Matemática Financeira: Taxas Efetiva e Nominal

02082021 1 Professora Jandira S Ferreira Matemática Financeira TAXA EQUIVALENTE EFETIVA Taxa Efetiva Quando a unidade de tempo indicada pela taxa de juros é igual à unidade de tempo do período de capitalização podemos dizer que esta taxa é efetiva Nos problemas de juros compostos onde se fornece a taxa efetiva o período de capitalização é o mesmo que o indicado pela taxa Taxa Nominal É a taxa cuja unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo do período de capitalização 2 Taxa Nominal Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais e os períodos de capitalização podem ser semestraistrimestrais mensaisou diáriosSão exemplosde taxas nominais 12 ao ano capitalizados mensalmente 24 ao ano capitalizados semestralmente 10 ao ano capitalizados trimestralmente 18 ao ano capitalizados diariamente A taxa nominal apesar de bastante utilizada no mercado não representa uma taxa efetiva e por isso não deve ser usada nos cálculos financeirosno regime de juros compostos Todataxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional no regime de juros simples 3 Taxa de Juros Efetiva Quando pensamos na aplicação contínua de uma taxa de juros sob a capitalização composta devemos levar em conta que os valores Presente se modificam a cada um dos ciclos temporais No caso do exemplo anterior 𝑫𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏ç𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒋𝒖𝒓𝒐𝒔 𝟏𝟐 𝟔𝟖𝟐𝟓 𝟏𝟐 𝟎 𝟔𝟖𝟐𝟓 𝒂𝒐 𝒂𝒏𝒐 Ou seja a taxa de juro nominal vista em juros simples 12 é a base para os cálculos de juros efetivos 126825 uma vez que há juros sobre juros 06825 Entendendo a taxa de juros efetiva Como chegar a uma fórmula geral para o cálculo da taxa Devemos fazer a equivalência de capitais ou seja devemos pensar que o ganho obtido valor Futuro em uma aplicação por exemplo com 1 de juros ao mês durante 12 meses é o equivalente ao ganho obtido valor Futuro em uma aplicação com juros 𝑖 ao ano em um ano 𝐹𝑉12 𝑃𝑉 1 001 12 𝐹𝑉1 𝑃𝑉 1 𝑖 1 Igualando 𝐹𝑉12 𝐹𝑉1 𝑃𝑉 1 001 12 𝑃𝑉 1 𝑖 1 Isolando a taxa 𝑖 temos 𝒊 𝟏 𝟎 𝟎𝟏 𝟏𝟐 𝟏 𝟏𝟏𝟐𝟔𝟖𝟐𝟓 𝟏 𝟎𝟏𝟐𝟔𝟖𝟐𝟓 𝒂𝒐 𝒂𝒏𝒐 𝒐𝒖 𝟏𝟐𝟔𝟖𝟐𝟓 𝒂𝒐 𝒂𝒏𝒐 Taxa de juros efetiva para o período de capitalização Fórmula Geral 𝒊 𝒋 𝒌 Em que i é a taxa efetiva j é a nominal e k é o número de capitalizações a proporcionalidade Exemplo Suponha que uma pessoa recebe uma proposta de um investimento com taxa de juros nominais de 60 ao ano capitalizado mensalmente Qual a taxa de juros efetiva 𝑗 60 𝑘 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑎𝑛𝑜 𝑖 60 12 5 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 02082021 2 Taxa de juros efetiva fórmula Fórmula Geral 𝒊 𝟏 𝒋 𝒌 𝒏 𝟏 Em que i é a taxa efetiva j é a nominal k é o número de capitalizações a proporcionalidade e n é o número de capitalizações no período da taxa nominal Exemplo Suponha que uma pessoa recebe uma proposta de um investimento com taxa de juros nominais de 60 ao ano capitalizado mensalmente Qual a taxa de juros efetiva 𝒋 𝟎𝟔𝟎 𝒌 𝟏𝟐 𝒏 𝟏𝟐 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 𝒏𝒐 𝒂𝒏𝒐 𝒊 𝟏 𝟎 𝟔𝟎 𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝟏 𝟏 𝟕𝟗𝟓𝟖𝟓𝟔 𝟏 𝟎 𝟕𝟗𝟓𝟖𝟓𝟔 𝒂𝒐 𝒂𝒏𝒐 𝒐𝒖 𝟕𝟗𝟓𝟖𝟓𝟔 𝒂𝒐 𝒂𝒏𝒐 𝒆𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐 Taxa Nominal 1 Dada a taxa nominal de 24 aa capitalizados mensalmente determinar a taxa mensal nominal Resposta iN 24 q 12 iN 24 12 2 am 8 Taxas Efetivas 2 Sabendo que a taxa efetiva de juros é 2 am e que o capital é de R 10000000 Calcular qual será o novo capital após um ano de aplicação FV PV1in 9 Taxas Efetivas 2 Sabendo que a taxa efetiva de juros é 2 am e que o capital é de R 10000000 Calcular qual será o novo capital após um ano de aplicação FV PV1in FV 100000100212 FV 12682418 J 12682418100000002682418 i268241810000000 02682100 2682 10 Taxa Efetiva A taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n