 7 1-242-2,2 44 4 yt ~ 3.5 7 9 It 2k+1 07°" o> «8 => «Er B Nae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 32 2) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de séries numéricas - outro exemplo : _ — (-1)‘ 2k4+1 Exemplo 9: Sabendo-se que arctan(x) = S> ~—_x para —1 < x <1, calcule —_ £- 2k +1 re ee , &y 1 3° 5 7 9 11 2k+1 00° Solucdo: A ideia é substituir na série de Maclaurin de arctan(x) algum x adequado, que esteja em [—1, 1]. Oo «@ = = = Hac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 32 2) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de séries numéricas - outro exemplo (EDS kes Exemplo 9: Sabendo-se que arctan(x) = S> ~—_x para —1 < x <1, calcule ——_ £- 2k +1 re ee , &y 1 3° 5 7 9 11 Q2k+1 °° Solucdo: A ideia é substituir na série de Maclaurin de arctan(x) algum x adequado, que esteja em [—1, 1]. Por exemplo, subsituindo x = 1, que estad no intervalo de convergéncia, temos (1 okt arctan(1) = » aKa 12 . a a = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 32 2) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de séries numéricas - outro exemplo : _ Ss (=1) oka Exemplo 9: Sabendo-se que arctan(x) = S> ~—_x para —1 < x <1, calcule ——— ‘ae 2k+1 »-2,t i iii , Ev 1 3° 5 7 9 11 Q2k+1 °° Solucdo: A ideia é substituir na série de Maclaurin de arctan(x) algum x adequado, que esteja em [—1, 1]. Por exemplo, subsituindo x = 1, que estad no intervalo de convergéncia, temos (1) jake 1j= ~——— 1 . arctan(1) » ka Logo, como arctan(1) = 7, temos = (-1)* 1 1 1 —1)* z= wean) = ay =1- 375 - ptt Pb... que é a série procurada. Oo «@ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 32 2) Aplicagao de séries de Taylor no calculo de séries numéricas - outro exemplo (EDS kes Exemplo 9: Sabendo-se que arctan(x) = S> ~—_x para —1 < x <1, calcule ——— ‘ae 2k+1 p-2yP ott a ey, 3° 5 7 9 11 Q2k+1 °° Solucdo: A ideia é substituir na série de Maclaurin de arctan(x) algum x adequado, que esteja em [—1, 1]. Por exemplo, subsituindo x = 1, que estad no intervalo de convergéncia, temos (1) jake 1j= ~——— 1 . arctan(1) » ka Logo, como arctan(1) = 7, temos = (-1)* 1 1 1 —1)* z= wean) = ay =1- 375 - ptt Pb... que é a série procurada. Assim, t,t tit ot Gt os 3 5 7 9 11 2k+1 4! Oo «@ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 32 Operacoes algébricas entre séries Suponhamos que f e g possam ser representadas por séries de poténcias num intervalo /, de raio positivo, centrado em xo: co co f(x) = S> by(x — x0) e g(x) = S> cx(x — x0) para x El. k=0 k=0 o @ = = = ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 33 Operacoes algébricas entre séries Suponhamos que f e g possam ser representadas por séries de poténcias num intervalo /, de raio positivo, centrado em xo: co co f(x) = S> bk(x — x0)" e g(x)= S> cx(x — xo) para x El. k=0 k=0 Entdo a série de poténcias da soma é a soma das séries de poténcias e a série de poténcias da diferenca é a diferenca entre as séries de poténcias: co co co (f + g)(x) = S> by (x — xo)K + S> cx(x — xo)* = So (bx +cx)(x— xo)“ para xel k=0 k=0 k=0 e co co co (f — g)(x) = S> bk (x — xo) _ S- k(x — xo)‘ = So (bx — Ck )(x — xo)‘ para xeél. k=0 k=0 k=0 o @ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 33 Operacoes algébricas entre séries - exemplo . 14+x . oe . Exemplo 10: Seja f(x) = In i-x definida em (—1,1). Ache a série de Maclaurin de f(x) bem como o seu —x intervalo de convergéncia. o> «8 = = = a0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 34 Operacoes algébricas entre séries - exemplo . 1+x . oe . Exemplo 10: Seja f(x) = In i-x definida em (—1,1). Ache a série de Maclaurin de f(x) bem como o seu —_—_—— —x intervalo de convergéncia. Solucdo: Pela propriedade do logaritmo do quociente, 1+x In (| —— } =In(1 —In(1 — x). »(7*) n(1 + x) — In(1 — x) (Observe que In(1 + x) e In(1 — x) estado bem definidos, pois (1 + x) e (1 — x) sdo positivos para x € (—1,1).) o> «8 => «=> BE Nae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 34 Operacoes algébricas entre séries - exemplo . 