Slide - Derivadas Parciais - 2023-2

Derivadas parciais Joana Mohr IME-UFRGS Quando estudamos funções de uma variável vemos que a derivada é um conceito fundamental, nos permite medir a taxa de variação de uma determinada função em um ponto fixado. O conceito de derivadas parciais que iremos definir a seguir também analisa a taxa de variação da superfície (gráfico de alguma função) em duas direções fixadas. Exemplo 1: Considere a função f(x, y) = -x^2 - cos(y) + 4 e o ponto (x_0, y_0) = (1, 1), f(1, 1) ≈ 2.46, vamos analisar o que acontece com o gráfico de f no ponto P(1, 1, 2.46). Figura: 1 Partindo do ponto P temos uma infinidade de direções que podemos "andar"sobre a superfície, inicialmente vamos nos concentrar em duas direções especiais (posteriormente veremos que estas duas direções são suficientes para entender o que acontece em qualquer outra direção). Como estamos supondo que y_0 = 1 vamos analisar o que acontece se fixarmos y = 1, Figura: 2 vemos na figura 2 que a superfície z = -x^2 - \cos(y) + 4 e o plano y = 1 se interceptam em uma parábola votada para baixo, mais especificamente, temos uma função z = -x^2 - \cos(1) + 4 \approx -x^2 + 3.46 cuja derivada (unidimensional) aplicada em x_0 = 1 vale -2. Joana Mohr (IME-UFRGS) Analogamente, como x_0 = 1, fixamos x = 1, Figura: 3 vemos na figura 3 que e a intersecção da superfície z = -x^2 - \cos(y) + 4 com o plano x = 1 é uma curva em formato de cosseno, mais precisamente, z = -\cos(y) + 3, cuja derivada (unidimensional) aplicada em y_0 = 1 é \sin(1) \approx 0.84. Joana Mohr (IME-UFRGS) Vamos agora generalizar estes dois conceitos: Seja f(x, y) uma função e (x_0, y_0) um ponto em seu domínio, fixando y = y_0 temos que f(x, y_0) é uma função apenas da variável x podendo ser derivada com relação à x, analogamente fixando x = x_0, f(x, y) é função apenas da variável y podendo ser derivada com relação à y. Definição: Seja f(x, y) uma função e (x_0, y_0) um ponto em seu domínio, chamamos de derivada parcial de f com relação a x em (x_0, y_0) e denotaremos por f_x(x_0, y_0) o seguinte limite (caso ele exista): f_x(x_0, y_0) = \frac{d}{dx} \left[f(x, y_0)\right]\bigg|_{x=x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} Analogamente, chamamos de derivada parcial de f com relação a y em (x_0, y_0) e denotaremos por f_y(x_0, y_0) o seguinte limite (caso ele exista): f_y(x_0, y_0) = \frac{d}{dy} \left[f(x, y)\right]\bigg|_{y=y_0} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y} Joana Mohr (IME-UFRGS) Voltando ao exemplo 1, f(x,y) = -x^2 - cos(y) + 4 e o ponto (x_0, y_0) = (1, 1), temos que \frac{d}{dx} \left[ f(x, 1) \right] = \frac{d}{dx} \left[ -x^2 - cos(1) + 4 \right] = -2x e portanto f_x(1, 1) = -2 e \frac{d}{dy} \left[ f(1, y) \right] = \frac{d}{dy} \left[ -cos(y) + 3 \right] = sen(y), logo f_y(1, 1) = sen(1) \approx 0.84. Derivadas parciais representam taxas de variação ou inclinações da superfície em certas direções: Considere a superfície z = f(x, y) e o plano y = y_0, a interseção destas duas superfícies é uma curva, digamos C_1, que pode ser expressa, na variável x, como z = f(x, y_0) e a inclinação desta curva no ponto x = x_0 é dada por f_x(x_0, y_0), portanto f_x(x_0, y_0) é a taxa de variação de z em relação à x ao longo da curva C_1 no ponto (x_0, y_0), veja figura 4 . Analogamente se fixamos o plano x = x_0 a interseção da superfície e do plano é uma curva, digamos C_2, tal curva pode ser expressa, na variável y, como z = f(x_0,y) e a inclinação desta curva no ponto y = y_0 é dada por f_y(x_0, y_0), portanto f_y(x_0, y_0) é a taxa de variação de z em relação à y ao longo da curva C_2 no ponto (x_0, y_0), veja figura 5 . Funções derivadas parciais: Dada uma função f(x, y) considere os seguintes limites, caso eles existam, f_x(x, y) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}, f_y(x, y) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y}. f_x(x, y) e f_y(x, y) são funções das variáveis x e y. f_x é chamada derivada parcial de f com relação a x e f_y é chamada derivada parcial de f com relação a y, o domínio de f_x e f_y são os pontos do domínio de f onde os respectivos limites existem. Notação: Podemos denotar as funções derivadas parciais de diversas formas, seja z = f(x, y) usamos as seguintes notações: f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial x}, f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial y} e as derivadas parciais no ponto (x_0, y_0) por f_x(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{x=x_0,y=y_0} = \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)} = \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)} = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{x=x_0,y=y_0} = \frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(x_0,y_0)} = \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(x_0,y_0)} = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0). Derivadas parciais de ordens superiores: Seja f função das variáveis x, y, como as derivadas parciais f_x e f_y são funções, elas podem ser derivadas parcialmente com relação a cada uma das variáveis, dando origem a quatro novas funções, chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f, definidas por: \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = f_{xx}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = f_{yy} \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = f_{xy}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = f_{yx} Derivadas parciais para funções de três variáveis: Seja f(x, y, z) uma função, os seguintes limites, quando existem, são chamados derivadas parciais de f: f_x(x, y, z) = \frac{\partial f}{\partial x}(x, y, z) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y, z) - f(x, y, z)}{\Delta x}, f_y(x, y, z) = \frac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y, z) - f(x, y, z)}{\Delta y}, f_z(x, y, z) = \frac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(x, y, z + \Delta z) - f(x, y, z)}{\Delta z}. Por exemplo, se queremos calcular f_x(x, y, z) mantemos y e z fixados e derivamos em relação à variável x. Joana Mohr (IME-UFRGS)