sendo formulada exponencialmente através dos períodos de capitalização Ou seja taxa efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização if 1 i q 1100 If taxa efetiva q representa o nº de períodos de capitalização dos juros 11 Taxa Efetiva 3 Uma taxa de 38 ao mês determina um montante efetivo de juros de 5645 ao ano Resposta if 10038 12 1100 If 5644 aa 12 02082021 3 OBRIGADO Professor NONONOO NO NOO NONONO Matemática Financeira 13 13 Taxas Equivalentes Taxas referentes a períodos distintos são equivalentes quando produzem o mesmo montante ao final de um determinado tempo pela aplicação de um mesmo capital inicial iq 1 itqt 1 onde índice q significa o que eu quero e t o que tenho OBRIGADO Professor NONONOO NO NOO NONONO Taxa Equivalente composto Duas taxas de juros i1 e i2 expressas em unidades de tempo distintas são ditas equivalentes quando incidindo sobre um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante no regime de capitalização composta é exponencial ie 1 i100 prazo que eu queroprazo que eu tenho 1100 Formulação 14 Taxas Equivalentes A taxa efetiva mensal de 2 am é equivalente à taxa efetiva anual de 2682418 aa isto porque produzem um montante igual quando aplicadas a um mesmo capital em um período de tempo de mesma duração 15 Equivalência de Taxas de Juros Por exemplo para achar a taxa mensal equivalente à taxa anual de 18 aa basta aplicar a fórmula iq 1 itqt 1 iq 1 018112 1 iq 0013888 iq 139 ao mês 16 Equivalência de Taxas de Juros Exemplo Usando a HP 12C do menor para o maior Exemplo uma aplicação feita por 12 meses a uma taxa igual a 3 am Qual a taxa equivalente anual f REG 12 n 3 i 100 CHS PV FV visor 1425761 Como iniciou a operação com 10000 e o valor futuro era igual a 14258 A taxa equivalente de 3 am é igual a 4258 aa 17 Equivalência de Taxas de Juros Exemplo Usando a HP 12C do maior para o menor Estime a taxa equivalente mensal à taxa semestral igual a 58 as no regime de juros compostos Qual a taxa equivalente mensal f REG 6 n 100 CHS PV 158 FV i visor 79219 A taxa equivalente de 58 as é igual a 79219 am 18 02082021 4 Equivalência de Taxas de Juros Exercício 2 Usando a HP 12C Um banco cotou uma aplicação mediante taxa de juros compostos iguais a 78 aa Considere um ano formado por 52 semanas Qual seria a taxa semanal 19 Equivalência de Taxas de Juros Exercício 2 Resposta Usando a HP 12C Um banco cotou uma aplicação mediante taxa de juros compostos iguais a 78 aa Considere um ano formado por 52 semanas Qual seria a taxa semanal f REG 52 n 100 CHS PV 178 FV i visor 1115 A taxa equivalente de 78 aa é igual a 1115 àsemana 20 Taxa Efetiva A taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n sendo formulada exponencialmente através dos períodos de capitalização Ou seja taxa efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização if 1 iq q 1100 If taxa efetiva q representa o nº de períodos de capitalização dos juros 21 Taxa Efetiva 1 Dada a taxa nominal de 24 aa capitalizados mensalmente determinar a taxa anual efetiva if 1 iq q 1100 if 22 Taxa Efetiva 1 Dada a taxa nominal de 24 aa capitalizados mensalmente determinar a taxa anual efetiva Resposta if 1 iq q 1100 if 1 02412 12 1100 if 1 002 12 1100 if 1268242 1100 If 2682 aa 23 Bibliografia ASSAF NETO Alexandre Matemática financeira e suas aplicações São Paulo Atlas 2012 GIMENEZ C M Matemática financeira 2ª São Paulo Pearson Prentice Hall 2009 MATHIAS W F GOMES J M Matemática Financeira São Paulo Atlas 1995 SAMANEZ C P Matemática Financeira Aplicações à análise de investimentos 3 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2002 VIEIRA SOBRINHO José Dutra Matemática financeira 7ª edição São Paulo Atlas 2013 Minha Biblioteca Disponível em httponlineminhabibliotecacombrbooks9788522479412 02082021 5 OBRIGADA Professora Jandira S Ferreira