Anotações - Séries - 2023-2

Advertência: Estas anotações são super resumidas. Recomendamos que você assista ao vídeo correspondente. Séries Definição: A expressão ∞ Σ aₖ = a₁ + a₂ + a₃ + ⋯ k=1 é chamada de série. Os números a₁, a₂, a₃, ⋯ são ditos os termos da série Qual o significado desta soma? ∞ Σ aₖ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + ⋯ k=1 Sₙ = Σ aₖ = a₁ + a₂ + ⋯ + aₙ k=1 soma parcial de ordem n Definição: Se a sequência {Sₙ} converge lim Sₙ = S n→∞ dizemos que a série ∞ Σ aₖ converge, k=1 ∞ Σ aₖ = S k=1 Se {Sₙ} diverge, dizemos que ∞ Σ aₖ diverge k=1 Então, pra saber se ∑ₖ₌₁^∞ aₖ converge e obter o valor da soma, "basta" obter uma expressão para Sₙ = ∑ₖ₌₁^n aₖ e fazer lim ₙ→∞ Sₙ. Raramente conseguiremos. Isso é possível no caso da Série Geométrica Série Geométrica (de razão r) Suponha a ≠ 0 ∑ₖ₌₀^∞ ar^k = a + ar + ar² + ar³ + ⋯ Se r ≠ 1, Sₙ = a + ar + ar² + ⋯ + arⁿ rSₙ = ar + ar² + ⋯ + arⁿ + arⁿ⁺¹ Sₙ - rSₙ = a + 0 + 0 + ⋯ + 0 - arⁿ⁺¹ (1-r)Sₙ = a - arⁿ⁺¹ ⇒ Sₙ = a/(1-r) - arⁿ⁺¹/(1-r) Série Geométrica (de razão r) Suponha a ≠ 0 ∑ₖ₌₀^∞ ar^k = a + ar + ar² + ar³ + ⋯ Se r ≠ 1, Sₙ = ∑ₖ₌₀^n ar^k = a/(1-r) - arⁿ⁺¹/(1-r) → a/(1-r) se |r| < 1 lim ₙ→∞ rⁿ = 0 se -1 < r < 1 lim ₙ→∞ rⁿ = +∞ se r > 1 lim ₙ→∞ rⁿ não existe se r ≤ -1 A série diverge se |r| ≥ 1 Teorema: A série geométrica ∑ ar^k (k=0 até infinito) é convergente se |r| < 1, e a sua soma é ∑ ar^k (k=0 até infinito) = a / (1-r) = 1° termo / 1 - razão. Se |r| ≥ 1, a série é divergente. Exemplo 1 Determine se a série converge e, caso sim, calcule a soma. (a) ∑ (5/4^n) (n=1 até infinito) Geométrica razão = 1/4 => converge, 1° termo = 5/4 ∑ (5/4^n) (n=1 até infinito) = 1° termo / 1 - razão = 5/4 / 1 - 1/4 = 5/4 / 3/4 = 5/3. (b) ∑ (3^(2n) * 7^(4-n)) (n=0 até infinito) Geométrica "disfarçada" ∑ (7^4 * (9/7)^n) (n=0 até infinito) razão = 9/7 > 1 => a série diverge. Exemplo 2. Escreva o número 4,123 = 4,1232323... como uma razão de inteiros Solução: 4,1232323... = 4,1 + 0,023 + 0,00023 + 0,0000023 + ... = 4,1 + 23/10^3 + 23/10^5 + 23/10^7 + ... Série geométrica razão = 1/10^2 1° termo = 23/10^3 = 41/10 + 23/10^3 / (1-1/10^2) = 41/10 + 23/1000 / 99/100 = 41/10 + 23/990 = 41*99 + 23/990 = 4082/990 = 2041/495 Exercício 1. Usando a mesma ideia obtenha a igualdade 0,333... = 1/3 Exercício 2. Seja x = 0,9999... x < 1 ou x = 1? Série geométrica Conseguimos saber se converge ou diverge Basta ver se |razão| < 1 Conseguimos obter uma fórmula fechada para a soma. 1º termo / 1 - razão Série qualquer Conseguimos saber se converge ou diverge? Testes de convergência Conseguimos obter uma fórmula fechada para a soma? Raramente Só importa a cauda Teorema: A convergência ou divergência não é afetada pela remoção de uma quantidade finita de termos: Para qualquer N, as séries ∑_{k=1}^{∞} a_k e ∑_{k=N}^{∞} a_k ambas convergem ou ambas divergem. O valor da soma é sim afetado. Uma condição necessária (mas não suficiente) para a convergência de ∑ aₙ Teorema: Se ∑ aₙ converge, então limₙ→∞ aₙ = 0. Uma maneira equivalente de dizer a mesma coisa é: Teorema: (Teste da divergência) Se limₙ→∞ aₙ ≠ 0, então ∑ aₙ diverge. Atenção: A implicação só vale nesse sentido: ∑ aₙ converge ⇒ aₙ → 0 A recíproca não vale! aₙ → 0 ≠ ∑ aₙ converge Exemplo clássico (série harmônica) aₙ = 1/n → 0, mas ∑ₙ=1∞ 1/n = ∞ Uma condição necessária (mas não suficiente) para a convergência de ∑ aₙ Teorema: Se ∑ aₙ converge, então limₙ→∞ aₙ = 0. Uma maneira equivalente de dizer a mesma coisa é: Teorema: (Teste da divergência) Se