1+x a . Exemplo 10: Seja f(x) = In i-x definida em (—1,1). Ache a série de Maclaurin de f(x) bem como o seu —————— —x intervalo de convergéncia. Solucdo: Pela propriedade do logaritmo do quociente, 1+x In | —— ] =In(1 —In(1 — x). »(7*) n(1 + x) — In(1 — x) (Observe que In(1 + x) e In(1 — x) estado bem definidos, pois (1 + x) e (1 — x) sdo positivos para x € (—1,1).) Logo, para achar a série de Maclaurin de f(x) basta achar as séries de Maclaurin de In(1+ x) e In(1 — x) e fazer a diferenca entre elas. O> «> «Er eBr = HAO Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 34 Operacoes algébricas entre séries - exemplo . 1+x i a . Exemplo 10: Seja f(x) = In i-x definida em (—1,1). Ache a série de Maclaurin de f(x) bem como o seu oo —x intervalo de convergéncia. Solucdo: Pela propriedade do logaritmo do quociente, 1+x In ( —— ) =In(1 —In(1 — x). »(7*) n(1 + x) — In(1 — x) (Observe que In(1 + x) e In(1 — x) estado bem definidos, pois (1 + x) e (1 — x) sdo positivos para x € (—1,1).) Logo, para achar a série de Maclaurin de f(x) basta achar as séries de Maclaurin de In(1 + x) e In(1 — x) e fazer a diferenca entre elas. Vimos nos exemplos de séries de Maclaurin que So (—1)**? k In(1 = 4 -1 <1. n(1 + x) S> Kx Para <x< k=1 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 34 Operacoes algébricas entre séries - exemplo - continuacao Podemos achar a série de In(1 — x) por substituigdo, trocando o x por —x na série de In(1 + x): o> «9 E> <B> EB Hae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 35 Operacoes algébricas entre séries - exemplo - continuacao Podemos achar a série de In(1 — x) por substituigdo, trocando o x por —x na série de In(1 + x): oo k+1 -1 In(1 — x) = In(1 + (—x)) = > 1)" (-x)! para —1<-x<1. k k=1 o> «ge E> «E> EB Ha0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 35 Operacoes algébricas entre séries - exemplo - continuacao Podemos achar a série de In(1 — x) por substituigdo, trocando o x por —x na série de In(1 + x): oo k+1 oo k+1 k -1 —1 —1 In(1 — x) = In(1 + (—x)) = SS (9) = SS Cyc para —1<-x<1. k=1 k=1 o> «9 E> <B> EB Hae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 35 Operacoes algébricas entre séries - exemplo - continuacao Podemos achar a série de In(1 — x) por substituigdo, trocando o x por —x na série de In(1 + x): _ ye ee ke = RE In(1 — x) = In(1 + (—x)) = SS ——(-*) = SS para = 1<-x<l. k=1 k=1 Observe que: @ (—1)k+#(—1)* = (—1)?**? = (—1)(—1)** = (—1)[(—1)?]* = -1; e —1 < —x <1 equivale a 1 > x > —1, que equivalea -l1<x<1. o> «9 => «er EB Nae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 35 Operacoes algébricas entre séries - exemplo - continuacao Podemos achar a série de In(1 — x) por substituigdo, trocando o x por —x na série de In(1 + x): _ ye ee ke = RE In(1 — x) = In(1 + (—x)) = SS ——(-*) = SS para = 1<-x<l. k=1 k=1 Observe que: @ (—1)k+#(—1)* = (—1)?**? = (—1)(—1)** = (—1)[(—1)?]* = -1; e —1 < —x <1 equivale a 1 > x > —1, que equivalea -l1<x<1. Logo — =1 1 In(l—x) = $7 sox" = — Sox" para —1<x<l. k=1 k=1 o> «9 => «er EB Nae Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 35 Operacoes algébricas entre séries - exemplo - continuacao Podemos achar a série de In(1 — x) por substitui¢ao, trocando o x por —x na série de In(1 + x): Oy +1 oo (4) +11) In(1 — x) = In(1 + (—x)) = > (9) = > Cyc para —1l<-x<1. k=1 k=1 Observe que: e (—1)**1(—1)* = (—1)?4*? = (—1)(—1)** = (—1)[(—1)?]* = —-1; e —1 < —x <1 equivale a 1 > x > —1, que equivalea -l1<x<1. Logo Ind») = Sot = So para —1l<x<1l k k ~ ‘ k=1 k=1 Como a série de In(1 + x) converge em (—1,1] e a de In(1 — x) converge em [—1, 1), a diferenc¢a entre elas vai convergir apenas em (—1,1), que é 0 conjunto de pontos em comum nos 2 intervalos ou a intersec¢ado entre os 2 intervalos. Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 35 Operacoes algébricas entre séries - exemplo - continuacao Podemos achar a série de In(1 — x) por substitui¢ao, trocando o x por —x na série de In(1 + x): Oy +1 oo (4) +11) In(1 — x) = In(1 + (—x)) = > (9) = > Cyc para —1l<-x<1. k=1 k=1 Observe que: e (—1)**1(—1)* = (—1)?4*? = (—1)(—1)** = (—1)[(—1)?]* = —-1; e —1 < —x <1 equivale a 1 > x > —1, que equivalea -l1<x<1. Logo Ind») = Sot = So para —1l<x<1l k k ~ ‘ k=1 k=1 Como a série de In(1 + x) converge em (—1,1] e a de In(1 — x) converge em [—1, 1), a diferenc¢a entre elas vai convergir apenas em (—1,1), que é 0 conjunto de pontos em comum nos 2 intervalos ou a intersec¢ado entre os 2 intervalos. Entao Index) Ina) = 9D te para —1l<x<l k k k=1 k=1 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 35 Operacoes algébricas entre séries - exemplo - continuacao Podemos achar a série de In(1 — x) por substitui¢ao, trocando o x por —x na série de In(1 + x): Oy +1 oo (4) +11) In(1 — x) = In(1 + (—x)) = > (9) = > Cyc para —1l<-x<1. k=1 k=1 Observe que: e (—1)**1(—1)* = (—1)?4*? = (—1)(—1)** = (—1)[(—1)?]* = —-1; e —1 < —x <1 equivale a 1 > x > —1, que equivalea -l1<x<1. Logo Ind») = Sot = So para —1l<x<1l k k ~ ‘ k=1 k=1 Como a série de In(1 + x) converge em (—1,1] e a de In(1 — x) converge em [—1, 1), a diferenc¢a entre elas vai convergir apenas em (—1,1), que é 0 conjunto de pontos em comum nos 2 intervalos ou a intersec¢ado entre os 2 intervalos. Entao (yet Oy (4) 4 In(d +x) ~ Ind — x) = 39k a = yt para —1l<x<l k=1 k=1 k=1 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 35 Operacoes algébricas entre séries - exemplo - continuacao Assim, 1+x S(-1)s4 41 , In —— = eX ara —1 <x< 1. (2) - SO k=1 oy «gi - = = ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 36 Operacoes algébricas entre séries - exemplo - continuacao Assim, 1+x S(-1)s4 41 , In| —— ) = ~—1____ x ara —1<x<1. G3) ES k=1 Esta série pode ser simplificada: o> «4 = = = Nac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 36 Operacoes algébricas entre séries - exemplo - continuacao Assim, 1+x S(-1)s4 41 , In| —— ) = ~—1____ x ara —1l<x<l. G3) ES k=1 Esta série pode ser simplificada: -1)141 -1)h" +1 2 Note que CY +1 9 sek é pare tt = 2 ce & 6 impar. k k k o> «8 = = = a0 Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 36 Operacoes algébricas entre séries - exemplo - continuacao Assim, 1+x S(-1)s4 41 , In| —— } = ~—1___ x ara —1l<x<l. GS) Se k=1 Esta série pode ser simplificada: —1)* 41 -1)*41 2 Note que (CY +1 6 ek é pare HY tt? se k é impar. k k k Logo, esta série s6 tem poténcias impares. Oo «@ = = = Hac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 36 Operacoes algébricas entre séries - exemplo - continuacao Assim, 1+x S(-1)s4 41 , In{( ——]= ~—__1__—_ x ara —l1l< 1. ( = *) Ss; k par x< k=1 Esta série pode ser simplificada: —1jy*41 -1y441 2 Note que CI tt ose k é pare +1 _ 2 se k é impar. k k k Logo, esta série s6 tem poténcias impares. Como todo impar positivo k é da forma k = 2m+1 para m=0,1,2,..., entao temos 14+x “(-1)441, =< 2 2m+1 In ( —— ] = 41 _x* = —_ x ara —-1<x<1l. (GS) =O Lome k=1 m=0 o @ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 36 Operacoes algébricas entre séries - exemplo - continuacao Assim, 1 Oo _y)kt1 ay in (7%) =o th para —-1l<x<1l. k=1 Esta série pode ser simplificada: —1jy*41 -1y441 2 Note que CI tt ose k é pare +1 _ 2 se k é impar. k k k Logo, esta série s6 tem poténcias impares. Como todo impar positivo k é da forma k = 2m+1 para m=0,1,2,..., entao temos 14+x “(-1)441, =< 2 2m+1 In | —— ] = 7 x" = = x -l<x<l. (SS) =O Lame pee ocx k=1 m=0 1+x — 2 2m+1 n(5) = op para -1l<x<l. o @ = = =z ac Séries de Taylor: convergéncia e técnicas 36