limₙ→∞ aₙ ≠ 0, então ∑ aₙ diverge. Prova: Seja Sₙ = ∑ₖ=1ⁿ aₖ = a₁ + a₂ + ⋯ + aₙ Estamos supondo que Sₙ converge Sₙ → S Note que Sₙ - Sₙ₋₁ = aₙ. Portanto, limₙ→∞ aₙ = limₙ→∞ (Sₙ - Sₙ₋₁) = limₙ→∞ Sₙ - limₙ→∞ Sₙ₋₁ = S - S = 0 Exemplos: Verifique se a série converge ou diverge O que o teste da divergência tem a dizer? (a) ∑ₙ=1∞ n²/(2n²+3n) diverge (b) ∑ₙ=1∞ 1/[n(n+1)] não sei (c) ∑ₙ=1∞ ln[(n+1)/n] não sei (d) ∑ₙ=0∞ (-1)ⁿ diverge Exemplos: Verifique se a série converge ou diverge (a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2n^2+3n} \text{ diverge} (b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1 \text{ converge} (c) \sum_{n=1}^{\infty} \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) \text{ não sei} (d) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \text{ diverge} Solução: (b) \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \sum_{n=1}^{m} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{m}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \left(1-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{m+1}\right) = 1 - \frac{1}{m+1} \to 1 \text{ quando } m\to\infty Série telescópica Exemplos: Verifique se a série converge ou diverge (a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2n^2+3n} \text{ diverge} (b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1 \text{ converge} (c) \sum_{n=1}^{\infty} \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) \text{ diverge} (d) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \text{ diverge} Solução: (c) \text{ Esse é outro exemplo de série telescópica} \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) = \ln(n+1) - \ln(n) \sum_{n=1}^{m} \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) = \sum_{n=1}^{m}\left(\ln(n+1) - \ln(n)\right) = \ln2-\ln1+\ln3-\ln2+\cdots+\ln(m+1)-\ln(m) = \ln(m+1) \to \infty \text{ quando } m\to\infty Exemplos: Verifique se a série converge ou diverge (e) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \text{Converge ou Diverge ?} Solução: \text{O que o teste da divergência tem a dizer?} \frac{1}{n^2} \to 0 Nada se conclui. Não sabemos. Saberemos na próxima aula Linearidade das séries Se \( \sum_{k=1}^{\infty} a_k \) e \( \sum_{k=1}^{\infty} b_k \) são convergentes então: (a) \( \sum_{k=1}^{\infty} (a_k + b_k) \) converge e \( \sum_{k=1}^{\infty} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{\infty} a_k + \sum_{k=1}^{\infty} b_k \) (b) \( \sum_{k=1}^{\infty} (a_k - b_k) \) converge e \( \sum_{k=1}^{\infty} (a_k - b_k) = \sum_{k=1}^{\infty} a_k - \sum_{k=1}^{\infty} b_k \) (c) Para qualquer \( c \), \( \sum_{k=1}^{\infty} c a_k \) converge e \( \sum_{k=1}^{\infty} c a_k = c \sum_{k=1}^{\infty} a_k \) Exemplo: Encontre a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{5}{4^n} + \frac{1}{n(n+1)} \right) \) Solução: Vimos que \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{4^n} = \frac{5}{3} \) e \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1 \) Então, por linearidade \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{5}{4^n} + \frac{1}{n(n+1)} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{4^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3} \) Revisão da aula: Série geométrica \( \sum_{n=0}^{\infty} a r^n \) • converge se \( |r| < 1 \) nesse caso \( \sum_{n=0}^{\infty} a r^n = \frac{a}{1-r} = \text{1º termo}/{1-\text{razão}} \) • diverge se \( |r| \geq 1 \) Teste da divergência \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \sum_n a_n \text{ diverge} \).